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' Centre d' enseignementet de recherche

. en mcanique des so/sEcole nationale des pontse:t chaus s e s/Lab oratoire

central:des poniset chusiees

6- B, av enue tslarse-PascalCit Descrtes

Chaynps-sur-Mrne77455 Marne-la-Valle

Cedex 2, Francesulern@cermes enpc,fr

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Insfituto de materia/esy m,odeJos esfnlc turales

Unlversitad centralde Venezuela, IIWME

Facultad de Ingenierial/niversitad central

de VenezuelaApartado Postal 5036I

Caracas 1050, Venezuelamcerrola@reacciun.ve

Continuous models for discontinuousrock structures

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%l{Dt; Les dlscussions surcet article sont acceptes

jusqu'au 30 juin 2002.

41REVUE FRANAIsE oE corecuNteuE

N" 974e trimestre 2001

Modles continuspour les structures rocheusesdiscontinues

on prsente un modle continu de cosserat pour lesstructures de blocs rocheux. L'introduction d'unerotation de Cosserat et de couples de contraintes permetde prendre en compte la rotation individuelle des blocs etleur rigidit en flexion. On montre que le domaine devalidit de cette homognisation est tendu au cas destructures dont les dimensions sont un faible multiple dela taille des blocs. Par ailleurs diffrents modes deplastification par glissement inter-blocs ou pivotementdes blocs sont introduits dans un modle de plasticitmulticritres. ce modle est illustr par l'tude de larponse d5mamique d'une structure de maonnerie et pardeux exemples de gotechnique, la stabilit d'unefondation souple et la stabilit d'une pente dans unmassif constitu de blocs rocheux.

Mots-cls : roches fractures, stabilit des pentes,homognisation, milieux de Cosserat.

The discontinuous structure of blocky rock is approximated byan equivalent Cosserat continuum. This implies the introductionof couple stresses and internal rotations which model therelative rotations between blocks and the bending stiffness ofthe blocks. It is shown that the domain of validity of thehomogenisation is extended to the case of structures with fewblocks. The advantage of the Cosserat homogenisation forblocky structure is also that various failure modes such as inter-block slip and block tilting can be easily described through amulti-criteria plasticity model. This model is illustrated by theanalysis of the d5mamic response of a masonry structure and bytwo examples of soft foundation and slope stability in blockyrock.

Key words ; jointed rock, slope stability, homogenisation,Cosserat medium.

lntroductionIl est courant d'observer que sous l'effet des

contraintes tectoniques, un massif rocheux prsente unrseau rgulier de fractures lui donnant du point de vuemacroscopique l'apparence d'une structure de blocsrocheux. La mcanique des milieux continus classiquesoffre un cadre appropri et bien tabh lorsqu'il s'agit demodliser un processus de dformation dont la longueurd'onde dominante est grande compare la taille carac-tristique des discontinuits de la structure consid re.Les mthodes d'homognisation permettent de dfinirles caractristiques mcaniques d'un milieu continuquivalent, grande chelle, au matriau discontinu ini-tial (Bakhalov et Panasenko, 19Bg). L'intrt de dvelop-per une approche continue pour un milieu htrogneou discontinu rside dans le fait que les approches < dis-crtes > (Cundall et Hart, 1992) conduisent des calculsnumriques considrables lorsque le nombre des dis-continuits ou des htrognits augmente. Parmi lesavantages d'une reprsentation par milieu continu qui-valent, oD peut galement citer le fait que le maillage parlments finis utilis pour la rsolution d'un problmeaux limites est indpendant de la gomtrie des discon-tinuits. Enfin, dans certains cas, comme pour desmilieux rocheux largement fracturs, on ne dispose pastoujours d'information prcise sur Ies rseaux de failleset de joints et seules des valeurs moyennes des modulesde dformation peuvent tre utilises.

Le milieu continu homognis ne peut reproduireque Ie comportement grande chelle du matriau relet c'est l sa principale limitation. On peut cependanttendre le domaine de validit de l'approche continue enayant recours des modles de milieux continusd'ordres suprieurs ou milieux continus gnraliss quipossdent dans leur formulation des degrs de libertcinmatiques supplmentaires comme les milieux deCosserat (Cosserat, 1909) etlou des gradients de dfor-mation d'ordres suprieurs. Les modles de milieuxcontinus gnraliss contiennent dans leur descriptionune ou plusieurs longueurs internes relies la micro-structure du matriau. Dans cet article, oo prsente toutd'abord le cadre gnral de la mcanique des milieuxcontinus gnraliss travers le formalisme de Mindlin(1964). Les milieux stratifis et les structures de blocsreprsentent deux exemples pour lesquels la thorie deCosserat est tout fait adapte. Ces deux exemples sontprsents et illustrs pour le cas de structures de maon-nerie et pour celui de la stabilit de pentes rocheuses.

EMilieux continus gnralisset formalisme deMindlin

La description de la statique et de la cinmatiquedes milieux continus possdant une microstructure (oumilieux continus gnraliss) a t prsente d'unemanire systmatique par Germain (1973a, b) partirde l'application du principe des puissances virtuellesen suivant le formalisme propos par Mindlin (1964).

