Outils d'Évaluation Des Actifs Financiers

Outils d’évaluation des actifs financiers

Réalisé par : Encadré par :

- Aoullay Yasmine M. KANDROUCH Abdelkarim- Hajji Lamia- Inrhaoun Anouar- Rougui Hamza

Année universitaire : 2014 - 2015

Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015

Introduction

Un actif financier peut être définit comme étant un titre ou un contrat, généralement

transmissible et négociable, permettant à son émetteur de satisfaire ses besoins en

capitaux et susceptible de produire à son détenteur des revenus et/ou un gain en capital.

Il existe une variété d’actifs financiers dont les principales sont les actions et les

obligations. Toutefois il existe d’autres sortes d’actifs financiers plus complexes tels que

les options, les swaps, les dérivés de crédit, etc.

La classification d’un actif financier repose essentiellement sur sa liquidité et sur la

nature juridique de la relation liant son émetteur à son détenteur. La notion de liquidité

renvoie à des caractéristiques plus précises, telles que la négociabilité, la cessibilité et la

convertibilité, qui jouent un rôle majeur dans la détermination des différentes

catégories, bien qu’elles ne soient pas distinguées de façon systématique.

L’évaluation des actifs financiers est un enjeu majeur de la finance du fait que les

décisions financières sont généralement prises en privilégiant les choix qui maximisent

la valeur. Cependant, il n’est pas facile d’évaluer un actif financier, car une telle

démarche implique la prise en compte des évolutions souvent aléatoires de ces actifs.

Pour suivre ces évolutions, il existe des modèles dynamiques se basant sur des

démarches quantitatives appelées « modèles d’évaluations ». Un modèle d’évaluation

d’un actif financier est une relation qui exprime, de manière générale le prix de l’actif

ou son rendement en fonction de différentes variables explicatives qui peuvent

influencer le prix de cet actif.

Le choix du modèle d’évaluation dépend de l’information disponible et de l’objectif de

l’estimation de la valeur de l’actif. Il est important de considérer le contexte probabiliste

et aléatoire dans lequel les modèles d’évaluation des actifs sont construits.

Ces modèles reposent sur un certain nombre d’hypothèses dictées par la réalité

économique et le comportement des investisseurs. Parmi les hypothèses avancées, on

rencontrera souvent celle d’un marché parfait où il y’a une information disponible pour

l’ensemble des investisseurs, sans fiscalité sur les rendements des actifs ni coûts de

transaction associés aux actifs financiers, et où les ventes à découvert sont autorisées.


Une autre hypothèse est liée à l’absence d’opportunité d’arbitrage, et où un portefeuille

est constitué de manière à ne pas contenir de composante aléatoire présente

nécessairement un rendement égal au taux d’intérêt sans risque.

Le présent travail a pour ambition de relever l’ombre sur les principes de base de

l’évaluation des actifs financiers en mettant sous le feu des projecteurs certaines de leurs

techniques d’évaluation.

Pour ce faire, nous tenterons de répondre à la problématique suivante :

Comment déterminer la valeur d’un actif à partir d’observations passées tout en

prenant en compte l’évolution dans le temps des décisions possibles à tout instant ?

Afin d’apporter les éléments de réponse, nous traiterons dans une première partie les

modalités d’évaluations des titres de créance que sont les obligations. La deuxième

partie portera quant à elle sur les outils d’évaluations des titres de propriété à savoir, les

actions.


Sommaire

Partie I : L’évaluation des obligations

Section 1: Concept d’un titre de créance (Obligation)

Section 2: Prix et rentabilité d’une obligation

Section 3: La dynamique du prix des obligations

Section 4: La courbe des taux et l’arbitrage obligataire

Partie II : L’évaluation des actions

Section 1: Concept d’un titre de propriété (Action)

Section 2: Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)

Section 3: Arbitrage Pricing Théory (A.P.T)

Section 4: Le Price Earning Ratio (P.E.R)

Conclusion

Bibliographie


Partie I :

L’évaluation des

obligations


Section 1 : Concept d’un titre de créance (Obligation)

Une obligation est un titre de créance pouvant être émis par l’Etat, les administrations

publiques ou les entreprises. Elles sont achetées par des investisseurs en échange de la

promesse de paiements futurs. L’emprunteur est celui qui émet l’obligation, les prêteurs

ceux qui la détiennent, ces derniers sont appelés les obligataires. Les caractéristiques

d’une obligation sont définies lors de son émission dans un prospectus d’émission.

L’obligation obtient généralement deux types de flux : le paiement des intérêts et le

remboursement de l’emprunt. Les intérêts de l’obligation sont perçus sous forme de

coupons. La valeur nominale d’une obligation appelées aussi valeur facial ou principal

est le montant de référence utilisé pour le calcul des intérêts. Et enfin, l’échéance d’une

obligation se définit par la fin du remboursement du capital emprunté.

Une obligation peut dont être définie comme étant un flux financier unique ou une suite

de flux financiers échangés entre un prêteur et un emprunteur, dans le cadre d’un contrat

déterminé.

Un titre obligataire constitue un bon exemple d’actif financier : quand le montant à

emprunter est important, l’émetteur s’adresse à un grand nombre de souscripteurs et

divise ainsi son emprunt en parts de même montant unitaire. Ces dernières sont donc

des créances financières émanant des relations contractuelles qui se créent quand une

entité procure des fonds à une autre. Les contrats ainsi établis sont à la base de la

relation créancier/débiteur par laquelle les propriétaires d’actifs obtiennent une créance

inconditionnelle sur les ressources économiques d’autres unités institutionnelles.

Une obligation donne la preuve de l’existence d’une créance et précise les échéances

des versements d’intérêts et des remboursements de principal. On citera comme types

de titres obligataires courants les titres à coupon, qui prévoient le versement d’intérêts

périodiques, ou coupons, sur la durée de vie de l’instrument et le remboursement du

principal à l’échéance; les titres entièrement amortissables, avec échelonnement des

paiements d’intérêts et de principal sur la durée de vie de l’instrument; les titres à

coupon zéro ou à prime d’émission, émis à un prix inférieur à leur valeur nominale, les

intérêts (coupon) et le principal étant réglés en totalité à l’échéance; les titres à prime

d’émission élevée, dont le prix d’émission est inférieur à leur valeur nominale; le

principal et une grande partie des intérêts sont versés à échéance; ou encore les titres


indexés, dont les intérêts ou le principal sont rattachés à un indice de référence, tel

qu’un indice des prix ou de taux de change et enfin les obligations convertibles en

actions qui sont des obligations classiques auxquelles s’ajoute une option d’achat sur

des actions nouvelles de l’émetteur.

Il est à noter que dans le cas d’une obligation couponnée, le coupon dépend du taux de

coupon de l’obligation qui est définit par l’émetteur et spécifié dans le contrat

d’émission.

Section 2 : Prix et rentabilité d’une obligation

Les obligations zéro-coupon sont toujours échangées, avant l’échéance, à un prix

inférieur à leur valeur nominale, du fait que les intérêts y sont précomptés ;

Les obligations couponnées, quant à elles, peuvent être échangées à un prix égal,

inférieur ou supérieur à leur valeur nominale : on dit alors que l’obligation cote

respectivement, au pair, au-dessous du pair ou au-dessus du pair.

Lorsqu’un investisseur achète une obligation au pair, le taux de rendement de cette

dernière est égal au taux de coupon qui à son tour est égal au taux nominal. C’est le cas

d’une obligation dont le prix d’émission est de 10 000 dirhams, de maturité d’un an, et

qui paie un coupon annuel avec un taux nominal de 10% et un nominal de 10 000

dirhams. Cette obligation rapportera à son détenteur 11 000 dirhams dans un an (1 000

dirhams de coupon et 10 000 dirhams de remboursement du nominal) : le taux de

rendement effectif est bien de 10%.

