Mathématiques SN

Mathématiques Mathématiques SNSN

La fonctionLa fonctionLOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE

Utilité du logarithmeUtilité du logarithme

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Sert à déterminer la valeur d’un exposant.Sert à déterminer la valeur d’un exposant.

Exemples :Exemples : loglog22 88 signifiesignifie « l’« l’exposantexposant de la base de la base 22 dont le résultat est dont le résultat est 88 » »

l’exposant, c’est l’exposant, c’est 33 ! !

22?? = = 88

doncdonc loglog22 88 = = 33

loglog33 99 signifiesignifie « l’« l’exposantexposant de la base de la base 33 dont le résultat est dont le résultat est 99 » »

l’exposant, c’est l’exposant, c’est 22 ! !

33?? = = 99

doncdonc loglog33 99 = = 22

Utilité du logarithmeUtilité du logarithme


Exemple :Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa.logarithmiques et vice-versa.

a) a) 22xx = = 3232

Permet d’isoler « x » dans f(x) = Permet d’isoler « x » dans f(x) = ccxx . .

x = logx = log22 3232

b) b) 55xx = = 125125 x = logx = log55 125125

c) x = logc) x = log44 256256 44xx = = 256256

d) x = logd) x = log33 8181 33xx = = 8181

Définition et lois des Définition et lois des LOGLOG


On sait que On sait que 33xx = = 2727 x = logx = log33 2727

ccxx = = yy x = log x = logcc yydoncdonc

Par conséquent :Par conséquent : loglogcc 11 == 00loglogcc cc == 11

(car (car cc00 = = 11))(car (car cc11 = = cc))

Ex.:Ex.: log log4 4 1 = 0 car 41 = 0 car 400 = 1 = 1

Ex.:Ex.: log log4 4 4 = 1 car 44 = 1 car 411 = 4 = 4

Lorsque la base « Lorsque la base « cc » du logarithme est « » du logarithme est « 10 10 », on écrit », on écrit log xlog x au lieu de au lieu de loglog1010 xx..

Lorsque la base « Lorsque la base « cc » du logarithme est « » du logarithme est « e e », on écrit », on écrit ln xln x au lieu de au lieu de logloge e xx..

Exemples :Exemples : a) a) eexx = = 2020 x = logx = logee 2020

b) b) eexx = = 66 x = logx = logee 66

c) x = lnc) x = ln 5656

x = lnx = ln 2020

x = lnx = ln 66

eexx = = 5656x = logx = logee 5656

d) x = lnd) x = ln 4040 eexx = = 4040x = logx = logee 4040

eexx = y x = log = y x = logee yy

etet loglogee y = y = lnln y y

doncdonc

On sait que :On sait que : 22 22 • • 22 33 = = 22 55

On peut aussi dire que :On peut aussi dire que : 44 •• 88 == 3232

Réécrivons cette loi des Réécrivons cette loi des exposantsexposants en en logarithmes logarithmes :: loglog22 44 loglog22 88++ == loglog22 3232

== loglog22 (4 • 8)(4 • 8)

++ ==

Mettons en évidence la loi des Mettons en évidence la loi des exposantsexposants que nous avons utilisée : que nous avons utilisée :

22 33++ == 55

loglogcc mm + + loglogcc nn = = loglogcc mnmn Donc :Donc :

LOI LOI # # 11

LOI LOI # # 22

On sait que :On sait que :22 55

22 22= = 22 33

On peut aussi dire que :On peut aussi dire que :3232

44== 88


55 22–– == 33

––

==

Réécrivons cette loi des Réécrivons cette loi des exposantsexposants en en logarithmes logarithmes :: loglog22 3232 loglog22 44–– == loglog22 88

== loglog22 (32 / 4)(32 / 4)

loglogcc mm – – loglogcc nn = = loglogcc (m / n )(m / n ) Donc :Donc :

LOI LOI # # 33

On sait que :On sait que : ( ( 22 22 )) 33 = = 22 66

On peut aussi dire que :On peut aussi dire que : 44 33 == 6464


22 33•• == 66

xx ==

Réécrivons cette loi des Réécrivons cette loi des exposantsexposants en en logarithmes logarithmes :: loglog22 44 loglog44 6464•• == loglog22 6464

loglog22 44 33•• == loglog22 4433

loglog22 4433 •• == loglog22 4433ouou

nn •• loglogcc mm = = loglogcc mmnn Donc :Donc :

LOI LOI # # 44 (Loi du changement de (Loi du changement de basebase))

La définition d’un La définition d’un LOGARITHMELOGARITHME nous permet de calculer facilement, par nous permet de calculer facilement, par exemple, que :exemple, que :

loglog2 2 88 == 3 3

Cependant, comment calculer précisément une situation comme celle-là :Cependant, comment calculer précisément une situation comme celle-là :

loglog2 2 77 == ??? ???

