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Notes de cours de l'ISIMA, deuxième annéehttp://www.isima.fr/∼leborgne

Mécanique : tenseurs 1ère partie Algèbre linéaire : vecteurs et formes linéaires duales (contravariance etcovariance), formules de changement de bases, tenseurs, contractions...

Gilles Leborgne

13 mai 2013

Table des matières

1 Introduction 41.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Espace vectoriel des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Règle de calcul du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Utilisation du mot canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Dans l'espace Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Dans un espace de dimension n, exemple P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Isomorphisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Utilisation du mot intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Sur les vecteurs et leur représentation dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Sur les produits scalaires et leur utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4 * Relativité restreinte et produit euclidien de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.5 * Relativité restreinte et pseudo-produit scalaire de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Applications linéaires 92.1 Applications linéaires et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Bases et caractérisation d'une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Dénition d'une base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Expressions tensorielles d'une application linéaire, et matrices . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.5 Nullité d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.6 Continuité des applications linéaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.7 Norme d'une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.8 Normes matricielles et norme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Composition d'applications linéaires et produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Noyau, image, isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Dual, base duale 183.1 Espace dual E∗ = L(E;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Base duale (ei)i=1,...,n : base des projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Dimensions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Bis : représentation tensorielle dans L(E;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Tenseur élémentaire v ⊗ ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Expression tensorielle d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Application à la diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Bidual E∗∗ 254.1 Remarque : matrices transposée et adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Espace bidual E∗∗ et l'isomorphisme canonique J : E → E∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Base (∂i) du bidual : opérateurs de dérivation dans les directions ei . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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5 Formes bilinéaires 285.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Matrice d'une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Continuité d'une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Dénition d'un produit scalaire, et matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Endomorphisme transposé (relativement à un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Endomorphisme symétrique (relativement à un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Tenseur : première approche : forme multilinéaire 36

7 Formules de changement de base 377.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Représentation des endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Matrice de passage P de changement de base : ej,new =

∑i P

ij ei,old . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Matrice inverse de la matrice de passage : Q = P−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 Pour les composantes des vecteurs : [v]new = P−1.[v]old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 Formules de changement de bases entre bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.7 Pour les composantes des formes linéaires : [ℓ]new = [ℓ]old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.8 Pour les endomorphismes : [L]new = P−1.[L]old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.9 Pour les tenseurs de T 0

2 : [g]new = PT .[g]old.P (les produits scalaires en particulier) . . . . . . . 427.10 Pour les tenseurs de T 2

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.11 Loi d'inertie de Sylvester et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.12 * Pseudo produit scalaire et produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.12.1 * Dénition d'un pseudo produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.2 * Dénition du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.3 * Signature du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.12.4 * Transformation de Lorentz (changement de base) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Vecteur covariant vs. vecteur contravariant 478.1 Dénition de vecteur co- ou contra- variant : géométrie diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . 478.2 Co- et contra- : traditionnellement attaché aux règles de changement de base . . . . . . . . . . 47

9 Vecteur de représentation d'un vecteur covariant 479.1 Théorème de représentation de Riesz et vecteur de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1 Le théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.1.2 Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.1.3 Cas du pseudo-produit scalaire de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2 Le vecteur de représentation est un vecteur (est contravariant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 Exemple : le vecteur gradient est un vecteur de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4 Exemple : une force est un vecteur de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.5 Exemple : la quantité de mouvement est un vecteur de représentation . . . . . . . . . . . . . . 559.6 * Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.6.1 Approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.2 Approche physique mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.3 Application à la méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.7 * Métrique g♯(·, ·) associée dans E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 Tenseur de Kronecker (contraction) et trace 6010.1 Tenseur de contraction (Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2 Trace d'un endomorphisme et invariance de la trace par changement de base . . . . . . . . . . 61

10.2.1 Trace d'un tenseur de T 11 (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.2.2 Trace d'un endomorphisme dans L(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.3 Exemple de l'opérateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4 Exemple des contractions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.5 Contraction de tenseurs de T r

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.6 Double contraction de deux tenseurs de T 1

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11 Tenseur identité et inverse 6511.1 δ tenseur unité (identité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.2 Inverse d'un tenseur(02

): un tenseur

(20

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.3 Notation tij , et notation associée tij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611.4 Cas particulier [gij ] = I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611.5 Puis notation associée tij , et justication [gij ] = [gij ]

−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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12 La transposée d'une application bilinéaire 6712.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.2 Isomorphisme canonique L(E∗, E;R) = L(E,E∗;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.3 Applications aux tenseurs de T 1

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.4 Applications aux tenseurs de T 0

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.5 Applications aux tenseurs de T 2

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs) 6913.1 Application linéaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.1.1 Dénition de l'application linéaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.1.2 Représentation matricielle et tensorielle de l'application linéaire adjointe . . . . . . . . . 69

13.2 Isomorphismes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.1 L'isomorphisme canonique L(E;F ) → L(F ∗;E∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.2 L'isomorphisme canonique L(E,F ;R) ≃ L(E;F ∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.2.3 L'isomorphisme canonique L(E∗, F ;R) ≃ L(F,E∗;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.2.4 Les identications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.3 Diagrammes commutatifs et isomorphismes naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.3.1 Diagramme commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.3.2 Application linéaire naturelle relativement à un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . 74

13.4 Isomorphisme non naturel E ≃ E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.5 L'isomorphisme E ≃ E∗∗ donné par J est naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7713.6 Isomorphisme (non naturel) usuel de représentation entre E∗ et E . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Références bibliographiques 78

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4 1. Introduction

1 Introduction

But : comprendre les calculs intrinsèques en mécanique.Les tenseurs considérés ici sont plus précisément des formes multilinéaires dans un espace vectoriel

de dimension nie. C'est un polycopié d'algèbre linéaire. Le sujet est souvent connu, mais la présen-tation adoptée ici est orientée application à la mécanique et à la physique : sous l'angle formulationintrinsèque.

1.1 Notation

Soit E une espace vectoriel de dimension nie ≥ 1 sur le corps R des réels. Par exemple E = Rn,ou encore E = un sous-espace vectoriel dans Rn, ou encore E = un sous-espace de fonctions dedimension n.

Si on dispose d'une base (ei)i=1,...,n =noté (ei) =noté (e) de E, si x est un vecteur de E, on peut

représenter x à l'aide de ses composantes (xi)i=1,...,n sur la base : il existe n réels uniques xi tels que :

x =

n∑i=1

xieinoté=

x1...xn

|(ei)

. (1.1)

On a ici implicitement déni l'application (qui dépend de la base (ei)) :

F(ei) :

E → M(n, 1)

x 7→ F(e)(x) =

x1...xn

|(ei)

, quand x =

n∑i=1

xiei(1.2)

où M(n, 1) est l'ensemble des matrices n∗1 (soit n lignes et 1 colonne), soit ici l'ensemble des matricescolonnes. Ainsi (1.1) signie :

x =

n∑i=1

xiei 7→

x1...xn

|(ei)

(1.3)

N.B. : on utilisera systématiquement la convention d'Einstein (notations de la covariance et de lacontravariance) : les notations indicielles pour les vecteurs et exponentielles pour les composantes devecteurs. Ainsi (ei)i=1,...,n sera une base de E, et pour x ∈ E, on notera x =

∑ni=1 x

iei, i.e. xi ∈ Rest la i-ème composante du vecteur x dans la base (ei)i=1,...,n.

On peut alors utiliser la convention d'Einstein sur les indices répétés :

n∑i=1

xieinoté= xiei. (1.4)

Donc on peut omettre le signe∑

quand un indice est répété deux fois sous la contrainte : une foisen indice et une fois en exposant comme dans (1.4).

Ainsi l'expression xiei représente une somme (sauf mention contraire), mais l'expression xiei nepeut pas être considérée comme une somme (incohérence des positions des indices pour représenterune somme).

La distinction entre position en indice et position en exposant est fondamentale : c'est ladistinction entre un vecteur et une fonction forme linéaire, voir la suite.

1.2 Espace vectoriel des fonctions

Rappel : soit E et F deux espaces vectoriels et soit deux sous-ensembles U ⊂ E et V ⊂ F . On noteF(U ;V ) l'ensemble des fonctions (ou applications) de U dans V . Cet ensemble est muni de l'additiondes fonctions et de la multiplication par un scalaire : les fonctions f + g et λf sont dénis par,pour tout u ∈ U : (f + g)(u)

déf= f(u) + g(u),

(λf)(u)déf= λ (f(u)).

Et (F(U ;V ),+, .)noté= F(U ;V ) est ainsi un espace vectoriel.

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5 1. Introduction

1.3 Règle de calcul du produit matriciel

Dénition 1.1 Soit p, n,m ∈ N∗.Soit le tableau de réels A = [Ai

j ] i=1,...,mj=1,...,n

, appelé matrice m ∗ n de m lignes et de n colonnes.

Soit le tableau de réels B = [Bkℓ ] k=1,...,n

ℓ=1,...,p, donc matrice n ∗ p de n lignes et de p colonnes.

On dénit le produit A.B dit produit matriciel des deux matrices A et B comme étant la matricem ∗ p (de m lignes et de p colonnes) donnée par :

A.B = [m∑

k=1

AikB

kℓ ] i=1,...,m

ℓ=1,...,p.

(Contraction des indices j et k.)

1.4 Utilisation du mot canonique

1.4.1 Dans l'espace Rn

Dans Rn = R× ...× R (produit cartésien n-fois), le premier vecteur de base canonique est :

E1 = (1, 0, ..., 0) ∈ R× ...× R, E1noté=

10...0

.

De même pour le second vecteur de base canonique E2 = (0, 1, 0, ..., 0) et les suivants jusqu'à En =(0, ..., 0, 1).

L'ensemble (E1, ..., En) formé de ces vecteurs forment alors trivialement une base de Rn appelée la

base canonique. En notation matricielle, on peut également écrire E1 = 1E1 + 0E1 + ... =

10...0

|(E)

,

..., jusqu'à En =

0...01

|(E)

.

N.B : l'utilisation mot canonique signie : on considère1- un espace qui est le produit cartésien d'un corps avec lui-même, ici E = R× ...× R, et2- on utilise uniquement le 0 élément neutre de l'addition, et le 1 élément neutre de la multiplication,

ce dernier n'étant utilisé qu'une seule fois.

1.4.2 Dans un espace de dimension n, exemple P1

Lorsque E est un espace de dimension n qui n'est pas du type précédent, comme par exemple unsous-espace vectoriel de Rn ou un espace de fonctions de dimension nie, on ne peut plus parler demanière évidente de base canonique.

Exemple : approximation d'une fonction f : [0, 1] → R par une fonction fh : [0, 1] → R qui estane par morceaux (ce qui est fait sur l'écran d'un ordinateur pour représenter une fonction, commela fonction sinus, pixel par pixel). On commence par exemple par découper [0, 1] en n intervalleségaux en posant xi = i 1

n pour i = 0, ..., n (on a déni ainsi n+1 points), et on note :

P1 = les fonctions continues sur [0, 1] qui sont anes sur chaque intervalle [xi−1, xi], i = 1, ..., n.

C'est espace n'est pas de type produit cartésien K × ... ×K où K est un corps. Et quand on prendune base, elle n'est donc pas canonique.

P1 est un espace de dimension n+1 dont une base est par exemple donnée par les fonctions (ditesfonctions chapeau) dénies par, pour tout i, j = 0, ..., n :

φi ∈ P1, φi(xj) = δij .

(Voir cours d'éléments nis.) Bien que les φi soient dénis à l'aide de 1 (une fois pour φi(xi) = 1) et de0 (n fois pour φi(xj) = 0 pour j = i), on ne dit pas que (φi)i=0,...,n est une base canonique. D'ailleurs :par exemple φ0 est non nulle sur [x0, x1] : pour tout x ∈]x0, x1[ on a φ0(x) = 0 et φ0(x) = 1.

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6 1. Introduction

On ne peut donc plus ici parler de produit scalaire canonique, même si on utilise souvent leproduit scalaire usuel de L2 :

b0(f, g) =

∫ 1

0

f(x)g(x) dx. (1.5)

Usuel ne veut pas dire canonique.On utilise également souvent le produit scalaire usuel :

b1(f, g) = b0(f, g) + b0(f′, g′) (1.6)

qui donne l'énergie de déformation (voir cours d'éléments nis). Il n'est pas plus canonique que b0(·, ·).

1.4.3 Isomorphisme canonique

On verra l'expression isomorphisme canonique (entre E et E∗∗) : on aura J : E → E∗∗ qui seradéni sans constante (au sens : on n'utilise que la constante = 1 élément neutre de la multiplication),et sans référence à une base particulière ou à un produit scalaire particulier.

Et on verra qu'il n'a aura pas d'isomorphisme canonique (naturel) entre E et E∗. Même s'ilexiste beaucoup d'isomorphimes entre E et E∗, tous demandent l'introduction d'objets comme unebase ou comme un produit scalaire, qui l'un et l'autre dépendent du choix d'un observateur (voirparagraphe suivant et ce qu'est le caractère intrinsèque).

Et on verra que l'espace des formes bilinéaires L(E,E;R) est canoniquement (naturellement)isomorphe à L(E;E∗) espace des applications linéaires de E dans E∗.

Et donc qu'il n'y a pas d'isomorphisme canonique (naturel) entre L(E;E) espace des endomor-phismes sur E et L(E,E;R) espace de formes bilinéaires sur E (on verra que L(E,E;R) ≃ L(E;E∗)).

1.5 Utilisation du mot intrinsèque

1.5.1 Introduction

On utilisera le mot intrinsèque dans le sens suivant :

l'expression considérée est intrinsèque ssi elle est indépendante d'un observateur.

Dans ce cours, cela voudra dire que l'expression considérée sera indépendante d'une base ou d'unproduit scalaire (qui l'un et l'autre dépendent du choix de l'observateur).

Exemple 1.2 La trace d'une application linéaire Rn → Rn est une valeur intrinsèque : sa valeur estindépendante d'un changement de base et sa dénition n'utilise pas de produit scalaire. C'est la notionde contraction d'une forme avec un vecteur, voir plus loin.

Mais il n'existe pas de notion de trace d'une application bilinaire (notion qui ne serait pas indé-pendante d'un observateur).

Exemple 1.3 De même la notion de déterminant à un sens pour les endomorphismes, pas pour lesproduits scalaires. C'est clair avec formules de changement de base notées génériquement

[ei,new] = P.[ei,old]. (1.7)

Pour un endomorphisme L de Rn, on a :

[L]new = P−1.[L]old.P, qui donne det([L]new) = det([L]old), (1.8)

et le déterminant est conservé.Alors que pour une forme bilinéaire sur Rn on a :

[b]new = PT .[b]old.P, qui donne det([b]new) = det([b]old) det(P )2. (1.9)

Le déterminant n'est conservé que si on considère des changements de bases orthonormées : c'esttrès dépendant du choix des bases et impose de plus d'avoir préalablement choisi un produit scalaire(notion d'orthogonalité).

6 13 mai 2013

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7 1. Introduction

1.5.2 Sur les vecteurs et leur représentation dans une base

Un vecteur ei est un élément d'un espace vectoriel. En tant que tel il est intrinsèque, c'est unvecteur, même s'il a été désigné par un observateur.

Par contre son utilisation en tant que vecteur de base pour représenter un autre vecteur (commev =

∑i v

iei qui est une représentation de v sur la base (ei)) mène aux calculs qui eux ne sontpas intrinsèques, cf. les règles de changement de bases, le choix des vecteurs de base dépendant desobservateurs.

1.5.3 Sur les produits scalaires et leur utilisation

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique dénie positive. C'est un objet particulierg ∈ L(E,E;R) de l'ensemble des formes bilinéaires sur E. En tant que tel il est intrinsèque.

Par contre les calculs qui l'utilisent ne sont pas intrinsèques, cf. les règles de changement de bases.

Et le choix d'un produit scalaire, est un choix ( !) qui dépend de l'observateur (même si de nombreuxproduits scalaires sont des choix usuels).

C'est clair dans les espaces de fonctions (de dimension nie ou innie) où on ne dispose pas deproduit scalaire canonique (pas plus que de base canonique, voir plus haut).

C'est également clair dans Rn. En eet le produit scalaire est un outil de mesure (de longueuret d'angle). Il sert à mesurer ce qu'on voit (une mesure dépend d'un observateur pas de l'objetlui-même). Et lorsqu'on s'en sert pour les calculs, on utilise les composantes gij = g(ei, ej) du produitscalaire dans une base. En particulier, on pourra choisir une base qui est orthonormée relativementà ce produit scalaire g(·, ·), c'est à dire une base telle que gij = δij . Mais ce n'est pas toujours lechoix pratique, en particulier pour le calcul sur les surfaces ou variétés ou les bases qui apparaissentnaturellement sont les bases de systèmes de coordonnées, bases qui ne sont pas orthonormées engénéral.

Exemple 1.4 Si on prend une photo d'un cercle sur le sol terrestre à partir d'un avion à la verticale,alors pour mesurer les distances et les angles on prend le produit scalaire euclidien (x, y)R2 =[x]T .[y] =

∑i x

iyi (au moins localement autour de la verticale).Et si on prend une photo de ce même cercle mais à partir d'un avion qui n'est pas à la verticale,

on verra une ellipse et non un cercle sur la photo. Alors pour mesurer les distances (réelles) et lesangles (réels) à partir de la photo (qui donne une représentation du cercle sous forme d'ellipse), onprend le produit scalaire elliptique (x, y)A = (A.x, y)R2 = [x]T .A.[y] =

∑ij x

jAijyi où A est la

matrice symétrique elliptique qui transforme l'ellipse apparaissant sur la photo en le cercle réel surle sol. Voir polycopié de 1ère année de complément à la méthode du gradient conjugué : Directionsconjuguées : orthogonalité sur l'ellipse versus orthogonalité sur le cercle.)

Autrement dit on déforme la photo par l'intermédiaire de ce produit scalaire (pour simuler unephoto qui aurait été prise à la verticale). C'est ce produit scalaire elliptique qui est le mieux adaptédans ce cas.

On se sert également du produit scalaire pour représenter une forme linéaire par un vecteur(théorème de représentation de Riesz). Cette représentation (qui n'est donc pas l'objet lui-même),comme toute représentation, n'est pas intrinsèque (c'est une représentation et non l'objet lui-même).Cela s'exprime (le caractère non intrinsèque) en démontrant qu'il n'y a d'isomorphisme canoniqueentre un espace E et son dual E∗.

Cette représentation d'une forme linéaire par un vecteur (après avoir introduit un produit sca-laire : théorème de représentation de Riesz) est très utilisée dans les calculs, tout comme la représen-tation d'un vecteur dans une base. Mais ces deux représentation ne sont pas intrinsèques.

1.5.4 * Relativité restreinte et produit euclidien de R4

L'espace-temps est ici approximé par l'espace vectoriel R4 = R× R3 = temps × espace.Quand deux observateurs, se déplaçant l'un par rapport à l'autre, mesurent un même vecteur, ils

comparent leurs mesures à l'aide des formules de changement de base données par les transformationsde Lorentz. Ces formules ne sont pas des changements de bases orthonormaux usuel dans R4 : ils nesont ni normés ni orthogonaux au sens du produit scalaire euclidien (·, ·)R4 de R4

Exemple : mouvement le long d'une ligne : en espace, tout se passe dans la direction des x, ettout est conservé en y et z. On se contente donc de travailler dans R× R = temps × espace.

7 13 mai 2013

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8 1. Introduction

Soit un référentiel K = (O, e0, e1) et un référentiel K ′ = (O′, e0′, e1

′), le référentiel K ′ se déplaçantà la vitesse v = ve1 dans K (déplacement en espace), avec |v| < c où c est la vitesse de la lumière. Onnote :

β =v

cet γ =

1√1− β2

, (1.10)

soit γ = 1√1− v2

c2

, avec donc |β| < 1 et γ > 1 pour v = 0.

On note (t, x) ∈ R×R un vecteur dans K, et (t′, x′) ∈ R×R un vecteur dans K ′. Les formules deLorentz sont : t′ = γt− γ

vx

c2,

x′ = γx− γvt,

soit

(t′

x′

)=M.

(tx

)où M = γ

(1 −v

− vc2 1

)

La matrice M n'est pas symétrique. En général on préfère re-normée la variable de temps et prendrepour vecteurs (x0=ct, x) dans K et (x0′=ct′, x′) dans K ′ (revient à re-normé la vitesse en prenantc = 1). Ainsi : ct′ = γ(ct− v

cx),

x′ = γ(x− v

cct),

(1.11)

, soit : (ct′

x′

)= P−1.

(ctx

)où P−1 = γ

(1 −β−β 1

). (1.12)

La matrice P−1 est maintenant symétrique (et de plus det(P ) = 1 : conservation des volumes del'espace temps). Et donc la matrice de changement de base (passage de la base (e0, e1) à la base est(e0

′, e1′)) :

P = γ

(1 +β+β 1

), (1.13)

soit :

e0′ = γe0 + γβe1 = γ

(1β

)|e, e1

′ = γβe0 + γe1 = γ

(β1

)|e. (1.14)

P est symétrique mais P n'est pas une matrice orthonormale : P−1 = PT .La vérication du fait qu'une matrice n'est pas orthonormale se fait aussi à l'aide de ses vecteurs

colonnes et du produit scalaire euclidien. Ici, Si la base initiale (e0, e1) est la base canonique de R2,base orthonormée relativement au produit scalaire euclidien, alors la nouvelle ne l'est pas quand v = 0.En eet, par exemple (e0

′, e1′)R2 = γ22β = 0 quand v = 0.

Remarque 1.5 Dans R4, toujours pour v = ve1, comme y et z sont inchangés, la transformation selit :

ct′

x′

y′

z′

= P−1.

ctxyz

, P−1 =

γ −γ v

c 0 0−γ v

c γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.15)

1.5.5 * Relativité restreinte et pseudo-produit scalaire de Minkowski

Minkowski garde comme postulat, dans un référentiel donné (relativité restreinte) :

à chaque instant t, l'espace géométrique est l'espace R3 usuel .

Et il introduit un pseudo-produit scalaire η(·, ·) dans lequel la transformation de Lorentz est pseudo-orthonormale, i.e. la matrice de passage P donnée en (1.13) est pseudo-orthonormale : notantX = (x0, x) = (ct, x1, x2, x3) ∈ R × R3, le pseudo-produit de Minkowski est la forme bilinéaire

8 13 mai 2013

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9 2. Applications linéaires

symétrique non dégénérée η(·, ·) donnée par :

η(X, Y ) = x0y0 − (x, y)R3 . (1.16)

La pseudo-norme de Minkowski est :

||X||η =

√η(X, X) =

√(x0)2 − ||x||2R3 (=

√c2t2 − ||x||2R3), (1.17)

où en particulier ||X||η = 0 quand ||x||R3 = c|t|, i.e. quand la particule atteint la vitesse de la lumière.Et ||X||η ∈ R+ (non complexe) car aucune particule ne dépasse la vitesse de la lumière (dans la théoriede la relativité restreinte).

Proposition 1.6 La transformation de Lorentz (1.11) conserve le pseudo-produit scalaire :

η(X, Y ) = η(X ′, Y ′). (1.18)

Donc le changement de base conserve la pseudo-orthonormalité : X ⊥η Y ssi η(X, Y ) = 0 ssiη(X ′, Y ′) = 0 ssi X ′ ⊥η Y

′. Et conserve les pseudo-normes : ||X||η = ||X ′||η.

Preuve. La vérication est immédiate :

(ct′)2 − (x′)2 = γ2((c2t2 + β2x2 − 2vxt− x2 − β2c2t2 + 2vxt)

= γ2((1− β2)c2t2 − (1− β2)x2) = c2t2 − x2.

Et la matrice de changement de base P donnée en (1.13) est bien pseudo-orthonormée, au sens oùpour le pseudo-produit scalaire de Minkowski on a :

η(e0′, e1

′) = γ2(vc − vc ) = 0 (pseudo-orthogonalité temps-espace),

η(e0′, e1

′) = γ2(1− v2

c2 ) = 1 (pseudo-normée en temps), et

η(e0′, e1

′) = γ2(v2

c2 − 1) = −1 (pseudo-normée en espace).

Remarque 1.7 La représentation de Minkowski est une représentation sous forme hyperbolique(x0)2 − x2, soit c2t2 − x2 (physiquement non observable), en complément de la représentation sousforme elliptique précédente (x0)2 + x2, soit c2t2 + x2 adaptée à la mesure de vitesse et d'accélération(observable au sens de la mesure newtonienne).

Une représentation hyperbolique est souvent utilisée pour représenter des lois de conservation, cequi est le cas de la représentation de Minkowski.

2 Applications linéaires

On se donne deux espaces vectoriels E et F de dimension nie respective n et m.

2.1 Applications linéaires et formes linéaires

2.1.1 Dénitions

Dénition 2.1 Une application linéaire L de E dans F est une application L ∈ F(E;F ) telle que :

∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ R, L(u+ λv) = L(u) + λL(v). (2.1)

On note L(E;F ) l'ensemble des applications linéaires de E dans F . Et on note pour tout u ∈ E :

L(u) = L.u, (2.2)

notation du produit puisqu'on a la distributivité d'un produit, cf. (2.1).

Remarque 2.2 La notation L.u résultera également de l'opération de contraction d'une applicationlinéaire et d'un vecteur.

C'est également la notation utilisée pour le produit matriciel, lorsqu'on a représenté l'applicationlinéaire par une matrice et le vecteur par la matrice colonne des coordonnées : ceci n'est possiblequ'après avoir choisi une base dans E et une base dans F (la représentation matricielle n'est pasintrinsèque), contrairement à la notation (2.2) qui est intrinsèque (ne nécessite pas de choisir desbases), voir paragraphe 10.

En cas de doute sur la notation, on reviendra à la notation classique L(u).

9 13 mai 2013

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10 2. Applications linéaires

Ayant L(E;F ) ⊂ F(E;F ), on munit L(E;F ) des opérations + et · induites (somme de fonctionset multiplication externe par les scalaires).

Proposition 2.3 L(E;F ) est un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de F(E;F ).

Preuve. Montrons que c'est un sous-espace vectoriel de (F(E;F ),+, .). Soit f, g ∈ L(E;F ), λ, µ ∈ Ret u, v ∈ E. On a (f+λg)(u+µv) = f(u+µv)+λg(u+µv) par dénition de + dans F(E;F ). Et ayantf et g linéaire on obtient (f+λg)(u+µv) = f(u)+µf(v)+λg(u)+λµg(v) = (f+λg)(u)+µ(f+λg)(v).Donc f + λg est bien linéaire, quels que soient f, g ∈ L(E;F ) et λ ∈ R.

Dénition 2.4 Quand F = R, une application linéaire est appelée une forme linéaire. Donc, uneforme linéaire ℓ est une application linéaire à valeurs scalaires, i.e. un élément de L(E;R). Et on note :

E∗ = L(E;R),

et E∗ est appelé le dual de E.

(Plus généralement, si E est un espace vectoriel construit sur le corps K appelé corps de scalaires,on appelle forme linéaire un élément de L(E;K). En mécanique classique, deux des corps les plusutilisés sont R et C. Ici, pour simplier la présentation, on travaille essentiellement avec le corps Rdes réels.)

2.1.2 Bases et caractérisation d'une application linéaire

On rappelle qu'une base d'un espace vectoriel de dimension n est une famille (ei)i=1,...,n de n vec-teurs e1, ..., en qui est libre (aucun des ei n'est combinaison linéaire des autres) et génératrice (toutvecteur de E est combinaison linéaires des ei).

Soit E et F deux espaces vectoriels, avec E de dimension nie n.

Proposition 2.5 Soit (ei)i=1,...,n une base de E.Une application L ∈ L(E;F ) est entièrement déterminée par la donnée de tous les L(ej) pour tout

j = 1, ..., n.Et si on se donne n vecteurs quelconques fj ∈ F pour j = 1, ..., n, alors il existe une unique

application linéaire L qui vérie L(ej) = fj pour tout j = 1, ..., n.

Preuve. Soit v ∈ E et soit vi ses composantes sur la base (ei) : v =∑n

i=1 viei. Par hypothèse L est

linéaire, donc L(∑n

i=1 viei) =

∑ni=1 v

iL(ei). Donc si on connaît tous les L(ei), on connaît L(v), et cepour tout v ∈ E.

Puis soit n vecteurs fj ∈ F pour j = 1, ..., n. On dénit L : E → F , quand v =∑

i viei, par

L(v) =∑

i vifi. En particulier L(ej) = fj pour tout j = 1, ..., n comme souhaité.

Vérions que L est linéaire : immédiat car v+ λw =∑

i(vi + λwi)ei avec des notations implicites.

Vérions que L est unique : si une deuxième application linéaire M vérie M(ej) = fj pour tout j,alors (M−L)(ej) = 0 pour tout j et comme M−L est linéaire (car L(E;F ) est un espace vectoriel),on obtient (M− L)(v) = 0 pour tout v ∈ E, donc M− L = 0 application nulle, i.e. M = L. Donc ilexiste une seule application linéaire vériant L(ej) = fj pour tout j.

2.1.3 Dénition d'une base duale

La proposition précédente donne en particulier

Corollaire 2.6 Soit E de dimension n. Montrer que toute forme linéaire ℓ ∈ E∗ est donnée par : si(ei) est une base de E, notant ai = ℓ.ei ∈ R pour i = 1, ..., n, on a pour tout x =

∑i x

iei ∈ E :

ℓ.x =n∑

i=1

aixi, (2.3)

et ℓ est parfaitement déterminée par la donnée des images des vecteurs d'une base.

10 13 mai 2013

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11 2. Applications linéaires

Preuve. On applique la proposition précédente ou ici les fj sont des réels notés ai car F = R.(Ou calcul direct : par linéarité ℓ.x = ℓ.(

∑i x

iei) =∑

i xiℓ.ei =

∑i x

iai.)

Dénition 2.7 La base duale (ei)i=1,...,n d'une base (ei)i=1,...,n de E est la famille des formes linéairesei ∈ E∗ dénies par :

ei.ej = δij . (2.4)

Avec la proposition précédente chaque ei existe et est unique : comme :

x =

n∑i=1

xiei ⇒ ei.x = xi, (2.5)

ei est l'opérateur de projection sur la droite Vectei parallèlement aux directions ej pour j = i.

2.1.4 Expressions tensorielles d'une application linéaire, et matrices

Soit (ei)i=1,...,n une base de E et soit (bi)i=1,...,m est une base de F .

Notation. On note Lkℓ ∈ L(E;F ) l'application linéaire dénie par, pour tout j = 1, ..., n :

Lkℓ(ej) = δℓj bk =

0 si j = ℓ,

bk si j = ℓ.(2.6)

Et comme précédemment (applications linéaires), on note :

Lkℓ(v) = Lk

ℓ.v. (2.7)

Ainsi :L11.e1 = b1, L1

1.e2 = 0,..., L11.en = 0,

L21.e1 = 0, L2

1(.e2 = b1, L21.e3 = 0,..., L2

1.en = 0,L12.e1 = b2, L1

2(.e2 = 0, L12.e3 = 0,..., L1

2.en = 0,...

La proposition 2.5 précédente nous dit que chaque Lkℓ existe et est unique.

Et on notera :Lk

ℓ = bk ⊗ eℓ, (2.8)

notation tensorielle justiée par la suite (proposition 3.19) avec l'introduction de la contraction :

(bk ⊗ eℓ).ej = bk (eℓ.ej) = bk δ

ℓj = Lk

ℓ.ej . (2.9)

On introduit dès maintenant cette notation, car elle lève un grand nombre d'ambiguïtés, et aide à lalisibilité des formules à venir.

Proposition 2.8 et dénition de la matrice.L(E;F ) est un espace vectoriel de dimension n∗m dont une base est formée des n∗m applications

linéaires (Lij = bi ⊗ ej) i=1,...,m

j=1,...,n. Et donc tout application linéaire L ∈ L(E;F ) s'exprime sur cette

base : il existe n ∗m réels uniques Lij pour i = 1, ...,m et j = 1, ..., n tels que :

L =m∑i=1

Lij bi ⊗ ej . (2.10)

On a donc, pour tout j = 1, ..., n :

L.ej =m∑i=1

Lij bi =

L1j

...Lmj

|b

(2.11)

Le tableau de réels [Lij ] i=1,...,m

j=1,...,nde m lignes et de n colonnes est appelé la matrice de L relativement

aux base (ej)j=1,...,n et (bi)i=1,...,m :

[Lij ] i=1,...,m

j=1,...,n=

L11 . . . L1

n...

...Lm1 . . . Lm

n

(e),(b)

noté= [L](e),(b) = [L],

la dernière notation étant utilisée quand il n'y a pas d'ambiguïté sur les choix des bases.

11 13 mai 2013

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12 2. Applications linéaires

En particulier la colonne j de cette matrice stocke les composantes de L.ej dans la base (bi)i=1,...,m.En particulier la matrice de l'application linéaire Li

j = bi⊗ej est une matrice où tous les élémentssont nuls sauf l'élément à l'intersection de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1.

Preuve. Montrons que (bi ⊗ ej) i=1,...,mj=1,...,n

est une famille libre de L(E;F ) : soit λij des réels tels que∑i,j λ

ij bi ⊗ ej = 0 (application nulle). Alors pour k xé dans [1, n]N :

∑i,j λ

ij (bi ⊗ ej).ek = 0, soit∑

i,j λij biδ

jk =

∑i λ

ik bi = 0. Et (bi)i=1,...,m étant une base de F , cela implique λik = 0 pour tout i, à

k xé. Ce calcul étant vrai pour tout k, on a λik = 0 pour tout i, k.Montrons que (bi ⊗ ej) i=1,...,m

j=1,...,nest une famille génératrice : soit L ∈ L(E;F ). L étant entièrement

déterminée et uniquement par la donnée des L(ej) pour les j=1, ..., n, il existe des réels Lij ∈ R tels

que L(ej) =∑

i Lij bi. On vérie immédiatement que donc L =

∑ij L

ij bi ⊗ ej .

