TENSEURS

• Un espace vectoriel physique permet de représenter un état du système étudié comme un point de l’espace.

• L’espace vectoriel représente l’ensemble des états possibles que peut prendre le système : c’est l’espace des états

• Cela détermine la dimension de l’espace à utiliser

• A cet espace vectoriel E de dimension n, on associe un corps scalaire K.

• Dans cet espace on a choisi un système de coordonnées

• Au système de coordonnées correspond une base (e1, e2, …, en) de n vecteurs

• A partir de E et de K on peut construire un ensemble de fonctions constitué des homomorphismes de E dans K

• Les coordonnées d’une de ces fonctions sont obtenues en appliquant la fonction sur chacun des vecteurs de base de E

ΛΛΛΛ(ei) = Λi

Si u est un vecteur de E alors u= ui ei

ΛΛΛΛ(u) = ΛΛΛΛ(ui ei) = ui ΛΛΛΛ(ei) = ui Λi

• On distingue n homomorphismes particuliers à l’aide de la relation canonique

ei (ej) = δij

• On peut alors décomposer tout homomorphisme sur cette famille libre et génératrice

ΛΛΛΛ = Λi ei

• Nous obtenons un nouvel espace vectoriel de dimension n : l’espace dual E* défini sur le corps scalaire K

• E* étant un espace vectoriel, nous pouvons alors définir son dual en utilisant la même démarche

• Il est impossible de distinguer E** de E. Le bidual est donc confondu avec l’espace vectoriel initial E.

u(ΛΛΛΛ) = u(Λi ei) = Λi u(ei) = Λi uj ej(ei)u(ΛΛΛΛ) = Λi uj δi

j = Λi ui

• En utilisant E et E* on est alors capable de définir des ensembles de fonctions T définies sur Ep x E*q dans K qui sont linéaires par rapport à chaque argument .

• Chacun de ces ensembles forme un espace vectoriel défini sur le corps K

• Les éléments de ces espaces vectoriels sont appelés tenseurs

• Les coordonnées de T sont obtenues par la relation suivante :

• T(ei1,…, eip,ej1, …,ejq) = Ti1 …ip j1 …jq

• Les indices i1 à ip et les exposants j1 à jq varient de 1 à n la dimension de E

• T possède donc n p+q composantes

• Chacun de ces espaces se différencie des autres par sa dimension et donc par la somme : p+q qui détermine le rang du tenseur

• Mais surtout par ses arguments et donc par le couple (q, p) qui détermine le type du tenseur

• La position des indices et des exposants dans l’écriture des coordonnées du tenseur traduit l’appartenance de T à un de ces espaces

• On connaît les coordonnées d’un tenseur mais comment détermine-t-on la base correspondante ?

• Prenons un tenseur Tde rang 2 et de type (1, 1)

• Ses coordonnées sont : Tij =T(ei, ej)

T(u, ΛΛΛΛ) = T(ui ei, Λj ej) =ui Λj T(ei, ej)

T(u, ΛΛΛΛ) = ui Λj Tij

• Opération produit tensoriel

• Soient µµµµ une forme linéaire et v un vecteur

µµµµ ⊗ v (u, ΛΛΛΛ) = µµµµ(u) v(ΛΛΛΛ) = µi ui vj Λj

Cette opération définit une application bilinéaire et constitue bien un tenseur de type (1,1)

Elle est anticommutative

• Utilisons maintenant les vecteurs et les formes linéaires de base

ei ⊗ ej (u, ΛΛΛΛ) = ei(u) ej(ΛΛΛΛ) = ui Λj

• Nous pouvons définir n2 formes bilinéaires différentes

• En utilisant les n2 coordonnées Tij nous

pouvons définir un nouvelle forme bilinéaire

T’ = Tij ei ⊗ ej

T’(u, ΛΛΛΛ) = Tij ei ⊗ ej (u, ΛΛΛΛ) = Ti

j ui Λj = T(u, ΛΛΛΛ)

• Les ei ⊗ ej forment donc une base de l’espace des tenseurs de type (1, 1)

• La démarche est identique pour tous les espaces constitués par les fonctionnelles multilinéaires

• Un élément de la base des tenseurs de type (q, p) s’écrit donc

el1 ⊗ … ⊗ elp ⊗ ek1 ⊗ … ⊗ ekq

D’où

T = Tl1 …lpk1 …kq el1 ⊗ … ⊗ elp ⊗ ek1 ⊗ … ⊗ ekq

• Le choix du système de coordonnées dans l’espace vectoriel E (et par conséquent de sa base) fixe de façon unique les bases des espaces de tenseurs (et par conséquent leurs coordonnées)

• Comment déterminer si un objet représenté par une « collection » de n p+q

nombres est un tenseur ?

