Mathématiques SN La fonction RACINE CARRÉE. Définition Mathématiques SN - La fonction RACINE...

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La fonctionLa fonctionRACINE CARRÉERACINE CARRÉE

DéfinitionDéfinition

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉERACINE CARRÉE - -

La La racine carréeracine carrée d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x . d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x .

ExemplesExemples : : car 3 x 3 = 9 ou (3)car 3 x 3 = 9 ou (3)22 = 9 = 9

On note On note la racine carrée de x .la racine carrée de x .x

39

car 7 x 7 = 49 ou (7)car 7 x 7 = 49 ou (7)22 = 49 = 49749

PropriétésPropriétés : :

baba 155353: Exemple

2

1

aa

b

a

b

a

5

3

5

3: Exemple

aa 2 5255: 2 Exemple

Attention !Attention !

- 5 = Ø- 5 = Ø

Attention !Attention !

- 5 = Ø- 5 = Ø


Rationalisation du dénominateurRationalisation du dénominateur

Lorsqu’une Lorsqu’une fractionfraction comporte un nombre comporte un nombre irrationnelirrationnel au au dénominateurdénominateur, la rationalisation consiste à le rendre, la rationalisation consiste à le rendre rationnelrationnel..

Exemple #1 :Exemple #1 : 11

22Rationnaliser Rationnaliser . .

11

22==

11

22xx

22

22==

22

( 2 )( 2 )22==

22

22

IrrationnelIrrationnel RationnelRationnel

Exemple #2 :Exemple #2 : Rationnaliser Rationnaliser . .66

4 + 74 + 7

66

4 + 74 + 7==

66

4 + 74 + 7xx 4 – 74 – 7

4 – 74 – 7

6 x ( 4 – 7 )6 x ( 4 – 7 )

( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 )( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 )==

24 – 6 724 – 6 7

16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )22==

24 – 6 724 – 6 7

16 – 716 – 7==

24 – 6 724 – 6 7

99==

8 – 2 78 – 2 7

33==

IrrationnelIrrationnel

RationnelRationnel

Exemple #3 :Exemple #3 : Rationnaliser Rationnaliser . .1010

11 – 711 – 7

1010

11 – 711 – 7==

1010

11 – 711 – 7xx 11 + 711 + 7

11 + 711 + 7

10 x ( 11 + 7 )10 x ( 11 + 7 )

( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 )( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 )==

10 11 + 10 710 11 + 10 7

( 11 )( 11 )2 2 + 11 7 – 11 7 – ( 7 )+ 11 7 – 11 7 – ( 7 )22==

IrrationnelIrrationnel

10 11 + 10 710 11 + 10 7

( 11 )( 11 )2 2 – ( 7 )– ( 7 )22==

10 11 + 10 710 11 + 10 7

1111 – 7– 7==

10 11 + 10 710 11 + 10 7

44==

5 11 + 5 75 11 + 5 7

22==

RationnelRationnel

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RACINE CARRÉE -RACINE CARRÉE -

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (hh, , kk).).

Exemple :Exemple :

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2b b == 3 3h h == 1 1k k == 4 4

f(x) = x f(x) = x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa bb ( x – ( x – hh ) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = f(x) = aa x – x – h h + + kk

f(x) = f(x) = -2-2 33 ( x – ( x – 11 ) + ) + 44

f(x) = f(x) = aa - ( x – - ( x – hh ) + ) + kk (formes CANONIQUES)(formes CANONIQUES)



xx f(x)f(x)

00 00

11 11

22 1,411,41

44 22

99 33

1616 44

-1-1 ØØ


car f(0) = 0 = 0car f(0) = 0 = 0

car f(1) = 1 = 1car f(1) = 1 = 1

car f(2) = 2 = 1,41car f(2) = 2 = 1,41

car f(4) = 4 = 2car f(4) = 4 = 2

car f(9) = 9 = 3car f(9) = 9 = 3

car f(16) = 16 = 4car f(16) = 16 = 4

car f(-1) = -1 = Impossiblecar f(-1) = -1 = Impossible



xx f(x)f(x)