La linéarité de L donne, quand v =∑

j vj ej :

L(v) =n∑

j=1

vjL(ej) =n∑

j=1

m∑i=1

vjLij bi =

m∑i=1

(n∑

j=1

Lijv

j )bi =

∑n

j=1 L1jv

j

...∑nj=1 L

mj v

j

(b)

,

soit :[L(v)]|(b) = [L](e),(b).[v](e), (2.12)

où on retrouve le produit matriciel usuel.

Exemple 2.9 Si (ei)i=1,...,n est une base de E = Rn, si on prend pour base dans F = R la basecanonique (1) constituée du réel 1, une forme linéaire ℓ ∈ Rn∗ = L(Rn;R) est donc entièrementcaractérisée par la donnée de n réels ℓ(ei) =noté ℓi. Et on a immédiatement, par linéarité, pour toutx =

∑i x

iei :

ℓ.x = ℓ1x1 + . . .+ ℓnx

n =n∑

i=1

ℓixi = ( ℓ1 . . . ℓn ) .

x1...xn

= [ℓ].[x]. (2.13)

C'est la représentation usuelle d'une forme linéaire. Donc la matrice représentant une forme linéaire ℓest une matrice ligne, ici la matrice ligne :

[ℓ] = ( ℓ1 . . . ℓn ) , (2.14)

et ℓ(x) = [ℓ].[x] est donné par le calcul matriciel usuel. Et avec (1) la base canonique de R on a :

ℓ =∑

L1j1⊗ ej

noté=

∑ℓje

j = ( ℓ1 ... ℓn ) (une seule ligne).

N.B. : dans (2.13), la notation ℓ.x est intrinsèque : c'est = ℓ(x). Alors que la notation [ℓ].[x] n'est pasdu tout intrinsèque : les tableaux de réels [ℓ] (matrice ligne) et [x] (matrice colonne) dépendent desbases choisies.

Exercice 2.10 Soit V un hyperplan vectoriel dans Rn, muni de son produit scalaire euclidien, dontun vecteur normal unitaire est noté n : donc V = Vectn⊥ et V ⊥ = Vectn.

Soit n la forme linéaire dénie sur Rn par n(v) = (n, v)Rn où (·, ·)Rn est le produit scalairecanonique de Rn.

Montrer que n ⊗ n est l'application linéaire de projection orthogonale sur V ⊥ = Vectn = ladroite vectorielle engendrée par n.

Montrer que l'application linéaire de projection orthogonale sur V est L = I − n ⊗ n où I estl'identité.

Réponse. Soit v ∈ Rn. On a n⊗ n.v = n (n.v) = (n, v)Rn n : c'est bien le projeté de v le long de n.

Notons v⊥ = (n, v)Rn n. On a (v − v⊥, n)Rn = (v, n)Rn − (v⊥, n)Rn = 0, et donc v0 = v − v⊥ ∈ V , avec

v0 = (I − n⊗ n).v et (v0, n)Rn = 0. Donc I − n⊗ n est bien l'application linéaire de projection orthogonale

sur V .

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13 2. Applications linéaires

2.1.5 Nullité d'un vecteur

Proposition 2.11 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension ≥ 1. Soit v ∈ E.Si v = 0 dans E, alors il existe L ∈ L(E;F ) tel que L(v) = 0.Ou bien, de manière équivalente : si pour tout L ∈ L(E;F ) on a L(v) = 0, alors v = 0.

Preuve. Soit (ei)i=1,...,n une base de E. Pour v =∑n

i=1 viei ∈ E. Supposant v = 0, il existe au moins

un des vi qui est non nul. Quitte à renuméroter la base, supposons v1 = 0. Donc (v, e2, ..., en) estune base de E ; en eet, e1 = 1

v1 (v −∑n

i=2 viei) s'exprime en fonction de (v, e2, ..., en), et donc tout

vecteur de E s'exprime en fonction de (v, e2, ..., en).Soit alors w ∈ F , avec w = 0, et soit L l'application linéaire L : E → F dénie par L(v) = w et

L(ei) = 0 pour tout i = 2, ..., n. Une telle application linéaire existe d'après la proposition 2.8. Cetteapplication est non nulle car w = 0. Donc si v = 0 alors il existe bien une L ∈ L(E;F ) telle queL(v) = 0.

Comme [A⇒ B] est équivalent à [non(B) ⇒ non(A)], on a l'équivalence annoncée.

2.1.6 Continuité des applications linéaires en dimension nie

On suppose qu'on dispose de normes ||.||E et ||.||F sur E et F .

Proposition 2.12 Une application linéaire L ∈ L(E;F ) est continue sur E ssi elle est continue en 0,ou encore ssi elle est bornée sur la boule unité, ou encore ssi elle est bornée sur la sphère unité.

Autrement dit : L est continue sur E ssi :

∃c > 0, ∀v ∈ E, ||L.v||F ≤ c ||v||E , (2.15)

soit image bornée par antécédent, à la constante c près.

Preuve. 1- Supposons L continue. Alors en particulier elle est continue en 0. Réciproquement, sup-posons L continue en 0. Montrons qu'elle est continue en x quelconque dans E. Pour tout h ∈ E, on a||L(x+ h)−L(x)||F = ||L(h)||F (par linéarité de L) qui par hypothèse tend vers 0 dès que ||h||E → 0,donc L est bien continue en x.

Et comme L(x) = ||x||E L( x||x||E ) (linéarité), l'équivalence continue en 0 et borné sur la boule

unité est immédiate. D'où (2.15).

Proposition 2.13 Si E est de dimension nie, alors toute application linéaire L ∈ L(E;F ) estcontinue.

Preuve. Soit v =∑n

i=1 viei ∈ E. On a ||L(v)||F ≤ ( sup

i=1,...,n|vi|)(

n∑i=1

||L(ei)||F ), et posant cL =

n supi=1,...,n

||L(ei)||F et ||v||∞ = supi=1,...,n

(|vi|), on obtient ||L(v)||F ≤ cL ||v||∞, ce pour tout v ∈ E.

Comme toutes les normes sont équivalentes dans E (car de dimension nie), on a bien la continuitéde L.

Remarque 2.14 En dimension innie, les applications linéaires n'ont aucune raison d'être continue.Par exemple, avec l'application linéaire de dérivation D : f ∈ C∞([0, π];R) → f ′ ∈ C∞([0, π];R) oùC∞([0, π];R) est muni de la norme ||f ||L∞ = supx∈[0,π] |f(x)|. On prend la suite (fn(x) = sin(nx))qui est une suite bornée par 1 dans C∞([0, π];R). Les images forment la suite (f ′n(x) = n cos(nx)) quivérie ||f ′n||L∞ = n, et cette suite est non bornée dans C∞([0, π];R). Donc D n'est pas bornée sur laboule unité : D n'est pas continue pour la norme ||.||L∞ .

2.1.7 Norme d'une application linéaire

Notons Lc(E;F ) l'ensemble des applications linéaires continues.

Dénition 2.15 Si L ∈ Lc(E;F ) (est continue), la plus petite des constantes c possible dans (2.15)est notée c = ||L|| et dite norme de L.

13 13 mai 2013

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14 2. Applications linéaires

Puisque dans (2.15) on a c ≥ ||L.v||F pour tout ||v||E = 1, on déduit que les constantes c satisfontc ≥ sup||v||E=1 ||L.v||F , d'où :

||L|| = sup||v||E=1

||L.v||F , (2.16)

le sup sur la sphère unité. Soit encore, par linéarité :

||L|| = supv∈E−0

||L.v||F||v||E

= supv∈E−0

||L( v

||v||E)||F . (2.17)

En particulier pour l'endomorphisme identité dans L(E;E), on a immédiatement :

||I|| = 1. (2.18)

Proposition 2.16 ||.|| : L ∈ Lc(E;F ) → ||L|| ∈ R est une norme.

Preuve. Comme ||.||F est une norme, avec (2.16) on a immédiatement : 1- ||L|| = 0 ssi L = 0, 2-||λL|| = |λ| ||L||, 3- ||L+M || ≤ ||L||+ ||M ||.

Exemple 2.17 Pour x =∑n

i=1 xiEi ∈ Rn, on rappelle qu'on note :

||x||1 =n∑

i=1

|xi|. (2.19)

Pour L ∈ L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L||1 = sup||x||1=1

||L.x||1. (2.20)

Utilisant la base canonique de Rn et L =∑n

i,j=1 Lij Ei ⊗ dxj (avec donc Li

j = dxi.(L.Ej)), on a :

||L||1 = maxj=1,...,n

(n∑

i=1

|Lij |), (2.21)

i.e. sur chaque colonne on fait la somme des valeurs absolues, et on prend ensuite le max.

Exercice 2.18 Démontrer (2.21).

Réponse. ||.||1 est une norme sur L(Rn;Rn) : facile.On a |(L.x)i| = |

∑nj=1 L

ijx

j | ≤∑n

j=1 |Lij | |xj | ≤

∑nj=1 |x

j |(∑n

i=1 |Lij |), d'où ||L||1 ≤ maxn

j=1(∑n

i=1 |Lij |)

pour ||x||1 ≤ 1.

Soit le j qui réalise le max. Alors (L.Ej)i = Li

j et ||(L.Ej)||1 =∑n

i=1 |Lij |. Comme ||Ej ||1 = 1, on obtient

||L||1 ≥ maxnj=1(

∑ni=1 |L

ij |). D'où (2.21).

Exemple 2.19 Pour x =∑n

i=1 xiEi ∈ Rn, on rappelle qu'on note :

||x||∞ = supi=1,...,n

|xi|. (2.22)

Pour L ∈ L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L||∞ = sup||x||∞=1

||L.x||∞. (2.23)

Utilisant la base canonique de Rn et L =∑n

i,j=1 Lij Ei ⊗ dxj (avec donc Li

j = dxi.(L.Ej)), on a :

||L||∞ =n

maxi=1

(n∑

j=1

|Lij |), (2.24)

i.e. sur chaque ligne on fait la somme des valeurs absolues, et on prend ensuite le max.

14 13 mai 2013

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15 2. Applications linéaires

Exercice 2.20 Démontrer (2.24).En déduire ||[Li

j ]T ||1 = ||[Li

j ]||∞.

Réponse. ||.||∞ est une norme : facile.On a |(L.x)i| = |

∑nj=1 L

ijx

j | ≤∑n

j=1 |Lij | |xj | ≤

∑nj=1 |L

ij | pour ||x||∞ ≤ 1, d'où ||L||∞ ≤

maxni=1(

∑nj=1 |L

ij |).

Soit le i qui réalise le max. Et soit alors x t.q. xj =Li

j

|Lij |

si Lij = 0, et xj = 0 sinon. Alors on a ||x||∞ = 1

et (L.x)i =∑n

j=1 |Lij |, d'où ||L||∞ ≥ maxn

i=1(∑n

j=1 |Lij |). D'où (2.24).

Exemple 2.21 Pour x =∑n

i=1 xiEi ∈ Rn, on rappelle qu'on note :

||x||2 = (

n∑i=1

|xi|2) 12 . (2.25)

(Norme euclidienne.) Pour L ∈ L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L||2 = sup||x||2=1

||L.x||2. (2.26)

On a, notant A = [L] la matrice de L dans la base canonique :

||L||2 =√ρ(AT .A), (2.27)

où, quand M est une matrice ρ(M) est le rayon spectral de M , soit ρ(M) = max |λ| la plus grande(en module) des valeurs propres (en module car les valeurs propres sont en général complexes). Enparticulier, si A est symétrique réelle, alors ||L||2 = |ρ(A)| la plus grande des valeurs propres.

Exercice 2.22 Démontrer (2.27) dans les cas :1- A matrice symétrique réelle où donc ||L||2 = |ρ(A)|,2- A matrice réelle,3- A matrice complexe.

Réponse. Voir cours diagonalisation....1- Si A est une matrice réelle symétrique, alors A est diagonalisable dans une b.o.n. (relativement au

produit scalaire euclidien de Rn : D = P−1.A.P = diag(λ1, ..., λn), où les λj sont les valeurs propres (réelles)de A, et P−1 = PT . Ici A = [Li

j ] quand L =∑n

i,j=1 Lij Ei ⊗ dxj .

Donc, avec L.x = A.[x] =noté A.x, où [x] est la matrice colonne contenant les composantes de x dansla base canonique, ||L.x||22 = ||A.x||22 = (A.x, A.x)Rn = (P.D.P−1.x, P.D.P−1.x)Rn = (PT .P.D.y,D.y)Rn =(D.y,D.y)Rn où y = P−1.x ∈ Rn et ||y||Rn = ||x||Rn (car P est orthonormale). Donc ||A.x||22 =

∑ni=1 λ

2i (y

i)2 ≤supi |λi|2||y||2Rn , l'égalité ayant lieu pour y vecteur propre associé à la plus grande valeur propre, et on posex = P.y. Cqfd.

2- ||A.x||22 = (A.x, A.x)Rn = (AT .A.x, x)Rn avecAT .Amatrice symétrique réelle. SoitD = P.(AT .A).P−1 =diag(λ1, ..., λn), où les λj sont les valeurs propres (réelles) de A, et P−1 = PT . Comme (AT .A.x, x)Rn =||A.x||22 ≥ 0, les λi sont ≥ 0. On a ||A.x||22 = (PT .D.P.x, x)Rn = (D.P.x, P.x)Rn = (D.y, y)Rn où y = P.x. Onprocède comme en 1-.

3- ||A.x||22 = (A.x, A.x)Cn = (A∗.A.x, x)Cn avec A∗.A matrice hermitienne, donc diagonalisable dans Cavec des valeurs propres réelles : même démarche qu'en 2- avec P−1 = P ∗ (= (P )T ).

Remarque 2.23 ||.||2 est la plus petite des normes matricielles dans le cas d'un endomorphisme Lde E : si ||.|| est une norme matricielle, alors ρ(L) ≤ ||L||.

En eet, si |λ| = ρ(L) (la plus grande valeur propre en valeur absolue) et si v est un vecteur propreassocié alors ρ(L)||v||E = ||λv||E = ||L.v||E ≤ ||L|| ||v||E , et donc ρ(L) ≤ ||L||.

2.1.8 Normes matricielles et norme de Frobenius

Dénition 2.24 Si A = [Aij ] est la matrice d'un endomorphisme L ∈ Lc(E;F ), on appelle norme

matricielle de ||A||, subordonnée aux normes ||.||E et ||.||F , le réel donné par (2.16) :

||A|| = ||L|| = sup||v||E=1

||L.v||F . (2.28)

15 13 mai 2013

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16 2. Applications linéaires

Il est immédiat que si A : Rn × Rn est une matrice carrée n ∗ n, alors si on utilise la normesubordonnée, on a en particulier pour la matrice identité, cf. (2.18) :

||I|| = 1, (2.29)

i.e., la norme subordonnée de l'identité vaut 1.

Il existe un norme non subordonnée qui est très utilisée : la norme de Frobenius (cette normedérive d'un produit scalaire euclidien, est une norme matricielle, et est invariante par changementde base orthonormée, voir plus loin).

Dénition 2.25 Pour A = [Aij ] matrice n ∗ n, la norme de Frobenius (ou norme de Hilbert-Schmidt

en dimension innie) est :

||A||Fdéf= (

n∑i,j=1

|Aij |2)

12 . (2.30)

Autrement dit :||A||F = Tr(AT .A), (2.31)

et ||.||F est la norme qui dérive du produit scalaire sur Mn,n(Rn) :

(A,B)F = Tr(BT .A) =

n∑i,j=1

AijB

ij . (2.32)

On vérie immédiatement que c'est un bien un produit scalaire, produit scalaire qui est appelé produitscalaire euclidien car c'est le produit terme à terme.

Dénition 2.26 Sur Mn,n(R) l'ensemble des matrices n ∗ n réelles, une norme ||.|| : Mn,n(R) → Rest dite matricielle ssi :

1- c'est une norme,2- et si de plus on a :

∀A,B ∈ Mn,n(R), ||A.B|| ≤ ||A|| ||B|| (2.33)

Exercice 2.27 Vérier que ||L||1, ||L||2 et ||L||∞ (qui sont des normes subordonnées) donnent desnormes matricielles.

Réponse. Pour une norme subordonnée, ||A.(B.x)|| ≤ ||A|| ||B.x|| ≤ ||A|| ||B|| ||x||.

Exemple 2.28 Montrer que ||.||F n'est pas une norme subordonnée (pour n ≥ 2).

Réponse. On a ||I||F =√n alors qu'une norme subordonnée ||.||s vérie nécessairement ||I||s = 1, cf. (2.29).

Exemple 2.29 Vérier ||.||F est bien une norme matricielle (norme qui vérie (2.33)).

Réponse. ||A.B||2F =∑

ij((A.B)ij)2 =

∑ij(

∑k A

ikB

kj )

2 ≤∑

ij(∑

k(Aik)

2)(∑

ℓ(Bℓj)

2) par CauchySchwarz

dans Rn (produit scalaire majoré par produit des normes), donc ||A.B||2F ≤ (∑

ik(Aik)

2)(∑

jℓ(Bℓj)

2) =

||A||2F ||B||2F .

Exercice 2.30 Montrer que la norme de Frobenius est invariante par rotation, i.e. invariante parchangement de b.o.n..

Réponse. Soit B = P−1.A.P avec P−1 = PT (matrice de rotation, ou matrice de changement de b.o.n.).

Alors ||B||2F = Tr(BT .B) = Tr((PT .A.P )T .P−1.A.P ) = Tr(PT .AT .P.P−1.A.P ) = Tr(PT .AT .A.P ) =

Tr(AT .A.P.PT ), car Tr(M.N.P ) = Tr(N.P.M) (invariance cyclique de la trace), d'où ||B||2F = Tr(AT .A) =

||A||2F .

Exercice 2.31 Montrer que ||A||2 ≤ ||A||F ≤√n||A||2.

Donner des matrices pour lesquelles l'une des inégalités est atteinte.

Réponse. 1ère inégalité. A.x =∑

i(∑

j Aijx

j)Ei, donne par Pythagore ||A.x||2 =∑

i(∑

j Aijx

j)2 ≤∑i(∑

j(Aij)

2)(∑

j(xj))2 (CauchySchwarz), donc ||A.x||2 ≤ ||A||F ||x||2Rn , donc ||A|| ≤ ||A||F .

Pour A matrice dont seule la première colonne est non nulle, on a ||A||2 = ||A||F . En eet A.x = x1 A.Ei =x1 c1 où c1 est le premier vecteur colonne de A, et donc ||A||2 est atteinte pour x = E1 avec ||A.E1||Rn =||c1||Rn =

√∑i(A

i1)

2.

2ème inégalité. ||A||2F = Tr(AT .A) =∑n

i=1 λi où les λi sont les valeurs propres de AT .A. Et AT .A est unematrice positive, car [x]T .(AT .A).[x] = ||A.x||2Rn . D'où ||A||2F ≤ nmaxi(λi) = n(ρ(AT .A)) = n||A||22.

Pour A = I on a ||A||2 = 1 (c'est une norme subordonnée), et ||A||2F = n = n||A||22.

16 13 mai 2013

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17 2. Applications linéaires

2.2 Composition d'applications linéaires et produit matriciel

Proposition 2.32 Si L ∈ L(E;F ) et M ∈ L(F ;G), avec dimE = n, dimF = m et dimG = p, alorsl'application composée M L ∈ L(E;G) est linéaire.

Et si (ei)1≤i≤n, (bi)1≤i≤m et (ci)1≤i≤p sont des bases de E, F et G, si [M ]|(bi),(ci) =noté [M ] et

[L]|(ei),(bi) =noté [L] sont les matrices deM et L dans ces bases, alors la matrice [ML]|(ei),(ci) =noté [M

L] représentant M L dans ces bases est le produit des matrices :

[M L] = [M ].[L].

Preuve. Linéarité immédiate. Puis on se donne , on calcule [M L]|(e),(c), et le produit matriciel[M ]|(b),(c).[L]|(e),(b) : ils sont bien égaux (exercice).

Calcul direct avec la contraction matricielle : M =∑

ij Mij ci ⊗ bj et L =

∑ij L

ij bi ⊗ ej donnent :

M.L =∑ijkℓ

M ikL

ℓj(ci ⊗ bk).(bℓ ⊗ ej) =

∑ijkℓ

M ikL

ℓj ci ⊗ ej(bk .bℓ) =

∑ijkℓ

M ikL

ℓj ci ⊗ ejδkℓ

=∑ijk

M ikL

kj ci ⊗ ej =

∑ij

([M ].[L])ij ci ⊗ ej .(2.34)

On utilise également la notation de la contraction de tenseurs :

M L noté= M.L, (2.35)

correspondant aussi à la notation du calcul matriciel.Attention cependant, les notations M L et M.L sont intrinsèques (indépendantes de bases), alors

que la notation [M ].[L] n'a de sens qu'après choix de bases puisqu'elle correspond aux matrices dereprésentations d'applications linéaires dans des bases.

2.3 Noyau, image, isomorphisme

2.3.1 Noyau

Dénition 2.33 Une application f : E → F est injective (en anglais : one-to-one) ssi :

si x, y ∈ E vérient x = y, alors f(x) = f(y),

ou de manière équivalente :

si x, y ∈ E vérient f(x) = f(y), alors x = y.

Dénition 2.34 Soit L ∈ L(E;F ) une application linéaire. On appelle noyau de L le sous-ensemblede E :

Ker(L) = L−1(0) (= v ∈ E : L(v) = 0).

(Abréviation du mot allemand der Kern=le noyau.) On note aussi Ker(L) = KerL.

Proposition 2.35 Si L ∈ L(E;F ) alors : L injective ⇔ KerL = 0.Et si L linéaire est injective, alors dimE ≤ dimF .

Preuve. Une application linéaire vérie L(0) = 0 car L(0) = L(0 + 0) = 2L(0) et 2 = 1.Supposons L injective. Soit v ∈ KerL : comme L(v) = 0 = L(0) et L injective, on a v = 0. D'où

KerL ⊂ 0, d'où KerL = 0.Réciproquement, supposonsKerL = 0. Alors si L(v) = L(u), on a L(v−u) = 0, donc v−u ∈ KerL

et donc v − u = 0, i.e. v = u : L est bien injective.Dimensions : soit (ei)i=1,...,n une base de E, et posons bj = L(ej) pour j = 1, ..., n. Supposons L

injective.Si∑n

i=1 αibi = 0, alors∑n

i=1 αiL(ei) = 0 = L(∑n

i=1 αiei) car L est linéaire, donc∑n

i=1 αiei = 0

car L est injective, donc αi = 0 pour tout i car (ei) est une base. Donc (bi)i=1,...,n est une famille librede F .

Donc dimF ≥ n, soit dimF ≥ dimE.

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18 3. Dual, base duale

2.3.2 Image

Dénition 2.36 L'image d'une application f ∈ F(E;F ) est le sous-ensemble de F déni par :

Im(f) =∪v∈E

f(v) = w ∈ F : ∃v ∈ E, w = f(v) noté= f(E),

Dénition 2.37 On dit que f est surjective (en anglais : onto) ssi f(E) = F .

Proposition 2.38 Si L ∈ L(E;F ) (linéaire), alors ImL est un sous-espace vectoriel de F .

Preuve. Immédiat.

Dénition 2.39 Si L ∈ L(E;F ) (linéaire), la dimension dim(ImL) est appelée le rang de L.

Proposition 2.40 Si L ∈ L(E;F ) et si L est surjective alors dimE ≥ dimF .

Preuve. Soit (ei)i=1,...,n une base de E et posons bj = L(ej) pour j = 1, ..., n. Montrons que (bi)i=1,...,n

engendre F quand l'application linéaire L est injective.Soit w ∈ F . L étant surjective, il existe v ∈ E tel que w = L(v). Et v ∈ E donc de la forme

v =∑n

i=1 viei. On obtient w =

∑ni=1 v

iL(ei) =∑n

i=1 vibi. Donc w ∈ F est combinaison linéaire

des bi, et les bi engendrent F . Donc dimF ≤ n, soit dimF ≤ dimE.

2.3.3 Isomorphisme

Dénition 2.41 Une application bijective (en anglais : one-to-one and onto) est une applicationinjective et surjective.

Dénition 2.42 Un isomorphisme Is entre les espaces vectoriels E et F est une application linéaireIs ∈ L(E;F ) qui est bijective :

Is isomorphisme ⇐⇒ Is ∈ L(E;F ) t.q. Is bijective.

On note Li(E;F ) l'ensemble des isomorphismes.

Dénition 2.43 Lorsque F = E, un isomorphisme est également appelé un changement de base (ouun changement d'observateur).

Proposition 2.44 Si E et F sont de dimension nie, et s'il existe un isomorphisme Is ∈ Li(E;F ),alors dimE = dimF (les espaces ont même dimension).

Réciproquement, si E et F sont de dimension nie et si dimE = dimF alors il existe un isomor-phisme Is ∈ Li(E;F ).

Preuve. S'il existe un isomorphisme, alors il est injectif donc dimF ≥ dimE et il est surjectif doncdimF ≤ dimE. Donc dimE = dimF .

Et si dimE = dimF , soient (ei)i=1,...,n une base de E et (bi)i=1,...,n une base de F . Dénissonsl'application linéaire Is : E → F par Is(ei) = bi : c'est bien un isomorphisme. (Un tel isomorphismen'est pas unique : il dépend du choix des bases de E et F .)

3 Dual, base duale

3.1 Espace dual E∗ = L(E;R)Dénition 3.1 L'ensemble des applications linéaires à valeurs réelles L(E;R) =noté E∗ est appelél'espace dual de E. Une application linéaire à valeurs réelles (un élément de E∗) est appelée une formelinéaire.

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19 3. Dual, base duale

Proposition 3.2 On se donne une base (ei)i=1,...,n de E, et un vecteur v ∈ E avec v =∑n

i=1 viei.

Alors une forme linéaire ℓ ∈ E∗ est de la forme :

ℓ.v =n∑

i=1

ℓivi où ℓi = ℓ(ei) ∈ R. (3.1)

Et réciproquement, si ℓ est de cette forme, alors ℓ ∈ E∗.

Preuve. Voir exemple 2.9.

Notation du crochet de dualité. On note également, si ℓ ∈ E∗ et v ∈ E :

ℓ.v = ⟨ℓ, v⟩E∗,E = ⟨ℓ|v⟩, (3.2)

et on omet l'indice E∗,E si le contexte est clair.

3.2 Base duale (ei)i=1,...,n : base des projections parallèles

3.2.1 Dénition

On note E∗ = L(E;R) l'ensemble des formes linéaires sur E.On se donne une base (ei) de E.

Dénition 3.3 La i-ème forme linéaire de projection, relativement à la base (ei), est la forme linéaireei ∈ E∗ dénie sur les vecteurs de base par :

ei(ej) = δij , (3.3)

i.e. :ei(ei) = 1 et ei(ej) = 0 ∀j = i.

ei est également appelé l'opérateur de projection sur Vectei parallèlement aux autres directions ej.

Donc, les ei étant linéaires :

v =

n∑j=1

vj ej ∈ E =⇒ ei(v) =

n∑j=1

vj ei(ej) = vi. (3.4)

Autrement dit, pour connaître la i-ème composante d'un vecteur sur la base (ei), on lui applique lei-ème opérateur de projection ei.

Remarque 3.4 Ce ne sont pas des projections orthogonales. D'ailleurs, orthogonal n'a de sens que sion a préalablement introduit un produit scalaire sur E, ce qui n'est pas le cas ici. Et même si on avaitintroduit un produit scalaire, on aurait dû supposer la base (ei) orthogonale pour que les projections ei

soient orthogonales. Or ici on n'a pas utilisé de produit scalaire et (ei) est une base quelconque.

Dénition 3.5 (Notation). Lorsque (ei)i=1,...,n = (Ei)i=1,...,n est la base canonique de Rn, on noteégalement :

ei = Ei noté= dxi, (3.5)

i.e. on note (dxi)i=1,...,n la base duale de (Ei)i=1,...,n. Donc, quand x =∑n

i=1 xiEi, on a dxi(x) = xi :

dxi est la projection sur VectEi parallèlement aux autres directions de base canonique (dxi.Ej = 0

pour tout j = i, et dxi.Ei = 1).

3.2.2 Propriétés

Proposition 3.6 et dénition. Soit (ei)i=1,...,n une base de E. La famille (ei)i=1,...,n dénie en (3.3)est une base de E∗, appelée base duale de (ei)i=1,...,n. Et on a dim(E∗) = dim(E).

Ainsi toute forme linéaire ℓ ∈ E∗ s'exprime sur cette base (ei)i=1,...,n :

ℓ =n∑

i=1

ℓiei ∈ E∗, où ℓi = ℓ(ei) ∈ R.

Autrement dit, la i-ème composante ℓi de ℓ sur la base duale est obtenue en calculant ℓ(ei).

19 13 mai 2013

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20 3. Dual, base duale

Et alors, pour tout v ∈ E :

ℓ(v) =

n∑i=1

ℓivi = [ℓ].[v],

où [ℓ] = ( ℓ1 ... ℓn ) est la matrice ligne de ℓ relativement à la base (ei), et [x] est la matrice colonneusuelle donnant les composantes de x sur la base (ei).

Preuve. Une application linéaire, ici ℓ, est déterminée par ses valeurs sur les vecteurs de base, iciles ℓ(ej). Notons ℓj = ℓ(ej). Montrons que ℓ =

∑ni=1 ℓie

i. Comme E∗ est un espace vectoriel, lacombinaison linéaire

∑ni=1 ℓie

i est dans E∗. Et :

(n∑

i=1

ℓiei)(ej) =

n∑i=1

ℓiei(ej) =

n∑i=1

ℓiδij = ℓj = ℓ(ej).

Ceci étant vrai pour tout les vecteurs de base ej (pour j = 1, ..., n), on a obtenu ℓ =∑n

i=1 ℓiei.

D'où (ei)i=1,...,n est une famille génératrice de E∗. Et cette famille est libre car si∑

i αiei = 0

alors en particulier pour tout j on a∑

i αiei(ej)=0=

∑i αiδ

ij=αj .

Et (ei)i=1,...,n est donc une base de E∗, d'où dim(E∗) = n.

Corollaire 3.7 Une application linéaire L ∈ L(E;F ) est entièrement déterminée par la donnée desℓ(L(u)) pour tout (u, ℓ) ∈ E × F ∗. En particulier, si (ei) est une base de E et (bi) une base de F debase duale (bi), alors L est entièrement déterminée par la donnée des :

bi(L(ej)) = Lij , (3.6)

avec [Lij ] = [L]e,b la matrice de L relativement aux bases (ei) de E et (bi) de F , i.e. L.ej =

∑i L

ij bi.

Preuve. La dénition des Lij est : L.ej =

∑k L

kj bk pour tout j. D'où, par linéarité des bi, on a

bi(L.ej) =∑

k Lkj (b

i .bk) =∑

k Lkj δ

ik = Li

j .

Exemple 3.8 Dans R2 muni de sa base canonique (E1, E2), la forme linéaire dx1 = E1 ∈ (R2)∗ est

dénie par dx1(E1) = 1, et dx1(E2) = 0. Donc, si v = V 1E1+V2E2 =

(V 1

V 2

), on a dx1(v) = V 1 pour

tout v ∈ R2 : dx1 est projection sur VectE1 parallèlement à E2. Et la matrice représentant dx1 estla matrice ligne ( 1 0 ).

De même, dx2(v) = V 2 : dx2 est projection sur VectE2 parallèlement à E1. Et la matricereprésentant dx2 est la matrice ligne ( 0 1 ).

Exercice 3.9 Dans R2 muni de sa base canonique (E1, E2), on prend e1 = E1 =noté

(10

)et

e2 = E1 + E2 =noté

(11

). Faire un dessin. Montrer que [e1] = dx1 − dx2 =noté ( 1 −1 ) et

[e2] = dx2 =noté ( 0 1 ) (matrices relativement à la base duale canonique).On rappelle qu'un vecteur est représenté par une matrice colonne, et qu'une forme linéaire est

représentée par une matrice ligne, ce qui permet d'utiliser le calcul matriciel [ℓ.x] = [ℓ].[x] d'une lignepar une colonne.

Réponse. Par dénition de la base duale on a e1(e1) = 1 et e1(e2) = 0. Donc si e1 = a dx1 + b dx2, où(dx1, dx2) est la base duale de la base canonique, on a

1 = e1(e1) = a dx1(E1) + b dx2(E1) = a et 0 = e1(e2) = a dx1(E1 + E2) + b dx2(E1 + E2) = a+ b.Donc a = 1 et b = −1 comme annoncé. Si on préfère utilisé le calcul matriciel, on écrit

1 = e1(e1) = ( a b ) .

(10

)= a et 0 = e1(e2) = ( a b ) .

(11

)= a+ b.

Idem pour le calcul de e2.

Voir exercice 3.12, plus loin, pour un calcul systématique.

20 13 mai 2013

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21 3. Dual, base duale

Exercice 3.10 Soit L ∈ L(Rn;Rn) (endomorphisme de Rn).Montrer : si pour tout v ∈ Rn on a L.v est parallèle à v, alors il existe p ∈ R t.q. L = pI où I est

l'identité.

Réponse. Soit L donné par L.ej =∑

i Lij ei pour tout j. Par hypothèse il existe pj ∈ R t.q. L.ej = pj ej ,

d'où :ei.(pj ej) = pjδ

ij .

Et donc, pour i = j :ei.(L.(ei + ej)) = ei.(L.ei) + ei.(L.ej) = ei.(piei + pj ej) = pi + 0 = pi.

Et par hypothèse il existe pi+j ∈ R t.q. L.(ei + ej) = pi+j(ei + ej). Et donc, pour i = j :

ei.(L.(ei + ej)) = ei.(pi+j(ei + ej)) = pi+j(1 + 0) = pi+j ,

Donc pi+j = pi pour tout i, j, donc pi+j = pj+i = pj pour tout i, j, donc pi = pj pour tout i, j.

Exercice 3.11 Soit L ∈ L(E;E) (endomorphisme de E) avec E de dimension ≥ 2.Montrer que si pour tout x ∈ E il existe p(x) ∈ R t.q. L.x = p(x)x, alors p : E → R est une

fonction constante. (C'est trivial si dimE = 1.)

