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Hydraulique
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien Environnement construit et Géoinformation Page 1 06.01.2004
INTRODUCTION.....................................................................5
GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS DES FLUIDES......................................... 5
HISTORIQUE .............................................................................. 5
SYSTÈME D'UNITÉ ........................................................................ 6
PROPRIÉTÉ DES FLUIDES ............................................................... 6
Définition : solides - fluides........................................................................................................6 Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6 Pression......................................................................................................................................7 Compressibilité ...........................................................................................................................7 Viscosité .....................................................................................................................................8 Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9 La pression de vapeur saturante ................................................................................................9
HYDROSTATIQUE ................................................................10
Définition...................................................................................................................................10 Pression en un point.................................................................................................................10 Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10 Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11 Utilisation ..................................................................................................................................11 Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12 Pression absolue ou relative ....................................................................................................12 Changement de référentiel de pression ...................................................................................13 Application ................................................................................................................................13 Tube en U.................................................................................................................................14 Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14 Changement de référentielle ....................................................................................................15
FORCE DE PRESSION.................................................................. 15
Poussée sur une surface plane ................................................................................................15 Crève tonneau de Pascal .........................................................................................................19
Hydraulique
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Vérin hydraulique......................................................................................................................19 Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20
FORCE D'ARCHIMÈDE.................................................................. 22
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22 Application ................................................................................................................................23 Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23 Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24 Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24
EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25
Rappel des hypothèses fondamentales ...................................................................................25 Application de l'équation de bernouilli ......................................................................................26 Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28
THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ...................................... 29
Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29 Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0).........................30 Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30 Cas d'embouchement...............................................................................................................31
EQUATION FLUIDE PARFAIT GÉNÉRALISÉ ........................................... 32
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32 Equation de quantité de mouvement........................................................................................32
HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS .............................32
GÉNÉRALITÉ SUR LA VISCOSITÉ ..................................................... 32
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32 Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33 Variation de la viscosité............................................................................................................33
EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34
Hydraulique
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LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34
Expérience de Reynolds...........................................................................................................34 Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34
ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35
ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35
Généralité .................................................................................................................................35 Equations de Reynolds.............................................................................................................35
HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ÉCOULEMENT EN CHARGE) .35
Généralité .................................................................................................................................35 Equation de conservation d'énergie .........................................................................................35 Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36
EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37
En écoulement laminaire ..........................................................................................................37 En écoulement turbulent lisse .................................................................................................37 En écoulement turbulent rugueux.............................................................................................37 Régime turbulent de transition..................................................................................................37 Diagramme de Moody ..............................................................................................................37 Formule de Strickler .................................................................................................................38 Rayon hydraulique....................................................................................................................38 Perte de charges singulières ....................................................................................................38
CALCUL DE RÉSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39
Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39 Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39 Conduite en série .....................................................................................................................40
TECHNIQUE DE RÉSOLUTION PAR RÉITÉRATION ................................... 40
Recherche de hR.......................................................................................................................40 Recherche de Q .......................................................................................................................40 Recherche de D........................................................................................................................41
Hydraulique
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CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41
Conduite en parallèle................................................................................................................41 Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41 Calcul d'une maille ...................................................................................................................42 Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43
HYDRAULIQUE DES CANAUX (ÉC. EN NAPPE LIBRE) ..............43
GÉNÉRALITÉ ............................................................................ 43
Définitions.................................................................................................................................43 But de l’étude............................................................................................................................43 Classification des fluides ..........................................................................................................43
EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MÊMES, MAIS ADAPTÉES)............. 44