• Conséquences d’un changement de système de coordonnées dans E

• base (e1, e2, …, en) → coordonnées (x1, x2, …, xn)

• base (E1, E2, …, En) → coordonnées (y1, y2, …, yn)

• Changement de base Ej= eij

i

yx

∂∂

• Dans le dual E* nous obtenons alors :

El (Ej) = δlj

( ) lji

lj

i

ij

il

yx

yx δ=

∂∂=

∂∂ eeeeEEEEeeeeEEEE

ljs

j

il

j

i

s

j

xy

yx

xy δ

∂∂=

∂∂

∂∂

)(eeeeEEEE

On remarque que :

il vient alors :

d’où :

isj

i

s

j

yx

xy δ=

∂∂

∂∂

jj

ll

xy eeeeEEEE

∂∂=

)()( sj

j

lj

sj

l

s

l

sl

xy

xy

xy eeeeeeeeeeeeEEEE

∂∂=

∂∂=

∂∂= δ

• Reprenons l’exemple du tenseur de type (1, 1)

T = Tij ei ⊗ ej

Dans la nouvelle base on obtient

T = T’lk El ⊗ Ek

• T est un élément d’un espace vectoriel• Ces deux expressions sont donc équivalentes

• En écrivant cette égalité on détermine la relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées.

• On obtient alors :

i

l

k

jkl

ji x

y

y

xTT

∂∂

∂∂= '

• Pour déterminer la loi de transformation des coordonnées d’un tenseur de type quelconque il suffit d’appliquer la même démarche.

• On remplace dans l’expression de T les nouveaux vecteurs de base par leur expression en fonction des anciens et les nouvelles formes linéaires de base par leur expression en fonction des anciennes

• Il ne reste plus qu’à identifier terme à terme les coordonnées de T

Es1 ⊗ … ⊗ Esq ⊗ Ek1 ⊗ … ⊗ Ekp

• Est un élément de base des tenseurs de type (p, q)

•On remplace chaque élément en utilisant ces deux relations

j1

k1

eeeeEEEE

eeeeEEEE

1

1

11

11

k

j

ii

ss

yx

xy

∂∂→

∂∂→

• La loi de transformation suivie par les coordonnées est donc caractéristique d’une fonctionnelle multilinéaire et dépend directement de son type.

• Tout objet représenté par une collection de nh éléments qui vérifie une de ces lois de transformation est un tenseur

• L’écriture de la loi donne le type (p, q) du tenseur, h= p +q

• Nous venons de définir une « famille » d’espaces vectoriels.

• Le choix du système de coordonnées dans l’espace géométrique modélisé E fixe les bases pour l’ensemble de la « famille »

• Quelles opérations peut-on effectuer sur les éléments de cette « famille » ?

• Un tenseur de type (p, q) appartient à un espace vectoriel.

• On peux donc sommer deux tenseurs de même type (opération interne)

• On peux multiplier ce tenseur par un élément du corps scalaire (opération externe)

• Le résultat de ces opérations est un élément de l’espace vectoriel des tenseurs de type (p, q)

• A ces deux opérations on ajoute 3 opérations algébriques :

• Le produit tensoriel

• La permutation

• La contraction

Le produit tensoriel

• L’opération a été introduite dans le but d’expliciter les éléments de base des espaces de fonctions multilinéaires

• Soient µµµµ une forme linéaire et v un vecteurµ µ µ µ ⊗ v (ei, ej) = µµµµ(ei) v(ej) = µi vj

