Variables aléatoires -...

Variables aléatoires

Université Paris IX Dauphine

(Dauphine - LSO) Chapitre 2 1 / 60

Introduction

Chapitre précédent : expérience aléatoire

or, le plus intéressant n'est pas le résultat de l'expérience aléatoire

le résultat dérivé de cette expérience est plus intéressant :

Valeur de la variable aléatoire


Dénition

Soit une expérience aléatoire E . Une variable aléatoire réelle X est uncaractère quantitatif, discret ou continu, dont la valeur est fonction durésultat de l'expérience :X : Ω→ E

ω → X (ω) = xoù E est l'ensemble des valeurs possibles de X

X (Ω) regroupe l'ensemble des valeurs prises par X

Lorsque X est une variable discrète, la séquence d'évènements forme une partitionde Ω.


Exemple 1

Jeu de hasard : vous gagnez 1 euro si le chire est pair et vous perdez1 euro si il est impair.

l'expérience aléatoire est le lancer de dé,

la variable aléatoire est X telle que : X (ω) =

1 si ω est pair−1 si ω est impair

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6X = −1 = 1, 3, 5 ∈P(Ω)X = 1 = 2, 4, 6 ∈P(Ω)X ∈ −1; 1 = X = −1 ouX = 1 = Ω ∈P(Ω)X ∈ ∅ = ∅ ∈P(Ω)


Exemple 1

Soit la fonction X de Ω dans −1; 1

Elle peut être représentée comme suit :

ω 1 2 3 4 5 6

X (ω) -1 1 -1 1 -1 1

X (ω) correspond au gain du joueur (en fonction du résultat del'expérience)

X (ω) est donc une variable aléatoire bien que, pour toute valeur de ω,X (ω) est parfaitement déterminée.


Exemple 2

Soit l'expérience aléatoire correspondant à la réalisation de laconjoncture économique une certaine année.

Les deux états de la nature possibles sont "croissance" et "récession"et ils sont équiprobables. Un investisseur détient un actif nancier quivaudra 100 euros en cas de croissance et 0 euros en cas de récession.

Soit une variable aléatoire Y représentant la valeur de l'actif nancier:

Y (ω) =

100 si croissance0 si récession

Ω = croissance, récessionY = 100 = croissanceY = 0 = récession


Variables aléatoires discrètes

Section

1 Variables aléatoires discrètes

2 Variables aléatoires continues

3 Lois usuelles

4 Lois usuelles discrètes

5 Lois usuelles continues

6 Approximations

7 Variables aléatoires à 2 dimensions




X prend ses valeurs dans un ensemble E discret de valeurs réelles (c'estle cas dans les exemples précédents)

Loi de probabilité : PX (x) = P(X = x), x ∈ E

Propriétés:

0 ≤ PX (x) ≤ 1∑x∈E

PX (x) = 1



Variables aléatoires discrètes (2)

La loi de probabilité donne donc la probabilité pour que la variablealéatoire prenne chacune de ses valeurs possibles.

Dans notre premier exemple (X vaut 1 si le lancer d'un dé non pipé estpair, X vaut -1 sinon), la loi de X est donnée par:

PX (−1) = P(X = −1) = P(ω ∈ 1, 3, 5) = 1/2PX (1) = P(X = 1) = P(ω ∈ 2, 4, 6) = 1/2

Dans notre deuxième exemple, la loi de Y est donnée par:

PY (0) = P(Y = 0) = P(récession) = 1/2PY (100) = P(Y = 100) = P(croissance) = 1/2



Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète

Dénition:F : R→ [0, 1]

x → P(X ≤ x)

Cas d'une variable aléatoire discrète :

F aura la forme d'un escalier

Propriétés :

limx→∞

F (x) = 1, limx→−∞

F (x) = 0

F est continue à droite : ∀x ∈ R, limh→0+

F (x + h) = F (x)

F est croissante sur R



Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète (2)

Propriétés (suite) :

F (x) =∑

y≤x,y∈EPX (y)