Equation de continuité ..............................................................................................................44 Equation de conservation d’énergie .........................................................................................44 Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45 Nombre de Froude : FR............................................................................................................45
ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46
Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46 Profondeur normale..................................................................................................................47 Différents problèmes rencontrés ..............................................................................................48
ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIÉ.............................................. 49
Définition...................................................................................................................................49 Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs ».......................................................................49 Valeur de tCR en canal rectiligne...............................................................................................50
COURBES DE REMOUS ................................................................ 51
Équations fondamentales .........................................................................................................51 Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51 Etude qualitative et classification des lignes d’eau...................................................................52 Illustrations en rivière................................................................................................................52 Illustrations en torrent ...............................................................................................................53
Hydraulique
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Introduction
Hydraulique Mécanique des fluides Mécanique Physique Hydrostatique Cinématique Dynamique Ecoulement en charge Ecoulement en nappe libre
Fluide parfait (viscosité nulle)
Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps)
Général tés et propriétés des fluides i
Bibliographie : Hydraulique générale et appliquée (Carlier, éd. Eyrolles) Manuel d’hydraulique générale (Lencastre, éd. Eyrolle) Mécanique des fluides et hydraulique (R.V Gile) Fluid mechanics (V. Streeter anglais) Traité de génie civil (Gref et Altinater)
Historique
Haute antiquité dès 4’000 ans avant J.C en Mésopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de Joseph au Caire de 90m de profondeur. Civilisation grecque : Ecole d’Alexandrie Archimède : 287 – 212 avant J.C Vis d’Archimède Le principe d’Archimède Théorie des corps flottants Ctésibios : Pompe aspirante – refoulante Hydraule (orgue) Moyen âge : Rien Renaissance : 1452 – 1519 Léonard de Vinci : Equation de continuité Stevin (Hollande) Paradoxe de l’hydrostatique Siècle des lumières : Louis 14 Torricelli Pascal (traité des liqueurs) Newton (liquide Newtoniens viscosité)
Hydraulique
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18ème siècles : Théorie : Bernoulli : Equation de conservation de l’énergie Euler : Equation de quantité de mouvement Hydraulique appliquée : Chézy (perte de charge) 19ème siècles : machine hydro : Francis (turbine) essai sur modèle : Froude, Reynolds Temps moderne : école de Götting, Prandtl essai sur modèle
Système d'unité
Cours de M. Métroz + brochure UBS Système légal : Système I international S.I. Unité encore tolérée : - litre = 1 dcm3 (pas dans le SI) - Km/h - KW h - bar (pression) - grade - mm de mercure (Hg)
Car heure au s
Propriété des flu des i
Définition : solides - fluides Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans Liquide : occupe un volume déterminé, p séparation par "la surface libre" Gaz : occupe tout l'espace à dispositi fortement modifiable par la tem
Masse volumique, poids volumique et densité La masse volumique est la masse d'un corps par un S.I. : masse kg Volume m3
Poids volumique : poids par unité de volume γ [ga S.I. : Poids N Volume m3
lieu de seconde
rigidité)
eu modifiable par la température et la pression d'avec le gaz qui le surmonte
on, pas forcément uniforme, et le volume est pérature et la pression
ité de volume et noté ρ [rhô]
mma]
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
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Relation : Poids = Masse X Accélération Champs terrestre : Poids = Masse X g Par unité de volume : Poids = Masse X g Volume Volume ce qui donne : γ = ρ x g Densité : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de référence ayant le même volume Quelques valeurs: - eau (4°) : ρ = 1000 kg/m3
γ = 9807 N/ m3
- air (20°): ρ = 1.20 kg/m3
ρ diminue avec la température (portance des avions pays chaud) - mercure (0°) : ρ = 13595 kg/m3
- mercure (20°) : ρ = 13546 kg/m3
Pression
L'ensemble des phénomènes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément Pression : p = force de surface [Pa] Surface Contrainte : p = force [N] résistance des matériaux Surface [m2] Unité tolérée : le bar 1 bar = 105 Pa
Compressibilité C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures Module de compressibilité : E = ∆ pression E à une unité de pression ∆ volume (Pa, N/m2) volume init. Quelques valeurs : - eau (15°) : E = 2.16 * 109 N/m2 - air (15°) : E = 1.13 * 105 N/m2 (isotherme) E = 1.58 * 105 N/m2 (adiabatique)
sans échange de chaleur
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Vitesse de propagation d'une onde de pression
c = ρ E )(isotherme ceau = 1470 m/s
cair = 300 m/s
Viscosité
Existence d'efforts tangentiels dans un fluide Viscosité dynamique : µ : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s] si µ = 0 fluide parfait si µ = cste fluide newtonien (ex: l'eau)
Viscosité cinématique : ρµυ = ν [nû] = m2/s
Quelques valeurs: - eau (15°) : µ = 1.14*10-3 Pa*s
ν = 1.14*10-6 m2/s - air (15°): µ = 1.78*10-5 Pa*s
ν = 1.55*10-5 m2/s µeau > µair νeau < νair
µ s xv ⋅∂⋅∂∂=F
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Tension superficielle : capillarité A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores)
[m2] surface[j]t déplacemen force
surfacetravail ⋅==σ
σ [sigma] = travail nécessaire pour rester à la surface
Utilisation capillarité : θρσ cos r g
2 ⋅⋅⋅=h
Loi de Jurin : rkh = k = cste en fonction du liquide
r = diamètre du tube Quelques valeurs: - mercure : σ = 0.514 N/m
θ = 140° k ≅ -14 mm2
- eau : σ = 0.0736 N/m
θ = 0° k ≅ 30 mm2
La pression de vapeur saturante Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation) Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure. (ébullition à température ambiante) Cavitation : Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température
ambiante. Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de vapeur, ce qui provoque une usure.
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Hydrostatique
Définition
Science qui étudie les conditions des fluides au repos : - pression - force de pression - principe d'Archimède
Pression en un point Les différentes forces agissantes sur un élément : Forces intérieur : elles forment un système équivalent à zéro (aucune action)
Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient très proche l'un de l'autre (force de surface)
- Force de volume, lié au champ : -pesanteur - magnétique - électromagnétique
Infiniment petit donc négligé
Equilibre d'un prisme Relation géométrique Dx = dl * cosα Dz = dl * sinα Poids : P = ½ * (dx * dy * dz) * g * ρ Condition d'équilibre : ∑F = 0 Projection sur l'axe X . 0 + dF2 – dF3 * sinα + 0 = 0 p2 *(dz * dy) – p3 *sinα *(dz/sinα) = 0 p2 = p3 Projection sur l'axe Y : DF1 + 0 – dF3 * cosα - P = 0 p1 *(dx * dy) – p3 *cosα *(dx/cosα) –(½ * (dx * dy * dz) * g * ρ) = 0 p1 = p3 Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires à la surface, sinon la composante tangentielle
entraînerait un glissement des particules. (donc mouvement d'où pas d'hydrostatique) les coefficients p (pression) sont les mêmes dans toutes les directions Forces de pression : dF = p * ds
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Equation fondamentale de l'hydrostatique Equilibre d'un cylindre à axe vertical : équilibre des forces et projection sur l'axe Oz dF2 = ds ⋅p
dF1 = ds dz) zp ( ⋅⋅∂∂+p
dF2 – dF1 – P = 0 P = ds dz ⋅⋅⋅ ρg
( ) – (ds ⋅p ds dz) zp ( ⋅⋅∂∂+p ) – ( ds dz ⋅⋅⋅ ρz ) = 0
0 ) (z - dz) zp( =⋅⋅∂∂ ρ
Forme différentielle
0 x - ) zp( =⋅∂∂ ρ
0 y - ) zp( =⋅∂∂ ρ
0 z - ) zp( =⋅∂∂ ρ Donc pression en point p2 - p1 = g ⋅ρ (z1 - z2)
Utilisation Plan de charge = indication de la pression
H = g ⋅ρp
H
Hydraulique
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Différence de pression entre 2 points pA + ⋅⋅ g ρ zA = pB + ⋅⋅ g ρ zB
pB - pA = g ⋅ρ ⋅ (zA - zB) d'où pB > pA Principe de Pascal pB - pA = g ⋅ρ (zA - zB) On modifie la pression en A de ∆ pA sans modifier l'équilibre du système donc la pression en B est modifiée de ∆ pB (pB + ∆ pB ) – (pA + ∆ pA )= g ⋅ρ (zA - zB) ∆ pB = ∆ pA
Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout point de la masse du fluide.
Pression absolue ou relative Expérience de Torricelli
zA + Hg
ρAp = zB +
Hg
ρBp
pA = pATM pB = vide = 0 pATM = g Hg ⋅ρ (zB - zA) A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa Hg ρ = 13'600 Kg/m3 Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa = 1.013 bar 101'324 Pa = g eau ⋅⋅ρ ∆z ∆z = 10.33 m. correspond à la hauteur du tube remplis d'eau.
