Le MEDAF Modèle d'évaluation des actifs .Le MEDAF Modèle d'évaluation des actifs financiers...

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  • Le MEDAF

    Modle d'valuation des actifs financiers

    Comment le risque affecte-t-il la rentabilit espre d'un investissement ?

    Le MEDAF (CAPM = Capital Asset Pricing Model) donne une rponse cohrente. Tous les risques n'affectent pas les prix des actifs. Seul le risque non diversifiable est rmunr l'quilibre.

    Le MEDAF donne une valuation de la rentabilit espre d'un actif, i, en fonction du risque .Cette rentabilit espre peut tre utilise comme taux d'actualisation dans la valorisation de l'actif.

    J-B Desquilbet 1 Universit d'Artois

  • 1- La diversification2- La frontire efficiente

    2.1- En l'absence d'actif sans risque (Markowitz)2.2- En prsence d'actif sans risque (Tobin 1958)

    3- L'quilibre du march (le MEDAF)3.1- Hypothses (Sharpe, Treynor, Lintner, Mossin)3.2- Portefeuille de march et droite de march 3.3- valuation des actifs et droite caractristique d'un actif 3.4- Risque systmatique et risque spcifique3.5- limination du risque spcifique par diversification 3.6- Implications du MEDAF

    4- L'utilit du MEDAF4.1- Mesures de performance (Sharpe 1966, Treynor 1965, Jensen 1968)4.2- Actualisation

    J-B Desquilbet 2 Universit d'Artois

  • 1- La diversification (thorie des choix de portefeuille de Markowitz)

    Intuitivement, les investisseurs devraient exiger des rendements levs pour dtenir des actifs risque lev.Mais la rmunration du risque d'un actif dpend de la manire dont il est dtenu...

    Un portefeuille est constitu de plusieurs (N) actifs dont les taux de rentabilit sont considrs comme des variables alatoires Ri, dont les proprits statistiques sont connues (observations des sries passes).

    Valeur d'un actif en t : Vi,t Rentabilit arithmtique de l'actif : Ri=V i ,1V i ,0

    V i ,0 Esprance : E(Ri) = i, i rentabilit moyenne Variance : V(Ri) = i2, i risque Covariance : Cov(Ri, Rj) = i j.= j i. Coefficient de corrlation : ij = i j/(ij)

    J-B Desquilbet 3 Universit d'Artois

  • Valeur d'un portefeuille contenant ni actifs i, i = 1, ... N : V P , t=i=1

    N

    ni V i , t

    (valeur du portefeuille = somme des valeurs des actifs qui le composent)

    Part de l'actif i dans le portefeuille : x i=ni V i ,0V P ,0

    Rentabilit arithmtique du portefeuille : RP=V P ,1V P ,0

    V P ,0=...=

    i=1

    N

    x i Ri

    La rentabilit arithmtique du portefeuille est gale la moyenne des rentabilits arithmtiques des actifs qui le composent, pondre par leur poids.

    NB : la rentabilit logarithmique du portefeuille n'est pas gale la moyenne des moyenne des rentabilits logarithmiques des actifs qui le composent...

    J-B Desquilbet 4 Universit d'Artois

  • Reprsentation matricielle du portefeuille et de ses caractristiques

    Portefeuille un vecteur des parts d'actifs : X' = [x1, , xi, , xN]Rentabilits des actifs : R' = [R1, , Ri, , RN]

    Matrice des variances-covariances de N actifs : =[ 12 ... 1 j ... 1 N

    ... ... ... ... ... i 1 ... i

    2 ... i N... ... ... ... ...N 1 ... N j ... N

    2 ]Rentabilit du portefeuille : RP = X' R =

    i=1

    N

    xi Ri

    Esprance de la rentabilit : P = E(RP) = X' E(R) = i=1

    N

    xii

    Variance de la rentabilit : V(RP) = X' X = i=1

    N

    j=1

    N

    xi x j i j

    J-B Desquilbet 5 Universit d'Artois

  • Exemple : portefeuille P constitu de deux titres, en proportions x et (1 x)

    Esprance de la rentabilit : P = x 1 + (1 x) 2 Variance de la rentabilit : P2 = x2 12 + (1 x)2 22 + 2 x(1 x)12

    P2 = x2 12 + (1 x)2 22 + 2 x(1 x)1212

    criture matricielle ?

    Dans la thorie de Markowitz, les caractristiques essentielles d'un actif ou d'un portefeuille sont sa rentabilit (moyenne) et son risque .

    J-B Desquilbet 6 Universit d'Artois

  • La constitution d'un portefeuille permet de diminuer le risque (mesur par la variance de la rentabilit).

    Si 1 = 2 = alors : P2 = [x2 + (1 x)2 + 2 x(1 x)12]2 = [1 2(1 12)x(1 x)]2

    pour 12 = 1, P2 = 2 quelque soit la composition du portefeuille (x).pour 12 < 1, P2 < 2 quelque soit la composition du portefeuille (x).

    Markowitz (1952) montre que les bnfices de la diversification dpend des corrlations.

    Corrlation = 1 les actifs sont des substituts (leurs rentabilits varient dans le mme sens, dans des proportions fixes : Ri = b.Rj + a avec b > 0)

    Corrlation = 1 les actifs s'assurent mutuellement (leurs rentabilits varient en sens inverse, dans des proportions fixes : Ri = b.Rj + a avec b < 0)

    Corrlation = 0 pas de lien entre les rentabilits.

