La thorie des invariants en lasticit

Boris Kolev

Universit dAix-Marseille

Rennes1er Octobre 2013

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Motivations et origine de la collaboration

En mcanique, le calcul des invariants des tenseurs joue un rleimportant. Les invariants du tenseur dlasticit, un vieux serpent de mer , est lexemple type.Dans la dcomposition en facteurs irrductibles (sous SO(3)) dutenseur dlasticit, apparait un tenseur harmonique dordre 4(H4), version relle de la forme binaire dordre 8 (S8).Christophe et Reynald ont tudi la stratification en classedisotropie de S8 (en omettant certaines formes non gnriques),nous avons effectu celle de H4 (en omettant certains classestrs anisotropes, celles-ci ayant peu dintrt en mcanique).Intrt commun pour les mthodes effectives de calculdinvariants.

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Sommaire

1 Quelques notions de mcanique des milieux continus

2 Reprsentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Gomtrie des espaces dorbites dun groupe compact

4 Structure semi-algbrique de lespace des orbites

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Section 1 - Quelques notions de mcanique desmilieux continus

1 Quelques notions de mcanique des milieux continus

2 Reprsentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Gomtrie des espaces dorbites dun groupe compact

4 Structure semi-algbrique de lespace des orbites

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Dformations

En mcanique des milieux continus, les configurations dunmatriau sont dcrites par les plongements

: R3

dune configuration initiale dans lespace ambiant.Le tenseur des dformations correspond lcart entre lamtrique euclidienne initiale induite q sur et la mtriquedforme par le plongement :

D =12

(q q)

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lasticit linaire

En lasticit linaire (petites dformations), on fait lhypothse que est le flot dun champ de vecteur u (le dplacement) et onremplace D par son approximation au premier ordre :

ij :=12

(Luq)ij =12

(uix j

+ujx i

).

La thorie des dformations est une thorie mtrique : elle utilisela mtrique de lespace ambiant.

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Contraintes

En mcanique des milieux continus, les efforts intrieurs (quiassurent la cohsion du matriau) sont dcrits par le tenseur descontraintes, not et introduit par Cauchy en 1822.En langage moderne, ces efforts intrieurs sont dcrits par leurpuissance (ou travail lmentaire), reprsente par une 1-formesur la varit des mtriques riemanniennes dfinies sur .Lorsque cette puissance ne dpend que des drives premiresdu dplacement (fonctionnelle de premier gradient), elle scrit

Wg() :=

ijij volg ,

o est le tenseur des contraintes de Cauchy.

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Loi de comportement lastique

Loi de Hooke (1670) : la dformation dun ressort estproportionnelle la force quil subit.Plus gnralement, en lasticit, une loi de comportement

= f ()

est un modle empirique qui dcrit le comportement mcaniquedun matriau.En lasticit linaire classique, on fait lhypothse dune relationlinaire entre et (loi de Hooke gnralise) :

ij = C ijkl kl .

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Le tenseur dlasticit

Le tenseur C = (C ijkl) est appel le tenseur dlasticit. Cest unegnralisation tensorielle de la constante de raideur k dunressort.Il possde les symtries suivantes :

C ijkl = C jikl = C ijlk .

Dans le cas des matriaux hyper-lastiques (quand la puissanceest une 1-forme ferme), on a la symtrie supplmentaire :

C ijkl = Cklij .

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Classification des matriaux

A chaque matriau, correspond un tenseur dlasticit C maiscette correspondance nest pas univoque. Elle est relative uneorientation particulire du matriau dans lespace (groupe dejauge SO(3)).Du point de vue de llasticit linaire, dcrire tous les matriauxhyper-lastiques homognes, cest dcrire les orbites de lareprsentation de SO(3) sur lespace de dimension 21 :

E(3) := S2(S2(R3)).

Les invariants du tenseurs dlasticit reprsentent descaractristiques mcaniques du matriau, qui gnralisent leconcept de raideur dun ressort .

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Exemple : les tenseurs totalement isotropes

Un tenseur C ayant lisotropie maximale, SO(3), a la forme

C ijkl = qijkl + (qikqjl + qilqjk )

ou plus simplement :

C = (tr )q + 2

o et sont les nombres de Lam et q est la mtriqueeuclidienne de R3.Cette loi isotrope, qui dpend de 2 paramtres est la seuleconnue des ingnieurs .

