Mathématiques SN La fonction RATIONNELLE. Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction...

Mathématiques Mathématiques SNSN

La fonctionLa fonction

RATIONNELLERATIONNELLE

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction RATIONNELLERATIONNELLE - -

f(x) =f(x) =11

xx(forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) =f(x) = aa + + kk

bb (x – (x – hh))(forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) =f(x) = aa + + kk

x – x – hh(forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

f(x) =f(x) = Polynôme 1Polynôme 1

Polynôme 2Polynôme 2(forme P / Q)(forme P / Q) f(x) =f(x) = 3x – 43x – 4

2x + 52x + 5

Exemple :Exemple :



xx f(x)f(x)

00 ØØ

11 11

22 ½½

44 ¼¼

½½ 22

¼¼ 44

f(x) =f(x) = 11


11

11



xx f(x)f(x)

-1-1 -1-1

-2-2 -½-½

-4-4 -¼-¼

-½-½ -2-2

-¼-¼ -4-4

-⅛-⅛ -8-8

f(x) =f(x) = 11


11

11

Centre (0, 0)Centre (0, 0)



xx f(x)f(x)

11 -1-1

22 -½-½

44 -¼-¼

-1-1 11

-2-2 ½½

-4-4 ¼¼

f(x) =f(x) = - 1- 1

xx(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)

11

11




xx f(x)f(x)

11 -1-1

22 -½-½

44 -¼-¼

-1-1 11

-2-2 ½½

-4-4 ¼¼

f(x) =f(x) = 11

- x- x(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)

11

11




xx f(x)f(x)

11 ØØ

22 55

33 44

00 11

½½ -1-1

-1-1 22

f(x) =f(x) = - 4- 4

- 2 (x – 1)- 2 (x – 1)

11

11

+ 3+ 3




11

11 Centre (Centre (hh, , kk))

((hh, , kk) = centre) = centre

f(x) =f(x) = aa + + kk

bb (x – (x – hh))(forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

x = x = hh Équations des Équations des asymptotesasymptotesy = y = kk

AsymptotesAsymptotes

x = hx = h

y = ky = k

Dom Dom ff = = \ { \ {hh}}Ima Ima ff = = \ { \ {kk}}

Recherche de l’équationRecherche de l’équation


Exemple :Exemple : Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) appartient au graphique.appartient au graphique.

Exemple :Exemple : Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) appartient au graphique.appartient au graphique.

P (-1, 2)P (-1, 2)

11

11

Esquisse du graphiqueEsquisse du graphique

Centre (Centre (33, , 55))

x = 3x = 3

y = 5y = 5

f(x) =f(x) = aa

x – x – hh+ + kk

2 =2 = aa

- 1 – 3- 1 – 3+ 5+ 5

- 3 =- 3 = aa

- 4- 4

12 = 12 = aa

Réponse :Réponse : f(x) =f(x) = 1212

x – 3x – 3+ 5+ 5

Forme canonique <---> générale <---> P / QForme canonique <---> générale <---> P / Q


Exemple #1 :Exemple #1 : Écrire l’équation Écrire l’équation

sous la forme canonique.sous la forme canonique.

f(x) =f(x) = 66

3x – 93x – 9+ 2+ 2

f(x) =f(x) = 66

3 (x – 3)3 (x – 3)+ 2+ 2

f(x) =f(x) = 22

x – 3x – 3+ 2+ 2

11

11 Centre (Centre (33, , 22))

Exemple #2 :Exemple #2 : Écrire l’équation Écrire l’équation sous la forme sous la forme canonique.canonique.

f(x) =f(x) = 1818

- 3x + 9- 3x + 9– – 77

f(x) =f(x) = 1818

- 3 (x – 3)- 3 (x – 3)– – 77

f(x) =f(x) = - 6- 6

x – 3x – 3– – 77

11

Exemple #3 :Exemple #3 : Écrire l’équation Écrire l’équation sous la forme canonique.sous la forme canonique.f(x) =f(x) = 4x + 24x + 2

2x – 22x – 2

4x + 24x + 2 2x – 22x – 2

22(4x – 4)(4x – 4)––

66

2 +2 + 66

2x – 22x – 2

f(x) =f(x) = 66

2x – 22x – 2+ 2+ 2

f(x) =f(x) = 66

2 (x – 1)2 (x – 1)+ 2+ 2

f(x) =f(x) = 33

x – 1x – 1+ 2+ 2

77 22

3366–– 3 reste 13 reste 1

2 reste 62 reste 6

3 +3 + 11

22(ou 3,5)(ou 3,5)

RAPPEL…RAPPEL…

Exemple #4 :Exemple #4 : Écrire l’équation Écrire l’équation sous la forme générale.sous la forme générale.f(x) =f(x) = 8x – 58x – 5

2x + 12x + 1

8x – 58x – 5 2x + 12x + 1

44(8x + 4)(8x + 4)––

- 9- 9

4 +4 + - 9- 9

2x + 12x + 1

f(x) =f(x) = - 9- 9

2 (x + ½)2 (x + ½)+ 4+ 4

4 reste - 94 reste - 9

Exemple #5 :Exemple #5 : Écrire l’équation Écrire l’équation sous la forme P / Q.sous la forme P / Q.f(x) =f(x) = 22

