VALORISATION DES ACTIFS FINANCIERS AVEC MESURE DE …

PIERRE GILBERT

VALORISATION DES ACTIFS FINANCIERS AVEC MESURE DE RICHESSE AGRÉGÉE

Memoire presenté

à la Faculte des dtudes sup6rieures de l'Université Laval

pour l'obtention du grade de Maître es arts (M.A.)

Departement d'Économique FACULTG DES SCIENCES SOCIALES

UNIVERSITE LAVAL

NOVEMBRE 1999

@) Pierre Gilbert, 1999

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Résumé

Le but poursuivi par ce mémoire est d'évaluer les effets de l'utilisation d'une nouvelle variable economique sur les résultats empiriques du CAPM de consommation de Lucas (1978) et Breeden (1979). Il est proposé de considérer dans la valorisation des actifs une variable représentant la richesse agrégée de l'bconomie. Cette mesure de richesse englobe A la fois la richesse physique et financi4re de la population et une mesure du capital humain. Traditionnellement, seule une mesure imparfaite de la richesse financière, eg. un indice de capitalisation boursiére, &ait considtkee.

Dans un premier temps, les estimations indiquent que les probkmes empiriques du modéle standard sont amplifiés lorsque la richesse est considérée. C'ne modification au modèle est par la suite proposée pour accorder un rôle plus précis à cette variable dans la valorisation des actifs. Des améliorations importantes sont constatées sur le plan empirique suite à cette modification.

Avant-propos

Certaines personnes, parce qu'elles ne comprennent rien aux fluctuations des marchés

financiers, soutiennent que l'économie financiere n'a pas sa place au sein de la science économique. Il peut étre utile de leur rappeler que ce n'est pas parce que certains

phénoménes sont mal compris qu'ils sont nécessairement irrationnels.

Le rôle de l'économie financière n'est pas de prkdire les fluctuations quotidiennes

du marchd (Y arriver nous conduirait assurément vers la gloire et la prospérité, ce qui n'est pas notre objectif.. .) , mais de trouver des explications aux phénornénes observés

et de mieux comprendre son fonctionnement.

Ce memoire represente l'aboutissement de mes études en économique à l'Université

Laval. Il m'a permis de toucher au travail de recherche en sciences économiques et

de mettre en application nombre des notions acquises au cours des quatres derniéres années, autant en &onornie, qu'en bconométrie et en finance. J' ai pris godt B ce

travail et je garde un vif intéret pour la recherche.

J'aimerais adresser mes premiers remerciements B Pascal St-Amour pour ses judi-

cieux conseils et tout le soutien qu'il m'a apporté. Le choix de Pascal comme directeur

de recherche s'est avk6 tout B fait naturel pour moi, étant dom4 son intérêt pour l'économie hanciére et ses qualit& de professeur. J'ai été emballk de travailler avec lui, par les pistes qu'il m'a suggéré et son encadrement me laissant toute l'autonomie voulue.

Je tiens dgalement B remercier Mme Lynda Khalaf pour les conseils précieux don- nés dans ma poursuite de la convergence.

Je remercie enfin l'université de m'avoir fourni le gîte au DeSeve pour tous ces jours, tous ces soirs et ces quelques nuits passes entre ses quatre murs de béton, en prbsence de cette belle arche inspiratrice et des quelques fantômes qui hantent le réseau.

Table des matières

Avant-propos

Introduction

1 Survol de la litthrature

1.1 Les modéles traditionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Le CAPM de consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Le modèle standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Les anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Les solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 La richesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Cadre théorique

2.1 Utilitk sbparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Consommation optimale linhaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Consommation optimale non linéaire . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Utilitk non espbrée et consommation optimale lin6aire . . . . . . . .

iii

3 Cadre empirique 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Méthode d'estimation 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dombes 21

4 Analyse empirique 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Les anomalies 24

. . . . . . 4.1.1 Deux rendements : indice boursier et bons du trésor 24

. . . . . 4.1.2 Deux rendements: richesse agrégée et bons du tresor 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Trois rendements 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Utilitk separable 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Consommation optimale linkaire 28

. . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Consommation optimale non linkaire 30

. . . . . . . . . 4.3 Utiliti! non esphree et consommation optimale linéaire 31

Conclusion

Annexes

A Utilith separable 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Propension B consommer constante 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Log-iinéarisation des conditions d'Euler 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Consommation optimale linéaire 40

. . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Consommation optimale non linhire 42

0 Utilite non esp6rée

B.1 Propension à consommer constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B .2 Log-hhisation des conditions d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

C Graphiques

D Estimation

Liste des tableau

D.?

0.8

Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Deux rendements : indice boursier et bons du trésor . . . . . . . . 25

Deux rendements: richesse agrhgee et bons du tresor . . . . . . . . . 26

Trois rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Consommation optimale linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Consommation optimale non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Wtilitenonesper6e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Deux rendements: indice boursier et bons du trésor . . . 52

. . . . . . . . . Deux rendements : richesse agregee et bons du trésor 53

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tkois rendements 54

Consommation optimale lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consommation optimale non linéaire 55

Utilitb non espbrée (P = 0.9600) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Utilité non esperée (p = 0.9740) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilité non espétée (P = 0.9925) 57

Liste des graphiques

4.1 Propension moyenne à consommer la richesse . . . . . . . . . . . . . . 28

C.l Consommation per cagita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

C.2 Richesse per capita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

C.3 Propension moyenne à consommer la richesse . . . . . . . . . . . . . 48

C.4 Taux de croissance de la consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

CS Rendement sur la richesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

C.6 Rendement sur l'indice du TSEJOO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

C.7 Rendement sur les bons du trésor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Introduction

Les économistes cherchent depuis longtemps à comprendre les véritables relations qui

lient le rendement et le risque des actifs financiers. La science economique dispose de plusieurs outils pour étudier cette question fondamentale en finance. Plusieurs theones ont kt6 avancees, basées sur le principe suivant lequel l'investisseur choisit le portefeuille qui maximise le rendement espéré pour un niveau de risque donné ou minimise le risque pour un rendement donne. Chacune adopte une définition differente

du concept de risque.

Notre analyse s'appuie dans une large mesure sur les bases d&eloppées par Lu- cas (1978) et Breeden (1979) pour leur modele d'équiübre génhral de valorisation des

actifs bas4 sur la consommation. Selon le CAPM de consommation (CAPM-C), les rendements dependent des décisions de consommation et d'épargne d'un agent repré- sentatif montrant de l'aversion pour le risque. Celui-ci valorise davantage les actifs qui

lui permettent de rbduire les fluctuations de sa consommation. Les tests empiriques

sur le modéle ne sont toutefois pas parvenus B valider la théorie. Les rbsultats laissent paraître certaines anomalies.

D'abord, pour expliquer les primes de risque observées l , le niveau d'aversion au risque exigé par le modéle est excessif. D'autre part, il faut un taux de prkfhrence pour le temps nbgatif pour expliquer le rendement silr. Autrement dit, les rendements

boursiers sont trop élevés et les taux d'intéret trop faibles pour être expliques par le CAPM de consommation. De plus, il est possible de prédire certaines variations

1. Le rendement auppl&mentaïm, par rapport au rendement d'un actif sana risque, exigé par l'investisrieur pour accepter d'investir dana un actif risquk.

INTRODUCTION 2

dans les primes de risque alors que la théorie ne permet pas de tels mouvements. Ces puztles alimentent depuis bon nombre d'années une littérature abondante et diversifiée cherchant & résoudre les anomalies, sans toutefois y parvenir.

Pour notre part, nous souhaitons vérifier si I'intbgration d'une nouvelle mriable au modèle standard permet de tirer des conclusions diffhentes sur la performance empirique du CAPM-C. Nous utilisons une mesure de la richesse agrégee disponible

pour le Canada. Cette mesure inclut non seulement les actifs financiers, mais tous

les autres actifs de l'konomie, par exemple l'immobilier et les biens durables, des composantes importantes de la fichesse physique des consommateurs. Elle inclut en

plus une mesure de richesse humaine, souvent négligée. Jusqu'ici, il existait peu de

series chronologiques sur la richesse, expliquant sans doute pourquoi cette avenue de recherche est restée largement inexplorée.

Aprés avoir passe en revue la litterature sur la modélisation des rendements et la résolution des anomalies, nous expliquons comment nous comptons integrer au modéle la mesure de richesse. Nous discutons ensuite des aspects empiriques de l'analyse et

présentons les resultats que nous avons obtenus.

