Analyse et Filtrage des Signaux numériques_chap1+chap2+chap3+TPn_3_2013

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014) F.E.I., U.S.T.H.B. 1 Partie I : Analyse temporelle et fréquentielle des signaux numériques I. Introduction et rappels divers (1,5 Séance) - Notion de traitement du signal - Classification des signaux - Rappels sur la TF - Rappels sur l’échantillonnage - Systèmes analogiques – systèmes numériques - Signaux déterministes discrets usuels II. Analyse temporelle des SLID (1,5 Séance) - Systèmes linéaires et invariants discrets - Stabilité, causalité - Energie et puissance - Corrélation et autocorrélation III. Analyse fréquentielle des SLID (2,5 Séances) - Notion de fréquence - TF des signaux numériques - Lien entre TF des signaux échantillonnés et TFD - Propriétés principales de la TFD - TF tronquée et Fenêtres de pondération

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Partie I : Analyse temporelle et fréquentielle des signaux numériques

I. Introduction et rappels divers (1,5 Séance)

- Notion de traitement du signal

- Classification des signaux

- Rappels sur la TF

- Rappels sur l’échantillonnage

- Systèmes analogiques – systèmes numériques

- Signaux déterministes discrets usuels

II. Analyse temporelle des SLID (1,5 Séance)

- Systèmes linéaires et invariants discrets

- Stabilité, causalité

- Energie et puissance

- Corrélation et autocorrélation

III. Analyse fréquentielle des SLID (2,5 Séances)

- Notion de fréquence

- TF des signaux numériques

- Lien entre TF des signaux échantillonnés et TFD

- Propriétés principales de la TFD

- TF tronquée et Fenêtres de pondération

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Partie II : Filtrage des signaux numériques

IV. Transformée en Z (2,5 Séances)

- TZ et Notion de convergence

- Propriétés de la TZ

- TZ inverse

- Fonction de transfert

V. Filtres numériques RIF (2 Séances)

- Etude des filtres RIF

- Synthèse des filtres RIF par la méthode des fenêtres

- Synthèse des filtres RIF par la méthode de l’échantillonnage fréquentiel

- Constitution et réalisation de filtres RIF

VI. Filtres numériques RII (2 Séances)

- Etude des filtres RII

- Synthèse des filtres RII par la méthode de la réponse impulsionnelle

- Synthèse des filtres RII par la méthode des pôles et des zéros

- Synthèse des filtres RII par la méthode de la transformation bilinéaire

- Constitution et réalisation de filtres numériques

Travaux Pratiques

1. Analyse temporelle (Corrélation, convolution, énergie, puissance)

2. Analyse fréquentielle (TFD et propriétés)

3. Fenêtrage (Hanning, Blackman, etc.)

4. Transformée en Z et propriétés

5. Conception de filtres numériques RIF

6. Conception de filtres numériques RII

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I. Introduction et rappels divers

Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire.

Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant,

tension, force, température, pression, etc.). Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du

temps x(t) obtenues à l’aide de capteurs. Sur le plan analytique : Un signal sera une fonction d'une variable

réelle, en général le TEMPS.

Exemples :

Onde acoustique : courant délivré par un microphone (parole, musique, …)

Signaux biologiques : EEG, ECG

Tension aux bornes d'un condensateur en charge

Signaux géophysiques : vibrations sismiques

Finances : cours de la bourse

Images, Vidéos

Tout signal physique comporte une composante aléatoire (perturbation externe, bruit, erreur de mesure,

etc …). Le bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un

signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit de fond, etc.). La différentiation entre le

signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intérêt de l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine

galactique sont du bruit pour un ingénieur des télécommunications par satellites et un signal pour les

radioastronomes.

1. Notion de traitement du signal

La théorie du signal a pour objectif fondamental la "description mathématique" des signaux. Cette

représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales caractéristiques (distribution

fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de

ces signaux.

Le traitement du signal est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique,

de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux. Son

champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou

l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux.

Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : l’élaboration des signaux

(incorporation des informations) et l’interprétation des signaux (extraction des informations). Les principales

fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :

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Élaboration des signaux

– synthèse (voix synthétique, image de synthèse, etc.)

– création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux

élémentaires.

– modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques

fréquentielles d’une voie de transmission.

– codage/compression : traduction en code binaire (quantification), compression (Jpeg, mp3, mpeg4, etc.)

Interprétation des signaux

– filtrage : élimination de certaines composantes indésirables (Détection de craquements sur un

enregistrement, détection de bruit sur une image, annulation d'écho, etc.)

– détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation)

– identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies ((identification d'une

pathologie sur un signal ECG, reconnaissance de la parole, etc.)

– analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe (transformée de

Fourier)

– mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance (valeur

moyenne, etc.)

Schéma d'un système de génération et de traitement du signal

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Classification des signaux

Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification peuvent être envisagés :

– représentation temporelle des signaux (Description énergétique)

– représentation spectrale pour laquelle le signal est classé par le domaine de variation de la fréquence

moyenne Df .

– les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement

décrite par un modèle mathématique. Quant aux signaux aléatoires (ou probabilistes), ils ont un

comportement temporel imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d’observations

statistiques.

– caractéristique morphologique (signal continu ou discret). Le temps est un paramètre important de

classification. Le traitement numérique des signaux conduit à faire la distinction entre les signaux dits à temps

continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés).

Un autre paramètre des signaux traités est à prendre en compte, c’est l’amplitude qui peut aussi être

continue ou discrète (quantifiée). Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un système

numérique de contrôle d’un processus physique, peuvent être distinguées :

– signal à amplitude et temps continus (signal analogique) : s(t)

– signal à amplitude discrète et temps continu (signal quantifié) : Sq(t). Ce signal correspond à celui qui

est fourni à la sortie d’un circuit convertisseur numérique analogique pour la commande d’un actionneur

– signal à amplitude continue et temps discret (signal échantillonné) : s(nTe). Ce signal, obtenu à l’aide

d’un circuit échantillonneur bloqueur, est transmis à un circuit convertisseur analogique numérique pour

obtenir un signal numérique utilisable par un ordinateur

– signal à amplitude discrète et temps discret (signal logique ou numérique) : sq(nTe). Ce dernier cas

correspond en réalité à une suite de nombres codés en binaire. Ces nombres, utilisés au sein d’un ordinateur,

se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type numérique 0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se

propageant en parallèle : 8 signaux pour un nombre codé sur 8 bits.

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Les notes d’un élève sont un signal à TD par nature, alors qu’une température mesurée périodiquement

est un signal à TD par échantillonnage.

Ainsi, la numérisation d’un signal est l’opération qui consiste à faire passer un signal de la représentation

dans le domaine des temps et des amplitudes continus au domaine des temps et des amplitudes discrets. Cette

opération de numérisation d’un signal peut être décomposée en deux étapes principales : échantillonnage et

quantification. La restitution (ou l’interpolation) constitue le processus inverse qui intervient lors du passage

du signal numérique au signal analogique : commande d’un actionneur. Ces trois étapes sont indissociables.

En effet, le signal, étant le support physique d’une information, doit conserver au cours de ces modifications

tout le contenu informatif initial. Cette condition, ajoutée à la notion de coût limite d’un système, va être à la

base de la numérisation des signaux et de l’étude du traitement numérique.

2. Rappels sur la Transformée de Fourier

Signaux à énergie finie

La transformée de Fourier est une technique mathématique permettant de déterminer le spectre de

fréquences d'un signal (par exemple un son). La transformation de Fourier correspond à un changement de

base dans l'espace des fonctions de carré sommable. La définition mathématique est la suivante :

x(t) et X(f) sont deux descriptions équivalentes du même signal. La transformée de FOURIER existe si les

trois conditions de DIRICHLET sont vérifiées:

- x(t) possède un nombre fini de discontinuités sur tout intervalle fini,

- x(t) possède un nombre fini de maxima et de minima sur tout intervalle fini,

- x(t) est absolument intégrable, c’est-à-dire : existe

Ainsi, tous les signaux à énergie finie possède une transformée de Fourier. Cette dernière est une

fonction complexe même si x(t) est réel, elle pourra être exprimée sous la forme:

( ) dttx∫+∞

∞−

{ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

)(

21

2.

dfefXfXTFtx

dtetxfXtxTF

tfj

tfj

∫∞+

∞−

+∞

∞−

==

==

π

π

( )

)(

)())(arg(

)()( 22

==

+=

fA

fBarctgfX

fBfAfX

ϕ

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Où X(f) et ϕ sont respectivement le module et la phase de X(f) :

o X(f) = fonction réel ⇔ x(t) est paire

o X(f) = fonction imaginaire pure ⇔ x(t) est impaire

Exemples

Remarques :

- La propriété de changement d'échelle indique que plus le support temporel d'une fonction est étroit

plus le support de sa TF est large.

- La translation d'un signal temporel se traduit par un déphasage en fréquence. Une translation en

fréquence équivaut à une modulation temporelle.

- La propriété de dualité permet d’obtenir facilement de nouvelles paires de transformées de FOURIER à

partir des paires déjà connues.

- La TF d'un signal périodique est divergente, mais on peut définir une TF au sens des distributions en

utilisant la décomposition en Série de Fourier. Le résultat correspond à un spectre de raies (non continu). Lien

entre série de Fourier et TF

sachant que:

( ) ( )

=

−=

∫∞+

∞−

)2exp()(1

2.

