Cours et exercices corrigs

Mathmatiques pour le traitementdu signal

Matine Bergounioux

2e dition

Dunod, 2010, 2014

5 rue Laromiguire, 75005 Paris www.dunod.com

ISBN 978-2-10-071042-3

Illustration de couverture : Digitalvision

Les auteurs et lditeur ne pourront tre tenus responsables des ventuels problmes lis lutilisation des informations prsentes dans ce livre.

La srie Mathmatiques pour le Master/SMAI propose une nouvelle gnration de livres adapts aux tudiants de Master niveau M1 et aux lves ingnieurs. Leur adquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualit scientifique.

La SMAI (Socit de Mathmatiques Appliques et Industrielles) assure la direction ditoriale grce un comit renouvel priodiquement et largement reprsentatif des diffrents thmes des mathmatiques appliques et de leur volution : analyse numrique, probabilits appliques, statistique, optimisation, systmes dynamiques et commande, traitement dimages et du signal, finance, recherche oprationnelle, etc. Son ambition est de constituer un ensemble douvrages de rfrence.

Avant-propos

Ce cours est issu dun enseignement donne au sein du MASTER de Mathemati-

ques dOrleans et sadresse a des mathematiciens desireux de connatre les techniques

de base de traitement du signal. A contrario, il peut aussi interesser des specialistes

de traitement du signal qui souhaitent avoir un point de vue mathematique sur les

outils quils utilisent frequemment. Cet ouvrage se veut donc une introduction a la

discipline plus quun ouvrage pointu destine a des specialistes du domaine. Pour le

lecteur qui souhaite en savoir davantage nous renvoyons a la bibliographie qui per-

met dapprofondir les differents sujets. Nous avons souhaite donner de nombreuses

applications tout au long de louvrage et proposons comme tout livre de ! cours "

qui se respecte quelques exercices ou sujets de travaux pratiques. Nous nous sommes

volontairement places dans un cadre unidimensionnel : les differents concepts (no-

tion de frequence, transformation de Fourier, transformation en ondelettes, etc.) sont

generiques et plus faciles a presenter dans ce contexte. Le cas des signaux bi-dimen-

sionnels que sont les images sera aborde dans [3] : les techniques contenues dans le

present livre y seront adaptees et dautres methodes, plus specifiques au traitement

dimage, largement developpees. Le signal unidimensionnel le plus accessible par

excellence etant le signal sonore, nous avons consacre un court chapitre a lanalyse

vocale (ou traitement de la parole), la aussi sous forme dintroduction. Pour le traite-

ment du son musical nous renvoyons a louvrage de P. Guillaume [10] qui fourmille

dexemples en liaison directe avec la musique.

Nous avons choisi de ne parler que de techniques deterministes en laissant de

cote les methodes stochastiques, faute de place et de competences. Toutefois, le point

de vue probabiliste est tres utile en signal et tres present dans la maniere dont les

ingenieurs presentent leurs resultats. Il est aussi fondamental dans la theorie du co-

dage et de linformation (au sens de Shannon) qui nest pas abordee dans cet ouvrage.

Nous renvoyons a [13] chapitre 5, [14] chapitre 10, [16] partie 2 ou [1] Tome 1, cha-

pitres 4 et 5 pour une presentation ! stochastique " du traitement du signal.

Une partie des informations, exemples, illustrations contenus dans ce livre a ete

recoltee au fil de mes investigations sur Internet. Je remercie tous les anonymes (et

WIKIPEDIA !) qui ont contribue de fait a enrichir cet ouvrage.

Cette nouvelle edition propose de nouveaux exercices et corrige quelques co-

quilles. Un chapitre a ete ajoute a la premiere edition : il sagit dune ouverture vers

4

le traitement du signal 2D, cest-a-dire le traitement dimage. Les outils exposes pour

le traitement du signal 1D sont fondamentaux des quon sinteresse au cas bidimen-

sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la generalisation de ces

outils.

Orleans, le 18 mars 2014.

Chapitre 1

Introduction

Lutilisation de mathematiques de haut niveau en traitement du signal et pour

lapprentissage est une tendance nouvelle rendue necessaire par la quantite et la com-

plexite croissantes dinformations aujourdhui disponibles, qui engendrent un besoin

dautomatisation des methodes danalyse, de traitement de linformation et de la prise

de decisions.