En revanche, en se procurant une obligation au-dessous du pair, l’obligataire reçoit

des coupons promis et une plus-value égale à la différence entre la valeur nominale et le

prix d’achat de l’obligation. La rentabilité à l’échéance d’une telle obligation est donc

supérieure au taux de coupon.

Enfin, en achetant une obligation au-dessus du pair, l’investisseur voit ses gains

minorés par la moins-value que représente la différence entre le prix de l’obligation et

sa valeur nominale. En d’autres termes, nous pouvons dire qu’une obligation couponnée

cote au dessus-pair lorsque son taux de rendement à l’échéance est inférieur au taux de

coupon.

Nous proposons le tableau suivant en guise de récapitulation de ces différents cas :


Lorsque le prix de

l’obligation est…

supérieur à sa valeur

nominale

égal à sa

valeur

nominale

inférieur à sa valeur

nominale

… les obligations

sont échangées…au-dessus du pair au pair au-dessous du pair

Cela se produit

lorsque le taux de

coupon est…

> au TRE

Car la rentabilité est

majorée par la plus value

réalisée sur la prime

d’achat

= au TRE

< au TRE

Car la rentabilité

est minorée de la

moins value.

La détermination d’un coupon (C) se fait à travers la formule suivante :

C= Taux decouponNombre de coupons vers é s dans l ' ann é e

xValeur nominale

Par exemple, une obligation à 10 000 dirhams avec un taux de coupon de 10% et des

versements trimestriels :

C=10 %4

× 10 000=25d hs

Donc l’obligataire va percevoir 250 dirhams tous les trois mois.

a. Les obligations zéro-coupon :

Pour évaluer des titres financiers à revenus fixés à l’avance, il faut commencer par

raisonner sur les obligations à coupon zéro. Ces obligations sont des titres qui ne versent

qu’un seul cash-flow, à l’échéance : le remboursement de l’obligation. Il n’y a donc

aucun versement de coupon (intérêt) pendant la durée de vie de l’obligation. Elles sont

donc remboursées in fine.

Le cash-flow garanti par une obligation zéro coupon consiste en son remboursement, à

l’échéance. Ce remboursement se fait le plus souvent à la valeur nominale de


l’obligation. Bien que l’obligation coupon zéro ne prévoie aucun paiement intermédiaire

et que le paiement final soit simplement égal à la valeur nominale, le temps s’écoulant

entre l’achat de l’obligation et son remboursement est rémunéré. Cette rémunération

perçue par les investisseurs consiste en la différence entre le prix auquel ils ont souscrit

à l’obligation (prix d’émission) et la valeur de remboursement (le plus souvent, la valeur

nominale).

Exemple :

Pour une obligation zéro-coupon d’une valeur nominale de 10 000 dirhams, à échéance

d’un an et émise initialement au prix de 9 500 dirhams.

Rémunération de l’investisseur = Valeur nominale – Prix d’émission = 10 000 – 9 500 = 500

La rémunération de l’investisseur est donc égale à 500 dirhams.

Rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon :

Le taux interne de rentabilité d’une obligation zéro-coupon correspond à la rentabilité

que les investisseurs obtiennent s’ils achètent l’obligation à son prix de marché et la

détiennent jusqu’à l’échéance. Dans le cas d’actifs financiers on parle plus de taux de

rentabilité à l’échéance (TRE) ou, pour faire court, de rentabilité à l’échéance plutôt que

TIR, mais la signification du concept reste la même.

La rentabilité à l’échéance d’une obligation est le taux d’actualisation qui égalise la

valeur actuelle des flux futurs espérés et le prix courant de l’obligation.

Rentabilité à l’échéance d’une obligation de maturité d’une année :

TRE= valeur nominale – Prix d ' é missionPrix d ' é mission

Rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon de maturité N :

TREN=( Valeur nominalePrix d ' é mission )−1

Avec :


TREN : la rentabilité exigé par période de capitalisation de la part d’un

investisseur conservant l’obligation jusqu’à son échéance.

Application :

Quelle est la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon de valeur nominale

10 000dirhams dont les prix et les maturités sont ?

Maturité 1 an 2 ans 3 ans 4 ans

Prix 9 662 dhs 9 245 dhs 8 763 dhs 8 306 dhs

Solution :

Maturité 1 an 2 ans 3 ans 4 ans

TRE 3.50%1 4.00%2 4.50%3 4.75%4

Comme on l’a constaté lors de cette application, il existe autant de taux d’intérêt sans

risque (r N ¿que de maturités. Ces taux d’intérêt sans risque peuvent donc être déterminés

à partir d’obligations Zéro-coupon.

La loi du prix unique garantit que : r N=TRE

b. Obligations couponnées ou obligations ordinaires :

Contrairement aux obligations zéro-coupons. L’émetteur d’une obligation couponnée

s’engage à verser régulièrement des intérêts à l’obligataire pendant toute la durée de vie

de l’obligation, puis à rembourser l’obligation à l’échéance. Auparavant, les titres

financiers étaient représentés par une feuille de papier timbré comportant des coupons

numérotés, chaque souscripteur devrait détacher les coupons au fur et à mesure pour les

présenter à l’émetteur en échange de paiement des intérêts d’où l’appellation de

« coupon ».

1 (10 000/ 9 662) -1 = 3.50%2 (10 000/ 9 245 ¿¿1 /2 – 1 = 4%3(10 000¿8 763 ¿¿1 /3 - 1 = 4.5%4 (10 000/ 8306¿¿1 /4 - 1 = 4.75%


Le taux nominal de l’obligation représente le taux d’intérêt qui s’applique à la valeur

nominale de l’obligation pour calculer le montant du coupon à verser.

Exemple :

Une obligation au nominal de 10 000 dirhams, qui verse des coupons annuels au taux

nominal de 10%, représente un engagement de la part de l’émetteur de payer (10 000 x

10%) = 1 000dirhams de coupon par an.

Si l’échéance de l’obligation est de 6 ans, alors à la fin des 6 années, l’émetteur paiera le

dernier coupon de 1 000 dirhams, plus le remboursement de l’obligation.

Le coupon de 1 000 dirhams par an est fixé à l’émission et reste constant sur toute la

durée de vie de l’obligation, le jour de l’émission, l’obligation a un prix généralement

égal au nominal.

Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée :

La rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée ou non correspond au TIR

détenue à son échéance :

Le TRE correspond ainsi au taux d’actualisation unique qui égalise la valeur actuelle

des flux futurs et le prix courant de l’obligation.

Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée

P=C x 1TRE (1−

1(1+TRE ) N )+ VN

(1+TRE )N

Pour trouver le TRE, il faut procéder par interpolation linéaire ou utiliser un tableur.

Application 1: Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée

Une obligation est émise pour une échéance de cinq ans, de valeur nominale 100 000

dirhams. Les coupons sont semestriels et le taux de coupon est de 5%. Ce taux est


exprimé sous la forme d’un taux annuel proportionnel. Cette obligation est émise au

prix de 95 735 dirhams. Quelle est la rentabilité à l’échéance ?

Solution :

L’obligataire reçoit un coupon semestriel de : C=100 00 x 5 %2

=2 500 dhs

L’obligation quant à elle doit détacher dix coupons jusqu’à son échéance.

95 735=2500 x 1TRE (1− 1

(1+TRE )10 )+ 100 000(1+TRE )10

Approximativement, on obtient TRE = 3%. Comme les coupons sont semestriels, cette

rentabilité porte sur une période de six mois. Pour obtenir un taux en base annuelle, il

convient de multiplier par le nombre de coupons versés au cours d’une année. La

rentabilité à l’échéance de cette obligation, exprimée sous forme d’un taux annuel

proportionnel, est donc de 6%5.