0

2/

2/

dtetxfX

dttjnftxT

C

tfj

T

T

n

π

π alors

+∞→=

TnCTfX ).lim()(

Pour les signaux à énergie finie, la TF conserve l'énergie (relation de Parseval) :

On peut donc définir une notion d'énergie par unité de fréquence, la densité spectrale d'énergie (DSE). La

DES est la TF de l'autocorrélation (Thèorème de Wiener-Kintchine

On remarque que la DES est indépendante de la phase, donc elle est insensible à tout retard. Pour les

signaux à puissance moyenne finie, on définit alors une densité spectrale de puissance (DSP):

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ss

x dffXdttxE22

)()(

∫+∞

∞−

−==s

fjxx deRfXfS ττ τπ22

)()()(

T

fXfP

Tx

2)(

)( lim∞→

=

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Principales propriétés de la TF

o Linéarité : )()()()( 2121 fbXfaXtbxtax TF +→+

o Décalage temporel : 020 )()( tfjTF efXttx π−→−

o Décalage fréquentiel : )()( 002 ffXetx TFtfj −→π (MA)

o Dualité temps-fréq : )()()()( fxtXfXtx TFTF −→⇒→

o Changement d'échelle : )/(1

)( afXa

atx TF→

o Dérivation : )()2()(

fXfjdt

txd nTF

n

n

π→

o Inversion et conjugaison : )()(

)()(** fXtx

fXtxTF

TF

−→

−→−

o Convolution : )().()()( fHfXthtx TF→∗

TF au sens des distributions

Pour les signaux à puissance moyenne finie (Dirac, Echellon,

signaux périodiques, etc.), on peut définir une TF au sens des

distributions.

o Dirac : 020 )( tfjTF ett πδ −→− ⇒ 1)( →TFtδ

o Echelon et signe: jf

fSgnfjf

tU TF

πδ

π1

)()(2

1

2

1)( =+→

o Périodiques : ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−→n

nTF

nn nffCtjnfC )()2exp( 00 δπ

o Peigne de Dirac : ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=→−n

TF

n

nffT

fXnTt )(1

)()( 0δδ

o )(2

1)(

2

1)2cos( 000 fffftf TF ++−→ δδπ

o )(2

1)(

2

1)2sin( 000 ff

jff

jtf TF +−−→ δδπ

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3. Quelques rappels sur l’échantillonnage

L’échantillonnage est un élément important en traitement numérique de signaux - il constitue la

première opération à effectuer lors d’une conversion analogique à numérique (A/N). Nous devrons garder à

l’esprit le fait que l’acquisition numérique ne doit pas détériorer le signal. On doit conserver au travers de la

numérisation l’information utile (Voix : [0 , 20kHz] ; Vidéo [0 , 6MHz]). De plus, il faut limiter l’espace

mémoire nécessaire au stockage. On s’attachera dans une chaîne d’acquisition à minimiser cette valeur tout en

ne détériorant pas le signal. Pour transformer un signal analogique en un signal numérique, il faut le

discrétiser. On va donc prélever régulièrement des échantillons du signal analogique pour le rendre discret et

permettre ainsi sa numérisation.

Echantillonnage idéal

Soit x(t) un signal analogique de transformée de Fourier X(f). Echantillonner le signal x(t) consiste à

choisir une fréquence Fe et de construire un nouveau signal avec les x(nTe) avec n un entier et Te=1/fe.

On peut écrire le signal échantillonné xe(t) sous la forme : ∑ −=n

eee nTtnTxtx )()()( δ

que l'on peut schématiser : x(t) xe(t)

∑ −=n

ee nTttxtx )().()( δ , ∑ −n

enTt )(δ

⇒ ∑ −=n

eee nffXffX )()(

Cette expression montre que le spectre Xe(f) est périodique de

période fe et qu’il est la somme des répliques (copies) du spectre

original X(f) décalées de nfe . L'échantillonnage dans le domaine

temporel se traduit par une "périodisation" de période fe dans le

domaine fréquentiel.

Théorème de Shannon

On considère que x(t) est un signal réel dont le spectre est borné en fréquence, de fréquence maximale

fmax :

0)(max =>∀ fXff

2)()( fXfx =φ

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2 cas se présentent alors :

- fe > 2 fmax

Le motif principal (n = 0) est égal au spectre de x(t). Comme les

motifs sont disjoints, on peut extraire X(f) grâce à un filtre

passe-bas idéal et donc reconstituer intégralement le signal x(t)

à partir des xe(t).

- fe < 2 fmax

Les motifs élémentaires de |Xe(f)| se recouvrent. On

parle de repliement de spectres. Il n'est pas possible de

récupérer le spectre X(f) par un filtrage approprié. Il

n'est donc pas possible de reconstruire le signal initial

x(t) à partir de la connaissance de son échantillonné

xe(t).

Par conséquent, pour que la répétition périodique du spectre de xe(t) ne déforme pas le spectre X(f) répété, il

faut et il suffit que fe > 2 fmax (théorème de Shannon).

Remarques:

Si le support du spectre X(f) n’est pas borné (s’étale sur l’axe réel) il y a un repliement du spectre des

échantillons (aliasing), on ne peut pas isoler le spectre original à partir de celui des échantillons.

Dans la pratique, on ne peut pas se contenter de prendre une fréquence d´échantillonnage égale à la

fréquence de Nyquist (2 fmax), il faut en prendre une largement supérieure. Par exemple, pour numériser la

parole dans le réseau téléphonique, on utilise une fréquence d'échantillonnage fe= 8kHz alors que le spectre de

la voix est en général compris entre 300Hz et 3400Hz. De même, la digitalisation des disques compacts se fait à

fe= 44.1kHz alors que le support du spectre sonore est [0Hz, 20kHz]. En effet, si on prend la fréquence de

Nyquist pour échantillonner, alors il faudrait avoir un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure très

nette. Par contre, quand le spectre est plus "aéré", on peut utiliser des filtres dont la zone de coupure peut être

plus large.

Filtre anti-repliement :

Les signaux étudiés en réalité sont rarement à support fréquentiel borné, c’est-à-dire que fmax = 1. C’est

par exemple le cas d’un signal rectangulaire périodique dont les raies fréquentielles s’étendent à l’infini ou

encore un signal bruité. Ceci implique que quelle que soit la fréquence d’échantillonnage il y aura repliement

de spectre puisque fe > 2 fmax = ∞ est une condition impossible à réaliser. Pour remédier à ce problème, on

utilise à l’entrée d’un système numérique un filtre passe-bas appelé filtre anti-repliement ou anti-aliasing. Ce

filtre est analogique, idéalisé il doit avoir un gain de 1 sur une bande de fréquence Fe, centrée en zéro. Son rôle

va être de limiter le contenu spectral du signal à la partie utile. Il va participer aussi à limiter l’influence du

bruit éventuellement présent sur le signal à numériser.

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2)()( fXfx =φ

Echantillonnage naturel (suiveur)

Soit x(t) un signal analogique de transformée de Fourier X(f). Echantillonner le signal x(t) consiste à

choisir une fréquence fe et de construire un nouveau signal avec les x(nTe) avec n un entier et Te=1/fe.

x(t) xe(t)

∑ −−n

enTt )2/( θπθ

Cela signifie que l’échantillonnage naturel est la multiplication du signal analogique (suppose causal : nul

pour t négatif) par le signal qui est un train, périodique de période Te, d’impulsions rectangulaires de durée θ.

∑ −−=n

ee nTttxtx )2/().()( θπ

)(*)2/().()( en

e nTtttxtx −−= ∑ δθπ

)(.)(sin*)()( eefj

ne nfffefcfXfX −= −∑ δθπθ θπ

)()(sin*)()( enfj

neee nffenfcfXffX e −= −∑ δθπθ θπ

)()(sin)( enfj

neee nffXenfcffX e −= −∑ θπθπθ

Donc, en comparaison avec l’échantillonnage idéal, un facteur )(sin θπθ ee nfc apparaît lors d’un échantillonnage

naturel. Le spectre du signal analogique va non seulement être périodisé à la fréquence d’échantillonnage,

mais il va en plus être pondéré par un sinus cardinal.

Remarques :

Le terme θfe= θ/Te est décisif quant à la qualité du compromis échantillonnage/résolution fréquentielle :

La résolution fréquentielle (pouvoir de discerner le spectre a deux fréquences très proches) exige θfe faible et

l’échantillonnage exige fe important et θ faible

Mise en forme

Une chaîne de traitement du signal échantillonné peut être schématisée de la manière suivante :

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Le signal analogique s(t) possède probablement et dans la majorité des cas une bande spectrale large : la

première étape consiste à limiter cette bande par un filtrage passe-bas (mise en forme) afin de pouvoir

effectuer l’échantillonnage en respectant le théorème de Shannon.

Une fois le signal échantillonné obtenu, le traitement souhaite peut être effectué sur les échantillons. La

reconstruction des résultats analogiques, de large bande généralement, à partir des échantillons traités

nécessite une reconstruction (un bloqueur par exemple) suivie d’un filtrage passe-bas adéquat (lissage) puis

d’une mise en forme identique à celle appliquée a l’entrée afin de limiter la largeur de bande.

4. Systèmes analogiques – Systèmes numériques

Les systèmes numériques possèdent sur leurs homologues analogiques un ensemble d’avantages décisifs :

- Simplicité. Les systèmes numériques sont intrinsèquement plus simples à analyser (et donc à synthétiser) que

les systèmes analogiques. La récurrence linéaire qui caractérise un filtre numérique, par exemple, est accessible

à un tout jeune enfant. Cette propriété des systèmes numériques est due en partie à l’adéquation parfaite entre

simulation et traitement : simuler un traitement numérique, c’est en faire.

- Possibilités de traitement accrues. La simplicité des opérations numériques de base ne doit pas tromper : il

s’ensuit qu’il est possible de réaliser, en numérique, des opérations beaucoup plus complexes qu’en

analogique, notamment des opérations non-linéaires.

- Robustesse aux bruits. Les systèmes numériques sont par essence insensibles aux bruits parasites

électromagnétiques. Le transcodage de l’information sous forme numérique joue un peu le rôle de « firewall ».

- Précision et stabilité. Puisque les seuls « bruits » sont liés à la précision des calculs, cette dernière dépend

uniquement du calculateur utilisé ; elle est insensible à la température et ne varie pas avec l’âge du système.

- Flexibilité. Dans un grand nombre de systèmes numériques, le traitement est défini par un logiciel chargé en

mémoire. Il est dès lors très facile de modifier ce traitement, sans devoir modifier la machine qui le réalise. On

pense par exemple aux modems numériques actuels, qui peuvent s’adapter facilement aux normes futures par

simple reprogrammation.

5. Signaux déterministes à temps discret usuels

Rappelons que les signaux déterministes renferment une information dont l'évolution en fonction du

temps peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique (au contraire des signaux

aléatoires/stochastiques). Nous présentons dans cette section quelques fonctions mathématiques ainsi que

leurs propriétés, supports de signaux élémentaires et utilisées tout au long du cours de traitement du signal.

Un signal déterministe à temps discret est une suite de valeurs réelles ou complexes indexées par Z. On

utilise aussi le terme de signal. En traitement du signal, un signal à temps discret provient souvent de

l’échantillonnage à la cadence Fe = 1/Te, d’un signal x(t) déterministe à temps continu qui est supposé à bande

limitée (−Fe/2, Fe/2).

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Dans la suite nous supposerons que tous les signaux sont échantillonnés à la même cadence et nous

omettrons alors d’indiquer Te en notant x(n) = x(nTe).