P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

P(X > x) = 1− F (x)

∀x ∈ R,P(X = x) = F (x)− limh→0+ F (t − h)


Variables aléatoires continues

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations





Quand une variable aléatoire est continue, elle peut prendre uneinnité de valeurs et la probabilité pour qu'elle soit égale à une valeurparticulière est nulle: P(X=x)=0

On s'intéresse alors à la probabilité pour que X prenne ses valeurs dansun intervalle I

On parle alors de densité de probabilité, notée f(x)



Propriétés de f(x)

f (x) ≥ 0∫Rf (x)dx = 1

∀B ⊂ R, pX (B) =∫Bf (x)dx

Ces propriétés sont à rapprocher de celles de la loi de probabilité d'unevariable aléatoire discrète.



Fonction de répartition d'une variable aléatoire continue

La fonction de répartition F (x) est donnée par :

F (x) = PX [(−∞, x)] = P(X ≤ x) =∫ x−∞ f (t)dt

soit l'aire sous la courbe de densité avant x

f (x) =

F ′(x) si F est dérivable au point x0 sinon

Si F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue,alors:

limx→∞

F (x) = 1, limx→−∞

F (x) = 0

F est continue sur R: ∀x ∈ R, limh→0+

F (x − h) = limh→0+

F (x + h) = F (x)

F est croissante sur R



Fonction de répartition d'une variable aléatoire continue (2)

P(a ≤ x < b) = P(a ≤ x ≤ b) = F (b)− F (a) =∫ baf (x)dx

P(X > x) = P(X ≥ x) = 1− F (x) =∫∞x

f (t)dt

Comme la densité ne permet pas de calculer de probabilité ponctuelle(car P(X=x)=0), on se sert de la fonction de répartition pour calculerles probabilités (pour que la variable aléatoire appartienne à un certainintervalle)



De la densité à la fonction de répartition



Espérance d'une variable aléatoire discrète

E (X ) =∑

x∈E xpX (x)

Espérance de Y=g(X) : E (Y ) =∑

x∈E g(x)pX (x)

Propriétés (valables également pour les variables aléatoires continues) :

E (a) = a

E (aX ) = aE (X )E (aX + b) = aE (X ) + b

E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y )E [X − E [X ]] = 0



Espérance d'une variable aléatoire continue

E (X ) =∫R xf (x)dx

Espérance de Y=g(X): E (Y ) =∫R g(x)f (x)dx

On voit bien l'analogie avec les formules correspondantes pour unevariable aléatoire discrète



Variance d'une variable aléatoire

V (X ) = σ2X = E ((X − E (X ))2)

Si X est continue, on a V (X ) =∫ +∞−∞ [x − E [X ]]2f (x)dx

σX =√V (X )

Propriétés:

V (X ) = E (X 2)− E (X )2 avec E [X 2] =∫ +∞−∞ x2f (x)dx si X continue

V (X + a) = V (X )V (aX + b) = a2V (X )V (X ) ≥ 0σX ≥ 0



Paramètres d'une loi de probabilité

L'espérance et la variance sont des paramètres d'une loi de probabilité

Ils permettent de "nous faire une idée" de ce à quoi ressemble une distribution

Exemple: On vous parle d'un actif nancier dont le rendement (et donc le coursfutur) est aléatoire

Avant de prendre la décision d'investir ou non, vous allez sans doute demanderquelle est son espérance de rentabilité l'an prochain

Cependant, un deuxième élément crucial est la variance de son rendement car deuxactifs dont le rendement espéré est de 10% sont très diérents si le rendement dupremier peut varier entre -20% et 40% alors que le rendement du second seracompris entre 5% et 15%. La variance vous informe sur le risque de l'actif.