Hydraulique
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Changement de référentiel de pression pression absolue : pression avec le vide comme référence vide = 0 pression relative : pression avec pATM comme référence pATM = 0
Application Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable)
1 ρ < 2 ρ < 3 ρ en pression relative : pATM = 0 Pression au point D : avec pA = 0 pB - pA = g 1 ⋅ρ (zA - zB) pB = g 1 ⋅ρ (zA - zB)
pC - pB = g 2 ⋅ρ (zB - zC) pC = pB + g 2 ⋅ρ (zB - zC)
pD - pC = g 3 ⋅ρ (zC - zD) pD = pB + pC + g 3 ⋅ρ (zC - zD) pD = g 1 ⋅ρ (zA - zB) + g 2 ⋅ρ (zB - zC) + g 3 ⋅ρ (zC - zD)
1 ρ
g 1 ⋅ρ ( zA - zB) 2 ρ
pB + g 2 ⋅ρ ( zB - zC) 3 ρ
pB + pC + g 3 ⋅ρ ( zC - zD)
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Tube en U Egalité de pression : 1 pB = pA
(on peut passer de A à B sans changer de pression)
pA = pATM + ⋅⋅ g 1ρ zA pB = pATM + ⋅⋅ g 2ρ zB
1 ⋅⋅ g 1ρ zA = ⋅⋅ g 2ρ zB 1 ⋅ρ zA = ⋅ 2ρ zB
Différence de pression entre 2 réservoir px - py = ? 1 p4 = p5 2 p4 = px + ⋅⋅ g xρ Lx
3 p5 = py + ⋅⋅ g yρ Ly + g ⋅⋅ρ ∆h 1 px + ⋅⋅ g xρ Lx = py + ⋅⋅ g yρ Ly + g ⋅⋅ρ ∆h
px - py = + ⋅⋅ g yρ Ly - ⋅⋅ g xρ Lx + g ⋅⋅ρ ∆h pour des gaz, x ρ et xρ sont petit face à mercure ρ px - py = g ⋅⋅ρ ∆h
Hydraulique
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Changement de référentielle - surface de référence : la surface libre du liquide - pression de référence : pATM = 0 - axe vertical 'h' : positif vers le bas Relation fondamentale p + g ⋅⋅ρ z = cste , mais avec z = - h p - g ⋅⋅ρ h = cste Entre A et B pA - g ⋅⋅ρ hA = pB - g ⋅⋅ρ hB
pA - pB = g ⋅⋅ρ (hA – hB) Entre A et C pA - g ⋅⋅ρ hA = pC - g ⋅⋅ρ hC hc = 0 pC = pATM = 0 pA = g ⋅⋅ρ hA
p = g ⋅⋅ρ h h = g p⋅ρ
Force de pression
Poussée sur une surface plane
Paroi plane horizontale dF = p ds = ( ⋅ g ⋅⋅ρ h) ds ⋅
∫ dF = F
∫ ( g ⋅⋅ρ h) ds = ⋅ g ⋅⋅ρ h ds = ∫ g ⋅⋅ρ h ⋅ S D'où F = g ⋅⋅ρ h ⋅ S
Hydraulique
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Paroi plane verticale, de profondeur B = cste
F = ∫ dF = ∫ ( g ⋅⋅ρ h) ds ds = (B ⋅ ⋅ dh)
= g ⋅⋅ρ B h ∫2
1
h
h
⋅ dh
= g ⋅⋅ρ B ⋅ 21 h2
h2
h1
= g ⋅⋅ρ ( 221 hh + ) ⋅ B (h2 - h1) ⋅
pression moyenne surface
F = pmoyenne ⋅ S Paroi plane inclinée a) intensité de la force
F = dF = (∫ ∫ g ⋅⋅ρ h) ⋅ ds = ∫ g ⋅⋅ρ L ⋅ sinα ⋅ ds
= g ⋅⋅ρ sinα L ds ∫ ⋅
définit la position du centre de gravité
= g ⋅⋅ρ sinα L ⋅ G S = ⋅ g ⋅⋅ρ hG ⋅ S = pG ⋅ S F = pG S pression au centre de gravité de la surface S ⋅
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b) direction de la force - toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface - donc elles sont parallèles entre elles - et donc F est perpendiculaire au plan de la surface c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c"
∫ dM = F L ⋅ C d'où LC = FdM∫
calcul de dM = dF ⋅ L = ∫ ∫ ∫ g ⋅⋅ρ L2 ⋅ sinα ⋅ ds
= g ⋅⋅ρ sinα⋅ ∫ L2 ⋅ ds
Donc LC = g ⋅⋅ρ sinα ⋅ L∫ 2 ⋅ ds
=
GOO'L S
I⋅
g ⋅⋅ρ sinα L ∫ ⋅ ds
OO'I = inertie de la surface par rapport à l'axe OO' On montre que : = + S OO'I GGI ⋅ L2
G inertie par rapport à un axe passant par G et // à OO'
LC = G
OO'L S
I⋅ =
GGGL S
I⋅ + LG
LC - LG = G
GGL S
I⋅
LC = LG + G
GGL S
I⋅ LC - LG 0 ≥
La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G'
Hydraulique
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Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B
Force : F = pG ⋅ S = g ⋅⋅ρ 2h ⋅ (B ⋅ h)
= 21 g ⋅⋅ρ B ⋅ h2
Position : LC - LG = G
GGL S
I⋅
=
2h h) (B
12h B 3
⋅⋅
⋅
= 6h
d'où C – A = h - 2h - 6
h = 3h
Vanne circulaire : Rayon R, centre O à la hauteur h de la surface, point O = G Force : F = pG S = ⋅ g ⋅⋅ρ h π ⋅ ⋅ R2
Position : LC - LG = hC - hG = G
GGL S
I⋅
= h R π
1 4R π
G2
4
⋅⋅⋅⋅
= h 4
RG
2
⋅
Hydraulique
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Crève tonneau de Pascal Liquide : 10-2 [dm2] 100 = 1 [dm ⋅ 3] = 1 litre Augmentation de pression :
g ⋅⋅ρ ∆h ≅ 104 10 = 10 ⋅ 5 Pa Augmentation de force ∆p S = 10 ⋅ 5 1 0.1 = 10 ⋅ ⋅ 4 N Charge normale :
g ⋅⋅ρ h S = 10 ⋅ 4 ⋅ 0.5 0.1 = 250 KN ⋅ Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin)
Vérin hydraulique 2 portions dans le même plan horizontal avec la pression p
p = sf = S
F d'où : F = f sS ⋅
volume du fluide : s ⋅ l = S L ⋅ travail à gauche : f l = p ⋅ ⋅ s ⋅ l conservation du travail
travail à droite : F ⋅ L = p s ⋅ ⋅ sS ⋅ L = p ⋅ s ⋅ l
Hydraulique
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Poussée sur une surface gauche (non plane) Les dF ne sont plus // entre elles. La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique. On définit une force dans une direction donnée Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale) dF = dFX dFZ dFX = dF cosα = ⋅ g ⋅⋅ρ h ds ⋅ ⋅ cosα
ds projeté sur le plan verticale = dSV
FX = dF∫ X = ∫ g ⋅⋅ρ h dS ⋅ V = g ⋅ρ ∫ hGV ⋅ dSV = g ⋅ρ ⋅ hGV ⋅ SV FX = g ⋅ρ ⋅ hGV ⋅ SV = pGV ⋅ SV
hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul
SV : surface projetée sur le plan vertical
FX : passe par le centre de poussée de SV
dFZ = g ⋅⋅ρ h ds sinα ⋅ ⋅
ds projeté sur le plan horizontale = dSH
FZ = dF∫ Z = ∫ g ⋅⋅ρ h dS ⋅ H = g ⋅ρ ∫ h ⋅ dSH = g ⋅ρ ⋅ V FZ = g ⋅ρ ⋅ V = P
V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle
FX passe par le centre de poussée de SV
Cas particuliers Si la surface S possède un centre de courbure fixe (cylindre ou sphère), toutes les forces (F) passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point.