- Fonction signe

<−≥

=01

01)sgn(

n

nn

- Fonction échelon (unité)

<≥

=Γ=00

01)()(

n

nnnU

- Fonction porte

≤≤−

=Π+ ailleurs

NnNn

N 0

2/2/1)(

1

- Fonction rectangle causal

−≤≤

=ailleurs

NnNnrect

0

101)/(

- Fonction Dirac (impulsion unité)

)1()(00

01)( −−=

≠=

= nUnUn

nnδ

Autres propriétés:

• x(n). δ(n-n0)=x(n0) et x(n)* δ(n-n0)=x(n-n0)

- Fonction sinus cardinal

n

nnc

πθπθθ )sin(

)(sin =

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Série 1

1. Soient x(t)= )(tθΠΑ et y(t) = )(

2/t

θΛΑ signal porte et signal triangulaire d’amplitude A>0 et de largeur θ.

• Tracer x(t) et y(t) sur le même graphe

• Utiliser les dérivées pour trouver X(f) et Y(f) qui seront représentés sur le même graphe puis commenter et

interpréter les deux graphes pour A=1 et θ=20.

2. Soit le signal ∑+∞

∞−

−= )()( nTttx δ , montrer que : ∑+∞

∞−

Ttnj

eπ2

= ∑+∞

∞−

− )( nTtT δ et déterminer la TF de x(t)

3. On échantillonne un signal sinusoïdal de fréquence 200Hz avec une fréquence d’échantillonnage Fe =

500Hz puis avec Fe = 300Hz. Quel signal obtient-on lors d’une reconstruction parfaite dans les deux cas ?

4. Un signal taetx −=)( avec a = 2 est transmis au travers du système suivant :

L’échantillonneur est réalisé par un interrupteur qui s’ouvre et se ferme périodiquement à la cadence fe = 20Hz avec un temps de fermeture égal à Tf = 20ms. Esquisser l’allure de y(t) et de son spectre d’amplitude

Y(f);

Solutions :

1. )(sin)( θfcAfX =

)2/(sin)( 2 θfcAfY =

3. Fe=500Hz ⇒⇒⇒⇒ )2cos()( 0tftxr π= avec f0=200Hz

Fe=300Hz ⇒⇒⇒⇒ )2cos()( 0tftxr π= avec f0=100Hz

4. Echantillonneur naturel ⇒ ∑ −=n

enTttxty )(.)()( π

)()(sin)( en

feef nffXTnfcfTfY −= ∑ A.N. )20()4.0(sin4.0)( nfXncfYn

−= ∑

x(t) échantillonneur

yt)

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

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Exercices supplémentaires

1. Soit ≤+

=ailleurs

ttth

.............................0

2/1....).........2cos(2)(

π

• Déterminer H(f), la transformée de Fourier de h(t)

• Esquisser H(f) pour l’intervalle 0 <= f <= 3 et Donner la valeur numérique de H(f) pour f = 2.5

Solution )1(sin2

1)1(sin

2

1)(sin2)( ++−+= fcfcfcfH

2. On considère un signal de parole de durée 1mn et ayant une bande passante de 10 kHz. - Calculer le nombre minimal d’échantillons nécessaires pour représenter ce signal. - En supposant que le signal est échantillonné selon le schéma suivant : xe(t)

0 ε Te ε+Te 2Te ε+3Te

- Exprimer le signal échantillonné xe(t) où ε est un retard. - Calculer sa transformée de Fourier.

On suppose que l’échantillonnage se fait sans retard (ε = 0) - Exprimer le signal échantillonné et montrer que l’on peut reconstituer théoriquement le signal x(t) à partir des échantillons x(nTe). On se propose de reconstituer le signal de la façon suivante, exprimer xr(t). xr(t) x(0) 0 Te 2Te 3Te 4Te t Solution

D=60s et fmax=5kHz ⇒ Nmin=D/Temin=6.105

∑ −−−=n

eee nTtnTxtx )()()( ξδξ ⇒ )()( 2e

n

jfee nffXeffX −= ∑ − ξπ

ξ=0 ⇒ ∑ −=n

eee nTtnTxtx )()()( δ

Reconstruction théorique ⇒ )(1

)()( ff

fXfXfe

eeR π= ⇒ ))((*)()( eee

nR nTtfsincnTxtx −=∑

Bloqueur d’ordre 0 ⇒ )2/()()( eeTe

en

R TnTtnTxtx −−=∑ π

x(3Te) x(2Te

) x(Te)

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II. Analyse temporelle des systèmes linéaires et invariants discrets

1. Théorie des systèmes linéaires et invariants

Dans de nombreuses applications fondées sur la propagation des ondes, en acoustique ou en

électromagnétisme, on simplifie considérablement les problèmes étudiés en faisant des hypothèses sur la

manière dont un système déforme un signal. Deux des hypothèses les plus importantes sont la linéarité et

l'invariance dans le temps.

Un système linéaire est un modèle de système qui applique un opérateur linéaire à un signal d'entrée.

Un système linéaire affiche typiquement des caractéristiques et des propriétés beaucoup plus simples que le

cas général non-linéaire. C'est une abstraction mathématique très utile en automatique, traitement du signal,

mécanique et télécommunications. Les systèmes linéaires sont ainsi fréquemment utilisés pour décrire un

système non linéaire en ignorant les petites non-linéarités. Un système est discret, si à la suite d'entrée discrète

x(n) correspond une suite de sortie discrète y(n).

- Si le système est régi par le principe de superposition, on parle de système linéaire. Linéarité : si l'entrée x(n)

produit une sortie y(n), quand on applique une entrée k.x(n) , la sortie sera k.y(n). Si deux entrées x1(n) et

x2(n) engendrent deux sorties y1(n) et y2(n) alors x1(n) + x2(n) engendrera y1(n) + y2(n)

- Si le système est invariant, cela implique que le système réagit de la même façon quelque soit l’instant auquel

nous appliquons ses excitations. Cette propriété exprime que la caractéristique du système ne dépend pas de

l’origine du temps. S’il y a invariance dans le temps, une translation de l'entrée (x(n) ⇒x(n-m)) se traduira par

une même translation dans le temps de la sortie (y(n)⇒y(n-m)).

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

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Remarque :

- Un système linéaire invariant est un système dont le comportement dans le temps, peut-être décrit par une

équation aux différences : ∑ ∑= =

−=−M

i

N

iii inxbinya

0 0

)()( ,

Si les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle sont vérifiées, on peut caractériser le système par sa

réponse impulsionnelle h(n).

On peut en déduire l'effet d'une entrée quelconque sous la forme d'une convolution. Cette dernière est

l’opération de traitement de signal la plus fondamentale. Elle indique que la valeur du signal de sortie à

l’instant n est obtenue par la sommation (intégrale) pondérée des valeurs passées du signal d'excitation x(n).

La fonction de pondération est précisément la réponse impulsionnelle h(n):

La réponse impulsionnelle h(n) est le signal qu'on obtient en sortie y(n)=h(n) si on applique en entrée

une impulsion "de Dirac'' x(n)=δ(n). Le Dirac est l'élément neutre de l'opération de convolution:

Le calcul de la convolution consiste donc à calculer la somme du produit x(m)h(n -m). Le signal h(n-m)

est simplement le signal initial h(m), retourné dans le temps pour donner h(-m) puis translaté de n. En

calculant alors l’ensemble des produits obtenus en faisant « glisser » h, c’est-à-dire pour tous les décalages de

n, on obtient le produit de convolution pour tout n.

Exemple 1:

)()( nrectnxN

=

10)()( <<= anUanh n

)()()( nhnxnz ∗=

On distingue 3 cas :

x(n) y(n) SLI: h(n)

∑∑∞

−∞=

−∞=

−=−=∗=mm

mnhmxmnxmhnxnhny )()()()()()()(

)()()( nxnxn =∗δ

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Analyse et Filtrage des signaux numériques

F.E.I., U.S.T.H.B.

Exemple 2 :

)(1

1)(

1n

Nnh

N+Π

+=

⇒ ∑−=+

=2/

2/

)(1

1)(

N

Nm

mxN

ny

Remarques :

Si on applique à un SLIT une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquence f

sinusoïde dont l'amplitude et la phase pourront être modifiées mais qui conservera la même forme (une

sinusoïde) et la même fréquence f0. En termes plus mathématiques, on dit que les sinusoïdes sont les fonctions

propres des SLIT.

- Si les ai sont différents de 0, le système est dit récursif

(RIF)

- Si le système est à réponse impulsionnelle de durée finie (RIF), alors :

Dans ce cas, le système numérique est une fenêtre centrée sur les K plus récents échant

- Si le système est à réponse impulsionnelle de durée infinie (IIR) :

Dans ce cas, il est nécessaire de connaître tous les échantillons présents et passés, le système à une mémoire de

longueur infinie.

Analyse et Filtrage des signaux numériques

Si on applique à un SLIT une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquence f

sinusoïde dont l'amplitude et la phase pourront être modifiées mais qui conservera la même forme (une

. En termes plus mathématiques, on dit que les sinusoïdes sont les fonctions

sont différents de 0, le système est dit récursif (RII), il est non récursif s'il ne dépend que des

ystème est à réponse impulsionnelle de durée finie (RIF), alors :

Dans ce cas, le système numérique est une fenêtre centrée sur les K plus récents échant

Si le système est à réponse impulsionnelle de durée infinie (IIR) :

essaire de connaître tous les échantillons présents et passés, le système à une mémoire de

∑=

=K

m

ny )(

∑+∞

=

=0

()(m

mhny

x(n)

M1 ST/TRM (2013/2014)

18

Si on applique à un SLIT une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquence f0, alors, la sortie sera une

sinusoïde dont l'amplitude et la phase pourront être modifiées mais qui conservera la même forme (une

. En termes plus mathématiques, on dit que les sinusoïdes sont les fonctions

, il est non récursif s'il ne dépend que des x(n-i)

Dans ce cas, le système numérique est une fenêtre centrée sur les K plus récents échantillons.

essaire de connaître tous les échantillons présents et passés, le système à une mémoire de

∑=

−K

mnxmh0

)()(

− )() mnxm

y(n)

Page 19: Analyse et Filtrage des Signaux numériques_chap1+chap2+chap3+TPn_3_2013

Analyse et Filtrage des signaux numériques

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Exemple 3

Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

19

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

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2. Stabilité, causalité

Une contrainte importante pour la formalisation de nombreux problèmes est de respecter la notion de

causalité (les effets ne peuvent pas précéder la cause). Dans le cas des SLIT, cette causalité se traduit par le fait

que pour: h(n) = 0 pour n<0.