Les applications les plus classiques concernent lanalyse et la transformation

dinformations sonores et dimages, mais des problemes similaires sont poses par

dautres signaux tels que des enregistrements de sequences dADN, des series fi-

nancieres ou des donnees atmospheriques.

Linformation ainsi traitee peut ensuite servir a la realisation dune tache quil

sagit doptimiser. 1

La notion de signal fait intervenir la notion dobservation de phenomene. Elle fait

intervenir des quantites dependantes du temps, de lespace ou de la frequence. Pour

etudier ces quantites on a une modelisation sous forme de fonction dune variable.

Les signaux sont des objets qui peuvent etre

unidimensionnels (1D) : cest le cas de tous les phenomenes ondulatoires, dont

lexemple le plus connu est le son. La variable est alors le temps t. Letude des

signaux 1D fait lobjet du present cours.

bidimensionnels (2D) : il sagit dans ce cas dimages. La variable est une va-

riable despace representant les deux coordonnees (x, y) dun point du plan

de limage. Letude de ces signaux, plus connue sous le nom de Traitement

dImage nest pas (ou peu) abordee dans ce volume.

tridimensionnels (3D) : il peut sagir, soit dimages 3D (dans lespace) dont

la reconstruction et la description se font par exemple a partir de projections

stereographiques ou tomographiques, soit dune sequence dimages 2D dans

le temps (video). Dans le premier cas, la variable est une variable despace

representant les trois coordonnees dun point (x, y, z) de limage. Dans le se-

cond cas il sagit des deux coordonnees px, yq dans le plan et du temps t.

1. Dapres S. Mallat : http://www.cmap.polytechnique.fr/spip.php?article8

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

quadridimensionnels (4D) : cest le cas, par exemple, dimages 3D (volumes)

evoluant dans le temps.

Dans cet ouvrage nous allons nous concentrer sur letude des signaux 1D. Les

methodes decrites relevent de ce qui est communement appele le ! traitement du

signal ". Nous donnons quelques exemples pour commencer.

1. Le son est le signal (1D) le plus connu. Les applications du traitement du son

sont nombreuses. On peut citer, par exemple, la synthese et lanalyse vocale, la

musique numerique (standard MP3, instruments numeriques)

(a) Extrait dun chant de baleine a bosse (b) [Debut des ! Variations Goldeberg " de J.S.

Bach

FIGURE 1.1 Exemples de sons (representation temporelle)

2. Signaux ! environnementaux "

(a) Onde sismique (b) Sonar dun banc de poissons

FIGURE 1.2 Signaux environnementaux

3. Signaux electriques : ces signaux sont particulierement interessants en mede-

cine (electrocardiogramme- electroencephalogramme).

13

FIGURE 1.3 Electrocardiogramme (ECG) )

FIGURE 1.4 Electro-encephalogramme (EEG)

Un signal peut etre modelise de facon deterministe ou aleatoire. Lorsque la fonc-

tion t xptq est continue le signal est analogique. Si la variable est discrete, lesignal est discret. Souvent un signal discret est le resultat de la discretisation dun

signal analogique. On parle alors dechantillonnage.

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

FIGURE 1.5 Signal echantillonne

Quand on discretise un signal en vue dun traitement numerique, on fait aussi

une quantification (stockage sur ordinateur). Un signal discret quantifie est un signal

numerique.

Exemples de signaux ! theoriques "

Echelon unite de Heaviside : La fonction est donnee par

t uptq

"1 si t 0 ,0 si t 0 .

(1.1)

Ce signal modelise letablissement instantane dun regime constant.

Signal rectangle ou creneau centre : La fonction est donnee par

t vptq

"1 si |t| a ,0 si |t| a .

(1.2)

(a) Echelon unite de Heaviside (b) Creneau centre

FIGURE 1.6 Exemples de signaux ! theoriques "

Signal sinusodal ou monochromatique : le signal est represente par la fonction

t xptq cosp t ` q,

15

ou P R est lamplitude du signal , P R est la pulsation et P r0, 2s la

phase initiale. On appelle a 2

la periode et

1

a

2la frequence.

On peut donc ecrire que xptq cosp2 t ` q. On etudiera en general lesignal

zptq expp2i t ` iq c expp2i tq

ou c exppiq P C. On a donc c Repzptqq (ou Re(z) designe la partiereelle du complexe z).

