Investissement et marchés financiers - Dauphine Finance PDF 106/106 2016 P2af.pdf · Le modèle...

Jacques HAMON UE 106, 2015/2016Université Paris-Dauphine

UE 106 2016 1

J. Hamon

Investissement et marchés financiers

Deuxième partie : Rentabilité et risque

UE 106 Master SOM

mention finance

J. Hamon

Rentabilité et risqueLes outils1. Les indices et les ETF (Chap 4 & 5)2. Le taux de rentabilité (Chap 7)3. La volatilité d’un titre (Chap 8)4. La volatilité d’un portefeuille (Chap 10)5. La sensibilité et le risque diversifiable (Chap 11)Gestion de portefeuille et théorie financière6. L’attitude au risque et la prime de risque (Chap 12)7. La diversification naïve (Chap 13)8. La diversification raisonnée et la frontière (Chap 14)9. Le modèle d’équilibre des actifs financiers (Chap 15)Exercices

2

1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille5 L ibilité t l i di ifi bl


UE 106 2016 2

J. Hamon

Les indices d’actions1. A quoi servent les indices?2. Typologie des indices (de première génération)3. Méthodologie (indices de première génération)

Composition des indicesModalité de calcul d’un indice pondéréNu ou avec réinvestissement des dividendes

4. Indices de deuxième génération5. Les fonds indiciels cotés (FIC) ou ETF6. Evolution des indices sur longue période

3

Chapitres 4 et 51.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille

J. Hamon

A quoi servent les indices d’actions?

Représenter les évolutions boursièresServir de référence (benchmark) à une gestion de portefeuille

Indices d’actions (première génération)Stripping : Indices de volatilité, Indices de dividendesStratégie : indices de performance inversée avec effet de levier

Servir de support à d’autres titres : Options (sur indice) Futures (sur indices)ETF (ou fonds indiciel coté)

Servir de référence à certaines mesures réglementaires

4

1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille

A quoi servent les indices?Typologie des indicesMéthodologie (indices de 1ère génération)Indices de 2è génération


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J. Hamon

Typologie d’indicesIndices généralistes

Mondiaux (Global Titan ou MSCI EAFE)Par zone (Stoxx 600, Euro Stoxx 50)Par pays (S&P500, CAC40)

Indices profilés (suivant une caractéristique d’entreprise)Suivant la taille : Small Cap 600, FTSE RAFISuivant la maturité des entreprises : Russell 3000 valueLa structure du capital, German Entrepreneurial Index (GEX, dirigeants et actionnaires > 25%)Événement distribution S&P500 Buyback Index

Indices liés à un style de gestionDJ sustainability index; indice chrétien (MSCI USA Catholic Values Index)SBF-FCI indice des obligations convertibles (ex Exane)REIT Europe (Euronext), stés foncières (real estate investment trust) Indice de volatilité (VIX)Indice de dividendesMerrill Lynch early cyclical index, Merrill Lynch late cyclical index

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J. Hamon

DJIA (date-clés et évolutions récentes)Date DJIA Commentaire26 mai 1896 40,94 Première valeur disponible http://www.djindexes.com

12 janv. 1906 100,00 Franchit 100 pour la première fois3 sept. 1929 381,17 Valeur en clôture, le maximum des années 208 juil. 1932 41,22 Valeur minimale en clôture de séance23 nov. 1954 381,17 Retrouve le plus haut de 1929 pour la première fois14 nov. 1972 1 000,00 Franchit 1 000 pour la première fois8 janv. 1987 2 000,00 Franchit 2 000 pour la première fois19 oct. 1987

1 738,74de 2 246,74 à la clôture du vendredi 16 à 1 738,74 à la clôture du lundi 19, soit ‐508 points