0,0)( nnnx <= alors 0,0)( nnny <=

⇒ 0,0)( <= nnh , ∑−∞=

−=n

m

mnhmxny )()()( ,

- si h et x sont causaux ∑=

−=n

m

mxmnhny0

)()()(

C'est une hypothèse fondamentale en traitement de signal : la cause précède l’effet ⇒ les signaux de sortie ne

peuvent exister avant les signaux d’entrée qui les génèrent. C’est une hypothèse intuitive qui est liée à

l’expérience mais, nous pouvons envisager mémoriser les signaux d’entrée et faire un traitement de ceux-ci en

temps différé, les systèmes utilisés ne sont plus alors nécessairement causaux car pour élaborer la sortie à

l’instant ni, nous disposons en mémoire des entrées aux instants suivants. C’est souvent le cas en traitement

d’image, en traitement de parole effectué après mémorisation du signal à traiter. Un exemple de signal causal :

signal reçu au vol (émission radio), exemple de signal non causal : signal enregistré.

Une autre notion fondamentale est la stabilité des systèmes.

La propriété de stabilité des systèmes bouclés est non seulement

une performance mais une exigence pour le bon fonctionnement

d’une boucle d’asservissement ou de régulation. Une boucle

instable est une boucle inutilisable. La définition la plus courante

de cette stabilité est la suivante : On dit qu'un système est stable

si, en lui appliquant une entrée bornée quelconque, la sortie reste

bornée, ce qui implique dans le cas des SLIT:

Un système stable est un système qui, perturbé, revient à son état initial après disparition de la

perturbation.

3. Energie et puissance

L’énergie (puissance) est une quantité importante dans le traitement du signal. Toute transmission

d’information s’accompagne de transferts d’énergie. En effet, les signaux continus ou discrets sont

essentiellement caractérisés par l’énergie ou la puissance qu’ils véhiculent. Ce sont les seules grandeurs

physiques auxquelles sont sensibles les détecteurs. Beaucoup de capteurs physiques mesurent une énergie ou

une quantité quadratique. Par exemple, les capteurs optiques mesurent une intensité, les compteurs

d’électricité mesurent une énergie, etc. Compte tenu de la définition fondamentale, l’énergie du signal entre les

instants t et t+dt est : |x(t)|2 dt (puissance instantanée multipliée par le temps).

∑+∞

∞−

2)(nx

∞<∑n

nh )(

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Analyse et Filtrage des signaux numériques

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Soit un signal x(t) à temps discret

finie et la valeur de cette somme est appelée énergie du signal :

Exemples:

x(n) = Rect(n/N) énergie finie.

à énergie finie

Pour un signal périodique, cette somme

signal x(n) périodique de période N par :

∑−

=12/

2/

2)(

1 N

Nx nx

NP

Dans le cas général, on parle de signaux à puissance moyenne finie définie par:

∑−

−∞→=

12/

2/

2)(

1lim

N

NNx nx

NP

Exemples:

- signal continu x(t)=a,

- signal sinusoïdal A sin(2πf0t) ,

- signaux périodiques,

- échelon unité.

- peigne de Dirac

Il existe des signaux ni périodiques, ni d'énergie finie, pour lesquels la puissance ne peut être définie

comme par exemple la rampe x(n)=n

ne l'est jamais sur un intervalle de temps infini. Par exemple, on peut commencer à visualiser un signal à un

instant qu'on prendra comme origine des temps, et dans ce cas on

Tobs. Comme on ne sait pas ce que ce signal était avant qu'on ne l'observe, ni ce qu'il deviendra après, il serait

présomptueux d'utiliser les bornes de

sous la forme:

- Signal à énergie finie = puissance nulle

Le calcul de l'énergie ou la puissance permet d'obtenir une première caractérisation du signal. Par

ailleurs, la théorie du signal a largement développé des méthodes d’étude basées sur la corrélation pour

caractériser le comportement temporel du signal.

Analyse et Filtrage des signaux numériques

t un signal x(t) à temps discret, tel que existe et converge. Alors le signal est dit à énergie

est appelée énergie du signal :

) énergie finie. x(n) = a (constante) n’est pas à énergie finie.

gnal périodique, cette somme ne converge pas. On peut néanmoins défi

par :

ou ∑−+

=N

Nx N

P1*2

1

Dans le cas général, on parle de signaux à puissance moyenne finie définie par:

ou ∞→= NxP*2

lim

Il existe des signaux ni périodiques, ni d'énergie finie, pour lesquels la puissance ne peut être définie

x(n)=n. Il s'agit là de définitions mathématiques. En pratique, un signal mesuré

ne l'est jamais sur un intervalle de temps infini. Par exemple, on peut commencer à visualiser un signal à un

instant qu'on prendra comme origine des temps, et dans ce cas on arrêtera son examen au bout d'un temps

. Comme on ne sait pas ce que ce signal était avant qu'on ne l'observe, ni ce qu'il deviendra après, il serait

présomptueux d'utiliser les bornes de -∞ à +∞ dans la formulation de l'énergie, et on se limitera do

Signal à énergie finie = puissance nulle - Signal à puissance finie = énergie infinie

Le calcul de l'énergie ou la puissance permet d'obtenir une première caractérisation du signal. Par

gement développé des méthodes d’étude basées sur la corrélation pour

caractériser le comportement temporel du signal.

∑=

=Nobs

nx nxE

0

2)(

∑+∞

∞−

= 2)(nxEx

∑+∞

∞−

2)(nx

M1 ST/TRM (2013/2014)

21

, tel que existe et converge. Alors le signal est dit à énergie

) = a (constante) n’est pas à énergie finie. x(n) = A sin(2πf0n) n’est pas

ne converge pas. On peut néanmoins définir la puissance d'un

∑N

N

nx2

)(

Dans le cas général, on parle de signaux à puissance moyenne finie définie par:

∑−+

N

N

nxN

2)(

1*

1

Il existe des signaux ni périodiques, ni d'énergie finie, pour lesquels la puissance ne peut être définie,

. Il s'agit là de définitions mathématiques. En pratique, un signal mesuré

ne l'est jamais sur un intervalle de temps infini. Par exemple, on peut commencer à visualiser un signal à un

arrêtera son examen au bout d'un temps

. Comme on ne sait pas ce que ce signal était avant qu'on ne l'observe, ni ce qu'il deviendra après, il serait

dans la formulation de l'énergie, et on se limitera donc à l'écrire

Signal à puissance finie = énergie infinie

Le calcul de l'énergie ou la puissance permet d'obtenir une première caractérisation du signal. Par

gement développé des méthodes d’étude basées sur la corrélation pour

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 22

4. Corrélation et autocorrélation

La fonction de corrélation permet de mesurer le degré de ressemblance entre deux signaux en fonction

d’un décalage. Considérons x(n) et y (n) deux signaux d'énergie finie, la fonction d'intercorrélation Rx,y(k) est

définie par: ∑∞

−∞=

−=n

xy knynxkR )()()( *

L’intercorrélation entre x(t) et y(t) atteint un maximum pour un retard k si x(n)=y(n-k)

Pour des signaux à puissance moyenne finie, elle vaut : )()(1

lim)( *

1

knynxN

kRnN

nN

xy −= ∑−

=∞→

Exemples:

Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à

y(t) (ils sont orthogonaux, produit scalaire nul). Pour l'exemple de droite, les signaux se ressemblent le plus

quand y(t) est décalé de 12 secondes.

Pour l'autocorrélation, on remplace y(n) par x(n) on obtient l'expression de l'autocorrélation pour les

signaux à énergie finie: ∑∞

−∞=

−=n

x knxnxkR )()()( *

L'autocorrélation permet de détecter des régularités, des profils répétés dans un signal comme un signal

périodique perturbé par beaucoup de bruit.

Propriétés :

- Pour k= 0, on retrouve l’énergie du signal Rxx(0) = Ex .

- Si x(n) est réel, l’autocorrélation est réelle

- Rxx(k) est maximale en k=0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même.

x(n) y(n)

t n -N/2 N/2 n -N

N

-3N/2

3N/2

1 1

-1

k N/2

-N/2

N

Rxy(k)

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F.E.I., U.S.T.H.B. 23

- L’autocorrélation d’un signal de durée N aura une taille 2*N-1

Autocorrélation des signaux périodiques : Le calcul sur une seule période suffit. L’autocorrélation d’un

signal périodique est elle même périodique. Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à lui

même, décalé d’une ou plusieurs périodes.

- signaux périodiques

)()(1

)( *

1

knxnxN

kRnN

nx −= ∑

=

Remarque: Les opérations de corrélation et convolution sont liées. Mathématiquement, on peut écrire une

relation qui permet d’exprimer la fonction de corrélation comme un produit de convolution (et

réciproquement). En effet:

On peut donc considérer l'opération d'un SLI comme une mesure de la corrélation entre deux signaux

(x*(-n) et h(n)). En fait, le signal de sortie est "construit" à partir des composantes fréquentielles communes au

signal d'entrée et à la réponse impulsionnelle.

Exemples : Extraction d'un signal noyé dans du bruit, mesure d'un temps ou retard, détection d'un signal

périodique.

)(*)()( * nynxkRxy −=

Sinusoïde noyée dans un bruit blanc SNR=0.15 Signal émis signal reçu (noyé dans du bruit)

Corrélation entre le signal émis et le signal reçu

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

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Remarque : La notion de bruit est relative, elle dépend du contexte. L'exemple classique du technicien en

télécom et de l'astronome :

- Pour le technicien en télécom : Ondes d'un satellite = signal. Signaux provenant d'une source astrophysique

= bruit.

- Pour l'astronome : Ondes d'un satellite = bruit. Signaux provenant d'une source astrophysique = signal.

Ainsi, tout signal physique comporte du bruit = une composante aléatoire.

Le rapport signal/bruit désigne la qualité de la

transmission d'une information par rapport aux

parasites. Il est défini par:

SNRdb=20 Log(PS/PB)

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 25

Série 2

1. Donner l’expression du signal échelon U(n) en fonction du signal signe Sgn(n).

2. Donner l’expression du signal x(n) = Arect[(n-n0)/N+1]= A )( 01

nnN

−∏+

à l’aide du signal signe seulement.

Justifier graphiquement la solution trouvée (N supposé pair).

3. Calculer la sortie y(n) lorsque : x(n) =δ (n–n0) +δ(n–n1) et h(n) = e–an 4. Soit le signal échelon f(n)= E0 U(n), d’amplitude E0. Représenter graphiquement et calculer le produit de

convolution de f(n) par lui-même (autoconvolution). 5. La fonction triangulaire est définie de la manière suivante:

Vérifier analytiquement et graphiquement la relation E2.N. ΛN(n) = E.ΠN+1(n) * E.ΠN+1 (n), en déduire l'autocorrélation du signal et son énergie (devoir à rendre)

6. Les signaux suivants sont-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, ou ni l’un, ni l’autre ? Calculer, dans

chaque cas, l’énergie totale et la puissance moyenne totale (a>0).