Pour vous donner une idée de ce que sera le rendement de votre actif l'an prochainvous vous appuierez sur les observations des rendements des dernières années etvous intéresserez aux paramètres de tendance centrale (moyenne, mediane, mode)et de dispersion (variance, quantiles)


Lois usuelles

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations



Lois usuelles

Lois usuelles

Pour se faire une idée plus précise d'une distribution qu'en se reposantseulement sur des paramètres de tendance centrale et de dispersion, ons'intéresse à des modèles théoriques ou lois usuelles qui, pour unevaleur de x, nous donnent une valeur proche de la réalité de f(x) et F(x)

Si on s'aperçoit par exemple que la distribution du rendement de notreactif nancier ressemble à une distribution Normale (décrite plus loin),on pourra à l'aide de la formule théorique de cette loi de probabilité,calculer la probabilité pour que le rendement de notre actif soitsupérieur à 5%, compris entre -2% et 3%...


Lois usuelles discrètes

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations




Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est un schéma où on ne considère que 2possibilités: le succès (valeur 1) et l'échec (valeur 0)

Support X (Ω) = 0, 1P(X = k) = pk(1− p)1−k Autrement dit, P(X = 1) = p etP(X = 0) = 1− p

E (X ) = p

V (X ) = p(1− p)

Application: tirage à pile ou face, on vous donne 1 euro si pile, 0 siface. X est le gain lors de ce jeu. X suit une loi de Bernouilli avecp=1/2.



Loi Binomiale

Support X (Ω) = 0, ..., nP(X = k) = C k

n pk(1− p)n−k

E (X ) = np

V (X ) = np(1− p)

Si X1,X2, ...,Xn sont n variables aléatoires qui suivent chacune une loide Bernouilli de paramètre p, leur somme S suit une loi binomiale deparamètres n et p

S représente donc le nombre de succès.

Exemple: on tire n fois de suite à pile ou face. Xi est égale à 1 si leième tirage donne pile. S représente le nombre de tirage ayant donné lerésultat "pile". S prendra nécessairement une valeur entre 0 et n.



Loi de Poisson

Support X (Ω) = NP(X = k) = e−λ λ

k

k!

E (X ) = λ

V (X ) = λ

Concrètement:

Sur une période T, un événement aléatoire arrive en moyenne λ foisX est la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l'événementse produit pendant la période T. X prend donc des valeurs entières 0, 1,2,...X suit alors une loi de Poisson de paramètre λOn appelle souvent la loi de Poisson "loi des événements rares"



Loi Géométrique

Support X (Ω) = N∗P(X = k) = (1− p)k−1p

E (X ) = 1p

V (X ) = 1−pp2

La loi géométrique est la loi de la variable aléatoire "Lors d'unesuccession d'épreuves de Bernoulli, le premier succès est au nèmeessai". Ce premier succès est donc précédé de n-1 échecs.



Loi Hypergéométrique

Support X (Ω) = 0, ..., n

P(X = k) =CkNp

Cn−kN(1−p)

CnN

E (X ) = np

V (X ) = N−nN−1np(1− p)

Concrètement: On pratique un tirage de n boules dans une urnecontenant A boules sans remise et non ordonné. Dans cette urne, oncompte une proportion p de boules gagnantes (pA boules gagnantes)et q de boules perdantes (qA boules perdantes). Le nombre de boulesgagnantes parmi les n boules tirées est une variable aléatoire suivantune loi hypergéométrique.


Lois usuelles continues

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations




Loi uniforme

Densité:

1

b−a si x ∈]a, b[

0 sinon

Fonction de répartition:

0 si x ≤ ax−ab−a si x ∈]a, b[

1 si x ≥ b

E (X ) = b+a2

V (X ) = (b−a)212



Loi exponentielle

Densité:

λe−λx si x > 00 sinon

Fonction de répartition:

1− e−λx si x > 00 sinon

E (X ) = 1λ

V (X ) = 1λ2



Loi normale

Densité: 1√2πσ2

e− 1

2σ2(x−m)2

Fonction de répartition: non explicite (ne s'exprime pas à partir defonctions usuelles)

E (X ) = m

V (X ) = σ2



Loi normale (2)

La densité d'une loi normale prend la forme de la célèbre "courbe encloche" de Gauss

La cloche est centrée sur m et d'autant plus "étalée" que σ2 est élevé

La distribution normale est une distribution théorique, c'est-à-dire une"idéalisation mathématique" qui ne se rencontre jamais exactementdans la nature.