Réponse. Soit x1 et x2 deux vecteurs indépendants, soit V = Vectx1, x2 le sous-espace engendré par x1

et x2, et soit L|V la restriction de L à V . Soit (x1, x2) la base duale de (x1, x2) : on s'est ramené à l'exercice

précédent, d'où p(x1) = p(x1 + x2) = p(x2). D'où p(λx1) = p(x2) pour tout λ = 0 (car λx1 et x2 sont

indépendants). (On peut prendre la valeur qu'on veut pour p(0) : donc p est la fonction constante ailleurs

qu'en 0, donc l'énoncé est un peu abusif, mais dans la pratique la fonction p est intégrable et seule sa valeur

presque partout intervient. Ici la fonction p est bien constante presque partout.)

Exercice 3.12 Soit (ei)i=1,...,n une base de Rn. Montrer qui si P est la matrice n∗n (de passage) quistocke dans ses colonnes les composantes des vecteurs ej dans la base canonique (Ei), alors Q = P−1

stocke dans ses lignes les composantes des formes ei constituant la base duale de (ei). (Cela donnerales formules de changement de base ou de coordonnées.)

En d'autres termes, calculer les composantes des ei dans la base (dxi) (duale de la base canonique)revient à calculer P−1.

Réponse. On a P−1.P = I matrice identité de Rn, égalité matricielle qui s'écrit [ℓiQ].[cPj ] = δij , si [ℓiQ] =

(Qi1 . . . Qi

n ) est la i-ème ligne de Q = P−1, et si [cPj ] =

P 1j

...Pnj

est la j-ème colonne de P .

C'est le résultat annoncé : ei.ej = δij une fois posé ei =∑

j Qijdx

j , sachant ej =∑

i Pij Ei.

(Noter la cohérence des positions respectives des indices et exposants dans les sommes.)

3.3 Dimensions en physique

Une question permanente en physique est : quelle est la longueur de ... ? Quelle est la températurede ... ?

Pour y répondre, il faut préciser l'unité de mesure : en mètre, en pied ? En degré Celsius, en degrésFahrenheit ?

Et il faut préciser l'appareil de mesure : ici un objet à mesurer est un vecteur v et l'appareilde mesure est une forme linéaire ℓ qui à un vecteur v donne une valeur ℓ.v. Autrement dit E∗ estl'ensemble des appareils de mesures qui sont linéaires.

Modélisation :1- On se donne donc un objet de référence, objet auquel on donne la valeur 1 (par exemple le

mètre étalon ou le pied anglais). L'objet de référence est représenté par un vecteur e.

2- Donner une valeur d'un autre objet (valeur relative à l'objet de référence), c'est créer unefonction ℓ qui à un objet donné lui donne la valeur ℓ(objet).

L'autre objet est représenté par un vecteur v, et la valeur est donnée par ℓ(v).

3- On suppose qu'on souhaite donnée des valeurs proportionnelles : on impose donc que ℓ soitlinéaire. Si l'espace des objets à mesurer est modélisé par un espace vectoriel E, on impose doncℓ ∈ E∗.

4- Dans cet espace vectoriel, si v = λe, on aura ℓ(v) = λ ℓ(e) = λ où λ est en unité e.

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22 3. Dual, base duale

Exemple 3.13 En 1-D. Mesurer la taille d'un être humain, représentée par la hauteur sous la toise.On prend un objet de référence (par exemple le mètre étalon ou le pied romain), et on l'appelle e.On crée la fonction linéaire ℓ : R → R telle que ℓ(e) = 1 (une forme linéaire est déterminée dès

qu'on connaît ses valeurs sur une base, et ici on est en dimension 1).Cela permet de créer une graduation de la toise en multiple de e.La hauteur sous la toise d'un vecteur v est la valeur ℓ(v) donnant la taille (en mètres, en pieds...).Exemple : notons em et ep les vecteurs représentant respectivement le mètre et le pied. On leur

associe ℓm et ℓp les formes linéaires dénies par ℓm(em) = 1 et ℓp(ep) = 1. Si on veut la taille de ven mètre on calcule ℓm(v), et si on la veut en pieds on calcule ℓp(v).

Et bien sûr faire ℓm(ep) donne la taille du pied en mètres (par exemple pour le pied anglaisℓm(ep) = 0.3048m valeurs en mètres, i.e. relative à la base de référence em.

Exemple 3.14 En 3-D. En aviation, les distances horizontales sont données en mile nautique (unmile nautique 1NM = 1852m où NM = Nautical Mile) et les distances verticales sont données enpied anglais (un pied anglais 1 ft = 0.3048m où ft = foot).

Une tour de contrôle qui demande au pilote sa position reçoit les informations d NM et h ft.On suppose qu'on est dans un petit aéroport uniquement concerné par deux couloirs aériens, disonspour xer les idées, un au nord et l'autre au nord-ouest.

Modélisation : on se donne un objet (ici virtuel) de longueur 1 NM qui est notre longueur deréférence dans le plan horizontal, et un objet de longueur 1 ft qui est notre hauteur de référence.

On se donne deux vecteurs horizontaux indépendants de longueur 1 NM, soit e1 (vers le nord) ete2 (vers le nord-est), et on se donne un vecteur e3 (vertical) de longueur 1 pied. On dispose de notrebase de R3 adapté à notre aéroport.

Puis on dénit les trois fonctions linéaires qui forment la base duale (e1, e2, e3) dénie par pourtout i, j :

ei(ej) = δij .

Ainsi, si x =∑

i xiei est la position de l'avion (donc dans le repère (O, (e1, e2, e3)) de l'aéroport),

l'altitude en pieds sera donnée :

e3(x) = x3 ft, altitude en pieds.

Et par exemple si l'avion vient du nord, sa distance à l'aéroport sera donnée par :

l'avion arrive du nord :

e1(x) = x1 NM, distance en miles entre l'avion et l'aéroport,

e2(x) = 0 car l'avion qui vient du nord.

Et si l'avion vient du nord-ouest est on a e1(x) = 0 et e2(x) = x2 NM est la distance entre l'avion etl'aéroport.

Remarque 3.15 On n'a pas besoin de produit scalaire pour dénir les dimensions. Un produit scalaireest une forme deux-linéaire et sert à comparer deux vecteurs (d'où la notion d'angle entre deuxvecteurs). Une forme linéaire est une forme un-linéaire, qui agit sur un seul vecteur, et sert à donnerune dimension (ici une hauteur ou une distance d'éloignement).

D'ailleurs un produit scalaire étant une forme bilinéaire, un produit scalaire g(·, ·) est entièrementdéterminé par ses valeurs sur une base, soit ici par les g(ei, ej) =noté gij . Soit g =

∑ij gije

i ⊗ ej . Etl'utilisation explicite des ei indique qu'eectivement on peut aussi se servir d'un produit scalaire pourobtenir les dimensions. C'est juste utiliser les ei sans le savoir.

3.4 Bis : représentation tensorielle dans L(E;F )

La représentation tensorielle permet de lever toute ambiguïté sur la représentation matricielle desapplications linéaires : elle écrit explicitement les bases de représentation et indique les lignes et lescolonnes.

3.4.1 Tenseur élémentaire v ⊗ ℓ

Dénition 3.16 Soit ℓ ∈ E∗ une forme linéaire sur E et soit v ∈ F un vecteur de F . On appelleproduit tensoriel de v et ℓ l'application linéaire de v ⊗ ℓ ∈ L(E;F ) dénie par :

v ⊗ ℓ :

E −→ F

u 7−→ (v ⊗ ℓ)(u) = v(ℓ.u) = ℓ(u) v.(3.7)

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23 3. Dual, base duale

Remarque 3.17 Une autre dénition de v⊗ ℓ est la dénition tensorielle usuelle : c'est l'applicationbilinéaire ∈ L(F ∗, E;R) donnée par (v⊗ ℓ)(m, u) = (m.v) (ℓ.u) pour tout (m, u) ∈ F ∗ ×E ; et comme(m.v).(ℓ.u) = m.((ℓ.u) v) on retrouve (3.7).

On aura d'ailleurs l'isomorphisme canonique L(F ∗, E;R) ≃ L(E;F ).

Proposition 3.18 v ⊗ ℓ : E → F dénie en (3.7) est une application linéaire d'image Vectv (doncde rang 1).

Et si (ei) est une base de E de base duale (ei), si bi est une base de F , si v =∑

i vibi et si

ℓ =∑

i ℓiei, alors :

[v ⊗ ℓ]|e,b = [viℓj ] i=1,...,nj=1,...,m

(3.8)

est la matrice de l'application linéaire v ⊗ ℓ dans les bases choisies (matrice dégénérée puisquerang(Im(v ⊗ ℓ)) = 1.

Preuve. La linéarité est immédiate (car ℓ est linéaire), et v⊗ℓ est bien à valeur dans Vectv, cf. (3.7).Et la matrice [Li

j ] de v ⊗ ℓ relativement aux bases choisies est dénie par (v ⊗ ℓ).ej =∑

i Lij bi, avec

(v ⊗ ℓ).ej = (ℓ.ej)v = ℓj v =∑

i ℓjvibi. On a bien Li

j = vibj .

3.4.2 Expression tensorielle d'un endomorphisme

Proposition 3.19 Et si (ei) est une base de E de base duale (ei), si bi est une base de F , alors(bi ⊗ ej) i=1,...,n

j=1,...,mest une base de L(E;F ) : on a bi ⊗ ej = Li

j où Lij a été déni en (2.6).

Cela justie la notation (2.8), puis l'écriture de la formule (2.10).

Preuve. (bi ⊗ ej).ek = (ej .ek )bi = δjk bi = Lij .ek pour tout k, donc bi ⊗ ej = Li

j .

En particulier l'utilisation du produit tensoriel et de la contraction rendent les calcul non ambigus.Exemple : avec (2.10), à savoir :

L =m∑i=1

n∑j=1

Lij bi ⊗ ej ,

on obtient quand u =∑

k ukek :

L.u =

m∑i=1

n∑j=1

Lij bi ⊗ ej .(

n∑k=1

ukek) =

m∑i=1

n∑j,k=1

Liju

k biδjk =

m∑i=1

n∑j=1

Liju

j bi = [L].[u].

En particulier on retrouve L.ej =∑m

i=1 Lij bi et :

bk.(L.ej) = bk(m∑i=1

Lij bi) = Lk

j .

Exemple 3.20 Soit L ∈ L(Rn;Rn) l'endomorphisme déni par :

L =m∑i=1

n∑j=1

P ij Ei ⊗ dxj .

Alors P = [P ij ] est la matrice de passage de la base canonique (Ei) à la base (ei) dénie par :

ej = L(Ej) =m∑i=1

P ij Ei.

Autrement dit, (P ij )i=1,...,n (la j-ème colonne de P ) donne les composantes de ej dans la base (Ei).

En eet ej = L.Ej =∑m

i=1

∑nk=1 P

ikEi(dx

k.Ej) =∑m

i=1

∑nk=1 P

ikEiδ

kj =

∑i P

ij Ei.

Exemple 3.21 L'écriture tensoriel justie le calcul fait en (2.34).

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24 3. Dual, base duale

3.5 Application à la diérentielle

3.5.1 Dénitions

Soient E et F deux espaces vectoriels normés de dimension nie, et soit Ω un ouvert de E. Soitf : Ω → F une application à valeurs vectorielles.

Dénition 3.22 On dit que f est diérentiable en un point x ∈ Ω ssi f admet un développementlimité à l'ordre 1 au voisinage de x ∈ E, i.e. ssi il existe une application linéaire Lx ∈ L(E;F ) telleque, pour tout v ∈ Rn :

f(x+ hv) = f(x) + hLx(v) + o(h) ∈ F, (3.9)

pour h dans un voisinage de 0.Et si f est diérentiable en x, alors Lx =noté df(x) ∈ L(E;F ) est appelée la diérentielle de f

en x, ou encore l'application linéaire tangente à f en x.

Dénition 3.23 Si pour tout x ∈ Ω l'application linéaire df(x) existe, alors

df :

Ω → L(E;F )

x 7→ df(x)(3.10)

est appelée la diérentielle de f .Si de plus df est continue sur Ω, on dit que f est C1(Ω;F ).

Dénition 3.24 Si f diérentiable en x, alors pour v ∈ E :

df(x)(v)noté= df(x).v = lim

h→0

f(x+ hv)− f(x)

h∈ F

est appelé la dérivée directionnelle de f en x dans la direction v.Si de plus E = Rn et (ei) = (Ei) est la base canonique de Rn, alors :

df(x).Einoté=

∂f

∂xi(x) ∈ F

est appelé la i-ème dérivée partielle de f .

3.5.2 Jacobienne

Si (ei)i=1,...,n est une base donnée dans E de base duale (ei)i=1,...,n, et si (bi)1≤i≤m est une basede F , alors L = df(x), étant linéaire, est de la forme :

df(x) =∑i,j

Lij(x)bi ⊗ ej où Li

j(x) = bi(df(x).ej). (3.11)

Dénition 3.25 La matrice :

[df(x)] = [bi.(df(x).ej)] (= [Lij(x)]) (3.12)

est appelée la matrice jacobienne de f en x relativement aux bases choisies.

En particulier on a :

df(x).ej =∑i

Lij(x)bi, et [df(x)(ej)] =

L1j (x)...

Lmj (x)

|(b)

, (3.13)

et les composantes du vecteur df(x).ej sont stockées dans la j-ème colonne de [L(x)] = [df(x)] matricejacobienne dans les bases choisies.

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25 4. Bidual E∗∗

Puis notons f =∑

i fibi =

f1

...fm

|b

, i.e. on note f i(x) les composantes du vecteur image f(x) ∈ F

dans la base (bi). Alors (3.9) s'écrit comme un système de m équations :f1(x+ hv) = f1(x) + h ℓ1x.v + o(h),

...

fm(x+ hv) = fm(x) + h ℓmx .v + o(h),

(3.14)

où les ℓix = df i(x) ∈ E∗ (formes linéaires) sont les composantes de Lx = df(x) :

[df(x)] =

[df1(x)]...

[dfm(x)]

=

L11(x) · · · L1

n(x)...

...Lm1 (x) · · · Lm

n (x)

, (3.15)

matrice dont les lignes sont les matrices lignes [ℓix] = [Li1(x) · · · Li

n(x)].

Remarque 3.26 Donc, après s'être donné une base dans F , dire que f est diérentiable en x, c'estdire que toutes les f i : Ω → R sont diérentiables en x, i.e. que les graphes de toutes les f i admettentun plan tangent en x.

Et en particulier, si E = Rn et si (ei) = (Ei) est sa base canonique, alors on a :

df(x).Ej =∂f

∂xj(x) =

∑i,j

∂f i

∂xj(x)bi, et [

∂f

∂xj(x)] =

∂f1

∂xj

...∂fm

∂xj

|(b)

(3.16)

(j-ème colonne), et :

df i(x) =∑j

∂f i

∂xj(x)dxj , [df i(x)] =

(∂fi

∂x1 (x) ... ∂fi

∂xn (x))|(dx) (3.17)

(i-ème ligne), et :

[df(x)] = [∂f i

∂xj(x)]|(E),(b) (3.18)

est la matrice jacobienne de f en x relativement à la base canonique de Rn (ensemble de départ) et àune base (bi) de F (espace d'arrivée).

4 Bidual E∗∗

4.1 Remarque : matrices transposée et adjointe

Soit L : E → F une application linéaire. Pour dénir l'application transposée, on a besoin d'intro-duire deux produits scalaires, qui seront notés (·, ·)E dans E et (·, ·)F dans F , ce qui rend les calculsnon intrinsèques. On rappelle que la transposée LT : F → E est dénie par, pour tout u, v ∈ E × F :

(LT v, u)Edéf= (v, Lu)F . (4.1)

Et dans le cas (F, (·, ·)F ) = (E, (·, ·)E) (cas L endomorphisme de E), L est dit symétrique ssi LT = L,i.e. ssi (Lv, u)E =déf (v, Lu)E .

En particulier le caractère non intrinsèque de la dénition du transposée se manifeste comme (voirplus loin paragraphes 5.5 et 5.6) :

1- dans des bases données, la matrice [LT ] de LT dépend du choix des produits scalaires, et direque L est symétrique dépend du choix du produit scalaire (L peut être symétrique relativement à unproduit scalaire et non symétrique relativement à un autre).

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26 4. Bidual E∗∗

2- À produits scalaire xés, après choix de bases, la matrice [LT ] de LT dépend à la fois de [L] etde [(·, ·)E ] et de [(·, ·)F ]. Et si L est symétrique (relativement aux produits scalaires xés), la matrice[LT ] est en général diérente de la matrice transposée [L]T ].

Pour avoir une notion intrinsèque, donc sans faire appel à un produit scalaire, on dénira l'appli-cation linéaire adjointe L∗ : ℓ ∈ F ∗ → L∗.ℓ ∈ E∗, pour tout (ℓ, u) ∈ F ∗ × E :

⟨L∗.ℓ, u⟩E∗,Edéf= ⟨ℓ, L.u⟩F∗,F , (4.2)

où on a utilisé les crochets de dualité (à comparer à (4.1)), i.e. :

(L∗.ℓ).udéf= ℓ.(L.u)). (4.3)

La confusion entre l'application adjointe et l'application transposée vient de l'usage courant duproduit scalaire canonique dans le cas E = F = Rn qui fait qu'on utilise sans le voir le théorème dereprésentation de Riesz d'une forme linéaire par un vecteur (représentation non intrinsèque puisqu'ellen'a de sens qui si on dispose d'un produit scalaire).

Mais dans un espace de dimension n il n'y a pas nécessairement de produit scalaire canonique(exemple des espaces de fonctions) ; et même s'il existe un produit scalaire canonique, ce n'est pasnécessairement le plus simple à utiliser relativement au problème considéré (par exemple on étudiedes ellipses et non des cercles).

Il n'y a pas d'isomorphisme naturel entre E et E∗ (voir plus loin) et on ne pourra pas identiernaturellement LT et L∗ : pour une telle identication il faut introduire un outil supplémentaire commeun produit scalaire ou une base (non intrinsèques).

Ainsi pour rester dans un cadre intrinsèque on va s'intéresser au bidual. Dans un cadre plus général,les vecteurs sont des éléments u d'un espace vectoriel, et les éléments du bidual seront des dérivéesdirectionnelles ∂u dans la direction d'un vecteur (∂uf = df.u = ∂f

∂u ), et on aura ainsi un isomorphismenaturel u→ ∂u entre E et E∗∗ (voir plus loin).

4.2 Espace bidual E∗∗ et l'isomorphisme canonique J : E → E∗∗

Pour E e.v., le dual E∗ = L(E;R) est un e.v. ; et donc (E∗)∗ = L(E∗;R) est un e.v. (dual de E∗).On pose :

E∗∗ déf= (E∗)∗ = L(E∗;R). (4.4)

On va voir que E∗∗ est l'ensemble des dérivées directionnelles.

Proposition 4.1 La fonction J ∈ F(E;E∗∗) dénie par :

J :

E → E∗∗,

v 7→ J (v),telle que J (v)(ℓ) = ℓ(v), ∀ℓ ∈ E∗, ∀v ∈ E, (4.5)

est un isomorphisme, appelé l'isomorphisme canonique de E dans E∗∗. Cet isomorphisme est in-trinsèque, i.e. sa dénition ne dépend pas du choix d'une base ou du choix d'un produit scalaire (nedépend pas de l'observateur).

Cet isomorphisme canonique J permet l'identication de v ∈ E et de J (v) ∈ E∗∗, et on peut ainsinoter :

J (v).ℓnoté= v.ℓ

déf= ℓ.v. (4.6)

(J (v) =noté v est la dérivation de ℓ dans la direction v, voir la suite.)

Preuve. La linéarité est immédiate, et comme dim(E∗∗) = dim(E∗) (= dim(E)), il sut de démontrerl'injectivité pour avoir la bijectivité. Soit donc v ∈ E t.q. J (v) = 0, i.e. t.q. ℓ(v) = 0 pour tout ℓ ∈ E∗.Alors la proposition 2.11 implique v = 0. Cqfd.

Remarque 4.2 Cet isomorphisme canonique permet l'identication champs de vecteurs et champsde dérivations, voir polycopié suivant Mécanique : tenseurs 2ème partie....

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27 4. Bidual E∗∗

4.3 Base (∂i) du bidual : opérateurs de dérivation dans les directions ei

Soit (ej)j=1,...,n une base de E et soit (ei)i=1,...,n sa base duale (base de E∗).

Dénition 4.3 Soit (∂j)j=1,...,n ∈ E∗∗ la base duale de (ei)i=1,...,n. Elle est dénie par, pour touti, j = 1, ..., n :

∂j .ei = δij (donc = ei.ej). (4.7)

et est appelée base biduale de la base (ei)j=1,...,n.

Proposition 4.4 Les ∂j forment une base de E∗∗ et vérient, pour tout j = 1, ..., n :

∂j = J (ej) ∈ E∗∗, (4.8)

où J est l'isomorphisme canonique (4.5). Ainsi on peut identier ∂j et ej : on note ∂j = J (ej) = ej .

Preuve. On a dim(E∗)∗ = dimE∗ = dimE = n, donc il sut de montrer que (∂j) est une famillelibre. Supposons

∑j αjδj = 0. Alors

∑j αjδj .e

i = 0 =∑

j αjδij = αi, pour tout i : la famille libre

contenant n éléments, c'est une base.A j xé qcq, ∂j(ei) = δij = ei(ej) = J (ej)(e

i) pour tout i=1, ..., n, d'où ∂j = J (ej).

D'où l'interprétation :

Proposition 4.5 Soit x ∈ E donné. ∂j ∈ E∗∗ = L(E∗;R) est l'opérateur de dérivation en x dans ladirection ej :

∀ℓ ∈ E∗, ∂j .ℓ = dℓ(x).ej . (4.9)

Comme ej peut être identié à ∂j = J (ej), le vecteur ej peut également être considéré commel'opérateur de dérivation au point x dans la direction ej .

En particulier, si E = Rn et (ej) = (Ej) est la base canonique, alors ∂j .ℓ = ∂ℓ∂xj (x) pour tout

ℓ ∈ E∗, i.e. ∂j ∈ L(E∗;R) vérie :

∂j =∂

∂xj(x), (4.10)

i.e. ( ∂∂xj (x))j=1,...,n est la base biduale dans (Rn)∗∗ de (Ej)j=1,...,n la base canonique de Rn. Et le

vecteur Ej peut également être considéré comme l'opérateur ∂∂xj (x) de dérivation au point x dans la

direction Ej .

Preuve. N.B. : comme ℓ est linéaire, dℓ(x) = ℓ : c'est une forme linéaire indépendante de x. Eneet le développement limité au premier ordre est ℓ(y) − ℓ(x) = dℓ(x).(y − x) + o(x − y) pour toutx, y ∈ E, et la linéarité donne ℓ(y)− ℓ(x) = ℓ(y− x). Et dans (4.9) on utilise dℓ(x) et non ℓ pour avoirl'interprétation (4.10).

D'où pour ℓ =∑

i ℓiei ∈ E∗, et ∂j étant linéaire :

∂j(ℓ) =∑n

i=1 ℓi ∂j(ei) =

∑ni=1 ℓi δ

ij = ℓj = ℓ(ej) = dℓ(x)(ej).

Remarque 4.6 Ainsi, pour x ∈ Ω ⊂ Rn et f ∈ C1(Ω;R), on a df(x) ∈ (Rn)∗, et :

df(x) =∑i

(df(x).Ei) dxi =

∑i

∂f

∂xi(x) dxi. (4.11)

Et par application de ∂j (base biduale de la base canonique) :

∂j(df(x)) =∑i

∂f

∂xi(x)(∂j .dx

i) =∑i

∂f

∂xi(x)δij =

∂f

∂xj(x), (4.12)

on récupère bien la i-ème composante ∂f∂xi (x) de df(x) sur la base (dxi).

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28 5. Formes bilinéaires

5 Formes bilinéaires

5.1 Dénition

Dénition 5.1 Une forme bilinéaire est une application b : E×F → R linéaire par rapport à chaquevariable, i.e. telle que, pour tout u1, u2 ∈ E, v1, v2 ∈ F et λ ∈ R :

b(u1 + λu2, v1) = b(u1, v1) + λb(u2, v1),

b(u1, v1 + λv2) = b(u1, v1) + λb(u1, v2).

Autrement dit, à v xé quelconque, la fonction bv : E → R dénie par bv(u) = b(u, v) est linéaire, i.e.bv ∈ E∗ ; et, à u xé quelconque, la fonction bu : F → R dénie par bu(v) = b(u, v) est linéaire, i.e.bu ∈ F ∗.

On note L(E,F ;R) l'ensemble des formes bilinéaires de E × F dans R. Quand F = E, on noteL(E,E;R) =noté L2(E;R).

Exemple 5.2 Dans la base canonique de R2, notant x =

(x1x2

)et y =

(y1y2

), l'application dénie

par b : (x, y) ∈ R2×R2 → x1y1+x2y2 ∈ R est une forme bilinéaire appelée produit scalaire canoniquede R2.

Exemple 5.3 b : (x, y) ∈ R × R → b(x, y) = xy ∈ R est la forme bilinéaire appelée produit dans R(c'est le produit scalaire dans R).

Ne pas confondre avec la fonction f : (x, y) ∈ R2 → f(x, y) = xy ∈ R qui n'est pas linéaire sur R2.Le graphe de f est une selle de cheval : sur l'axe y=x on a la parabole z=x2, sur l'axe y=−x on ala parabole z=− x2, et sur les axes de coordonnées (x=0 ou bien y=0) on a z=0.

N.B. : toujours avec f , changeons de base dans R2 (espace de dénition de f) : on pose e1 =1√2(E1 + E2) et e2 = 1√

2(−E1 + E2) (base tournée de π

4 ). (Ce changement de base n'a pas de senspour b(·, ·) puisqu'un changement de base dans ce cas est un changement de base dans R et nondans R2). Alors en posant X = xE1 + yE2 = ue1 + ve2, on a x = 1√

2(u− v) et y = 1√

2(u+ v), et donc

z = f(x, y) = 12 (u

2 − v2) = h(u, v). Et le graphe de h dans le système (u, v) est donnée sous formeusuelle représentant une selle.

Et on verra que la formule de changement de base pour b : E×F → R est une formule qui changedeux bases : celle de E et celle de F , qui a priori n'ont rien à voir, E et F étant en général distinctset de dimensions diérentes.

Le changement de base proposé sert donc uniquement à visualiser le graphe de b, en fait le graphede f , sous un autre angle (tourné de π

4 dans le plan horizontal), et dans ce cas b noté f n'est plusconsidéré comme un produit scalaire mais comme une fonction quadratique.

5.2 Matrice d'une forme bilinéaire

Dénition 5.4 Etant donné deux formes linéaires ℓE ∈ E∗ et ℓF ∈ F ∗, la forme bilinéaire ℓE ⊗ ℓF ∈L(E,F ;R) est dénie sur E × F par :

∀(x, y) ∈ E × F, (ℓE ⊗ ℓF )(x, y) = ℓE(x)ℓF (y) ∈ R, (5.1)

produit des deux réels ℓE(x) et ℓF (y).Attention, le produit tensoriel n'est pas commutatif : d'ailleurs en général E = F , et dans ce cas x

et y n'appartiennent pas au même espace, et (ℓE ⊗ ℓF )(x, y) a un sens, et (ℓF ⊗ ℓE)(x, y) n'en a pas.

La bilinéarité annoncée de ℓE ⊗ ℓF est immédiate (linéarité en x car ℓE est linéaire, et linéaritéen y car ℓF est linéaire).

En particulier si (ei)i=1,...,n et (bi)i=1,...,m sont des bases de E de F de base duale (ei)i=1,...,n et(bi)i=1,...,m, alors la forme bilinéaire ei ⊗ bj est celle qui est donnée par :

(ei ⊗ bj)(x, y) = xiyj , (5.2)

quand x =∑n

i=1 xiei et y =

∑mj=1 y

j bj , autrement dit est donnée sur les vecteurs de base par :

(ei ⊗ bj)(ek, bℓ) = δikδjℓ . (5.3)

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29 5. Formes bilinéaires

Proposition 5.5 On se donne une base (ei)i=1,...,n de E et une base (bj)j=1,...,m de F , ainsi que lesbases duales (ei)i=1,...,n deE∗ et (bj)i=1,...,m de F ∗.

L(E,F ;R) est un espace vectoriel de dimension nm, produit des dimensions n=dimE etm=dimF , dont une base est (ei ⊗ bj) i=1,...,n

j=1,...,m. Et toute forme bilinéaire b ∈ L(E,F ;R) s'écrit :

b =∑ij

bijei ⊗ bj , où bij = b(ei, bj), (5.4)

où [b] = [bij ] est la matrice représentant b relativement aux bases choisies.Ainsi une forme bilinéaire b ∈ L(E,F ;R) est entièrement déterminée par la donnée des images

b(ei, bj) ∈ R. Et si on se donne nm réels (bij) i=1,...,nj=1,...,m

, il existe une unique forme bilinéaire b ∈

L(E,F ;R) qui vérie b(ei, bj) = bij pour tout i = 1, ..., n et tout j = 1, ...,m.Et si v =

∑i v

iei et w =∑

i wibi sont représentés par leur matrices colonnes [v] et [w] on a :

b(v, w) =

n∑i=1

m∑j=1

vibijwj = [v]T .[b].[w], (5.5)

Et on a également b(v, w) = [w]T .[b]T .[v], puisque b(v, w) étant un réel est égal à son transposé.

Preuve. L(E,R;R) est stable par sommation et multiplication par un scalaire (immédiat), donc c'estun sous-espace vectoriel de F(E,F ;R).

La famille (ei ⊗ bj) i=1,...,nj=1,...,m

est libre car∑

ij αijei ⊗ bj = 0 implique

∑ij αije

i ⊗ bj(ek, bℓ) = 0,

i.e. que∑

ij αijδikδ

jℓ = 0, i.e. que αkℓ = 0, ce pour tout k, ℓ. Donc L(E,F ;R) est de dimension au

moins nm.Par bilinéarité, il est immédiat que si on connaît les nm réels b(ei, bj), alors on connaît les b(v, w)

pour tout (v, w) ∈ E × F car b(v, w) =∑

ij viwib(ei, bj) quand v =

∑i v

iei et w =∑

j wj bj . Donc

b(·, ·) est entièrement déterminée par ses valeurs sur les vecteurs de base.Et∑

ij viwib(ei, bj) =

∑ij b(ei, bj)e

i⊗ bj(v, w), d'où b(·, ·) =∑

ij bijei⊗ bj , d'où (5.4) et la famille

(ei⊗bj) est génératrice. Comme on a vu qu'elle était libre, c'est donc une base, et dim(L(E, f ;R) = nm.Puis comme (ei ⊗ bj) est une base, pour b donné, si on se donne nm réels bij , alors il existe une

unique forme bilinéaire vériant b(ei, bj) = bij , à savoir b =∑

ij bijei ⊗ bj .

5.3 Continuité d'une forme bilinéaire

Dénition 5.6 Une forme bilinéaire a(·, ·) : E × F → R est dite continue ssi :

∃c > 0, ∀(x, y) ∈ E × F, on a |a(x, y)| ≤ c ||x||E ||y||F . (5.6)

Par bilinéarité de a(·, ·) la propriété (5.6) est équivalente à :

∃c > 0, ∀(x, y) ∈ E × F t.q. ||x||E ≤ 1 et ||y||F ≤ 1, on a |a(x, y)| ≤ c,

∃c > 0, ∀(x, y) ∈ E × F t.q. ||x||E = 1 et ||y||F = 1, on a |a(x, y)| ≤ c,(5.7)

i.e. a(·, ·) bornée sur le carré unité ou bornée sur le bord du carré unité.

Proposition 5.7 En dimension nie, toute forme bilinéaire est continue.Et c'est faux en dimension innie.

Preuve. Dans E, soit une base (vi)i=1,...,m de E. Les normes étant équivalentes (on est en dimensionnie), choisissons la norme ||.||∞ donnée par, quand x =

∑mi=1 xivi :

||x||∞ = supi=1,...,m

|xi|.

C'est bien une norme (1- dénie positive : immédiat ; 2- homogène : immédiat, 3- inégalité triangulaire :immédiat puisque supi=1,...,m |xi + yi| ≤ supi=1,...,m |xi|+ supj=1,...,m |yj |).

Idem dans F : soit une base (wi)i=1,...,n et la norme encore notée ||.||∞.

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30 5. Formes bilinéaires

On a a(x, y) =∑

ij xiAijyj où A = [Aij = a(vi, wj)], et donc :

|a(x, y)| ≤ (supi

|xi|)(supj

|yj |)∑ij

|Aij |,

et la constante c =∑

ij |Aij | dans (5.6) convient.Pour la dimension innie, voir exercice 5.15.

Proposition 5.8 Quelle que soit la dimension (nie ou innie), si a(·, ·) =noté (·, ·)a est un produitscalaire sur E, alors le produit scalaire a(·, ·) est continu relativement à sa norme associée ||.||a (donnéepar ||x||a =

√(x, x)a). On dit qu'un produit scalaire est continu par rapport à lui-même.

Preuve. CauchySchwarz donne |(x, y)a| ≤ ||x||a||y||a pour tout x, y ∈ E : donc c = 1 convientdans (5.6).

Exercice 5.9 Soit a(·, ·) bilinéaire. À x ∈ E xé, on note ax : y ∈ F → ax(y) =déf a(x, y) ∈ R (forme

linéaire : trivial). De même, à y ∈ F xé, on note ay : x ∈ E → ay(x) =déf a(x, y) ∈ R (forme linéaire :

trivial).1-Montrer que si a(·, ·) est continue (cf. (5.6)) alors :

∀x ∈ E et ∀y ∈ F, les formes linéaires ax et ay sont continues. (5.8)

(On rappelle qu'une forme linéaire ℓ : (E, ||.||E) → (F, ||.||F ) est continue ssi ∃γ > 0, ∀x ∈ E, on a||ℓ(x)||F < γ ||e||E ; et on note ||ℓ|| la plus petite des constantes γ.)

2- Montrer que la réciproque est vraie si E (ou F ) est de dimension nie.

Réponse. 1- Si a(·, ·) est continue au sens (5.6), alors à y ∈ F xé, la forme linéaire ay : x → ay(x) est biencontinue puisque : ∃γ > 0, ∀x ∈ E, on a |ay(x)| < γ ||x||E (prendre γ = c ||y||F qui est bien une constante à yxé). De même en inversant les rôles de x et de y. D'où (5.8).