00 00

11 11

44 22

99 33

1616 44

2525 55

3636 66

SommetSommet


Sommet (0, 0)Sommet (0, 0)

11

11



xx f(x)f(x)

00 00

11 -1-1

44 -2-2

99 -3-3

1616 -4-4

2525 -5-5

3636 -6-6

SommetSommet

f(x) = - x f(x) = - x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)


11

11



xx f(x)f(x)

00 00

-1-1 11

-4-4 22

-9-9 33

-16-16 44

-25-25 55

-36-36 66

SommetSommet

f(x) = -x f(x) = -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)


11

11



xx f(x)f(x)

00 ØØ

11 ØØ

22 ØØ

33 44

44 22

77 00

1212 -2-2

SommetSommet

f(x) = - 2 x – 3 + 4 f(x) = - 2 x – 3 + 4


11

11

11

11



Sommet (Sommet (hh, , kk))

((hh, , kk) = sommet) = sommet

f(x) = f(x) = aa bb ( x – ( x – hh ) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

a : + b : +a : + b : –

a : – b : – a : – b : +

Forme canonique <---> généraleForme canonique <---> générale


Exemple #1 :Exemple #1 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = - 3 4x + 8 – 2f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique. sous la forme canonique.

f(x) = - 3 4x + 8 – 2f(x) = - 3 4x + 8 – 2

f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2

f(x) = - 3 4 x + 2 – 2f(x) = - 3 4 x + 2 – 2

f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2

f(x) = -6 x + 2 – 2f(x) = -6 x + 2 – 2

Sommet (-2, -2)Sommet (-2, -2)

11

11

Exemple #2 :Exemple #2 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique. sous la forme canonique.

f(x) = 12 – 4x + 6f(x) = 12 – 4x + 6

f(x) = - 4x + 12 + 6f(x) = - 4x + 12 + 6

f(x) = 4 - (x – 3) + 6f(x) = 4 - (x – 3) + 6

f(x) = - 4 (x – 3) + 6f(x) = - 4 (x – 3) + 6

f(x) = 2 - (x – 3) + 6f(x) = 2 - (x – 3) + 6


11

11

Exemple #3 :Exemple #3 : Écrire l’équation Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique. sous la forme canonique.

f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3

f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3

f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3


11

11

f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3

Recherche de l’équationRecherche de l’équation


Exemple :Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.fonction.

S(8, -5)S(8, -5)

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique

22

22P(-1, 7)P(-1, 7)

Exemple :Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.fonction.

S(8, -5)S(8, -5)


22

22P(-1, 7)P(-1, 7)

7 = 7 = aa - (-1 – 8 ) – 5 - (-1 – 8 ) – 5

f(x) = f(x) = aa x – x – h h + + kk

f(x) = f(x) = aa - ( x – - ( x – hh ) + ) + kk (formes CANONIQUES)(formes CANONIQUES)

7 = 7 = aa - (-9) – 5 - (-9) – 57 = 7 = aa 9 – 5 9 – 57 = 7 = aa (3) – 5 (3) – 5

12 = 312 = 3aa

4 = 4 = aa

Réponse :Réponse : f(x) = f(x) = 44 - ( x – - ( x – 88 ) – ) – 55

a : + b : –

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


Exemple #1 :Exemple #1 :

Réponse :Réponse : x x { 7 } { 7 }

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphiqueTrouver les zéros de Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4f(x) = 2 x – 3 – 4 . .

0 = 2 x – 3 – 4 0 = 2 x – 3 – 4

4 = 2 x – 34 = 2 x – 3

2 = x – 32 = x – 3

(2)(2)22 = ( x – 3 ) = ( x – 3 )22

4 = x – 34 = x – 3

7 = x7 = x11

11

Sommet (3, -4)Sommet (3, -4)

Il faut que x – 3 ≥Il faut que x – 3 ≥ 0 0

Alors que Alors que x ≥ 3x ≥ 3

VALIDATONVALIDATON

0 = 2 (7) – 3 – 4 0 = 2 (7) – 3 – 4

0 = 2 4 – 4 0 = 2 4 – 4

0 = 4 – 4 0 = 4 – 4

0 = 00 = 0


Réponse :Réponse : x x { - 2 } { - 2 }

Résoudre Résoudre 4 4 5 – 2x = 125 – 2x = 12 . .