Cependant, de nombreuses distributions réellement observées s'enrapprochent et ont cette forme de "cloche" (beaucoup d'individusautour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu'on s'enéloigne, et ceci de façon symétrique).



Loi normale (3)

C'est la forme que l'on peut observer en statistiques quand onconstruit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombrede données:

Les tailles des individus d'une populationLeur QILes notes du bac...



Loi normale (4)

La loi normale centrée réduite (N (0; 1)) est celle dont l'espérancevaut 0 (centrée) et l'écart-type vaut 1 (réduite)

Sa densité est: f (x) = 1√2πe−

x2

2

Dans les applications concrètes, on se ramène à la table de probabilitésde cette loi centrée réduite.

Concrètement si X → N (m, σ) alors, T = X−mσ → N (0, 1)

On va voir dans la section suivante que la loi normale permetd'approximer beaucoup d'autres lois de probabilités


Approximations

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations



Approximations

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d'avoir unnombre donné k de succès sur un certain nombre n d'essaisindépendants.

Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d'avoir k "succès"pendant une période T avec un taux de succès λ

On peut prouver que limn→∞ C kn p

k(1− p)n−k = e−λ λk

k! avec p = λn


Approximations

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson (2)

Théorème: Pour n assez grand (>30) et p susamment proche de 0(≤ 0, 1) tels que np(1-p)<10, on peut approcher la loi binomialeB(n, p) par une loi de Poisson P(λ) où λ = np

On a alors P(X = k) ≈ e−λ λk

k!

Donc quand la probabilité de succès devient un taux (p = λn) appliqué

à un continuum d'épreuves de Bernoulli (n très grand), le processusbinomial s'approche d'une loi de Poisson


Approximations

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson (3)

Pour vous en convaincre, considérez un candidat très peu populaire(2% d'intentions de vote) à une élection qui appelle n personnes auhasard pour savoir s'ils pensent voter pour lui

La variable aléatoire X représentant le nombre de personnes appeléesqui ont l'intention de voter pour ce candidat suit une loi binomiale deparamètre (n;0.02)

Considérons n assez grand, par exemple égal à 100, la probabilité pourqu'aucune personne que le candidat aura au téléphone ne soit un deses électeurs sera: P(X = 0) = 0.98100

Cette probabilité sera très proche de la probabilité pour qu'une variablealéatoire Y suivant une loi de Poisson de paramètreλ = np = 100 ∗ 0.02 = 2 soit aussi égale à 0:P(Y = 0) = 20

0! e−2 = e−2


Approximations

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Il faut que les 2 conditions suivantes soient respectées:

n>5∣∣∣∣√ p1−p −

√1−pp

∣∣∣∣ 1√n< 0.3

On peut alors faire l'approximation que la variable aléatoire suit une loinormale de paramètres x = np et σ =

√np(1− p)


Approximations

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale (2)


Approximations

Approximation d'une de Poisson par une loi Normale

Condition: λ > 20

On peut alors faire l'approximation que la variable aléatoire suit une loinormale de paramètres x = λ et σ =

√λ


Approximations

Théorème de la limite centrale

Si X1,X2, ...,Xn sont n variables aléatoires indépendantes suivant une mêmeloi de probabilité de paramètres connus (mais pas forcément égaux):x1, x2, ..., xn et σ1, σ2, ..., σn; la variable aléatoire Y dénie comme la sommede ces n v.a indépendantes tend à suivre une loi Normale dès que n est grand:Y =

∑n

i=1Xi où Xi suivent quel que soit i, le même type de loi et n>30,

Y → N (m, σ), avec m =∑n

i=1xi et σ

2 =∑n

i=1σ2i

Cela explique pourquoi on dit de la loi normale qu'elle représente bien desvariables inuencées par un grand nombre de causes indépendantes quandchacune de ces causes prise séparément joue un rôle négligeable sur ladétermination de la valeur de la variable (taille à l'âge adulte, note au bac...)