3 (x + 1)3 (x + 1)– – 44

f(x) =f(x) = 22

3x + 33x + 3– – 44

f(x) =f(x) = 22

3x + 33x + 3–– 4 4 (3x + 3)(3x + 3)

3x + 33x + 3

f(x) =f(x) = 22

3x + 33x + 3–– 12x + 1212x + 12

3x + 33x + 3

f(x) =f(x) = 2 – (12x + 12)2 – (12x + 12)

3x + 33x + 3

f(x) =f(x) = 2 – 12x – 122 – 12x – 12

3x + 33x + 3

f(x) =f(x) = - 12x – 10- 12x – 10

3x + 33x + 3

Mettre les Mettre les termes sur le termes sur le

même même dénominateurdénominateur ! !

Mettre les Mettre les termes sur le termes sur le

même même dénominateurdénominateur ! !

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


Exemple #1 :Exemple #1 :

Réponse :Réponse : x x { -½ } { -½ }

Trouver les zéros de .Trouver les zéros de .

x = -½x = -½

Il faut que 2 (x – 1) ≠Il faut que 2 (x – 1) ≠ 0 0

Donc que Donc que x ≠ 1x ≠ 1

f(x) =f(x) = 66

2 (x – 1)2 (x – 1)+ 2+ 2

0 =0 = 66

2 (x – 1)2 (x – 1)+ 2+ 2

- 2 =- 2 = 66

2 (x – 1)2 (x – 1)

- 4 (x – 1) = 6- 4 (x – 1) = 6

- 4x + 4 = 6- 4x + 4 = 6 11

11

Centre (Centre (11, , 22))



Réponse :Réponse : x x { -½ } { -½ }

Trouver les zéros de .Trouver les zéros de .

-½ = x-½ = x

f(x) =f(x) = 4x + 24x + 2

2x – 22x – 2

0 =0 =

0 = 4x + 20 = 4x + 2

4x + 24x + 2

2x – 22x – 2Il faut que 2x – 2 ≠Il faut que 2x – 2 ≠ 0 0


- 2 = 4x- 2 = 4x


Réponse :Réponse :

Trouver l’ordonnée à l’origine de .Trouver l’ordonnée à l’origine de .f(x) =f(x) = 4x + 24x + 2

2x – 22x – 2

f(0) =f(0) = 4(0) + 24(0) + 2

2(0) – 22(0) – 2

f(0) =f(0) = 0 + 20 + 2

0 – 20 – 2

f(0) = - 1f(0) = - 1

f(0) = - 1f(0) = - 1

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre .Résoudre . 0022

2x – 62x – 6– – 33

11

11

Centre (Centre (33, , -3-3))


f(x) =f(x) = 22

2 (x – 2 (x – 33))– – 33

x =x = 33 Équations desÉquations des asymptotesasymptotesy =y = -3-3

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre .Résoudre . 0022

2x – 62x – 6– – 33

11

11

Centre (Centre (33, , -3-3))


22

2x – 62x – 6– – 33 00 Il faut que 2x – 6 ≠Il faut que 2x – 6 ≠ 0 0


22

2x – 62x – 6 33

2 2 3 (2x – 6) 3 (2x – 6)

2 2 6x – 18 6x – 18

20 20 6x 6x

2020

66 xx

1010

33 xx

Réponse :Réponse : x x - - ∞ , 3 [ U [ , + ∞∞ , 3 [ U [ , + ∞1010

33

Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre .Résoudre . -2x + 3-2x + 33x – 23x – 2

x + 1x + 1

3x – 23x – 2 x + 1x + 1

33(3x + 3)(3x + 3)––

-5-5

3 +3 + -5-5

x + 1x + 1

f(x) =f(x) = -5-5

x + 1x + 1+ 3+ 3

3 reste -53 reste -5


x + 1x + 1

-5-5

x + 1x + 1+ 3+ 3

x =x = -1-1 Équations desÉquations des asymptotesasymptotesy =y = 33

11

11Centre (Centre (-1-1, , 33))



x + 1x + 1

11

11Centre (Centre (-1-1, , 33))


3x – 23x – 2

x + 1x + 1 -2x + 3-2x + 3 Il faut que x + 1 ≠Il faut que x + 1 ≠ 0 0

Donc que Donc que x ≠ -1x ≠ -1

3x – 2 3x – 2 (x + 1) (-2x + (x + 1) (-2x + 3)3)3x – 2 3x – 2 -2x -2x22 + 3x – 2x + + 3x – 2x + 33

0 0 -2x -2x22 – 2x + 5 – 2x + 5

x = x = -b -b b b22 – 4ac – 4ac

2a2a

x = x = -(-2) -(-2) (-2) (-2)22 – 4(-2)(5) – 4(-2)(5)

2(-2)2(-2)

x = x = 2 2 44 44

-4-4

xx11 ≈≈ -2,16 -2,16 et et xx22 ≈≈ 1,16 1,16

Réponse :Réponse : x x [ -2,16 , -1 [ U [ 1,16 , + ∞ [ -2,16 , -1 [ U [ 1,16 , + ∞

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