• Arect(n/N+1) Asin(2̟f0n) Asin(2̟f0n).U(n) U(n)

• n.U(n) Ae-anu(n) Ae-an Atri(n/N) 7. Calculer l'autocorrélation des signaux suivants (devoir à rendre)

• Arect(n/N) Asin(2̟f0n) 5 δN(n) Bcos(2̟f0n) 8. Les séquences x(n) (réel) et y(n) représentent respectivement l’entrée et la sortie d’un système discret.

Pour chaque cas, identifiez celles représentant a) des systèmes linéaires, b) des systèmes causals, c) des systèmes invariants aux translations de n, d) des systèmes assurément ou possiblement stables (en fonctions des constantes) 1. y(n) = x(n) + bx(n-1) 2. y(n) = x(n) + bx(n+1) 6. y(n) = bx(n) b : constante réelle 3. y(n) = nx(n) 5. y(n) = x(n)en 7. y(n) = |x(n)|

4. y(n) = x(n) sin(2πf0n) N : constante entière

Solutions 1. U(n)=1/2(sgn(n)+1) 2. x(n)= A/2 [sgn(n-(n0-N/2))- sgn(n-(n0+N/2+1))]

3. )1()0()( nnanna eenx −−−− +=

4. f(n)*f(n)= E02.(n+1) pour n≥0 et 0 ailleurs

6. E=A2.(N+1) Pm=0, E=∞ Pm=A2/2, E=∞ Pm=A2/4, E=∞ Pm=1/2

E=∞ Pm=∞, E=A2/(1-e-2a) Pm=0 , E=∞ Pm=∞, E=2A2N(1+N) Pm=0

7. A2N.ΛN(k) A2/2.cos(2πf0k) 25 δN(k) B2/2.cos(2πf0k)

( )

≤≤−−−≤≤−++

=Λailleurs

NnNnEnNNnE

nNE N

0

0)1(0)1(

. 2

2

2

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 26

8. a) Tous sauf 6 et 7. b) Tous sauf 2.c) Les systèmes 1, 2, 6 et 7.

d) Les systèmes 1 (b finie), 2 (b finie), 4, 6 (b finie) et 7.

Exercices supplémentaires 1. Représenter les signaux suivants:

)1( −Π nN

, n.U(n), (n-2).U(n-3), (-n+3)U(n-2)U(-n+3), e-an.U(n-1)

2. Soient

Calculer b>a b)(a, avec )(*)( +21 etnxnx ℜ∈

Solution :

>−−

<= −

0]1[

00)( )( ne

ab

en

nx nabbn

3. Calculer et esquisser graphiquement pour les cas n0 < n1 et n0 > n1 le produit de convolution z(n) = x(n)*y(n)

pour les cas suivants :

• X(n) = A[δ(n+n0) + δ(n-n0)] et Y(n) = B δ(n) + 1/2B[δ(n+n1) + δ(n-n1)] Solution :

X(n)*Y1(n)=AB[δ(n+n0) + δ(n-n0)]+AB/2[δ(n+n0+n1) + δ(n-n0-n1)+ δ(n-n0+n1) + δ(n-n0-n1)]

)(.)()(.)( .2

.1 nUenxnUenx nbna −− ==

Page 27: Analyse et Filtrage des Signaux numériques_chap1+chap2+chap3+TPn_3_2013

Analyse et Filtrage des signaux numériques

F.E.I., U.S.T.H.B.

TP n°1 : Analyse temporelle

Convolution, Energie, Puissance et Corrélation

I. Rappels • Convolution: Un SLIT est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle :

( ) ( ) ( ) (xthtxty =∗= ∫+∞

∞−

τ

• Energie et Puissance: Pour un signal à temps continu x(t), et un signal à temps s’exprime par : et leur puissance moyenne par : pour des signaux périodiques, elle devient : • Corrélation : La fonction de corrélation se définit de différentes façons suivant la classe de signaux à laquelle on s’adresse : -signaux à énergie finie

( ) (xtRxy = ∫+∞

∞−

τ

- signaux périodiques

( ) 1 2/

2/

xT

tRT

T

xy = ∫−

- Propriétés la fonction d’autocorrélation Rpuissance. Remarques : - Un signal numérique s(n) est une suite de N échantillons régulièx(0),x(Te),x(2Te),…, x((N-1)Te). La grandeur Fe=1/Te est appe

E

1lim

+∞→=

T TP

1∫=TT

P

Analyse et Filtrage des signaux numériques

TP n°1 : Analyse temporelle des SLIT discrets

Convolution, Energie, Puissance et Corrélation

: Un SLIT est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle :

) ( ) )()()( nhnxnyetdthk

=∗=− ∑+∞

=

τττ

: Pour un signal à temps continu x(t), et un signal à temps

, elle devient :

: La fonction de corrélation se définit de différentes façons suivant la classe de signaux à laquelle

) ( ) ()()( ** ynxkRetdtyk

xy =− ∑+∞

−∞=

τττ

( ) ( ) )(1

)( *

1

* ynxN

kRetdtykN

nxy =− ∑

=

τττ

Propriétés la fonction d’autocorrélation Rx : Paire, maximum en 0, pour k=0, on retrouve l’énergie ou la

) est une suite de N échantillons régulièrement espacés de Te secondes: 1)Te). La grandeur Fe=1/Te est appelée fréquence d’échantillonnage

)(et )(22

∑∫ ==+∞

∞− k

kxEdttx

)(1

limet )(1 12/

2/

22

∑∫−

−=+∞→=

N

NkN

T

kxN

PdttxT

)(1

et )(12/

2/

22

∑∫−

−=

=N

NkT

kxN

Pdttx

M1 ST/TRM (2013/2014)

27

discrets

Convolution, Energie, Puissance et Corrélation

: Un SLIT est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle :

)()( knhkx −∑+∞

−∞=

: Pour un signal à temps continu x(t), et un signal à temps discret x(k), leur énergie

: La fonction de corrélation se définit de différentes façons suivant la classe de signaux à laquelle

)( kn −

)(* kn−

=0, on retrouve l’énergie ou la

rement espacés de Te secondes: lée fréquence d’échantillonnage.

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Analyse et Filtrage des signaux numériques

F.E.I., U.S.T.H.B.

Le tracé graphique d'un signal discrétisé en temps peut s'effectuer sim(matlab) - L’énergie d’un signal x(n) est fournie sous matlab par diviser l’énergie par le nombre d’éléments- Pour la corrélation et la convolution, on utilicorrélation de x et h de durée N est un signal y(n) de durée (2N- La fonction b=randn(1,N) permet de générer un vecteur bruit b de distribution pseudo normale (de Gauss) de taille N de moyenne nulle et d’écart type 1 . Un coefficient multiplié par volonté la puissance du bruit. Ainsi pour générer un vecteur bruit blanc de taille N, de moyenne m et d’écart type s la commande est : bruit= m+s * II. Exemples à tester

1. Le programme suivant permet de générer un Dirac en 0

t=-10:10; x=[zeros(1,10),1,zeros(1,10)]; stem(t,x); axis([-10 10 -0.5 1.5]); title('Impulsion unité'); xlabel('n'); ylabel('Amplitude'); 2. Le programme suivant permet de générer un échelon U(n)=1 pour n

t=-20:20; x=[zeros(1,20),ones(1,21)]; stem(t,x); title('Echelon unite'); xlabel('n'); ylabel('Amplitude'); 3. Pour générer N=128 échantillons d'une sinusoïde de fréquence fune fréquence d'échantillonnage : Fe = 8000 (le pas de temps Te=1/Fe) Créer le vecteur des temps : t = (0:NCalculer les échantillons: x = cos(2*pi*t*fclc ; clear all ; close all ; N=128; fo=1000; Fe=8000; Te=1/Fe; t=(0:N-1)*Te; x=cos(2*pi*fo*t); plot(t,x) ; 4. Le programme suivant permet de créer une porte de largeur 2s, centréeTe=0.1s avec N=50 et de calculer son autoclc;clear all ; close all ; Te=0.1; N=50; A=4; t=(0:1:N-1)*Te; porte=A*[zeros(1,10),ones(1,20),zeros(1,20)];subplot(2,2,1); plot(t,porte); subplot(2,2,2); stem(t,porte); tt=(-N+1:1:N-1)*Te;

Analyse et Filtrage des signaux numériques

Le tracé graphique d'un signal discrétisé en temps peut s'effectuer simplement à l'aide de la fonction stem

) est fournie sous matlab par sum(x.^2). Concernant la puissance moyenne, il faut diviser l’énergie par le nombre d’éléments de x(n).

Pour la corrélation et la convolution, on utilisera les fonctions xcorr et conv. A noter que la convolution ou la corrélation de x et h de durée N est un signal y(n) de durée (2N-1)

permet de générer un vecteur bruit b de distribution pseudo normale (de Gauss) moyenne nulle et d’écart type 1 . Un coefficient multiplié par randn

volonté la puissance du bruit. Ainsi pour générer un vecteur bruit blanc de taille N, de moyenne m et d’écart type s la commande est : bruit= m+s *randn(1,N); dont la puissance est Ps = m2 +s

Le programme suivant permet de générer un Dirac en 0 : δ(n) =1 pour n=0 et vaut 0 ailleurs

Le programme suivant permet de générer un échelon U(n)=1 pour n≥0 et 0 pour n<0

llons d'une sinusoïde de fréquence f0=1000, on peut procéder de la façon suivante, choisir une fréquence d'échantillonnage : Fe = 8000 (le pas de temps Te=1/Fe) Créer le vecteur des temps : t = (0:NCalculer les échantillons: x = cos(2*pi*t*f0) ; Puis, regarder le résultat : plot(x) ou plot(t,x). Ce qui nous donne

N=128; fo=1000; Fe=8000; Te=1/Fe;

Le programme suivant permet de créer une porte de largeur 2s, centrée en 3 s, d’amplitude 4, échantilTe=0.1s avec N=50 et de calculer son auto-corrélation et son énergie.

porte=A*[zeros(1,10),ones(1,20),zeros(1,20)];

M1 ST/TRM (2013/2014)

28

plement à l'aide de la fonction stem

Concernant la puissance moyenne, il faut

A noter que la convolution ou la

permet de générer un vecteur bruit b de distribution pseudo normale (de Gauss) randn permet d’augmenter à

volonté la puissance du bruit. Ainsi pour générer un vecteur bruit blanc de taille N, de moyenne m et d’écart +s2 .

(n) =1 pour n=0 et vaut 0 ailleurs

≥0 et 0 pour n<0

=1000, on peut procéder de la façon suivante, choisir une fréquence d'échantillonnage : Fe = 8000 (le pas de temps Te=1/Fe) Créer le vecteur des temps : t = (0:N-1)Te. Te.