Hydraulique
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Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.)
FX = g ⋅ρ ⋅ hGV S ⋅ V = B) (R 2R g ⋅⋅⋅⋅ρ = B 2
R g 2⋅⋅⋅ρ
FZ = B 4R g
2⋅⋅⋅⋅ πρ
F = 16 41 B R g
22 πρ +⋅⋅⋅⋅
tgα = XZ
FF = 2
π
Vanne hydraulique, liquide à gauche (B =1m.)
FX = g ⋅ρ ⋅ hGV ⋅ SV = B 2R g
2⋅⋅⋅ρ
FZ = )4R R( B g
22 ⋅−⋅⋅ πρ = )4
1( R B g 2 πρ −⋅⋅⋅
F =
2
2
4 1
41 B R g ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅⋅⋅⋅ πρ
tgα = XZ
FF = )4 1(2 π−
Vanne hydraulique, liquide à droite (B = 1m.)
FX = g ⋅ρ ⋅ hGV S ⋅ V = B) (R 2R g ⋅⋅⋅⋅ρ = B 2
R g 2⋅⋅⋅ρ
FZ = )4R R( B g
22 ⋅−⋅⋅ πρ = )4
1( R B g 2 πρ −⋅⋅⋅
La force FZ passe par le centre de poussée de SV
et est dirigée vers le haut.
Hydraulique
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Force d'Archimède
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique
On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1 B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2 Forces agissant sur les volume A et B 1 - F1 - P1 + p1 S = 0 ⋅ 2 F2 - P2 - p2 S = 0 ⋅ PAR DEFINITION : on appelle force d'Archimède FA, la différence entre les forces F1 et F2 FA = F1 – F2 Volume de FA = (- P1 + p1 S) - (P ⋅ 2 + p2 ⋅ S) = S ⋅ g ⋅ρ ⋅ H - (P1 + P2) FA = g ⋅ρ ⋅ V V : volume immergé du solide Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du volume de fluide déplacé. ATTENTION 1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé 2. la force d'Archimède passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut
Hydraulique
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Application Masse volumique d'un corps Un objet pèse : dans l'eau, 540N dans l'air, 240N Volume ? P = FA + T FA = 540 – 240 = 300N FA = g ⋅ρ ⋅ V
D'où V = g FA⋅ρ = 9.81 1000
300⋅ = 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres
Masse volumique ?
ρ = volumemasse = g
P ⋅A
eau
Fg ⋅ρ = 1800 kg/m3
Un iceberg flottant dans l'océan
glace ρ : 912 kg/m3 saléeeau ρ : 1025 kg/m3
partie visible : 600 m3 : V1 volume total de l'iceberg ? Condition : P = FA poids total volume immergé (V1 + V2) ⋅ g glace ⋅ρ = V2 ⋅ g saléeeau ⋅ρ
V2 = V1 ⋅glaceeau
salée
glace
ρρρ
⋅ = 4843 m3
Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3
Hydraulique
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Equilibre des corps immergés Equilibre : FA = P et colinéaire P : passe par le centre de gravité du solide FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé C et G sur une même verticale = équilibre stable C et G sur une même verticale = équilibre instable C et G confondu = équilibre indifférent
Equilibre des corps flottants Ex : une balle de ping pong. La position relative de C et G ne suffit pas pour déterminer l'équilibre. C'est le métacentre.
E
Equilibre stable
quilibre stable
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Equation de Bernouilli
Rappel des hypothèses fondamentales
Fluide compressible : ρ = cste
Ecoulement permanent : 0 =∂
∂t
V
x = 0
Force de volume due à l'apesanteur F y = 0 z = 0 hypothèse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsèque le long de la ligne de courant
cste 2 P z g 2=⋅++⋅⋅ Vρρ
Autre forme de l'équation : 2ème équation fondamentale de l'hydraulique
Divisant par g ⋅ρ : cste g 2 g P z
2=⋅+⋅+ V
ρ équation de Bernouilli ou équation
de conservation d'énergie (E.E.)