2- Soit (ei)i=1,...,n une base de E, soit x ∈ E, x =∑n

i=1 xiei. Alors a(x, y) =

∑ni=1 x

ia(ei, y), d'où

(CauchySchwarz dans Rn) |a(x, y)| ≤ ||x||E(∑n

i=1 a(ei, y)2)

12 ≤ ||x||E(

∑ni=1 ||aei ||

2||y||2F )12 ≤ c ||x||E ||y||F où

on a posé c = (∑n

i=1 ||aei ||2)

12 . D'où (5.6).

Exercice 5.10 Montrer que : f : (v, w) ∈ E × F → f(v, w) = ||v||E ||w||F n'est pas une norme surE × F . Pas plus que g : (v, w) ∈ E × F → g(v, w) =

√||v||E ||w||F .

Réponse. On prend v = 0 et w = 0, et on obtient f(v, w) = 0 bien que (v, w) est non nul.On n'a pas non plus l'homogénéité, car f(λ(v, w)) = |λ|2f(v, w).On n'a pas non plus l'inégalité triangulaire, car f((v1, w1) + (v2, w2)) = ||v1 + v2||E ||w1 + w2||F , alors que

f(v1, w1)+f(v2, w2) = ||v1||E ||w1||F +||v2||E ||w2||F , et si on prend v1 = 0 et w2 = 0, on a f((0, w1)+(v2, 0)) ≤f (0, w1) + f(v2, 0) car ||v2||E ||w1||F ≤ 0 en général.

Pour g on n'a ni la nullité ni l'inégalité triangulaire (adaptée la réponse pour f).

On munit le produit cartésien Z = E × F de la norme ||.||E×F dénie par :

||z||Z = sup(||x||E , ||y||F ) quand z = (x, y). (5.9)

Proposition 5.11 Soit a(·, ·) une forme bilinéaire sur E × F .Quand a(·, ·) est continue (au sens (5.6)), alors l'application f : Z → R dénie par f(z) = a(x, y)

(qui n'est pas linéaire) est continue sur (Z, ||.||Z). (Donc f est toujours continue en dimension nie.)N.B. : penser à la forme bilinéaire = le produit simple dans R donné par (x, y) ∈ R×R → xy ∈ R,

associée la fonction f : (x, y) ∈ R2 → xy ∈ R dont le graphe G(f) = (x, y, f(x, y)) ∈ R3 est la sellede cheval : f(x, y) = 0 si x = 0 ou y = 0, f(x, x) = x2 (parabole vers le haut) et f(x,−x) = −x2(parabole vers le bas).

Preuve. Montrons la continuité en un point z0 = (x0, y0) ∈ Z. Soit z = (x, y) ∈ Z. On a :

|f(z)− f(z0)| = |a(x, y)− a(x0, y0)| = |a(x− x0, y) + a(x0, y − y0)|= |a(x− x0, y − y0) + a(x− x0, y0) + (x0, y − y0)|≤ c ||x− x0||E ||y − y0||F + c ||x− x0||E ||y0||F + c ||x0||E ||y − y0||F≤ c sup(1, ||y0||F , ||x0||E) sup(||x− x0||E , ||y − y0||F ),

dès que ||x− x0||E ≤ 1 et ||y − y0||F ≤ 1. Donc quand z → z0, i.e. quand ||z − z0||∞ → 0, i.e. quandsup(||x− x0||E , ||y − y0||F ) → 0, on a |f(z)− f(z0)| → 0, et donc f est continue en z0. Ce pour toutz0, donc f est continue sur Z.

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31 5. Formes bilinéaires

Exercice 5.12 Montrer que ||.||E×F déni en (5.9) est bien une norme.

Réponse. Positivité : immédiat. Stricte positivé :||(x, y)||E×F = 0 implique (x, y) nul : immédiat. Homogé-néité : ||λ(x, y)||E×F = ||(λx, λy)||E×F = |λ| ||(x, y)||E×F : immédiat. Inégalité triangulaire : on a :

||(x1, y1) + (x2, y2)||E×F = ||(x1 + x2, y1 + y2)||E×F = sup(||x1 + x2||E , ||y1 + y2)||F )≤ sup(||x1||E + ||x2||E , ||y1||F + ||y2||F ).

Et est-ce :?≤ ||(x1, y1)||E×F + ||(x2, y2||E×F = sup(||x1||E , ||y1||F ) + sup(||x2||E , ||y2||F ) ?

Autrement dit, a-t-on dans R (on pose X1 = ||x1||E , Y1 = ||x2||E , X2 = ||y1||E , Y2 = ||y2||E) :

sup(|X1|+ |Y1|, |X2|+ |Y2|)?≤ sup(|X1|, |X2|) + sup(|Y1|, |Y2|) ? (5.10)

pour des réels Xi, Yi, pour i = 1, 2. Soit, notant X = (X1, X2) et ||X||∞ = sup(X1, X2) et Y = (Y1, Y2) :

||X + Y ||∞ ≤ ||X||∞ + ||Y ||∞ ? (5.11)

Mais ||.||∞ est une norme dans R2, donc vérie l'inégalité triangulaire (voir exercice suivant). Cqfd.

Exercice 5.13 Rappeler, dans Rn, la démonstration de l'inégalité triangulaire (5.11).

Réponse. On a |Xi|+ |Yi| ≤ supj=1,...,n(|Xi|)+supj=1,...,n(|Yj |), pour tout i = 1, ..., n, donc le sup du membre

de gauche est inférieur au membre de droite, soit (5.10).

Exercice 5.14 Donner un exemple en dimension innie où deux normes ne sont pas équivalentes.

Réponse. On rappelle que dans Rn on note ||x||1 =∑n

i=1 |xi| et ||x||∞ = supi=1,..., |xi|, et que ||.||1 et ||.||∞sont deux normes, et que ||x||1 ≤ n||x||∞ pour tout x (immédiat), l'égalité étant obtenue lorsque xi = xj pourtout i, j. On voit qu'il y a un problème quand n → ∞ :

Soit S = x = (xn)N∗ ∈ RN∗ l'ensemble des suites x = (xn)n∈N∗ , soit ||x||1 =

∑∞i=1 |xi|, soit ||x||∞ =

supi∈N∗ |xi|, et soit T le sous-ensemble de S des suites t.q. ||x||1 < ∞ et ||x||∞ < ∞. Si les normes ||.||1 et||.||∞ étaient équivalentes dans T on aurait :

∃c > 0, ∀x ∈ T, ||x||1 ≤ c||x||∞. (5.12)

Montrons le contraire : on prend la suite x(N) = (1, ..., 1, 0, ...) dont les N premiers termes valent 1 et tous lessuivants valent 0. Il est immédiat que x(N) ∈ T , ce quel que soit N . Et on a ||x(N)||1 = N et ||x(N)||∞ = 1.Donc, quitte à prendre N assez grand on a :

∀c > 0, ∃x ∈ T, prendre x(N) avec N > c, t.q. ||x||1 > c||x||∞. (5.13)

Donc les normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 5.15 Donner en dimension innie une forme bilinéaire qui n'est pas continue.

Réponse. Soit ℓ2 = x ∈ RN∗:∑∞

i=1 x2i < ∞ l'ensemble des suites de carrés sommables muni de sa norme

usuelle ||x||ℓ2 = (∑∞

i=1 x2i )

12 .

Soit a(·, ·) donnée par sa matrice généralisée A = diag(1, 2, ..., n, ...), i.e. par a(En, Em) = nδnm pourtout n,m, où (En)n∈N∗ est la base canonique de ℓ2.

a(En, En) = n −→n→∞

∞, avec ||En||ℓ2 = 1, et donc a(·, ·) n'est pas continue relativement à la norme ||.||ℓ2 .

5.4 Dénition d'un produit scalaire, et matrice de masse

Ici on est dans le cas F = E. On note L(E,E;R) =noté L2(E;R).

Dénition 5.16 Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire g ∈ L2(E;R) qui est symétriqueet dénie positive, i.e. :

1. g ∈ L2(E;R),2. g(v, w) = g(w, v) pour tout v, w ∈ E,

3. g(v, v) > 0 pour tout v = 0.

Dénition 5.17 Soit (ei)i=1,...,n une base de E. La matrice [g]|e d'un produit scalaire g(·, ·) dans labase (ei) est le tableau de réels déni par :

[g]|e = [g(ei, ej)] i=1,...,nj=1,...,n

noté= [gij ] i=1,...,n

j=1,...,n(5.14)

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32 5. Formes bilinéaires

Dénition 5.18 On appelle matrice de masse, ou matrice de Gram, la matrice d'un produit scalairedans une base.

Autrement dit la matrice de masse de g(·, ·) dans la base (ei) est le tableau de réels [gij ] vériant :

g =

n∑i,j=1

gij ei ⊗ ej , (5.15)

où (ei)i=1,...,n est la base duale.

Exercice 5.19 Montrer que la matrice représentant un produit scalaire g(·, ·) est symétrique déniepositive.

Et réciproquement, si [Aij ] est une matrice n∗n symétrique dénie positive, montrer qu'elle dénitun produit scalaire sur E. (On rappelle qu'une matrice A est dénie positive ssi [x]T .A.[x] > 0 pourtout [x] = [0].)

Réponse. On a symétrie de g donc g(ei, ej) = g(ej , ei), i.e. gij = gji. Puis, pour v = 0, 0 < g(v, v) =[v]T .[g].[v], donc [g] est une matrice dénie positive .

Réciproquement, on dénit g par g(ei, ej) = Aij . Il est immédiat que g dénit un produit scalaire quand

A est symétrique dénie positive.

Dénition 5.20 En dimension nie, un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire g(·, ·) est noté(E, g(·, ·)) et est appelé un espace de Hilbert. Et s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le produit scalaire onnote simplement (E, g(·, ·)) = E.

Dénition 5.21 Dans E muni d'un produit scalaire g(·, ·), une base (ai)i=1,...,n est dite orthonormée(relativement à g(·, ·)), et notée b.o.n., ssi g(ai, aj) = δij pour tout i, j = 1, ..., n.

Proposition 5.22 Dans tout espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire, ici notég(·, ·), il existe une b.o.n. (ai)i=1,...,n (non unique). Autrement dit, si g(·, ·) est un produit scalaire, ilexiste une base (ai)i=1,...,n telle que la matrice de g(·, ·) dans cette base soit l'identité :

g =n∑

i=1

ai ⊗ aj , soit [g]|a = I, (5.16)

où (ai)i=1,...,n est la base duale de la base (ai)i=1,...,n.

Preuve. Soit (ei) une base de E. La matrice [M ] = [g(ei, ej)] est une matrice de masse, donc matricen∗n symétrique réelle dénie positive. Notons [M ] = [M i

j ], et ainsiM est également considérée commeétant la matrice d'un endomorphisme de Rn. Comme [M ] est symétrique réelle, [M ] est diagonalisabledans une b.o.n. de Rn muni de sa base canonique et de son produit scalaire euclidien : il existe n réelsλ1, ..., λn (les valeurs propres) et n vecteurs p1, ..., pn formant une b.o.n. dans Rn (vecteurs propresassociés) t.q. :

pj =∑i

P ij Ei, P = [P i

j ], D = P−1.[M ].P, D = diag(λ1, ..., λn), P−1 = PT .

On dénit alors la base (bj) de E par (formule de changement de base) :

bj =∑i

P ij ei ∈ E.

On obtient, pour tout i, j :

g(bi, bj) =∑kℓ

P ki P

ℓj g(ek, eℓ) =

∑kℓ

(PT )ikMkℓ P

ℓj = Di

j = λiδij ,

et donc :

g(·, ·) =n∑

i,j=1

λibi ⊗ bi.

Et comme [M ] est symétrique dénie positive on a λi > 0, pour tout i. On pose alors ai =bi√λi

:

on a g(ai, aj) = δij (est bien nul si j = i et vaut 1 si i = j), i.e. (5.16).

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33 5. Formes bilinéaires

Exemple 5.23 Dans R2 la matrice représentant le produit scalaire euclidien dans la base canonique

est [g]|E =

(1 00 1

)= I la matrice identité.

Ce même produit scalaire représenté dans la base (e1, e2) où e1 = 2E1 et e2 = E2 est relativement

[g]|e =

(4 00 1

).

On verra que les formules de changement de base pour les produits scalaires sont données par[g]new = PT .[g]old.[P ] où P est la matrice de changement de base dont les colonnes sont données

par les composantes de la nouvelle base dans l'ancienne. Soit ici P =

(2 00 1

), et on retrouve bien

[g]|e = PT .I.P , ici = P 2.

Exercice 5.24 Montrer, sans le théorème de diagonalisation précédent, qu'une matrice de masse(matrice d'un produit scalaire dans une base) est symétrique dénie positive, donc inversible.

Réponse. Symétrie : par symétrie d'un produit scalaire, on a g(ai, aj) = g(aj , ai) pour tout i, j.Dénie positive : g(·, ·) étant dénie positive, on a g(x, x) > 0 pour tout x ∈ H non nul. Donc en particulier

en représentant x sur la base (ai) comme x =∑

i xiai, on a [x]T .[g].[x] > 0 pour tout x = 0, donc pour toutematrice colonne [x] = 0. Donc [g] est dénie positive.

Inversible : sinon [g(ai, aj)] est dégénérée, et par exemple la dernière colonne est combinaison des autres : cn =

∑n−1j=1 αj cj avec les αj non tous nuls, soit

g(ai, an) =∑n−1

j=1 αjg(ai, aj) pour tout i, et donc, par bilinéarité de g(·, ·),g(ai, an −

∑n−1j=1 αj aj) = 0 pour tout i, et donc, par bilinéarité de g(·, ·),

g(an −∑n−1

j=1 αj aj , an −∑n−1

j=1 αj aj) = 0, et donc, par positivité de g(·, ·),an −

∑n−1j=1 αj aj = 0 : absurde pour une base. Donc [g] n'est pas dégénérée.

Exercice 5.25 Soit A symétrique dans Rn, et soit (ai)i=1,...,n une base de Rn. Montrer que(A.ai, ai) > 0 pour tout i n'implique pas que toutes les valeurs propres sont strictement positives :en particulier, cela n'implique pas A inversible, et même si A est inversible on peut avoir des valeurspropres < 0.

(Il ne sut donc pas de vérier (A.ai, ai) > 0 sur une seule base pour avoir A symétrique déniepositive : il faut vérier (A.x, x) > 0 pour tout x = 0.)

Réponse. Dans R2 muni de son produit scalaire euclidien de sa base canonique, soit A la matrice de projection

sur l'axe des x parallèlement à l'axe des y, i.e. A =

(1 00 0

). Alors λ = 0 est valeur propre associé au vecteur

propre e2 = ( 0 1 ) et KerA = Vecte2 (= l'axe des y) est l'espace propre associé à la valeur propre 0

On prend deux vecteurs indépendants dans R2 non dans KerA, par exemple a1 =

(11

)et a2 =

(21

)(représentation dans la base canonique). On a aT

k .A.ak = ( k 1 ) .

(k0

)= k2 > 0 pour k = 1, 2 : ici on a bien

(a1, a2) base de R2, (A.ak, ak) > 0 pour tout k, et pourtant (A.e2, e2) = 0 (0 est valeur propre associée auvecteur propre e2).

Et si on prend A =

(1 00 −1

)(inversible) et a1 =

(21

)et a2 =

(2−1

)alors (a1, a2) est bien une base

de R2 et on a [ak]T .A.[ak] > 0 pour k = 1, 2 (on a aT

1 .A.a1 = aT2 .A.a2 = 3 > 0 alors que A n'est pas dénie

positive (on a eT2 .A.e2 = −1).

Exercice 5.26 Orthonormalisation de GramSchmidt : rappeler le procédé.

Réponse. Soit (ak)k=1,...,m une famille de vecteurs génératrice dans H (l'espace qu'elle engendre est H toutentier). Nécessairement m ≥ n (et si m = n alors la famille (ak)k=1,...,n est une base de H, et si m > n, alorsla famille est liée).

Le procédé d'orthonormalisation de GramSchmidt consiste à créer une b.o.n. (bk)k=1,...,n de (H, (·, ·)H)à partir de la famille génératrice (ak) suivant la démarche :

1) On choisit le premier vecteur non nul de la famille ak. Soit ak1 ce vecteur, qu'on norme en posant :

b1 =ak1

||ak1 ||H.

2) On choisit le premier vecteur suivant ak1 qui est indépendant de b1. Soit ak2 ce vecteur. On enlève sa

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34 5. Formes bilinéaires

composante suivant b1 et on norme :

p2 = ak2 − (ak2 , b1)H b1, b2 =p2

||p2||H.

On vérie que (b2, b1)H = 0 = (p2, b1)H car (p2, b1)H = (ak2 , b1)H − (ak2 , b1)H (b1 , b1)H , par bilinéarité duproduit scalaire.

3) On choisit le premier vecteur suivant ak2 qui est indépendant de b1 et b2. Soit ak3 ce vecteur. On enlève

sa composante sur Vectb1, b2 et on norme :

p3 = ak3 − (ak3 , b1)H b1 − (ak3 , b2)H b2, b3 =p3

||p3||H.

On vérie immédiatement que (b3, p1)H = 0 = (b3, p2)H ....

n) On poursuit jusqu'à bn : ainsi (bk)k=1,...,n est une b.o.n. de (E, g(·, ·)).

5.5 Endomorphisme transposé (relativement à un produit scalaire)

On note g(·, ·) = (·, ·)g un produit scalaire sur E. Soit L ∈ L(E) un endomorphisme (une applicationlinéaire de E dans lui-même).

Dénition 5.27 L'endomorphisme transposée LTg ∈ L(E) relativement au produit scalaire g(·, ·) =

(·, ·)g est déni par, pour tout x, y ∈ E :

(LTg .y, x)g = (y, L.x)g. (5.17)

(LTg dépend donc du choix du produit scalaire g(·, ·) = (·, ·)g.)

Proposition 5.28 On se donne un endomorphisme L ∈ L(E) et une base (ai) dans E.Soit [L] = [Li

j ] la matrice de L dans cette base, i.e. L.aj =∑

i Lij ai.

Soit [LTg ] = [(LT

g )ij ] la matrice de LT

g dans cette base, i.e. LTg .aj =

∑i(L

Tg )

ij ai.

On a :[LT

g ] = [g]−1.[L]T .[g], (5.18)

soit :[g].[LT

g ] = [L]T .[g]. (5.19)

En particulier :1- Si [g].[L] = [L].[g], i.e. si les matrices [g] et [L] commutent, soit [L]T .[g] = [g].[L]T , et alors

[LTg ] = [L]T : la matrice de la transposée est la transposée de la matrice. C'est en particulier le cas

si (ai) est une b.o.n. (cas [g] = I).2- Si [g].[L] = [L].[g], i.e. si les matrices [g] et [L] ne commutent pas, alors [LT

g ] = [L]T .

Preuve. Grâce à (LTg .aj , ai)H = (L.ai, aj)H , on obtient :∑

k

(LTg )

kj g(ak, ai) =

∑ℓ

Lℓig(aℓ, aj), (5.20)

soit, par symétrie de g(·, ·), pour tout i, j :∑k

gik(LTg )

kj =

∑ℓ

gjℓLℓi ,

soit :[g].[LT

g ] = ([g].[L])T , (5.21)

i.e. (5.18) sachant [g] symétrique.Si la base est orthonormée, alors [g] = I et donc [LT

g ] = [L]T .Si [g].[L] = [L].[g] alors ([g].[L])T = ([L].[g])T et donc [L]T .[g] = [g].[L]T car g(·, ·) est symétrique,

donc [g] et [L]T commutent. D'où [LTg ] = [g]−1.[L]T .[g] = [g]−1.[g].[L]T = [L]T .

Si [g].[L] = [L].[g] alors [L]T .[g] = [g].[L]T et [g]−1.[L]T .[g] = [g]−1.[g].[L]T = [L]T , donc [LTg ] =

[L]T .

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35 5. Formes bilinéaires

Exercice 5.29 Montrer que si deux matrices A et B sont symétriques alors le produit A.B n'est pasnécessairement symétrique.

Donner un exemple dans lequel [L] = [L]T (la matrice de L est dans une base est symétrique, soitencore [L]T = [LT

δ ] où δ(·, ·) est le produit scalaire euclidien) en même temps que [L]T = [LTg ].

Réponse. Dans R2 avec sa base canonique. On représente g(·, ·) et L dans cette base. On prend [g] =

(1 11 0

)et [L] =

(1 11 0

). On a [L].[g] =

(1 21 0

)et [g].[L] =

(1 12 0

)ne sont pas symétriques bien que [g] est [L] le

soit. (Noter que [g].[L] = ([L].[g])T car [L] et [g] sont symétriques.)Ici on a bien [L] = [L]T .

Et on a [LTg ] = [g]−1.[L]T .[g] =

(1 00 1

2

).

(1 21 0

)=

(1 212

0

)= [L]T .

5.6 Endomorphisme symétrique (relativement à un produit scalaire)

Dénition 5.30 Soit g(·, ·) un produit scalaire sur E et L ∈ L(E) un endomorphisme. Si LTg = L

alors l'endomorphisme L est dit symétrique relativement au produit scalaire g(·, ·).

Donc L est symétrique relativement au produit scalaire g(·, ·) ssi, pour tout x, y ∈ E :

(L.y, x)g = (L.x, y)g (5.22)

Proposition 5.31 Si L est symétrique relativement à g(·, ·), i.e. si LTg = L, alors dans une base

donnée on a :[g].[L] = [L]T .[g]. (5.23)

Et dans le cas [g].[L] = [L].[g] (les matrices commutent) alors [L] = [L]T .

Preuve. C'est (5.19) dans le cas LTg = L.

Proposition 5.32 On se xe un produit scalaire et un endomorphisme L.L peut avoir dans une base (ai) sa représentation matricielle [L]a symétrique, et peut avoir dans

une autre base (bi) sa représentation matricielle [L]b NON symétrique.Par contre si la matrice de L est symétrique dans une b.o.n., alors elle est symétrique dans toute

autre b.o.n.

Preuve. Ici on a un seul produit scalaire g(·, ·) et on a deux bases (ai) et (bi). La formule de chan-gement de base des endomorphismes est (voir plus loin ou exercice) :

[L]b = P−1.[L]a.P,

où P est la matrice de passage (stocke dans sa j-ème colonne les composantes de bj relativement

à la base (ai)). Prenons [L]a =

(1 00 2

)et P =

(1 10 1

), donc P−1 =

(1 −10 1

). On obtient

[L]b =

(1 −10 2

): la matrice [L]b n'est pas symétrique alors que la matrice [L]a est symétrique.

Si on fait un changement de base orthonormée, alors on a P−1 = PT , d'où [L]b = PT .[L]a.P . Doncsi [L]a symétrique alors [L]T

b= PT .[L]Ta .P = PT .[L]a.P = [L]b et [L]b est bien symétrique.

Proposition 5.33 Soit un endomorphisme L.La symétrie de L est dépendante du choix du produit scalaire : on peut pour un produit scalaire

donné avoir L symétrique, et pour un autre produit scalaire L NON symétrique.

Preuve. Voir exercice 5.29.

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36 6. Tenseur : première approche : forme multilinéaire

6 Tenseur : première approche : forme multilinéaire

Ici un tenseur est une forme multilinéaire.Par rapport au cadre général des tenseurs (= champs de tenseurs), ce qu'on appelle ici tenseur

est un tenseur constant (voir le cours suivant pour le cadre général).

Soit E un espace vectoriel et r, s ∈ N, avec l'un des deux entiers non nuls.

Dénition 6.1 Un tenseur de type (r, s) est un élément de :

Lrs(E) = L((E∗)r, Es;R) = L(E∗, ..., E∗︸ ︷︷ ︸

r times

, E, ..., E︸ ︷︷ ︸s times

;R) noté= T r

s (E) (6.1)

l'ensemble des formes multilinéaires sur les espaces E∗ et E.Cas r = s = 0 : on pose L0

0(E) = R = T 00 (E) (ou plus généralement = K le corps pour lequel E

est un espace vectoriel.)

Donc A ∈ T rs (E) agit donc sur les (r+s)-uplets (ℓ1, ...ℓr, v1, ..., vs) ∈ (E∗)r×Es (dans cet ordre)

pour former le réel A(ℓ1, ...ℓr, v1, ..., vs) ∈ R, et A est linéaire par rapport à chaque ℓi et à chaque vi.

Dénition 6.2 Une forme multilinéaire A ∈ Lrs(E) est dite contravariante de rang r et covariante de

rang s.Si r = 0 alors A est covariante (n'agit que sur des vecteurs), si s = 0 alors A est contravariante

(n'agit que sur des formes), et A est dit mixte dans les autres cas.

Exemple 6.3 T 01 (E) = L(E;R) = E∗ est l'ensemble des formes linéaires sur E (les formes cova-

riantes, celles qui varient avec les vecteurs).L'indice 1 en bas dans T 0

1 (E) correspond à la position des indices en bas des composantes ℓid'une forme linéaire ℓ ∈ T 0

1 (E) : après introduction d'une base (ei) de E et notant (ei) la base duale(base de E∗), on aura ℓ de la forme ℓ =

∑i ℓie

i.

Exemple 6.4 T 10 (E) = L(E∗;R) = E∗∗ est l'ensemble des formes linéaires sur E∗. Comme E∗∗ ≃ E

grâce à l'isomorphisme J , cf. (4.5), T 10 (E) est identié à E :

T 10 (E) ≃ E. (6.2)

De fait, pour A ∈ T 10 (E) donné, il existe un unique vecteur v ∈ E tel que A(ℓ) = ℓ(v) pour tout

ℓ ∈ E∗, et on notera A = v. Ainsi v(ℓ) =déf ℓ(v), et toutes les applications étant linéaires, on notev.ℓ =déf ℓ.v (notation de la contraction d'une forme linéaire et d'un vecteur).

L'indice 1 en exposant dans T 10 (E) correspond à la position des indices en haut des composantes

vi d'un v ∈ T 10 (E) : après introduction d'une base (ei) de E, on aura v de la forme v =

∑i v

iei. Ouencore v =

∑i v

i∂i où (∂i) est la base biduale.Les formes linéaires A ∈ T 1

0 (E) sont contravariantes (elles varient avec les formes et non avec lesvecteurs, et leurs composantes varient à l'inverse des bases dans les formules de changement de bases,voir plus loin).

Exemple 6.5 T 02 (E) = L(E,E;R) = L2(E;R) est l'ensemble des formes bilinéaires sur E. En parti-

culier un produit scalaire est un élément de T 02 (E).

L'indice 2 en bas dans T 02 (E) correspond à la position des indices en bas des composantes Aij

d'un A ∈ T 02 (E) : après introduction d'une base (ei) de E∗, on aura A de la forme A =

∑ij Aije

i⊗ej .Ces formes bilinéaires (par exemple un produit scalaire) sont covariantes : elles agissent sur (avec)

des vecteurs u, v ∈ E pour former le réel A(u, v).

Exemple 6.6 T 11 (E) = L(E∗, E;R) est identiable (canoniquement, voir plus loin) à l'ensemble

L(E;E) = L(E) des endomorphismes de E. Pour A ∈ T 11 (E), l'endomorphisme associé canoniquement

est L ∈ L(E) donné par ℓ(L.v) =déf A(ℓ, v) pour tout (ℓ, v) ∈ E∗ × E.Après introduction d'une base (ei) de E et de sa base duale (ei) de E∗, on aura A ∈ T 1

1 (E) de laforme A =

∑ij A

ij ei ⊗ ej de même que l'endomorphisme L a été caractérisé par L =

∑ij L

ij ei ⊗ ej

relativement à la base (ei).Ces formes bilinéaires sont de type mixte : elles agissent sur les couples (ℓ, v) qui sont des couples

mixtes (pas dans le même espace, l'un dans E∗ et l'autre dans E).

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37 7. Formules de changement de base

Remarque 6.7 Il n'y a pas de notation particulière pour applications bilinéaires b ∈ L(E,E∗;R)canoniquement isomorphe à L(E∗, E;R) = T 1

1 (E) donc à L(E;E) l'ensemble des endomorphismesde E, voir plus loin.

Si on veut néanmoins se ramener à T 11 (E), on se sert de bT le transposé de b qui est déni par

bT (ℓ, u) =déf b(u, ℓ), avec donc bT ∈ T 11 (E).

7 Formules de changement de base

7.1 Introduction

On travaille dans L(E;E) =noté L(E) l'espace des endomorphismes, E étant un e.v. de dimensionnie.

N.B. : quand on parle d'endomorphisme L ∈ L(E), on parle implicitement d'observation par unobservateur qui n'utilise qu'une seule base (ei) pour les calculs : si v =

∑i v

iei et si on observew = L(v), alors on calcule w sous la forme w =

∑i w

iei (composantes sur la même base (ei)).De même un endomorphisme s'exprime sous la forme L =

∑i L

ij ei ⊗ ej : ainsi bj = L(ej) est

exprimé sur la base ei pour donner bj =∑

i Lij ei.

Dans la suite P = [L] sera notre matrice de changement de base qui nous fera passer de la base(ei) à la base (bi) = (L(ei)), la matrice P stockant dans sa j-ème colonne les composantes de bj dansla base (ei).

7.2 Représentation des endomorphismes inversibles

Dénition 7.1 L'endomorphisme A ∈ L(E) est inversible (ou bijectif) ssi il existe un endomorphismeB ∈ L(E) tel que :

A B = I = B A (7.1)

où I est l'endomorphisme identité. Et B est alors appelé inverse de A et noté B = A−1.On note Li(E;E) =noté Li(E) l'espace des endomorphismes inversibles de E.

En particulier I est inversible d'inverse lui-même.Notation :

A B noté= A.B, (7.2)

notation du produit (car A et B étant linéaire on a la distributivité) ou encore notation de lacontraction tensorielle (voir plus loin).

Proposition 7.2 Si pour A ∈ L(E) il existe B ∈ L(E) tel que A B = I = B A, alors B est unique(si l'inverse existe il est unique).

Preuve. (F(E;R),+, ) est un anneau (donc associatif) d'élément neutre I. Et dans un anneau sil'inverse existe alors il est unique.

(Rappel de la démonstration : si un autre C ∈ L(E) vérie A C = I = C A, alors d'une partB (A C) = B I = B, et d'autre part B (A C) = (B A) C = I C = C. Donc C = B.)

D'où l'unicité de l'inverse s'il existe.

Proposition 7.3 Si E est de dimension nie, si A,B ∈ L(E) vérient A.B = I alors B.A = I (c'estfaux en dimension innie).

Preuve. Soit (ei)i=1,...,n une base de E et supposons A.B = I. Posons bj = B.ej pour tout j. DoncA.bj = A.B.ej = ej pour tout j. Donc B.A.bj = B.ej = bj pour tout j. Donc B.A = I.

En dimension innie, soit RN∗l'ensemble des suites réelles (xi)i∈N∗ . On prend B le shift à

droite : B(x1, ..., xn, ...) = (0, x1, ..., xn−1, ...). On prend A le shift à gauche : A(x1, ..., xn, ...) =(x2, ..., xn+1, ...) (on a perdu l'information x1).

On a A.B = I mais B.A = I puisque B.A(x1, x2, ..., xn, ...) = (0, x2, ..., xn, ...).

Remarque 7.4 (Li(E),+, ) n'est pas un espace vectoriel (n'est pas un sous-espace vectorielde L(E)). En eet (Li(E),+) n'est pas un groupe : I,−I ∈ Li(E), mais I + (−I) = 0 n'est pasinversible.

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38 7. Formules de changement de base

Exercice 7.5 Montrer par les calculs que si A ∈ L(E) et si A−1 existe dans l'espace F(E;E), alorsnécessairement A−1 est linéaire.

Réponse. Soient w1, w2 ∈ E. Comme A est bijective, elle est surjective. Donc il existe deux vecteurs v1, v2 ∈ E

tels que w1 = A(v1) et w2 = A(v2). Et si λ ∈ R on a A−1(w1+λw2) = A−1(A(v1)+λA(v2)) = A−1(A(v1+λv2))

par linéarité de A, donc A−1(w1 + λw2) = v1 + λv2 = A−1(w1) + λA−1(w2), donc A−1 est linéaire.

7.3 Matrice de passage P de changement de base : ej,new =∑

i Pij ei,old

Soit (ei) une base dans E de base duale (ei), et soit L ∈ Li(E) endomorphisme inversible noté :

L =n∑

i,j=1

P ij ei ⊗ ej , où donc [L]|(e)

noté= [P i

j ]. (7.3)

On pose :

bj = L.ej =∑i

P ij ei =

P 1j

...Pnj

|(e)

, (7.4)

et la matrice P stocke dans sa j-ème colonne les coordonnées du vecteur bj dans la base (ei).

Dénition 7.6 P = [P ij ] est appelé matrice de passage de la base (ei) à la base (bi), ou bien matrice

de passage de l'ancienne base (ei) à la nouvelle base (bi), ou bien matrice de changement de base.

Exemple 7.7 On prend E = R, et on fait le changement de base L ∈ L(R;R) donnée par L(1) = α(par exemple, α = 1, 609 permet le passage des miles anglais aux kilomètres). Et pour n'importe quelréel r (distance en miles) on trouvera L(r) = αr (distance en kilomètres). Ici L : anglais → français.

L'application inverse, L−1 : français → anglais, permettra d'exprimer en miles des valeurs expri-mées initialement en kilomètres. De manière immédiate, L−1(s) = 1

α s.N.B. : un mile nautique vaut 1, 852 km et correspond à la longueur d'une minute d'angle sur

la sphère terrestre le long d'un méridien. Rappel : la dénition d'un mètre posée en 1791 était : ladistance de l'équateur au pôle nord est 10000km. Et on retrouve bien 10000

90∗60 ≃ 1, 852 (pour 90 degréset 60 minutes par degré).

Exemple 7.8 On fait la rotation d'angle θ et la dilatation 3, i.e. on se place dans R2, on prend (e1, e2)

b.o.n. pour le produit scalaire euclidien, et P = 3

(cos θ − sin θsin θ cos θ

). La base (e1, e2) est transformée

en la base (b1, b2) où b1 = L(e1) = P.

(10

)|(e)

= 3

(cos θsin θ

)|(e)

= 3 cos θe1+3 sin θe2 (première colonne

de P ) et b2 = L(e2) = P.