Puis, regarder le résultat : plot(x) ou plot(t,x). Ce qui nous donne :

en 3 s, d’amplitude 4, échantillonnée avec

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 29

subplot(2,2,3); plot(tt,xcorr(porte)); subplot(2,2,4); plot(tt,Te*xcorr(porte)); Energie1=sum(porte.^2) Energie2=sum(porte.^2)*Te III. Programmes à réaliser 1. Autocorrélation d’un sinus -Générer 50 échantillons d’une sinusoïde de fréquence f0 =0.1 avec fe=10.f0

- Calculer et afficher son autocorrélation - Retrouver les caractéristiques du signal (puissance et fréquence). 2. Réalisez un seul programme qui effectue les tâches suivantes : - Génère une sinusoïde s(k) de fréquence 50Hz, d’amplitude 1, échantillonnée à 2.5KHz (Te=0.4ms) et de taille n=256. - Calcule la puissance de s(k). - Génère un bruit d’amplitude quelconque. - Additionne le bruit à la sinusoïde - Visualise les trois signaux simultanément. - Affiche le SNR à l’écran. - Observer le signal et son autocorrélation pour différentes amplitudes du bruit.

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 30

III. Transformée de Fourier Discrète (TFD)

La représentation temporelle peut être suffisante dans tous les cas où la forme du signal et la nature du

traitement restent simples. Dans la réalité, les signaux n'ont pas toujours une forme simple soit en raison de la

nature de l'information qu'ils portent, soit en raison du traitement qu'ils doivent subir. L'unique représentation

du signal en fonction du temps s'avère insuffisante : elle ne permet plus d'interpréter correctement

l'information. Dans de tels cas, la représentation du signal en fonction de la fréquence est très utile. Pour cela,

on fait appel à la transformée de Fourier. Elle a pour but de mettre en évidence des caractéristiques du signal

non évidentes dans la représentation temporelle : les propriétés fréquentielles (spectrales). L’utilisation de cette

description fréquentielle permet en outre de caractériser simplement les filtres linéaires, et faciliter leur étude.

Dans le but de calculer la transformée de Fourier S(f) d’un signal s(t) à l’aide d’un ordinateur, celui-ci

n’ayant qu’un nombre limité de mots de taille finie, on est amené à discrétiser le signal (échantillonnage), à

tronquer temporellement ce signal et à discrétiser sa transformée de Fourier.

1. Transformée de Fourier à temps discret (TFTD)

Lorsque le signal à traiter n’est plus analogique mais numérique, la relation de la TF devient :

L'échantillonnage périodise le spectre du signal avec une période de répétition fe Se(f)= Se(f+fe), par

ailleurs, l'amplitude est multiplié par un facteur fe. Sachant que tout signal périodique peut être décomposé en

séries de Fourier, on a :

Avec

Cette transformée de Fourier appliquée aux signaux discrets est donc une fonction à fréquence continue,

périodique de période fe. Il est d’usage de la représenter sur un intervalle de longueur fe, de -fe/2 à +fe/2.

Cependant, si on veut calculer la TF d'un signal discret à l'aide d'un calculateur, on se retrouve confronté

aux problèmes suivants : Le calcul de la TF nécessite une infinité de points de mesures s(n) (pas toujours

possible dans la pratique : contraintes temps réel, etc.). En outre, le calculateur ne peut calculer une TFTD car

sa réponse fréquentielle est forcément discrète = un nombre fini de points fréquentiel alors que f varie

continûment. La solution est de limiter la durée de s(n) i.e. considérer un nombre fini N de points temporels et

de discrétiser la fréquence (considérer un nombre fini L de points fréquentiels) ⇒ TFD.

{ } ( ) ( ) )( 2.

dtetsfStsTF tfj∫

+∞

∞−

−== π ∑+∞

−∞=

−=n

nTefjeee enTsTfS π2)()(

∑+∞

−∞=

−=n

fTenjne eCfS π2)( ∫

==2/

2/

2)(.

1)(

fe

fe

fTenje

eee

ne dfefS

fTT

CnTs π

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 31

2. Transformée de Fourier discrète (TFD)

Cette transformée, popularisée par son calcul rapide (TFR ou FFT : Fast Fourier Transform), fait

correspondre une suite de N valeurs à une autre de suite de N valeurs numériques également.

On considère un signal numérique s(n) défini par N échantillons temporels, obtenus par échantillonnage

avec la période Te. La numérisation du signal S(f) passe par l'échantillonnage de S(f). On divise l'intervalle fe

par N, ainsi S(f) est échantillonné à la cadence ∆f=fe/N=1/NTe. Ce dernier résultat entraîne une périodicité du

sig

nal temporel de T0=1/∆f = NTe.

Sachant que fe = N.∆f, les formules précédentes deviennent :

Et

Ce qui nous permet d'obtenir pour (Te=1), la TFD et la TFD inverse :

=

=

∑−

−=

=

12/

2/

/2

1

0

/2

1 N

Nk

Nknjkn

N

n

Nknjnk

eSN

s

esS

π

π

∑∑−

=

−−

=

− ===1

0

/21

0

/2 )()()()/(N

ne

Nknje

N

n

NfekTenjeee kSensTensTNkfS ππ

∑∑−

−=

−=

=∆=12/

2/

/212/

2/

/2 )(.)()(N

Nk

Nknje

eN

Nk

Nknje ekS

N

ffekSns ππ

=

=

∑−

−=

=

12/

2/

/2

1

0

/2

N

Nk

Nknjk

en

N

n

Nknjnek

eSN

fs

esTS

π

π

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 32

Il faut bien remarquer que l’on perd toute référence aux valeurs des instants correspondant aux

échantillons. Nous avons une relation entre une suite indexée par une variable entière n et une suite indexée

par k. Les N termes S(k) correspondent à une approximation (à un facteur multiplicatif Te près) de la

transformée de Fourier de ce signal aux N points de fréquence k ∆f, avec k entre 0 et N −1, c'est-à-dire f entre 0

et fe.

Exemple

Soit le signal s(n) = 1 pour n = 0 et n= 3 et 0 ailleurs. Calculons la TFD d'ordre 4 de s(n)

Calcul de la TFD sur 4 échantillons (4 échantillons de la TFD à partir de 4 échantillons du signal)

Modules de ces 4 échantillons :

Arguments de ces quatre échantillons :

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 33

Remarques

sn est périodique de période N et Sk est périodique de période N :

Par ailleurs, comme l'énergie se conserve, on obtient :

∑∑

−−

=1

0

21

0

2 1 N

k

N

n SN

s

Autres propriétés : Toutes les propriétés se déduisent des propriétés de la transformée continue en se

rappelant que chaque signal manipulé, de durée finie, doit être considéré comme une période d'un signal

périodique, et cela en temps et en fréquence. La conséquence en est que la translation d'un signal (qui

intervient aussi dans les opérations de convolution ou de corrélation) se traduit par un décalage circulaire

o Linéarité : )()()()( 2121 kbXkaXnbxnax TF +→+

o Décalage temporel : N

mkjTF efXmnx

π2

)()(−

→−

o Décalage fréquentiel : )()( 0

2 0

kkXenx TFN

nkj

−→π

o Dualité temps-fréquence : )(.)()()( kxNnXkXnx TFTF −→⇒→

o Changement d'échelle : )/(1

)( akXa

anx TF→

o Convolution périodique : )().()()( kHkXnhnx TF→∗

o 1)( →TFnδ

2. TFD des signaux de longueur illimitée

Le nombre d’éléments d’une séquence transformée par la TFD est implicitement limité, la fenêtre

intrinsèque à la transformée discrète de Fourier est donc la fenêtre rectangulaire de durée T0=NTe. En termes

de contenu spectral, le fenêtrage n’est pas neutre et il introduit nécessairement une distorsion des

composantes. La troncation du signal échantillonné par une fenêtre de largeur T0 a pour effet de convoluer le

spectre avec un sinus cardinal qui s’annule tous les 1/T0 avec T0 = NTe soit tous les fe/N.

nN

NkjN

k

N

nkj

k

N

k

N

kNnj

kNn seeSN

eSN

s === ∑∑−

=

=

+

+

πππ 21

0

21

0

)(2 11

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 34

Exemple 1 :

Module de la TFD de {s(n) = e2πjf0n}, pour n= {0, . . . ,N − 1}, avec N = 16

et f0 = 0,2. En pointillé, le module de la TFTD de s(n). L’allure de S(k)

fait apparaître un lobe principal de largeur 2/N (ou 2fe/N) autour de

la fréquence f0 et des lobes secondaires de largeur 1/N (ou fe/N).

Exemple 2:

Dans le cas d’un signal périodique, le spectre, obtenu par transformée de Fourier discrète, est donc un

ensemble de fonctions sinc(T0 f ) centrées sur les fréquences qui composent le signal théorique initial. Ainsi

cette qualité du résultat peut être incommode pour l’étude du spectre, en particulier lorsque le spectre est

composé de nombreuses raies, proches les unes des autres. L'importance de ses lobes peut être réduite par

l'emploi d'autres fenêtres.

La précision fréquentielle dépend du nombre de points adoptés pour le calcul. Les points en fréquences,

sont espacés de 1/N (ou fe/N). Considérons l'exemple suivant:

s(n)= A0 e2πjf0n + A0 e2πjf11n pour n (0:N-1) où f0 et f1 ∈ [-fe/2, fe/2]

Le tracé du spectre par TFD montre que si l'écart en valeur absolue entre f0 et f1 est supérieur à fe/N, il

sera possible de distinguer les deux fréquences sur le tracé. Cette résolution en fréquence est liée au nombre de

points du signal.

Quant à la précision, elle peut être améliorée par la technique du zéro-padding : on calcule la TFD sur un

nombre N pouvant être largement supérieur au nombre de points disponible du signal.

Exemple

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 35

On considère maintenant l'exemple suivant :

s(n)= A0 e2πjf0n + A0 e2πjf11n pour n (0:N-1) où A0 > A1

Un masquage du lobe principal de la composante en f1 peut survenir en raison des ondulations présentes

dans le spectre de A0 exp(2j̟f0n). Une « fréquence » d’amplitude faible au voisinage d’une d’amplitude plus

élevée sera masquée par le premier lobe secondaire. La séparation dans ce cas peut être améliorée par l’emploi

de fenêtres de pondération (Hamming…). Mais c’est au détriment de la séparation de « fréquences » très

voisines mais d’amplitude semblables car les 2 raies seront confondues dans un lobe principal élargi par la

fenêtre (la fenêtre rectangulaire a le lobe principal le plus étroit de toutes les fenêtres).