21 nov. 1995 5 000,00 Franchit 5 000 pour la première fois29 mars 1999 10 000,00 Franchit 10 000 pour la première fois3 mai 1999 11 000,00 Franchit 11 000 pour la première fois12 mars 2003 7 552,07 Plus bas (crise 2000/2003)9 oct. 2007 14 164,53 Plus haut historique20 nov. 2008 7 552,29 Au plus fort de la crise de 2008 (post Lehman Brothers)9 mars 2009 6 547,05 Dernier plus bas19 mai 2015 18 312,39 Dernier plus haut

6

Chap 4 section 21.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille



UE 106 2016 4

J. Hamon

MéthodologieCombien d'actions? (3.2)

La plupart du temps le nombre de titres peut varier entre deux dates de révisions. Carrément variable, plus rare mais possible : SBF-FCI

Quels critères de sélection (et de radiation) des actions? (3.3)GéographiquesLiquidité (flottant, taux de rotation), représentativité (sectorielle)Profilés (indices de styles) : suivant la taille, la croissance (value/growth) …

Avec ou sans les dividendes? (4.3)Le Dax30 est un des rares indices dont la version publiée incorpore les dividendes

Comment calculer l'indice en l'absence des cours? (4.)Les indices sont calculés et non négociésCalculé ‘au dernier cours disponible’, mais éclaireur possible (4.3)Ou calcul au milieu de la fourchette de prix (FTSE avant le SETS)

Quel type de pondération?Pondération par la capitalisation flottante (Cac40 depuis 2003, S&P500 depuis 2005)Avec limitation (plafonnement) du poids le plus souventDéveloppé ci-après

7



J. Hamon

Capitalisation flottanteCapitalisation boursière (en €)

produit du cours à un instant donné par le nombre total de titres en circulation (ou admis en bourse ou listés)

Flottant (en €)mesure la part de la capitalisation susceptible d'être échangée en bourse. Sa définition est forcément subjective.

Début mai 2011, Total : Capitalisation = 101,5 milliards EDF Capit = 52,9 milliards. Flottant estimé par Euronext à 20 %. La première capitalisation flottante est Total, avec un poids dans l'indice CAC40 qui est de 12,19 % contre 1,05 % pour EDF.

Les capitalisations sont dans le rapport 1,92 ; les flottants dans le rapport 6 et les poids dans l’indice dans le rapport 11,6 (soit aux arrondis près le produit des deux premiers rapports).

8




UE 106 2016 5

J. Hamon

Indice Pondéré nu (sans dividendes), cf 4.2Valeur de l’indice à l’instant t

BASE est une constante

Valeur d’origine de l’indice (en 0)Suppose la définition d’une date d’origine

Indice reflétant les variations de valeursAvec CB, la capitalisation flottante jouent un effet prix et un effet volumeL'objectif est que l'indice reflète les variations de valeurs et fasse abstraction des effets volumes

Accident de capitalisation (ou effet volume)Technip entre (+4,57 mrds€) et Air France sort ( 3,04mrds €), le 21 sept 2009. De plus la capitalisation flottante d’Air France est encore plus réduiteUne augmentation de capital en numéraire

9

N

j0,j0 CBCBA

BASECBA

CB

INDICEt

N

jt,j

t



J. Hamon

Indice pondéré (suite)Soit deux instants de temps très proches,

la seule modification entre t-1 et t est l’accident de capitalisationOn suppose qu’il n’y a pas de modification de valeur

On en tire la nouvelle valeur de CBA

10

∑ ,

∑ , ,

1∑ ,

∑ ,




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J. Hamon

Indices (de nouvelle génération)

11

Indice Zone Producteur CommentaireDéshabillage d’indice (stripping)

VIX États‐Unis CBOE Volatility Index. Depuis 1993. Mesure des anticipations devolatilité à court terme à partir d'options sur S&P 500. Cfwww.cboe.com

Vcac Paris Euronext Indice de volatilité estimé à partir d'options sur le CAC40.Depuis septembre 2007 selon la méthodologie VIX.