Chapitre 1

Survol de la littérature

1.1 Les modèles traditionnels

Dans les milieux hanciers, deux modèles sont principalement utilises par les analystes pour evaluer le prix des actifs financiers.

Le modéle le plus connu est certainement le CAPM (Capital Asset Pricing Theory) développé par Sharpe (1964) et Lintner (1965). Le risque y est mesure par la cova-

riance du rendement de l'actif avec le rendement du marche. Lorsque le rendement d'un titre est fortement corrélé avec le rendement du marche, il tend B augmenter la volatilité du portefeuille de l'investisseur. L'investisseur exigera pour le dhtenir un rendement supérieur. Même si le CAPM est largement utilise, les tests empiriques employb pour valider le moddle ont 4th serieusement critiqués par Roll (1977). En effet, il s'avére impossible de tester le CAPM sans connaître avec exactitude la com- position du portefeuille de marché, qui contient tous les actifs de l'économie. Dans les analyses empiriques, un indice boursier est souvent employé comme proq du portefeuille de march4. Pourtant, les actitP qui composent cet indice ne représentent qu'un faible pourcentage du portefeuille de march6.

Une alternative prbtendant résoudre ce problème fut propos& par Ross (1976).

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTI&ATURE

L'APT (Arbitrage Pricing Theory) est base sur l'hypothése de compétitivité des mar-

ches financiers : s'il existe des opportunités d'arbitrage sur les marchés, elles sont im- médiatement exploitbes jjuqu'à ce que les prix retrouvent leur hquilibre. La théorie repose sur des hypothèses moins restrictives que le CAPM. Elle posséde aussi l'avantage d'ajouter des dimensions au risque. En enet, le rendement exigé sur un actif est déterminé par plusieurs facteun, eg. des variables macroéconomiques. Le risque d'un titre est mesuré par sa sensibilité aux variations de ces facteurs. Par contre, l'identitk

des facteurs à privilégier et leur nombre restent discutables.

Dans ces deux modéles, le rendement sans risque et le prix du risque, Le. la prime de risque divisé par la quantité de risque, demeurent des facteurs exogènes que la théorie ne cherche pas A justifier. D'autre part, il s'agit de modéles statiques ne considhrant pas les questions d'allocation inter- temporelle Liées aux décisions de consommation et d'épargne de l'investisseur.

1.2 Le CAPM de consommation

Pour traiter de ces questions B l'intérieur d'un cadre econornique plus rigoureux, Lucas (1978) et Breeden (1979) considérent un modele de maximisation de l'utilitb espQ6e des agents. Les actifs financiers deviennent alors des instruments permettant de transférer dans le temps des unités de consommation. La demande et l'offre de ces instruments déterminent leur prix, et donc leur rendement. Les agents souhaitent transfbrer de la consommation des périodes où leur utilite marginale est faible (phriode de forte consommation) aux périodes oil l'utilité marginale est 4levée (phriode de faible consommation). Ils veulent ainsi rbduire les fluctuations de leur consommation entre les pbriodea.

Lucas (1978) considéte une économie d'échange pure dans laquelle un agent re- prhntatif doue B chaque phriode une part de sa richesse réeile A la consommation et investit le reste dans un portefeuille composé d'un actif non risqub et d'actifs ris- qués. L'objectif de l'agent est de maximiser sur un horizon infini son utilite sujet & sa

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTÉRATURE

contrainte budgétaire inter-temporelle.

sous la contrainte que

où Eo est l'opérateur d'esperance conditionnelle ii l'information disponible au temps 0, B est le facteur d'escompte subjectif, CI(*) est la fonction d'utilitk instantanée de

l'agent et Ct est la consommation à la phiode t. s;, P/, Df sont respectivement la quantite et le prix de l'actif j et le dividende qu'il verse. Qt et Bt sont le prix et la quantite de l'actif sûr.

Le portefeuille optimal de l'agent reprksentatif doit satisfaire les équations d'Euler suivantes B chaque p&iode:

Le montant investi dans chaque actif est dkterrninb de façon à égaliser le cout marginal

et le benbfice marginal de cet investissement. Ces conditions du premier ordre peuvent

être rbécrites :

où r /?w est le taux marginal de substitution inter-temporelle, 1 +d+, = (@+I + e+I) est le rendement brut de l'actif j et l+r/+, E l/Qt est le rendement brut de l'actif sûr.

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT$RATURE 6

Enfin, & partir de ces équations, nous pouvons exprimer les rendements excedentaires de la façon suivante :

Le rendement excedentaire de l'actif j est déterminé par sa covaxiance avec le taux marginal de substitution inter-temporelle. Plus cette covariance est négative, plus une prime élevée est exigée. En effet, un tel actif a tendance B procurer des rendements plus faibles lorsque l'utilitdi marginale de la consommation est klevée, une propriété peu

d6sirable. L'agent pr&re que ses actifs lui rapportent davantage lorsqu'il se trouve dans une période économique difficile (pkriode de faible consommation).

1.3 Le modèle standard

L'utilité iso-blastique (CRRA) séparable est la forme la plus largement employée pour étudier le CAPM de consommation :

oh 7 est le coefficient Arrow-Pratt d'aversion au risque. Dans ce cas, le taux maspinal de substitution inter-temporelle qui entre dans les equations (1.5) et (1.6) est donne pat fl(9)~. Cette fonction d'utilite est invariante aux variations de la richesse ou de la taille de l'économie et permet l'utilisation de la consommation agrégée.

Lorsque les rendements bruts sont lognormaux et hornoscédastiques, Hansen et

Singleton (1983) suggèrent de faire appel B la propriete suivante pour log-linéariser les équations d'Euler :

log Et [XI = Et [log XI + ;var [log X]

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT&L~TURE 7

Les rendements nets espérés peuvent alors être tirés des conditions d'Euler (1.5)

et (1.6) ' :

où Acwl est le taux de croissance de la consommation et rt+l dénote un rendement

net. Par la propriété (1.9)' les rendements nets suivent une distribution normale si la croissance de la consommation (qui, en kquilibre, est kgale A la croissance de la

dotation) est distribuée normalement.

La formule (1.11) permet de voir quels facteurs influencent le taux sans risque.

Celui-ci tend & être Blev6 lorsque le facteur d'escompte subjectif est faible. En effet, si les consommateurs sont tri% impatients, ils exigent un taux de rendement superieur

pour bpargner. La volatilite de la croissance de la consommation tend à diminuer le taux sans risque car les consommateurs ont alors un motif d'épargne de précaution. Enfin, lorsque le taux de croissance de consommation est élevé, les consommateurs ont tendance B emprunter davantage pour aplanir leur profil de consommation.

Le rendement exc4dentaire obtenu en soustrayant (1.11) B (1.10) est exprimé par:

La covariance entre le taux de croissance de la consommation et le rendement de l'actif j représente la quantite de risque pour cet actif et le coefficient d'aversion au

risque 7 représente le prix du risque. Les primes de risque sont donc blevbes lorsque l'actif est trh risqub, i.e. les rendements covarient fortement et positivement avec la consommation, et/ou lorsque l'aversion au risque est grande.

1. L'approximation de Eficka est aussi utiiisée : log (1 + X) X lorsque X est faible.

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT&L~TURE

1.4 Les anomalies

Les premiers tests empiriques du modele n'ont pas donné les résultats souhaites. Dans un exercice de calibration, Mehra et Prescott (1985) ont voulu reproduire la prime

histonque de 6% observée sur les rendements boursiers américains sur pres d'un siècle avec le CAPM de consommation et une utilité iso-elastique séparable. En se limitant

A des valeurs raisonnables du coeficient d'aversion au risque et du facteur d'escompte, ils ne sont pas parvenus reproduire une prime supérieure A 2%. En fait, pour pro-

duire une prime de 6%, un coefficient d'aversion au risque supkrieur ii vingt-cinq est

nécessaire. Or, la thborie économique suggére que le coefficient relatif d'aversion au risque est m realit6 infkrieur iî dix, ou meme trois selon certains chercheurs2. En consi- d6rant un niveau d'aversion au risque raisonnable, le modéle implique qu'une prime aussi elevee devrait inciter tous les investisseurs B emprunter au taux sans risque pour investir sw le march4 boursier, ramenant alors les rendements excedentaires B

des niveaux plus faibles.