Pour le faire, il faut absolument changer la base « Pour le faire, il faut absolument changer la base « 22 » du logarithme par une » du logarithme par une base « base « 1010 » ou « » ou « ee » » (constante de Néper)(constante de Néper)..

Ce sont les deux seules Ce sont les deux seules basesbases que les calculatrices utilisent. que les calculatrices utilisent.

Pour effectuer un changement en base « Pour effectuer un changement en base « 1010 », on utilise la relation suivante : », on utilise la relation suivante :

loglogcc mm = = loglog mmloglog cc

(où log m = log(où log m = log1010 m)m)

LOI LOI # # 44 (Loi du changement de (Loi du changement de basebase))

Exemple #1 :Exemple #1 : loglog22 88 = = loglog 88loglog 22

== ~ 0,9~ 0,9~ 0,3~ 0,3

== 33


== ~ 0,9542~ 0,9542~ 0,477~ 0,477

== 22

loglogcc mm = = loglog mmloglog cc


== ~ 0,845~ 0,845~ 0,3~ 0,3

2,812,81


== ~ 1,6628~ 1,6628~ 0,7~ 0,7

2,382,38

LOIS DES LOIS DES LOGLOG

loglogc c mn = logmn = logc c m + logm + logc c nn

loglogc c = log = logc c m – logm – logc c nnmmnn

loglogc c mmnn = n • log = n • logc c mm

loglogc c m =m = log mlog mlog clog c

LOIS DES LOIS DES EXPOSANTSEXPOSANTS

ccm m • • ccnn = c = cm + nm + n

ccmm

ccnn= c= cm – nm – n

(c(cmm))n n = c= cmnmn

LOIS DES LOIS DES LOGLOG

loglogc c mn = logmn = logc c m + logm + logc c nn Ex.:Ex.: log log4 4 2x = log2x = log4 4 2 + log2 + log4 4 xx

loglogc c = log = logc c m – logm – logc c nn Ex.:Ex.: log log4 4 = log = log4 4 x – logx – log4 4 33mmnn

xx

33

loglogc c mmnn = n • log = n • logc c mm Ex.:Ex.: log log4 4 xx22 = 2 log = 2 log4 4 xx

loglogc c m =m = log mlog mlog clog c

Ex.:Ex.: log log4 4 8 =8 = log 8log 8

log 4log 4

NoteNote : : loglog3 3 xx22 ≠ log≠ log3 3 22xx

loglog3 3 xx22 = log= log3 3 (x (x • x)• x)

loglog3 3 22x x = log= log33x x • log• log33xx

carcar

Exemples :Exemples :

a) loga) log2 2 xx22 – log – log2 2 xx

loglog2 2 xx22 – log – log2 2 x = logx = log22 xx22

xx= log= log2 2 xx

c) logc) log6 6 2x2x44 + log + log6 6 33

loglog6 6 (2x(2x44 • 3) • 3)loglog6 6 2x2x44 + log + log6 6 3 = 3 = == loglog6 6 6x6x44

Réécrire les expressions à l’aide d’un seul logarithme.Réécrire les expressions à l’aide d’un seul logarithme.