CAC40DI Paris Euronext Indice de dividendes. Retrace les évolutions de dividendesdétachés par les actions de l’indice CAC40. Remise à zéroannuelle.

Indices de stratégiesCAC40 Xbear Paris Euronext Depuis fin 2007, monte quand le CAC40 baisse. Avec effet

de levier et une exposition double et inversée à lavariation de l’indice sous‐jacent.

Cac40 3X Short Paris Euronext Trois fois la performance inverse de l’indice CAC40.

CAC high dividend indices (CAC HD)

Paris Euronext Depuis avril 2008. 20 actions du CAC40 avec les taux derendement les plus élevés de l'année précédente.Pondération par les taux de rendement avec plafonnementà 15 %.

Ipox Indice lié aux périodes d'introduction en bourse (cfwww.ipoxschuster.com )



J. Hamon

FIC (ETF, ETP, ETN, ETC, ETG)

12

Cf. chapitre 6, section 2Lire, Hamon, 2013, « ombres et lumière des ETF »

Teneur(s) de marché

Investisseur

Membre

Plateforme

Espèces FIC

Marché secondaire

Marché FIC (accès restreint)

À la valeur liquidative

Marché primaireCalcul valeur liquidative

Investisseur

Conservation (custodian)

Total return swap

titres

revenu

Montage

revenu

Perf.

MonteurGérant


Méthodologie (indices de 1ère génération)Indices de 2è générationLes fonds indiciels cotés (FIC) ou ETFEvolution des indices sur longue période


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J. Hamon

Etats-Unis

13

Small-caps : 27 419

Big-caps : 5 315

Oblig Etat US : 135

Inflation : 13

Valeurs fin 2014Avec réinvestissement des

revenus intermédiairesSBBI 2013

Once d’or : 60 (Wolfram Alpha)


Méthodologie (indices de 1ère génération)Indices de 2è générationLes fonds indiciels cotés (FIC) ou ETFEvolution des indices sur longue période

J. Hamon

Le taux de rentabilité

1. Discret ou simple (accroissement relatif de richesse)

2. Corrigé des OST3. Continu (ou composé)4. Agrégation temporelle de taux de rentabilité5. Taux de rentabilité d’un placement en actions

sur longue période6. Annualisation d’un taux de rentabilité

14

Chapitre 71.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille


UE 106 2016 8

J. Hamon

Taux de rentabilité

Taux de rentabilité : accroissement relatif de richesse (rate of return)Taux de rendement : rapport dividende sur cours (dividend yield)

15

,, , ,

,

, ,

,1 ,

,1

,

,

é

P : les cours corrigésD : les dividendes (dits nets en France) corrigés


Discret ou simpleCorrigé des OSTContinu ou composéAgrégation temporelle des taux de rentabilité

J. Hamon

Taux de rentabilité corrigéPourquoi corriger? En raison des OST (opérations sur titres)Quand corriger? Aux « dates ex »Quoi corriger? Les cours et les dividendesComment corriger?

Se procurer ou calculer le coefficient correcteur associé à l’OSTCorrection soit

en amont : multiplication des cours et dividendes strictement antérieurs par le coefficient correcteuren aval : division des cours et des dividendes du jour ou postérieurs par le coefficient correcteur

16

Coefficient correcteurCours

Cours

théorique action nouvelle

action avant opération




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J. Hamon

Taux de rentabilité continu (composé)

On note q le nombre de compositions des « intérêts » au capital durant la période élémentaire.