Le traitement du signal repose essentiellement sur lutilisation doperateurs lineai-

res qui modifient les proprietes dun signal de facon homogene dans le temps. Les

transformees de Fourier et de Laplace qui diagonalisent des operateurs sont les prin-

cipaux outils danalyse mathematique.

On etudie un signal de deux points de vue :

le point de vue temporel (ou spatial sil sagit dune image) : etude du signal

dans le temps, tel quil est enregistre ou dans lespace physique (pour une

image par exemple) ;

le point de vue frequentiel : on extrait du signal des informations ! cachees "

mais qui sont caracteristiques de chaque signal. Les outils mathematiques sont

essentiellement la transformation de Fourier et la transformation de Laplace (et

leurs analogues ! discrets ", la transformation de Fourier discrete (ou DFT) et

la transformation en z).

Le traitement du signal (analogique ou numerique) consiste :

a etudier le signal, lanalyser, en extraire les informations pertinentes,

a modifier le signal (pour enlever les parasites dun son, accentuer les basses

dun morceau de musique ou eclaircir une image par exemple),

a synthetiser/reproduire des signaux nouveaux (! voix de synthese ").

Sans pretendre a lexhaustivite, nous allons presenter les principaux danalyse

et de traitement des signaux, au premier rang desquels les outils danalyse spectrale

qui font lobjet du chapitre 2. Le chapitre 3 presente des techniques elementaires de

traitement des signaux aleatoires. Le chapitre 4 presente des outils de filtrage (ana-

logique et numerique) : le filtrage est une etape fondamentale et incontournable dans

tout traitement de signal. Le chapitre 5 est consacre a lechantillonnage, a savoir le

passage dun signal analogique (! continu ") a un signal numerique (discret). Nous

y presentons le celebre theoreme dechantillonnage de Shannon ainsi que les diffi-

cultes posees par le mauvais choix dune frequence dechantillonnage (aliasing). Le

chapitre 6 est consacre a lanalyse temps-frequence dun signal, avec la transforma-

tion de Gabor et la STFT 2 qui conduisent a la notion de spectrogramme. Tout natu-

rellement, le chapitre 7 presente une alternative, complementaire a lanalyse temps-

2. Short Time Fourier Transform ou Transformee de Fourier a fenetre glissante

16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

frequence, qui est lanalyse temps-echelle avec lintroduction des ondelettes et de

lanalyse multi-resolution. Nous terminerons par une application a lanalyse vocale

(chapitre 8) et un chapitre dintroduction au traitement des images (chapitre 9).

Chapitre 2

Analyse spectrale des signauxunidimensionnels

2.1 Signaux analogiques periodiques

Un signal sinusodal ! pur " t sinp2tq a une signification ! physique " :cela correspond a une onde qui se propage. On va montrer dans ce qui suit que tout

signal periodique denergie finie (ce que nous allons preciser) est la superposition

dun nombre infini dondes.

2.1.1 Les series de Fourier

On considere dans ce qui suit des signaux periodiques de periode a 0 etdenergie finie. Lespace de ces signaux est

L2pp0, aq tf : R C, f de periode a,

a0

|f |2ptq dt `8u

muni du produit scalaire (hermitien)

pf, gq :

a0

fptqgptq dt ,

ou |z| designe le module du complexe z et z son conjugue. Lenergie du signal esttout simplement sa norme dans lespace L2 au carre

Epfq : }f}22

a0

|f |2ptq dt .

Pour tout N P N on designe par TN lespace vectoriel engendre par la famillepekqNkN avec #

R C

en : t expp2int

aq .

(2.1)

18 CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELS

On verifie facilement que cette famille est orthogonale et satisfait pek, ekq a pourtout k P Z. De plus }ek}8 1, pour tout k P Z, ou }f}8 : sup

tPR|fptq| designe la

norme uniforme (ou dans L8pRq) de la fonction f .Lespace TN est donc lespace des polynomes trigonometriques de degre inferieur ouegal a N . Cest un sous-espace de L2pp0, aq de dimension finie (donc ferme). Nousavons un resultat dapproximation qui est un cas particulier du theoreme de projection

sur un convexe ferme dans un espace de Hilbert (voir Annexe 1, Theoreme A.4.1)

mais que nous allons demontrer directement.

Theoreme 2.1.1 Soit f P L2pp0, aq. Il existe un unique polynome fN P TN (appelepolynome de meilleure approximation de f dans TN ) projete de f sur TN qui realisele minimum de

minPPTN

}f P }2 .