E.E.1-2 : g 2 g P z g 2 g
P z 22
2212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ
charge H1 charge H2
Plan de charge : g 2 g P z
2
⋅+⋅+ Vρ
La ligne piézométrique : g P z ⋅+ ρ
c'est aussi : g 2 - H2
⋅V
g 2 12
⋅V g 2
22
⋅V
g P1⋅ρ g
P2⋅ρ
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Interprétation énergétique
Résultat d'intégration : cste 2 P z g 2=⋅++⋅⋅ Vρρ
! ! ! conservation de l'énergie tota Energie : Le Joule = Newton * mè Alors que : P= Pa = Newton Mètre2
Energie de vitesse
(cinétique)
Energie potentielle
(de hauteur) E
Application de l'équation de berno Ecoulement par un orifice
E.E.1-2 : z g 2 g P z 21
211 +=⋅+⋅+ V
ρ E.E.1-2 : 2
221 V 2g )z - (z =
H 2g V2 ∆⋅= formule de torriceli Débit : Q = V2 ⋅ S2 Equation de continuité (E.C
nergie de pression
le ! ! ! par unité de volume
tres
uilli
g 2 g P 2
22
⋅+⋅V
ρ
p
pATM.)
ATM
V1 très petit
V1/2g = 0
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H∆
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Tube de Pilot (vue en plan)
1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = g ⋅⋅ρ ∆H
2. E.E.1-2 : g 2 g P z g 2 g
P z 22
2212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ
z1 = z2 = 0 car même altitude V1 = déviation à 90° = 0 (ATTENTION : uniquement plan horizontal)
E.E.1-2 : g 2 g P - P 2
221
⋅=⋅V
ρ d'où : g 2 H 22
⋅=∆ V
donc : H g 2 2 ∆⋅⋅=V Tube de Venturi 1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = g ⋅⋅ρ ∆H
2. E.E.1-2 : g 2 g P z g 2 g
P z 22212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ (ATTENTION : uniquement plan horizontal)
E.E.1-2 : ) ( g 21 g
P - P12
2221 VV −⋅=⋅ρ ou encore : 1
2 2
2 H g 2 VV −=∆⋅⋅
3. E.C. : Q = cste = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2
Si on cherche le débit : 2
1
2
2)S( )S( H g 2 QQ −=∆⋅⋅
)S1
S1( H g 2 22
12
2−=∆⋅⋅ Q
... =Q
H∆
g 2 12
⋅V
g 2 2
2⋅
VH∆
g P1⋅ρ
g P2⋅ρ
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Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique
Rappel : EE sans machine : g 2 g P z g 2 g
P z 22212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ
charge H1 = charge H2 Avec machine pompe : H1 = H3 - ∆HP
turbine : H1 = H2 + ∆HT
g 2 g P z g 2 g
P z 22212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ ± ∆HT / P
Puissance d'une turbomachine (pas de démo.) Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique Puissance = Energie * 1 = Déplacement * Force * 1 Temps Temps Déplacement * accélération * masse * 1 Temps m. * m/s2 * kg/m3 * 1/s * m3
∆H * g * ρ * Q puissance : P = g ⋅ρ ⋅ Q ⋅ ∆ HT / P [watts]
PH∆
g 2 12
⋅V TH∆
g P1⋅ρ
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Théorème des quantités de mouvement
Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton
t∂⋅∂=⋅=∑ )V (m a m Fext V m ⋅ : impulsion ou quantité de mouvement
Cas de l'hydraulique Hypothèse : - mouvement permanent - fluide incompressible
- filet liquide sur la section droite - pas d'écoulement à travers
le "tube" de courant Démonstration : Volume initial ABCD ( à l'instant t) Volume devient A'B'C'D' ( à l'instant t + ∆t) - par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt - pour écoulement permanent, quantité de mvt de A'B'CD reste le même - la variation de quantité de mvt sera :
1122 V m - V m )V (m ⋅⋅=⋅∂ mais : ρ⋅∂⋅= Q m1 t ρ⋅∂⋅= Q m2 t
)V - V( Q )V (m 12⋅∂⋅⋅=⋅∂ tρ et comme t∂⋅∂=∑ )V (m Fext
)V - V( Q F 12ext ⋅⋅=∑ ρ équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler)
forces de pesanteur P
= Fext force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
Ø = cste
V = cste
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Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0)
k2 Donnée : - déviation α - débit Q - section S1 et S2 k1 Projection sur X :
)V -cosα Q(V R - cosα k - k 0 12X21 ⋅⋅=⋅+ ρ )V -cosα Q(V R - cosα )S (p - )S (p 0 12X2211 ⋅⋅=⋅⋅⋅+ ρ
Projection sur Y :
0) - sinα Q(V R sinα k - 0 0 2Y2 ⋅⋅=+⋅+ ρ ) sinα Q(V R sinα )S (p - 0 0 2Y22 ⋅⋅=+⋅⋅+ ρ
2 équations à 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY) E.C. : Q = V1 ⋅ S1 et Q = V2 ⋅ S2 + 2 équations
E.E. : g 2 g P z g 2 g
P z 22212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ VVρρ + 1 équation
5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus.
α
Force d'un jet sur un aubage mobile
Principe : - vitesse absolue du jet V
- vitesse absolue périphérique de l'aubage u
- vitesse relative du jet par rapport à l'aubage ( V - u )
- débit reçu par l'aubage Q = S ( - ) V u
- puissance de la turbine P = RX ⋅ u
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Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton u = 20 m/s S = 10 cm2
V = 45 m/s direction = 150 ° vitesse relative : 45 – 20 = 25 m/s débit relatif : 25 0.0010 = 0.025 m ⋅ 3/s pression = pATM = 0
E.E. : ( - ) = cste le long de l'aubage V u E.M. : )V - Q(V R - entréesortieX ⋅= ρ R - X = puissanc
α
(
Cas d'embouchement E.M. : Q Fext ⋅=∑ ρ
Il faut reprendre l'équ
Fext∑
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1) - cosα ( )u - Q(V ⋅ρ = 1167 KN
e : P = 1167 ⋅ 20 = 23.3 KW
- ) ⋅ cosαV u ( - ) V u
c'est faux d'utiliser cette équation )V - (V entréesortie
ation de base avec: )V (m ⋅∂
] )V (Q - )V (Q [ entréesortie∑ ∑ ⋅⋅= ρ
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Equation fluide parfait généralisé
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant)
g 2U α g
P z g 2U α g
P z 22
22212
111 ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+⋅+ ρρ
U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Coriolis 1 < α < 2 Domaine usuel du G.C. : 1.05 < α < 1.10
Equation de quantité de mouvement
)U β - U β( Q F 1 12 2ext ⋅⋅⋅⋅=∑ ρ U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Boussinesq 1 < β < 1.35 Domaine usuel du G.C. : β = 1.05
Hydrodynamique des fluides réels
Généralité sur la v scosité i
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)
Le cylindre extérieur tourne Le cylindre intérieur fixe grâce à une force F : force qui empêche le cylindre intérieur de tourner F : proportionnelle à la vitesse F : proportionnelle à la surface (2*π*R*H) F : inversement proportionnelle à "e" F : lié à la nature du fluide (K)
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K eS V F ⋅⋅= avec les dérivées : K y
S V F ⋅∂∂⋅∂=∂ ou encore K y
V SF ⋅∂
∂=∂∂
mais SF∂∂ c'est aussi la contrainte tangentielle : K y
V τ ⋅∂∂= K = coefficient de viscosité
dynamique noté aussi µ
µ yV τ ⋅∂∂= aussi µ V grad. τ ⋅=
Viscosité cinématique :
Par définition la viscosité cinématique : ρµ ν =
Unité de viscosité dans le S.I.:
Dynamique :
yV µ τ∂∂= [Pa*sec.]