(01

)|(e)

= 3

(− sin θcos θ

)|(e)

= −3 sin θe1+3 cos θe2 (deuxième colonne de P ).

Faire un dessin.

7.4 Matrice inverse de la matrice de passage : Q = P−1

Soit L ∈ Li(E) avec (7.3) et (7.4). On a donc :

L−1 .bj = ejnoté=

∑i

Qij bi. (7.5)

soit :

L−1 =n∑

i,j=1

Qij bi ⊗ bj , soit [L−1]|b = Q. (7.6)

38 13 mai 2013

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39 7. Formules de changement de base

Proposition 7.9 On a :Q = P−1, soit [L−1]|b = [L]|e

−1. (7.7)

Et on a également, comme pour (7.5), pour tout j :

L−1.ej =∑i

Qij ei, et donc [L−1]|b = [L−1]|e (= Q = [L]|e

−1), (7.8)

i.e. Q est la matrice de L−1 à la fois dans la base (ei) et la base (bi) :

L−1 =n∑

i,j=1

Qij ei ⊗ ej =

n∑i,j=1

Qij bi ⊗ bj . (7.9)

Et de même, pour tout j :

L.bj =∑i

P ij bi, et donc [L]|b = P = [L]|e, (7.10)

i.e. P est la matrice de L à la fois dans la base (ei) et la base (bi).

L =

n∑i,j=1

P ij ei ⊗ ej =

n∑i,j=1

P ij bi ⊗ bj . (7.11)

Preuve. Vérions Q = P−1. Avec bj =∑

i Pij ei et ei =

∑kQ

ki bk on a :

bj =∑i

P ij (∑k

Qki bk) =

∑k

(∑i

Qki P

ij )bk =

∑k

(Q.P )kj bk,

d'où (Q.P )kj = δkj , car (bj) est une base, soit Q.P = I.Montrons (7.8). Soit Z = [L−1]e, i.e. L−1.ej =

∑i Z

ij ei. Alors :

ej = L−1 .bj = L−1.(∑k

P kj ek) =

∑k

P kj L

−1.ek =∑k

P kj

∑i

Zikei =

∑i

(ZP )ij ei,

d'où Z.P = I, i.e. Z = Q, d'où (7.8).Montrons (7.10). Soit Y = [L]|b, i.e. L.bj =

∑i Y

ij bi. Alors :

bj = L−1.(L.bj) = L−1.(∑i

Y ij bi) =

∑i

Y ij L

−1 .bi =∑ik

Y ijQ

ki bk =

∑k

(QY )kj bk,

d'où QY = I, i.e. Y = Q−1 = P , d'où (7.10).

7.5 Pour les composantes des vecteurs : [v]new = P−1.[v]old

Soit (ei) une base de E (l'ancienne base), soit L ∈ Li(E), soit (bj) = (L.ej) (la nouvelle base), soitP = [L]|(e) la matrice de changement de base, soit Q = P−1.

Proposition 7.10 Pour v ∈ E, si :

v =∑i

vieei =∑i

vibbi, (7.12)

alors pour tout i = 1, ..., n :

vib =n∑

j=1

Qij v

je. (7.13)

Soit sous forme matricielle, la relation entre les réels (vie) et (vib) est donnée par :

bj = P.ej =⇒ [v]|(b) = P−1.[v]|(e), i.e.

v1b...vnb

= P−1.

v1e...vne

. (7.14)

(Quand les vecteurs de base sont transformés par P , les composantes sont transformées par P−1 = Q.)

39 13 mai 2013

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40 7. Formules de changement de base

Preuve. Avec Q = P−1 et ej = L−1 .bj on a :

v =∑j

vje ej =∑j

vje(∑i

Qij bi) =

∑i

(∑j

Qijv

je )bi avec aussi v =

∑i

vibbi,

d'où vib =∑

j Qijv

je = (Qi

1 ... Qin ) .

v1e...vne

pour tout i, i.e. (7.13) et (7.14).

7.6 Formules de changement de bases entre bases duales

On reprend les notations précédentes.

Proposition 7.11 On a :

bi =n∑

j=1

Qij e

j ∈ E∗ (quand bj =n∑

i=1

P ij ei ∈ E), (7.15)

i.e. la ligne i de Q = P−1 stocke les composantes de bi dans la base (ej). (Noter la position des indiceset des exposants qui rendent les choses simples.) Ou encore :

ei =

n∑j=1

P ij b

j ∈ E∗ (quand bj =

n∑i=1

P ij ei ∈ E), (7.16)

i.e. la ligne i de P stocke les composantes de ei dans la base (bj).Et on note (matrices lignes puisqu'elles représentent des formes linéaires) :

bi = (Qi1 . . . Qi

n )|(e) , et ei = (P i1 . . . P i

n )|(b) . (7.17)

Et donc, sous forme égalité de matrices lignes :

[bi](e) = [ei](e).Q (= ligne i de Q =

(0 ... 0 1︸︷︷︸

position i

0 ... 0

).[Qi

j ]). (7.18)

Et on retrouve les formules de changement de coordonnées (7.13) à l'aide du produit matricielusuel :

vib = bi(v) = (Qi1 . . . Qi

n )|(e) .

v1e...vne

|(e)

=∑j

Qijv

je ∈ R. (7.19)

Preuve. La forme linéaire bi est parfaitement déterminée si on connaît les bi(ej) pour tout j (car (ej)est une base de E). On a :

bi(ej) = bi(

n∑k=1

Qkj bk) =

n∑k=1

Qkj b

i(bk) = Qij ,

d'où bi =∑n

j=1Qij e

j , ce pour tout i, i.e. (7.15). Et sous forme matricielle, cela s'écrit en matriceslignes [bi](e) = (Qi

1 ... Qin ) = [ei](e).Q. De même on obtient (7.16). D'où (7.19).

Exemple 7.12 Dans R2 soient b1 =

(10

)|(e)

et b2 =

(11

)|(e)

. La matrice de passage est P =(1 10 1

), de matrice inverse Q = P−1 =

(1 −10 1

).

De (7.15), par lecture de lignes de Q, on en déduit b1 = e1 − e2 = ( 1 −1 )|(e) et b2 = e2 =

( 0 1 )|(e) (lecture des lignes de Q d'après (7.15)).

Et on vérie que (e1−e2)(b1) = (e1−e2)(e1) = 1, (e1−e2)(b2) = (e1−e2)(e1+e2) = 0 donc on abien b1 = e1 − e2, puis e2(b1) = e2(e1) = 0 et e2(b2) = e2(e1+e2) = 1 donc on a bien b2 = e2.

40 13 mai 2013

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41 7. Formules de changement de base

Exemple 7.13 Soit θ ∈ R xé, et soient b1 =

(cos θsin θ

)|(e)

et b2 =

(− sin θcos θ

)|(e)

. La matrice de

passage de (e1, e2) à (b1, b2) est la matrice de rotation P =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

). Sa matrice inverse est

la matrice de rotation inverse Q = P−1 =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

).

On en déduit (lecture des lignes de Q) : b1 = cos θ e1 + sin θ e2 = ( cos θ sin θ )|(ei) et b2 =

− sin θ e1 + cos θ e2 = (− sin θ cos θ )|(ei). Et on vérie eectivement que (cos θ e1 + sin θ e2)(bj) = δ1j

et que (− sin θ e1 + cos θ e2)(bj) = δ2j .

Remarque 7.14 On trouve également la notation, au lieu de bi = (Qi1 . . . Qi

n )|(ej) matrice ligne,

bi =

Qi1...Qi

n

|(ej)

matrice colonne : ce sont eectivement des composantes dans une base, ici (ej) base

de l'espace vectoriel E∗. Mais dans ce cas, bi n'est pas considéré comme application, mais comme unvecteur de l'espace vectoriel E∗. C'est hors sujet dans ce polycopié. En particulier, l'utilisation ducalcul matriciel impliquera l'utilisation des matrices lignes pour les formes linéaires, cf. (7.19).

7.7 Pour les composantes des formes linéaires : [ℓ]new = [ℓ]old.P

Soit (ei) une base de E de base duale (ei) et soit (bi) une seconde base de E de base duale (bi).Soit ℓ ∈ E∗ et soit (ℓei)i=1,...,n ses composantes sur la base (ei) et soit (ℓbi)i=1,...,n ses composantessur la base (bi), i.e. :

ℓ =∑i

ℓeiei =

∑i

ℓbibi. (7.20)

Proposition 7.15 Si P est la matrice de passage de (ei) à (bi), on a pour tout j :

ℓbj =∑i

ℓeiPij , quand [bj ]|(e) = P.[ej ]|(e), (7.21)

soit encore :[ℓ](b) = [ℓ](e).P, quand [bj ]|(e) = P.[ej ]|(e), (7.22)

soit encore :

( ℓb1 . . . ℓbn ) = ( ℓe1 . . . ℓen ) .P, quand [bi](e) = [ei](e).Q. (7.23)

(On rappelle qu'une forme linéaire est représentée par une matrice ligne.)

Preuve. On a ℓ =∑

i ℓeiei =

∑i ℓei

∑j P

ij b

j =∑

j(∑

i ℓeiPij )b

j et ℓ =∑

j ℓbjbj , d'où (7.21).

Remarque 7.16 En transposant (7.23), on a également (calcul matriciel) : ℓb1...ℓbn

= PT .

ℓe1...ℓen

quand [bj ]|e = P.[ej ]|e. (7.24)

Mais il est préférable de ne pas utiliser les matrices colonnes pour représenter les formes linéaires.

7.8 Pour les endomorphismes : [L]new = P−1.[L]old.P

Soit M ∈ L(E) un endomorphisme de E et soit (ei) et (bi) deux bases de E de bases dualesrespectives (ei) et (bi).

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42 7. Formules de changement de base

Soit A = [Aij ] = [M ]|e la matrice de M relativement à la base (ei), et soit B = [Bi

j ] = [M ]|b la

matrice de L relativement à la base (bi) :

M =∑ij

Aij ei ⊗ ej =

∑ij

Bij bi ⊗ bj . (7.25)

Soit P la matrice de passage :bj =

∑i

P ij ei. (7.26)

(Avec les notation précédentes L =∑

ij Pij ei ⊗ ej est l'endomorphisme de changement de base.)

Proposition 7.17 On a :B = P−1.A.P. (7.27)

Idem pour les tenseurs t ∈ T 11 (E), où A est la matrice de t relativement à la base (ei) et B est sa

matrice relativement à la base (bi). D'ailleurs dans (7.25) on a utilisé les notations tensorielles.

Preuve. Avec (7.26) et (7.15) et avec Q = P−1, on a :

M =∑ij

Aij ei ⊗ ej =

∑ij

∑kℓ

AijQ

ki P

jℓ bk ⊗ bℓ =

∑kℓ

(∑ij

QkiB

ijP

jℓ )bk ⊗ bℓ,

avec également M =∑

kℓBkℓ bk ⊗ bℓ, d'où Bk

ℓ =∑

ij QkiA

ijP

jℓ , comme annoncé.

Exercice 7.18 Démontrer la proposition précédente sans utiliser les notation tensorielles, i.e. enutilisant les notation matricielles classiques.

Réponse. On a M.ej =∑

i Aij ei et on a M.bj =

∑ℓ B

ℓj bℓ. Sachant que bj =

∑k P

kj ek, on déduit que :

(∑ℓ

Bℓj bℓ =) M.bj = M.

∑k

P kj ek =

∑k

P kj M.ek =

∑ki

P kj A

ikei =

∑kiℓ

P kj A

ikQ

ℓi bℓ =

∑ℓ

(Q.A.P )ℓj bℓ,

et donc Bℓj = (Q.A.P )ℓj , i.e. B = Q.A.P comme annoncé.

7.9 Pour les tenseurs de T 02 : [g]new = P T .[g]old.P (les produits scalaires en

particulier)

Soit g ∈ L02(E) une forme bilinéaire de E et soit (ei) et (bi) deux bases de E de bases duales

respectives (ei) et (bi).Soit A = [Aij ] la matrice de g ∈ T 0

2 relativement à la base (ei) et soit B = [Bij ] la matrice de grelativement à la base (bi) :

g =∑ij

Aijei ⊗ ej =

∑ij

Bijbi ⊗ bj . (7.28)

Soit P la matrice de passage de la base (ei) à la base (bi), i.e. bj =∑

i Pij ei.

Proposition 7.19 On a :B = PT .A.P. (7.29)

Preuve. Avec (7.26) et (7.15) on a avec Q = P−1 :

g =∑ij

Aijei ⊗ ej =

∑ij

∑kℓ

AijPikP

jℓ b

k ⊗ bℓ =∑kℓ

(∑ij

P ikAijP

jℓ )b

k ⊗ bℓ,

d'où Bkℓ =∑

ij PikAijP

jℓ =

∑ij(P

T )kiAijPjℓ = (PT .A.P )kℓ , comme annoncé.

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43 7. Formules de changement de base

7.10 Pour les tenseurs de T 20

Mêmes bases : si :t =

∑ij

Aij ei ⊗ ej =∑ij

Bij bi ⊗ bj , (7.30)

alors :

Proposition 7.20 On a :B = P−1.A.P−T (= Q.A.QT ). (7.31)

Preuve. Avec (7.26) et (7.15) et avec Q = P−1, on a :

t =∑ij

Aij ei ⊗ ej =∑ij

∑kℓ

AijQkiQ

ℓj bk ⊗ bℓ =

∑kℓ

(∑ij

QkiA

ijQℓj )bk ⊗ bℓ,

d'où Bkℓ =∑

ij QkiA

ijQℓj =

∑ij Q

kiA

ij(QT )jℓ , comme annoncé.

7.11 Loi d'inertie de Sylvester et signature

La loi d'inertie de Sylvester concerne les formes quadratiques Q : E → R, ou encore les formesbilinéaires symétriques b(·, ·) (de formes quadratiques associées données par Q(x) = b(x, x)).

Dénition 7.21 Deux matrices A et B sont congruentes ssi il existe une matrice P inversible telleque :

B = PT .A.P. (7.32)

Deux matrices congruentes correspondent donc aux matrices d'une même forme bilinéaire g(·, ·) :E × E → R exprimée dans deux bases diérentes, P étant la matrice de passage :

g(·, ·) =∑ij

aij ai ⊗ aj =

∑ij

bij bi ⊗ bj .

Dénition 7.22 Deux matrices A et B sont semblables ssi il existe une matrice P inversible telleque :

B = P−1.A.P. (7.33)

Deux matrices semblables correspondent donc aux matrices d'une même endomorphisme L : E →E exprimé dans deux bases diérentes, P étant la matrice de passage :

L =∑ij

Aij ai ⊗ aj =

∑ij

Bij bi ⊗ bj .

Remarque 7.23 Diérence essentielle :1- Cas des formes bilinéaires. Si A = [Aij ] = [g(aj , aj)] est la matrice d'une forme bilinéaire

g(·, ·) ∈ L2(E;R) relativement à une base (ai), les valeurs propres de cette matrice A sont les racinesλi du polynôme p(λ) = det(A − λI). Et relativement à une autre base (bi), si B = [Bij ] = [g(bj , bj)]est la matrice de la même forme linéaire, les valeurs propres de cette matrice sont les racines µi dedet(B − µI). Mais les µi sont diérents des λi en général, car :

det(B − µI) = det(PT .A.P − µI) = det(P )2 det(A− µM) (7.34)

où M = P−T .P−1, autrement dit les µi sont les valeurs propres généralisées de A relativement à lamatrice M (voir polycopié diagonalisation...).

2- Cas des endomorphismes. Si A = [Aij ] = [ai.(L.aj)] est la matrice d'un endomorphisme L ∈

L(E;E) relativement à une base (ai), les valeurs propres de cette matrice A sont les racines λi dupolynôme p(λ) = det(A − λI). Et relativement à une autre base (bi), si B = [Bi

j ] = [bi.L.bj ] estla matrice de la même forme linéaire, les valeurs propres de cette matrice sont les racines µi dedet(B − µI). Avec :

det(B − µI) = det(P−1.A.P − µI) = det(P )2 det(A− µI), (7.35)

et donc A a les mêmes valeurs propres que B : l'ensemble λi : i = 1, ..., n des valeurs propres d'unendomorphisme est conservé par changement de base.

43 13 mai 2013

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44 7. Formules de changement de base

Malgré cette remarque, on a quand même :

Proposition 7.24 Loi d'inertie de Sylvester et dénition de la signature.Le nombre s+ de valeurs propres positives de la matrice d'une forme bilinéaire est conservé par

changement de base. De même le nombre s− de valeurs propres négatives de la matrice d'une formebilinéaire est conservé par changement de base.

Le couple (s+, s−) est appelé la signature de la forme bilinéaire symétrique. Et le réel r = s+ + s−est appelé le rang de la forme bilinéaire symétrique.

Autrement dit, si b(·, ·) ∈ L2(E;R) est une forme bilinéaire symétrique, si (ai) et (bi) sont deuxbases de E, si A = [b(ai, aj) et si B = [b(bi, bj), alors A est B ont même nombre de valeurs propres> 0 et < 0.

De plus, il existe une base (φi) de E telle que, (φi) étant la base duale :

b(·, ·) =s+∑i=1

φi ⊗ φi −s++s−∑i=s++1

φi ⊗ φi, (7.36)

la matrice de B dans la base (φi) (duale de (φi)) s'écrivant

Is+ 0 00 −Is− 00 0 0

.

Et le nombre s+ des λi > 0 et le nombre s− des λi > 0 est indépendanton a :Et la signature (s+, s−) de b(·, ·) est indépendante du choix de la base (ai) dans (7.37).

Preuve. Soit (ai)i=1,...,n une base de E. La matrice A = [b(ai, aj)] est une matrice n ∗ n symétriqueréelle. Ce tableau de réel sera également noté A = [Ci

j ] où donc Cij =

déf Aij , la matrice C = [Cij ] étant

considérée être la matrice d'un endomorphisme. Comme C est symétrique réelle, C est diagonalisabledans une b.o.n. de Rn muni de sa base canonique (Ei) et de son produit scalaire euclidien (·, ·)Rn :il existe n réels λ1, ..., λn (les valeurs propres) et n vecteurs p1, ..., pn formant une b.o.n. dans Rn

(vecteurs propres associés) t.q. :

pj =∑i

P ij Ei, P = [P i

j ], D = P−1.C.P, P−1 = PT , D = diag(λ1, ..., λn),

les λi étant donc aussi les valeurs propres de la matrice A.On dénit alors la base (ej) de E par (formule de changement de base) :

ej =∑i

P ij ai ∈ E.

On obtient, pour tout i, j :

b(ei, ej) =∑kℓ

P ki P

ℓj b(ak, aℓ) =

∑kℓ

(PT )ikCkℓ P

ℓj = Di

j = λiδij ,

et donc :

b(·, ·) =n∑

i,j=1

λiei ⊗ ei =

s+∑i=1

φi ⊗ φi −s++s−∑i=s++1

φi ⊗ φi, (7.37)

où on a posé φi =√λi e

i si λi > 0, φi = −√

|λi| ei si λi < 0 et φi = ei quand λi = 0.

Soit (bi)i=1,...,n une seconde base de E. La matrice B = [b(bi, bj)] est une matrice n ∗n symétriqueréelle. Reprenant la démarche précédente, on obtient une autre base (fi) et une seconde décomposition :

b(·, ·) =n∑

i=1

µi fi ⊗ f i =

t+∑i=1

ψi ⊗ ψi −t++t−∑i=t++1

ψi ⊗ ψi,

t− étant le nombre de µi < 0 et t+ étant le nombre de µi > 0, les µi étant les valeurs propres de lamatrice B.

44 13 mai 2013

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45 7. Formules de changement de base

(Les formules de changement de base pour les formes bilinéaires donnent ici [b(bi, bj)] =

PT .[b(ai, aj)].P où P est la matrice de passage de (ai) à (bi), mais on ne se servira pas de ce ré-sultat ; voir remarque 7.23.)

Il s'agit de montrer que s+ = t+ et s− = t−.Montrons que la famille (φ1, ..., φs+ , ψt++1, ..., ψn) est une famille libre (donc s+ + n− t+ ≤ n, et

donc s+ ≤ t+).Soit une combinaison linéaire nulle α1φ1 + ...+ αs+φs+ + βt++1ψt++1 + ...+ βnψn = 0, i.e. les αi

et βi vérient :s+∑i=1

αiφi = −n∑

i=t++1

βiψi. (7.38)

Donc :

b(

s+∑i=1

αiφi,

s+∑i=1

αiφi) = b(−n∑

i=t++1

βiψi,−n∑

i=t++1

βiψi),

soit :s+∑

i,j=1

αiαjb(φi, φj) =n∑

i,j=t++1

βiβjb(ψi, ψj).

Et pour i, j ∈ [1, s+]N on a :

b(φi, φj) =

s+∑k=1

φk(φi)φk(φj) + 0 =

s+∑k=1

δki δkj = δij .

D'où∑s+

i,j=1 αiαjb(φi, φj) =∑s+

i=1 α2i .

De même∑n

i,j=t++1 βiβjb(ψi, ψj) = −∑t++t−

i=t++1 β2i + 0.

D'où∑s+

i=1 α2i = −

∑t++t−i=t−+1 β

2i .

Donc tous les carrés sont nuls, donc dans (7.38) il reste 0 = −∑n

i=t++t−+1 βiψi. Et la famille (ψi)

est libre. Donc les βi pour i ≥ t+ + t− + 1 sont nuls. Finalement dans (7.38) tous les réels sont nuls :la famille (φ1, ..., φs+ , ψt++1, ..., ψn) est libre. Donc s+ ≤ t+.

De même t+ ≤ s+, donc s+ = t+.De même s− = t−.

7.12 * Pseudo produit scalaire et produit scalaire lorentzien

7.12.1 * Dénition d'un pseudo produit scalaire

Dénition 7.25 Une forme bilinéaire b : E × E → R est dite non dégénérée ssi :

si ∀w ∈ E on a b(v, w) = 0 alors v = 0. (7.39)

Dénition 7.26 Un pseudo-produit scalaire sur un e.v. E est une forme bilinéaire η ∈ L2(E;R) quiest symétrique et non dégénérée, i.e. :

1. η ∈ L2(E;R),2. η(v, w) = η(w, v) pour tout v, w ∈ E,

3. η vérie (7.39) : si pour tout w ∈ E on a η(v, w) = 0 alors v = 0.

7.12.2 * Dénition du produit scalaire lorentzien

Dénition 7.27 Un pseudo-produit scalaire est appelé un produit scalaire de Lorentz.

Dans E = R4 = R × R3, on note X = (x0, x) ∈ R × R3 et Y = (y0, y) ∈ R × R3. La métriquelorentzienne usuelle est le pseudo produit scalaire η déni par :

η(X, Y ) = x0y0 − (x, y)R3 . (7.40)

Dans la base canonique de R4, la matrice de η est [η] =

(1 00 −I

)où I est la matrice identité de R3.

Vérions (7.39) : soit X = (x0, x) donné. On prend Y = (1, 0), et l'hypothèse η(X, Y ) = 0 = x0donne x0 = 0. Puis on prend Y = (0, x), et l'hypothèse η(X, Y ) = 0 = −||x||2R3 donne x = 0 : doncX = 0 ∈ R4.

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46 7. Formules de changement de base

Remarque 7.28 Posant X = (1, x) = 0 avec ||x||R3 = 1, on a η((1, x), (1, x)) = 0 : non dégénéréne veut pas dire η(v, v) = 0 implique v = 0, mais uniquement (7.39). D'ailleurs un vecteur X telque η(X, X) = 0 correspond à une information qui se propage à la vitesse de la lumière (quandx0 =déf ct).

Remarque 7.29 Suivant les auteurs, le signe peut changer : η(X, Y ) = −x0y0 + (x, y)R3 .

7.12.3 * Signature du produit scalaire lorentzien

La métrique lorentzienne a pour signature (1,3) (ou suivant les auteurs (3,1)). On préfère souventécrire que la métrique lorentzienne a pour signature (+,−,−,−) (ou suivant les auteurs (−,+,+,+)),ce qui lève les ambiguïtés.

7.12.4 * Transformation de Lorentz (changement de base)

On observe le mouvement d'un objet de masse non nulle dans un référentiel R d'origine O etd'espace vectoriel R4 = R × R3 = X = (x0=ct, x, y, z). Pour simplier on se restreint au cas où lemouvement a lieu le long de l'axe des x (donc y et z sont constants).

Si on note v la vitesse de l'objet suivant l'axe des x dans R, et si on note c la vitesse de la lumière,alors v < c et on pose :

β =v

c, coshα =

1√1− β2

, sinhα =β√

1− β2, γ =

1√1− β2

. (7.41)

(On a β < 1, γ > 1 et cosh2 α− sinh2 α = 1.)Un second observateur est attaché au référentielR′ d'origine O′ et d'espace vectoriel R4 = R×R3 =

X ′ = (x0′=ct′, x′, y′, z′). La relation entre les deux observateurs est donné par les équations deLorentz :

ct′ = ct coshα− x sinhα,

x′ = − ct sinhα+ x coshα,

y′ = y,

z′ = z.

(7.42)

Matriciellement cela s'écrit :ct′

x′

y′

z′

= Λ−1.

ctxyz

où Λ−1 =

coshα − sinhα 0 0− sinhα coshα 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (7.43)

Proposition 7.30 On a :

Λ =

coshα sinhα 0 0sinhα coshα 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (7.44)

(Ce n'est pas un matrice orthonormale, i.e. matrice de changement de bases orthonormées dans R.)

Dénition 7.31 La matrice Λ est appelée matrice de transformation de Lorentz (matrice de chan-gement de base de Lorentz).

Vu comme matrice de changement de base, la matrice Λ permet de passer de la base orthonormée(e0, e1, e2, e3) dans R en la base vue dans R comme étant la base (e0

′, e1′, e2

′, e3′) donnée par :

ei′ = Λ.ei, (7.45)

soit, lecture colonne par colonne :

e0′ = coshαe0 + sinhαe1, e1

′ = sinhαe0 + coshαe1, e2′ = e2, e3

′ = e3. (7.46)

Et avec les formules de changement de base on retrouve bien X ′ = Λ−1.X.

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47 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

Proposition 7.32 Notant [η] =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

la matrice de la pseudo-métrique de Lorentz dans

la base canonique de R4, on a pour i, j = 0, 1, 2, 3 :

η(ei′, ej

′) = δij , (7.47)

i.e. la transformation de Lorentz conserve la η-pseudo-orthonormalité de la base, autrement dit :

ΛT .[η].Λ = [η]. (7.48)

(Comme ΛT = Λ, on a également Λ.[η].Λ = [η] ; on conserve néanmoins ΛT en référence aux formulesusuelles de changement de base pour les formes bilinéaires E × E → R.)

Preuve. Calcul immédiat puisque cosh2 α− sinh2 α = 1.

8 Vecteur covariant vs. vecteur contravariant

Les mots covariant et contravariant semblent être utilisés l'un pour l'autre suivant les originesscientiques. Cf. Spivak [9], p.113 : "...Classical terminology used these same words, and it just happensto have reversed this... And no one has had the gall or authority to reverse terminology so sanctiedby years of usage...". Ici on suit la dénition de Spivak.

8.1 Dénition de vecteur co- ou contra- variant : géométrie diérentielle

Soit E un espace vectoriel de dimension nie n. Un élément d'un espace vectoriel est appelé unvecteur.

Dénition 8.1 Un vecteur covariant est une forme linéaire sur E, i.e. un élément l'espace vectoriel E∗

(qui est un espace vectoriel). Un vecteur covariant est égal appelé un vecteur dual, ou encore un tenseurcovariant.

Donc un vecteur covariant varie avec (ou agit sur) un vecteur.

Dénition 8.2 Un élément du bidual E∗∗ = (E∗)∗ = L(E∗;R) = T 10 (E) est appelé un vecteur

contravariant . Par dénition un vecteur contravariant est donc un tenseur contravariant.

Donc un vecteur contravariant varie avec (ou agit sur) une forme linéaire.

Par isomorphisme canonique, on identie le bidual E∗∗ à l'espace E. D'où la dénition :

Dénition 8.3 Un vecteur est également appelé un vecteur contravariant.

8.2 Co- et contra- : traditionnellement attaché aux règles de changementde base

Un vecteur et une forme linéaire ont une existence par eux-mêmes (ils sont intrinsèques) : ils nenécessitent ni l'introduction d'une base ni l'introduction d'un produit scalaire.

Mais souvent les termes covariant et contravariant sont dénis à partir de bases, et donne le sens(à savoir P ou P−1) dans les formules de changement de base (7.14) et (7.23) :

quand : ei,new = P.ei,old :

* les composantes d'un vecteur sont dites contravariantes car [v]new = P−1.[v]old.* les composantes d'une forme (d'un vecteur covariant) sont dites covariantes car [ℓ]new = [ℓ]old.P

9 Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

La représentation d'une forme linéaire par un vecteur de représentation à l'aide du théorèmede Riesz est non intrinsèque : elle nécessite l'introduction d'un produit scalaire g(·, ·) dont le choixdépend de l'observateur.

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48 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

9.1 Théorème de représentation de Riesz et vecteur de représentation

9.1.1 Le théorème de représentation de Riesz

Théorème 9.1 (Théorème de représentation de Riesz) Soit g(·, ·) = (·, ·)g un produit scalaire sur unespace vectoriel E, et soit ||.||g la norme associée.

Si ℓ ∈ E∗ (forme linéaire) est continue alors ℓ peut être représentée par un unique vecteur ℓ ♯ ∈ Erelativement au produit scalaire g(·, ·) :

∃! ℓ ♯ ∈ E, ℓ(v) = (ℓ ♯, v)g, ∀v ∈ Rn. (9.1)

(N.B. : Le vecteur ℓ ♯ dépend à la fois de ℓ et de g(·, ·).) De plus ||ℓ ♯||g = ||ℓ||.Et donc dans une base (ei) de base duale (ei), si ℓ =

∑i ℓie

i = [ℓ] (matrice ligne) et si ℓ ♯ =∑i ℓ

iei = [ℓ ♯] (matrice colonne), alors, avec [g] = [g(ei, ej)], on a la relation matricielle entre lescomposantes :

[ℓ ♯] = [g]−1.[ℓ]T , (9.2)

soit, pour tout i :ℓi =

∑j

gijℓj , (9.3)

où on a noté :[gij ]

déf= [g]−1. (9.4)

(Voir la justication de cette notation dans la suite au paragraphe 11.5.)(On a utilisé [ℓ]T car la matrice [ℓ] d'une forme linéaire est une matrice ligne, alors que la matrice

[ℓ ♯] d'un vecteur est une matrice colonne.)

En particulier pour la base duale (ei), les vecteurs associés par Riesz sont les ei♯donnés par :

ei♯=

n∑i=1

gij ej , (9.5)

et (ei♯)i=1,...,n est une base de E appelée la base vectorielle g(·, ·)-duale (elle vérie g(ei, ej

♯) = δji ).

Preuve. Démonstration dans le cas de la dimension nie (ou toutes les formes linéaires sont continues).Analyse. Si (ei) est une base de E de base duale (ei), posant ℓ =

∑i ℓie

i, v =∑

i viei et g =∑

ij gijei ⊗ ej , alors, si ℓ ♯ =

∑i ℓ

iei existe, (9.1) donne :

[ℓ].[v] = [ℓ ♯]T .[g].[v],

écrite condensée de∑

i ℓivi =

∑ij ℓ

jgijvi. Comme cette relation doit être vraie pour tout v, on en

déduit que [ℓ] = [ℓ ♯]T .[g], soit, donc, comme [g] est symétrique (et donc [g]−1 aussi), (9.2). Donc si ℓ ♯

existe, il est unique.Synthèse. Soit ℓ ♯ le vecteur déni dans la base ei par [ℓ ♯] = [g]−1.[ℓ]T , i.e par ℓi =

∑j g

ijℓi, avec

la notation (9.4). Alors on vérie immédiatement que ℓ.v = g(ℓ ♯, v). D'où (9.1).Et ||ℓ|| = ||ℓ ♯||g est immédiat avec l'inégalité de CauchySchwarz : 1- on a |ℓ(v)| ≤ ||ℓ ♯||g||v||g

pour tout v, d'où ||ℓ|| ≤ ||ℓ ♯||g, et 2- pour v = ℓ ♯ on a |ℓ(ℓ ♯)| = ||ℓ ♯||2g, d'où ||ℓ|| ≥ ||ℓ ♯||g. (Egalitédans CauchySchwarz quand v//ℓ ♯.)

Puis notons ei♯=∑

k αikek ∈ E. Alors (9.1) donne ei.ej = g(ei

♯, ej) =

∑k α

ikgkj avec ei.ej = δijpour tout i, j, d'où [αik].[gkj ] = I. Autrement dit [αij ] = [gij ]

−1 =noté [gij ].Pour une démonstration en dimension innie et/ou sans l'utilisation d'une base, voir cours d'élé-

ments nis.

Remarque 9.2 La notation dièse dans ℓ ♯ fait référence à la montée des indices : si ℓ ∈ E∗ estdonnée par ℓ =

∑i ℓie

i = [ℓi]|(e), alors ℓ ♯ =∑

i ℓiei = [ℓi]|(e) donné par (9.3).

Dénition 9.3 Le vecteur ℓ ♯ est appelé vecteur de représentation de ℓ pour le produit scalaire g(·, ·).

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49 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

On a ainsi déni l'application linéaire ♯ qui dépend de g(·, ·) :

♯ :

E∗ → E

ℓ 7→ ♯(ℓ) = ℓ ♯

, avec ||ℓ ♯||g = ||ℓ||, (9.6)

où ||ℓ|| = supv∈E|ℓ(v)|||v||g est la norme de la forme linéaire ℓ (bien dénie car ℓ est supposée continue).

Proposition 9.4 L'application ♯ est linéaire : ♯ ∈ L(E∗, E).

Preuve. g((ℓ+m)♯, v) = (ℓ+m)(v) = ℓ(v) +m(v) = g(ℓ ♯, v) + g(m♯, v) = g(ℓ ♯ + m♯, v) pour tout vdonne bien ♯(ℓ+m) = ♯(ℓ) + ♯(m). Et de même g((λℓ)♯, v) = λg((ℓ)♯, v) pour tout v.

