Mathématiques SN La fonction VALEUR ABSOLUE. Définition Mathématiques SN - La fonction VALEUR...

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  • Mathmatiques SN La fonction VALEUR ABSOLUE
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  • Dfinition Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - La valeur absolue dun nombre x rend positif ce nombre. On note | x | la valeur absolue de x. Exemples :|- 2 | = 2 |- 8 | = 8 | 12 | = 12
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | x | (forme gnrale de BASE) f(x) = a | b ( x h ) | + k (forme gnrale TRANSFORME) f(x) = a | x h | + k (forme CANONIQUE) Les paramtres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 | 3 ( x 1 ) | + 4 a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | x | (forme gnrale de BASE) xf(x)00 11 22 331 -22 -33 car f(0) = | 0 | = 0 car f(1) = | 1 | = 1 car f(2) = | 2 | = 2 car f(3) = | 3 | = 3 car f(-1) = | -1 | = 1 car f(-2) = | -2 | = 2 car f(-3) = | -3 | = 3
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | x | (forme gnrale de BASE) xf(x) 0011 22 331 -22 -33 1 1 Sommet Sommet (0, 0)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = 2 | x | (forme gnrale TRANSFORME o a = 2) xf(x)00 12 24 362 -24 -36 1 1 Sommet Sommet (0, 0)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = -2 | x | (forme gnrale TRANSFORME o a = -2) xf(x)00 1-2 2-4 3-6-2 -2-4 -3-6 1 1 Sommet Sommet (0, 0)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | 2 x | (forme gnrale TRANSFORME o b = 2) xf(x)00 12 24 362 -24 -36 1 1 Sommet Sommet (0, 0)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | x 2 | (forme gnrale TRANSFORME o h = 2) xf(x)02 11 20 313 -24 -35 1 1 Sommet Sommet (2, 0)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = | x | + 2 (forme gnrale TRANSFORME o k = 2) xf(x)02 13 24 351 -20 -3 1 1 Sommet Sommet (0, 2)
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  • 1 1 Sommet (-1, -2) quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - f(x) = 3 | x + 1 | 2 (forme CANONIQUE) xf(x)01 14 27 310-2 -21 -34 Sommet
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - (h, k) = sommet a = pente de la branche DROITE du graphique du graphique quation de laxe de symtrie : x = h 1 1 Sommet (h, k) x = h (axe de symtrie) Pente = a - a = pente de la branche GAUCHE du graphique du graphique Pente = -a
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : f(x) = 3 | x + 1 | 2 (h, k) = (-1, -2) (Sommet) a = 3 (Pente de la branche DROITE) x = -1 (quation de laxe de symtrie) 1 1 Sommet (-1, -2) x = -1 (axe de symtrie) Pente = 3 Pente = -3 - a = - 3 (Pente de la branche GAUCHE)
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  • quations et graphique Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #2 : f(x) = - 2 | x 1 | + 4 (h, k) = (1, 4) (Sommet) a = - 2 (Pente de la branche DROITE) x = 1 (quation de laxe de symtrie) 1 1 Sommet (1, 4) x = 1 (axe de symtrie) Pente = - 2 Pente = 2 - a = 2 (Pente de la branche GAUCHE)
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  • Forme canonique gnrale Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : crire lquation f(x) = | 4x + 12 | + 6 sous la forme canonique. Proprits : | x | 0 | x | = |- x | | x y | = | x | |y | | x y | = | x | | y | Ex. : | 5 | = | -5 | Ex. : | 5 2 | = | 5 | | 2 | = | x | | y | | x | | y | Ex. : | 5 | | 2 | = | 5 | | 2 | f(x) = | 4x + 12 | + 6 f(x) = | 4 (x + 3) | + 6 f(x) = | 4 | | x + 3 | + 6 f(x) = 4 | x + 3 | + 6
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  • Forme canonique gnrale Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #2 : crire lquation f(x) = 3 | -2x 6 | + 5 sous la forme canonique. f(x) = 3 | -2x 6 | + 5 f(x) = 3 | -2 (x + 3) | + 5 f(x) = 3 |-2 | | x + 3 | + 5 f(x) = 3 2 | x + 3 | + 5 f(x) = 6 | x + 3 | + 5
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  • Recherche de lquation Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : Dterminer lquation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si le sommet est (3, 5) et que la fonction passe par le point (5, 8). f(x) = a | x h | + k (forme CANONIQUE) f(x) = a | x 3 | + 5 car (h, k) = (3, 5) 8 = a | 5 3 | + 5 car la fonction passe par le point (x, y) = (5, 8) 8 = a | 2 | + 5 3 = a | 2 | 3 = 2 a 3 = a 2 Rponse : f(x) = | x 3 | + 5 32