Par ailleurs, ai I'hypothbe d'une aversion au risque aussi élevée est retenue, Weil (1989) constate que les agents devraient 8tre reticents B substituer inter-temporellement

leur consommation : ils voient leur consommation à chaque période comme complé- mentaire. Le taux de croissance élevé de la consommation observé en réalité est in-

compatible avec cette hypothese. Les agents devraient plutôt emprunter au taux sans

risque pour garder un profil plat de consommation. Cette demande d'emprunts exer- cerait alors une pression positive sur le taux sans risque. Pour expliquer la faiblesse

observ4e du rendement sûr, un taux de préférence pour le temps négatif est nkessaire,

ce qui est invraisemblable.

Une troisihe anomalie a et6 détectêe. De nombreux chercheurs, parmi lesquels Poterba et Summers (1988) et Fama et French(1988, 1989), ont montres que des va-

riations dans les rendements sont prhvisibles sur de longs horizons avec des variables

2. Un c d c i e a t élevé est incompatible avec Ie comportement des individus dans d'autres contexteri, Eace B une loterie ou B un choix d'wsurance par exemple. Une étude récente de Barsky, Kimbail, Juster, et Shapiro (1997) rejette &galement sur la base d'un sondage les codcients d'aversion au risque trop êievés.

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTÉRATURE 9

telles que le ratio prix/dividende et la structure & terme des taux d'intéret. En parti-

culier, les rendements excédent aires sont prévisibles. L'équation (1.12) implique que les seconds moments conditionnels doivent l'étre également. Or, l'évidence empirique en ce sens n'est pas concluante.

Ces trois anomalies, le puule de la prime de risque, le puzzle du taux sans risque et le puzzle de la previsibilité, ont conduit au développement d'une vaste littérature cherchant modifier le modele original pour mieux expliquer les faits empiriques.

1.5 Les solutions

Toute tentative de résoudre les anomalies du CAPM-C exige d'abandonner l'une des trois hypoth4ses suivantes du modéle original : l'utilité est de forme iso-élastique separable, les marches hanciers sont complets et iis sont parfaits3.

Une forme d'utilitb plus gbnérale permet d'accorder à la consommation un effet sur l'utilité pendant plus d'une période en raison des biens durables ou de la formation d'habitudes (Constantinides 1990; Campbell et Cochrane 1995). D'autres questionnent plut& la relation qui lie étroitement l'aversion au risque et l'élasticitb de substitution inter-temporelle dans la forme iso-elastique et proposent une fonction d'utilité moins restrictive qui dbiie les deux concepts (Epstein et Zin 1989, 1991 ;

1990).

Les marches financiers sont complets lorsque les agents peuvent diversifier compl&tement le risque idiosynchrasique de leur corisommation, pat le biais d'assurances par exemple. Sinon, il peut etre prbferable de considbrer des agents hétérogénes plu-

t& qu'un agent reprhentatif. Cette approche est consid4rêe par Constantinides et DuflSe (1996) et Heaton et Lucas (1996) pour les chocs de revenus. La variabilité du revenu individuel Btant plus blevêe que la variabilith du revenu per capita, le risque de consommation serait sous-estimé s'il est mesur4 avec une mesure de consommation agrbgée. Heaton et Lucas (1997) suggérent que les revenus d'entreprise pourraient - --

3. ~ ~ & & & t a (1996) hace un nirvol exhaustif des solutions avancéea.

CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT$RATURE

constituer une source plus importante encore de risque idiosynchrasique. En effet,

les profits que touchent les propriétaires d'entreprises fluctuent davantage que leur revenu de travail et sont davantage corrélés aux autres rendements.

Enfin, la prhsence d'imperfections de marché fait égaiement l'objet de recherches. Il est possible que la présence de coûts de transaction ou de contraintes l'emprunt aient des effets sur les rendements (Heaton et Lucas 1996; Aiyagari et Gertler 1991; Zeldes 1989a). On constate par exemple que seul le tiers de la population américaine

dbtient des actifs boursiers (autant directement que par le biais d'un fonds de pension).

Cette segmentation de marché notee par Mankiw et Zeldes (1991) remet en question

l'utilisation de la consommation agrégée car la consommation de ces derniers est plus volatile et plus conélée avec les rendements que ceux qui ne détiennent pas de ces

actih.

Aucune de ces explications n'est parvenue B satisfaire l'ensemble des chercheurs. Les résultats empiriques ne parviennent pas à etablir hors de tout doute les raisons qui expliquent l'échec du modele original.

1.6 La richesse

La richesse totale d'un agent est definie comme &tant la valeur prksente anticipée des ressources financi&res qu'il disposera au cours de son existence. Le rBle déterminant

que joue la richesse sur le choix de consommation n'est plus B dbmontrer. Il est B la base d'une bonne partie de la théorie macroéconomique.

Comme les rendements sont liés aux choix de consommation, la richesse est appe- lée B jouer un rdle tout aussi important dans le probkme de valorisation des actifs,

puisqu'elle constitue la variable d'état qui conditionne les choix optimaux de consommation et de portefeuille. Celle-ci a cependant bt4 largement négligée pour des raisons empiriques : la richesse est difEciie B mesurer.

Dans le cadre du CAPM traditionnel, les chercheurs se sont souvent content& d'un indice boursier pour approximer le portefeuille de marchb. A moins que cet indice

CHAPITRE 1. S U . DE LA LITTÉRATuRE 11

ne soit parfaitement con614 avec le portefeuille de marchi!, les résultats des tests

empiriques ne permettent pas de tirer aucune conclusion sur la validité du modèle. Quelques chercheurs ont tente d'augmenter l'indice en incluant d'autres actifs. A la suggestion de Mayers (1972), Jagannathan et Wang (1996) ont par exemple intégré

le revenu de travail au CAPM afin de considérer le capital humain. Ces nouvelles mesures demeurent toutefois fort incornplétes et n'&happent pas B la critique de Roll (lW'T).

Plusieurs mesures de richesse incluant le capital humain sont disponibles dans la Litterature. La plupart ont cependant &té d6veloppées suivant une approche micro- économique dans le but de mesurer l'inégalité dans la distribution de la richesse et sont inutilisables dans le contexte du present article4.

Ce sont les travaux de Macklem (1994, 1997) qui ont conduit à la mesure de

richesse qui est utilisée dans notre analyse. La mesure qui y est développbe comprend B la fois la richesse physique, la richesse financiere et la richesse humaine. 11 s'agit

de la mesure de richesse agrégée la plus compkte qui nous soit connue B ce jour. Celle-ci est mesurée à chaque trimestre de 1963 A 1994, procurant ainsi sufFsamment d'observations pour permettre une analyse i!conom&rique.

Comme le prévoit la theone, la richesse estimée par Mackiem (1994) permet d'expliquer une part importante de la consommation A chaque p&iode5. Par ailleurs, la

richesse financiére ne reprhsente qu'une très petite fraction de la richesse totale (moins de dix pourcent). Ces dew observations viennent clairement appuyer l'intégration de cette mesure de richesse au probléme de valorisation des actifs financiers.

4. A w etats-unis, lea mesures de Jorgenson et Fraumeni (1987) et Eiiner (1989) wnt les prina- paies exœptione. Au Canada, Beach, Boadway, et Bruce (1988) ont evalue la richesse totaie sur une fiQuence annuelle.

5. Dans L'esthation de k fonction de co~l~~rnmation, le tevenu courant est a w i sisnifiCatif. Ce résultat pourrait dgn&r que les commmateurs font dectivement face B des contraintes B l'emprunt.

Chapitre 2

Cadre théorique

2.1 Utilité séparable

Le cadre théorique sur lequel repose cette analyse correspond essentiellement au mo- déle standard présente dans les sections 1.2 et 1.3 dans lequel nous introduisons une mesure du rendement sur la fichesse totale. La contrainte (1.2) du probléme de maximisation peut etre rkecrite :

Le terne de gauche de l'équation (1.2) correspond & la richesse au temps t de l'agent et est représentée ici pour la période suivante par At+i. Le terne de droite de (1.2) correspond B la part de la richesse investie (non consommée) B la periode précédente, multipliée par le rendement brut obtenu sur celle-ci pour une période. Si (1 - wt) est defini comme la fraction de la richesse investie dans l'actif sans risque et 4 représente la part qu'occupe l'actif j dans le portefeuille risque, le rendement sur la richesse est :

Le revenu de travail est inclus implicitement dans le probléme. En effet, celui-ci

correspond au rendement sur le capital humain, un actif inclus dans la mesure de la richesse.