Remarque 9.5 L'utilisation d'un produit scalaire est incontournable en mécanique (notion d'angle).Mais son usage systématique pour représenter une forme linéaire à l'aide d'un vecteur peut créer denombreuses confusions possibles, aussi bien dans les calculs que dans les interprétations. Par exemple :

- A force de tout représenter sous forme de vecteurs, on a tendance à oublier ce qu'est une fonction,et ce qu'est un vecteur. De manière générale une forme linéaire sera un instrument de mesure servantà évaluer des vecteurs.

- Mélange du caractère covariant et du caractère contravariant : les vecteurs et les formes ne suiventpas les mêmes règles de changement de base. Et on verra pour les champs de vecteurs et les champsde formes que les dérivées ne sont pas les mêmes (cf. les connexions, polycopié suivant).

- Le choix d'un produit scalaire dépend de l'utilisateur : si on se sert du produit scalaire pour estimerdes longueurs, c'est évident (mètres, pieds ?). Son choix n'est pas intrinsèque. De plus en relativité, unproduit scalaire n'est pas conservé par changement d'observateur (contraction des longueurs, dilatationdu temps) : il est indispensable de diérencier la notion de contravariance de la notion de covariance.

Remarque 9.6 En mécanique, dans Rn, le produit scalaire généralement utilisé est le produit scalaireeuclidien (ou plus généralement la métrique euclidienne). Si la base utilisée est la base canonique, alors[g] = I est la matrice identité. Mais la base utilisée n'est pas nécessairement la base canonique : c'estsouvent la base d'un système de coordonnées, base qui n'est en général pas orthonormée. Auquel cas[g] = I.

Et on ne règle toujours pas le problème de unités de longueur, cf. n de remarque précédente.De plus il n'y a pas que Rn comme espace usuel utilisé : penser aux déplacements (on cherche une

fonction d'énergie nie : dans L2(Ω)), aux déformations (on cherche une fonction d'énergie nie dontla dérivée est d'énergie nie)... Ces espaces vectoriels ne sont pas des produits cartésiens, n'ont pas deproduit scalaire euclidien, sont de dimension innie avec des produits scalaires usuels qui ne sont pasdu tout équivalents les uns aux autres...

9.1.2 Réciproque

La réciproque du théorème de Riesz est immédiate. Elle permet entre autre d'introduire la notationbémol.

Théorème 9.7 Soit g(·, ·) = (·, ·)g un produit scalaire sur un espace vectoriel E. Si v ∈ E alorsl'application v dénie par :

∀w ∈ E, v(w) = g(v, w) (9.7)

est linéaire et continue sur (E, ||.||g).Et donc dans une base (ei) de base duale (ei), si v =

∑i v

iei = [v] (matrice colonne), si v =∑i(v

)iei = [v] (matrice ligne), alors :

[v] = [v]T .[g], (9.8)

soit, pour tout j :vj =

∑i

vigij . (9.9)

Preuve. Comme g(·, ·) est bilinéaire, la linéarité de v est immédiate. Puis |v(w)| ≤ ||v||g||w||g, doncv est continue dans (E, ||.||g).

Puis d'une part v.w = [v].[w], et d'autre part v.w = g(v, w) = [v]T .[g].[w] pour tout w,d'où (9.8).

Remarque 9.8 La notation bémol dans v fait référence au fait qu'on descend les indices : siv =

∑i v

iei = [vi]|(e), alors on a v =∑

i viei = [vi]|(e) donné par (9.9).

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50 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

9.1.3 Cas du pseudo-produit scalaire de Lorentz

Le théorème de représentation de Riesz subsiste :

Théorème 9.9 Soit (Rn, (·, ·)Rn) l'espace euclidien usuel. On munit également Rn d'un pseudo-produit scalaire de Lorentz déni sur la base canonique (ei) de Rn par :

η(ei, ej) = ηij , [ηij ] matrice symétrique inversible.

(La signature de η est de type (s, n−s).)Alors si v ∈ Rn, l'application v dénie par :

∀u ∈ Rn, v(u) = η(v, u) (9.10)

est linéaire : v ∈ Rn∗ (forme linéaire), alors il existe un unique vecteur v ∈ Rn vériant (9.10).Et réciproquement, si v ∈ (Rn)∗, alors il existe un unique vecteur v ∈ Rn vériant (9.10).Et si v =

∑i v

iei = [v] (matrice colonne), si v =∑

i(v)ie

i = [v] (matrice ligne), alors :

[v] = [v]T .[η]. (9.11)

Preuve. Si v ∈ Rn, alors comme η est bilinéaire, la forme v dénie par (9.10) est linéaireRéciproquement. Soit v =

∑ni=1 vie

i est une forme linéaire. Si v =∑

j vj ej est un vecteur véri-

ant (9.10), alors pour u = ek on a :

v(ek) = vk = η(v, ek) =∑j

vj η(ej , ek),

système de n équations aux n inconnues les vj . Comme [η] est inversible, on a l'existence et l'unicitédes vj . Et ce système n'est autre que (9.11).

Exemple 9.10 Dans R4 et la métrique usuelle de Minkowski donnée dans la base canonique (Ei) par

[η] =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, si v =3∑

j=0

vjej noté

= ( v0 v1 v2 v3 ), si v =3∑

j=0

vj ejnoté=

v0

v1

v2

v3

alors

v0 = v0, v1 = −v1, v2 = −v2 et v3 = −v3.

9.2 Le vecteur de représentation est un vecteur (est contravariant)

On reprend les bases précédentes (ei,old) et (ei,new), où donc ej,new =∑

i Pij ei,old, avec un produit

scalaire g(·, ·) xé.

Proposition 9.11 Le vecteur covariant ℓ ∈ E∗ (la forme linéaire) a son vecteur de représentationassocié ℓ ♯ qui est contravariant au sens des règles de changement de base :

avec [ℓ]new = [ℓ]old.P on obtient [ℓ ♯]new = P−1.[ℓ ♯]old. (9.12)

Preuve. Avec (9.2) on a :

[ℓ ♯]new = [g]−1new.[ℓ]

Tnew, [ℓ ♯]old = [g]−1

old.[ℓ]Told.

Formules de changement de base :

[ℓ]new = [ℓ]old.P et [g]new = PT .[g]old.P.

Donc :

[ℓ ♯]new = (PT .[g]old.P )−1.([ℓ]old.P )

T = P−1.[g]−1old.P

−T .PT .[ℓ]Told = P−1.[g]−1old.[ℓ]

Told = P−1.[ℓ ♯]old.

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51 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

Exemple 9.12 Dans R2 muni de son produit scalaire euclidien. Soit (Ei) = (ei,old) la base canoniqueet (dxi) sa base duale.

Soit ℓ : R2 → R donnée par ℓ = ℓ1,olddx1 + ℓ2,olddx

2 =noté ( ℓ1,old ℓ2,old ) = [ℓ]old.

Soit (ei) = (ei,new) la base donnée par la matrice de passage P =

(1 10 1

), i.e. e1 = E1 et

e2 = E1 + E2 (les composantes sont données par les colonnes de P ).

Sa base duale (e1, e2) est donnée par les lignes de P−1 =

(1 −10 1

)(car P−1.P = I = [ei.ej ] =

[δij ]), soit donc e1 = dx− dy et e2 = dy.

Soit ℓ donné par ℓ = ℓ1,newe1 + ℓ2,newe

2 =noté ( ℓ1,new ℓ2,new ) = [ℓ]new dans la nouvelle base.Formule de changement de base : ( ℓ1,new ℓ2,new ) = ( ℓ1,old ℓ2,old ) .P .Donc ℓ1,new = ℓ1,old et ℓ2,new = ℓ1,old + ℓ2,old, ou encore ℓ1,old = ℓ1,new et ℓ2,old = ℓ2,new − ℓ1,new.Soit ℓ ♯ le vecteur représentant ℓ relativement au produit scalaire canonique. Dans l'ancienne base

ℓ ♯ = ℓ1oldE1 + ℓ2oldE2 =noté

(ℓ1oldℓ2old

)et ℓ(v) = (ℓ ♯, v)R2 donne immédiatement : ℓ1old = ℓ1,old et ℓ2old =

ℓ2,old.

Dans la nouvelle base ℓ ♯ = ℓ1newe1 + ℓ2newe2 =noté

(ℓ1newℓ2new

), et ℓ(v) = (ℓ ♯, v)R2 soit [ℓ]new.[v]new =

[ℓ ♯]Tnew.

(1 11 2

).[v]new, car la matrice du produit scalaire dans la base nouvelle est [g]new =

[(ei, ej)R2 ] =

(1 11 2

). Donc en particulier avec v = e1 puis avec v = e2 on obtient ℓ1,new =

( ℓ1new ℓ2new ) .

(11

)= ℓ1new + ℓ2new et ℓ2,new = ( ℓ1new ℓ2new ) .

(12

)= ℓ1new + 2ℓ2new.

Et la formule de changement de base pour les vecteurs donne

(ℓ1newℓ2new

)=

(1 −10 1

).

(ℓ1oldℓ2old

).

Donc ℓ1new = ℓ1old − ℓ2old et ℓ2new = ℓ2old, soit ℓ1old = ℓ1new + ℓ2new et ℓ2old = ℓ2new.

Vérions : on a ℓ.v = (ℓ ♯, v)R2 qui doit donner d'une part = [ℓ]old.[v]old = [ℓ ♯]Told.[v]old et d'autre

part = [ℓ]new.[v]new = [ℓ ♯]Tnew.

(1 11 2

).[v]new.

Donc avec v = e1 on a d'une part ℓ.e1 = ℓ1,old = (ℓ ♯, e1)R2 = ℓ1old, et d'autre part ℓ.e1 = ℓ1,new =

(ℓ ♯, e1)R2 = ( ℓ1new ℓ2new ) .

(11

)= ℓ1new + ℓ2new. OK.

Et avec v = e2 on a d'une part ℓ.e2 = ℓ1,old + ℓ2,old = (ℓ ♯, e2)R2 = ℓ1old + ℓ2old, et d'autre part

ℓ.e2 = ℓ2,new = (ℓ ♯, e2)R2 = ( ℓ1new ℓ2new ) .

(12

)= ℓ1new + 2ℓ2new. OK.

9.3 Exemple : le vecteur gradient est un vecteur de représentation

Pour simplier la présentation on prend E = Rn.Soit f ∈ C1(Rn;R). Sa diérentielle en un point x est la forme linéaire dénie par : pour tout

v ∈ Rn, au voisinage de h = 0 :

f(x+ hv) = f(x) + h df(x).v + o(h). (9.13)

Etant donné un produit scalaire g(·, ·) = (·, ·)g, alors on représente df(x) à l'aide du vecteurgradient gradgf(x) déni par :

df(x).v = ( gradgf(x), v)g. (9.14)

Cas E = (Rn, (·, ·)Rn) (Rn muni de son produit scalaire euclidien g(·, ·) = (·, ·)Rn). On notealors :

gradg = grad. (9.15)

Représentation dans la base canonique (Ei) donnée de Rn de base duale (dxi).

Pour [df(x) : Si, si x =∑

i xiEi, on a df(x) =

∑j

∂f∂xj (x)E

j qui est représentée par sa matrice ligne

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52 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

[df(x)] = [ ∂f∂xi ]i=1,...n = ( ∂f∂x1 ... ∂f

∂xn ). Soit encore :

df(x).v =∑i

∂f

∂xivi

noté= [df(x)].[v], (9.16)

quand v =∑

i viEi.

Et (9.14) donne [df(x)].[v] = [ gradgf(x)]T .[g].[v] pour tout v ∈ Rn. Donc :

[df(x)] = [ gradgf(x)]T .[g], (9.17)

égalité entre matrice lignes. Soit encore :

[ gradgf(x)] = [g]−1.[df(x)]T , (9.18)

égalité entre matrice colonnes. Soit génériquement :

( gradgf)i =

∑j

gij∂f

∂xj. (9.19)

Remarque 9.13 Pour le choix du produit scalaire euclidien et de la base canonique, on a [gij ] = I

et donc [ gradf(x)] = [df(x)]T .

Exercice 9.14 Exprimer le gradient en coordonnées polaires (donc ici dans (Rn, (·, ·)Rn)).

Réponse. Réponse 1. On donne ici une démarche générique (permettant de trouver l'expression du gradientdans tout système de coordonnées, puis l'expression des dérivées supérieures).

0- Le cadre initial est R2 muni de son produit scalaire canonique. On note (E1, E2) la base canoniquede R2.

1- Soit

φ :

R2 → R2

q =

(rθ

)→ φ(q) = x =

(x = r cos θy = r sin θ

),

le système de coordonnées polaires où la matrice colonne exprime les coordonnées dans la base canonique dansl'espace d'arrivée. Le vecteur q est le vecteur des coordonnées paramétriques et le vecteur x est le vecteurdes coordonnées géométriques. (Pour avoir un diéomorphisme, on restreint par exemple l'espace de départ àR∗

+×]− π, π[ et l'espace d'arrivée à R2 − (x ≤ 0, y = 0).)Conventions :

Espace de départ des q = (r, θ), base canonique (E1, E2).Espace d'arrivée des x = (x, y), base canonique (E1, E2), base duale (dx, dy) (d'après le nom des variables).

Si f : q → x est diérentiable, on note ∂f∂qi

(q) =déf df(q).Ei (= limh→0f(q+hEi)−f(q)

h), où donc ici (Ei) est

la base canonique dans l'ensemble de départ (des paramètres).

2- La base des coordonnées polaires en un point x = φ(q) et formée des vecteurse1(x) = dφ(q).E1

noté=

∂φ

∂r(q) =

(cos θsin θ

),

e2(x) = dφ(q).E2noté=

∂φ

∂θ(q) =

(−r sin θr cos θ

),

où les matrices colonnes exprime les coordonnées dans la base canonique dans l'espace d'arrivée.

Et P = [dφ(q)] = ( ( ∂φ∂r

) ( ∂φ∂θ

) ) =

(cos θ −r sin θsin θ r cos θ

)= matrice de passage : les composantes des vecteurs

e1(x) et e2(x) (de base du système en x) sont données par les colonnes de P (dans la base canonique d'arrivée).

3- La base duale (e1(x), e2(x)) de la base (e1(x), e2(x)) du système en x = φ(q) est donnée par les lignes

de P−1 = 1r

(r cos θ r sin θ− sin θ cos θ

)(puisque [ei.ej ] = I = [δij ]). Donc on a :

dr(x) = e1(x) = cos θ dx+ sin θ dy = ( cos θ sin θ ) ,

dθ(x) = e2(x) = −1

rsin θ dx+

1

rcos θ dy = (− 1

rsin θ 1

rcos θ ) ,

expressions dans la base duale (dx, dy) de la base canonique (ici on est dans l'espace d'arrivée).

52 13 mai 2013

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53 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

Noter que dr(x) et dθ(x) sont bien les expressions des composantes de dq(x) = d(φ−1)(x) =

(dr(x)dq(x)

).

En eet r = (x2 + y2)12 et θ = tan−1( y

x) pour les θ ∈] − π

2, π2[, d'où ∂r

∂x(x) = x

(x2+y2)12

= xr

= cos θ et

∂r∂y

(x) = yr= sin θ qui redonnent dr(x) = ∂r

∂x(x)dx + ∂r

∂y(x)dy, et ∂θ

∂x(x) = − y

x2(1+( yx)2)

= − yr2

= − sin θr

, et∂θ∂y

(x) = 1x(1+( y

x)2)

= xr2

= cos θr

qui redonnent dθ(x) = ∂θ∂x

(x)dx+ ∂θ∂y

(x)dy.

4- Soit une fonction g : x → g(x) dénie dans l'espace géométrique. De manière générique, étant donnéune base (ei(x)) de base duale associée (ei(x)), sa diérentielle s'exprime comme :

dg(x) = (dg(x).e1(x))e1(x) + (dg(x).e2(x))e

2(x),

vérication triviale en appliquant ei(x) aux deux termes et par dénition de la base duale. Et ici :

dg(x).e1(x) =∂(g φ)

∂r(x)

noté=

∂g

∂r(x), dg(x).e2(x) =

∂(g φ)∂θ

(x)noté=

∂g

∂θ(x)

sont les dérivées dans les directions des vecteurs de base e1(x) et e2(x) du système de coordonnées en x (pasdans les directions de vecteurs de base canonique de l'espace géométrique). Donc :

dg(x) =∂g

∂r(x) dr(x) +

∂g

∂θ(x) dθ(x).

N.B. : c'est bien une dénition de notations car g est une fonction qui dépend de x et non de q. Cettenotation provient de la fonction f dénie par f = g φ, i.e. par :

f(q)déf= g(x), quand x = φ(q).

Et on a :

df(q) =∂f

∂r(q)dr +

∂f

∂θ(q)dθ.

Et par dérivation de fonctions composées on a df(q) = dg(x).dφ(q) quand x = φ(q). Ce qui appliqué auxvecteurs Ei donne :

∂f

∂r(q) = dg(x).e1(x),

∂f

∂θ(q) = dg(x).e2(x),

d'où les notations ∂f∂r

(q) =noté ∂g∂r

(x) et ∂f∂θ

(q) =noté ∂g∂θ

(x).

5- Par dénition du gradient, le produit scalaire étant le produit scalaire canonique, on a (théorème dereprésentation de Riesz) :

( gradg(x), v)R2 = dg(x).v,

pour tout vecteur v ∈ R2. Notant

(w1

w2

)les composantes de gradg(x) dans la base du système polaire, c'est

à dire gradg(x) = w1e1(x) + w2e2(x), puis prenant les v = ei(x), on obtient :

w1||e1(x)||2 =∂g

∂r(x), w2||e2(x)||2 =

∂g

∂θ(x).

Comme ||e1(x)||2 = 1 et ||e2(x)||2 = r2 on obtient :

gradg(x) =∂g

∂r(x)e1(x) +

1

r2∂g

∂θ(x)e2(x) =

( ∂g∂r

(x)1r2

∂g∂θ

(x)

)|(e1(x),e2(x))

.

6- La base du système de coordonnées polaires n'est pas la base polaire choisie par les mécaniciens : ils luipréfèrent la base orthonormée :

er(x) = e1(x) =

(cos θsin θ

), eθ(x) =

e2(x)

r=

(− sin θcos θ

).

D'où l'expression usuelle du gradient en "coordonnées polaires" :

gradg(x) =∂g

∂r(x)er(x) +

1

r

∂g

∂θ(x)eθ(x) =

( ∂g∂r

(x)1r

∂g∂θ

(x)

)(er(x),eθ(x))

. (9.20)

7- Exemple : g(x) = r tan θ, donc au sens g(x) =√

x2 + y2y

x. On pose g(x) = f(q) = r tan θ, et on

obtient :

gradg(x) =

( ∂f∂r

(q)1r

∂f∂θ

(q)

)=

(tan θ

1 + tan2 θ

)(er,eθ)

,

quand x = φ(q).

53 13 mai 2013

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54 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

9.4 Exemple : une force est un vecteur de représentation

Pour une description et une motivation mécanique, on pourra se référer à Germain [5], chapitre 3La représentation des eorts et les énoncés fondamentaux de la mécanique.... (Germain note U unvecteur et note [T ] un vecteur covariant, ainsi que U un vecteur considéré comme un déplacementvirtuel ou une vitesse virtuelle.)

L'idée est que pour mesurer une force f agissant sur un objet, il faut déplacer l'objet. SuivantGermain : pour connaître le poids d'une valise, la regarder n'est pas susant : il faut essayer desoulever la valise, et l'eort nécessaire pour la soulever permet d'en déduire le poids. Cet eortest quantié à l'aide du travail.

L'observation montre que l'eort nécessaire pour déplacer un objet est proportionnel au déplace-ment. La modélisation s'exprime : si E est l'espace des déplacements, l'eort est une forme linéaireT : E → R.

Dans un premier temps, si l'objet est modélisé par le domaine Ω ⊂ Rn, prenons E = L2(Ω)n:

L2(Ω)n= u : Ω → Rn :

∫Ω

||u(x)||2Rn dΩ (9.21)

l'ensemble des fonctions de carré intégrable (d'énergie nie). Cet espace est muni du produit scalaire(de l'énergie) :

(u, v)L2(Ω) =

∫Ω

(u(x), v(x))Rn dΩ, (9.22)

où (·, ·)Rn est le produit scalaire euclidien dans Rn.Alors le travail T étant linéaire sur L2(Ω), il peut être représentée par un vecteur f ∈ L2(Ω) à

l'aide du théorème de représentation de Riesz :

∃f ∈ L2(Ω), ∀u ∈ E, T (u) = (f , u)L2(Ω) (=

∫Ω

(f(x), u(x))Rn dΩ). (9.23)

Dénition 9.15 Le représentant f de T ci-dessus est appelé la force, ou vecteur force, agissantsur l'objet Ω.

Et E est appelé l'espace des déplacements virtuels (ou des vitesses virtuelles le cas échéant).

Remarque 9.16 Si l'objet est ponctuel en x, la mesure dΩ est remplacé par la mesure ponctuelle deDirac δx : T (u) = (f , u)Rn =noté f .u, où u ∈ Rn et f = f(x) est la force agissant sur l'objet ponctuel.Et si on dispose de plusieurs objets ponctuels, T (u1, ..., un) =

∑i(fi, ui)Rn . Et la modélisation pour

un objet continu est toujours la somme des f .u qui s'écrit∫f .u.

Corollaire 9.17 Par construction un champ de force f est un champ de vecteurs de représentation :il représente la forme diérentielle T .

Utilisons le théorème de Riesz dans Rn :

(f , u)Rn = ⟨f , u⟩, (9.24)

où f ∈ Rn∗ = L(Rn;R) est une forme linéaire. D'où les représentations dans une base : si (ei) estune base de Rn de base duale (ei), alors :

u =∑i

uiei = [u]e =

u1...un

e

, f =∑i

fiei = [f ]e = ( f1 · · · fn )e , (9.25)

donc avec [f ]e matrice ligne. Et avec le produit matriciel usuel (calcul de la valeur d'une applicationlinéaire sur un vecteur) :

⟨f , u⟩ = [f ]e.[u]e =∑i

fiui. (9.26)

Utilisons le produit scalaire euclidien (·, ·)Rn . Et soit (ei) une base non canonique de type polaire.Soit [g(·, ·)] la matrice du produit scalaire dans cette base : [g] = [gij ] où gij = (ei, ej)Rn =noté g(ei, ej).

54 13 mai 2013

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55 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

Alors :⟨f , u⟩ = (f , u)Rn =

∑ij

f igijuj =

∑j

(∑i

gijfi)uj (= [f ].[g].[u]), (9.27)

et donc [f ] = [f ].[g] (matrice ligne), soit :

fj =∑i

gijfi ou encore f i =

∑j

gijfj , (9.28)

où [gij ] =déf [gij ]−1 (matrice inverse).

On retrouve cette expression dans le calcul de déformations de plaques ou de coques, la base (ei)étant la base d'un système de coordonnées.

N.B. : si on utilise le produit scalaire euclidien (·, ·)Rn et la base canonique (Ei), alors on aimmédiatement :

f =∑i

f iEi = [f ]E =

f1

...fn

E

= [f ]TE =

f1...fn

E

. (9.29)

Noter cependant l'incohérence de position des indices et exposants dans ces égalités, incohérence quinous rappelle qu'on a utilisé un produit scalaire pour représenter T = f .

Remarque 9.18 En fait, on utilise le crochet de dualité ⟨forme linéaire,vecteur⟩ pour représenter lalinéarité :

T (u)noté= ⟨T , u⟩, (9.30)

ce qui permet de ne pas se contenter de L2(Ω) : par exemple T la masse de Dirac et u une fonctioncontinue (dualité pour la mesure de Radon), ou encore T une distribution et E l'ensemble de fonctionsC∞ à support compact (dualité au sens des distributions).

Il est clair dans ces exemples que T ne peut pas être représenté par un vecteur force dans L2(Ω),car la masse de Dirac par exemple n'est pas une fonction (donc n'est pas dans L2(Ω)).

Et écrire ⟨T , u⟩ = (f , u)L2(Ω) n'a alors aucun sens, car il n'existe pas de champ de forces f ∈ L2(Ω)vériant une telle égalité.

9.5 Exemple : la quantité de mouvement est un vecteur de représentation

L'égalité fondamentale de la mécanique, à savoir somme des forces = mγ où m est la masse etγ = dv

dt = d2xdt2 est l'accélération, est une égalité entre vecteurs de représentations.

Cet énoncé∑f = mγ se réfère au cas où la masse est constante. Le cas plus général (penser

par exemple à un véhicule qui consomme de l'essence et qui donc perd du poids au cours du temps)s'énonce : ∑

f =dp

dtoù p = mv, (9.31)

et p = mv est appelée la quantité de mouvement, où ici v est la vitesse réelle de l'objet.Comme les f sont des vecteurs covariants, il en est de même de p.D'ailleurs le principe fondamental s'énonce : pour tout champ de vecteurs u dans L2(Ω), on a :

(∑

f , u)L2(Ω) = (dp

dt, u)L2(Ω), (9.32)

noté :Pf (u) = Pγ(u), (9.33)

lu comme Puissance virtuelle de toutes les forces = puissance virtuelle des quantités d'accélération,ou bien sûr on a posé Pf (u) = (

∑f , u)L2(Ω) ainsi que Pγ(u) = (dpdt , u)L2(Ω), avec donc ici u interprété

comme vecteur vitesse virtuelle. (Voir Germain.)

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56 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

9.6 * Tenseur des contraintes

9.6.1 Approche classique

La première loi de Cauchy indique (voir le polycopié mécanique : fonctions lagrangiennes eteulériennes...) :

Soit un objet Ω, soit ω ⊂ Ω une partie de Ω, soit γ = ∂ω la surface de ω (qu'on suppose orientable),soit n(x) la normale unitaire sortante de ω en un point x de γ, et soit f représentant les forcessurfaciques sur γ.

Si l'objet obéit au principe fondamental, alors f est une fonction linéaire de n : pour chaque x ∈ Γ,il existe un endomorphisme σx : Rn → Rn tel que :

f(x, n(x)) = σx.n(x). (9.34)

La représentation dans une base (ei) de Rn est de la forme :

f =∑i

f iei = [f ]e =

f1

...fn

, n =∑i

niei = [n]e =

n1...nn

, (9.35)

et (endomorphisme) :σ =

∑ij

σij ei ⊗ ej , (9.36)

et donc σ.n =∑

ij σijn

j ei, et donc pour tout i :

f i =∑ij

σijn

j noté [f i] = [σij ].[n

j ]. (9.37)

Et donc avec le produit scalaire euclidien g(·, ·) = (·, ·)Rn exprimé sur la base (ei) à l'aide de sa matrice[gij ] = [(ei, ej)Rn ] :

(f(x), u(x))Rn = (f(x), u(x))g = (∑ik

f igikuk)(x)

= (σx.n(x), u(x))g = (∑ijk

σijn

jgikuk)(x).

(9.38)

En particulier avec la base canonique (Ei) on a gij = δij , et (f(x), u(x))Rn = (∑

ij njσi

jui)(x).

Et cet endomorphisme σx est symétrique si le deuxième principe de Cauchy est satisfait (principede conservation des moments) : (σx.n(x), u(x))Rn = (n(x), σx.u(x))Rn .

Et le travail surfacique s'exprime :

Tf (u) =

∫Γ

(f(x), u(x))g dΓ =

∫Γ

(∑ijk

σijn

jgikuk)(x) dΓ. (9.39)

Noter la cohérence de positions des indices et des exposants.En particulier avec la base canonique (Ei) on a gij = δij , et (f(x), u(x))Rn = (

∑ij n

jσiju

i)(x) :

Tf (u) =

∫Γ

f(x).u(x) dΓ =∑ij

∫Γ

(σijn

juj)(x) dΓ, (9.40)

où l'incohérence de positions des indices et des exposants souligne le caractère vecteur de représentationde la force (on a simplié avec gik = δik).

9.6.2 Approche physique mathématique

Le travail est Tf .u =noté ⟨Tf , u⟩, cf. (9.23), avec Tf une forme diérentielle et u un champ devecteurs.

Le travail des forces s'exprime à l'aide du théorème de représentation de Riesz dans L2(Ω), pouru ∈ L2(Ω)

n:

Tf (u) = (f , u)L2 =

∫Γ

(f(x), u(x))Rn dΓ, (9.41)

avec f ∈ L2(Ω).

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57 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

Cas Ω = Γ est une surface dans Rn (cas Ω une variété). Une surface Γ est décrite (où on se placedans R3 pour simplier la présentation) à l'aide d'un système de coordonnées, par exemple :

φ : (u1, u2) ∈ [a, b]× [c, d] → φ(u1, u2) ∈ Γ ⊂ R3, Imφ = Γ.

Penser à Γ la sphère et à sa représentation avec les coordonnées sphériques.Ce système de coordonnées permet de dénir la forme normale unitaire n à partir du volume

usuel de R3 (le déterminant de 3 vecteurs). Cette forme est dénie par :

n(v) = cdet(e1, e2, v), (9.42)

où ei = ∂φ∂ui

est le i-ème vecteur de base du système de coordonnées et où c est une constante de

normalisation donnant ||n|| = 1. Voir le polycopié Mécanique : tenseurs 3ème partie, calcul sur lessurfaces, ou voir Marsden et Hughes [7] p.136.

Notez qu'on a pas eu besoin d'introduire de produit scalaire pour dénir n : uniquement duproduit cartésien R×R×R et de sa base canonique pour dénir le volume (à l'aide du déterminant).

Et le vecteur normal unitaire n est déni à l'aide du théorème de représentation de Riesz par, pourtout v ∈ R3 :

n.v = (v, n)Rn . (9.43)

Ainsi (v, n)Rn est la composante de v le long du vecteur normal unitaire.

Avec Riesz, notons f (x) ∈ Rn∗ donnée par f (x).u(x) = (f(x), u(x))Rn . Donc (9.41) s'écrit égale-ment :

Tf (u) =

∫Γ

f (x).u(x) dΓ =

∫Γ

(f(x), u(x))Rn dΓ =

∫Γ

(σx.n(x), u(x))Rn dΓ. =

∫Γ

(n(x), σx.u(x))Rn dΓ,

(9.44)où on a supposé que le tenseur de Cauchy σ était symétrique (endomorphisme symétrique relativementau produit scalaire canonique de Rn). Donc :

f = (σ.n) = n.σ. (9.45)

En eet d'une part (n.σ).u = n.(σ.u) =∑

ij niσiju

j =∑

ijk nkgikσ

iju

j = g(n(x), σx.u(x)).Et le travail s'exprime :

Tf (u) = ⟨f , u⟩ noté= ⟨n|σ|u⟩. (9.46)

Remarque 9.19 Autre approche : on conserve le vecteur normal unitaire usuel n (sans passer par laforme normale unitaire n), mais on modie σ = [σi

j ] : la linéarité de f en fonction de n s'exprimeaussi :

f = σ.n, (9.47)

où σ ∈ T 02 (Rn), où le point du membre de droite est celui de la contraction. Donc dans une base,

avec σ =∑

ij σijei ⊗ ej :

f = (∑ij

σijei ⊗ ej).

∑k

nkek =∑ij

σijnjei, (9.48)

et donc fi =∑

j σijnj . Et on obtient le travail :

Tf (u) =

∫Γ

⟨f , u⟩ =∫Γ

⟨σ.n, u⟩ =∫Γ

σ(n, u)(x) dΓ =

∫Γ

(σijniuj)(x) dΓ. (9.49)

La position des indices est cohérente. Et cette forme bilinéaire σ est symétrique si le deuxième principede Cauchy est satisfait (principe de conservation des moments) : σ(n, u) = σ(u, n).

Remarque 9.20 On peut bien sûr jongler avec les notations : avec la métrique riemannienne g(·, ·)dans Rn exprimée dans une base (ei), on a g(n, u) =

∑ij n

igijuj , avec Riesz qui donne g(n, u) =

n.u =∑

j njuj , d'où on déduit que nj =

∑i gijn

i. Ou encore ni =∑

j gijnj quand [gij ] =déf [gij ]

−1.

Et σ = [σij ] peut être transformé par Riesz en σ = [σij ] : ainsi σ est la forme bilinéaire don-

née par σ(n, u) = g(σ.n, u) (pour le produit scalaire g(·, ·)), qui sous forme de coordonnées s'écrit∑ij n

iσijuj =

∑ij(∑

k σikn

k)gijuj donc =

∑ijk σ

ki n

igkjuj , et donc σij =

∑k σ

ki gkj .

Et σ♯ ∈ T 20 (Rn) est la forme bilinéaire associée dénie par σ♯(n, u) = σ(n, u) quand n.v =

g(n, v) et u.v = g(u, v) pour tout v ∈ Rn. Soit encore σ♯(n, u) = g(σ.n, u), qui sous forme decoordonnées s'écrit

∑ij niσ

ijuj =∑

ij(∑

k σikn

k)gijuj . Et comme g(n, v) = n.v pour tout v, on a

ni =∑

j gijnj et même que ui =

∑j giju

j . Et donc σij =∑

k σikg

kj .

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58 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

9.6.3 Application à la méthode du gradient conjugué

La méthode du gradient conjuguée n'est autre que le méthode du gradient appliquée avec le produitscalaire adéquat. Traitons le cas E = R2 pour alléger les notations, (E1, E2) la base canonique, et

notons x = xE1+yE2 =

(xy

)un point de R2 (considéré comme espace ane) et de manière générique

v = v1E1 + v2E2 =

(v1

v2

)un vecteur de R2 (considéré comme espace vectoriel associé).

On rappelle que si Φ : Rn → R est C1, on a le développement de Taylor :

Φ(x+ hv) = Φ(x) + h dΦ(x).v + o(h). (9.50)

Si on choisit le produit scalaire euclidien g(v, w) = (v, w) = (

(v1

v2

),

(w1

w2

)) = v1w1+v2w2, on dénit

le gradient usuel de Φ en x comme étant l'unique vecteur gradΦ(x) vériant :

dΦ(x).v = ( gradΦ(x), v), ∀v ∈ R2.

