Mathématiques SN La fonction VALEUR ABSOLUE. Définition Mathématiques SN - La fonction VALEUR...

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La fonctionLa fonctionVALEUR ABSOLUEVALEUR ABSOLUE

DéfinitionDéfinition

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction VALEUR ABSOLUEVALEUR ABSOLUE - -

La La valeur absoluevaleur absolue d’un nombre x rend positif ce nombre. d’un nombre x rend positif ce nombre.

On note On note | x || x | la valeur absolue de x . la valeur absolue de x .

ExemplesExemples : : |- 2 | = 2|- 2 | = 2

|- 8 | = 8|- 8 | = 8

| 12 | = 12| 12 | = 12

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction VALEUR ABSOLUE -VALEUR ABSOLUE -

f(x) = | x | f(x) = | x | (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa | | bb ( x – ( x – hh ) | + ) | + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = f(x) = aa | x – | x – hh | + | + kk (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple :Exemple : f(x) = - 2 | 3 ( x – 1 ) | + 4f(x) = - 2 | 3 ( x – 1 ) | + 4

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2b b == 3 3h h == 1 1k k == 4 4


Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction VALEUR ABSOLUEVALEUR ABSOLUE - -


xx f(x)f(x)

00 00

11 11

22 22

33 33

-1-1 11

-2-2 22

-3-3 33

car f(0) = | 0 | = 0car f(0) = | 0 | = 0

car f(1) = | 1 | = 1car f(1) = | 1 | = 1

car f(2) = | 2 | = 2car f(2) = | 2 | = 2

car f(3) = | 3 | = 3car f(3) = | 3 | = 3

car f(-1) = | -1 | = 1car f(-1) = | -1 | = 1

car f(-2) = | -2 | = 2car f(-2) = | -2 | = 2

car f(-3) = | -3 | = 3car f(-3) = | -3 | = 3




xx f(x)f(x)

00 00

11 11

22 22

33 33

-1-1 11

-2-2 22

-3-3 33

11

11

SommetSommet

Sommet (0, 0)Sommet (0, 0)



f(x) = 2 | x | f(x) = 2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = 2)(forme générale TRANSFORMÉE où a = 2)

xx f(x)f(x)

00 00

11 22

22 44

33 66

-1-1 22

-2-2 44

-3-3 66

11

11

SommetSommet




f(x) = -2 | x | f(x) = -2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = -2)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -2)

xx f(x)f(x)

00 00

11 -2-2

22 -4-4

33 -6-6

-1-1 -2-2

-2-2 -4-4

-3-3 -6-6

11

11

SommetSommet




f(x) = | 2 x | f(x) = | 2 x | (forme générale TRANSFORMÉE où b = 2)(forme générale TRANSFORMÉE où b = 2)

xx f(x)f(x)

00 00

11 22

22 44

33 66

-1-1 22

-2-2 44

-3-3 66

11

11

SommetSommet




f(x) = | x – 2 | f(x) = | x – 2 | (forme générale TRANSFORMÉE où h = 2)(forme générale TRANSFORMÉE où h = 2)

xx f(x)f(x)

00 22

11 11

22 00

33 11

-1-1 33

-2-2 44

-3-3 55

11

11SommetSommet




f(x) = | x | + 2 f(x) = | x | + 2 (forme générale TRANSFORMÉE où k = 2)(forme générale TRANSFORMÉE où k = 2)

xx f(x)f(x)

00 22

11 33

22 44

33 55

-1-1 11

-2-2 00

-3-3 -1-1

11

11

SommetSommet


11

11

Sommet (-1, -2)Sommet (-1, -2)



f(x) = 3 | x + 1 | – 2 f(x) = 3 | x + 1 | – 2 (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

xx f(x)f(x)

00 11

11 44

22 77

33 1010

-1-1 -2-2

-2-2 11

-3-3 44

SommetSommet



((hh, , kk) = sommet) = sommet

aa = = pentepente de la branche DROITE de la branche DROITE

du graphiquedu graphique

Équation de l’axe de symétrie : x = hÉquation de l’axe de symétrie : x = h11

11

Sommet (Sommet (hh, , kk))

x = h x = h (axe de symétrie) (axe de symétrie)