De plus il secrit sous la forme

fN kNkN

ckpfq ek ,

ou

@N,@k P tN, , Nu ckpfq 1

a

a0

fptq expp2ikt

aq dt. (2.2)

Demonstration.- Soit f P L2pp0, aq. Un polynome trigonometrique peut toujours

secrire sous la forme P kNkN

xk ek (quitte a completer par des coefficients nuls)

ou xk P C pour tout k. Calculons donc

}f P }22 }f}22 ` }P }

22 2 Repf, P q .

Comme la famille penqnPZ est orthogonale on a

}P }22 kNkN

|xk|2a .

Dautre part

pf, P q kNkN

xkpf, ekq ;

si on pose

@k P tN, , Nu ckpfq pf, ekq

pek, ekq

1

apf, ekq ,

2.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PERIODIQUES 19

il vient

}f P }22 }f}22 ` a

kNkN

`|ckpfq xk|

2 |ckpfq|2. (2.3)

Il est donc clair que le minimum est atteint lorsque xk ckpfq et pour cette valeurseulement. l

Definition 2.1.1 (Coefficient et serie de Fourier) Les coefficients ckpfq sont les co-efficients de Fourier de f .

La serie

ckpfq ek est la serie de Fourier de f .

La premiere question qui se pose est bien sur la convergence de la serie de Fourier

dune fonction f de L2pp0, aq. Nous allons repondre a cette question par le theoreme2.1.4. Donnons tout dabord quelques proprietes des coefficients de Fourier.

Theoreme 2.1.2 Soit f P L2pp0, aq a valeurs reelles et pckpfqqkPZ ses coefficients deFourier.

1. Lapplication f pckpfqqkPZ est lineaire.

2. Pour tout k P Z, ck ck et donc particulier |ck| |ck|.

3. Si f est paire, alors pour tout k P Z, ck est reel.

4. Si f est impaire, alors pour tout k P Z, ck est imaginaire pur.

Demonstration.- La propriete 1 est immediate. Montrons la propriete 2 : Soit k P Zet f P L2pp0, aq a valeurs reelles.

ckpfq 1

a

a0

fptq expp2ikt

aq dt

1

a

a0

fptq expp2ikt

aq dt ck.

Les autres proprietes se demontrent de maniere similaire. l

Theoreme 2.1.3 (Inegalite de Bessel) Sous les hypotheses et notations precedentes,

on aN

kN

|ck|2

1

a

a0

|fptq|2dt .

Demonstration.- Lorsque xk ckpfq pour k P tN, , Nu, la relation (2.3) secrit

}f P }22 }f}22 a

kNkN

|ckpfq|2 ,

cest-a-dire

kNkN

|ckpfq|2

1

a}f}22 , ce qui est la relation annoncee. l

En passant a la limite dans cette inegalite lorsque N `8, on obtient

88

|ckpfq|2

1

a

a0

|fptq|2dt . (2.4)

20 CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELS

En realite, on a le resultat precis suivant :

Theoreme 2.1.4 Si f P L2pp0, aq et si fN est le polynome de meilleure approxima-

tion de f dans TN cest-a-dire fN N

kN

ckek , alors

limN `8

}f fN}22 0,

cest-a-dire que la suite fN converge vers f dans L2pp0, aq.

Demonstration.- Nous avons vu que

}f fN}22

a0

|fptq|2dt aN

kN

|ck|2

a0

|fptq|2dt }fN}22 }f}

22 }fN}

22. (2.5)

Grace a linegalite de Bessel, la quantite }fN}22

NkN

|ck|2 est bornee et on peut

donc en extraire une sous-suite convergente :pfNkqkPN.Donc lim

k `8}f fNk}

22 existe mais il nest pas evident que cette limite soit nulle.

Nous allons donc montrer que cette limite (et donc toute valeur dadherence) est

necessairement nulle. Comme la preuve sapplique a toute sous-suite de pfN qNPN,cela montrera en meme temps que toute la suite converge. Dans ce qui suit, on notera

donc la suite extraite fNk de la meme facon que la suite elle-meme fN pour alleger

la presentation.