b) logb) log5 5 (x + 2) + log(x + 2) + log55(2x)(2x)33 – log – log5 5 8x8x22

loglog5 5 [ (x + 2) • (2x)[ (x + 2) • (2x)33 ] – log ] – log5 5 8x8x22

== loglog5 5 [ 8x[ 8x44 + 16x + 16x33 ] – log ] – log5 5 8x8x22

== loglog5 5 8x 8x44 + 16x + 16x33 8x8x22

== loglog5 5 8x 8x44 + 16x + 16x33 8x8x22

== loglog5 5 (x (x22 + 2x) + 2x) 8x8x22

== loglog5 5 [ (x + 2) • 8x[ (x + 2) • 8x33 ] – log ] – log5 5 8x8x22

Équations et graphiqueÉquations et graphique


f(x) = logf(x) = logcc xx (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa log logccbb(x – (x – hh) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

x = x = hh (Équation de l’asymptote)(Équation de l’asymptote)

f(x) = logf(x) = log2 2 xxExemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • loglog2 2 6(x – 1) + 56(x – 1) + 5Exemple :Exemple :



xx f(x)f(x)

00

11 00

22 11

44 22

88 33

½½ -1-1

f(x) = logf(x) = log2 2 xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )

11

11

¼¼ -2-2

Asymptote Asymptote x = 0x = 0



xx f(x)f(x)

00

11 00

22 -1-1

44 -2-2

88 -3-3

½½ 11

f(x) = logf(x) = log½ ½ xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c ]0, 1[ ]0, 1[ ) )

11

11

¼¼ 22




xx f(x)f(x)

00

11 00

22 -1-1

44 -2-2

88 -3-3

½½ 11

f(x) = f(x) = -- log log2 2 xx (forme où (forme où c c 1 1 et et a = -1a = -1))

11

11

¼¼ 22




xx f(x)f(x)

00

11

-1-1 00

-2-2 11

-4-4 22

-½-½ -1-1

f(x) = logf(x) = log2 2 --xx (forme où (forme où c c 1 1 et et b = -1b = -1))

11

11

-¼-¼ -2-2




xx f(x)f(x)

-4-4

-3-3 00

-2-2 11

00 22

44 33

f(x) = logf(x) = log2 2 (x + (x + 44)) (forme (forme c c 1 1 et et h = -4h = -4))

11

11

Asymptote Asymptote x = - 4x = - 4



11

11

Asymptote Asymptote x = hx = h

f(x) = f(x) = aa log logccbb(x – (x – hh) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

x = x = hh (Équation de l’asymptote)(Équation de l’asymptote)c c 1 1

c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [

Dom Dom ff = = ] ] k k , +∞, +∞

Ima Ima ff = =

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13) .f(x) = log (- 4x + 13) .

0 = log (- 4x + 13)0 = log (- 4x + 13)

101000 = - 4x + 13 = - 4x + 13

-12 = - 4x-12 = - 4x

3 = x3 = x

11

11

Asymptote Asymptote x = 13/4x = 13/4

Réponse :Réponse : x x { 3 } { 3 }

Il faut que - 4x + 13 >Il faut que - 4x + 13 > 0 0

donc que donc que x < 13/4x < 13/4

1 = - 4x + 131 = - 4x + 13

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 .Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 .

Réponse :Réponse : x x { 0,866 } { 0,866 }

0 = 3 log (4x – 3) + 10 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 >Il faut que 4x – 3 > 0 0

donc que donc que x > 3/4x > 3/4- ⅓- ⅓ = log (4x – 3) = log (4x – 3)

1010-⅓-⅓ = 4x – 3 = 4x – 3

0,464 0,464 = 4x – 3= 4x – 3

3,464 3,464 = 4x= 4x

0,866 0,866 = x= x

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre 2 logRésoudre 2 log33 (2x + 10) = 6 . (2x + 10) = 6 .


2 log2 log33 (2x + 10) = 6 (2x + 10) = 6

loglog33 (2x + 10) = 3 (2x + 10) = 3

2x + 10 = 32x + 10 = 333

2x + 10 = 272x + 10 = 27

2x = 172x = 17

x = 8,5x = 8,5

Il faut que 2x + 10 >Il faut que 2x + 10 > 0 0

donc que donc que x > - 5x > - 5

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre 2 ln (x + 4)Résoudre 2 ln (x + 4)22 = 12 . = 12 .


