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Lois de ComportementMMC
Thomas Gomez
LML
2017-2018
// [email protected] 1/51
Outline I
1 Loi de comportement
2 Comportements de base
3 Les constantes lastiques
4 Au del du comportement lastique
5 Loi de rhologie pour les fluidesFluides de StokesFluides NewtoniensFluides non Newtonien
// [email protected] 2/51
Loi de comportement
Dfinition lien entre les grandeurs cinmatiques (vecteurs dplacements,tenseur des dformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indformable : la donne des efforts extrieurs dterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide dformable : bp plus dinconnues ! vecteur dplacement,tenseur des dformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture
Loi de comportement// [email protected] 3/51
Problme de fermeture
DfinitionInconnues : Densit , Dplacements ui, Dformations ij etContraintes ijLois universelles :
Conservation de la masse
@t+ @j(vj) = 0
Lois dquilibre :
Conservation de la quantit de mouvement
i = fi + @j(ij)
Conservation de lnergieDfinition des dformations (HPP) :
ij =12(@jui + @iuj)
La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinmatiques
f(ij , ui, ij , ...) = 0
Loi de comportement// [email protected] 4/51

Comportements de base
Elasticit
Comportements de base// [email protected] 5/51
Viscosit1687 : Isaac Newton voque les liquideset les coulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = dydtCoefficient de viscosit Newtonien :
(1643-1727)
Viscosit
Principaux comportements
Plasticit

Comportements mixtesElastoplasticitViscoplasticitElastoviscoplasticit...
Exemple : Viscoelasticite - Modle de Maxwell
x = xressort +xpatin =F
k+
F
=) F (t) = kZ t
1exp
k(t s)
x ds = L
0st(x)
Gnralisable au 3D : (x, t) = L0st,y20
((y, s))
Comportements : Pb modles
Comportements de base : Non Newtonien
Les essais
PlasticitLes essais de base
Matriaux dont le comportement est insensible la vitesse de
sollicitation
Essai de traction, ou essai dcrouissage.Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue.
Matriaux dont le comportement est sensible la vitesse de
sollicitation
Essai contrainte constante, ou de fluage.Essai dformation constante ou de relaxation.
Autres essaisEssai sous chargement multiple
Traction/torsion
Pression interne ou externe
Essais en flexion
Essais de fissuration

Les essais : Traction
Les essais : Compression
Les essais : Observations
ZonesDformations rversiblesDformations irrversiblesFonction de la nature dumatriau
Comportement lastique
DfinitionUn milieu est dit lastique si ltat de contrainte actuel est entirementdtermin par le gradient de la transformation linstant actuel et non par sonhistoire passe
(x, t) = L0
(F (X, t))
PropritsLe comportement ne dpend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dpend priori de la configuration de rfrence choisie0.

Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
PropritsCas Hypothse des Petites Perturbations (HPP) :
(x, t) = L(E(X, t))
Elasticit classique : Relation linaire entre contraintes et dformations Existence dun potentiel lastique w
ij [email protected]
@ij
Comportement lastique homogne sil est indpendant du point despace
= 0 + : E ,
Tenseur des modules dlasticit.0 Tenseur des contraintes rsiduelles.
+ Effets thermiques (linaires) = 0 + : E+RRRT
0 .
Loi de HookeSans contraintes rsiduelles ni effet thermique
= : E
Notation indicielleij = ijklkl
Tenseur dordre 4 : 81 coefficients pour les matriaux anisotropes.
Robert Hooke1678 : dveloppe sa "True Theory of elasticity" = E avec E module dYoung (Rigidit)
(1634-1703)
SymtrieSymtrie des tenseurs des dformations et des contraintes
ijkl = ijlk et ijkl = jikl
Se rduit 36 coefficientsHypothse thermodynamique - Le tenseur dlasticit est symtrique
ijkl = klij
=) Notation de Voigt : 21 coefficients indpendants0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 13 14 15 1612 22 23 24 25 2613 23 33 34 35 3614 24 34 44 45 4615 25 35 45 55 5616 26 36 46 56 66
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA
Cas orthotropeDfinition : les proprits lastiques prsentent une symtrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais linverse nest pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indpendants
0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 13 0 0 012 22 23 0 0 013 23 33 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 55 00 0 0 0 0 66
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA

Cas isotropeDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.Cas isotrope : 2 coefficients indpendants
0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 12 0 0 012 11 12 0 0 012 12 11 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 44 00 0 0 0 0 44
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA
Coefficients de Lam : et
11 = + 2 , 12 = , 44 =
Termes de rigidit lastiqueDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.
ij = ijkk + 2ij
avec kk = trace(E).Cette loi sinverse pour obtenir les dformations partir des contraintes(souplesses lastiques)
kk = (3+ 2)kk =) ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij
Les coefficients de Lam (Pa) ont une signification physiqueMesurables partir dessais spcifiques (traction, ...)
Les constantes lastiques
Essai de traction simple
=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
Les constantes lastiques// [email protected] 23/51
=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
Dfinition : On dfinit le module dYoung et le coefficient de Poisson
E =
Let = T
L
Daprs la loi de comportement lastique
ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij
=)(L =
12
2(3+2) =
+(3+2)
T = 2(3+2)

=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
On en dduit :Module dYoung
E =(3+ 2)
+
Coefficient de Poisson
=
2(+ )
Essai de glissement simple
=
0
@0 0 0 00 0 0
1
EEE =
0
@0 /2 0
/2 0 00 0 0
1
A
Essai de glissement simple
=
0
@0 0 0 00 0 0
1
EEE =
0
@0 /2 0
/2 0 00 0 0
1
A
Dfinition : On dfinit le module de Coulomb (de cisaillement) par
G =
Loi de comportement lastique
ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij =) /2 = 1/2
Module de CoulombG =
Essai de compression hydrostatique
=
0
@ 0 00 00 0
1
A ()Loi de com

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