Pente = Pente = aa

- a- a = = pentepente de la branche GAUCHE de la branche GAUCHE

du graphiquedu graphique

Pente = Pente = -a-a



Exemple #1 :Exemple #1 : f(x) = 3 | x + 1 | – 2f(x) = 3 | x + 1 | – 2

(h, k) = ((h, k) = (-1-1, , -2-2) ) (Sommet)(Sommet)

a = a = 33 (Pente de la branche DROITE)(Pente de la branche DROITE)

x = x = -1-1 (Équation de l’axe de symétrie)(Équation de l’axe de symétrie)

11

11

Sommet (Sommet (-1-1, , -2-2))

x = x = -1-1 (axe de symétrie) (axe de symétrie)

Pente = Pente = 33Pente = Pente = -3-3

- a = - - a = - 33 (Pente de la branche GAUCHE)(Pente de la branche GAUCHE)



Exemple #2 :Exemple #2 : f(x) = - 2 | x f(x) = - 2 | x –– 1 | + 4 1 | + 4

(h, k) = ((h, k) = (11, , 44) ) (Sommet)(Sommet)

a = a = - 2- 2 (Pente de la branche DROITE)(Pente de la branche DROITE)

x = x = 11 (Équation de l’axe de symétrie)(Équation de l’axe de symétrie)

11

11

Sommet (Sommet (11, , 44))

x = x = 11 (axe de symétrie) (axe de symétrie)

Pente = Pente = - 2- 2Pente = Pente = 22

- a = 2 - a = 2 (Pente de la branche GAUCHE)(Pente de la branche GAUCHE)

Forme canonique <---> généraleForme canonique <---> générale


Exemple #1 :Exemple #1 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = | 4x f(x) = | 4x ++ 12 | + 6 12 | + 6 sous la forme canonique. sous la forme canonique.

PropriétésPropriétés : : | x | ≥ 0| x | ≥ 0

| x | = |- x || x | = |- x |

| x • y | = | x | •| x • y | = | x | • || y |y |Ex.Ex. : | 5 | = | -5 | : | 5 | = | -5 |

Ex.Ex. : | 5 : | 5 •• 2 | = | 5 | 2 | = | 5 | •• | 2 | | 2 |

==| | xx | || y || y |

| x || x || y || y | Ex.Ex. : : | | 55 | |

| 2 || 2 | == | 5 || 5 || 2 || 2 |

f(x) = | 4x + 12 | + 6f(x) = | 4x + 12 | + 6f(x) = | 4 (x + 3) | + 6f(x) = | 4 (x + 3) | + 6f(x) = | 4 | | x + 3 | + 6f(x) = | 4 | | x + 3 | + 6f(x) = 4 | x + 3 | + 6f(x) = 4 | x + 3 | + 6

Forme canonique <---> généraleForme canonique <---> générale


Exemple #2 :Exemple #2 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = 3 | -2x f(x) = 3 | -2x –– 6 | + 5 6 | + 5 sous la forme canonique. sous la forme canonique.

f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5

f(x) = 3 | -2 (x + 3) | + 5f(x) = 3 | -2 (x + 3) | + 5

f(x) = 3 |-2 | | x + 3 | + 5f(x) = 3 |-2 | | x + 3 | + 5

f(x) = 3 f(x) = 3 • 2 | x + 3 | + 52 | x + 3 | + 5

f(x) = 6 | x + 3 | + 5f(x) = 6 | x + 3 | + 5

Recherche de l’équationRecherche de l’équation


Exemple #1 :Exemple #1 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si le sommet est à (3, 5) et que la fonction passe valeur absolue si le sommet est à (3, 5) et que la fonction passe par le point (5, 8).par le point (5, 8).

f(x) = f(x) = aa | x – | x – hh | + | + kk (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

f(x) = f(x) = aa | x – 3 | + 5 | x – 3 | + 5 car (h, k) = (3, 5)car (h, k) = (3, 5)

8 = 8 = aa | 5 – 3 | + 5 | 5 – 3 | + 5 car la fonction passe par le point (x, y) = (5, 8)car la fonction passe par le point (x, y) = (5, 8)

8 = 8 = aa | 2 | + 5 | 2 | + 5

3 = 3 = aa | 2 | | 2 |

3 = 2 3 = 2 aa

33 = = aa22

Réponse :Réponse : f(x) = | x – 3 | + 5f(x) = | x – 3 | + 53322

Exemple #2 :Exemple #2 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si elle possède un maximum à 6 et que les zéros de valeur absolue si elle possède un maximum à 6 et que les zéros de cette fonction sont -2 et 6.cette fonction sont -2 et 6.