Dans une description classique, un milieu continuest une distribution de points matriels caractriss parune position X et une vitesse v. Dans une thorie quiprend en compte Ia microstructure du matriau, oh

associe chaque particule matrielle un continuumC(X) dformable autour du point X appel microvo-Iume. Les tenseurs de vitesse de macrodformation eet de macrorotation c sont dfinis comme la partiesSrmtrique et la partie antis5rmtrique du gradient duchamp de vitesse :

1r^ ,, l rnr, : V@,v t

+ rvy) ,0,j - ;(iv,, - rv;) (1)L

On dfinit un tenseur de vitesse de microdformationV correspondant la dformation du microvolume C(X)suppose homogne. La vitesse dformation relative y estalors dfinie comme Ia diffrence entre le gradient demacrovitesse et la vitesse de microdformation :

Y=Vv-Y

Enfin, on dfinit le tenseur d'ordre 3 de gradient devitesse de microdformation

r-VY (3)Les quantits statistiques duales drivent alors de

l'application du principe des puissances virtuelles et del'expression de la puissance des efforts intrieurs :

u/, = tueu + ouyu + l,ruu Krr @)o r est le tenseur de contrainte de Cauchy (sym-trique) associ au tenseur de vitesse de macrodforma-tion r ; cr, est le tenseur de contraintes relatives associau tenseur de vitesse de dformation relative y ; p est letenseur de double contraintes associ au gradient devitesse de microdformation r (tenseur d'ordre 3)

On peut crire lasous la forme

Ev\/i) -o o = r + cr est le tenseur de contraintes totales.

Le principe des puissances virtuelles permetd'crire les quations d'quilibre pour un milieucontinu gnralis sous la forme

:or* { = 0 (6)0**,;"t,,u+O-u-g

o f et O reprsente respctivement les forces de volumeet les doubles forces de volume. Du principe des puis-sances virtuelles on dduit galement les conditions auxfrontires. On suppose que la frontire V du volume Vconsid r est divise en deux parties complmentaires,{V,, V) et {Vu/ Vu} respectivement, telles QUe :

surVr:u-usurVr:V-Vlsur AV": o.n -T

J)

sur Vu: p.n - TLe formalisme ci-dessus permet d'obtenir les quations

de base d'un milieu de Cosserat. Un milieu de Cosserat estun milieu micropolaire pour lequel le microvolume C(X)est un corps rigide. Par consquent un milieu de Cosseratest un milieu continu qui associe chaque point matrielune vitesse de translation et une vitesse de rotation proprecrl' diffrente de la rotation d'ensemble rrl. Dans la suitel'indice c sera utilis pour distinguer la rotation de Cosse-rat de la rotation macroscopigue. Par consquent, le ten-seur de microdformation est purement antis5rmtrique eton l'identifie rrl', et le gradient de microrotation, gale-ment antis5rmtrique, reprsente un tenseur de courbure ;

'Yri=Tij = tij

K..,UK

(2)

puissance des efforts intrieurs (4)

orru' - or.V, * l"rurKyr (5)

Ito,,-'*;r= ro.;f

(B)

42REVUE FRANA|SE or comcHNlQUEN'974e trimestre 9001

La partie symtrique du tenseur de dformationrelative y concide avec le tenseur de macrodforma-tion e et la diffrence entre macro- et microdforma-tion est purement antis;rmtrique et reprsente la diff-rence entre la rotation individuelle du microvolume etla rotation d'ensemble du domaine autour du microvo-lume.

Les quantits statiques qui apparaissent dans unmilieu de Cosserat se dduisent de l'application duprincipe des puissances virtuelles. Le tenseur decontraintes relatives o coincide avec la partie antisy-mtrique du tenseur de contraintes totales o. On sim-plifie les notations en introduisant les adjoints des dif-frents tenseurs.

t,jt = - e,;1o*t, Fui. = - u,ITIo,, @,, = - e,jo @0, T,j - - eupMt (9)o e est le tenseur de permutation dfini par

1 si 4k est une permutation paire de 123-1 si rJk est une permutation impaire de 123 (10)0 sinon

abcd (ou micro-lment) dont les cts sont petits com-pars l'paisseur des couches (Fig. 1).

;.1.li;i.i,li;i'ii.iiiiiiiiiiiiiitit::1i::1111t:iftiff1til;ttttt1t': Schma d'un milieu stratifi.

Si la s5rmtrie des contraintes tangentielles est res-pecte pour le micro-lment, celle-ci est viole pour lemacro-lment ds qu'il y a glissement le long desfrontires des couches. L'quilibre est alors assur parl'apparition de moments de flexion (Fig.2) ,

e,UK

II

ro' est le vecteur dedes moments etcontraintes.

-

rotation de Cosserat,m est la densit de

O et M sontcouple de

dM

=*Tr*-Tr*:0ax(12)

U