Application 2 : Prix d’une obligation à partir de la rentabilité à l’échéance

Reprenons l’application précédente, sachant que l’obligation voit sa rentabilité à

l’échéance passer à 6.30% (en base annuel proportionnel). Calculer le prix de

l’obligation ?

Solution :

Un taux annuel de 6.30% correspond à un taux semestriel de 3.15%.

P=25 000 x 10.0315 (1−

1(1+0.0315 )10 )+ 100 000

(1+0.0315 )10 = 94 497,57 dhsDonc le prix de l’obligation est environ de 94 498 dirhams.

Section 3 : La dynamique du prix des obligations

Généralement, une obligation couponnée est émise avec un taux de coupon tel que, à

l’émission, celle-ci s’échange au pair. Cependant, après son émission, deux mécanismes

5 3% x 2 = 6%


peuvent conduire à une variation de son prix. Il s’agit de l’effet du temps et de la

variation des taux d’intérêt.

a. L’effet du temps sur le prix des obligations :

Prenons l’exemple d’une obligation zéro-coupon d’échéance 20 ans, de valeur nominale

1 000 dirhams et d’une rentabilité à l’échéance de 5%. Cette obligation est échangée sur

le marché au prix de :

P (maturité=20 ans )= 10001,0520=376,89 dhs

En supposant la même rentabilité à l’échéance de 5%, le prix de l’obligation 5 ans plus

tard sera de :

P (maturité=15 ans )= 10001,0515 =481,02dhs

En 5 ans, le prix de l’obligation s’est vu augmenter de 104,13 dirhams. En effet, le

dénominateur de l’équation diminue avec la diminution de la maturité. Ainsi, acheter

l’obligation à 376,89 d hs et la revendre à 481,02 d hs est une opération dont le TIR est

de :

( 481,02376,89

)1 /5

−1=5%

Le TIR de l’opération est par conséquent égal au TRE de l’obligation.

Nous allons à présent donner un second exemple, pour démonter que le prix des

obligations couponnées augmente également à fur et à mesure que le temps passe. Et ce,

bien que la dynamique de leur prix soit plus complexe du fait des flux versés

périodiquement au détenteur du titre.

Imaginons une obligation d’échéance 20 ans, de valeur nominale 1 000 dirhams et d’un

taux de coupon de 10%. Ces coupons sont versés sur une base annuelle. Quel est le prix

d’émission de cette obligation si la rentabilité à l’échéance est constante ? Et quel sera

le prix juste avant et juste après le paiement du premier coupon ?

Le prix d’émission de cette obligation est calculé comme suit :


P=100 x 10.05 x(1− 1

(1+0.05 )20 )+ 1000(1+0,05 )20=1 623,11dhs

Le calcul du prix de l’obligation dans un an, juste avant le détachement (paiement) du

premier coupon, nécessite d’actualiser les flux futurs de l’obligation. La maturité

résiduelle étant de 19 ans, l’échéancier est :

Le premier flux de 100 dhs correspond au coupon qui sera bientôt détaché. Il est

préférable d’actualiser les flux futurs en considérant séparément le premier coupon, il

devient alors possible d’utiliser pour les 19 coupons restants la formule d’une anuité

constante.

Comme la rentabilité à l’échéance est supposée constante, on obtient :

P (avant détachement du 1 er coupon )

¿100+100 x 10.05 x (1−

1(1+0.05 )19 )+ 1 000

(1+0,05 )19 =1704,27 dhs

La supériorité du prix de l’obligation juste avant le paiement du premier coupon par

rapport à son prix initial trouve son explication dans le fait que l’investisseur n’a pas à

attendre aussi longtemps pour percevoir son premier flux.

Juste après paiement du premier coupon (la rentabilité à l’échéance étant supposée

constante) le prix de l’obligation est de :

P ( juste aprèsdétachement du 1er coupon )=100 x 10.05 x (1−

1(1+0.05 )19)+ 1000

(1+0,05 )19 =1 604,27 dhs

Juste après le paiement du premier coupon, le prix de l’obligation baisse de 100 dhs,

soit un montant égal au flux perçu.

Dans cet exemple, le prix d’émission est supérieur au prix dans un an juste après

détachement du premier coupon. Ceci est justifié du fait que la prime que les

investisseurs sont prêts à payer pour l’acquisition de l’obligation diminue au fur et à

mesure que le nombre de coupons à percevoir est moindre.


Le graphique suivant illustre l’effet du temps qui passe sur le prix des obligations, sous

l’hypothèse que la rentabilité à l’échéance est constante.

Source : Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux

Horizon ; p.227.

Une obligation coupon zéro est tjrs émise à un prix inférieur à sa valeur nominal donc

plus on s’approche de l’échéance plus elle tend vers sa valeur norminal

Obligation couponnée :

Au dessus du pair : puisque le taux de rentabilité est inférieur au taux de coupon

donc le prix de l’obligation diminue dans le tps ainsi plus on s’approche de

l’échéance plus la rentabilité diminue

Au pair : augmente de la rentabilité à l’échéance et diminue de la valeur du

coupon. (donc le TRE = Taux de coupon)

En dessous du pair : puisque le taux de rentabilité est supérieur au taux de

coupon, le prix de l’obligation augmente dans le tps plus on s’approche de

l’échéance plus la rentabilité augmente.


On constate qu’entre le détachement de chaque coupon, le prix des obligations

augmente régulièrement, à un taux égal à la rentabilité à l’échéance de l’obligation.

Alors qu’à chaque détachement de coupon, le prix de l’obligation chute du prix du

coupon.

Le prix d’une obligation zéro-coupon augmente quant à lui progressivement à mesure

que la maturité diminue.

Lorsqu’une obligation est échangée au-dessus du pair,. En revanche, lorsque

l’obligation est échangée au-dessous du pair, son prix augmente avec le temps. Il en

ressort que le prix des obligations tend vers leur valeur nominale lorsque les obligations

arrivent à échéance et que le dernier coupon est versé.

Ainsi, la rentabilité des obligations couponnées est fonction des coupons et de la

variation du prix de l’obligation. Le rendement des obligations zéro-coupons est quant à

elle fonction de la croissance du prix des obligations uniquement.

Le prix des obligations couponnées augmente donc à l’approche de la date de paiement

du prochain coupon et chute brusquement au détachement de celui-ci. A rentabilité à

l’échéance constante, la courbe représentative de cette évolution est en dents de scie :

Cependant, les investisseurs s’intéressent davantage aux fluctuations des prix causés par

une variation des taux d’intérêt qu’aux fluctuations des prix liées aux détachement des

coupons qui sont plutôt faciles à prévoir.

La convention sur le marché obligataire est telle qu’on affiche pour les obligations

couponnées un cours coté différent du prix. Le prix permettant d’acquérir effectivement

l’obligation est appelé prix coupon couru (ou dirty price). Sur le marché est coté le

prix pied de coupon (ou clean price), celui-ci représente le prix courant de l’obligation

duquel on a soustrait les intérêts accumulés depuis le paiement du dernier flux :


Prix au pied de coupon = Prix coupon couru – Coupon couru

Avec :

Coupon couru = Coupon x Nombre de jours depuis≤d é tachement du dernier coupon

Nombre de jours entredeux d é tachement de coupons

La soustraction du coupon couru au prix de l’obligation à pour conséquence de faire

disparaitre l’évolution en dents de scie du prix de l’obligation. De ce fait, la

comparaison entre différentes obligation est facilitée. Avec une rentabilité à l’échéance

constante, le prix pied de coupon d’une obligation tend progressivement vers sa valeur

nominale.

b. L’effet de la variation des taux d’intérêt sur les obligations :

En règle générale, l’investissement en emprunt d’Etat est assimilé à un investissement

sans risque. En revanche, dans un environnement où les taux d’intérêt fluctuent, le

constat est tel que les investisseurs peuvent réaliser des profits ou subir des pertes sur

leurs investissements en obligations à long terme.