De manière équivalente

On sait que

Taux discret (d) et continu (c) se déduisent l’un de l’autre

17

lim→

1r

1 , , ,

,

, q , ,

,1

e ,, ,

,,

, ,

,1 ,



J. Hamon

Taux de rentabilité suivant le rythme de composition des « intérêts »

Rythme q, q 1,1 1

annuel 1 10 %mensuel 12 9,56897 %hebdomadaire 52 9,53976 %quotidien 365 9,53226 %horaire 8760 9,53107 %continu ∞ Ln(1,1)=9,53102 %

18




UE 106 2016 10

J. Hamon

Agrégation temporelle de taux2 périodes et 2 taux de rentabilité

19

2

50 1000,5

100dr

3

100 501

50dr

2

500,6931

100cr Ln

3

1000,6931

50cr Ln

Taux

Moyenne

Arithmétique Géométrique

Discret

Continu

0,5 10,25

2

1 0,5 1 1 1 0

50 100/ 2 0

100 50Ln Ln

1 0,6931 1 0,6931 1 0,279



J. Hamon

Moyenne (géométrique) de taux de rentabilité (cf. 3.2)

20

10

nn

G P

Pr

0

1P

Pr nn

G

1...

1

11

2

0

1

n

n

nG P

P

P

P

P

Pr 1

1

0

nn

P

P

111

1

1 1

nn

t t

tG P

Pr 11

1

1

nn

ttG rr

Moyenne (arithmétique) de taux de rentabilité (cf. 3.3)

1 2

0 0 1 1

1 1n n

a

n

P P P Pr Ln Ln

n P n P P P

1 2

0 1 1

1 n

a

n

P P Pr Ln Ln Ln

n P P P

1

11

n

a ii

r Ln Rn

La moyenne arithmétique des taux de rentabilité élémentaires a un sens si les taux élémentaires sont des taux composés en continu

20




UE 106 2016 11

J. Hamon

Richesse de fin de périodeDiscret Continu

Valeuractuelle

,, ,

1 ,,

, ,

e ,

Valeurfuture

1 , , , , e , , , ,

21

,1 ,2 ,1 1 1d d dT i i i TTW R R R

, ,1C di t i tR Ln R

,

,1Ci tRd

i tR e , , ⋯ ,

∑ ,,1 ,2 ,1

C C Ci i i TR R R

TTW e e e

,

1

TCt i

t

R

e

Pour un investissement initial de 1€

21



J. Hamon

Taux de rentabilité (Etats-Unis 1925 à 2014)Indice Fin 1979 Fin juin 2007 Fin fév. 2009 Fin 2012 Fin 2014

Durée du placement 54 81,5 83,1667 87 89Actions (big cap) 106,66 3 309,12 1 682,57 3 543,37 5 315Actions (small cap) 374,57 16 885,70 7 305,90 18 357,07 27 419Obligations d’État 5,22 70,70 87,42 123,02 135Obligations privées 7,48 101,12 100,92 173,91Bons du Trésor 4,12 19,74 20,48 20,54Inflation (CPI) 4,25 11,55 11,76 12,73 13

22

Temps discret Temps continu

Valeur finale 1Taux de rentabilité annualisé

11

Indice Fin 1979 Fin 2007/06 Fin 2009/02 Fin 2012 Fin 2014

Actions (big cap) 9,03 % 10,45 % 9,34 % 9,85 % 10,1%Actions (small cap) 11,60 % 12,69 % 11,29 % 11,95 % 12,2%Obligations d’État 3,11 % 5,36 % 5,52 % 5,69 % 5,7%Obligations privées 3,80 % 5,83 % 5,71 % 6,11 %

Bons du Trésor 2,66 % 3,73 % 3,70 % 3,54 %

Inflation (CPI) 2,72 % 3,05 % 3,01 % 2,97 % 2,92%

Les valeursd’indices(SBBI)

Démarche

Taux de rentabilité discret annualisé

22


Continu ou composéAgrégation temporelle des taux de rentabilitéTaux de rentabilité d’un placement en actionsAnnualisation d’un taux de rentabilité


UE 106 2016 12

J. Hamon

Annualisation d’un taux de rentabilitéSur un trimestre le cours passe de 90 à 100. Le taux de rentabilité trimestriel est