Les conditions d'Euler qui caractérisent la solution A ce probkme sont :

2.1.1 Consommation optimale lineaire

La richesse pourrait etre etudibe à l'intkrieur du modéle standard en consid&rant que son rendement est simplement determiné par I'Bquation (1.10). Le mod4le peut aussi

etre modifib pour tenir compte de la nature particuliere de cette variable.

Lorsque l'ensemble d'investissement est constant, c'est à dire que les premiers et seconds moments conditionnels des rendements sont constants, Merton (1992) montre

que le choix optimal de consommation est une fonction lineaire de la richesse. Dans notre cas particulier, une solution explicite peut &tre dérivee (voir l'annexe A.1) :

Ce résultat est compatible avec les id& avancées par deux théories : l'hypothése

de cycle de vie de Modigliani et B~imberg (1954) et la thborie du revenu permanent

de Ekiedman (1957). Elles suggèrent que chaque individu devrait consommer une part constante de sa fichesse B chaque p6riode. De plus, cela implique (voir l'annexe A.2) que le taux de croissance de la consommation optimale est gaussien, si les rendements nets le sont Bgalement .

CHAPITRE 2. CADRE THEONQUE 14

Cette restriction théorique est incorporée au problème et la lognormalité des variables permet de log-linéariser les conditions d'Euler pour obtenir les premiers moments conditionnels (voir l'annexe A.2) :

C'est maintenant la covariance du rendement d'un actif avec le rendement sur la richesse plutôt que la croissance de la consommation qui definit le risque. Si cette covariance est plus grande, les estimations traditionnelles pourraient sous-évaluer la quantite de risque pour cet actif. Il est par ailleurs tres intéressant de constater que la faiblesse observée du taux sans risque n'est plus incompatible avec un niveau d'aversion au risque elevb. Le puzzle du taux sans risque tel que défini par Weil (1989)

ne se pose donc plus dans notre modéle. Enfin, lorsque 7 > 1, plus la propension &

consommer la richesse est grande, plus les rendements exighs sont élevés, car moins d'argent est investi dans les dinkrents titres. Les rendements excedentaires sont donnés par :

Selon la formule des rendements excédentaires, un actif dont le rendement covarie fortement avec le rendement sur la richesse o r n a une prime hlevée. En effet, cet actif tend B augmenter la volatiiitb du rendement de la richesse de l'investisseur et celui-ci exige un rendement superieur pour le détenir. Par ailleurs, si la covariance est

positive, les rendements excédentaires augmentent avec l'aversion au risque.

Finalement, il faut noter que le puzzle de prévisibilité n'est pas nécessairement

CAWITRE 2. CADRE THÉORIQUE

rbsolu par l'introduction de la richesse. Des seconds moments conditionnels vaxiables

demeurent requis pour expliquer la persistance des rendements excédentaires.

Dew variantes de ce modéle sont maintenant considérées.

2.1.2 Consommation optimale non linéaire

La majorité des auteurs acceptent I'hypothése de linéaritb de la fonction de consom-

mation et l'utilisent dans leun travaux théoriques et empiriques. Quelques auteurs remettent toutefois en cause cette pratique, parmi lesquels Zeldes (1989 b) , Kimbdl (1990) et Carroll et Kirnball (1996). Ces derniers démontrent qu'avec l'utilit6 CRRA et en prhsence d'epargne de precaution, la fonction de consommation devrait plutôt

&tre concave dans la richesse. La forme générale de fonction de consommation suivante permet de capter cette &entuelle non-linearité :

Si la fonction est concave, 91 sera inférieur B un. La propension matginale à consommer est alors plus éievke chez les personnes dont la richesse est la plus faible. Une augmentation de leur richesse réduit davantage, en termes relatifs, leur besoin d'épargne

de précaution que si leur richesse initiale etait déj8 élevée.

Si cette hypothése s'avbre juste, les premiem moments conditionnels dépendent du niveau de richesse :

CHAPITRE 2. CADRE THÉORIQUE

où

Lorsque yûl > 1, une augmentation de la richesse tend à rbduire les rendements exigbs. De plus, la variabilitd des rendements, expliquk par la présence du terme bt, permet ici de considerer un des aspects du puzzle de prévisibilit8, soit la variation temporelle des rendement nets anticipés. Lorsque 81 = 1, nous pouvons v&ifier que les premien moments conditionnels se réduisent aux kquations (2.7) - (2.10) du modéle avec consommation optimale Lin6aire.

Les rendements excedentaires sont donnés par la formule:

Si la fonction de consommation est concave (Bi < 1), l'élasticitb de la consommation par rapport B la richesse est plus faible que dans le cas linéaire. La quantité de risque est donc plus faible car la consommation est moins sensible aux fluctuations du niveau de richesse. Une aversion au risque plus élevke est alon nécessaire pour expliquer les primes de risque observ6es. Il faut enfin noter que le putle de prévisibilité des

rendements ezc4dentatres n'est pas rksolu par la non-linéarité de la consommation opt hale.

2.2 Utilit6 non esperbe et consommation optimale

linéaire

La forme d'utilité &parable iso-élastique (1.8) poss6de une propriété peu déairable. ElIe contraint l'élasticité de substitution inter-temporelle ii étre égale ii la réciproque du coefficient d'aversion au risque. Aucun fondement théorique ne lie de façon si rigide les deux concepts. Epstein et Zin (1989, 1991) et Weil (1990) sont parvenus à

dissocier les deux concepts en proposant une forme d'utilitb non esperée plus g6n4rale

qui conserve plusieurs des propriétés attrayantes de la forme iso-élastique separable.

Avec cette forme de préférences, les primes de risque sont déterminées par le coefficient d'aversion au risque dors que l'élasticitt! de substitution inter-temporelle agit sur le lissage de la consommation entre les pbriodes. La fonction objective de l'utilité non espérée est la suivante :

où, en plus des définitions précédentes, est l'élasticit6 de substitution inter-temporelle.

Les conditions d'Euler qui caracterisent la solution & ce probkme sont de la forme :

La richesse joue ici un rôle explicite dans la détermination des rendements. Le rendement sur la richesse entre directement dans le cacul des conditions d'Euler par le biais du taux marginal de substitution inter-temporelle, contrairement au cas separable.

La log-linédsation des conditions d'Euler avec la consommation optimale lineaire

conduit aux expressions suivantes pour les premiers moments conditionnels (voir l'an-

nexe B) :

Ii est fade de demontrer que ces premiers moments

6quation.s (2.7) - (2.10) lorsque 7 = $. Nous pouvons

conditionnels se réduisent aux aussi constater qu'en l'absence

CHAPITRE 2. CADRE THÉORIQUE

d'incertitude, le paramétre 7 d'aversion au risque ne jouerait aucun rôle dans la déter-

mination des rendements espérés. Enfin, l'élasticité de substitution inter-temporelle

n'intervient pas dans la formule des rendements excédentaires. Celieci est en fait identique à (2.1 1).

La section suivante prosente les outils nécessaires pour l'étude empirique qui per-

mettra de valider ou d'invalider ces théories.

Chapitre 3

Cadre empirique

3.1 Méthode d'estimation

L'estimation du modèle peut prendre deux approches. D'abord, les restrictions d'or- thogonalite qui découlent des equations d'Euler peuvent être exploitees en se servant de la méthode des moments genéralisés (GMM). Cette approche, proposée par Han- sen et Singleton (1982)' est souvent employee. Elle repose largement sur des variables instrumentales, bien que peu de fondements thhoriques appuient leur utilisation. Les résultats de l'estimation sont par ailleurs trés sensibles au choix de ces instruments, particuliikement B l'int&ieur de petits hhntillons (Tauchen 1986).

Pour notre part, nous privilbgions l'utilisation du maximum de vraisemblance. Cette mhthode consiste A d6termiaer la valeur des paramétres d'une distribution qui

correspondent le mieux à l'échantillon observ6. Contrairement au GMM, le maximum de vraisemblance ne fait pas appel aux variables instrumentales, ce qui constitue certainement un avantage de taille. La forme de la distribution des variables doit toutefois 4tre postulée. Cela ne constitue pas un probleme puisque l'hypothèse de lognormalité est déjh posée sur le plan théorique. Le maximum de vraisemblance apparaît donc dtre la méthode B adopter dans notre contexte.

CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE 20

Notre approche est semblable B celle employée par Jorion et Giovannini (1993).

En supposant les rendements bruts et le conjointement lognormaw, les rendements

taux de croissance de la consommation nets sont distribués selon :

où les premiers moments conditionnels sont donnés par (2.7) - (2. 10)' (2.13) - (2.16) ou (2.21) - (2.24) selon le modéle. Les termes de covariance pour l'actif sans risque ne se retrouvent pas dans les équations d'Euler, mais sont nkessaires dans la matrice de cov&ance pour l'estimation du modéle.