Lorsque les taux d’intérêt varient, la rentabilité exigée par un investisseur pour détenir

une obligation varie également. Prenons l’exemple d’une obligation zéro coupon à 20

ans, de valeur nominale de 1 000 dirhams et de rentabilité à l’échéance de 5%. Celle-ci

s’échange au prix suivant :

P (TRE=5 % )= 1 0001,0520=376,89 dhs

Dans le cas où les taux d’intérêt augmenteraient brutalement d’un point, les

investisseurs exigeraient une rentabilité à l’échéance de 6%. Cette variation de la

rentabilité aurait pour conséquence une baisse immédiate du prix de l’obligation :

P (TRE=6 % )= 10001,0620 =311,80dhs

Le prix de l’obligation a donc baissé de (311,80 - 376,89) / 376,89 = -17,3%. Cet

exemple illustre un principe général : une rentabilité à l’échéance élevée implique un

taux d’actualisation élevé. Ce qui entraine une baisse de la valeur actuelle des flux


futurs et donc du prix de l’obligation. Il s’agit d’une relation inverse entre prix et

rentabilité à l’échéance qualifiée d’effet balançoire.

La sensibilité du prix des obligations aux variations de taux d’intérêt dépend de la

séquence des flux futurs. La valeur actuelle d’un flux perçu dans quelques jours est

moins affectée par une variation du taux d’actualisation qu’un flux futur perçu dans

plusieurs semaines ou plusieurs années.

Les obligations zéro-coupon de maturité courte sont donc moins sensibles aux

variations du taux d’intérêt que celles de maturité longue. De même, les obligations à

taux de coupon élevé sont moins sensibles aux variations du taux d’intérêt que des

obligations à taux de coupon faible.

Il est donc important de cerner la notion de duration. Celle-ci permet d’apprécier la

sensibilité du prix d’une obligation aux fluctuations du taux d’intérêt. Les obligations

dont les durations sont élevées sont par définition très sensibles à ces variations.

Pour mieux comprendre la sensibilité des obligations au taux d’intérêt, nous proposons

l’application ci-après.

Application :

Un investisseur hésite entre l’achat d’une obligation zéro-coupon d’échéance 15 ans et

celui d’une obligation couponnée d’échéance 30 ans dont le taux de coupon annuel est

de 10%. Quel est le pourcentage de variation du prix de chaque obligation si la

rentabilité à l’échéance passe de 5% à 6% ?

Solution :

La solution est explicitée à travers le tableau suivant :

TREObligation zéro-coupon

d’échéance 15 ans

Obligation couponnée (10%)

d’échéance 30 ans

5% 1 000 / 1,0515 = 481,02 dhs100 x 1

0.05 x (1− 1(1+0.05 )30 )+ 1 000

(1+0,05 )30 =1560,38 dhs


6% 1 000 / 1,0615 = 417,26 dhs100 x 1

0.06 x (1−1

(1+0.06 )30 )+ 1000(1+0,06 )30=1 393,89 dhs

Variation du

prix (en%)

(417,26 - 481,02) / 481,02 = -

13,2%(1 393,89 – 1560,38) / 1 560,38 = -10,7%

Malgré le fait que l’obligation d’échéance 30ans ait une maturité plus longue, son taux

de coupon est plus élevé. Son se retrouve donc moins sensible aux variations de la

rentabilité à l’échéance.

En somme, le prix d’une obligation est fonction non seulement de sa maturité, mais

aussi des taux d’intérêt. Au fil du temps, les prix des obligations convergent vers leurs

valeurs nominales. Cependant, les variations de rentabilité à l’échéance font fluctuer les

prix de manière imprévisible.

En détenant cette obligation, l’investisseur s’expose à un risque de taux d’intérêt. En

effet, ci celui-ci décide de vendre alors que les taux d’intérêt grimpent, le prix de

l’obligation chutera. Cette chute aura pour conséquence une rentabilité effective

moindre pour l’investisseur. Et inversement, en vendant cette obligation alors que les

taux sont bas, le prix sera élevé, et pareillement pour la rentabilité effective dont

bénéficiera l’investisseur.

Le graphique suivant illustre la rentabilité à l’échéance et les fluctuations du prix d’une

obligation zéro-coupon d’échéance initiale 30 ans :


Source : Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux Horizon ; p.231.

Section 4 : La courbe des taux et l’arbitrage obligataire

Selon la loi du prix unique, il doit exister une relation entre les prix et les rentabilités à

l’échéance de toutes les obligations. En effet, la loi du prix unique permet de calculer le

prix et la rentabilité à l’échéance de n’importe quelle obligation sans risque.

a. La réplication d’une obligation couponnée :

Les flux futurs d’une obligation couponnée peuvent être répliqués à travers la

constitution d’un portefeuille d’obligations zéro-coupon.

Pour répliquer les flux d’une obligation couponnée de valeur nominale 1 000 dirhams

d’échéance 3 ans et de taux de coupon annuel 10%, il suffit de constituer un portefeuille

contenant 3 obligations zéro-coupon. A chaque détachement de coupon est donc

associée une obligation zéro-coupon dont la valeur nominale est égale au coupon et dont

l’échéance correspond à la date de détachement du coupon. De même, il faut associer au

dernier flux (paiement du dernier coupon et remboursement du principal) un zéro-


coupon à 3 ans dont la valeur nominale est de 1 100 dirhams (soit 11 obligations zéro-

coupon dont la valeur nominale est de 100 dirhams).

Cette démarche peut être illustrée comme suit :

Comme les flux futurs de l’obligation couponnée sont identiques aux flux futurs du

portefeuille zéro-coupon, la Loi unique permet d’établir que les prix doivent être

identiques. Les données issues de ce tableau permettent de calculer le coût de

constitution du portefeuille de zéro-coupon :

Echéance 1 an 2 ans 3 ans

TRE 3,50% 4,00% 4,50%

Prix 96,62 dhs 92,45 dhs 87,63 dhs

Calcul du coût total 96,62 dhs 92,45 dhs87,63 x 11 = 963,93

dhs

Coût total 1 153,00 dhs

D’après la Loi du prix unique, l’obligation couponnée à 3 ans doit être négociée au prix

de 1 153 dirhams. Si le prix de l’obligation couponnée était plus élevé, il serait possible

d’arbitrer en achetant l’obligation couponnée et en vendant à découvert les obligations

zéro-coupon, et inversement si le prix était plus faible.

b. L’évaluation d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à

l’échéance de zéro-coupon :


Précédemment, les prix des obligations couponnées était calculé à partir du prix des

obligations zéro-coupon. Pour arriver à ce résultat, on peut également utiliser la

rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon. En effet, celle-ci par définition

égale aux taux d’intérêt qui prévaut sur un marché concurrentiel pour un placement sans

risque d’échéance identique à celle de l’obligation zéro-coupon considérée. Le prix

d’une obligation couponnée doit donc être égal à la valeur actuelle des coupons et de la

valeur nominale, actualisée au taux d’intérêt qui prévaut sur un marché concurrentiel :

Prix d ' uneobligation couponnée=VA ( Flux futurs de l' obligation )

¿C

(1+TRE1 )+ C

(1+TRE2 )2+…+ C+VN

(1+TREN )N

Avec :

C : le coupon ; TREN : la rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon de maturité N ; VN : la valeur nominale de l’obligation couponnée.