3. Fenêtres de pondération

Lors de l’analyse spectrale d’un signal de longue durée, nous n’avons accès, en pratique, qu’à une

portion limitée de ce signal. Le spectre obtenu correspond donc au spectre du signal à analyser auquel une «

fenêtre » a été préalablement multipliée. Pour ne pas altérer le spectre original, il faudrait que WR (f) (spectre

de la fenêtre) se rapproche le plus possible d’une distribution de Dirac. La distribution de Dirac étant l’élément

neutre du produit de convolution. Il y a deux éléments importants pour se rapprocher de la distribution de

Dirac. La finesse du lobe principale et la hauteur des lobes secondaires.

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 36

En effet, plus la largeur du pic principal est fine, plus la résolution

est grande, c’est-à-dire que l’on peut séparer des raies proches. Et plus les

lobes secondaires sont élevés plus on dégrade la forme du spectre. Il peut

y avoir apparition de pics fantômes. En outre, l’amplitude des lobes

latéraux détermine l’étalement spectral de la fenêtre. Un étalement

spectral trop grand nuira à la détection d’un signal d’amplitude faible en

présence d’un signal d’amplitude élevée.

- Fenêtre rectangulaire

Pour la fenêtre rectangulaire, on voit que la finesse du lobe principale peut

être réglée par le nombre d’échantillons N. Ainsi, plus on observe le signal

longtemps, plus la résolution du spectre augmente ce qui parait logique. Par

contre, λR varie très peu en fonction de N (-13dB), ce qui signifie qu’une

fenêtre rectangulaire apporte toujours une distorsion du spectre.

- Fenêtre Triangulaire

Pour obtenir la transformée de Fourier de la fenêtre triangulaire de largeur N,

rappelons que la convolution de deux signaux rectangulaires donne un signal

triangulaire. Ainsi, on peut exprimer cette fenêtre sous la forme dune

convolution de deux rectangles de largeur N/2. On observe une atténuation

des lobes secondaires (-24dB) par rapport à la fenêtre rectangulaire.

Malheureusement, ceci se fait au prix de l’élargissement du pic central (4/N).

- Autres fenêtres

−≤−

+−

+=

ailleurs

Nnpour

N

n

N

nnwBlack

02

1)

1

4cos(08.0)

1

2cos(5.042.0

)(ππ

−≤−

+=

ailleurs

Nnpour

N

nnwHam

02

1)

1

2cos(46.054.0

)(π

−≤=

ailleurs

Nnpour

I

I

nwKais

0

2

1

)(

)(

)( 0

0

αβ

où α est un paramètre, 2)1

2(1

−−=

N

nαβ et ∑∞+

=

+=1

2

0 2!

11)(

k

kx

kxI

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 37

Dans un problème d’analyse spectrale, on utilise généralement plusieurs fenêtres l’une après l’autre

afin d’obtenir un bon compromis résolution/déformation.

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 38

4. Calcul de la FFT ou TFR

La TFD est restée un outil peu utilisée jusqu’à l’apparition d’algorithmes « rapides » permettant son

calcul. Le plus connu est du à Cooley et Tuckey et date de 1965. Le calcul direct de la TFD sur N points

nécessite 2N2 multiplications et 2N(N-1) additions. L’algorithme proposé réduit à Nlog2(N) le nombre

d’opérations. Sans nuire à la généralité, prenons le cas de N=8. Il faut calculer :

Soit : alors

Pour N=8, explicitons la relation précédente :

Les facteurs Wn présentent un certain nombre de propriétés dont certaines sont mises à profit dans

l’algorithme :

L’algorithme suppose que N est pair : posons N=2 P. Introduisons les 2 sous-suites de sn en fonction de

la parité de n.

∑∑=

−−

=

−==

7

0

21

0

2

n

N

knj

n

N

n

N

knj

nk esesSππ

∑=

=

−=7

0

2exp

n

nkNnkN WsS

NjW

π

=

7

6

5

4

3

2

1

0

498

428

358

288

218

148

78

08

428

368

308

248

188

128

68

08

358

308

258

208

158

108

58

08

288

248

208

168

128

88

48

08

218

188

158

128

98

68

38

08

148

128

108

88

68

48

28

08

78

68

58

48

38

28

18

08

08

08

08

08

08

08

08

08

7

6

5

4

3

2

1

0

s

s

s

s

s

s

s

s

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

S

S

S

S

S

S

S

S

nN

NnN

NN

nNN WWWW =−== + ,1 ,1 2/

=

7

6

5

4

3

2

1

0

18

28

38

48

58

68

78

08

28

48

68

08

28

48

68

08

38

68

18

48

78

28

58

08

48

08

48

08

48

08

48

08

58

28

78

48

18

68

38

08

68

48

28

08

68

48

28

08

78

68

58

48

38

28

18

08

08

08

08

08

08

08

08

08

7

6

5

4

3

2

1

0

s

s

s

s

s

s

s

s

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

S

S

S

S

S

S

S

S

{ }{ }

1,...,012

1,...,02

−=+

−=

=

=

Pnnn

Pnnn

sv

su

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 39

On obtient ainsi :

Par ailleurs,

Le calcul de la FFT revient donc à calculer Uk et Vk qui sont les TFD sur P points des suites de termes de

rang pair et impair. Le calcul revient au schéma suivant :

On s’aperçoit sur le schéma précédent qu’il ne reste qu’à exprimer les Uk et Vk. Or, ce sont des TFD sur P

points, qui peuvent reprendre le même schéma que précédemment. Cela est faisable si P est pair. On peut

réitérer le processus à chaque sous-étage, si cette condition est à chaque fois vérifiée, donc si N au départ est

une puissance de 2. En pratique, lorsque cela n’est pas le cas, les suites d’échantillons sont complétées par des

zéros jusqu’à la puissance de 2 immédiatement supérieure. (zero padding).

Il y a d’autres algorithmes qui ne présentent pas cette contrainte (mais en

présentent d’autres). L’algorithme ainsi mis en œuvre présente des motifs à

croisement appelé « algorithme papillon ». Notons l’entrelacement temporel qui

« bouscule » l’ordre d’apparition des échantillons.

s0

s2

s4

s6

s1

s3

s5

s7

W80

W81

W82

W83

+ +

+ +

-

- - -

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

U0

U2

U4

U6

V1

V3

V5

V7

+ +

- -

+

+ - -

W40

W42

W40

W42

+ -

+ - + - +

-

W20

W20

W20

W20

kk

Nkk

P

i

ikPi

kN

P

i

ikPik

P

i

kiPi

P

i

ikPi

N

n

nkNnk

VWUS

WvWWuS

WvWuWsS

+=

+=

+==

∑∑

∑∑∑−

=

=

=

+−

=

=1

0

1

0

1

0

)12(2

1

0

22

1

0

kk

NkPk

P

i

ikPi

kN

P

i

ikPiPk

P

i

iPP

ikPi

PN

kN

P

i

iPP

ikPiPk

P

i

PkiPi

P

i

PkiPi

N

n

nPkNnPk

VWUS

WvWWuS

WWvWWWWuS

WvWuWsS

−=

−+=

+=

+==

+

=

=+

=

=+

=

++−

=

+−

=

++

∑∑

∑∑

∑∑∑

)(

1

0

1

0)(

1

0

1

0)(

1

0

))(12(2

1

0

)(22

1

0

)()(

1.)1(1.

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 40

Avec cette représentation, l’algorithme FFT se représente par :

L’algorithme de FFT peut s’écrire sous forme matricielle. On obtient :

Notons aussi que l’algorithme présenté est dit à entrelacement temporel. Une version tout à fait

symétrique et au même coût, opère les permutations sur les S et non les s : l’algorithme est dit à entrelacement

fréquentiel. Il y a d'autres variantes de l'algorithme FFT (base 4, etc.)

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Série n°3

1. Calculer la transformée de Fourier à temps discret (TFTD) de x(n)=δ(n) + 6 δ(n – 1) + 3δ(n – 2)

2. Calculer la TFD du signal s(n)=n pour N=2, 3, 4, 8.

3. Calculer la transformée de Fourier discrète (TFD) de la suite x(n) formée de N = 8 points (n ∈ [0,7]), obtenue

en échantillonnant à la fréquence fe = 16 Hz le signal s(t) = 2sin(8̟t)+8cos(4̟t)

4. Etant donné les signaux s(n)={1,-2,3,2} et v(n) ={-2,1,2,3}, déterminer w(n)=s(n)*v(n) par

- la méthode directe

- la méthode de la TFD

5. On a le signal suivant x(n)=e-anU(n), avec U(n) l’échelon unité, échantillonné à Te = 1.

- Calculer la TFTD

- Calculer la TDF et comparer

6. Soit x(n)=1/N pour 0 ≤ n ≤ N-1 et 0 ailleurs. Calculer sa TFD X(k) pour N=4.

Solutions

1. X(f)=1+6.e-2πjf+ 3.e-4πjf

2. N=2, Xk=[1, -1] N=3, Xk=

+−−− )31(2

3),31(

2

3,3 jj N=4, Xk= [ ]jj 22,2,22,6 −−−−

3.

=

7

6

5

4

3

2

1

0

498

428

358

288

218

148

78

08

428

368

308

248

188

128

68

08

358

308

258

208

158

108

58

08

288

248

208

168

128

88

48

08

218

188

158

128

98

68

38

08

148

128

108

88

68

48

28

08

78

68

58

48

38

28

18

08

08

08

08

08

08

08

08

08

7

6

5

4

3

2

1

0

s

s

s

s

s

s

s

s

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

S

S

S

S

S

S

S

S

=

=

7

6

5

4

3

2

1

0

18

28

38

48

58

68

78

08

28

48

68

08

28

48

68

08

38

68

18

48

78

28

58

08

48

08

48

08

48

08

48

08

58

28

78

48

18

68

38

08

68

48

28

08

68

48

28

08

78

68

58

48

38

28

18

08

08

08

08

08

08

08

08

08

7

6

5

4

3

2

1

0

s

s

s

s

s

s

s

s

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

WWWWWWWW

S

S

S

S

S

S

S

S

Avec [ ]2420242824202428 +−−−−−+=ns

et

+−−−−−−−= )1(

2

2)1(

2

21)1(

2

2)1(

2

218 jjjjjjW k

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

F.E.I., U.S.T.H.B. 42

4. Convolution circulaire w(n)=s(n)*v(n) =[0, 18, 0, -2]

−−−−

−−=

=

jj

jj

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

à

11

1111

11

1111

14

24

34

04

244

24

04

34

24

14

04

04

04

04

04

94

64

34

04

64

44

24

04

34

24

14

04

04

04

04

04

Sk=[4, 4j-2, 4, -2-4j] Vk=[4, -4+2j, -4, -4-2j] Wk=[16, -20j, -16, 20j] ⇒ w(n)=[0, 18, 0, -2]

5. TFTD fjaefX π21

1)( −−−

= TFD Nkja

aN

e

ekX

/21

1)( π−−

−−=

6. NNkje

Nk

k

NkX /)1(

)/sin(

)sin(1)( −−= π

ππ

4/3

)4/sin(

)sin(

4

1)( kje

k

kkX π

ππ −=

Exercices supplémentaires

1. Calculer la Transformée de Fourier Discrète de la suite comportant N = 16 termes tels que :

x (0) = x (1) = x (2) = x (14) = x (15) = 1 x (n) = 0 pour 3 ≤ n ≤ 13

et de la suite : x (0) = x (1) = x (2) = x (3) = x (4) = 1 x (n) = 0 pour 5 ≤ n ≤ 15

- Comparer les résultats obtenus.