La fonction log-vraisemblance qu'il faut maximiser est la suivante :

-4 Tlog2r 1 1 r (e) = 2

- - log (Cl - -tr (c-'u'u) 2 2

où T est le nombre d'observations, U est la matrice des résidus, C est la matrice de covariance et 0 contient les paramétres à estimer.

Cette fonction log-vraisemblance est hautement non linéaire et difficile à maximiser. Deux algorithmes d'optimisation sont donc utilisés. Le premier, BFGS, est un algorithme quasi-Newton reposant sur l'utilisation des gradients. Les gradients calculés 8 chaque itération indiquent B l'algorithme dans quelle direction aller il l'ité- ration suivante. Cette methode est g6néralement trés rapide et convient un grand

nombre de problémes. Dans quelques cas, par exemple lorsque la fonction est non- différentiable en certains endroits, cet algorithme peut khouer B trouver Le maximum. C'est pourquoi nous utilisons egalement un second algorithme, Simulated .4nnealing, qui ne fait pas appel aux gradients et est donc particuli4rement bien adapth B ce genre de situation. Expliqué très simplement, l'algorithme part d'un point itinial et

fait un saut aléatoire. Si la valeur de la fonction 4vaIuée en ce point est sup6rieure au point initial, le nouveau point est accepté et le processus recommence. Si la valeur

CHAPITRE 3. CADRE EMPIRlQLIE 21

est infêrieure, le point peut quand même étre choisi avec une certaine probabilité.

L'algorithme peut ainsi sortir des zones de maxima locaux. Le processus est répété jusqu'à ce que le maximum global soit atteint. Cette méthode requiert un trés grand nombre d96valuations de la fonction objectif et un temps de calcul beaucoup plus long pour converger l. L'estimation est reprise de plusieurs valeurs de départ avec les deux

algorithmes afin de s'assurer d'atteindre l'optimum global.

3.2 Données

En plus de la mesure de richesse, nous avons besoin pour l'analyse empirique de données sur la consommation, sur les rendements boursiers et sur le taux sans risque. Les donnees sont trimestrielles et couvrent la période de 1963 :2 à 1994 :2, pour un total de 125 observations. Les domées sont puisbes dans la base de donnees CANSIM de Statistiques Canada ii l'exception de la mesure de richesse qui provient de Macklem

(1994, 1997).

Les bons du trksor B trois mois ont kt6 choisi pour représenter le taux sans risque. Le rendement du portefeuille risqué est mesur4 par l'indice boursier du TSE300 de la

Bourse de Toronto et ajusté pour le rendement en dividendes. Ces deux séries sont

ajustees pour I'inflatioo à l'aide de l'indice des prix à la consommation. Il s'agit donc de taux de rendement réels.

La mesure de consommation est constitut5e du total des depenses en biens et ser-

vices duquel les biens durables sont soustraits. Ces derniers sont exclus aiin de ne

consid&er que les dépenses de consommation qui procurent un gain d'utilité imm& diat 2. Cette skie est déjh en termes constants et est desaisonnalis6e. Elle est ensuite

divisée par le population du Canada pour la ramener per capita. --

1. Pour cette raiSr,n, le premier algorithme a éte préfQé dans le4 cae oiî nous n'avons pas rencontré de problèmes.

2. Breeden, Gibbons, et Litzenberger (1989) et G r m a n , Melino, et Shiller (1987) discutent de certains problémes Ji& & l'utilisation de ia consommation agrégée! dans 1s fonction d'utilït6. Par exemple, la consommation eat un flux continu alors qu'elle est rnmk & intervalle8 discrets dans la fonction d'utilité.

CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE

La richesse totale est constituée de trois composantes: la richesse humaine, la

richesse hanci6re et la richesse physique. Les richesses financiére et physique sont mesurées en regroupant l'actif et le passif des divers secteurs de 114conomie pour obtenir une estimation de la richesse nette du secteur privé. Les donnbes sont tirees

principalement des comptes nationaux et des comptes des flux financiers et sont ajus- tées, lorsque c'est possible, & la valeur du marché. Elles comprennent, entre autres,

les actifs financiers (detenus directement ou via un fonds de pension), les biens im- mobiliers et les biens durables.

La richesse humaine est definie comme étant la valeur prhsente anticipée du revenu global de travail net des dépenses publiques. Elle est bashe sur l'estimation d'un VAR bivarie du taux d'inter& réel et du taux de croissance du revenu de travail net 3. Le

VAR est ensuite approximé par une chaîne markovienne avec 625 états de la nature

pour permettre le calcul de l'esp8rance.

La mesure de richesse totale est enfin divisée par la population. Cette mesure n'est

certainement pas parfaite. Elle dbpend d'un certain nombre d'hypotheses : équivalence

ricardienne, taux d'actualisation approprié, inflation anticipée bien mesurée, etc. La richesse est mesurhe avec erreur, tout comme la consommation. Le rendement sur la richesse est calculé B partir de la formule (2. l), Le. rc+i = & - 1.

TABLEAU 3.1: Moments empiriques

Le tableau 3.2 prbsente les rêsuitats de quelques tests statistiques sur les donnees

trimestrielles. La stationnarit6 des donnees ne fait aucun doute il l'exception du rendement sur l a bons du trésor où le résultat est plus ambigu. Dans ce cas, le test

Variable Ac Aa r r j rf

3. b mêthode qu'emploie Campbell (1996) pour estimer la croissance future du revenu de travaii eat sembiabie A deci, mais indue bgalement d'autres variables, parmi lesquelles un rendement boursier.

Aa carrrgaad au uur de cmimnca de !a r i leno. Elle a'mc p u dimatnent udtW d.ni L'ritimation.

Moyenne Ecart-type 0.005194 0.007665 0.004407 0.03069 0.03481 0.03219 0.01394 0.07804 0.005874 0.009022

Matrice wiancecovariance (conêlation) 5.8759e-05 3,9069e-05 3.2456e-05 0.0001536 -1.1368e-05 (0.1661) 0.0009420 0.0009835 0.0004115 4.1694e06 (0.1316) (0.9956) 0.001036 0.0004292 2.1925e-O5 (0.2567) (0.1718) (0.1709) 0.006090 1.4436e-O5 (-0.1644) (0.01506) (0.0755) (0.06312) 8.1392e05

CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE

TABLEAU 3.2: Tests statistiques

de Dickey-Fuller ne rejette pas la présence d'une racine unitaire, d o n que le test

de Phillips-Perron la rejette. Comme ce dernier test est plus robuste en presence de

Seuil 5% -2.88 '

-2.88 5.99

( p d u e )

Test Augmenteci Dickey-Mer

Philiips-Perron JarqueBera

Kolmogorov-Smhov ARCH(1) AFLCH(2)

correlation skielle, les r h l t a t s penchent en faveur de la stationnarité.

'Le nombre de n t & utilh(i dasu Ir DLduy Rillrr miaimire Ir c t i t i n AIC at ut indiqub entre pumthdsu. L'utirirqur danate un c4#ulut iigui8catif au ieuil 5%.

Ac Acr r rJ r l -4.03 (2) -4.30 (4) -4.45 (4) -9.52 (0) -1.91* (3) -10.99 -13.35 -13.57 -9.43 -5.36 1.88 0.56 1.78 13.0P 1.84 0.9932 0.5624 0.1691 0.1 180 0.8229 0.1402 ,0774 0.1 182 0.1502 0.0204" 0.3476 .NO8 0.2701 0.0174* 0.0393*

Comme l'analyse repose sur l'hypothese de lognomalité des rendements bruts

et de nomalite des rendements net, celle-ci a été testée avec les tests Jarque-Bera et Kolmogorov-Smirnov. Seul le rendement sur le TSE 300 semble s'écarter de la distribution normale selon le test Jarque-Bera. Le test Kolmogorov-Smirnov conclue

au contraire que toutes les variables sont normales.

Enfin, la présence d'h&érosc6dasticite est verifiee en testant l'existence d'effets ARCH dans les rendements. Le taux de croissance de la consommation et le rendement

sur la richesse ne presentent aucun signe dlhét&oscédasticité. Par contre, la volatilité des rendements du TSE 300 et des bons du tresor semble variable dans le temps. Nous

nous limiterons toutefois au cas homoscédastique, beaucoup plus simple à, estimer.