Commencons par montrer le resultat pour une fonction f de classe C1. Dans ce casla fonction

x pxq

a0

fpx ` tqfptq dt

est periodique de periode a et C1 sur R (integrale dependant dun parametre). Deplus, les coefficients de Fourier n de sont donnes par n a|cn|

2. En effet

n 1

a

a0

pxq expp2in

axq dx

1

a

a0

a0

fpx ` tqfptq expp2in

axq dt dx

1

a

a0

a0

fpx ` tq expp2in

apx ` tqq fptq expp2i

n

atqdt dx

1

a

a0

fpsq expp2in

asq

a0

fptq expp2in

aqdt

jds ( avec s x ` t q

a cncn a|cn|2 .

2.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PERIODIQUES 21

La serie de Fourier de est donc normalement convergente et donc uniformement

convergente vers une fonction , periodique et continue sur R. En effet

}n

nen}8 n

|n| an

|cn|2 `8 .

On montre de la meme maniere que la serie derivee est uniformement continue. Une

integration par parties donne : cnp1q 2inn , et avec linegalite de Bessel on

obtient

}n

cnp1qen}2 2}

n

nnen}2 1

a}1}2 `8 .

La serien

ne1n 2i

n

nnen est uniformement convergente. Par consequent la

serie de Fourier de converge vers une fonction , periodique et C1 sur R. Lesfonctions et sont C1 et ont les memes coefficients de Fourier . En effet

cnpq 1

a

a0

ptqenptq dt 1

a

a0

`8

k8

kekptq

enptq dt.

Comme la serie est uniformement convergente on peut intervertir lintegrale et la

somme :

cnpq 1

a

`8

k8

a0

kekptqenptq, dt

1

a

`8

k8

kpek, enq

n cnpq.

On admet pour linstant le resultat suivant (corollaire 2.1.3 du theoreme de Dirichlet),

que nous demontrerons dans la section suivante :

Si et sont C1 et periodiques sur R, alors

@n P Z, cnpq cnpq .

Par consequent pxq pxq pour tout x P R. On peut resumer en disant que

@x P R`88

n expp2in

axq pxq

a0

fpx ` tqfptq dt .

Prenons alors x 0 : on obtient a0

|fptq|2 dt `8

n8

n a`8

n8

|cnpfq|2 .

Si on reporte cette egalite dans (2.5) on obtient alors

limN`8

a0

|fptq fN ptq|2 dt 0.

22 CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELS

Le theoreme est donc demontre pour toute fonction C1. On conclut en utilisant la den-site de lensemble C8c p0, aq des fonctions continues a support compact dans L

2pp0, aq.

Plus precisement, soit f P L2pp0, aq. Par densite, on peut trouver une suitegk P C

8c p0, aq X L

2pp0, aq. telle que lim

k`8}f gk}2 0.

Dautre part, si on note cnpfq le ne coefficient de Fourier de f on a

cnpf gkq cnpfq cnpgkq

et dapres linegalite de Bessel

a

NnN

|cnpf gkq|2 }f gk}

22 .

On obtient

}f fN}2 }f gk}2 ` }gk N

nN

cnpgkqek}2 ` }N

nN

pcnpgkq cnpfqqek}2 ,

}f gk}2 ` }gk N

nN

cnpgkqek}2 ` }f gk}2 .

Soit 0 ; on peut trouver ko tel que @k ko, }f gk}2

4grace a la densite.

Pour k fixe ( ko), on peut trouver Npkq tel que

}gk N

nN

cnpgkqek}2

2

car le theoreme est vrai pour les fonctions C1. Finalement }f fN}2 . l

La seriekPZ

ckek converge normalement, donc elle converge presque partout vers

f . On notera

f `88

ckek limN`8

NN

ckek ,

la convergence etant prise au sens de la norme de L2pp0, aq.

Corollaire 2.1.1 ( Egalite de Parseval) Sous les hypotheses precedentes

88

|ck|2

1

a

a0

|fptq|2dt .

2.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PERIODIQUES 23

Lenergie dun signal periodique est la somme des energies de ses harmoniques.

Remarque 2.1.1 On sait que }f fN} 0 }fN} }f} car|}fN} }f}| }f fN}. En revanche, la reciproque est fausse.

Nous avons obtenu une ! decomposition " des fonctions de L2pp0, aq en serietrigonometrique : la question se pose de savoir maintenant si cette decomposition est

unique.

Theoreme 2.1.5 (Unicite des coefficients de Fourier)

Soient f et g dans L2pp0, aq.

f g presque partout @k P Z ckpfq ckpgq.

Demonstration.- Il est clair que si f g presque partout leurs coefficients de Fouriersont egaux. Montrons la reciproque : par linearite, on se ramene a demontrer que :

@k P Z ckpfq 0 f 0 presque partout .

