Elments de mcanique des fluides

Notes de cours de lanne 2011-2012

M. PIROTTON P. ARCHAMBEAU

Ces notes consistent en une explication structure des dveloppements prsents lors du cours

oral. Lensemble des dveloppements raliss lors des sances est repris dans ces pages avec des

explications complmentaires permettant une meilleure assimilation de la matire et une prise de

recul suffisante pour tablir les liens ncessaires entre les diffrentes parties de matire.

Malgr tout, cet ensemble ne constitue pas une approche exhaustive de la mcanique des fluides

et ne doit pas tre considr en ltat comme un livre de rfrence au mme titre que les sources

dites rfrences. Le lecteur prendra donc soin, le cas chant, de recourir de la littrature

plus spcialise pour les lments supplmentaires quil souhaiterait aborder.

La bonne comprhension des dveloppements mathmatiques demande au lecteur de solides

bases en analyse, algbre et physique. Mme si une grande partie des thormes ou formules est

rappel lors des dveloppements, il sera utile de se rfrer aux documents pdagogiques de ces

matires, notamment pour se rappeler les hypothses et conditions demploi des diffrentes

formules.

Cours dlments de Mcanique des Fluides

Chapitre 1 : Notions gnrales sur les fluides i

Chapitre 1 : Notions gnrales sur les fluides ................................................................................ 1

1. Gnralits .................................................................................................................. 3

2. Particularits dun fluide ............................................................................................ 3

3. Loi de comportement .................................................................................................. 5

4. Domaines dapplication ............................................................................................... 7

5. Proprits dun fluide .................................................................................................. 7

6. Niveaux didalisation possibles ................................................................................ 12

Chapitre 2 : Statique des fluides .................................................................................................. 13

1. La pression ................................................................................................................ 15

2. Equation fondamentale ............................................................................................. 17

3. Applications .............................................................................................................. 19

4. Stabilit des corps ..................................................................................................... 27

Chapitre 3 : Etablissement des quations .................................................................................... 31

1 Notion de base : drive particulaire ......................................................................... 35

2 Conservation dune grandeur pour un volume particulaire ....................................... 35

3 Principes de conservation .......................................................................................... 41

4 Loi de Bernoulli selon une ligne de courant .............................................................. 47

5 Conservation de lnergie .......................................................................................... 54

6 Expression de la rotation dune particule fluide ........................................................ 56

7 Expressions des tensions visqueuses .......................................................................... 63

8 quations de Navier-Stokes ...................................................................................... 69

9 Equations dEuler ..................................................................................................... 70

Chapitre 4 : Similitudes ............................................................................................................... 75

1. Introduction .............................................................................................................. 79

2. Dimensions dune grandeur ....................................................................................... 79

Cours dlments de Mcanique des Fluides

Chapitre 1 : Notions gnrales sur les fluides ii

3. Dimensions des grandeurs et quations .................................................................... 81

4. La similitude ............................................................................................................. 82

5. Dtermination des lois de similitude par mthode directe ........................................ 84

6. Dtermination des lois de similitude par analyse dimensionnelle .............................. 87

7. Utilisation pratique des similitudes .......................................................................... 92

8. Lois de similitudes classiques .................................................................................... 98

9. Exemples concrets ................................................................................................... 101

Chapitre 5 : Stabilit des coulements et turbulence ................................................................ 109

1. Exprience de Reynolds .......................................................................................... 113

2. Unicit de la solution .............................................................................................. 114

3. Exemples dinstabilit ............................................................................................. 119

4. Etude de stabilit linaire ....................................................................................... 122

5. Turbulence .............................................................................................................. 133

Chapitre 6 : Ecoulements externes ............................................................................................ 143

1. Principes de traine et portance ............................................................... 147

2. Vecteur potentiel et Fonction de courant ............................................................... 147

3. Notions de fluide parfait ou fluide idal ................................................... 150

4. Ecoulement irrotationnel ........................................................................................ 154

5. Solutions analytiques dcoulements irrotationnels ................................................. 159

6. Ecoulement idalis autour dune aile..................................................................... 180

7. Ecoulement irrotationnel surface libre dun fluide incompressible ....................... 183

8. Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres coaxiaux ........................................ 189

Chapitre 7 : Ecoulements internes ............................................................................................ 193

1. Introduction ............................................................................................................ 199

2. Couche limite laminaire .......................................................................................... 202

3. Couche limite turbulente ........................................................................................ 216

4. Comparaison de la couche limite laminaire et turbulente ....................................... 226

Cours dlments de Mcanique des Fluides

Chapitre 1 : Notions gnrales sur les fluides iii

5. Notion de rgime non tabli et tabli ...................................................................... 230

6. Ecoulement de Stokes ............................................................................................. 231

7. Solutions analytiques dcoulements laminaires plans ............................................. 239

8. Ecoulements en films minces ................................................................................... 242

9. Ecoulements en conduite ......................................................................................... 245

10. Ecoulement laminaire en conduite Ecoulement de Poiseuille ............................... 257

11. Ecoulement turbulent en conduite .......................................................................... 262

12. Coefficient dingale rpartition de vitesse dans Bernoulli intgr .......................... 269

13. Rcapitulatif des pertes de charge........................................................................... 270

Annexe 1 : Calcul vectoriel et tensoriel ..................................................................................... 275

1. Dfinition ................................................................................................................ 277

2. Reprsentation dans un espace 3D .......................................................................... 277

3. Oprations sur les tenseurs ..................................................................................... 280

4. Oprations sur des champs tensoriel ....................................................................... 281

5. Intgrales sur volumes et surfaces ........................................................................... 284

Annexe 2 : Notions cinmatiques