Les coordonnées de la forme bilinéaire sont(µ (µ (µ (µ ⊗ v) i

j = µi vj

• Cette opération se généralise sous la forme suivante

• Soient T un tenseur de type (p, q) et S un tenseur de type (k, l)T = Ta1 …aq

b1 …bp ea1 ⊗ … ⊗ eaq ⊗ eb1 ⊗ … ⊗ ebp

S = Sc1 …cld1 …dk ec1 ⊗ … ⊗ ecl ⊗ ed1 ⊗ … ⊗ edk

T ⊗ S = Ta1 …aqb1 …bp Sc1 …cl

d1 …dk

(ea1 ⊗ … ⊗ eaq ⊗ eb1 ⊗ … ⊗ ebp)⊗ (ec1 ⊗ … ⊗ ecl ⊗ ed1 ⊗ … ⊗ edk)

• Le résultat de cette opération est un nouveau tenseur de type (p+k, q+l)

• Les coordonnées du tenseur résultant sont :

• (T ⊗ S) a1 …aqb1 …bp

c1 …cld1 …dk

=

Ta1 …aqb1 …bp Sc1 …cl

d1 …dk

• Cette opération n’est pas commutative

(T ⊗ S) ≠ (S ⊗ T)

• Il faut donc faire attention à l’ordre des indices et des exposants dans l’écriture des coordonnées

La permutation

• Les opérations de permutation vont servir à rechercher les symétries (ou antisymétries) que présente un tenseur.

• Une forme bilinéaire est symétrique si :Bi1i2 = Bi2i1

Cette relation doit être vérifiée pour tous les indices i1 et i2

• Pour que cette relation ait un sens, nous devons écrire l’égalité des n2 composantes de 2 tenseurs

• L’inversion des indices est la traduction d’une permutation particulière définie par :

12

21σ

• L’opération précédente se traduit alors par :

(σT)i1i2 = Tiσ(1)iσ(2) = Ti2i1 coordonnée i1 i2 de(σT)

=Ti1i2 coordonnée i1 i2 de T

• On a appliqué la permutation σ au tenseur T• Le résultat est un tenseur de même type• La propriété de symétrie est obtenue en

comparant coordonnée à coordonnée les deux tenseurs

• La généralisation de cette opération à des tenseurs de type (p, q) est :

(σT) a1 …aqb1 …bp = Taσ(1) …aσ(q)

b1 …bp

σ est un permutation du groupe Sq des permutations de q indices

Il n’est pas possible de permuter des indices et des exposants entre eux

La contraction

• Cette opération sert à définir les quantités invariantes associées aux tenseurs

• C’est la généralisation de la notion de trace d’une application linéaire.

• Une application linéaire est un tenseur de rang 2 et de type (1,1)

T = Tij ei ⊗ ej

T (el, el) = Tij ei ⊗ ej (el, el) = Tl

l

• Le résultat de cette opération est un scalaire. Il est invariant par changement de système de coordonnées (ie de base)

• L’opération trace met en relation un tenseur de type (1, 1) avec un tenseur de type (0, 0) = (1-1,1-1)

• L’opération contraction met en relation un tenseur de type (p, q) avec un tenseur de type (p-1,q-1)

• Pour effectuer cette opération on doit préciser quel indice et quel exposant on va utiliser

• Prenons comme exemple un tenseur de rang 3 de type (2,1)

• Ses coordonnées sont Tijk i,j et k prennent

des valeurs de 1 à la dimension de l’espace

• Il est possible d’effectuer 2 contractions différentes sur T

Tj=Tsjs contraction entre le 1er exposant et l’indice

Ti=Tiss contraction entre le 2ème exposant et

l’indiceDans les deux cas le résultat est un vecteurLes deux vecteurs ne sont pas identiques

Résumé• Tenseur est un autre nom pour forme

multilinéaire• Il est caractérisé par son type qui précise à quel

espace vectoriel il appartient• Les coordonnées d’un tenseur de type (p, q)

possèdent p exposants et q indices• On caractérise un tenseur par la loi de

transformation de ses coordonnées lors d’un changement de base de l’espace des états

• En plus de l’addition interne et de la multiplication par un scalaire on définit 3 nouvelles opérations.