Chapitre 4

Analyse empirique l

4.1 Les anomalies

Nous nous servons d'abord du modéle standard prksentb A la section (1.3) pour vhrifier l'existence des anomalies au Canada.

4.1.1 Deux rendements : indice boursier et bons du trésor

Dans un premier temps, nous consid4ons le rendement boursier et le rendement sur les bons du trésor, le variables les plus couramment utiliskes dans la litterature pour évaluer les anomalies.

Les moments empiriques sont d'abord introduits dans les formules (1.11) et (1.12) pour obtenir une premiére évaluation de 7 et ,8, le coefficient d'aversion au risque et le facteur d'escompte subjectif.

Les paramètres sont 6galement estimes par m h u m de vraisemblance. Dans ce cadre, la croissance de la consommation est exogène. Nous considérons les cas où

celle-ci est conetante, autor4greseive d'ordre un et deux. Les résultats sont présentés

1. Les &adfats &aillés des estimations sont présentés B l'annexe D.

24

CHAPITRE 4. ANALYSE EMPWQZlE

dans le tableau 4.1.

TABLEAU 4.1: Detu rendements: indice boursier et bons du trésor

Et [Aqcl] constant

+Y p Vraisemblance 72.3539 1.2413 - 72.7775 1.2433 992-3602 (60.3946) (0.1048)

71.3003 1.2376 987.8712 (61.3510) (0.1057)

72.5366 1.2383 982,6969 (37.9646) (0.0976)

Nous remarquons d'abord que les quatre résultats sont presque identiques pour les paramètres +Y et 8. L'écart-type du paramétre 7 est par contre trés elevé 2. Les modeles autoregressifs ne semblent pas apporter d'informations supplbmentaires, puisque les paramétres sont non significatifs3. Le taux de croissance de la consommation est peu prhvisible par ses valeurs passées.

Les resultats indiquent que le coefficient d'aversion au risque est d'environ 72 et le

facteur d'escompte subjectif significativement supérieur un pour la periode étudike. Il apparaît donc que les anomalies du CAPM-C sont bien présentes au Canada. D'un point de vue qualitatif, les r h l t a t s sont identiques aux observations faites sur le mar- ch4 am4ricain. Les consommateurs doivent &tre trés averses au risque pour expliquer le niveau des rendements excédentaires canadiens et ils doivent préférer retarder leur consommation pour expliquer le faible rendement offert sur les actifs sans risque.

4.1.2 Deux rendements : richesse agrdghe et bons du trésor

Comme la richesse Bnanciére ne représente qu'une faible fiaction de la richesse agrbgée detenue par la population, il apparaît plus pertinent de mesurer les anomalies avec le rendement sur la richesse totale. Les résultats sont présentés dans le tableau 4.2.

2. Jorion et Giovrrnnini (1993) rencontrent le même probléme de précision avec leurs estimés. 3. La vraisemblance des xnodé1es autor@esifk est infërieure puisqu'une ou deux observations

sont perdues dans I'estimation.

CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE

Nous avons rencontré des difficultés à estimer ces modéles. Neely, Roy, et Whi- teman (1998) discutent des problémes d'identification qui expliquent sans doute ces difficultb. La matrice hessienne estimée au maximum atteint n'est pas singulière, mais elle n'est pas définie n6gative4.

TABLEAU 4.2: Deuz rendements: richesse agrégée et bons du trésor

Le coefficient d'aversion au risque est tres blev6, clairement excessif. D'autre part,

le paramètre @ est très faible, prés de zero. Ces rksultats ne sont pas réalistes. Ils ne peuvent pas tkmoigner du comportement des consommateurs. Par exemple, un 0 de zéro indique que l'utilité ne depend que de la consommation courante. Le consom- mateur ne se soucie pas du tout du futur. Il est d o n optimal pour lui de consommer immediatement la totalitb de sa richesse. Cette valeur de p dépend d'un effet de second degr6 sur le paramètre 7. En effet, pour des valeurs elevées de ?, p chute de

façon importante.

Méthode Formules (1.11) et (1.12)

Et [AQ+~] CORS^^^

Un niveau d'aversion au risque aussi élevé s'explique par le fait que le rendement sur la richesse totale est relativement elev6 aiors que la covariance entre celui-ci et le t a u de croissance de la consommation est trés faible (Voir tableau 3.1). Par rapport A l'indice boursier, la quantité de risque est plus faible alors que la compensation mesurée par le rendement excédentaire est beaucoup plus Blevée. Il est alors necessaire que les gens soient excessivement averses au risque pour que le modéle fonctionne.

7' P Vraisemblance 907.4341 3.4508e-09 - 914.2800 3.O22h-O9 1099.7516

(-1 (-1

L'emploi d'un rendement plus représentatif et les résultats obtenus à l'aide de celui-ci nous montrent l'ampleur des problémes du modèle standard B expliquer les

4. Greene (1997) (p.139) explique que dm erreun clam les demi- décimaies utiliseea dans Palgorithme pourraient causer ce pmbldme, même ~ h mnrimum est atteint.

CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE 27

faits empiriques en se limitant & des hypotheses raisonnables sur le comportement des individus.

4.1.3 Trois rendements

Lorsque les trois rendements sont utilisés simultanément, il devient impossible de faire appel aux formules (1.11) et (1.12). Nous pr6sentons les résultats obtenus par

maximum de vraisemblance dans le tableau 4.3.

TABLEAU 4.3: Tbois rendements 1 Méthode I *Y B Vraisemblance 1

Les resultats qui se degagent sont semblables aux precedents. Le coefficient d'aversion au risque demeure excessif et le facteur d'escompte subjectif beaucoup trop faible. D'autre part, l'ajout d'un troisieme rendement ne permet pas de comger les probkmes d'identification.

Le simple fait de considbrer une mesure plus compl&te du rendement du marchb en plus des variables gén6ralement utilisées ne permet pas de comger les anomalies du CAPM-C standard. Au contraire, les r6sultats penchent davantage vers la conclusion

que le modèle est mal spécifib. Pour arriver & de meilleurs résultats, le modèle doit

être modifih.

CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE

4.2 Utilité separable

4.2.1 Consommation optimale linéaire

Nous procédons maintenant A l'estimation du modéle avec consommation optimale linéaire dhveloppé dans la section 2.1.1. Dans un premier temps, les figures 4.1 et C.3 en annexe nous permettent de constater que l'hypothèse (2.6) selon laquelle la propension à consommer la richesse est constante paraît tout à fait réaliste.

FIGURE 4.1: Propension moyenne h consommer la richesse

TABLEAU 4.4: Consommation optimale lin&ire

I r B c Vraisemblance I

Les résultats de l'estimation présentés dans le tableau 4.4 temoignent d'une nette amélioration par rapport au modéle standard. Le coefficient d'aversion au risque a diminu6 et son écart-type est nettement iderieur. Sa valeur est plus vraisemblable, quoiqu'elle demeure relativement êievée.


Le facteur d'escompte subjectif se trouve à I'intérieur des bornes théoriques (entre zero et un). Il demeure toutefois beaucoup trop faible. En effet, sur une base annuelle, le facteur d'escompte subjectif serait d'environ 0.33. Les dconornistes s'entendent generalement pour due que le facteur d'escompte subjectif se situe entre 0.90 et 1 par

année (> 0.97 sur une base trimestrielle).

L'explication suivante peut étre avancée pour expliquer la chute du coefficient d'aversion au risque. Dans le modele standard, la quantité de risque d'un titre est

mesurée par la covariance entre son rendement et le taux de croissance de la consommation. Dans le modéle avec consommation optimale linéaire, cette quantité est plutdt mesurée par la covariance du rendement du titre avec le rendement sur la richesse.

Comme le taux de croissance de la consommation est peu volatile, ad est relativement faible et un coefficient d'aversion au risque tres &levé est nécessaire dans le modele

standard pour expliquer les primes de risque. La richesse est en contrepartie beaucoup plus volatile et covarie davantage avec les titres individuels. Un niveau d'aversion au risque plus raiso~able est dors s&sant pour expliquer les rendements excédentaires.

Par ailleurs, il est intéressant de constater que la propension à consommer estimtie par le modèle reproduit avec ptbcision le niveau moyen observé empiriquement. Par ailleurs, en introduisant la valeur des param&tres dans les équations (2.7) à (2.10),

nous pouvons observer l'bcart entre les estimes construits à partir du maximum de vraisemblance et les moments empiriques. Cet écart est encore plus faible dans la

matrice de covariance.