2 ln (x + 4)2 ln (x + 4)22 = 12 = 12

4 ln (x + 4) = 124 ln (x + 4) = 12

ln (x + 4) = 3ln (x + 4) = 3

x + 4 = ex + 4 = e33

x + 4 = 20,1x + 4 = 20,1

x = 16,1x = 16,1

Il faut que (x + 4)Il faut que (x + 4)22 > > 0 0


logloge e (x + 4) = 3(x + 4) = 3

Exemple #5 :Exemple #5 : Résoudre logRésoudre log3 3 (x + 36) – log(x + 36) – log3 3 (x – 18) = 1 .(x – 18) = 1 .


loglog33 (x + 36) – log (x + 36) – log3 3 (x – 18) = 1(x – 18) = 1

loglog33 = 1 = 1

Il faut que x + 36 >Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 0 et que x – 18 > 0

donc que donc que x > - 36 et que x > 18 x > - 36 et que x > 18

x + 36x + 36x – 18x – 18

= 3= 311x + 36x + 36x – 18x – 18

x + 36 = 3 (x – 18)x + 36 = 3 (x – 18)

x + 36 = 3x – 54x + 36 = 3x – 54

90 = 2x90 = 2x

45 = x45 = x

Résolutions d’équations EXPONENTIELLESRésolutions d’équations EXPONENTIELLES


2 méthodes2 méthodes : : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même basemême base exponentielleexponentielle2- Utiliser les 2- Utiliser les logarithmeslogarithmes

Si a = b ,Si a = b , Ex.:Ex.: Si 3 = 3 Si 3 = 3

Alors Alors loglog 3 = 3 = loglog 3 3

PROPRIÉTÉ PROPRIÉTÉ IMPORTANTEIMPORTANTE DES DES LOGLOG

alors alors loglogc c a = a = loglogc c bb

De plus, nous pouvons utiliser De plus, nous pouvons utiliser lnln au lieu du au lieu du loglog afin de résoudre des équations afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.ou inéquations exponentielles.

Exemple :Exemple :

Réponse :Réponse : x x { -1,7 } { -1,7 }

33xx = 2 = 2x – 1x – 1

loglog 3 3xx = = loglog 2 2x – 1x – 1

x •x • log 3 = (x – 1) • log 2log 3 = (x – 1) • log 2

x •x • (0,477) = (x – 1) • (0,3)(0,477) = (x – 1) • (0,3)

0,477x = 0,3x – 0,30,477x = 0,3x – 0,3

0,177x = – 0,30,177x = – 0,3

x = – 1,7x = – 1,7

Avec Avec LOGLOG

Réponse :Réponse : x x { -1,7 } { -1,7 }

33xx = 2 = 2x – 1x – 1

lnln 3 3xx = = lnln 2 2x – 1x – 1

x •x • ln 3 = (x – 1) • ln 2ln 3 = (x – 1) • ln 2

x •x • (1,1) = (x – 1) • (0,7)(1,1) = (x – 1) • (0,7)

1,1x = 0,7x – 0,71,1x = 0,7x – 0,7

0,4x = – 0,70,4x = – 0,7

x = – 1,7x = – 1,7

Avec Avec LNLN

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre 4Résoudre 42x – 32x – 3 = 5 = 5xx . .


442x – 32x – 3 = 5 = 5xx

ln ln 442x – 32x – 3 = = lnln 5 5xx

(2x – 3) •(2x – 3) • ln 4 = x • ln 5ln 4 = x • ln 5

(2x – 3) •(2x – 3) • (1,386) = x • (1,61)(1,386) = x • (1,61)

2,772x – 4,158 = 1,61x2,772x – 4,158 = 1,61x

1,162x = 4,1581,162x = 4,158

x = 3,58x = 3,58

OUOU 2x – 3 = log2x – 3 = log4455xx

2x – 3 = x •2x – 3 = x • loglog4455

2x – 3 = x •2x – 3 = x • 1,161,16

2x – 3 = 1,16x2x – 3 = 1,16x

0,84x = 30,84x = 3

x = 3,58x = 3,58

Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre 3Résoudre 3x + 2x + 2 = 4 = 45x5x . .


33x + 2x + 2 = 4 = 45x5x

loglog 3 3x + 2x + 2 = = loglog 4 45x5x

(x + 2) •(x + 2) • log 3 = 5x • log 4log 3 = 5x • log 4

(x + 2) •(x + 2) • (0,477) = 5x • (0,6)(0,477) = 5x • (0,6)

0,477x + 0,954 = 3x0,477x + 0,954 = 3x

0,954 = 2,523x0,954 = 2,523x

0,378 = x0,378 = x

OUOU x + 2 = logx + 2 = log33445x5x

x + 2 = 5x •x + 2 = 5x • loglog3344

x + 2 = 5x •x + 2 = 5x • 1,261,26

x + 2 = 6,3xx + 2 = 6,3x

2 = 5,3x2 = 5,3x

0,378 = x0,378 = x

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre logRésoudre log5 5 (x – 9) = log(x – 9) = log5 5 (4x) .(4x) .