L'existence et l'unicité sont donnés par le théorème de représentation de Riesz.Si on prend un autre produit scalaire g(·, ·) = (·, ·)g, notons gradgΦ, toujours à l'aide du théorème

de représentation de Riesz, l'unique vecteur tel que :

dΦ(x).v = g( gradgΦ(x), v), ∀v ∈ R2. (9.51)

Les vecteurs gradgΦ et gradΦ sont en général diérents.

Application à la méthode du gradient conjugué.On se place dans R2 pour simplier la présentation, et on note x = (x, y). Il s'agit de minimiser la

fonctionnelle :Φ(x, y) = ax2 + by2,

où a, b ≥ 0 et a = b. Ici la réponse est immédiate : Φ est positive, et le minimum de Φ vaut 0, atteintpour x = 0.

Si on applique la méthode du gradient, c'est qu'on considère le produit scalaire euclidien et laformule de Taylor (9.50) approximée :

Φ(x+ hv) ≃ Φ(x) + h ( gradΦ(x), v),

et qu'on dit que x et h étant donnés, la direction v telle que Φ(x+ hv) soit le plus faible possible estdonnée lorsque ( gradΦ(x), v) est le plus négatif possible. C'est à dire lorsque v = −α gradΦ(x) pourun α > 0 : on descend dans la direction de plus grande pente.

D'où on prend comme première direction de descente la direction donnée par gradΦ(x) : on calculele point x1 = x− h gradΦ(x) où h réalise le minimum de :

ψ(h) = Φ(x− h gradΦ(x)), (9.52)

puis on applique à nouveau la formule de Taylor au voisinage du point x1 : on obtient un point x2,on recommence...

Le problème est que le gradient usuel de Φ au point x est gradΦ(x) = 2

(axby

)et qu'il n'est pas

dirigé selon le vecteur x − 0 =

(xy

)qui, lui, pointe vers 0 ou se trouve le minimum. On note alors

que : (axby

)= A.

(xy

)où A =

(a 00 b

).

Et la matrice A est la matrice hessienne de Φ, i.e. A = [ ∂2Φ∂xi∂xj ] = [d2Φ(x)] (ici matrice constante car

Φ est un polynôme de degré 2).

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59 9. Vecteur de représentation d'un vecteur covariant

L'idée étant de trouver une meilleure direction de descente (une direction de descente adaptée àla fonction Φ), on choisit de prendre le produit scalaire donné par :

g(v, w) = v t.A.w = (v, w)A où A =

(a 00 b

).

On a, avec (9.51), notant gradΦg(x) =

(αβ

):

g( gradΦg(x), v) = (α β).

(a 00 b

).

(v1

v2

)= aαv1 + bβv2 avec

= dΦ(x).v = ( gradΦ, v) =∂Φ

∂x(x)v1 +

∂Φ

∂x(x)v2,

pour tout v1, v2, d'où α = 1a∂Φ∂x (x) et β = 1

b∂Φ∂y (x), d'où

gradgΦ(x) =

( 1a∂Φ∂x (x)

1b∂Φ∂y (x)

)= 2

(xy

). Et cette

direction pointe vers 0 comme désiré : on pose donc x1 = x + h gradgΦ. Et on a trouvé la bonne

direction de descente : c'est celle associée au gradient conjugué gradgΦ, i.e. celle associée au produitscalaire g(·, ·).

Remarque 9.21 On aurait pu trouver le résultat autrement, i.e. adopter la démarche : en x donnée,à h xé (petit), on veut trouver la direction v telle que la diérence Φ(x + hv) − Φ(x) soit la plusgrande possible, pour v vecteur normé.

Ici, Φ étant de degré 2, sa diérentielle dΦ est linéaire en x, et donc d2Φ est constant en x, et ledéveloppement limité de Φ est donné exactement par :

Φ(x+ hv)− Φ(x) = h dΦ(x).v +h2

2d2Φ.(v, v),

et on va tenir compte de la correction du second ordre h2

2 d2Φ.(v, v) : le développement limité ci-dessusétant exact, le terme du second ordre est plus qu'une correction : la formule est exacte même pour hgrand, et on a implicitement besoin de h grand pour rapidement minimiser ψ en h, cf. (9.52).

Notons le membre de droite par, après division par h pour avoir la pente moyenne :

Ψx(v) = dΦ(x).v +h

2d2Φ.(v, v),

et il s'agit de trouver un optimum de Ψx (minimum ou maximum pour avoir la pente moyenne la plusfavorable). La dérivée de Ψx en v est donnée dans toute direction w par :

dΨx(v).w = dΦ(x).w + h d2Φ.(v, w).

(Calcul immédiat à l'aide de la dénition = limk→0Ψx(v+kw)−Ψx(v)

k , et on se sert de d2Φ symétrique.)Et dΨx est nul pour tout w lorsque

dΦ(x).w + h d2Φ.(v, w) = 0.

Prenons alors comme produit scalaire, le produit scalaire donné par g(v, w) = d2Φ.(v, w). L'égalitéci-dessus se réécrit :

g( gradgΦ(x), w) + h g(v, w) = 0 = g( gradgΦ(x)+h v , w), ∀w ∈ R2,

d'où :gradgΦ(x) = −hv.

On a la bonne direction v (de meilleure descente moyenne), direction parallèle à gradgΦ(x).

9.7 * Métrique g♯(·, ·) associée dans E∗

Etant donné un produit scalaire g(·, ·) dans E, grâce au théorème de représentation de Riesz, onpeut dénir :

g♯ :

E∗ × E∗ → R

(ℓ,m) 7→ g♯(ℓ,m)déf= g(ℓ ♯,m♯),

(9.53)

59 13 mai 2013

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60 10. Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

Proposition 9.22 g♯ est un produit scalaire sur E∗.

Preuve. 1- bilinéarité : oui car g(·, ·) l'est. 2- symétrique : oui car g(·, ·) l'est. 3- g♯(ℓ, ℓ) ≥ 0 équivautà g(ℓ ♯, ℓ ♯) ≥ 0, vrai car g(·, ·) est positif. 4- g♯(ℓ, ℓ) = 0 équivaut à g(ℓ ♯, ℓ ♯) = 0, donc à ℓ ♯ = 0 carg(·, ·) est déni positif, donc à ℓ = 0 car ||ℓ|| = ||ℓ ♯||E .

Ainsi dans une base (ei)i=1,...n de base duale (ei)i=1,...n, on a (9.5) :

[g♯(ei, ej)] = [g(ei♯, ej

♯)] = [gij ]

−1 = [gij ], (9.54)

et [gij ] est la matrice inverse de [gij ].

10 Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

On rappelle que T rs (E) = L(E∗, ..., E∗, E, ..., E;R) est l'ensemble des formes multilinéaires sur E

appelées tenseurs de type(rs

)(ou de type (r, s)).

10.1 Tenseur de contraction (Kronecker)

On rappelle que le symbole de Kronecker δij est le réel déni par :

δij =

1 si i = j,

0 si i = j.(10.1)

Dénition 10.1 Le tenseur de contraction (dit tenseur de Kronecker) est l'application bilinéaireδ ∈ L(E∗, E;R) = T 1

1 (E) dénie par :

δ : E∗ × E −→ R

(ℓ, u) −→ δ(ℓ, u)déf= ℓ.u

(10.2)

Remarque 10.2 On le dénit également par δ : E × E∗ → R et δ(u, ℓ) = ℓ.u (transposé du précé-dent).

Proposition 10.3 La fonction δ est bien un(11

)tenseur (i.e. bilinéaire de E∗ ×E dans R), et vérie,

si (ej)j=1,...,n est une base de E et (ei)i=1,...,n la base duale associée :

δ(ei, ej) = δij

= 1 si i=j,

= 0 si i=j,(10.3)

où δij est le symbole de Kronecker. Sa représentation dans la base (ei) est donnée par :

δ =n∑

i=1

ei ⊗ ei, [δ] = [δij ] = I, (10.4)

i.e. la matrice le représentant dans une base (ei) est la matrice identité I = [δij ], cette représentationétant indépendante de la base (ei) choisie.

En d'autres termes, δ est l'écriture tensoriel de l'endomorphisme identité I ∈ L(E;E) ≃L(E,E∗;R) ≃ L(E∗, E;R) (par contraction) :

∀v ∈ E, I.v = vnoté= δ.v (10.5)

Preuve. La dénition de l'addition de deux fonctions et de la multiplication d'une fonction par unscalaire, à savoir (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λ(f(x)), ainsi que la linéarité des ℓ ∈ E∗

donnent immédiatement la bilinéarité de δ déni en (10.1) : on a bien δ ∈ L(E∗, E;R) = T 11 (E).

Puis la dénition de la base duale et (10.1) donnent δ(ei, ej) = ei(ej) = δij .(ei ⊗ ej)1≤i,j≤n est une base de L(E∗, E;R), cf. proposition 5.5, et (

∑ni=1 ei ⊗ ei)(ek ⊗ ej) =∑n

i=1 ek(ei)e

i(ej) =∑n

i=1 δki δ

ij = δkj pour tout k, j = 1, ..., n. Donc

∑ni=1 ei ⊗ ei = δ, i.e. (10.4). Et la

matrice représentant δ est la matrice [δij ] = I.

60 13 mai 2013

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61 10. Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

Et si (bi) est une autre base, de base duale (bi), on a également δ =∑n

i=1 bi⊗bi puisque bi(bj) = δijpar dénition de la base duale (même calcul).

Enn, considérée comme endomorphisme, si v =∑

i viei, on a δ(v) =

∑ni=1 ei ⊗ ei.v =∑n

i=1 ei(ei.v) =

∑ni=1 eiv

i = v, d'où (10.5).

Remarque 10.4 On peut aussi vérier à l'aide de la formule de changement de base (7.27) que lamatrice I représentant δ est indépendante de la base : B = P−1.A.P avec A = I donne B = I.

10.2 Trace d'un endomorphisme et invariance de la trace par changementde base

10.2.1 Trace d'un tenseur de T 11 (E)

Rappel. Pour u ∈ E et ℓ ∈ E∗, le tenseur élémentaire u ⊗ ℓ dans T 11 (E) = L(E∗, E;R) est déni

par, cf. (3.7) :∀(m, v) ∈ E∗ × E, (u⊗ ℓ)(m, v) = m(u)ℓ(v) ∈ R.

Dénition 10.5 On appelle trace la forme linéaire Tr ∈ L(T 11 (E);R);R) dénie sur les tenseurs

élémentaires par :∀(v, ℓ) ∈ E × E∗, Tr(v ⊗ ℓ) = ℓ.v, (10.6)

i.e. par :

∀(v, ℓ) ∈ E × E∗, Tr(v ⊗ ℓ)déf= δ(ℓ, v) (10.7)

où δ est le tenseur de Kronecker.

Autrement dit, on a Tr = δ sur les tenseurs élémentaires. En particulier si (ei) est une base de Ede base duale (ei) on a :

Tr(ei ⊗ ej) = δji (= ej .ei). (10.8)

Tout tenseur étant somme de tenseurs élémentaires, et ayant supposé Tr linéaire, on a ainsi déniTr pour tout t ∈ T 1

1 (E) :

Tr :

T 11 (E) → R,

t 7→ Tr(t),(10.9)

Et les tenseurs élémentaires (ei⊗ ej)1≤i,j≤n formant une base de T 11 (E), on a, par linéarité de Tr :

t =∑ij

tij ei ⊗ ej =⇒ Tr(t) =∑i

tii, (10.10)

i.e. la trace est la somme des éléments diagonaux de matrice [tij ] de t.

Proposition 10.6 Pour t ∈ T 11 (E), le réel Tr(t) =

∑i t

ii est un invariant : indépendant de l'obser-

vateur (invariance par changement de base, et ne dépend pas d'un produit scalaire). Cela s'écrit :si :

t =n∑

i=1

Aij ei ⊗ ej =

n∑i=1

Bij bi ⊗ bj , (10.11)

alors :

Tr(t) =

n∑i=1

Aii =

n∑i=1

Bii , (10.12)

somme des éléments diagonaux des matrices A ou B.(La dénition de la trace donnée par (10.6) n'a nécessité aucune base et aucun produit scalaire.)

Preuve. On note P la matrice de passage de (e) vers (b), i.e. bj =∑

i Pij ei pour tout j. La formule

de changement de base B = P−1.A.P , cf. (7.27), donne Bkk =

∑i,j(P

−1)ki Aij P

jk , d'où :

n∑k=1

Bkk =

∑i,j,k

(P−1)ki Aij P

jk =

∑i,j

(∑k

P jk (P−1)ki )A

ij =

∑i,j

(δji )Aij =

n∑i=1

Aii,

car P.P−1 = I.

61 13 mai 2013

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62 10. Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

Exemple 10.7 Si v =∑

i viei et ℓ =

∑j ℓje

j , ayant ℓ(v) =∑

i viℓj , la trace du tenseur élémentaire

v ⊗ ℓ est donnée par :Tr(v ⊗ ℓ) =

∑i

viℓi.

En eet le tenseur élémentaire v ⊗ ℓ a pour matrice

v1...vn

. ( ℓ1 ... ℓn ) = [viℓj ]. Donc sa trace est

la somme des éléments diagonaux de cette matrice. (Ou calcul direct avec v⊗ ℓ =∑

ij viℓj ei ⊗ ej .)

Exemple 10.8 Pour δ =∑

i ei ⊗ ei le tenseur de contraction, sachant Tr linéaire (par dénition),on a :

Tr(δ) =∑i

Tr(ei ⊗ ei) =n∑

i=1

δii =n∑

i=1

1 = n. (10.13)

C'est également la trace de l'endomorphisme identité. Et cette valeur est indépendante de la basechoisie.

10.2.2 Trace d'un endomorphisme dans L(E)

Dénition 10.9 Par identication des endomorphismes L ∈ L(E;E) avec les tenseurs de T 11 =

L(E∗, E;R) on a ainsi également déni la trace d'un endomorphisme : pour L dénie par L.ej =∑i L

ij ei, où (ei) est une base de E, on a :

Tr(L) =∑i

Lii. (10.14)

D'ailleurs, depuis le début du polycopié on a noté L =∑

ij Lij ei ⊗ ej pour l'endomorphisme L déni

par L.ej =∑

i Lij ei pour tout i.

Exercice 10.10 Montrer que si M =∑n

i,j=1Mij bi ⊗ ej ∈ L(E;E), où (bi) et (ei) sont deux bases

de E avec bj =∑

i Pij ei, alors TrM =

∑j(PM)jj .

Attention : ici on a représenté M dans deux bases, la base (ei) dans l'ensemble de départ, la base(bi) dans l'ensemble d'arrivée. Ici M n'est pas considéré comme un endomorphisme.

Réponse. M =∑

ij Mij (

∑k P

ki ek)⊗ej =

∑kj(

∑i M

ijP

ki ) ek⊗ej =

∑kj(PM)kj ek⊗ej . On obtient Tr(M) =∑

i(PM)iiEt par changement de base, notantQ = P−1, on obtient :M =

∑ij(P

−1(PM)P )ij bi⊗bj =∑

ij(MP )ij bi⊗bj . On obtient Tr(M) =

∑i(MP )ii =

∑i

∑k M

ikP

ki =

∑k

∑i P

ki M

ik =

∑k(PM)kk.

10.3 Exemple de l'opérateur divergence

Soit Ω un ouvert de Rn, et soit f : Ω → Rn une application C1. En un point x ∈ Ω, sa diérentielledf(x) ∈ L(Rn) est un endomorphisme de Rn : on a df(x) ∈ T 1

1 (Rn), et df déni un champ de tenseurssur Ω, et on note df ∈ T 1

1 (Ω).

Dénition 10.11 La divergence de f en x ∈ Ω est dénie par :

(divf)(x) = Tr(df(x)). (10.15)

Si on se sert de (Ei) la base canonique de Rn de base duale (dxi), comme :

df(x) =∑ij

df i

dxj(x)Ei ⊗ dxj , [df(x)] = [

df i

dxj(x)] (10.16)

on obtient :

(divf)(x) =∑i

df i

dxi(x), (10.17)

trace de df(x) (trace de la matrice jacobienne de f en x).Et l'opérateur divergence est dénie par :

div :

C1(Ω;Rn) → C0(Ω;R),

f 7→ divf ,(10.18)

où (divf)(x) ∈ R est déni par (10.15).

62 13 mai 2013

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63 10. Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

10.4 Exemple des contractions de Maxwell

On note, avec up, down et mixte en référence à la position des indices ou exposants dans lescomposantes des tenseurs :

tup

=n∑

i,j=1

Aij ei ⊗ ej ∈ T 20 , [t

up] = [Aij ] = A,

tdown

=

n∑i,j=1

Bij ei ⊗ ej ∈ T 0

2 , [tdown

] = [Bij ] = B,

tmixt

=n∑

i,j=1

Cij ei ⊗ ej ∈ T 1

1 , [tmixt

] = [Cij ] = C,

tTmixt

=n∑

i,j=1

Cji e

i ⊗ ej ∈ L(E;E∗;R), [tTmixt

] = CT .

Et, par exemple, les contractions suivantes sont licites :

[tup.tdown

] = A.B = [∑k

AikBkj ]ij , [tup.tTmixt

] = A.CT = [∑k

BikCjk]ij ,

[tdown

.tup] = B.A = [

∑k

BikAkj ]ij , [t

down.tmixt

] = B.C = [∑k

BikCkj ]ij ,

[tmixt

.tup] = C.A = [

∑k

CikA

kj ]ij .

Vérication immédiate, et on vérie la cohérence des positions des exposants par rapport aux indices.

10.5 Contraction de tenseurs de T rs

Dénition 10.12 Pour des tenseurs élémentaires :

M = v1 ⊗ ...⊗ vr1 ⊗ α1 ⊗ ...⊗ αs1 ∈ T r1s1 (E) et N = w1 ⊗ ...⊗ wr2 ⊗ β1 ⊗ ...⊗ βs2T r2

s2 (E),

quand s1 ≥ 1 et r2 ≥ 1, on dénit la contraction M.N ∈ T r1+r2−1s1+s2−1 comme étant l'unique tenseur :

M.N = (αs1 .w1) v1 ⊗ ...vr1 ⊗ w2 ⊗ ...⊗ wr2 ⊗ α1 ⊗ ...αs1−1 ⊗ β1 ⊗ ...βs2 ∈ T r1+r2−1s1+s2−1 , (10.19)

contraction du dernier terme de M avec le premier terme de N .

Dénition 10.13 Tout tenseur étant la somme de tels tenseurs élémentaires, la contraction d'untenseur quelconque est dénie comme la somme des contractions des tenseurs élémentaires qui lecompose.

Proposition 10.14 La contraction est intrinsèque.

Preuve. αs1 .w1 est une valeur réelle qui est dénie indépendamment de toute base. Ou encore, valeurindépendante de l'expression dans une base, voir paragraphe précédent.

Remarque 10.15 Plus généralement on dénit la contraction du i-ème exposant de M avec lej-ème indice de N .

Exemple 10.16 Si ℓ ∈ E∗ = T 01 (E) et v ∈ E ≃ T 1

0 (E), on retrouve :

ℓ.v = ℓ(v),

notation de contraction qui est intrinsèque (indépendante de toute base contrairement à la notationmatricielle).

63 13 mai 2013

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64 10. Tenseur de Kronecker (contraction) et trace

Exemple 10.17 Si L ∈ E∗ = T 11 et v ∈ E ≃ T 1

0 , notons L ∈ L(E) l'endomorphisme de E dénisur E par :

L(v) = L.v,

où le membre de droite est la contraction qu'on vient de dénir. Et on note (abusivement) L = L :c'est ce qu'on a fait depuis le début du polycopié.

Ainsi, si on dispose d'une base xée, la matrice [L] représentant le tenseur mixte L est identiqueà la matrice [L] représentant l'endomorphisme associé L : on a :

∀i, j = 1, ..., n, L =∑ij

Lij ei ⊗ ej , et ∀i = 1, ..., n, L(ej) =

∑i

Lij ei.

L'identication de L avec L permet d'écrire les bases explicitement pour L = L =∑

ij Lij ei ⊗ ej .

Exemple 10.18 Si L ∈ T 11 (E) et M ∈ T 1

1 (E), on retrouve la composition des fonctions M L :

M.L =M L.

En eet, M =∑

ij Mij ei ⊗ ej et L =

∑kℓ L

kℓ ek ⊗ eℓ donnent

M.L =∑ijkℓ

M ijL

kℓ (e

j .ek)ei ⊗ eℓ =∑ijkℓ

M ijL

kℓ δ

jkei ⊗ eℓ =

∑iℓ

(∑k

M ikL

kℓ )ei ⊗ eℓ =

∑iℓ

(ML)iℓei ⊗ eℓ.

10.6 Double contraction de deux tenseurs de T 11

On eectue une première contraction pour obtenir, avec les notations de l'exemple précédent,M.L =

∑iℓ(ML)iℓei ⊗ eℓ, puis on eectue une seconde contraction, i.e. on prend la trace du tenseur

M.L ∈ T 11 , et on note :

M : L = Tr(M.L) =∑i

(ML)ii =∑ij

M ijL

ji (= Tr(M L) ∈ R). (10.20)

Ici on note Tr(M L) si on pense en terme d'endomorphismes, et on note Tr(M.L) si on pense entermes de tenseurs de T 1

1 (contraction).

Remarque 10.19 Attention M : L n'est pas le produit termes à termes (i.e. produits M ijL

ij) mais

bien le produit M ijL

ji dont on sait qu'il est intrinsèque : c'est une propriété fondamentale de la trace,

ici trace de l'endomorphisme M L.Par contre, en mécanique, le produit terme à terme :∑

ij

M ijL

ij = Tr(MT L)

intervient fréquemment, voir produit scalaire de Frobenius : mais dans ce cas, on a utilise implicitementle produit scalaire euclidien de Rn pour dénir MT . On aura par exemple :

(L.u,M.v)Rn = (MT .L.u, v)Rn . (10.21)

et c'est MT .L qui est intéressant.Ainsi les mécaniciens notent souvent M : L =

∑ij M

ijL

ij le produit terme à terme, bien que ce

ne soit pas le produit de la double contraction introduit plus haut. Il n'y a plus d'ambiguïté si parexemple M (ou L) est symétrique.

Remarque 10.20 Important : pour le calcul matriciel, la contraction ne peut se faire que pour unexposant et un indice, i.e. contraction d'une forme linéaire et d'un vecteur. On ne peut pas contracter2 vecteurs ensembles, ou bien deux formes linéaires ensembles : une telle contraction ne résiste pasaux changements de bases (n'est pas intrinsèque).

Si on veut faire le produit contracté de deux vecteurs, on utilise un produit scalaire (calcul nonintrinsèque), mais ce n'est pas une contraction au sens déni dans ce paragraphe (c'est un produitscalaire), et en particulier les formules de changement de bases sont diérentes.

64 13 mai 2013

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65 11. Tenseur identité et inverse

11 Tenseur identité et inverse

11.1 δ tenseur unité (identité)

Proposition 11.1 Pour tout tenseur T ∈ T 11 (E) on a :

δ.T = T.δ = T, (11.1)

autrement dit, δ est un élément unité pour la contraction.(δ est identié à l'application linéaire identité I ∈ L(E;E).)

Preuve. Soit (ei) une base de E de base duale (ei). On a δ =∑

i ei ⊗ ei, et pour T =∑

ij Tij ei ⊗ ej

on a, par linéarité de la contraction :

δ.T = (∑k

ek ⊗ ek).(∑ij

T ij ei ⊗ ej) =

∑ijk

T ij (e

k.ei)ek ⊗ ej =∑ijk

T ij δ

ki ek ⊗ ej =

∑ij

T ij ei ⊗ ej = T.

De même pour T.δ.

Remarque 11.2 L'identité IE ∈ L(E) est identié au tenseur unité δ :

IE ≃ δ =

n∑i=1

ei ⊗ ei ∈ L(E). (11.2)

L'identité IE∗ ∈ L(E∗;E∗) est associée au transposé du tenseur de Kronecker :

IE∗ ≃ δT =n∑

i=1

ei ⊗ ei. (11.3)

En eet δT .ℓ =∑n

i=1 ei ⊗ ei.ℓ =

∑ni=1 e

i(ei(ℓ)) =∑

i ℓiei = ℓ.

11.2 Inverse d'un tenseur(02

): un tenseur

(20

)Soit t ∈ T 0

2 (E) un tenseur covariant. On dit qu'il est inversible s'il existe un tenseur contravariants ∈ T 2

0 (E) tel que :s.t = δ ∈ T 1

1 (E),

où s.t désigne la contraction (entre le dernier terme de s et le premier terme de t). (Et on aura donc

également t.s = δT ∈ L(E,E∗;R).)Donc, si (ei) est une base de E, si t =

∑ℓj tℓje

ℓ ⊗ ej de matrice [tij ], si s =∑

ik sikei ⊗ ek de

matrice [sij ], et si s.t = δ, alors on a :

s.t =∑k

siktkj ei ⊗ ej =n∑

i=1

ei ⊗ ei = δ ∈ L(E,E∗;R),

i.e.∑

k siktkj = δji pour tout i, j, i.e. :

[sij ].[Tij ] = I. (11.4)

On a donc :[sij ] = [tij ]

−1, (11.5)

relativement à une base donnée (et à sa base duale).

65 13 mai 2013

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66 11. Tenseur identité et inverse

11.3 Notation tij, et notation associée tij

On considère le tenseur élémentaire :

t = ℓ⊗m ∈ T 02 (E), (11.6)

avec donc ℓ,m ∈ E∗ (le bémol en référence à la position basse des indices des composantes desformes linéaires).

On applique le paragraphe précédent pour la forme linéaire ℓ : à t ∈ T 02 (E) on associe le tenseur

(endomorphisme) :t = ℓ ♯ ⊗m ∈ T 1

1 (E). (11.7)

Soit une base (ei) de E et sa base duale (ei).Soit [ℓi] et [mi] les composantes de ℓ et m dans cette base. Donc [ℓimj ] est la matrice de t dans

cette base, i.e. :

t = ℓ⊗m =∑ij

ℓimjei ⊗ ej , tij = ℓimj , [t] = [tij ] = [ℓ]T .[m]. (11.8)

(On rappelle que [ℓ] est une matrice ligne 1∗n, de même que [m], et donc que [ℓ]T .[m] est une matricen ∗ n.)

Soit [ℓi] les composantes de ℓ ♯. Donc [ℓimj ] est la matrice de t dans cette base, i.e. :

t = ℓ⊗m =∑ij

ℓimj ei ⊗ ej , tij = ℓimj , [t] = [tij ] = [ℓ ♯].[m]. (11.9)

Comme on dispose de (9.2), on déduit que [tij ] = [g]−1.[ℓ]T .[m], soit :

[t] = [g]−1.[t], ou encore [t] = [g].[t]. (11.10)

Un tenseur t étant somme de tenseurs élémentaires, on en déduit que le tenseur t associé en relevantla première forme linéaire vérie encore (11.11).

Donc en termes de composantes :

tij =∑k

giktkj , et tij =∑k

giktkj . (11.11)

La position relative des indices rend les formules simples à mémoriser.

11.4 Cas particulier [gij] = I

Cas particulier t = g : l'endomorphisme t le représentant par rapport à lui-même est l'endomor-phisme identité car [t] = [g]−1.[t] = [g]−1.[g] = I, cf. (11.10) :

gij = δij , i.e. [gij ] = I. (11.12)

Autrement dit, pour tout produit scalaire g(·, ·) sur E, l'application du théorème de représentationde Riesz dans (E, g(·, ·)) donne :

[gij ] = I, (11.13)

quelle que soit la base (ei) choisie ayant servie à calculer gij = g(ei, ej).

11.5 Puis notation associée tij, et justication [gij] = [gij]−1

De même, à l'endomorphisme (tenseur élémentaire de T 11 (E)) :

t = ℓ ♯ ⊗m, (11.14)

on associe le tenseur t♯ ∈ T 20 (E) (théorème de représentation de Riesz dans (E, g(·, ·))) :

t♯ = ℓ ♯ ⊗ m♯ (11.15)

66 13 mai 2013

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67 12. La transposée d'une application bilinéaire

Une base étant choisie, on a donc :

t♯ =∑ij

ℓimj ei ⊗ ej , tij = ℓimj , [t♯] = [tij ] = [ℓ ♯].[m♯]T . (11.16)

Comme on dispose de (9.2), on déduit que [t♯] = [ℓ ♯].[m].[g]−1 :

[t♯] = [t].[g]−1, (11.17)

et donc :[t♯] = [g]−1.[t].[g]−1. (11.18)

Un tenseur t étant somme de tenseurs élémentaires, on en déduit que cette formule vraie pour touttenseur.

Donc si on part de t =∑

ij tijei ⊗ ej , on est alors parvenu au tenseur t♯ =

∑ij t

ij ei ⊗ ej où :

tij =∑k

tikgkj =

∑kℓ

giℓtℓkgkj . (11.19)

Cas particulier t = g = g (les indices des composantes sont en bas) : on retrouve (on justie)la notation t♯ = g♯ :

[g♯] = [g]−1, soit [gij ] = [gij ]−1. (11.20)

Donc, à partir de g on obtient l'endomorphisme I, cf. (11.12), puis le tenseur g♯ de matrice inverse decelle de g.

Cela justie la notation [gij ] matrice de [g]−1.

Remarque 11.3 Attention cependant à l'interprétation suivante : on note généralement gij = ei · ej(produit scalaire sur E), ce qui est la notation classique de g(ei, ej) pour le produit scalaire euclidien.

Mais on trouve également la notation gij = ei · ej ; cette notation moins classique signie quegij = g♯(ei, ej), i.e. produit scalaire sur l'espace E∗.

Si on utilise le produit scalaire canonique de Rn, on en arrive à mélanger les vecteurs et les formeslinéaires : δij = ej · ej = ei · ej = ei.ej = δij = δij . Cette notation, avec les indices et exposants iet j n'importe où, n'est pas cohérente. Il faut donc s'en méer : elle est trop liée à l'usage du produitscalaire euclidien dans Rn.

12 La transposée d'une application bilinéaire

12.1 Dénition

On se donne deux e.v. E et F , et on dénit les transposées d'applications bilinéaires.

Dénition 12.1 L'application de transposition est dénie par :

T :

L(E,F ;R) → L(F,E;R)

b 7→ bT

: bT (w, v)

déf= b(v, w), ∀(v, w) ∈ E × F. (12.1)

Et bT est appelée forme bilinéaire transposée. Et si F = E, on dit que b est symétrique ssi bT = b.

12.2 Isomorphisme canonique L(E∗, E;R) = L(E,E∗;R)Proposition 12.2 L'application de transposition est un isomorphisme intrinsèque d'inverse lui-même.

Preuve. C'est trivialement un isomorphisme qui est d'inverse lui-même, et il ne nécessite pas l'intro-duction d'une base ou d'un produit scalaire dans sa dénition.

Corollaire 12.3 On a L(E∗, E;R) = T 11 (E) ≃ L(E,E∗;R) (isomorphisme canonique).

Représentation matricielle. On munit E d'une base (ei)i=1,...,n, et F d'une base (bi)i=1,...,m, et onnotera (ei) et (bi) les bases duales :

67 13 mai 2013

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68 12. La transposée d'une application bilinéaire

Proposition 12.4 Si b =∑n

i=1

∑mj=1 bije

i ⊗ bj ∈ L(E,F ;R) on a :

bT =

m∑i=1

n∑j=1

bjibi ⊗ ej ∈ L(F,E;R). (12.2)

I.e. si [b] = [bij ] i=1,...,nj=1,...,m

est la matrice de b (matrice n ∗m), alors :

[bT ] = [(bT )ij ] i=1,...,mj=1,...,n

= [bji] i=1,...,mj=1,...,n

est la matrice de bT (matrice m ∗ n). I.e., dans les bases considérées, la matrice [bT ] représentant bT

est la transposée de la matrice [b] représentant b :

[bT ] = [b]T . (12.3)

Preuve. On pose bT =∑m

i=1

∑nj=1(b

T )ijbi ⊗ ej ∈ L(F,E;R).

On a donc (bT )ij = bT (bi, ej) =déf b(ej , bi) = bji.

12.3 Applications aux tenseurs de T 11

On note :

t =

n∑i,j=1

tij ei ⊗ ej ∈ T 11 = L(E∗, E;R).

Alors :

tT =

n∑i,j=1

tjiei ⊗ ej ∈ L(E,E∗;R) ≃ T 1

1 . (12.4)

Remarque : le transposé d'un tenseur de T 11 = L(E∗, E;R) est une application bilinéaire de

L(E,E∗;R).Et pour les matrices : [tT ] = [t]T , i.e. [tT ] = [tji ] i=1,...,n

j=1,...,n= ([tij ] i=1,...,n

j=1,...,n)T .

Remarque 12.5 Il utile d'écrire que tT se décompose sur les ei ⊗ ej dans L(E,E∗;R), alors que tse décompose sur les ei ⊗ ej dans L(E∗, E;R) = T 1

1 . La position relative des indices et des exposantsdans (12.4) lève toute ambiguïté quant au choix des positions des i et des j.

12.4 Applications aux tenseurs de T 02

C'est (12.2) dans le cas F = E et bi = ei.

12.5 Applications aux tenseurs de T 20

On note :

t =n∑

i,j=1

tij ei ⊗ ej ∈ T 20 = L(E∗, E∗;R).

Alors :

tT =n∑

i,j=1

tjiei ⊗ ej ∈ L(E∗, E∗;R) = T 20 . (12.5)

Et pour les matrices : [tT ] = [t]T .

68 13 mai 2013

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69 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

13 Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

13.1 Application linéaire adjointe

13.1.1 Dénition de l'application linéaire adjointe

On dispose d'une application linéaire L ∈ L(E;F ) liant les vecteurs u ∈ E à des vecteurs v ∈ F .But : connaître les relations induites par L entre les formes linéaires ℓ ∈ E∗ et m ∈ F ∗.

On a déjà vu le cas L ∈ Li(E) au travers des bases (ei) et (bi) : les formules de changement debase ont liés les formes linéaires (ei) et (bi) des bases duales. En particulier, si P matrice de passagelue colonne par colonne donne bj dans la base (ei), alors Q = P−1 lue ligne par ligne donne bi dansla base (ej), cf. (7.15).

On a maintenant besoin d'une dénition qui ne fait pas appel aux bases (dénition indépendanted'un observateur) pour décrire les relations entre applications linéaires.