Variables aléatoires à 2 dimensions

Section



3 Lois usuelles



6 Approximations




Variables aléatoire à 2 dimensions

Il existe une relation entre X et Y si l'attribution des modalités de X etde Y ne se fait pas au hasard, c'est à dire si les valeurs de X dépendentdes valeurs de Y ou si les valeurs de Y dépendent des valeurs de X.

Dire que Y dépend de X signie que connaître les valeurs de X permetde prédire, dans une certaine mesure, les valeurs de Y

Exemple: On peut se poser la question de l'inuence de la croissancedu PIB sur le cours de la bourse. La variable X modélisera le PIB et lavariable Y le cours de bourse.



Variables aléatoire à 2 dimensions

Quand on parle de relation entre 2 variables aléatoires on peuts'interroger sur: l'intensité de la relation, la forme de la relation, lesens de la relation

intensité: une relation est forte si xi proche de xj ⇒ yi proche de yj(graphiquement, le nuage de points est proche de la droite ou de lacourbe modélisant la relation)forme: linéaire, parabole, hyperbole... monotone ou nonsens: les caractèrent varient-ils dans le même sens (a-t-on en général:xi > xj ⇒ yi > yj?



Loi jointe d'un couple aléatoire discret

Valeurs prises par X: X (Ω) = xi , i ∈ IValeurs prises par Y: Y (Ω) = yj , j ∈ JProbabilités jointes: ∀i ∈ I , ∀j ∈ J,P(X = xi ,Y = yj)

On a:∑

i∈I∑

j∈J P(X = xi ,Y = yj) = 1

Dans le cas où les variables sont discrètes et prennent un petit nombrede valeurs, on écrit en général la loi du couple sous forme de tableau



Loi jointe d'un couple aléatoire discret

Exemple dans le cas où X peut prendre 3 valeurs possibles et Y peut enprendre 2:

X = x1 X = x2 X = x3Y = y1 P(X = x1,Y = y1) P(X = x2,Y = y1) P(X = x3,Y = y1)Y = y2 P(X = x1,Y = y2) P(X = x2,Y = y2) P(X = x3,Y = y2)



Loi jointe d'un couple aléatoire continu

Densité de probabilité sur R2; càd application h(x , y) de R2 dans Rtelle que:

∀x ∈ R,∀y ∈ R, h(x , y) ≥ 0∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ h(x , y)dxdy = 1

On appelle Domaine de h noté D le sous-ensemble de R2 déni par:D = (x , y) ∈ R2 : h(x , y) 6= 0intuition: le domaine de h est l'ensemble des valeurs du couple (X,Y)qui ont une probabilité d'occurence non nulle

On peut écrire D à x xé (DX ) ou à y xé (DY ):

DX = (x , y) ∈ R2 : x ∈]a, b[, y ∈]c(x), d(x)[DY = (x , y) ∈ R2 : y ∈]c, d [, x ∈]a(y), b(y)[



Lois marginales pour un couple aléatoire discret

Loi marginale de X:

X (Ω) = xi , i ∈ I∀i ∈ I ,P(X = xi ) =

∑j∈J P(X = xi ,Y = yj)

Loi marginale de Y:

Y (Ω) = yj , j ∈ J∀j ∈ J,P(Y = yj) =

∑i∈I P(X = xi ,Y = yj)

Si on reprend la présentation en tableau de la loi jointe de (X,Y), la loimarginale de X est obtenue en faisant, pour chaque colonne la sommedes lignes et la loi marginale de Y en faisant pour chaque ligne, lasomme des colonnes.



