Mathématiques SN Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.
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Mathématiques Mathématiques SNSN
Les fonctionsLes fonctions
TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Fonctions Fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa sinsin [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 sinsin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 [ 3 ( x – 1 ) ] + 4
aa bb hh kk
a a == - 2 - 2
b b == 3 3
h h == 1 1
k k == 4 4
f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa coscos [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Fonction Fonction SINUSSINUS
Fonction Fonction COSINUSCOSINUS
- 1- 1
11
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 00
00
11
00
-1-1
22
3322
22
22
- 2- 211
-1-1
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5522
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7722
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22 55
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33 77
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--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
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-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
Fonction Fonction SINUSSINUS
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00
-1-1
00
- -
11
- - 22
- 3- 322
- 2- 2
-1-1
11
00
- 5- 522
- 3- 3
- 7- 722
- 1- 1
11
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- 2- 2
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33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
Fonction Fonction SINUSSINUS
- 1- 1
11
f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 11
-1-1
00
11
00
22
3322
22
22
- 2- 200
00
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--22
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-3-3-7-7
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Fonction Fonction COSINUSCOSINUS
f(x) = f(x) = sinsin x x
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
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---3-3
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-2-2-5-5
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-3-3-7-7
22
- 1- 1
11
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- 2- 2
22
33
22
22 55
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33 77
22
--
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---3-3
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-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
f(x) = f(x) = coscos x x
f(x) = f(x) = coscos x x
f(x) = f(x) = sinsin x x
- 1- 1
11
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- 2- 2
22
33
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22 55
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33 77
22
--
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---3-3
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-2-2-5-5
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-3-3-7-7
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f(x) = f(x) = coscos x x
– – / 2/ 2– – / 2/ 2
coscos x = x = sinsin ( x + ( x + / 2 / 2 )
La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est une fonction est une fonction SINUSSINUS qui a subie une translation qui a subie une translation horizontale de horizontale de / 2/ 2 vers la gauche. vers la gauche.
Cette translation est appelée Cette translation est appelée DÉPHASAGEDÉPHASAGE..
Comme c’est le paramètre « Comme c’est le paramètre « hh » qui représente la translation horizontale de » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que :la courbe, on peut donc écrire que :
(car h = - (car h = - / 2/ 2))
OUOUsinsin x = x = coscos ( x – ( x – / 2 / 2 ) (car h = (car h = / 2/ 2))
La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est donc une fonction est donc une fonction SINUSOÏDALESINUSOÏDALE..
f(x) = f(x) = sinsin x x
Les fonctions Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. sont des fonctions CYCLIQUES.
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
55
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33 77
22
--
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---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.
22
PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.
CycleCycle
PériodePériode
P = P = 22
| | bb | |
A = A = Max – MinMax – Min
22
AA
A = | A = | aa | |
f(x) = 2 f(x) = 2 sinsin ( x ) ( x )
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
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55
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77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
PÉRIODE = PÉRIODE = 33
AMPLITUDE = AMPLITUDE = 22
CycleCycle
PériodePériode
P = P = 22
| | bb | |
A = A = Max – MinMax – Min
22
AA
Exemple :Exemple : 22
33
33
P = P = 2222
33
= = 22 x x 33
22
= 3= 3
A = A = 2 – -22 – -2
22= = 22 A = | A = | aa | | A = | 2 |A = | 2 |
A = 2A = 2
Représentation graphiqueReprésentation graphique
Méthode du Méthode du RECTANGLERECTANGLE : :
On forme un rectangle qui contient On forme un rectangle qui contient unun cyclecycle de la fonction. de la fonction.