1- Illustrer la situation1- Illustrer la situation

11

11


66- 2- 2

66MaxMax(h, k) = ( ?, 6)(h, k) = ( ?, 6)

Axe de symétrie : x = hAxe de symétrie : x = h

2- Trouver le sommet 2- Trouver le sommet (h, k)(h, k)

h est le point milieu des zéros h est le point milieu des zéros

h h xx11 + x + x2222

==

h h -2 + 6-2 + 622

==

h h 22==

(h, k) (h, k) == ( 2, 6) ( 2, 6)

Axe de symétrieAxe de symétrie

f(x) = f(x) = aa | x – | x – hh | + | + kk

3- Trouver le paramètre 3- Trouver le paramètre aa

f(x) = f(x) = aa | x – 2 | + 6 | x – 2 | + 6 en remplaçant (h, k) par (2, 6) en remplaçant (h, k) par (2, 6) 0 = 0 = aa | 6 – 2 | + 6 | 6 – 2 | + 6 en remplaçant (x, y) par (6, 0), un des deux zéros en remplaçant (x, y) par (6, 0), un des deux zéros0 = 0 = aa | 4 | + 6 | 4 | + 6

- 3 - 3 = = aa 22

Réponse :Réponse : f(x) = | x – 2 | + 6f(x) = | x – 2 | + 6- 3- 3 22

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = | x | – 6 .Trouver les zéros de f(x) = | x | – 6 .

0 = | x | – 60 = | x | – 66 = | x |6 = | x |

11

11

Sommet (0, -6)Sommet (0, -6)

VALIDATIONVALIDATION

- 6 = x- 6 = x 6 = x6 = x

Réponse :Réponse : x x { -6, 6 } { -6, 6 }

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique

0 = | - 6 | – 60 = | - 6 | – 60 = 6 – 60 = 6 – 60 = 00 = 0

0 = | 6 | – 60 = | 6 | – 60 = 6 – 60 = 6 – 60 = 00 = 0

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = | 2x – 6 | – 10 .Trouver les zéros de f(x) = | 2x – 6 | – 10 .

0 = | 2x – 6 | – 100 = | 2x – 6 | – 1010 = | 2x – 6 |10 = | 2x – 6 |

11

11


- 10 = 2x – 6- 10 = 2x – 6

8 = x8 = x- 2 = x- 2 = x

Réponse :Réponse : x x { -2, 8 } { -2, 8 }

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphiquef(x) = | 2x – 6 | – 10f(x) = | 2x – 6 | – 10f(x) = | 2 (x – 3) | – 10f(x) = | 2 (x – 3) | – 10

- 4 = 2x- 4 = 2x10 = 2x – 610 = 2x – 616 = 2x16 = 2x

VALIDATIONVALIDATION

0 = | 2(-2) – 6 | – 100 = | 2(-2) – 6 | – 10

0 = | -4 – 6 | – 100 = | -4 – 6 | – 10

0 = | -10 | – 100 = | -10 | – 10

0 = 10 – 100 = 10 – 10

0 = 00 = 0

0 = | 2(8) – 6 | – 100 = | 2(8) – 6 | – 10

0 = | 16 – 6 | – 100 = | 16 – 6 | – 10

0 = | 10 | – 100 = | 10 | – 10

0 = 10 – 100 = 10 – 10

0 = 00 = 0

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre | 2x – 10 | + 6 = 2 .Résoudre | 2x – 10 | + 6 = 2 .

| 2x – 10 | = -4| 2x – 10 | = -4

2x – 10 = 42x – 10 = 4

x = 3x = 3x = 7x = 7

Réponse :Réponse : x x Ø Ø

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique| 2x – 10 | + 6 = 2| 2x – 10 | + 6 = 2| 2 (x – 5) | + 6 = 2| 2 (x – 5) | + 6 = 22x = 142x = 14

2x – 10 = -42x – 10 = -42x = 62x = 6

11

11

Sommet (5, 6)Sommet (5, 6)y = 2y = 2

À rejeterÀ rejeter À rejeterÀ rejeter

Impossible !Impossible !