    J-B Desquilbet 7 Universit d'Artois

  • Apports de Markowitz :

    l'intrt de la diversification ne repose pas sur l'absence de corrlation entre les rentabilits, mais sur leur imparfaite corrlation.

    rpartir ses ufs dans des paniers imparfaitement corrls plutt que les mettre dans des paniers parfaitement corrls positivement

    La rduction des risques permise par la diversification est limite par le degr de corrlation entre les actifs.

    La diversification du portefeuille permet de diminuer le risque , sans ncessairement diminuer la rentabilit moyenne.

    J-B Desquilbet 8 Universit d'Artois

  • Exemple n1 : Rentabilit moyenne en fonction de l'cart-type de rentabilit d'un portefeuille deux actifs pour diverses valeurs du coefficient de corrlation.

    Avec :1 = 5% 2 = 20%1 = 20% 2 = 20%(mme risque )

    J-B Desquilbet 9 Universit d'Artois

  • Avec :1 = 5% 2 = 20%1 = 20% 2 = 40%

    J-B Desquilbet 10 Universit d'Artois

  • Exemple n2 : Rentabilit moyenne en fonction de l'cart-type de rentabilit d'un portefeuille trois actifs, A, B et C.

    Coefficient de corrlationA B C

    A 1 0,02 0,5B 1 0,1C 1

    i iA 33 % 42,0 %B 10 % 15,5 %C 20 % 47,5 %

    J-B Desquilbet 11 Universit d'Artois

    10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%5%

    10%

    15%

    20%

    25%

    30%

    35%

    A et BB et CA et CA, B et C

    cart type

    esp

    ranc

    e

  • 2- La frontire efficiente

    2.1- En l'absence d'actif sans risque (Markowitz)

    Si on combine tous les titres risqus disponibles de toutes les manires possibles, on obtient l'ensemble des portefeuilles possibles, caractriss par un taux de rentabilit de moyenne et d'cart-type .

    Parmi tous ces portefeuilles figure le portefeuille de march qui comprend tous les titres risqus pondrs par leur capitalisation. Le portefeuille de march a une rentabilit RM, de moyenne M et d'cart-type M.

    Un portefeuille efficient est un portefeuille dont la rentabilit moyenne est maximale pour un niveau de risque donn, ou dont le risque est minimal pour une rentabilit donne.

    J-B Desquilbet 12 Universit d'Artois

  • Les portefeuilles efficients sont sur la frontire de l'ensemble des portefeuilles dans le plan (, ).

    Principe de dtermination des portefeuilles efficients :

    Max E RP V RPX

    s.c. i=1

    N

    x i=1 soit X'.1N = 1

    est un paramtre dcrivant la frontire. = 0 : esprance de rentabilit maximale : variance de rentabilit minimale

    peut s'interprter comme l'aversion au risque d'un dcideur quadratique ...

    J-B Desquilbet 13 Universit d'Artois

  • On peut montrer algbriquement que :

    P2=V

    2 PVa 2

    La frontire de l'ensemble des portefeuilles est une branche d'hyperbole d'quation : =Va2V2 dans le plan (, ).

    o a est une constante (qui correspond la pente de la branche asymptotique, et dont la valeur dpend des caractristiques des rentabilits des titres existant, leurs moyennes, variances, covariances)

    et V et V sont les caractristiques du portefeuille de variance minimale.

    J-B Desquilbet 14 Universit d'Artois

  • Exemple :

    =21,62 %0,7479213,59%2

    La frontire efficiente rgulire est la branche suprieure de l'hyperbole (portefeuilles dominants).

    Les rentabilits espres se combinent linairement, tandis que les risques se combinent non linairement, cause des covariances.

    J-B Desquilbet 15 Universit d'Artois

    0% 50% 100%-50%

    0%

    50%

    100%

    cart-typees

    pra

    nce

    Portefeuille de variance minimale

    Portefe

    uilles do

    minants

    Portefeuilles domins

  • Les portefeuilles d'actifs risqus efficients vrifient plusieurs proprits :

    1. Par construction, la rentabilit moyenne d'un portefeuille efficient est une fonction croissante du risque (si on modifie un portefeuille efficient de manire augmenter la rentabilit moyenne, alors on est contraint d'augmenter le risque).

    2.Toute combinaison linaire de portefeuilles efficients est un portefeuille efficient (en particulier, le portefeuille de march est efficient).

    3.Toute la frontire rgulire peut tre gnre par la combinaison linaire de deux portefeuilles efficients quelconques, en combinant ventuellement des positions longues et courtes ( thorme de sparation deux fonds de F. Black 1972, qui gnralise celui de Tobin 1958).

    J-B Desquilbet 16 Universit d'Artois

  • 2.2- En prsence d'actif sans risque (Tobin 1958)

    L'actif sans risque paie un taux de rentabilit relle fixe, sans risque de dfaut (type obligation d'tat indexe).

    Dans un portefeuille comprenant un titre (ou portefeuille) risqu, (R, R), en proportion x, et un actif sans risque, (0, rf), en proportion (1 x),

    Rentabilit espre et risque se combinent linairement :

    RP = x RR + (1 x)rf P = x R + (1 x)rf et P = x R

    D'o : P=r f Rr fR

    P

    J-B Desquilbet 17 Universit d'Artois

  • Rr fR

    s'appelle le ratio de Sharpe du ti