Cinématique : ρµ ν = [m2/sec.]
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens
(répartition de fonction de τ yV∂∂ )
- µ = 0 axe yV∂∂ = fluide parfait
- µ = cste droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..) - µ ≠ cste courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..)
- µ = ∞ solide élastique = axe τ
τ
yV∂∂
Variation de la viscosité Influence de la pression : très faible pour les liquides Influence de la température : très importante température augmente viscosité diminue ex. : l'huile dans une poêle
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Equation de Navier-Stokes
Rappel : fluide parfait : p grad - F tV ⋅=∂∂ ρρ
fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle)
f - p grad - F tV ⋅=∂∂ ρρ
forces de surface (presion)
V p grad 1 - F tV 2 ⋅∇⋅+⋅=∂∂ νρ
f
Les différents rég mes d'écoulement i
Expérience de Reynolds "débit" faible : le filet colorant ne se mélange "débit" augmente : le filet oscille en forme de sinus"débit" encore plus : la sinusoïde oscille "débit" encore plus plus : le filet explose et se mélange
Le nombre de Reynolds Le critère de passage d'écoulement laminaire à écoulemReynolds :
Re = νD V ⋅ avec D = diamètre et ν =
Zone critique pour 2'000 < Re < 5'000
orces de viscosités
forces de volume(poids)
forces d'inertie
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pas oïde = écoulement laminaire = écoulement critique = écoulement turbulent
ent turbulent et inversement, c'est le nombre de
viscosité cinématique
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Ecoulement laminaire
Intégration de Navier-Stokes
Ecoulement turbulent
Généralité
La vitesse près de la paroi change de répartition
Equations de Reynolds
On ajoute aux équations de Navier-Stokes les forces de turbulence 'f :
' f - f - p grad - F tV ⋅=∂∂ ρρ
Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes.
Hydraulique des conduites (écoulement en charge)
Généralité
Domaine d'étude : conduite entièrement remplie d'un seul fluide Hypothèse : fluide incompressible ρ = cste écoulement permanent champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g)
Equation de conservation d'énergie
g 2U α g
P z g 2U α g
P z 22
22212
111 ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+⋅+ ρρ ± ∆HT / P + hR
Perte d'énergie le long de la conduite
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Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)
Hypothèse : - α et θ sont petit d'ou cosα = 1 et cosθ =1 - sinα = tgα = J - sinθ = tgθ
E.E.1-2 : g 2V g
P z g 2V g
P z 22
2212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ ρρ + hR
1) hR = g P -P )z - (z 2 121 ⋅+ ρ
E.M. projection l'axe du tuyau
0 L P - sinθ G )S (p - )S (p 02211 =∆⋅⋅⋅+⋅⋅ τ avec sinθz - z L 21=∆
en divisant ensuite par g ⋅ρ :
2) L SP g g
P -P )z - (z 02 121 ∆⋅⋅⋅=⋅+ ρρτ = hR En hydro : K
V 2
0 =ρτ
pS = rayon hydraulique RH
d'où : hR =H
2
RL K g
V ∆⋅⋅ mais J LhR =∆
H
2
R1 K g
V J ⋅⋅=
Formule de Chézy : HR J c V ⋅⋅= g K c ⋅= = coefficient de Chézy
α g 2
12
⋅V
= 0 = 0
périmètre du tuyau
S L g ⋅∆⋅⋅ρ
0τ g P1⋅ρ
g P2⋅ρ
g 22⋅
V 2
θ
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Equation de Darcy-Weissbach (hR)
hR = g 2V D
L 2
⋅⋅⋅λ ou hR = S g 2
Q DL 2
2
⋅⋅⋅⋅λ
λ est sans dimension et fn(Re et rugosité relative)
En écoulement laminaire
Equation de Naver-Stockes : λ = eR
64 avec Re = νD V ⋅
En écoulement turbulent lisse K = 0
Equation de von Karman: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅=
λλ R51,2 log 2,0 - 1
e
En écoulement turbulent rugueux K ≠ 0
Equation de Nikuradge : ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅= D 7,3K log 2,0 - 1
λ
Régime turbulent de transition
Equation de Colebrook et White : ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+⋅
⋅= D 7,3K
R51,2 log 2,0 - 1
e λλ
Diagramme de Moody Attention, question d'examen final Voir feuille annexe harpe de Nikuradge
Hydraulique
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Formule de Strickler
J R K V 1/2H
2/3S ⋅⋅= pente de la ligne de charge J L
hR =
Rayon hydraulique mouille périmètre
section
Coefficient de Strickler [m1/3 / s] 30 < KS < 120 Vitesse moyenne de l'écoulement
ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!!
Rayon hydraulique
RH = mouillé périmètre
section
Pour une conduite circulaire : RH = 4D D π
1 4D π 2
=⋅⋅⋅
On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamètre équivalent = 4* RH. Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle.