VALIDATONVALIDATON

| 2(7) – 10 | + 6 = 2| 2(7) – 10 | + 6 = 2

| 14 – 10 | + 6 = 2| 14 – 10 | + 6 = 2

| 4 | + 6 = 2| 4 | + 6 = 2

4 + 6 = 24 + 6 = 2

10 ≠ 210 ≠ 2

| 2(3) – 10 | + 6 = 2| 2(3) – 10 | + 6 = 2

| 6 – 10 | + 6 = 2| 6 – 10 | + 6 = 2

| -4 | + 6 = 2| -4 | + 6 = 2

4 + 6 = 24 + 6 = 2

10 ≠ 210 ≠ 2

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre | x – 2 | + 2x = 1 .Résoudre | x – 2 | + 2x = 1 .

| x – 2 | = 1 – 2x| x – 2 | = 1 – 2x

x – 2 = -(1 – 2x)x – 2 = -(1 – 2x)

x = 1x = 1

Réponse :Réponse : x x { -1 } { -1 }

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique| x – 2 | = 1 – 2x| x – 2 | = 1 – 2x

x – 2 = -1 + 2xx – 2 = -1 + 2x

x = -1x = -1

x – 2 = 1 – 2xx – 2 = 1 – 2x3x = 33x = 3

À rejeterÀ rejeter

11

11 Sommet (2, 0)Sommet (2, 0)

y = 1 – 2xy = 1 – 2x

-x = 1-x = 1

VALIDATONVALIDATON

| (-1) – 2 | + 2(-1) = 1| (-1) – 2 | + 2(-1) = 1

| -3 | + -2 = 1| -3 | + -2 = 1

3 + -2 = 13 + -2 = 1

1 = 11 = 1

| (1) – 2 | + 2(1) = 1| (1) – 2 | + 2(1) = 1

| -1 | + 2 = 1| -1 | + 2 = 1

1 + 2 = 11 + 2 = 1

3 ≠ 13 ≠ 1

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre | x | Résoudre | x | >> 3 . 3 .

| x | = 3| x | = 3

x = -3x = -3 x = 3x = 3

11

11



y = 3

Commençons par résoudre :Commençons par résoudre :

00-3-3

Sur une droite numérique :Sur une droite numérique :

33

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre | x | Résoudre | x | >> 3 . 3 .

Réponse :Réponse : x x - ∞ , -3 [ U ] 3, + ∞ - ∞ , -3 [ U ] 3, + ∞

11

11



y = 300-3-3


33

Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard.choisie au hasard.

| | 00 | | >> 3 3

Par exemple, validons si Par exemple, validons si x = 0x = 0 fait partie de l’ensemble- fait partie de l’ensemble-solutions :solutions :

00 >> 3 3FAUX, donc FAUX, donc x = 0x = 0 ne fait pas ne fait pas partie de l’ens.-solpartie de l’ens.-solnsns..

Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre | x – 7 | – 4 Résoudre | x – 7 | – 4 << -2 . -2 .

| x – 7 | = 2| x – 7 | = 2

x – 7 = -2x – 7 = -2x = 5x = 5

Réponse :Réponse : x x ] 5, 9 [ ] 5, 9 [

11

11



y = -2

x – 7 = 2x – 7 = 2x = 9x = 9

| x – 7 | – 4 = -2| x – 7 | – 4 = -2Commençons par résoudre :Commençons par résoudre :

5500


99



77

| | 77 – 7 | – 4 < -2 – 7 | – 4 < -2

| 0 | – 4 < -2| 0 | – 4 < -2

0 – 4 < -20 – 4 < -2

– – 4 < -24 < -2VRAI, donc VRAI, donc x = 7x = 7 fait partie de l’ensemble.-sol fait partie de l’ensemble.-solnsns..

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre 2| x – 3 | – 4 Résoudre 2| x – 3 | – 4 ≤≤ 0 . 0 .

2| x – 3 | – 4 = 02| x – 3 | – 4 = 0

x – 3 = -2x – 3 = -2

x = 1x = 1

Réponse :Réponse : x x [ 1, 5 ] [ 1, 5 ]

11

11



x – 3 = 2x – 3 = 2x = 5x = 5

2| x – 3 | = 42| x – 3 | = 4

Commençons par résoudre :Commençons par résoudre :

| x – 3 | = 2| x – 3 | = 2

00


11



33 55

2| 2| 33 – 3 | – 4 – 3 | – 4 ≤≤ 0 0

2| 02| 0 | – 4 | – 4 ≤≤ 0 0– – 4 4 ≤≤ 0 0

VRAI, donc VRAI, donc x = 3x = 3 fait partie de l’ensemble.-sol fait partie de l’ensemble.-solnsns..

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