Dénition 13.1 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension nie. Soit L ∈ L(E;F ). Onappelle application linéaire adjointe L∗ de L, ou opérateur adjoint, ou simplement adjoint, l'applicationlinéaire L∗ ∈ L(F ∗;E∗) dénie par :

L∗ :

F ∗ → E∗

m 7→ L∗(m)déf= m L

, (13.1)

i.e. pour m ∈ F ∗ on a L∗(m) ∈ E∗ déni par :

∀u ∈ E, L∗(m)(u)déf= m(L(u)) ∈ R. (13.2)

Il est immédiat que L∗ est linéaire.Attention à l'ordre des espaces : on a L∗ : F ∗ → E∗ quand L : E → F .On peut aussi réécrire (13.2) comme, par exemple :

L∗(m).u = m.L(u), (13.3)

ou encore comme (L∗.m).u = m.(L.u), grâce à la contraction.

Remarque 13.2 Vocabulaire de géométrie diérentielle.Ici L envoie un vecteur u ∈ E sur un vecteur v = L.u ∈ F , et le vecteur v est appelé le push-

forward = transport convectif pour les vecteurs de u par L.Et ici L∗ est le pull-back pour les formes linéaires : une forme linéaire m ∈ F ∗ dénie sur F est

ramenée sur E∗ pour donner la forme linéaire ℓ = L∗m =déf m L ∈ E∗.Les push-forward et pull-back fonctionnent l'un avec l'autre. Ainsi le pull-back L∗(m) agit sur les

u ∈ E ; et m ∈ F ∗ agit sur les push-forward L.u, cf. (13.3).

13.1.2 Représentation matricielle et tensorielle de l'application linéaire adjointe

On se donne une base (ei)i=1,...,n de E de base duale (ei)i=1,...,n, et une base (bi)i=1,...,m de F debase duale (bi)i=1,...,m.

Soit une application linéaire L ∈ L(E;F ). Soit :

[Lij ] = [L]|(e),(b)

sa matrice relativement aux bases, i.e. :

L =m∑i=1

n∑j=1

Lij bi ⊗ ej , (13.4)

i.e. L est dénie par, pour tout j = 1, ..., n :

L.ej =m∑i=1

Lij bi =

L1j

...Lm

j

(b)

= colonne j de [L]. (13.5)

En particulier bi.(L.ej) = Lij .

69 13 mai 2013

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70 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

N.B. : ici on a décalé l'écriture des indices, le premier indice (le plus à gauche, ici i) correspondantà la ligne et le second indice (le plus à droite, ici j) correspondant à la colonne.

Soit :[Mi

j ] = [L∗]|(b),(e)

la matrice de L∗ ∈ L(F ∗, E∗) dans les bases duales (bi) et (ei), i.e. :

L∗ =

n∑i=1

m∑j=1

Mijei ⊗ bj , (13.6)

(noter la cohérence de position des indices) i.e. L∗ est dénie par, pour tout j = 1, ...,m :

L∗.bj =n∑

i=1

Mijei =

M1j

...Mn

j

(e)

= colonne j de [L∗]. (13.7)

En particulier (L∗.bj).ei =Mij .

N.B. : rappel : on a encore décalé l'écriture des indices, le premier indice (le plus à gauche, ici i)correspondant à la ligne et le second indice (le plus à droite, ici j) correspondant à la colonne.

Et comme (L∗.bi).ej =déf bi.(L.ej) (dénition de L∗), avec (13.5) et (13.7) on obtient pour tout

i, j :Mj

i = Lij ,

i.e. :[L∗] = [L]T , (13.8)

au sens [L∗]|(bi),(ei) = [L]T|(e),(b)

: la matrice représentant L∗ est la transposée de la matrice représen-

tant L.En résumé :

si L =m∑i=1

n∑j=1

Lij bi ⊗ ej alors L∗ =

n∑i=1

m∑j=1

Lji e

i ⊗ bj . (13.9)

(Noter la cohérence de position des indices et exposants i et j.)D'où le calcul simple des L∗.m ∈ E∗ pour tout m ∈ F ∗ quand m =

∑j mjb

j ∈ F ∗ :

L∗.m =

n∑i=1

(

m∑j=1

Ljimj)e

i ∈ E∗. (13.10)

(Noter la cohérence de position des indices et exposants.)

Remarque 13.3 Lors de l'écriture L∗ =∑

ij Ljie

i⊗ bj , on a identié la base biduale de (bi) (à savoir

les J (bi)) avec bi grâce à l'isomorphisme canonique J : E → E∗∗, cf. (4.5).

Exemple 13.4 Soit E = F = R2, (e1, e2) est une base de E de base duale (e1, e2), et (b1, b2) est unebase de F de base duale (b1, b2).

Soit L ∈ L(E;F ). L est de la forme :

L =∑ij

Lij bi ⊗ ej =

(L1

1 L12

L21 L2

2

)(e),(b)

.

Ou encore L est caractérisée par L.ej = L1j b1 + L2

j b2 =

(L1

j

L2j

)(b)

.

Et on a L∗ ∈ L((R2)∗; (R2)∗), donc de la forme :

L∗ =∑ij

Mijei ⊗ bj =

(M1

1 M12

M21 M1

2

)(b),(e)

.

Ou encore L∗ est caractérisée par L∗.bj =M1je1 +M2

je2 =

(M1

j

M2j

)(e)

.

70 13 mai 2013

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71 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Et le résultat précédent indique que M = LT i.e. :(M1

1 M12

M21 M1

2

)=

(L1

1 L21

L12 L2

2

)= [L]T . (13.11)

Exemple 13.5 Soit E = R2, F = R, et (e1, e2) une base de E de base duale (e1, e2) et 1 la base de R(de base duale dx). Soit L ∈ L(R2;R) = (R2)∗ une forme linéaire L = ℓ.

L est de la forme :

L = L111⊗ e1 + L1

21⊗ e2 = L11e

1 + L12e

2 = (L11 L1

2 )|e = ( ℓ1 ℓ2 )|e .

Ou encore, L est caractérisé par les réels L.e1 = ℓ.e1 =noté L11 = ℓ1 ∈ R et L.e2 =noté L1

2 ∈ R, oudans R on a pris (1) comme base implicite.

Et on a L∗ ∈ L(R∗; (R2)∗) une application linéaire, donc de la forme :

L∗ =M11e1 ⊗ 1 +M2

1e2 ⊗ 1 =

(M1

1

M21

)|e.

Ou encore, L∗ est caractérisée par sa valeur L∗(dx) =M11 e

1 +M12 e

2.Et le résultat précédent indique que :(

M11

M21

)= (L1

1 L12 )

T. (13.12)

Exemple 13.6 Soit E = R et F = R2, on prend 1 comme base de R (de base duale (dx)), et on sedonne une base (b1, b2) de R2 de base duale (b1, b2). Soit L ∈ L(R;R2) une application linéaire.

L est de la forme :

L = L11b1 ⊗ dx+ L2

1b2 ⊗ dx =

(L1

1

L21

)|b.

Ou encore, L est caractérisée par le vecteur L(1) = L11b1 +L2

1b2 image du vecteur de base (1) de R.Et on a L∗ ∈ L((R2)∗,R∗) donc de la forme :

L∗ =M11dx⊗ b1 +M1

2dx⊗ b2 = (M11 M1

2 )|b .

Ou encore, L∗ est caractérisée par L∗.b1 =M11dx et L∗.b2 =M1

2dx.Et le résultat précédent indique que :

(M11 M1

2 ) =

(L1

1

L21

)T

. (13.13)

Exemple 13.7 Soit E = F = R, soit L ∈ L(R;R) et soit a = L(1) (matrice 1 ∗ 1 représentant L),i.e. L(v) = av pour tout v ∈ R. Le réel 1 est la base canonique de R de base duale dx. Donc icia = [L] ∈ R.

Et donc [L∗] = a car [L∗] = [L]T , i.e. L∗(dx) = a dx. Vérication immédiate : L∗(dx).v = dx(L.v) =dx(av) = a dx(v) pour tout v, et donc L∗(dx) = a dx. Et a = aT (toujours vrai pour une matrice 1∗1)représente à la fois L et L∗.

13.2 Isomorphismes canoniques

13.2.1 L'isomorphisme canonique L(E;F ) → L(F ∗;E∗)

Proposition 13.8 L'application d'adjonction ∗, dénie à l'aide de (13.1) :

∗ :

L(E;F ) → L(F ∗, E∗),

L 7→ ∗(L) = L∗,(13.14)

est un isomorphisme canonique. Et il est intrinsèque.

71 13 mai 2013

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72 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Preuve. Linéarité : si L1, L2 ∈ L(E;F ) et λ ∈ R, pour tout m ∈ F ∗ et u ∈ E :

(L1 + λL2)∗(m)(u) = m((L1 + λL2)(u)) = m(L1(u) + λL2(u)) = m(L1(u)) + λm(L2(u))

= L∗1(m)(u) + λL∗

2(m)(u) = (L∗1(m) + λL∗

2(m))(u),

et donc (L1 + λL2)∗(m) = L∗

1(m) + λL∗2(m) = (L∗

1 + λL∗2)(m) pour tout m ∈ F ∗, i.e. (L1 + λL2)

∗ =L∗1 + λL∗

2.L'injectivité sera prouvée si L∗ = 0 implique L = 0. Mais si L∗ = 0, alors pour tout m ∈ F ∗,

L∗(m) = 0 et donc pour tout u ∈ E et tout m ∈ F ∗, m(L(u)) = 0. Donc pour tout u ∈ E, L(u) = 0(proposition 2.11), et donc L = 0.

Les espaces d'arrivée et de départ ayant même dimension nie, on en déduit que ∗ est bijective.Et L∗ est déni indépendamment d'une base ou d'un produit scalaire : L∗(m).u = m(L.u).

Corollaire 13.9 L'application de double adjonction, i.e. l'application composée ∗ ∗ notée= ∗∗ :

∗∗ :

L(E;F ) → L(E∗∗;F ∗∗),

L 7→ L∗∗ déf= (L∗)∗,

(13.15)

est un isomorphisme canonique.Il en est de même pour les applications ∗∗...∗ = ∗ ∗...∗ ∗ (composées n-fois).

13.2.2 L'isomorphisme canonique L(E,F ;R) ≃ L(E;F ∗)

L'isomorphisme canonique suivant va permettre d'identier un endomorphisme et un tenseur detype

(11

), identication dont on s'est servi intuitivement précédemment.

Proposition 13.10 Étant donné deux espaces vectoriels E et F de dimension nie, l'application :

I :

L(E,F ;R) → L(E;F ∗)

b 7→ I(b) = Ib,: ∀(u, v) ∈ E × F, Ib(u)(v)

déf= b(u, v) (13.16)

est un isomorphisme canonique intrinsèque (ne nécessite pas l'emploi d'une base ni d'un produitscalaire pour le dénir).

De même, l'application :

I :

L(E,F ∗;R) → L(E;F )

b 7→ I(b) = Ib,: ∀(u,m) ∈ E × F ∗, Ib(u)(m)

déf= b(u,m) (13.17)

est un isomorphisme canonique intrinsèque : c'est l'isomorphisme usuel d'identication d'une applica-tion linéaire et de son représentant tensoriel.

En particulier ; pour ℓ ∈ E∗ et v ∈ F , le tenseur élémentaire ℓ ⊗ v ∈ L(E,F ∗;R) peut êtreconsidéré soit comme déni par (usuel) (ℓ ⊗ v)(u,m) = ℓ(u)m(v) pour tout (u,m) ∈ E × F ∗, soit,par identication, comme étant l'application linéaire Iℓ⊗v =noté ℓ⊗ v ∈ L(E;F ) dénie par Iℓ⊗v(u) =ℓ(u)v =noté (ℓ⊗ v)(u) pour tout u ∈ E.

Preuve. Par dénition de I, pour u ∈ E on a Ib(u) ∈ F ∗, et si v ∈ F , alors Ib(u)(v) = Ib(u).v ∈ R abien un sens.

Montrons que I est un isomorphisme (est linéaire bijective).

1- I est linéaire, i.e. I(b1 + λb2) = I(b1) + λI(b2) pour tout b1, b2 ∈ L(E,F ;R) et tout λ ∈ R. Eneet : I(b1 + λb2)(u)(v) = (b1 + λb2)(u, v) = b1(u, v) + λb2(u, v) = (I(b1) + λI(b2))(u)(v),pour tout u ∈ E et tout v ∈ F .

2- I est injective : I étant linéaire, il sut de montrer que KerI = 0. Soit donc b tel que I(b) = 0(dans L(E,F ∗)). Donc, pour tout u ∈ E, on a Ib(u) = 0 dans F ∗, et donc, pour tout (u, v) ∈ E × F ,Ib(u)(v) = b(u, v) = 0, donc b = 0.

3- Et I est surjectif : si L ∈ L(E;F ∗), soit l'application b : E×F → R dénie par b(u, v) = L(u)(v).Il est immédiat que b est bilinéaire car L est linéaire en u et, à u xé, L(u) ∈ F ∗ est linéaire en v. (Ouencore dim(L(E,F ;R)) = dim(L(E;F ∗)) = nm.)

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73 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Corollaire 13.11 Si (ei) est une base de E de base duale (ei) et si (bi) est une base de F , uneapplication linéaire L ∈ L(E;F ) s'écrit L =

∑ij L

ij bi ⊗ ei (par identication canonique).

En particulier, un endomorphisme L ∈ L(E) est identié à un tenseur de type(11

).

Preuve. À l'aide de l'isomorphisme canonique de la proposition précédente, on a identie L ∈ L(E;F )et b ∈ L(E,F ∗;R), et on a noté abusivement L = b.

13.2.3 L'isomorphisme canonique L(E∗, F ;R) ≃ L(F,E∗;R)

Proposition 13.12 L'application :

T :

L(E,F ;R) → L(F,E;R)

b 7→ bT

où bT (v, u)

déf= b(u, v), ∀v ∈ F, ∀u ∈ E, (13.18)

est un isomorphisme canonique intrinsèque. De même,

T :

L(E∗, F ;R) → L(F,E∗;R)

b 7→ bT

où bT (v, ℓ)

déf= b(ℓ, v), ∀v ∈ F, ∀ℓ ∈ E∗, (13.19)

est un isomorphisme canonique intrinsèque.

Preuve. Trivial.

Si on dispose d'une base (ei) de E et d'une base (bi) de F , alors si on représente b(·, ·) ∈ L(E∗, F ;R)à l'aide de b =

∑ij b

ij ei ⊗ bj , on en déduit bT =

∑ij b

ji b

i ⊗ ej . En eet, pour ℓ =∑

i ℓiei ∈ E∗ et

v =∑

i vibi ∈ F , on a b(ℓ, v) =

∑ij b

ijℓiv

j =∑

ij bjiv

iℓj = bT (v, ℓ). Et donc la matrice de bT est latransposée de la matrice de b :

[bT ] = [b]T . (13.20)

13.2.4 Les identications

Proposition 13.13 On a les isomorphismes canoniques intrinsèques :

L(E∗;F ∗) ≃ L(E∗, F ;R) ≃ L(F,E∗;R) ≃ L(F ;E∗∗) ≃ L(F ;E). (13.21)

Preuve. • La proposition 13.10 donne L(E∗;F ∗) ≃ L(E∗, F ;R).• L'espace L(E∗, F ;R) est canoniquement isomorphe à l'espace L(F,E∗;R), cf (13.19).• La proposition 13.10 donne L(F,E∗;R) ≃ L(F ;E∗∗).• L(F ;E∗∗) ≃ L(F ;E) grâce à l'isomorphisme canonique J .• L(F ;E) ≃ L(E∗;F ∗) par l'isomorphisme canonique (13.14).

Exemple 13.14 La contraction δ ∈ L(E∗, E;R) ≃ L(E;E∗∗) dénie par, pour tout (ℓ, u) ∈ E∗×E :

δ(ℓ, u)déf= ℓ(u),

est naturellement identiée à J ∈ L(E;E∗∗). En eet : J(u)(ℓ) = δ(ℓ, u), pour tout (ℓ, u) ∈ E∗×E.

Si on s'intéresse aux applications multilinéaires L ∈ L(E, ..., E︸ ︷︷ ︸k fois

;F ) =noté Lk(E;F ), on a :

Proposition 13.15 L'application : I :

L(E;Lk(E;F )) → Lk+1(E;F )

φ 7→ I(φ)

dénie par :

∀u1, ...uk+1 ∈ E, I(φ)(u1, ...uk+1) = φ(uk+1)(u1, ..., uk) ∈ F, (13.22)

est un isomorphisme, dit canonique.

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74 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Preuve. La linéarité de I est immédiate (dénition de la somme et de la multiplication par unscalaire).

L'injectivité de I sera montrée si I(φ) = 0 implique φ = 0. Mais I(φ) = 0 implique que pour toutuk+1 ∈ E on a φ(uk+1) = 0 (dans Lk(E;F )) donc que φ = 0 (dans L(E;Lk(E;F ))).

Puis, si dimE = n et dimF = m, sachant que dim(Lk(E;F )) = k ∗ n ∗m, on adim(L(E;Lk(E;F ))) = n ∗ k ∗ n ∗m et dim(Lk+1(E;F )) = (k+1) ∗ n ∗m.D'où égalité des dimension des espaces de départ et d'arrivée, d'où I bijectif. D'où I est un isomor-phisme.

Remarque 13.16 Pour k = 0 et F = R, on retrouve l'isomorphisme trivial L(E;R) ≃ L(E;R).Pour k = 1 et F = R, on retrouve l'isomorphisme L(E;E∗) ≃ L2(E;R) = L(E,E;R).

Remarque 13.17 Par contre, E∗ = L(E;R) et L(R;E) ≃ E ne sont pas canoniquement intrinsèque-ment isomorphes, voir la suite. Par exemple l'identication usuelle est faite à l'aide du théorème dereprésentation de Riesz qui nécessite l'utilisation d'un produit scalaire (non intrinsèque).

13.3 Diagrammes commutatifs et isomorphismes naturels

Synonymes pour désigner naturel : objectif, intrinsèque, indépendant d'un observateur. L'emploidu mot naturel est repris de Abraham et Marsden [1].

Le but est le suivant : à partir d'une donnée x, calculer y = L.x, et savoir si ce calcul dépendd'un observateur.

13.3.1 Diagramme commutatif

Dénition 13.18 Rappel : on dit que le diagrammeA

f−→Bg ↓ ↓ kC −→

hD

commute ssi les applications

f, g, h, k vérient :k f = h g, (13.23)

i.e. ssi pour tout a ∈ A, on a k(f(a)) = h(g(a)) ∈ D (on obtient le même résultat quel que soit lechemin choisi pour aller de A à D).

De même, on dit que le diagrammeA

f−→Bg ↓ ↑ kC −→

hD

commute ssi les applications f, g, h, k vérient :

f = k h g, (13.24)

i.e. ssi pour tout a ∈ A, on a f(a) = k(h(g(a))) ∈ B (on obtient le même résultat quel que soit lechemin choisi pour aller de A à B).

13.3.2 Application linéaire naturelle relativement à un opérateur

On se donne quatre espaces vectoriels A, B, C et D, de dimension nie.Soit L ∈ L(A;B) une application linéaire (un calcul à faire par exemple) :

AL−→B.

Soit Is ∈ Li(A;C) un isomorphisme donné (changement d'observateur avant le calcul par exemple) :

AIs ↓C

(En fait il n'est pas nécessaire de supposer Is inversible : on le suppose ici uniquement dans un butd'interprétation d'indépendance en fonction de l'observateur.)

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75 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

On suppose que L ∈ L(C;D) a un sens (calcul par un autre observateur par exemple) :

CL−→D.

Enn, soit Z : Is → Z(Is) un opérateur de transformation des applications linéaires. On supposeraZ ∈ L(L(A;C);L(B;D)) ou bien Z ∈ L(L(A;C);L(D;B)) suivant le contexte, cf. (13.23) et (13.24) :

B↓ Z(Is)D

ou bienB↑ Z(Is).D

On veut savoir si, quelque soit Is (quelque soit le changement d'observateur) l'un des diagrammessuivant est commutatif :

AL−→B

Is ↓ ↓ Z(Is)C −→

LD

ou bienA

L−→BIs ↓ ↑ Z(Is).C −→

LD

(Par exemple, à la n du calcul on veut comparer les résultats des deux observateurs.)

Dénition 13.19 L'application linéaire L ∈ L(A,B) est dite naturelle relativement à Z ssi le dia-gramme :

AL−→B

Is ↓ ↓ Z(Is)C −→

LD

est commutatif pour tout Is ∈ Li(A;C), (13.25)

i.e. ssi :∀Is ∈ Li(A;C), Z(Is) L = L Is. (13.26)

De même, l'application linéaire L ∈ L(A,B) est dite naturelle relativement à Z ssi le diagramme :

AL−→B

Is ↓ ↑ Z(Is).C −→

LD

est commutatif pour tout Is ∈ Li(A;C), (13.27)

i.e. ssi :∀Is ∈ Li(A;C), L = Z(Is) L Is. (13.28)

Exemple 13.20 Voir les paragraphes suivants.

Remarque 13.21 On verra (polycopié suivant) que l'opération de dérivation (directionnelle) de Lieest naturelle relativement au push-forward des fonctions (changement d'observateur). C'est une despropriétés essentielles satisfaites par la dérivation de Lie.

On aura φ : U → Ω un diéomorphisme, et donc dφ(X) = Is un isomorphisme (en un point X),la dénition de naturel sera alors relative au diagramme qui sera commutatif :

f ∈ C∞(U ;R)φ∗−→ g ∈ C∞(Ω;R)

Lu ↓ ↓ Lv = Lφ∗u

df.u ∈ C∞(U ;R) −→φ∗

dg.v ∈ C∞(Ω;R).

Pour une fonction f : Rn → R, sa dérivée de Lie donnée par (Luf)(X) = df(X).u(X) pour X ∈ U(dérivée directionnelle).

Et son push-forward par φ sera la fonction g = φ∗f donnée par g(x) = f(X) quand x = φ(X),soit φ∗f = f φ−1.

Et le push-forward φ∗u d'un vecteur u en X sera donné par le vecteur φ∗u = v en x = φ(X) oùv(x) =déf dφ(X).u(X).

On vérie alors que le diagramme est bien commutatif :

(φ∗ Lu)(f) = (Lφ∗u φ∗)(f). (13.29)

En eet, d'une part :

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76 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Luf(X) = df(X).u(X) ∈ R, avec Luf une fonction U → R, donc φ∗(Luf)(x) = df(X).u(X)

quand x = φ(X), et que d'autre part :φ∗(f)(x) = f(X) = (f φ−1

∗ )(x)), avec φ∗(f) une fonction Ω → R, donc Lv(φ∗f)(x) = d((f φ−1)(x)).v(x) = (df(X).dφ−1(x)).v(x) = df(X).(dφ−1(x).v(x)) = df(X).u(X) quand x = φ(X).

Interprétation de (13.29) : membre de gauche : on commence par dériver f dans la direction u en X(le terme Luf), puis on le transporte dans Ω (avec φ∗(Luf)) ; et membre de droite : on commencepar transporter f dans Ω (le terme φ∗f) puis on le dérive dans la direction transportée (la directionv = φ∗u). Qu'on choisisse l'une ou l'autre méthode (gauche ou droite), le résultat est le même (lediagramme est commutatif).

13.4 Isomorphisme non naturel E ≃ E∗

Cf. Spivak [9].On s'intéresse au diagramme :

EL−→ E∗

Is ↓ ↑ Is∗.F −→

LF ∗

On dispose d'un changement d'observateur Is ∈ Li(E;F ). De manière canonique, on dispose alors del'adjoint Is∗ ∈ L(F ∗;E∗) déni par Is∗(m) = m Is pour tout m ∈ F ∗.

Ici on a Z = ∗ : Is ∈ Li(E,F ) → Z(Is) = Is∗ ∈ Li(F∗, E∗) l'opérateur d'adjonction.

Proposition 13.22 Soit E un e.v. donné. Et soit L ∈ L(E;E∗) (une application linéaire donnée de Edans son dual). Alors L n'est jamais un isomorphisme naturel relativement à l'opérateur de dualité ∗.I.e., le diagramme suivant ne commute pas :

EL−→E∗

Is ↓ ↑ Is∗F −→

LF ∗

est non commutatif : ∃Is ∈ Li(E;F ), L = Is∗ L Is.

En particulier, il n'y a pas d'isomorphisme naturel entre E et E∗ : un isomorphisme entre E et E∗

dépend nécessairement de l'observateur (dans la suite : dépendra du choix du produit scalaire et del'application du théorème de représentation de Riesz, cf. paragraphe 9.1, ou encore de représentationdans une base).

Preuve. Il sut de montrer cette proposition pour E = R = F . Soit L : R → R∗ avec L ∈ L(R;R∗).On voudrait avoir, pour tout Is ∈ Li(R;R) :

∀v ∈ R, L(v) = Is∗(L(Is(v))).

On sait qu'un Is ∈ Li(R;R) est de la forme Is(v) = av pour tout v ∈ R, où a ∈ R. Et pour un tel Ison a Is∗(ℓ) = aℓ pour tout ℓ ∈ R∗, voir exemple 13.7. Et donc :

Is∗(L(Is(v))) = a(L(av)) = a2L(v).

Prenons Is(v) = 2v (cas a = 2) : on a Is∗ L Is = 4L = L : le diagramme n'est pas commutatif.Ici, on vient de faire le changement de base Is(v) = 2v (dilatation).

Remarque 13.23 Donc pour calculer de E dans E∗, on ne peut pas se servir d'un espace F intermé-

diaire de calcul, d'un changement de variables de E dans F , et se servir du schéma EIs→F

L→F ∗ Is∗

→ E∗

en lieu et place du schéma EL→E∗.

C'est gênant (particulièrement à cause des bases anglo-saxonnes qui ne sont pas les bases interna-tionales), mais c'est comme ça.

On pourra cependant représenter une forme linéaire ℓ ∈ E∗ par un vecteur u ∈ E modulo l'intro-duction d'un produit scalaire (voir théorème de Riesz) : ce n'est plus à l'aide des images des vecteursd'une base qu'on caractérisera une application linéaire, mais en introduisant l'outil le produit sca-laire, et un vecteur associé. Le problème est que ce vecteur associé dépend du produit scalaire choisi(n'est pas intrinsèque à ℓ). Voir le paragraphe sur les covecteurs.

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77 13. Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs)

Et un autre problème va surgir lors de la dérivation sur les surfaces : les dérivées de Lie d'un champde vecteurs ou d'un champ de formes sont diérentes. Et si on commence par représenter une formediérentielle par un champ de vecteurs (par Riesz), et si on dérive le champ de vecteur au lieu dedériver la forme diérentielle, on n'obtient pas le bon résultat. D'où l'incompréhension de certainesformules et de certains calculs en mécanique classique.

Remarque 13.24 On peut essayer d'échapper à l'introduction du produit scalaire pour dénir unisomorphisme E ≃ E∗, par exemple en envoyant une base (ei) de E sur sa base duale (ei) de E∗ :

Ie :

E → E∗

u 7→ Ie(u)t.q. si u =

n∑i=1

uiei alors Ie(u) =n∑

i=1

uiei.

(Ayant posé Ie(ei) = ei.) Malheureusement, si on change de base, l'isomorphisme Ie change : cetisomorphisme dépend de l'utilisateur (qui xe la base) : il n'est pas intrinsèque.

Prendre par exemple pour nouvelle base la base (bi) où bi = 2ei : on a alors (bi) base duale avecbi = 1

2ei, et u =

∑ni=1 u

iei =∑n

i=1ui

2 bi donne Ib(u) =∑n

i=1ui

2 bi =

∑ni=1

ui

4 ei = Ie(u) (cas d'un

changement d'unité).D'ailleurs on a la proposition 13.22.

Exemple 13.25 Dans R2 muni de la base canonique (E1, E2). Soit R2 muni du produit scalairecanonique (u, v)g = (u, v) = u1v1 + u2v2. Soit ℓ(u) = α1u

1 + α2u2 pour tout u = u1E1 + u2E2.

Alors, la base canonique étant orthonormée pour ce produit scalaire, on vérie immédiatement que

uℓ =

(α1

α2

)= α1E1 + α2E2.

Attention : on voit ici que les notations ne sont pas cohérentes. Il faudrait, pour qu'elles le soient,que les indices soient cohérents, i.e. de la forme α1E1 + α2E2. Ce n'est pas le cas, dû à l'introductiondu produit scalaire, et cela entraine de nombreux eets non désirés : voir par exemple les formulesde changement de base qui ne sont pas les mêmes pour les vecteurs u = (u1, u2) et pour les formeslinéaires ℓ = (α1, α2). Voir également les formules de dérivations des champs de vecteurs et deschamps de formes, qui donnent soit une dérivée upper convected, soit une dérivée lower convected,cf. polycopié suivant.

Ainsi, dans ce qui suit, on utilisera avec précaution la représentation d'une forme linéaire par unvecteur.

Exemple 13.26 Dans R2 muni de la base canonique (E1, E2). Soit R2 muni du produit scalaire(u, v)A = (A.u, v) =

∑ij aiju

jvi pour une matrice A = [aij ] symétrique dénie positive, avec donc

a12+a21. Soit ℓ(u) = α1u1+α2u

2 pour tout u = u1E1+u2E2, donc avec ℓ = α1dx+α2dy. On cherche

le vecteur uℓ = u1E1 + u2E2 tel que ℓ(v) = (uℓ, v)A pour tout v :

α1v1 + α2v

2 = a11u1v1 + a12(u

2v1 + u1v2) + a22u2v2.

En particulier pour v = E1 puis v = E2, on obtient le système à résoudre :α1 = a11u

1 + a12u2,

α2 = a12u1 + a22u

2.

La matrice A étant dénie positive est inversible et on obtient

(u1

u2

)= A−1.

(α1

α2

). Et la matrice

A−1 est notée par les mécaniciens A−1 = [aij ]. Comme A−1 = 1det(A)

(a22 −a12−a21 a11

)où det(A) =

a11a22−a12a21, on a donc a11 = 1det(A)a22, a

12 = −1det(A)a12, a

21 = −1det(A)a21, a

22 = 1det(A)a11. Et(

u1

u2

)= [aij ].

(α1

α2

).

13.5 L'isomorphisme E ≃ E∗∗ donné par J est naturel

Ici on s'intéresse au diagramme pour l'isomorphisme canonique J : E → E∗∗ :

EJ−→E∗∗

Is ↓ ↓ Is∗∗.F −→

JF ∗∗

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78 RÉFÉRENCES

(On rappelle que J est déni par J (u).ℓ = ℓ.u ∈ R, cf. (4.5), et que son interprétation est : J trans-forme un vecteur u en la dérivation directionnelle dans la direction u, cf. (4.9).)

On dispose d'un changement d'observateur Is ∈ Li(E;F ). De manière canonique, on dispose alorsde Is∗∗ ∈ L(E∗∗;F ∗∗) où cette application linéaire est dénie par :

∀∂ ∈ E∗∗, Is∗∗(∂) = ∂ Is∗ ∈ F ∗∗,

i.e. :∀∂ ∈ E∗∗, ∀m ∈ F ∗, Is∗∗(∂)(m) = ∂(Is∗(m)) = ∂(m Is) ∈ R. (13.30)

Alors pour l'isomorphisme canonique J déni en (4.5) :

Proposition 13.27 L'isomorphisme canonique J : E → E∗∗ est naturel relativement à l'opérateurde bidualité Z = ∗∗, i.e. le diagramme suivant commute :

EJ−→E∗∗

Is ↓ ↓ Is∗∗F −→

JF ∗∗

est commutatif : ∀Is ∈ L(E;F ), Is∗∗ J = J Is.

Donc pour tout u ∈ E, on a Is∗∗(J (u)) = J (Is.u)Ou encore, pour tout Is ∈ Li(E;F ) on a J = Is∗∗ J Is−1.

Preuve. Soit Is ∈ Li(E;F ). On veut montrer que J Is = Is∗∗ J ∈ L(E;F ∗∗), i.e., pour toutu ∈ E, pour tout m ∈ F ∗ :

J (Is(u))(m) = Is∗∗(J (u))(m) ∈ R.

Soit u ∈ E. On a Is(u) ∈ F , et si m ∈ F ∗, par dénition de J ∈ L(F ;F ∗∗) on a :

J (Is(u))(m) = m(Is(u)) ∈ R.

D'autre part, comme J (u) ∈ E∗∗, et par dénition de Is∗∗ ∈ L(E∗∗;F ∗∗), voir (13.30), on a (onrappelle que Is∗(m) ∈ E∗) :

Is∗∗(J (u))(m) = J (u)(Is∗(m)) = Is∗(m)(u) = m(Is(u)) ∈ R.

Et on a donc bien J (Is(u))(m) = m(Is(u)) dans R : le diagramme est commutatif.

13.6 Isomorphisme (non naturel) usuel de représentation entre E∗ et E

Usuellement, quand on dispose d'un produit scalaire, on utilise le théorème de représentation deRiesz.

Références

[1] Abraham R., Marsden J.E. : Foundation of mechanics, 2nd edition. Addison-Wesley, 1985.

[2] Arnold V. : Mathematical Methods of Classical Mechanics. Second Edition, Springer 1989.

[3] Cartan H. : Cours de calcul diérentiel. Hermann 1990.

[4] Chenciner A. : 5 cours sur la géométrie diérentielle, école d'été "Mathset Cerveau" de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, IHP juin 2005,http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/person/chenciner/chen_preprint.php

[5] Germain P. : Cours de mécanique. Ecole Polytechnique, édition 1983.

[6] Gurtin, M. E. : Topics in Finite Elasticity. Regional conference series in applied mathematics.Society for Industrial and Applied Mathematics. 1981. Philadelphia, Pennsylvania 19103.

[7] Marsden J.E., Hughes T.J.R. :Mathematical Foundations of Elasticity. Dover publications, 1993.

[8] Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. : Gravitation. W.H. Freeman and Cie, 1973

[9] Spivak M. : A comprehensive introduction to dierential geometry, Volume 1. Publish or PerishInc., Third Edition, 1999.

[10] Truesdell C., Noll W. : The non-linear eld theory of mechanics. Handbuch der physik BandIII/3, Springer-Verlag 1965

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