Perte de charges singulières Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singulières) dues : changement de section brusque changement de direction brusque ou de pente vannes, grille, crépine problème de joints : environ 2 à 5% de hR
hS = g 2V
2
⋅ζ ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re
Réf. Bibliographique : Mémento des pertes de charges, éd. Eyrolles
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Calcul de réseaux (principe et technique)
Conduite entre 2 réservoirs
E.E.1-2 : g 2V g
P z g 2V g
P z 22
2212
11 ⋅+⋅+=⋅+⋅+ ρρ + hR
hR = z
D - W : hR = λ
ATTEN
=
Conduite crachant " à g
E.E.1-2 : P z1+ ρ
hR = 2
D - W : hR = λ
=
0
Page 39
H z - 21 ∆=
g 2V D
L 2
⋅⋅⋅
TION : la ligne de charge est
=
ueule bée "
2V g
P z g 2V g
2212
1 +⋅+=⋅+⋅ ρ
H g V2
2∆+⋅
g 2V D
L 2
⋅⋅⋅
0
= 0 = 0indépendante de la pente du tuyau !!!
g 2
2
⋅ + hR
0
= 0 = 0WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
g 2 2
2
⋅V
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Conduite en série
E.C. : Qi = cste E.E.1-2 : H z - z 21 ∆= = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2
h∑∑ +=∆i
Sii
Ri h h H S = ζg 2
V 2
⋅⋅
Techn que de résolut on par réitération i i
Recherche de hR
Q, L, D, K et ν connus
Rugosité rel. = DK Re = ν
D V ⋅ diagramme Moody : λ D – W : hR
Recherche de Q
hR, L, D, K et ν connus calcul de la rugosité rel. = DK
Choix deλ Vitesse V Re = νD V ⋅ diagramme Moody : ' λ ' λ = λ ?
avec ' λ si oui : stop si non
calcul de Q avec D – W : hR = S g 2
Q DL 2
2
⋅⋅⋅⋅λ
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Recherche de D
hR, L, K et ν connus DK = ? et Re = ν
D V ⋅ = ?
Technique : 1 D – W + E.C. = D 5
2 Re + E.C = Re et DK'
1 hR = S g 2
Q DL 2
2
⋅⋅⋅⋅λ
R2
25
h gQ L 8 D ⋅⋅⋅⋅⋅=
πλ
2 Re = νD V ⋅ = D
1 Q 4 ⋅⋅⋅νπ
Choix deλ 1 calcul D 2 calcul Re et DK' Moody : ' λ ' λ = λ ?
avec ' λ si oui : stop si non
Calcul de réseaux maillé
Conduite en parallèle Q = Q1 + Q2 A et B = noeuds
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff 1. pour un nœud : ∑ ∑= sortantentrant Q Q convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire. d'où : ∑ = 0 Q 2. pour une maille : la perte de charge est la même quel que soit l'itinéraire : hR (A-B) a) = hR (A-B) b) convention de signe pour un itinéraire complet (A A) : Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q d'où : ∑ = 0 Q
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Calcul d'une maille But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires
(1) hR = S g 2
Q DL 2
2
⋅⋅⋅⋅λ = (2) Q m 2⋅ Q m Q
hR ⋅=
Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb Répartition exacte : Qa' = Qa + ∆q Qb' = Qb - ∆q Avec cette répartion : ∑ = 0 'h R
Alors : ( ) ( ) 0 q - Q m - q Q m 2
bb2
aa =∆∆+ ( ) ( ) Q m Q m - . . . q Q m Q m q 2 b
2ba
2a
22bbaa ⋅+⋅=∆+⋅+⋅∆⋅
Avec (1) : Q m Q m
Q m - Q m - qbaa
ba2
a
⋅+⋅⋅⋅=∆
La formule :
q =∆
Exemple : Q = 200 l/s K = 0. L1 = 500 m D = 30 cm
Tronçon Q choisis [l/s] AB + 140 BA - 60
AB + 151.1 BA - 48.9
Contrôle : on calcule avec les nouveaux
= 0 car au carré devient très petit
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien Page 42 06.01.2004
21
b
b2
⋅ Avec (2) :
21
Qh Q
hh - h - q
bRb
aRa
RbRa ⋅+
=∆
Qh 2
h -
iRi
Ri
∑∑⋅
1 mm ν = 1.3*10-6 m3/s
L2 = 600 m D = 20 cm
hR [m] hR/Q q∆ [l/s] Q corrigé [l/s] + 5.54 0.0396 + 11.1 + 151.1 - 10.17 0.1695 + 11.1 - 48.9 - 4.63 0.2091 200.0
+ 6.37 0.0421 + 1.2 + 152.3 - 6.82 0.1395 + 1.2 - 47.7 - 0.45 0.1816 200.0
débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique.
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Cas de plusieurs mailles
Pour la maille 1 : terme correcteur de q1∆ Pour la maille 2 : terme correcteur de q2∆ ATTENTION tronçon commun AB affecte la maille 1 de - q2∆affecte la maille 2 de - q1∆ Voir exemple sur feuille annexe
Hydraulique des canaux (éc. En nappe libre)
Généralité
Définitions Il y a une surface de liquide avec un gaz (l’air à la pATM)
But de l’étude - relation entre forme des frontières, débit, ligne d’eau - transformation d’énergie potentiel / cinétique - particularités d’écoulement dues à des obstacles
Classification des fluides Ecoulement permanent : - écoulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne d’eau) = cste - écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous - ec. brusquement varié : ressaut hydraulique Ecoulement non permanent : - onde de transition - houle
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Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées)
Equation de continuité Q = V ⋅ S où S n’est plus donné par le profil entier mais par la section d’eau
Equation de conservation d’énergie Particule à la surface :
( z + t ) + 0 + g 2
V2
⋅ + hR = cste
hauteur pression cinétique perte de charge Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1) Particule dans le liquide :
( z + t’ ) + g
P ⋅ρ
+ g 2
V2
⋅ + hR = cste
= t’’ (idem, si R est très grand) or t’ + t’’ = t
( z + t ) + g 2
V2
⋅ + hR = cste = H où H est la charge hydraulique
Hydraulique
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Equation de quantité de mouvement (tjs valable)
)V - V( Q F 12ext ⋅⋅=∑ ρ équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler)
force de pesanteur P (poids)
= Fext force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
Ec. en charge Ec. en nappe libre