Réponse :Réponse : x x { { } }

loglog55 (x – 9) = (x – 9) = loglog55 (4x)(4x)

x – 9 = 4xx – 9 = 4x

– – 9 = 3x9 = 3x

– – 3 = x3 = x

Il faut que x – 9 >Il faut que x – 9 > 0 et que 4x > 0 0 et que 4x > 0

donc que donc que x > 9 et que x > 0x > 9 et que x > 0

À rejeterÀ rejeter

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre logRésoudre log5 5 (x + 240) = log(x + 240) = log5 5 x + 2 .x + 2 .


loglog5 5 (x + 240) = log(x + 240) = log5 5 x + 2x + 2

x + 240 = 25xx + 240 = 25x

240 = 24x240 = 24x

10 = x10 = x

Il faut que x + 240 >Il faut que x + 240 > 0 et que x > 0 0 et que x > 0

donc que donc que x > -240 et que x > 0x > -240 et que x > 0

loglog5 5 (x + 240) = log(x + 240) = log5 5 x + logx + log552525

loglog5 5 (x + 240) = log(x + 240) = log5 5 (x (x 25) 25)

loglog5 5 (x + 240) = log(x + 240) = log5 5 (25x)(25x)loglog5 5 (x + 240) = (x + 240) = loglog55 (25x)(25x)

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre logRésoudre log2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9 .(x – 6) + 9 .

11

11


Asymptote Asymptote x = - 4x = - 4

loglog2 2 (x + 4) + 5(x + 4) + 5 – log– log2 2 (x – 6) + 9(x – 6) + 9 . .

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre logRésoudre log2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9 .(x – 6) + 9 .

loglog2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9(x – 6) + 9

loglog2 2 (x + 4) + log(x + 4) + log2 2 (x – 6) (x – 6) 9 – 5 9 – 5

loglog2 2 [ (x + 4) •[ (x + 4) • (x – 6) ] (x – 6) ] 4 4

(x + 4) •(x + 4) • (x – 6) (x – 6) 2 244

xx22 – 2x – 24 – 2x – 24 16 16

xx22 – 2x – 40 – 2x – 40 0 0

xx11 – 5,40 – 5,40 xx22 7,40 7,40

Il faut que x + 4 >Il faut que x + 4 > 0 0

et que x – 6 > 0et que x – 6 > 0


et que x > 6 et que x > 6

À rejeter

Réponse :Réponse : x x [ 7,40 , + [ 7,40 , +

Exemple #2 :Exemple #2 :

(x + 3) • log (1/2) (x + 3) • log (1/2) ≤≤ (2x – 1) • log 5 (2x – 1) • log 5

Réponse :Réponse : x x [ - 0,12 , + [ - 0,12 , +

Résoudre (1/2)Résoudre (1/2)x + 3x + 3 ≤≤ 5 52x – 12x – 1 . .

loglog (1/2) (1/2)x + 3x + 3 ≤≤ loglog 5 52x – 12x – 1 . .

(x + 3) • (- 0,3) (x + 3) • (- 0,3) ≤≤ (2x – 1) • (0,7) (2x – 1) • (0,7)

- 0,3x – 0,9 - 0,3x – 0,9 ≤≤ 1,4x – 0,7 1,4x – 0,7

- 0,2 - 0,2 ≤≤ 1,7x 1,7x

- 0,12 - 0,12 ≤≤ x x

Résolutions d’une situation à l’aide des Résolutions d’une situation à l’aide des LOGLOG


Exemple :Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 100 000 ?de 100 000 ?

N(t) = 500 (2)N(t) = 500 (2)t/5t/5

100 000 = 500 (2)100 000 = 500 (2)t/5t/5

200 = (2)200 = (2)t/5t/5

= log= log2 2 200200tt55

t = 38,2t = 38,2 Réponse :Réponse : Après 38,2 heures.Après 38,2 heures.

= 7,64= 7,64tt55

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