Discret : 100/90 1 11,11%Continu : 1 0,1111 10,53%

Le taux annualisé est (4 trimestres dans l’année)Discret : (1+Rd)4-1=+52,42%Continu : eRc 4 -1=+52,42%

Le taux annuel proportionnel au taux périodique suppose une approximation (ici 44,44%)

Avec un développement de Taylor (=, si on ignore les termes d’ordre 2 ou supérieurs)

Dans le cas d’une action Plus le taux est élevé, moins bonne est l’approximationaspect exceptionnel du taux périodique : aucun contrat ne dit que la performance du trimestre va être répétée

23

42 3( 1) ( 1)( 2)1 1

2 6n

d d d d

n n nR n R n R n R O R


Continu ou composéAgrégation temporelle des taux de rentabilitéTaux de rentabilité d’un placement en actionsAnnualisation d’un taux de rentabilité

J. Hamon

Taux de rentabilité réelTaux de rentabilité d’un portefeuillePrise en compte de la séquence des capitaux investis

Taux pondéré par les montants investis et les durées de placement

24


UE 106 2016 13

J. Hamon

La volatilité d’un titre

1. Volatilité en graphique2. Mesures : variance, dispersion et volatilité3. Annualisation de la volatilité4. Instabilité de la volat (volat de la volat)5. Volatilité implicite6. Les sources de la volatilité

25

Chapitre 8


J. Hamon

Placements de durée variable en actions (Big Cap) et obligations sur le NYSE de fin 1925 à fin 2012

26


Volatilité en graphiqueMesures : variance, dispersion, volatilitéAnnualisation de la volatilitéInstabilité de la volatilité


UE 106 2016 14

J. Hamon

Tendance et volatilité

Le 13 oct 2008Séance de plus forte hausse du CAC40 (tendance hausse)Mais entre 10h20 et 13h01’30’’, l’indice passe de 3420,4 à 3330,2, soit une baisse de -2,67 %

27



J. Hamon

DJIA (quotidien de 1896 à 2013)

28

Où (quand) est la plus forte volatilité?




UE 106 2016 15

J. Hamon

Taux de rentabilité quotidiens du DJIA de 1896 à avril 2013

Les taux ne sont pas annualisésLe DJIA ignore les dividendes5% sur une séance est à 4,3 fois l’écart-type de la moyenne (

, ,

,)

29



J. Hamon

Variance, dispersion, volatilitéVariance

Volatilité = racine carrée de la variancePopulation (P) ou échantillon (E)?

30

R 2

R 2

1

(Chap 8, section 2.2)1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille



UE 106 2016 16

J. Hamon

Annualisation de la volatilitéL’usage (par défaut) est d’exprimer la volat en unité annuelle

De même qu’un taux d’intérêt ‘au jour le jour’ est exprimé en rythme annuel

L’unité d’affichage dépend des données utiliséesUne volatilité estimée à partir de taux de rentabilité quotidiens (clôture à clôture) sera exprimée en unité quotidienne

Sous les 2 hypothèses de taux de rentabilité indépendants (entre t et , quel que soit

), la variance est proportionnelle au temps écouléLa volat se développe en temps boursier (plutôt que calendaire)

31

RRR hqan222 52254

an pour annuel; q quotidien; et h hebdomadaire1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille


J. Hamon

Avec une année de données boursièresMarché en cotation en continu de 9h à 17h35

8 heures (pleines); 17 demi-heures; 34 quart d’heures (pleins); 103 intervalles de 5 minutes, etcSur chaque intervalle on recherche le cours le plus proche de la fin; ou on retient le milieu de fourchette en fin d’intervalle

Il est possible de calculer (directement)12 taux de rentabilité mensuels52 taux de rentabilité hebdomadaires254 taux de rentabilité quotidiens254 8 2032 taux de rentabilité horaires254 103 26162 taux de rentabilité par 5 minutes

À supposer qu’il n’y ait pas de données manquantes

32




UE 106 2016 17

J. Hamon

Instabilité de la volatilité

33

Sur DJIA de 1896 à avril 2013, volat recalculée chaque séance à partir des 40 taux de rentabilité les plus récents et annualisée (255 séances par an)

C : oct 1929H fin mai 1932P 16 oct 1973 premier choc pétrolierO87 : le 19 octR : défaut russe mi août 1998T : mars 2000 max des cours des technoB : mars 2003, creux.LB : faillite Lehman brothers (sept 2008



J. Hamon

Calcul de volatilité historiqueQuelle longueur de période pour obtenir un ensemble significatif?