Exemple :

En utilisant la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon répertoriées dans le

tableau précédent, on obtient le prix d’une obligation de valeur nominale de 1 000

dirhams et de taux de coupon annuel de 10%.

P= 100(1,035 )

+ 100(1,04 )2

+100+1000(1,045 )3

=1 153 dhs

Bien évidemment, ce prix est identique à celui obtenu à partir des prix des obligations

zéro-coupon. Il est dont possible de déterminer le prix d’une obligation couponnée en

actualisant ses flux futurs au TRE des obligations zéro-coupon correspondantes.

Autrement dit, la lecture de la courbe des taux zéro-coupon suffit pour calculer le prix

de n’importe quelle obligation sans risque.

c. La rentabilité à l’échéance des obligations couponnées :

Dans cette section, nous avons mis en revue deux équations. La première permet de

calculer le prix d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à l’échéance des

obligations zéro-coupon, tandis que la deuxième permet de calculer la rentabilité à

l’échéance de l’obligation ordinaire à partir de son prix.


En combinant ces deux résultats, il est possible d’établir la relation entre la rentabilité à

l’échéance des obligations zéro-coupon et celle des obligations couponnées.

Exemple :

Reprenons à présent l’exemple de l’obligation d’échéance 3 ans, de valeur nominale

1 000 dirhams et de taux de coupon annuel de 10%.

Si on utilise la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon, le prix de cette

obligation est de 1 153 dirhams. Ensuite, nous pouvons obtenir sa rentabilité à

l’échéance TRE en résolvant l’équation suivante :

P=1 153= 100(1+TRE )

+ 100(1+TRE )2

+ 100+1000(1+TRE )3

En utilisant un tableur ou l’interpolation linéaire, on trouve un TRE égal à 4,4%. La

rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée est égale à la moyenne pondérée

des rentabilités des obligations zéro-coupon d’échéances inférieures ou égales. Les

pondérations dépendent (de façon complexe) des flux futurs à chaque date de

l’obligation couponnée. Dans cet exemple, la rentabilité à l’échéance des obligations

zéro-coupon est de 3,5%, 4% et 4,5%. Le poids du troisième flux futur dans la valeur

actuelle de l’obligation couponnée est le plus important des trois, puisqu’il inclut la

valeur nominale de l’obligation. La rentabilité à l’échéance de l’obligation couponnée

est donc plus proche de celle de l’obligation zéro-coupon d’échéance 3 ans (4,5%).

Nous allons à présent, et ce à travers la partie suivante, nous intéresser aux différents

outils d’évaluation des titres à revenu variable.


Partie II :

L’évaluation des

actions

Section 1 : Concept d’un titre de propriété (Action)

Une action est un titre de propriété délivré par une société de capitaux. Elle confère à

son détenteur la propriété d'une partie du capital, avec d’éventuels droits qui y sont

associés : intervenir dans la gestion de l'entreprise et en retirer un revenu appelé

dividende.


L’évaluation d’une action se base principalement sur la valeur actuelle des paiements

futurs qu’elle versera, l’actualisation se faisant à un taux qui reflète le risque entourant

les dits paiements. Appliqué aux actions, ce principe implique que leur valeur est la VA

des dividendes futurs.

Plusieurs outils permettent d’évaluer ces titres financiers notamment la capitalisation

boursière qui est la valeur que la bourse attribue aux sociétés cotées en fonction de

l'offre et la demande. Elle se calcule en multipliant le cours de bourse par le nombre

d'actions composant son capital social ; le bénéfice net par action (BNPA) qui se

calcule en divisant le bénéfice net de la société par le nombre total d’actions composant

son capital ; le Price Earning Ratio (PER) qui reflète la croissance des bénéfices

espérée par la bourse, il se calcule en divisant le cours de bourse par le bénéfice net par

action ; le rendement qui permet d'apprécier la rentabilité d'une action et se calcule en

divisant le dividende par le cours de bourse et est traduit en pourcentage ; la volatilité

qui est un indicateur de risque permettant de mesurer l’amplitude de variation des cours

d’un titre par sa tendance ; et enfin l’incidence des taux d’intérêt puisque le cours des

actions varie généralement en sens inverse des taux d’intérêt.

Section 2 : Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)

Le modèle d’évaluation des actifs financiers est un modèle qui permet d’établir une

relation entre le rendement espéré d’un titre et son risque systématique (le bêta). Il s’agit

d’un modèle à un facteur, c’est-à-dire que les variations du rendement espéré sont

uniquement expliquées par un seul facteur. Le modèle est principalement basé sur les

hypothèses selon lesquelles investisseurs sont averses au risque et ont des références

moyenne-variance6. Il n’y a pas d’imperfections de marché (ni taxes ni coûts de

transaction), l’achat et la vente à découvert sont permis, et tous les actifs peuvent être

échangés sur le marché.

a. Les hypothèses du modèle :

6 “The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence”, Eugene F. Fama and Kenneth R. French, Journal of Economic Perspectives—Volume 18, Number 3—Summer 2004—Pages 25–46.


1. Tous les actifs sont négociables sur le marché pour des quantités infiniment

divisibles.

2. Il n’y a pas de frais de transaction ni de taxes.

3. Tous les investisseurs sont averses au risque

4. L’horizon de planification est d’une période

5. Les investisseurs partagent une information très large sur l’ensemble des actifs

traités qu’ils formulent ainsi des anticipations homogènes en matière de rentabilité

et de risque.

6. Il existe un taux sans risque auquel il est possible de prêter et d’emprunter sans

limite.

Le MEDAF établit une relation qui doit prévaloir entre le risque et la rentabilité espérée

d’un titre individuel.

Sous l’hypothèse (H) de l’efficience du portefeuille de marché M au sens espérance-

variance ; les investisseurs ont des anticipations homogènes et le même horizon

d’investissement, en présence comme en absence d’actif sans risque, il existe deux

paramètres positifs λ et θ tels que pour tout titre i= 1, …, N :

(1) µi = λ+ θσiM

Réciproquement, s’il existe deux paramètres positifs λ et θ tels que pour tout titre i = 1,

…, N, la relation (1) soit vraie, alors l’hypothèse (H) d’efficience du portefeuille du

marché est vérifiée.

Le paramètre θ s’interprète comme l’aversion moyenne au risque des investisseurs

intervenant sur le marché. C’est l’augmentation du taux de rentabilité d’un actif requise

par « point de risque » supplémentaire apporté par cet actif. Mathématiquement, c’est la

dérivée de µi par rapport à σiM.

Le MEDAF s’écrit aussi de façon équivalente :

(2) µi = λ + (µ M−λ

σ2 M)σiM

Ou bien


(2’) µi = λ +β(µM−λ) ; avec β = σiMσ ² M

De cette relation découle la pente de la droite de régression de la rentabilité Ri sur la

rentabilité RM qui est égale à βi = σiMσ ² M .

Si l’on trace le graphique de la relation (2) dans le plan (β, µi), on obtient la droite de

marché des actifs risqués (Security Market Line) ou plus simplement la droite de

marché, passant par les points (0, λ) et (1, µM). A l’équilibre du marché, les points

représentatifs de tous les titres i et de tous les portefeuilles doivent être situés sur cette

droite : la prime de risque (µi – λ) offerte à chaque titre i est proportionnelle à son

risque, ce dernier étant mesuré par le bêta.

b. Le prix d’équilibre des actifs financiers :

L’évaluation (pricing) du titre est implicite- le prix du titre à l’instant initial n’apparaît

pas.