1 Variable 1 Estimé Moyenne empirique Biais (en %) 1

Le modèle avec consommation optimale linbaire que nous avons avance confirme

que la richesse totale ne doit pas titre nhgligde. En exploitant de f a ~ o n explicite la

contrainte budgetaire du CAPM de consommation, nous imposons davantage d'infor-

mation au modde économétrique. Cette restriction théorique suppl6mentaire apparaît


tout A fait pertinente dans la valorisation des actifk financiers à la lumiére des résultats

obtenus.

4.2.2 Consommation optimale non lineaire

Nous reprenons l'estimation sans imposer la linbaritb entre la consommation et la richesse.

TABLEAU 4.5: Consommotion optimale non linéaire

7 P 00 O1 Vraisemblance 24.2674 0.7415 0.003390 1.1736 1248.3841 (5.9061) (0.0579) (0,008 198) (O+ 1934)

Les estimes des param4tres 7 et p sont semblables au cas linkaire. Le paramètre

Bi est supbrieur B un, contredisant ainsi 19hypoth4se de concavité. Le parametre n'est toutefois pas significativement dinérent de un.

Un test du ratio de vraisemblance est effectue pour vbrifier si le modéle avec

consommation non linéaire performe mieux que le modéle avec consommation Li- néaire. La statistique du test pour verser l'hypothese nulle Ho : Bi = 1 est 2(LHi - LHo) N X;). La valeur critique au seuil 5% est de 3.84. La statistique du test est :

Le test du ratio de vraisemblance ne permet pas de rejeter le modéle avec consom-

mation optimale Maire. Le modele linkaire (2.7) - (2.10) semble étre préférable au

modele avec consommation non linéaire (2.13) - (2.16).

CHAPITRE: 4. ANALYSE EMPIRIQUE 31

4.3 Utilité non espérée et consommation optimale

linéaire

Le modéle avec utilité non espérée present6 dans la section 2.2 n'est pas estimable di-

rectement. Les paramètres @ et ,û sont non identifiables. L'étude des kquations (2.21)

- (2.24) permet de voir que le paramétre c peut étre identifié en soustrayant (2.22)

B (2.21). Le paramtitre 7 et les seconds moments conditionnels sont aussi complé- tement identifiés avec la formule des rendements excédentaires. il reste alors deux parametres B identifier à partir d'une constante. Il n'existe pas de manipulation permettant d'identifier p et séparément.

C'est seulement en h a n t l'un de ces deux paramtitres que le modéle sera parfaitement identifie. Nous avons choisi de fixer le facteur d'escompte subjectif, puisque nous avons une bonne id& des valeurs plausibles qu'il peut prendre. Tous les autres paramétres sont alors estimés. Nous presentons dans le tableau 4.6 les résultats de l'estimation obtenus avec des B 4gaux à .9600, .9740 et ,9975.

TABLEAU 4.6: Utilztd non espérée

1 0 1 Y 11 c Vraisemblance 1

Il est B noter que les rêsuitats sont trds stables pour toutes les valeun de dé- part utilisb. Pour l'elasticitb de substitution inter-temporelle, les valeurs de depart utilisées couvrent l'intervalle de 0.10 A 0.60, correspondant aux valeurs estimées par

Epstein et Zin (1991), Jorion et Giovannini (1993) et Normandin et St-Amour (1998).

Quelque soit le facteur d'escompte subjectif choisi, l'aversion au risque et la propension B consommer restent inchmgha par rapport A l'utilité separable. La vrais- semblance est égaiement la meme.


L'Blasticité de substitution intertemporelle est le seul paramètre qui vaxie beau-

coup. Lorsque le facteur d'escompte subjectif est f% à 0.9925 (soit un taux d'actualisation de 3% annuellement), I'élasticit8 de substitution intertemporelle est nbgative,

ce qui contredit la théorie. Avec ,û = 0.9740 (un taux d'actualisation de IO%), est supérieur à un. Enfin, avec ,û = 0.96, S, prend une valeur trés raisonnable, semblable à celle trouvee par les autres auteurs. Dans ces deux derniers cas, l'élasticité de sub stitution inter-temporelle est relativement élevée, lorsqu'elle est comparée à l'inverse du coefficient d'aversion au risque (0.03). C'est pourquoi l'utilith non espéree permet d'obtenir un facteur d'escompte subjectif plus raisonnable que l'utilitk séparable.

Le mod&le avec utilité non es@e ne performe pas mieux sur le plan statistique

que le modéle avec utilite separable (la vraisemblance est identique). De plus, l'identification n'est pas possible sans fixer le paramètre ,û ou $. Les paramètres decnvant

les preférences des individus apparaissent cependant beaucoup plus rkalistes.

Conclusion

Les économistes reconnaissent le rdle capital que devrait jouer la richesse dans la valorisation des actifs. Cette variable demeure toutefois peu exploitée en pratique car elle est difficilement mesurée. Bien que les chercheurs soient sensibles B la critique de Roll (1977), relativement peu d'efforts ont 4té d6volus au développement de mesures plus adéquates du rendement du portefeuille de marché. Les derniers travaux de recherche de Macklern (1994, 1997) viennent combler cette lacune pour le Canada. Sa mesure inclut B la fois les richesses physique, financiere et humaine de la population canadienne.

Dans un premier temps, nous observons les effets de la nouvelle mesure de richesse sur le modéle standard de CAPM de consommation. La variable jette une lumiére nouvelle aux anomalies du modde standard. Le coefficient d'aversion au risque atteint des niveaux compbtement irréalistes. Le facteur d'escompte subjectif tombe 8 une valeur presque nulle en raison d'un effet de second degré. Les problémes déjii connus du CAPM-C standard semblent donc grandement sous-estimb lorsque le rendement sur la richesse est nbglige.

Nous sugg4rona alors d'utiliser explicitement la contrainte budgetaire dans l'estimation du rnodde a h de considérer le caractére spécifique de la richesse. Une relation linéaire lie alors la consommation B la richesse, de sorte que les agents consomment une part constante de leur richesse B chaque période.

Nous observons une amélioration appréciable de la performance empirique à la suite de cette modikation. Dans le modèle avec consommation optimale linéaire, le

coenicient d'aversion au risque diminue et le facteur d'escompte subjectif se situe entre zko et un, ses bornes théoriques. Ce dernier demeure toutefois tr& faible.

Le succes relatif de notre modéle dbcoule de la nouvelle définition du risque qui y

est introduite. A l'optimum, le risque est mesur6 par la covariance du rendement d'un actif avec le rendement sur la richesse plutdt qu'avec la croissance de la consommation. Puisque le rendement sur la richesse est beaucoup plus volatile, cette covariance est plus grande et les rendements excédentaires sont compatibles avec un niveau beaucoup moins élevé d'aversion au risque.

Le rnodéle est par la suite génkralisé dans deux directions. Une variante est pro- posée pour tenir compte d'une proposition de Zeldes (1989a) B l'effet que la fonction de consommation est concave plut& que linéaire. Bien que les résultats soient semblables au cas prkcédent, aucun signe de non-linéarité n'est détecté. Il n'apparaît pas

pertinent de pousser plus loin l'analyse dans cette direction.

Notre démuche est finalement reprise avec l'utilité non espérée d'Epstein et Zin (1989, 1991). Cette forme plus flexible de préférences presente de serieux problémes d'identification, il est nbcessaire de fixer un paramétre pour l'estimer. Le modele ne permet pas de réduire davantage le niveau d'aversion au risque. Il est cependant compatible avec des valeurs beaucoup plus plausibles du facteur d'escompte subjectif. De plus, nous arrivons ii reproduire une elasticité de substitution comparable à celle estimée par d'autres auteurs.

Nous pouvons conclure que les trois modéles avec restrictions theoriques sur la

consommation offrent des rbsultats nettement superieurs au moddle standard en terme de r6alisme des paramétres dbcrivant les prbférences des individus. Entre les trois, le modde avec utilitb separable et consommation optimale linéaire semble préférable. Le second modéle n'apporte pas davantage d'information alors que les problémes d'identification nous rendent prudent face au troisiéme.

Dans des travaux futurs, il serait très interessant de reprendre cette analyse avec des données am&icaines pour vérifier si les conclusions que nous tirons pour le Canada se g6n4ralisent aux autres much&.