34

De début janvier 2001 au 6 sept 20101. 100% dans le STOXX 600 Euro avec dividendes (noir épais)2. 100% dans une sicav monétaire (BNP) en vert3. 70/30 et 30/70, deux stratégies mélangeant les deux

MonétairePlus rentable ETMoins risqué?



NON bien sûr!Ici la période est trop courte? Non représentative?


UE 106 2016 18

J. Hamon

Les données à haute fréquente apportent-elles la solution?

35

Club Med en 2001Estimation sur 34 taux de rentab de 15 minutes, donnée annualiséeLa méthode de calcul génère un lissage artificiel



volat

Cours

J. Hamon

Volatilité impliciteSi des options (sur actions, sur indices) sont échangées et des prix d’options observablesSi on dispose d’un modèle pertinent d’évaluation d’options

36

Valeur

Théorique = f { }option

Volatilité; Cours, Prix; Durée; Taux d'; Dividendesupport Exerc intérêt

Données

1. Utilisation classique du modèle

2. l’estimation implicite consiste à inverser la formuleles valeurs d’options sont données par le marchél’inconnue est la volat du sous-jacent


Annualisation de la volatilitéInstabilité de la volatilitéVolatilité impliciteLes sources de la volatilité


UE 106 2016 19

J. Hamon

37



J. Hamon

VIX

Indice de volatsur S&P500 du CBOEVolathistorique sur 30 séances en trait finLB repère la faillite de Lehman

38




UE 106 2016 20

J. Hamon

VIX du CBOE (1990 à août 2013)

39

K/A : guerre Irak n° 1 (août 1990; 14 janv 1991)R : défaut Russe mi aout 1998T : maxi cours techno mars 2001S : 11 sept 2001B: creux de mars 2003LB : faillite Lehman Brothers



Source : Mathematica, Wolfram Alpha Indice de volat sur S&P500 du CBOE

J. Hamon

VIX (archéologie financière)

40




UE 106 2016 21

J. Hamon

Les sources de la volatilitéVolatilité technique ou réglementaire

Certain : la fourchette, l’échelon, Peut-être : les réservations? Les contraintes sur les ventes à découvert?

Volatilité et les comportements??Les actionnaires « moutons, spéculateur-de-court-terme »

Bruitage des cours (noise traders), Black (1986)

Volatilité et informationInformation publiqueInformation privée

41



La distinction entre les 2 catégories est délicate}

J. Hamon

Ratio de variance

42

o c co Calcul de et de Puis de ) noté

Lundi Mardi

Ratio de varianceEn semaine

Ratio de varianceDu week end

² )² )

Brut Ajusté (horaire)

² ).

² ).

Sur Euronext Paris, actions, séance de 8h35, inter-séance en semaine de 24-8h35 = 15,5hInter-séance du week end de 72-8h35 = 63,5h

En semaine

² ).

² ).