Appelons Pi le prix d’équilibre recherché du titre i (en t=0), et ~P i1 sa valeur de

liquidation aléatoire à la fin de la période (en t = 1). C’est cette valeur qui fait l’objet

des anticipations des investisseurs, compte tenu des politiques d’investissement et de

financement de la firme, dont on se rappelle qu’elles sont supposées connues en début

de période. Par définition, le taux de rentabilité aléatoire du titre i est donné par :

~ri=¿

~Pi1

P i– 1¿

Et donc, en prenant l’espérance des deux cotés

~μi=¿

E (~Pi1 )

Pi−1¿

Substituons μi par sa valeur théorique donnée par le MEDAF et isolons l’inconnuePi :

Pi=E (~Pi

1 )1+r+θ σ i M

Où :


θ=(μ¿¿ M−r) /σM2 ¿, le prix de marché du risque divisé parσ M , est utilisé pour

simplifier la notation. θS’interprète, on l’a vu, comme le prix de marché du

risque par point de covariance. De (i), on déduit :

E (~Pi1 )=Pi[1+r+θ cov (

~Pi1

Pi, RM )]=P i (1+r )+θ cov (~Pi

1 , RM )

D’où d’écoule la proposition suivante :

La valeur d’équilibre Pi d’un actif générant un flux unique aléatoire ~P i1 dans une

période est donnée, en présence d’un actif sans risque, par :

Pi=E (~Pi

1 )−θ cov (~Pi1 ,RM )

1+r

Le modèle d’évaluation recherché, est l’analogue en avenir incertain de la relation Pi = ~P i

1 /(1 + r) en avenir certain, où Pi1 serait l’unique flux futur certain auquel donne droit

le titre i.

Le numérateur du membre de droite est l’équivalent-certain au sens du marché du flux

aléatoire ~P i1 (c'est-à-dire le flux certain qui a la même valeur que ~P i

1¿; il est égal à

l’espérance mathématique de ce flux diminué d’une prime de risque (qui peut être

négative éventuellement) qui elle-même est le produit du risque de flux,cov (~Pi1 ,RM ), par

le prix de marché du risque θ .

Application :

Soit une économie dans laquelle le taux d’intérêt sans risque s’établit à 5%, la

rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 13%, l’écart-type de ce dernier 20%.

Tous ces taux sont annualisés. L’espérance de la valeur du titre EASYVAL, dans un an

est égale à 500 dh et la covariance entre cette valeur et le taux de rentabilité du

portefeuille de marché est estimé. Quel est l’équivalent certain de la variable aléatoire

qu’est la valeur future du titre EASYVAL ? Quel est le cours actuel d’équilibre du

titre ?


Il faut calculer tout d’abord le prix de marché du risque par point de covariance, θ.

Celui-ci est égal à (13% - 5%)/(20%²)= 2. L’équivalent certain recherché est donc égal à

500 – (2x4) =492.

Le prix théorique du titre EASYVAL s’établit à 468,57 dh.

Ici λ est équivalent au taux sans risque r.

c. Limites du MEDAF :

Pour que le MEDAF soit valide, il suffit que le portefeuille de marché M soit efficace,

c’est-à-dire situé sur la frontière de Markowitz.

Richard Roll a supposé que le marché est efficient et que le MEDAF est valide, et a

formulé une critique du modèle en avançant que le portefeuille de marché n’est pas

observable car il comprend des actifs risqués, à fortiori, sa rentabilité n’est pas

mesurable et il est impossible de déterminer s’il est efficace ou non. Il est contourné en

pratique par l’utilisation d’un indice (CAC 40, Dow Jones, Nikkei, etc.) comprenant

plusieurs types d’actifs. Les résultats des tests empiriques peuvent donc être sensibles

au choix de l’indice boursier adopté comme approximation (proxy) de M. C’est à partir

de ce proxy que découle la relation linéaire entre la rentabilité espérée des actifs et le

risque mesuré par le bêta : si un portefeuille P quelconque efficace ex-post est choisi

comme étant un portefeuille le portefeuille de marché, et que l’on calcule les bêtas

individuels à partir de ce portefeuille P, alors on obtient nécessairement une relation

linéaire conforme au MEDAF entre le rendement espéré et le risque du titre.

Si au contraire le portefeuille adopté P comme proxy n’est pas efficace ex-post, on peut

trouver une relation non linéaire entre la rentabilité espérée et le titre et la sur- ou sous-

performance de chaque titre i par rapport à ce qu’implique le MEDAF dépend

arbitrairement du portefeuille en question.

Par conséquent, on risque d’accepter le MEDAF à tort uniquement parce que le

portefeuille de l’indice I utilisé en guise de portefeuille de marché est efficient et on

peut le rejeter à tort alors qu’il est juste parce que le portefeuille P est inefficient.

Outre la non-observabilité des anticipations (MEDAF ex-ante), une autre difficulté

d’application du modèle est celle du coefficient bêta qui n’est pas directement


observable. Les bêtas des titres ne sont pas stables dans le temps posant un problème de

mesure.

Section 3: Arbitrage Princing Theory (APT)

Le modèle d’évaluation par arbitrage développé initialement par Ross (1976),

représente à la fois une alternative et par certains aspects une extension du MEDAF. A

la différence de ce dernier qui considère qu’il y a une relation linéaire entre la rentabilité

d’un actif et son risque provenant d’un seul facteur commun, le marché, l’APT repose

sur l’hypothèse que les rentabilités Ri des N actifs dépendent linéairement d’un nombre

restreint de k facteurs communs indépendants Fk (inflation, production industrielle,

PIB, ..). Un nombre limité de facteurs systématiques communs est supposé affecter le

taux de rentabilité espéré de tous les actifs financiers risqués.

Ce modèle un double objectif : identifier les facteurs communs qui sont supposés

affecter le taux de rentabilité espéré de tous les actifs, et donner l’équation relative à

l’espérance de rentabilité d’un titre à ces sources communes de risque.

Par conséquent, l’APT est un modèle multifactoriel. Les modèles multi-facteurs relèvent

d’une démarche pragmatique et visent en effet à expliquer empiriquement la structure

des corrélations entre les rentabilités des actifs risqués en supposant à priori que

plusieurs facteurs communs influencent ces dernières. En effet, il peut exister d’autres

facteurs communs que le marché lui- même qui induisent des corrélations systématiques

entre les taux de rentabilités des titres. Ils peuvent être soit représentés par des indices

représentant des secteurs économiques, soit des caractéristiques micro-économiques,

soit par des indices macroéconomiques.

L’APT est fondé sur l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage AOA. La

rentabilité d’un titre risqué i pour une période t est obtenue par la projection

orthogonale sur les facteurs :

Ri = µi + ∑bikFk + εi

Où :

Fk : est la variation non anticipée du facteur risque k et d’espérance nulle.

εi: le risque spécifique du titre i


L’hypothèse cruciale sous-tendant le modèle est que les risque εi ne sont pas corrélés et

sont donc diversifiables.

La corrélation entre les rentabilités individuelles Ri est entièrement expliquée par

l’influence des facteurs communs Fk. Ces facteurs peuvent être par exemple, des

exemples de titres individuels existants ou des grandeurs macroéconomiques exogènes

au modèle.

a. Une seule source de risque : le marché

Supposons qu’il n’y ait qu’une seule source commune de risque de sorte que l’équation

décrivant la génération des rentabilités devienne :

Ri = µi + biFk + εi ∀ iSi les investisseurs détiennent des portefeuilles bien diversifiés, le risque résiduel de ces

derniers peut être considéré comme négligeable en pratique. La rentabilité d’un tel

portefeuille p s’écrit alors :

Rp = µp + bpF

Et il est caractérisé par les deux paramètres :

µp= ∑xiµi ; bp= ∑xibi

De façon générale, l’APT indique que la relation entre l’espérance de rentabilité d’un

portefeuille et son risque systématique, mesuré par la sensibilité b, est linéaire.