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  • Exemple #2 : Dterminer lquation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si elle possde un maximum 6 et que les zros de cette fonction sont -2 et 6. 1- Illustrer la situation 1 1 Sommet (2, 6) 6 - 2 6 Max (h, k) = ( ?, 6) Axe de symtrie : x = h 2- Trouver le sommet (h, k) h est le point milieu des zros h x 1 + x 2 2 = h -2 + 6 2 = h2= (h, k) = ( 2, 6) Axe de symtrie f(x) = a | x h | + k 3- Trouver le paramtre a f(x) = a | x 2 | + 6 en remplaant (h, k) par (2, 6) 0 = a | 6 2 | + 6 en remplaant (x, y) par (6, 0), un des deux zros 0 = a | 4 | + 6 - 3 = a 2 Rponse : f(x) = | x 2 | + 6 - 3 2
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  • Rsolutions dquations Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : Trouver les zros de f(x) = | x | 6. 0 = | x | 6 6 = | x | 1 1 Sommet (0, -6) VALIDATION - 6 = x 6 = x Rponse : x { -6, 6 } Esquisse du graphique 0 = | - 6 | 6 0 = 6 6 0 = 0 0 = | 6 | 6 0 = 6 6 0 = 0
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  • Exemple #2 : Trouver les zros de f(x) = | 2x 6 | 10. 0 = | 2x 6 | 10 10 = | 2x 6 | 1 1 Sommet (3, -10) - 10 = 2x 6 8 = x - 2 = x Rponse : x { -2, 8 } Esquisse du graphique f(x) = | 2x 6 | 10 f(x) = | 2 (x 3) | 10 - 4 = 2x 10 = 2x 6 16 = 2x VALIDATION 0 = | 2(-2) 6 | 10 0 = | -4 6 | 10 0 = | -10 | 10 0 = 10 10 0 = 0 0 = | 2(8) 6 | 10 0 = | 16 6 | 10 0 = | 10 | 10 0 = 10 10 0 = 0
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  • Exemple #3 : Rsoudre | 2x 10 | + 6 = 2. | 2x 10 | = -4 2x 10 = 4 x = 3 x = 7 Rponse : x Esquisse du graphique | 2x 10 | + 6 = 2 | 2 (x 5) | + 6 = 2 2x = 14 2x 10 = -4 2x = 6 1 1 Sommet (5, 6) y = 2 rejeter Impossible ! VALIDATON | 2(7) 10 | + 6 = 2 | 14 10 | + 6 = 2 | 4 | + 6 = 2 4 + 6 = 2 10 2 | 2(3) 10 | + 6 = 2 | 6 10 | + 6 = 2 | -4 | + 6 = 2 4 + 6 = 2 10 2
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  • Exemple #4 : Rsoudre | x 2 | + 2x = 1. | x 2 | = 1 2x x 2 = -(1 2x) x = 1 Rponse : x { -1 } Esquisse du graphique | x 2 | = 1 2x x 2 = -1 + 2x x = -1 x 2 = 1 2x 3x = 3 rejeter 1 1 Sommet (2, 0) y = 1 2x -x = 1 VALIDATON | (-1) 2 | + 2(-1) = 1 | -3 | + -2 = 1 3 + -2 = 1 1 = 1 | (1) 2 | + 2(1) = 1 | -1 | + 2 = 1 1 + 2 = 1 3 1
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  • Rsolutions dinquations Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : Rsoudre | x | > 3. | x | = 3 x = -3 x = 3 1 1 Sommet (0, 0) Esquisse du graphique y = 3 Commenons par rsoudre : 0 -3 Sur une droite numrique : 3
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  • Rsolutions dinquations Mathmatiques SN - La fonction VALEUR ABSOLUE - Exemple #1 : Rsoudre | x | > 3. Rponse : x -, -3 [ U ] 3, + x -, -3 [ U ] 3, + 1 1 Sommet (0, 0) Esquisse du graphique y = 3 0 -3 Sur une droite numrique : 3 Dduire lensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. | 0 | > 3 Par exemple, validons si x = 0 fait partie de lensemble- solutions : 0 > 3 FAUX, donc x = 0 ne fait pas partie de lens.-sol ns.
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  • Exemple #2 : Rsoudre | x 7 | 4 < -2. | x 7 | = 2 x 7 = -2 x = 5 Rponse : x ] 5, 9 [ 1 1 Sommet (7, -4) Esquisse du graphique y = -2 x 7 = 2 x = 9 | x 7 | 4 = -2 Commenons par rsoudre : 5 0 Sur une droite numrique : 9 Dduire lensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. Par exemple, validons si x = 7 fait partie de lensemble- solutions : 7 | 7 7 | 4 < -2 | 0 | 4 < -2 0 4 < -2 4 < -2 VRAI, donc x = 7 fait partie de lensemble.-sol ns.
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  • Exemple #3 : Rsoudre 2| x 3 | 4 0. 2| x 3 | 4 = 0 x 3 = -2 x = 1 Rponse : x [ 1, 5 ] 1 1 Sommet (3, -4) Esquisse du graphique x 3 = 2 x = 5 2| x 3 | = 4 Commenons par rsoudre : | x 3 | = 2 0 Sur une droite numrique : 1 Dduire lensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. Par exemple, validons si x = 3 fait partie de lensemble- solutions : 3 5 2| 3 3 | 4 0 2| 0 | 4 0 4 0 VRAI, donc x = 3 fait partie de lensemble.-sol ns.