Lois marginales pour un couple aléatoire discret

Exemple dans le cas où X peut prendre 3 valeurs possibles et Y peut enprendre 2:

X = x1 X = x2 X = x3 loi marg Y

Y = y1 P(X = x1,Y = y1) P(X = x2,Y = y1) P(X = x3,Y = y1) P(Y = y1)Y = y2 P(X = x1,Y = y2) P(X = x2,Y = y2) P(X = x3,Y = y2) P(Y = y2)Loi marg X P(X = x1) P(X = x2) P(X = x3) 1



Densités marginales pou un couple aléatoire continu

Densité marginale de X:

f (x) =∫R h(x , y)dy

Avec D sous la forme DX : f (x) =

∫ d(x)c(x)

h(x , y)dy si x ∈]a, b[

0 si x /∈]a, b[

Densité marginale de Y:

g(y) =∫R h(x , y)dx

Avec D sous la forme DY : g(y) =

∫ b(y)a(y)

h(x , y)dx si y ∈]c, d [

0 si y /∈]c, d [

Attention! A partir des lois marginales, on ne peut pas connaître la loidu couple.



Fonction de répartition d'un couple de variables aléatoires(X,Y)

Pour un couple aléatoire discret:F(X ,Y ) : R× R→ [0, 1]

(x , y)→ P(X ≤ x ,Y ≤ y)

Pour un couple aléatoire continu:F(X ,Y )(x , y) =

∫ x−∞

∫ y−∞ h(X ,Y )(u, v)dudv



E [φ(X ,Y )],Cov(X ,Y )et coecient de corrélation linéaire

E [φ(X ,Y )]avecφ(X ,Y ) : R2 → R:Cas discret: E [φ(X ,Y )] =

∑i∈I∑

j∈J φ(xi , yj)P(X = xi ,Y = yj)

Cas continu:∫R∫R φ(x , y)h(c, y)dxdy

La covariance permet d'estimer la dépendance entre deux variablesaléatoires

Cov(X ,Y ) = E (XY )− E (X )E (Y )



Coecient de corrélation linéaire

ρ(X ,Y ) = cov(X ,Y )√V (X )V (Y )

: On a toujours ρ(X ,Y ) ∈ [−1, 1]

interprétation:

si ρ est proche de 0, il n'y a pas de relation linéaire entre X et Ysi ρ est proche de -1, il existe une forte relation linéaire négative entreX et Ysi ρ est proche de 1, il existe une forte relation linéaire positive entre Xet YLe signe de ρ indique donc le sens de la relation tandis que la valeurabsolue de ρ indique l'intensité de la relation c'est-à-dire la capacité àprédire les valeurs de Y en fonctions de celles de XAttention!

un ρ nul ne signie pas qu'il n'éxiste pas de relation entre X et Y. Parex, si X et Y sont liés par une relation non linéaire "en U", on peuttrouver ρ = 0une corrélation n'implique pas nécessairement une causalité



E [φ(X ,Y )],Cov(X ,Y ),E (XY )...

V (αX + βY ) = α2V (X ) + β2V (Y ) + 2αβcov(X ,Y )

E [XY ]:

Cas discret: E [XY ] =∑

i∈I∑

j∈J xiyjP(X = xi ,Y = yj)

Cas continu: E [XY ] =∫R∫R xyh(x , y)dxdy



Indépendance de X et de Y

Pour un couple aléatoire discret (X,Y):X et Y sont indépendantes⇐⇒ ∀i ∈ I , ∀j ∈ J,P(X = xi ,Y = yj) = P(X = xi )P(Y = yj)

Pour un couple aléatoire continu (X,Y):X et Y sont indépendantes ⇐⇒ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, h(x , y) = f (x)g(y)



Caractérisation de la non-indépendance de X et de Y

Pour un couple aléatoire discret (X,Y):X et Y ne sont pas indépendantes⇐⇒ ∃i ∈ I , ∃j ∈ J,P(X = xi ,Y = yj) 6= P(X = xi )P(Y = yj)

Pour un couple aléatoire continu (X,Y):X et Y sont indépendantes ⇐⇒ ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, h(x , y) 6= f (x)g(y)



Conséquences de l'indépendance sur la covariance

Pour un couple discret ou continu, (X,Y):X et Y sont indépendantes ⇒ cov(X ,Y ) = 0

Attention, la réciproque est fausse!


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