- Effectuer la Transformée inverse sur ces résultats.

2. Calculer la TFD de la suite x(n) formée de N =24 points obtenus en échantillonnant le signal

x(t)=3.sin(8̟t)+4.cos(6̟t) à la fréquence fe = 24 Hz.

3. Calculer et tracer le module de la TFD des signaux suivants :

=+

=aileurs

nsin

nh0

3,..,010

)1()(

+=++=

==

242

34,141

40

)(

knsi

kknsi

knsi

nh

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Analyse et Filtrage des signaux numériques M1 ST/TRM (2013/2014)

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TP n°2 : TFD

Rappels 1. Transformée de Fourier Discrète La TFD d’ordre N d’un signal numérique s(kTe), k=0…N-1 est définie par :

∑−

=

− −==

=1

0

/2 2/.......2/,)()(N

n

Nnkjee NNkenTsf

N

kSkS π

Sa transformée inverse est donnée par:

( ) ∑−

−=

−===12/

2/

/2 1.......0,)/(1

)(N

Nk

Nnkjee NneNkfS

NnTsns π

Par abus d’écriture et pour simplifier on note s(k) et S(n) le signal et sa TFD en omettant les facteurs Te et Fe. N est souvent une puissance de 2 et dans ce cas il ya un algorithme rapide de calcul des N coefficients de la TFD. On parle alors de FFT (Fast Fourier Transform). Matlab fournit la fonction fft pour calculer la transformée de Fourier complexe d’un vecteur. Ainsi aux coefficients s(1)…s(N) correspondent par TFD les coefficients S(1)…S(N). Il suffit d'écrire fft(s,N). La transformée inverse est donnée par ifft(s,N). Le vecteur signal étant de dimension finie, c'est la transformée discrète qui est calculée. Si N est la longueur du signal, le spectre sera un vecteur complexe de même longueur qui pourra être représenté en coordonnées cartésiennes (partie réelle et imaginaire fonction real et imag), ou en coordonnées polaires (module et phase, fonction matlab abs et angle ou unwrap).

Prenons le cas d’une sinusoïde, les fréquences vont être graduées en Hz en supposant une

fréquence d’échantillonnage fe de 1Kz, les fréquences supérieures à 500Hz correspondent aux fréquences négatives du spectre. Pour approximer la Transformée de Fourier continue d’un signal x(t), représenté suivant un pas Te, on utilise la commande : fx= fftshift( fft(x)). On remarquera que la TF est une fonction complexe et que la fonction ainsi obtenue décrit la TF de x(t) entre –1/(2 Te) et 1/(2 Te) par pas de 1/(nTe) où n est le nombre de points constituant le signal x(t). La commande fft codant les fréquences positives sur les n/2 premières valeurs du signal et les valeurs négatives entre n/2+1 et n, la commande fftshift permet de les inverser.

2. Exemple d'utilisation de la FFT sous matlab Taper le programme suivant et commenter les graphes obtenus clc; clear all N=100; fo=1000; Fe=8000; Te=1/Fe; n=0:1:N-1;

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F.E.I., U.S.T.H.B. 44

x=sin(2*pi*fo*n*Te); subplot(2,2,1); t=Te*[0:1:N-1]; plot(t,x, 'gx:' ); grid; y=fft(x); axe_FF=Fe*(0:1/N:1-(1/N)); subplot(2,2,2); plot(axe_FF,abs(y/N), 'b.:' ); grid; title( 'Transformée de Fourier Discrète par FFT du signal entre 0 et fe' ) xlabel( 'fréquence' ); ylabel( 'Module du spectre' ); subplot(2,2,3); y_dec=fftshift(y); axe_freq=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N), 'b.:' ); grid; title( 'Transformée de Fourier Discrète par FFT du signal entre -fe/2 et fe/2' ) xlabel( 'fréquence' ); ylabel( 'Module du spectre' ); %FFT inverse % FFT_INV=ifft(y); subplot(2,2,4); plot(t,FFT_INV, 'bx:' ); grid; title( 'Transformée de Fourier Discrète inverse du signal N=100' ) xlabel( 'temps' ); ylabel( 'Amplitude' );

I. Soit la fonction 0)( >= − aetx ta

1- Tracer le signal x(t) entre –5 et 5 pour a = 1, avec un pas de temps Te = 0.01 s (Utiliser la fonction length pour connaitre la taille (N) de x) 2- Tracer le module de la transformée de Fourier.

3- Illustrer la propriété de décalage fréquentiel de la TF en représentant le module de la TF de x(t) × e2Πjfot avec fo=5 Hz. 4- Vérifier la relation de Parseval. II. Transformée de Fourier d'une porte clc; clear all N=10; Fe=1 ; Te=1/Fe; t=Te*[1:1:N]; x=ones(1,N); subplot(2,1,1); plot(t,x, 'gx:' ); grid; NF=100; y=fft(x,NF); y_dec=fftshift(y); subplot(2,1,2); axe_freq=Fe*(-1/2:1/NF:1/2-(1/NF)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N), 'b.:' ); grid; 1- Quelle est la largeur ∆f du lobe principal ? (utiliser ginput) 2- Afficher le module de la transformée de Fourier en décibels. Utiliser la fonction 'log10' pour afficher les échelles sur le graphique. 3- Vérifier que l'on a bien environ 13 dB entre le max du lobe principal et le max du lobe secondaire. 4- Vérifier que pour une porte de largeur P = 50 échantillons, on a toujours environ 13 dB. III. Transformée de Fourier d'une fenêtre triangulaire clc; clear all N=10; Fe=1 ; Te=1/Fe; x=conv(ones(1,N/2),ones(1,N/2)); subplot(2,1,1); plot(x); grid; NF=100; y=fft(x,NF); y_dec=fftshift(y); subplot(2,1,2); axe_freq=Fe*(-1/2:1/NF:1/2-(1/NF)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N), 'b.:' ); grid; 1- Afficher le module de la transformée de Fourier sur une échelle linéaire puis en dB. 2- Quelle est la largeur du lobe principal ? 3- Quel est le rapport en dB entre le max du lobe principal et le max du lobe secondaire ?

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F.E.I., U.S.T.H.B. 45

TP n°3 : Fenêtrage

But : Mettre en évidence les propriétés du fenêtrage (Triangulaire, Hanning, Blackman, etc.) Prog 1 Commenter les graphes obtenus par ce programme : clear all ; close all ; Nt=50; Fe=8000; Te=1/Fe; f0=1680; t=(0:Nt-1)*Te; x=exp(2*pi*j*f0*t); y=fft(x); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/Nt:1/ 2-(1/Nt)); subplot(2,2,1); stem(axe_f,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 50 pts' ) N=100; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1 /2-(1/N)); subplot(2,2,2); plot(axe_f,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 100 pts' ) N=1000; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1 /2-(1/N)); subplot(2,2,3); plot(axe_f,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 1000 pts' ) N=50; f0=1600; x=exp(2*pi*j*f0*t); y=fft(x); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1/2 -(1/N)); subplot(2,2,4); stem(axe_f,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 50 pts' ) 1. Quelle fenêtre est utilisée par ce programme ? Citer ses caractéristiques (résolution fréquentielle, atténuation lobes secondaires), avantages et inconvénients. 2. Que est l‘intérêt d’augmenter N ? Comment appelle-t-on cette technique ? 3. Expliquer la TFD obtenue pour f0=1600 (disparition des lobes secondaires). 4. Notez que la résolution fréquentielle est toujours la même (elle dépend de Nt et non de N). Prog 2 clc; clear all ; close all ; Nt=50; Fe=8000; Te=1/Fe; f0=1680; t=(0:Nt-1)*Te; x=exp(2*pi*j*f0*t); figure; N=500; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1 /2-(1/N)); plot(axe_f,abs(yy), 'b' ); grid; title( 'TFD Fenêtre réctangulaire' ); hold on; fen=hanning(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy), 'r' ); grid; title( 'TFD Fenêtre Hanning' ) fen=triang(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy), 'g' ); grid; title( 'TFD Fenêtre triangulaire ' ) fen=blackman(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy), 'm' ); grid; title( 'TFD Fenêtre Blackman ' ) 1. Faites varier N (100 et 1000) et commenter. Quel est le rôle de N ?

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1. Calculer la largeur du lobe principale pour chaque fenêtre en fonction de fe et Nt 2. Comparer et commenter les différents graphes. Prog 3 : Calculer la transformée de Fourier discrète d'une paire d'exponentielles complexes. On générer 100 échantillons d'une somme de deux exponentielles complexes de fréquences F1 = 1680 Hz et F2 = 1780 Hz échantillonnées à Fe = 8 kHz, et de même amplitude. On calculer la TFD du signal sur N=128, 256 et 1024 points fréquentiels, et on affiche le module. clc; clear all ; close all ; Nt=100; Fe=8000; Te=1/Fe; f0=1680; f1=1880;A1=1; A 2=0.2; t=(0:Nt-1)*Te; x=A1*exp(2*pi*j*f0*t)+A2*exp(2*pi*j* f1*t); figure (1);subplot(2,2,1); plot(t,real(x)); grid; N=128; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axefreq=Fe*(-1/2:1/N :1/2-(1/N)); subplot(2,2,2); plot(axefreq,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 128 pts' ) N=256; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axefreq=Fe*(-1/2:1/N :1/2-(1/N)); subplot(2,2,3); plot(axefreq,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 256 pts' ) N=1024; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axefreq=Fe*(-1/2:1/N :1/2-(1/N)); subplot(2,2,4); plot(axefreq,abs(yy)); grid; title( 'TFD sur 1024 pts' ) 1. Pour quelle valeur de N, les sinusoïdes sont résolues ? 2. Calculer la TFD de x pour N=1024 en employant d'autres fenêtres (triang, hanning, blackman) 3. Reprendre la question 2 en prenant F1 = 1680 Hz et F2 = 1880 Hz avec des amplitudes A1=1 et A2=0.2 4. Commenter les graphes obtenus en 2 et 3.