µp= λ0 + λ1bp

Les deux scalaires λ0 et λ1 étant les mêmes pour tous les titres et portefeuilles.

Relation de l’APT avec le MEDAF :

Bien que l’APT soit un modèle qui implique, en général, plusieurs facteurs, et non un

modèle à un facteur (le portefeuille de marché) comme le MEDAF, et qu’en outre les

hypothèses qui sous-tendent ces deux modèles soient différentes, MEDAF et APT


peuvent être compatibles7. Le MEDAF et l’APT à un seul facteur sont formellement

identiques.

b. Plusieurs sources de risque :

Par un raisonnement analogue à celui qui conduit à l’équation µp= λ0 + λ1bp, on

obtient en présence de m sources communes de risque, la relation linéaire suivante qui

doit prévaloir en AOA :

µp= λ0 + ∑ λkbpk

µp - λ0 s’interprète comme la prime de risque applicable au portefeuille p, les λk sont

les prix de marché du risque et les bpk les risques systématiques de p.

La relation précédente constitue l’APT relatif à des portefeuilles bien diversifiés. La

différence entre un portefeuille p bien différencié et un actif i pris isolément est que ce

dernier présente, outre son ou ses risque(s) systématique(s), un risque spécifique εi, non

négligeable.

Toutefois, le marché n’attribue aucune prime de risque à ce dernier parce qu’il est

diversifiable.

Il convient de noter que la théorie de l’APT est fondée sur la notion de portefeuille

d’arbitrage. Celui-ci n’exige aucune mise de fonds, les ventes à découvert finançant les

achats. Il est construit de façon à ce que chacun des bpk soit égal à 0. Son risque

diversifiable est quasi-nul car le nombre de titre entrant dans sa composition est supposé

grand8.

Sous peine d’arbitrage en AOA, ce portefeuille sans risque de valeur initiale nulle doit

avoir une valeur finale nulle, quelles que soient les distributions de rentabilité des titres

et les préférences des investisseurs. Cette simple considération conduit à l’APT, que

l’on peut formuler ainsi :

7 En présence de l’actif sans risque : µi= r + βi(µm – r) ; µi – r + ∑bik(δk – r) où λ1= δk – r ≡ µm – r , équations qui sont compatibles si δk = µm ; δk: est la rentabilité espérée d’un portefeuille sensible exclusivement à la source de risqué commune k.

8 La loi des grands nombre assure la convergence vers 0 de la variance spécifique quand n croît.


Sous l’hypothèse d’AOA, il existe m+1 constantes (k=1,…..,m) telles que

l’espérance du taux de rentabilité de tout actif risqué i est donnée par la relation

suivante :

µi = λ0 +∑ λkbik pour i= 1, …, n.

Si de plus il existe un actif sans risque9 de rentabilité r, la relation précédente devient :

µi = r +∑ λkbik pour i = 1, …. n.

Notons que par construction, les sensibilités bik sont égales à : bik = cov (Ri , αk )

var (αk )

Ces sensibilités s’interprètent comme des bêtas. D’ailleurs si l’on effectue une

régression linéaire multiple entre la rentabilité d’un titre et les facteurs communs, les

estimateurs des bik sont donnés par la formule précédente.

Avec αk la rentabilité du portefeuille factoriel k. Le portefeuille factoriel k est un

portefeuille risqué de sensibilité bkk égale à 1 au facteur k et de sensibilité 0 à tous les

facteurs k’≠k. (La rentabilité étant de r + λk).

S’il n’y a empiriquement qu’un seul facteur commun justifiant d’une prime de risque,

l’APT est formellement identique au MEDAF et ce facteur commun est interprété

comme le portefeuille de marché.

Application :

Supposons que le processus aléatoire générant les rentabilités des actions est le suivant :

Ri = ai + bi1 F1 + bi2 F2 + ei pour tout i = 1, … , n.

Où ei est un bruit blanc et F1 et F2 deux facteurs de risque communs orthogonaux et

centrés. Il existe un actif sans risque rapportant r = 8%. Par ailleurs, deux portefeuilles

d’actions bien diversifiés présentent les caractéristiques suivantes :

Portefeuille Rentabilité espérée % bi1 bi2

A 10% 1,9 -0,6

B 14% 0,9 1,49 Un actif sans risque est par définition insensible à chacun des facteurs k : b0k = 0 pour tout k. Sa rentabilité est donc µ0 = λ0 = r.


Nous cherchons l’équation du plan qui décrit les taux de rentabilités espérés des actifs

risqués correspondant à l’APT :

(1) 10 = 8 + 1,9λ1 – 0,6λ2

(2) 14 = 8 + 0,9λ1 + 1,4λ2

La solution pour λi : λ1= 2, et λ2 =3

La relation mis en évidence par l’APT s’écrit ainsi : µi = 8 + 2bi1 + 3bi2

Supposons maintenant qu’il existe deux autres portefeuilles bien diversifiés C et D. Le

premier C a des sensibilités respectives de 1,1 et 0,3 aux facteurs de risque 1 et 2 et une

rentabilité espérée de 12,5%. Le portefeuille D a des sensibilités de 2,3 et 0,7 aux

facteurs de risque et une espérance de rentabilité de 13,5%. Que devrait faire un

investisseur avisé si une telle situation se présentait ?

Appliquons l’APT(i) à ces portefeuilles pour calculer leurs rentabilités espérées

théoriques. On obtient :

µc = 8% + 1,1x2 + 0,3x3 = 11,1 %

µD = 8% + 2,3x2 + 0,7x3 = 14,7%

Le portefeuille C rapporte en moyenne 12,5% au lieu des 11,1% théoriques, il est donc

relativement trop rentable. En revanche, pour le portefeuille D: son espérance de

rentabilité est de 13,5% compte tenu de son risque élevé alors qu’elle devrait être de

14,7%. Cette situation procure à l’investisseur des opportunités d’arbitrage. Il achètera

C et vendra D à découvert.)

Section 4 : Price Earning ratio (PER)

Le PER ou Price Earning Ratio est le concept boursier le plus répandu. Ce ratio

correspond au rapport entre le cours boursier d’une entreprise et son bénéfice après

impôt. On l’appelle aussi multiple de capitalisation des bénéfices. Ce ratio est le plus

souvent utilisé pour évaluer une société cotée.


PER= Cours de l ' actionB é n é fice par action

Où :

Bénéfice par action= Résultat netNombre d ' action

Le PER mesure le prix auquel l’actionnaire accepte de payer une rentabilité équivalente

à n fois le résultat net. Il sert surtout à comparer la valeur d’une société par rapport à son

secteur d’activité, ou encore à la situer par rapport à sa valeur haute et à sa valeur base

historique. En effet, si deux sociétés concurrentes dégagent des bénéfices similaires,

leurs PER respectifs devraient être égaux. S’ils ne le sont pas, c’est que l’une de ces

entreprises est surévaluée ou au contraire l’autre est sous-évaluée.

La mise en œuvre de la méthode est très simple, car le PER est une donnée en général

très disponible. En outre, il s’agit d’un indicateur pour le moins intéressant puisqu’il

met en relation le prix et le bénéfice actuel, exprimant ainsi la cherté d’une entreprise,

c'est-à-dire le nombre d’années de bénéfices qu’un investisseur est prêt à payer pour

acquérir une entreprise

Pour le calculer le PER, il faut collecter trois données : le cours boursier, le résultat net

comptable retraité et le nombre de titres de la société.

Le cours boursier : est le cours de clôture de fin d’exercice ou celui de la période

d’évaluation. Il est préférable de retenir un cours moyen pour lisser les fluctuations

quotidiennes.