p = cste p = ⋅⋅ g ρ H Force de pression = p S Force de pression = p ⋅ G ⋅ S
Nombre de Froude : FR
gravité de Forceinertied' Force
= g masse
accél. masse⋅
⋅ =
g1
longêurvitesse2
⋅ = g1
LV2
⋅ =
g1
L SQ2
2
⋅⋅
= g1
L' L SL' Q
2
2
⋅⋅⋅
⋅ =
g1
SL' Q
3
2
⋅⋅
FR = g1
SB Q
3
2
⋅⋅
Hydraulique
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Ecoulement uniforme
Dans un lit prismatique (profil en travers constant) V = cste d’une section à l’autre E.C. S = cste t = cste
E.E. : charge H = cste 0 xH=
∂∂
H = z + t + g 2
V2
⋅ + hR
xH∂∂
= xz∂∂
+ xt
∂∂
+ x
)g 2
2V(
∂⋅
∂ +
xhR
∂∂
= 0
J = pente de la ligne de charge -Jo = pente du lit du canal = -Jo + 0 + 0 + J = 0 D’où Jo = J lit du canal Conclusion : les 3 lignes ligne d’eau sont parallèles. ligne de charge
Lois des pertes de charges : 1. Formule de Chézy :
HR J c V ⋅⋅= c = coefficient de Chézy [m1/2/s] 13 (rugueux) < c < 120 (lisse) V = vitesse moyenne de l’écoulement
RH = rayon hydraulique J = pente de la ligne de charge
RH = mouillépérimètre
Surface
Hydraulique
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2. Formule de Bazin Formule de Chezy + explication de « c »
c =
HR1
87γ
+ où γ dépend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) à 1.75 (rugeux))
3. Formule de Strickler RH : rayon hydraulique J : pente de la ligne de charge
J R K V 1/2H
2/3S ⋅⋅=
Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s]
J R S K Q 1/2H
2/3S ⋅⋅⋅=
rivière : 23 < Ks < 50 béton : 75 < Ks < 85
Profondeur normale Profondeur en écoulement uniforme : t0 Loi de Strickler : J R S K Q 1/2
H2/3
S ⋅⋅⋅= en éc. uniforme J = J0 = cste H
2/3R S ⋅ en fonction de la profondeur
Hydraulique
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Cas particulier :
a) canal rectangulaire, infiniment large RH = t2B
t B⋅+
⋅ = t où t2 ⋅ est négligé
J R S K Q 1/2
H2/3
S ⋅⋅⋅= J t t)(B K Q 1/22/3S ⋅⋅⋅⋅=
J t)(B K
Q t3/5
1/2S
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
=
b) canaux circulaire ou ovoïde (égouts) Q max = 1.6 * Q plein
Différents problèmes rencontrés - rugosité non uniforme
Formule d’Einstein : K pondéré =
KiPi
P
3/2⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑
- lit mineur / majeur Q = Q ∑ partiels
- lit avec méandres mais J0 Majeur ≠ J0 Mineur
Hydraulique
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Ecoulement graduellement var é i
Définition
- graduellement Lt
∂∂
est petit, donc perte de charge faible
- brusquement Lt
∂∂
est grand, donc perte de charge importante
Charge spécifique Hs
Hs = t + g 2
V2
⋅ = t + 2
2
S g 2Q⋅⋅
Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs » En fonction de t (Q = cste)
ED(f) : [ 0 , ∞ ] t 0 alors Hs ∞ t ∞ alors Hs ∞
Minimum lorsque 0 t
Hs=
∂∂
1 + 0ts
S2
g 2Q
3
2
=∂∂⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
⋅
B : largeur libre du canal 1 - 0 S gB Q3
2
=⋅⋅
Hydraulique
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3
2
S gB Q
⋅⋅
= nobre de Froude FR 1 - FR = 0
Donc un minimum pour : FR = 1 La valeur de « t » qui correspond à FR = 1 s’appelle : la profondeur critique « tCR »
Asymptote : t
Hs 1 pour t ∞ d’où asymptote de pente 1
Si « t » est petit ( < tCR ) Finertie > Fgravité FR > 1 : éc. torrentielle
FR = gravité de Forceinertied' Force
Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité FR < 1 : éc. fluvial Remarque : « tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks »
Valeur de tCR en canal rectiligne
FR = 1 33CR
2
B t gB Q⋅⋅⋅
= 1 = 3CRt 2
2
B gQ⋅
= CRt 32
2
B gQ⋅
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Courbes de remous
Équations fondamentales
E.E1-2 = Jo + t + L∂⋅g 2
V2
⋅ = t + t∂ +
g 2V2
⋅ + ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂g 2
V2
+ J L∂⋅
(Jo - J) = + L∂⋅ t∂ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂g 2
V2
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+∂g 2
Vt 2
= E∂
énergie α θ
LE∂∂
= (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés
Equations différentielles dans un canal prismatique Hyp. : - canal long (l’écoulement graduellement variés peut s’établir) - l’écoulement est sensiblement rectiligne et // - les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne - les pente J et J0 sont faible sinα = tgα = J , cosα = 1 sinθ = tgθ = J0 , cosθ = 1
(Jo - J) = LE∂∂
(Jo - J) = Lt
tE
∂∂
⋅∂∂
Lt
∂∂
= R
0
F1JJ
−−
ou Lt
∂∂
= J0 R
0
F1JJ1
−
−⋅
Hydraulique
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Etude qualitative et classification des lignes d’eau
a) rappel : Si FR > 1 t < tCR éc. torrentielle Si FR < 1 t > tCR éc. fluvial b) Si t > t0 J < J0 Si t < t0 J > J0 c) définitions : t0 > tCR le canal est une rivière t0 < tCR le canal est un torrent d) convention de signe J0 > 0 (positif) pour un canal descendant e) conditions aux limites
t t0 , J J0 alors : Lt
∂∂
0 profondeur normal est 1 asymptote
t tCR , FR 1 alors : Lt
∂∂
∞ tangente verticale pour la profondeur critique
t ∞ , FR 0 , J 0 alors : Lt
∂∂
J0
t = tCR alors : Lt
∂∂
= J0
Illustrations en rivière
Hydraulique
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Illustrations en torrent
Hydraulique
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Sch
éma
A
ppel
ab
régé
F-1
Impo
ssib
le
F-
2 F-
3
T-1
T-2
Impo
ssib
le
T-
3
C-1
C-3
H-2
H-3
A-2
A-3
Type
de
rem
ous
Exh
auss
emen
t
Aba
isse
men
t
Exh
auss
emen
t
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auss
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