Dapres legalite de Parseval, nous savons que a0

|fptq|2dt a limN`8

NkN

|ck|2 .

Donc

a0

|fptq|2dt }f}2 0 ce qui entrane f 0 presque partout. l

Corollaire 2.1.2 La famille pekqkPZ est une base hilbertienne1de L2pp0, aq.

Remarque 2.1.2 On a choisi r0, as, a 0 pour simplifier lexpose mais tout ce quiprecede fonctionne de la meme maniere sur un intervalle r, ` as ou P R car `a

fptq expp2iNt

aq dt

a0

fptq expp2iNt

aq dt.

En effet `a

fptq expp2iNt

aq dt

a

fptq expp2iNt

aq dt `

`aa

fptq expp2iNt

aq dt.

Le changement de variable s t a dans la deuxieme integrale du terme de droite,la periodicite de f et la relation de Chasles permettent de conclure.

1. Voir Annexe 1, p 309

24 CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELS

2.1.2 Representation ponctuelle dune serie de Fourier

Remarquons que les coefficients de Fourier definis ci-dessus pour des fonctions

de L2pp0, aq sont egalement definis pour des fonctions de L1pp0, aq ou

L1pp0, aq tf : R C periodique de periode a verifiant

a0

|fptq| dt `8u.

On rappelle que lespace des fonctions integrables sur r0, as est

L1p0, aq t f : r0, as C verifiant

a0

|fptq| dt `8u.

On peut aussi definir (formellement) une serie de Fourier pour f P L1pp0, aq par

Sptq :`8

N8

cN pfq expp2iNt

aq .

Nous avons vu que si f P L2pp0, aq sa serie de Fourier converge dans L2pp0, aq vers f .

La question se pose de savoir si on peut etendre ce resultat aux fonctions de L1pp0, aq.La reponse est (partiellement) donnee par les theoremes suivants.

Theoreme 2.1.6 (Riemann - Lebesgue)

Soit pa, bq un intervalle borne de R et f P L1pa, bq. Alors

limn`8

ba

fpxq expp2inxq dx 0.

Demonstration.- Supposons tout dabord que f est C1. On note

In

ba

fpxq expp2inxq dx .

En faisant une integration par parties sur In, on trouve :

In 1

2inrfpxq expp2inxqsba

1

2in

ba

f 1pxq expp2inxq dx.

Donc

limn`8

|In| limn`8

1

2inp|fpbq| ` |fpaq|q `

1

2n

ba

|f 1pxq| dx 0.

On conclut ensuite par un argument de densite. En effet, on sait que si I est un inter-

valle borne lespace C8c pIq est dense dans L1pIq. Donc, si f P L1ppa, bq

@ 0, Df P C1pa, bq telle que }f f}L1

2.

2.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PERIODIQUES 25

On a

In

ba

pfpxq fpxqq expp2inxq dx ` In,,

ou on a pose In,

ba

fpxq expp2inxq dx.

Dapres ce qui precede limn`8

In, 0, donc il existe no 0 verifiant

@n no |In,|

2;

finalement : @n no, |In| ce qui permet de conclure. l

Une consequence de ce qui precede est le theoreme suivant qui fournit un resultat

de convergence ponctuelle pour les series de Fourier. Dans ce qui suit on note fpt`o q(resp. fpto q), la limite lim

ttotto

fptq (resp. limttotto

fptq).

Theoreme 2.1.7 (Dirichlet) Soit f P L1pp0, aq et to P R tel que fpt`o q et fpt

o q

existent et f 1pt`o q et f1pto q existent. Alors

limN`8

NkN

ck expp2ikto

aq

fpt`o q ` fpt

o q

2

.

Demonstration.- Posons

fN ptq N

kN

ck expp2ikt

aq avec ck

1

a

a2

a2

fpsq expp2iks

aq ds.

On obtient :

fN ptoq 1

a

NkN

a2

a2

fpsq expp2iks

aq ds

expp2ik

to

aq

1

a

a2

a2

N

kN

expp2ikto s

aq

ds ;

orN

kN

expp2ikto t

aq expp2iN

to t

aq2Np0

expp2ipto t

aq

en posant p k ` N . De plus

2Np0

expp2ipto t

aq

2Np0

expp2i

to t

aq

p

1 expp2ip2N ` 1q t0ta

q

1 expp2i tota

q.