Le nombre d'actions : il convient de prendre en compte le nombre total d'actions

existantes et à créer. En effet, certains instruments financiers (obligation convertible,

bon de souscription d’achat, option de souscription, certificat d’investissement)

peuvent donner lieu à la création d'actions. Il est donc nécessaire de prendre en

compte ces actions.

Cette augmentation du nombre d'actions aura tendance à diluer la répartition des

bénéfices.


Le Bénéfice réalisé : D'une année sur l'autre, le résultat net peut varier fortement.

Ces variations peuvent provenir de l'exploitation. L'entreprise accroit sa marge et/ou

son chiffre d'affaires, et son bénéfice s'accroit mécaniquement. Mais il est fréquent

d'observer que les résultats nets affichés par les entreprises ne sont pas toujours

exempts de toute critique.

Une fois le résultat net retraité divisé par le nombre d'actions, vous obtenez le Bénéfice

Net Par Action ou BNPA. En lui-même ce ratio n'a que peu d'importance. Afin de lui

donner toute sa valeur, il convient de le comparer au cours de l'action. Le PER permet

ainsi de savoir si une entreprise est oui ou non surestimée par rapport à son secteur. En

effet, le PER obtenu doit être comparé au PER moyen du secteur.

Sur le plan financier, le niveau qu’atteint le PER indique sur la variation des fonds

propres. Quand les PER sont hauts il est plus facile de lever des capitaux. Lorsqu’une

cotation est jugée artificiellement basse, elle doit inciter à un rachat d’actions.

Du côté de l’investisseur, ce dernier se demandera s’il faut acheter des titres à PER de

niveau bas ou élevé. Cela dépendra des anticipations de croissance.

Dans le cas où les bénéfices intégralement distribués connaissent une croissance nulle,

l’investisseur a intérêt à acquérir les titres à PER faible.

Prenons par exemple : Un titre à PER égal à 5 est préférable à un titre ayant un PER de

11,2 car le rendement sous-jacent de la première action est supérieur à celui de la

seconde. Dans le premier cas, un PER de 5 pourrait correspondre à un cours de 100

euros associé à un revenu permanent de 11,2. Même raisonnement pour un PER de 11,2

avec un prix d’achat de 100 euros et un revenu récurrent de 5euros.


ConclusionUn investisseur n’acceptera une décision risquée que s’il en attend une récompense qu’il

juge satisfaisante. D’ailleurs, le dilemme fondamental de la finance moderne est

formulé à travers le choix d’une rentabilité faible mais certaine, ou la prise d’un risque

dans l’espoir d’accroître cette rentabilité : l’espérance de rentabilité étant d’autant plus

élevée à mesure que le risque augmente.

Toute variation du taux d’intérêt implique un changement de valeur dans la direction

opposée pour tous les titres à revenus fixes tels que les obligations. Pour évaluer un titre

promettant n’importe quelle séquence de cash-flows futurs, on recourt aux valeurs

actuelles d’un dirham perçu à différentes dates dans le futur. Ces valeurs actuelles

peuvent être déduites de l’observation des cours d’obligations zéro-coupons, puis être

appliquées au titre à évaluer. Une autre manière de procéder consiste à actualiser les

différents cash-flows avec un taux d’actualisation spécifique pour chaque période. Des

obligations qui ont la même échéance peuvent avoir des cours boursiers différents, en

raison de différences de taux nominal, de risque de défaut, de fiscalité, de clauses de

remboursement anticipé, de convertibilité, de valeur de remboursement, ou encore

d’autres caractéristiques.

La méthode des cash-flows actualisés permet également l’évaluation des actions d’une

société. Cette pratique consiste à calculer la valeur actuelle des cash-flows futurs, en les

actualisant à un taux qui tient compte du risque perçu. Les méthodes d’évaluation des

dividendes partent du principe que tout investisseur qui achète une action espère une

rémunération correspondant à son exigence de rentabilité compte tenu du risque qu’il

appréhende.

Les travaux de Markowitz devaient modifier profondément la façon de concevoir les

problèmes financiers. Ils montrent, en particulier, que l’intérêt d’investir dans un titre

financier ne doit pas être évalué séparément mais dans le cadre de l’ensemble du

portefeuille constitué par l’investisseur et d’un marché concurrentiel où de nombreux

véhicules d’épargne (actions, obligations, etc.) sont en compétition. Dix ans après,

Sharpe, Lintner et Mossin développèrent le modèle d’équilibre des actifs financiers

(MEDAF) qui aboutit à la rentabilité espérée d’équilibre d’un titre quelconque. Et plus

tard, dans les années 70, Ross développa une alternative au MEDAF nommée APT.


Bibliographie

Pierre Vernimmen ; « Finance d’entreprise » ; 11éme édition ; Dalloz 2013.

Roland Portait & Patrice Poncet ; « Finance de marché, instruments de base, produits dérivés, portefeuille et risques » ; 3e édition Dalloz 2012.

Jaques Hamon ; « Bourse et gestion de portefeuilles » ; Economica ; 4ème édition ; 2011.

Sébastien Bossu & Philippe Henrotte ; « Finance des marchés, techniques quantitatives et applications pratiques » ; Dunod ; 2008.

Louis Esch, Robert Kieffer & Thierry Lopez ; « Asset & risk management, la finance orientée risques » ; De BOECK ; 2003.

Christophe Dispas & Yassine Boudghene Larcier ; « Gestion de portefeuille guide pratique » ; De Boeck ; 2011.

Zvi Bodie & Robert Merton ; « Finance » ; 3ème édition ; 2000.

Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux Horizon.

Aswath Damodaron ; « Finance d’entreprise : théorie et pratique » ; Nouveaux horizons ; 2006.

Anne Nippert ; « DCG 6 Finance d’entreprise » ; Gualino ; 2008.

Lebidois & Joël ; « Finance pour les ingénieurs, la valorisation des projets » ; Maxima ; 2013.

Patrick Topsacalian & Jacques Teulié ; « Finance » ; 6ème édition ; Vuibert.

Table des matières


Introduction……………………………………………………………..………………………2

Sommaire…………………………………………………………….………………………….4

Partie I : L’évaluation des obligations……………………………………………..……..…....5

Section 1 : Concept de titre de créance (Obligation)………………………………….………….6

Section 2 : Prix et rentabilité d’une obligation…………………………………………..……….7

a. Les obligations zéro-coupon……………………………………………………..……...8b. Les obligations couponnées…………………………………………………………….10

Section 3 : La dynamique du prix des obligations………………………………...……………12

a. L’effet du temps sur le prix des obligations………………………………..…………..12b. L’effet de la variation des taux d’intérêt sur le prix des obligations………...…………16

Section 4 : La courbe des taux et l’arbitrage obligataire………………………………………..19

a. La réplication d’une obligation couponnée………………………………………….....19b. L’évaluation d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à l’échéance de zéro-

coupon………………………………………………………………………………….21c. La rentabilité à l’échéance des obligations couponnées…………………….………….22

Partie II : L’évaluation des actions………………………………………....………………...23

Section 1: Concept de titre de propriété (Action)……………………………………...………..24

Section 2: Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)…………...……………..24

a. Les hypothèses du modèle……………………………………………….……………..25b. Le prix d’équilibre des actifs financiers……………………………………………......26c. Les limites du MEDAF………………………………………………………………...28

Section 3: Arbitrage Pricing Théory (A.P.T)……………………………………………….…..29

a. Une seule source de risque : le marché…………………………………………….…..30b. Plusieurs source de risqué………………………………………………………….…..31

Section 4: Le Price Earning Ratio (P.E.R)……………………………………………………...33

Conclusion …………………………………………………………………………………….36

Bibliographie……………………………………………………………………………...…...37

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