SINUSSINUS COSINUSCOSINUS
PériodePériode PériodePériode
AA AA
AA AA
((hh, , kk)) ((hh, , kk))
((hh, , k k ++ a a))
ATTENTION ! Le signe des paramètres ATTENTION ! Le signe des paramètres aa et et bb influence l’orientation du graphique ! influence l’orientation du graphique ! Donc si Donc si aa est est négatifnégatif ou ou bb est est négatifnégatif, on obtient :, on obtient :
SINUSSINUS COSINUSCOSINUS
PériodePériode PériodePériode
AA AA
AA AA
((hh, , kk)) ((hh, , kk))
((hh, , k k –– a a))
Tracer f(x) = 2 Tracer f(x) = 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) + 2 ) + 2
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
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-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
PP
AA
Exemple #1 :Exemple #1 :
33
P = P = 22
| | bb | |= = 22
| 2 || 2 |= =
((hh, , kk) =) = (- (- , 2), 2)
A = | A = | aa | | = | 2 | = 2= | 2 | = 2
Tracer f(x) = - 2 Tracer f(x) = - 2 sinsin ( x – ( x – /2 ) + 1/2 ) + 1
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
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--
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---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
AA
Exemple #2 :Exemple #2 :
33
P = P = 22
| | bb | |= = 22
| 1 || 1 |= 2= 2
((hh, , kk) =) = ((/2 , 1)/2 , 1)
A = | A = | aa | | = | - 2 | = 2= | - 2 | = 2
PP
Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :
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22
33
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55
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--
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---3-3
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22
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22
22
AA
Exemple #3 :Exemple #3 :
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
PP
A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k
22
33| | bb | = | = ==
22
33
f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22
33
Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :
22
44
88
66
22
33
22
55
22
77
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--
22
---3-3
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22
-3-3-7-7
22
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Exemple #3 :Exemple #3 :
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k
22
33| | bb | = | = ==
22
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- /4 , 3)/4 , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
22
33| | bb | = | = ==
22
33
f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22
33
AA
PP
f(x) = 5 f(x) = 5 coscos ( x + ) + ( x + ) + 33
Réponse :Réponse : 22
33
44
Fonction Fonction TANGENTETANGENTE
f(x) = f(x) = tan tan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa tantan [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4[ 3 ( x – 1 ) ] + 4
aa bb hh kk
a a == - 2 - 2
b b == 3 3
h h == 1 1
k k == 4 4
x = ( h + n) + x = ( h + n) + PPn où n n où n (Équation des ASYMPTOTES)(Équation des ASYMPTOTES)PP
22
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
- 5- 5
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f(x) = f(x) = tantan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 00
11
-1-1
44
- - 44
- - 22
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
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---3-3
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-2-2-5-5
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-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
22
2,412,413388
-2,41-2,41- 3- 3
88
f(x) = f(x) = tan tan xx
La fonction La fonction TANGENTETANGENTE est une fonction CYCLIQUE. est une fonction CYCLIQUE.
PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions (contrairement aux fonctions sinusoïdalessinusoïdales.)
PériodePériode
P = P =
| | bb | |
- 5- 5
55
22
33
22
22 55
22
33 77
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--
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-2-2-5-5
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-3-3-7-7
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f(x) = f(x) = tan tan xxPériodePériode
- 5- 5
55
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33
22
22 55
22
33 77
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---3-3
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-2-2-5-5
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-3-3-7-7
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((hh, , kk))
x = h x = h ++ PP
22
PP
22
AsymptoteAsymptote
-P-P
22
x = h x = h –– PP
22
AsymptoteAsymptote
Les équations des Les équations des asymptotesasymptotes sont donc : sont donc :
x = ( h + n ) + x = ( h + n ) + PPn où n n où n PP
22
Exemple :Exemple : Représenter graphiquement Représenter graphiquement f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ ( x + ) ] + 3[ ( x + ) ] + 3 . .
Période = 4Période = 4
- 5- 5
55
33 55---4-4-6-6
22
11
44
P = P =
| | bb | |= =
| 1/4 || 1/4 |= 4= 4
((hh, , kk) =) = (- (- /2 , 3)/2 , 3)
-3-3-5-5 -2-2-7-7 22 44 7766
+ 2+ 2- 2- 2
Période = 4Période = 4Période = 4Période = 4