5 – 2x = 35 – 2x = 3

x = - 2x = - 2

Il faut que 5 – 2x ≥Il faut que 5 – 2x ≥ 0 0

Alors que Alors que x ≤ 5/2x ≤ 5/2( 5 – 2x )( 5 – 2x )2 2 = = (3)(3)22

5 – 2x5 – 2x = = 99

- 2x- 2x = = 44 Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique

11

11

Sommet (5/2, 0)Sommet (5/2, 0)

- 2x + 5 = 3- 2x + 5 = 3

- 2 (x – 5/2) = 3- 2 (x – 5/2) = 3

y = 3y = 3

VALIDATONVALIDATON

4 5 – 2(-2) = 124 5 – 2(-2) = 12

4 5 – -4 = 124 5 – -4 = 12

4 9 = 124 9 = 12

4 (3) = 124 (3) = 12

12 = 1212 = 12


Réponse :Réponse : x x { { } }

Résoudre Résoudre 2 2 x + 4 = 0x + 4 = 0 . .

2 x = - 42 x = - 4 Il faut que x ≥Il faut que x ≥ 0 0

( x )( x )2 2 = = (- 2)(- 2)22

x = x = 44 Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique

11

11


x = - 2x = - 2

Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !

À rejeterÀ rejeter

VALIDATONVALIDATON

2 4 + 4 = 02 4 + 4 = 0

2 (2) + 4 = 02 (2) + 4 = 0

4 + 4 = 04 + 4 = 0

8 8 0 0

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x


11

11

Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)


x + 1 = 2xx + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0

Alors que Alors que x ≥ -1x ≥ -1( x + 1 )( x + 1 )2 2 = = (2x)(2x)22

x + 1 x + 1 = = 4x4x22

0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1

f(x) f(x) = = g(x)g(x)


11

11

Sommet (-1, 0)Sommet (-1, 0)x = x = -b -b b b22 – 4ac – 4ac

2a2a

x = x = -1 -1 (-1) (-1)22 – 4(4)(- – 4(4)(-

1)1)

2(4)2(4)

x = x = -3 -3 17 17

88

xx11 ≈≈ -0,39 -0,39 et et xx22 ≈≈ 0,64 0,64


x + 1 = 2xx + 1 = 2x

-0,39 ≈ x-0,39 ≈ x11

Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0


x + 1 x + 1 = = 4x4x22

0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1

f(x) f(x) = = g(x)g(x)

0,64 ≈ x0,64 ≈ x22


Réponse :Réponse : x x ] 0,64, + ∞ ] 0,64, + ∞


11

11


VALIDATON de xVALIDATON de x11

(-0,39) + 1 = 2(-0,39)(-0,39) + 1 = 2(-0,39)

0,61 = -0,780,61 = -0,78

0,78 0,78 -0,78 -0,78

VALIDATON de xVALIDATON de x22

(0,64) + 1 = 2(0,64)(0,64) + 1 = 2(0,64)

1,64 = 1,281,64 = 1,28

1,28 = 1,281,28 = 1,28

Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre Résoudre f(x) f(x) ≥≥ g(x)g(x) si si f(x) = x + 1 f(x) = x + 1 etet g(x) = 2xg(x) = 2x


11

11


Réponse :Réponse : x x [ -1 ; 0,64 ] [ -1 ; 0,64 ]

x + 1 = 2xx + 1 = 2x

-0,39 ≈ x-0,39 ≈ x11

Il faut que x + 1 ≥Il faut que x + 1 ≥ 0 0


x + 1 x + 1 = = 4x4x22

0 = 0 = 4x4x22 – x – 1 – x – 1

f(x) f(x) = = g(x)g(x)

0,64 ≈ x0,64 ≈ x22


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