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Section 2 - Reprsentations de SO(3) et SL(2,C)

1 Quelques notions de mcanique des milieux continus

2 Reprsentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Gomtrie des espaces dorbites dun groupe compact

4 Structure semi-algbrique de lespace des orbites

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Reprsentations irrductibles de SO(3)

SO(3) agit naturellement sur R[x , y , z] et cette action prserve lesous-espace R[x , y , z]n, des polynme homognes de degrn N.Comme le laplacien est invariant par SO(3), le sous-espace Hn deR[x , y , z]n des polynmes harmoniques est invariant.On peut galement reprsenter Hn par lespace des tenseurssymtriques, dordre n, de trace nulle. On parle donc aussi detenseurs harmoniques.On montre que Hn est un sous-espace irrductible et que toutereprsentation irrductible de SO(3) est isomorphe un Hn.

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Dcomposition harmonique de E(3)

La dcomposition harmonique de E(3) scrit :

H4 2H2 2H0

Plus prcisment, un tenseur C E(3) scrit :

Cijkl = qijqkl + (qikqjl + qilqjk )+ qijakl + qklaij+ qikbjl + qjlbik + qilbjk + qjkbil+ Dijkl ,

o a et b sont des formes quadratiques de trace nulle, , desscalaires, D un tenseur dordre 4, totalement symtrique de tracenulle et q la mtrique euclidienne de R3.

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Lien avec les formes binaires

Toute reprsentation de SO(3) stend en une reprsentation deSU(2).Toute reprsentation algbrique relle V de SU(2), stend en unereprsentation complexe de SL(2,C) sur le complexifi C V .Cette correspondance prserve lirrductibilit. En particulier :

CHn ' S2n,

o S2n est lespace des formes binaires dordre 2n.On montre galement la relation suivante entre les algbresdinvariants :

C R[V ]SO(3) ' C[C V ]SL(2,C).

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Les invariants simples du tenseur dlasticit

Les invariants qui ne dpendent que dun seul des lmentsirrductibles , , a, b, ou D sont appels invariants simples., sont des invariants de degr 1.Lalgbre des invariants simples de a est engendre partr(a2), tr(a3), idem pour b.Le calcul des invariants simples de D se ramne au calcul desinvariants de la forme binaire de degr 8 (Shioda, 1967), condition de pouvoir les retranscrire dans ce contexte rel(Boehler-Kirillov-Onat, 1994).

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Les invariants joints du tenseur dlasticit

Une base dintgrit du tenseur dlasticit ne semble toujourspas connu ce jour.Nombreuses tentatives : exemple le polynme de Betten (1987)

BC(, ) = det(C C,),

o C, est le tenseur totalement isotrope.Sur H4, ce polynme napporte rien de plus que le polynmecaractristique

BD(, ) = (3+ 2)rD(2),

o D() = rD().

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Section 3 - Gomtrie des espaces dorbites dungroupe compact

1 Quelques notions de mcanique des milieux continus

2 Reprsentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Gomtrie des espaces dorbites dun groupe compact

4 Structure semi-algbrique de lespace des orbites

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Orbites et classes disotropie

Soit (,G,V ) une reprsentation dun groupe de Lie compact G.

Remarque fondamentale : lalgbre des invariants polynomiauxR[V ]G dun groupe de Lie rel, compact, G, est de type finie etspare les orbites (Stone-Weierstrass).Une classe de conjugaison [H] de G est une classe disotropie si ilexiste v V tel que :

Gv := {g G | g v = v} = H.

Deux vecteurs sont dit dans la mme classe disotropie si leurssous-groupes disotropie sont conjugus dans G.Il existe seulement un nombre fini de classes disotropie.

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Stratification par les classes disotropie

Pour chaque classe disotropie [H], on dfinit la strate :

[H] := {v V | [Gv ] = [H]} .

Sur les classes de conjugaison des sous-groupes ferms dungroupe de Lie compact G, la relation

[H1] [H2] g G | H1 gH2g1

dfinit un ordre partiel, qui induit un ordre partiel (inverse) sur lesstrates [H].

La