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Annexe A

Utilité séparable

A. l Propension à consommer constante

Nous proposons la solution candidate suivante :

Ct = CA, (A. 1)

Avec l'6quation d'Euler (2.3) et la contrainte budgétaire (2.1) , nous obtenons :

Comme le rendement brut sur la richesse est lognormal, la propriété (1.9) peut être utilisée :

En utilisant I'optateur log de chaque coté :

Avec l'approximation de Hicks :

(A. 6)

Puisque le rendement espM de la richesse est constant, la propension à consommer

c l'est hgalement.

A. 2 Log-linéarisation des conditions d'Euler

A.2.1 Consommation optimale linbaire

L'expression du rendement esperé de la richesse peut facilement étre déduite de l'equa- tion (A.8) :

ANNEXE A. UTIZIT$ S~PARABLE 41

La contrainte budgétaire (2.1) et la fonction de consommation (A.1) permettent de tirer le taux de croissance espéré de la consommation :

(A. 10)

(A. 11)

(A.12)

L'équation (A.11) montre que la distribution conditionnelle de la croissance de la consommation est identique il celle du rendement sur la richesse. De plus, le rendement sur la richesse est normal lorsque les rendements des actifs qui le composent sont normaux.

Le rendement espéré de l'actif j est dérive A partir de l'équation d'Euler (2.4) en utilisant la propriété (1.9) :

Annexe B

Utilité non espérée et consommation

optimale linéaire

B. 1 Propension à consommer constante

Avec l'utilitk non espérbe, la relation 2.6 reste valide. La solution explicite pour la propension B consommer peut être d&ivee en utilisant la contrainte budgetaire (2.1) et la solution candidate (A.1) dans l'équation d'Euler de la richesse :

= [D (1 CI-$] 4 E, [(i +

ANNEXE B. U T I L I T ~ NON ESPERÉE 45

Comme le rendement espéré de ia richesse est constant, la propension à consommer c

l'est également. Lorsque 7 > 1, une élasticité de substitution inter-temporelle élevée est compatible avec une faible propension marginale ti consommer. En effet, si 11 est Blevb, la agents acceptent plus facilement un profil de consommation croissant et

peuvent Bpargner davantage. Enfin, lorsque 7 > 1 et < 1, la volatilité du rendement sur la richesse tend & diminuer la propension B consommer, en raison de l'épargne de précaution.

B. 2 Log-linéarisat ion des conditions d'Euler

Le rendement espéré de la richesse est facilement déduite de (8.5) :

Le taux de croissance de la consommation espW decoule des équations (A.10) - (A.12) :

Le rendement espM de l'actif j est dérive:

AMVEXE B. UTILITE NON ESPGRÊE

Pour le rendement espbré de l'actif sans risque, les termes de variance disparaissent :

(B. 13)

Annexe C

Graphiques

FIGURE C.1: Cowornmation per capzta

ANNEXE C. GRAPHIQUES

FIGURE C.2: Richesse per capita

3.a-

3.4 - 32-

3 - eu-

26 - 24

22-

FIGURE C.3: Propension moyenne à consommer la richesse


FIGURE C.4: Taux de croissance de la consommation m r 1 I B I 6 F 1

FIGURE C.5: Rendement sur la richesse r


FIGURE C.6: Rendement sur l'indice du TSESOO 1 I T r I 1

FIGURE C.7: Rendement sur les b o w du trésor

Annexe D

Estimation

ANNEXE D. ESTIMATION

TABLEAU D.1: Deux rendements: indzce boursier et bons du trésor

Paramétre P 7 0 0

ai a2

Q(4 1) Q(i9 2) QU, 3) Q(29 2) Q(29 3) Q(39 3) vrais.

? Y Et [AG,,] QU, 1) QU, 2) Q U 9 3) Q ( 2 9 2) Q P 9 3) Q(39 3) vraisemblance

--

Estimé Écart-type 1.24331 18 O. 10480746 72.777486 60.394632 0,0051941668 0.00067913983 -0.0076347190 0.00050137888 -0.019954749 0.0072510199 0.0014770674 0.00079806838 0.075119374 O.OO4753275 1 0.00097918084 O.OOO79O4ll?3 -0.0088090902 0.00055836771

992,3602 Q rrt ta dkompo8itioa da Cholaky de t4 matrice de cowi.aee.

Estimé hart-me Estimé W 2 )

I2cast-type 1.2383379 0.097562741 72.536591 57.964596 0.0052145757 0.00069449777 -0.0041810938 0.0035981663 -0.0040415474 0.0034901716 0.0076869880 0.00051220035 0.020222511 0.0073937336 -0.00091496716 0.00076922528 0.075588620 0.0048249455 O.OOO8OO536ll 0.00074797343 0.0082599556 0.00052797292

982.6969


TABLEAU D.2: Deux rendements: richesse agrégée et bons du trémr

Paramétre P 7' a0

a1 a2

QU, 1) Q ( f 2 ) QU, 3) Q(292) Q(2,3) Q(39 3) vrais.

I Paramétre Estimé Ecart-me

1 vraisemblance

A W ) Estimé &art- type 2.1 194129e-O9 3.5347099e-13 918.08897 - 0.0051617758 0.00018457212 0.0076561478 - N/.4 N / A 0.0041425193 0.00040604194 -0.0014006105 0.00076620930 0.031724166 0.0020095900 0.00079585015 0.00071454624 0.0085270815 0.00020004597 -0.00033650800 0.00010793939

1094.9908


TABLEAU D.3: %is rendements

Paramétre Estimé AR(1)

Écart-type 3.0257287e-O7 9.5289233e-11 808.82919 - 0.0051650369 0.00021037610 0.0076576323 - NIA NIA 0.0046848235 0.00045968036 0.0022011162 0.0011063491 -0.0015942070 0.00078426619 0.031726425 0.0020097457 0.010380865 O .O069472874 0.00079288890 0.00071509990 0.076943204 0.0048856881 0.00088538445 0.00078331444 0.0084836928 0.00020726063 -0.00038203126 0.00012251818

1237.8543


TABLEAU D.4: Consommation optimale linkaire

Paramétre P Y C

Q U 9 1) Q U 9 2) Q(l9 3) Q(l94) Q(29 2) Q(29 3) Q(294) Q(393) Q(394) Q(494) vraisemblance

Estimé Ecart-tvoe

TABLEAU D.5: Consommation optimale non linéaire

Paramétre B 7' 90 61 Q(l? 1) Q(L 2) Q(L 3) Q(L 4) Q(2,2) Q(293) QG4 4) Q(393) Q(394) Q(49 4) vraisemblance

Estimé Ecart-type 0.74145299 0.057868350 24.267366 5.9060893 0.0033902095 0.0081983377 1.1736126 0.19342434 -0.0076390653 0.00048284620 -0.0043230467 0.0028338726 -0.020009529 0.0067973231 0.0013329666 0.00080899291 0.031878679 0.0020152257 0.010218546 0.0051268576 0.00097228468 0.00079454952 -0.074352232 0.0046993343 -0.00082063653 0.00078162279 0.0087038214 0.00055163910

1248.3841

TABLEAU D.6: Utilité non espérée (P = 0.9600)

Paramét re 1 Estime Ecart-tvoe

TABLEAU D.7: Utilite non eapdrée ( , = 0.9740)

Q(49 4) vraisemblance

Paramét re

0.0087772772 0,00055512801 1247.8552

'Y @ C

Q(L 1) Q(k 2) Q(1I 3) Q(l14) Q(2,2) Q(293) QP* 4) Q(3*3) Q(314) Q(4*4) vraisemblance

Estimé Ecart-type 28.657541 4.5803820 1.5661413 0.65079833 0.029163935 0.0028170296 -0.0076331589 0.00048242650 -0.0041627272 0.0028197989 -0.019877266 0.0067975116 0.0014789002 0.00079789124 -0.031784467 0.0020097569 -0.010233988 0.0051210354 -0.00087460302 0.00078949059 0.074371497 0.0047006844 0.00086230258 0.00078722938 0.0087772772 0.00055514396

1247.8552

ANNEXE D. ESTWTION

TABLEAU D.8: Utditg non espérée (/3 = 0.9925)

Paramétre Estimé Ecart-type 28.657541 4.5566468 -0.68873517 0.070045697 0.029163935 0,0027731872 0.0076331589 0.00048245875 0.0041627271 0.0028209324 0.019877266 0.0068044080 -0.0014789002 0.00079788230 0.031784467 0.0020097900 0.010233989 0.0051312926 0.00087460298 0.00078954742 0.074371497 0.0047007051 0.00086230257 0.00078722908 0.0087772772 0.00055513863

1247.8552

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