UE 106 2016 22

J. Hamon

Sur les cours à terme de deviseMarché 24h/24 (sur les principales monnaies)Premier marché (en volumes) Londres (2 fois USA) puis Tokyo New York, sur spot et forward de devisesLa volat (sur LIFFE à Londres) est 2 fois plus élevée lorsque Chicago est ouvert que lorsque Londres l’estHypothèse (Harvey, Huang, 1991) « US macroeconomic news released during IMM trading hours dominates »

Suivant les supportsLe flot des informations est inégalement distribué dans la journée

Le plus régulier pour les devises (??)Intermédiaire les supports matières premières agricoles sensibles aux aléas climatiques (ex maïs) Le moins régulier les actions

43



J. Hamon

44

Maïs 1,05Soja 1,06S&P 500 5,86JPY/USD 0,41



1. Fort ratio de variance sur les actions. La volatilité en séance est très forte (5,8 fois plus en séance que hors séance!). Pourquoi?

2. Mais si ce sont les comportements qui causent cette volatilité en séance, pourquoi les ratios de variances sont-ils différents d’un support à l’autre?

3. Les informations publiques (aléas climatiques qui surviennent à tout moment) causent la volatilité sur les matières premières

4. Le ratio inférieur à un sur le taux de change Yen se comprend si l’information publique produite au Japon cause la volat ici observée à Chicago (information privée peu probable?)

5. L’information privée cause essentielle de la volatilité des actions. Cette information est produite en séance (ou lorsque les bureaux sont ouverts et les analystes financiers sont au travail)

Fleming, Kirby et Ostdiek (2006)


UE 106 2016 23

J. Hamon

45

Paris (+7h)14:209:00 17:30

7:20 14:00JY, CME

8:30 15:15S&P, CME

9:30 13:15Com, CME Chicago, CME

New York (+1h

Tokyo (+14h)21:20

Horaires de la séance J

J. Hamon

Décomposition de volatilitéRatio de variances (vendredi clôture à lundi clôture)La dernière colonne tient compte des longueurs de séances

46

Contrat à terme

⁄ Durée séance

Ratio

Maïs 23,62 % 16,22 % 16,65 % 1,05 3,79h 18,96Graine de soja 24,83 % 17,41 % 17,92 % 1,06 3,79h 19,07S&P 500 24,58 % 8,67 % 20,99 % 5,86 6,68h 57,31JPY/USD 11,23 % 9,38 % 5,99 % 0,41 6,47h 4,13

Contrats agricoles : informations publiques (aléas climatiques), que la bourse soit ouverte ou pas

Taux de change : information privée peu probableVolat plus forte en séance sur S&P500 mais pourquoi?

forte production d’information privée

Fleming, Kirby et Ostdiek (2006)




UE 106 2016 24

J. Hamon

La volatilité (des rentabilités) d’un portefeuille

1. Portefeuille2. Portefeuille de 2 titres

1. Covariance2. Lieu des investissements (deux titres)

3. Expressions de la variance d’un portefeuille de n titresLa matrice des variances covariances

4. Covariance et risque marginal5. Le portefeuille de variance minimale (PVM) et ses

caractéristiques (n titres)

47

Chapitre 10


J. Hamon

PortefeuilleDéfini par une structure de poidsOn suppose que la somme des poids est égale à l’unité (100%)

Pas d’actifs en dehors du portefeuille envisagéLe portefeuille retrace la totalité du patrimoine de l’investisseur

Les poids peuvent êtreNuls : l’actif n’est pas en portefeuilleNégatif : l’actif est venu à découvert

Remarque : la représentation sous forme d’un vecteur est pratique

48

Chapitre 101.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille

Portefeuille (définition)Portefeuille de 2 titresExpressions de la variance d’un portefeuille de n titresCovariance et risque marginal


UE 106 2016 25

J. Hamon

Variance d’un portefeuille de 2 titres

49

Le premier titre du portefeuille p, noté X, est en proportion a %, et le deuxième titre, noté Y en proportion b %, avec a + b = 1. Le taux de rentabilité du portefeuille p est une variable aléatoire

. On sait que

∶ , ,


Portefeuille (définition)Portefeuille de 2 titres et covarianceExpressions de la variance d’un portefeuille de n titresCovariance et risque marginal

2

∶

2

2 ,

J. Hamon

Volat d’un portefeuille de 2 titres

50

a 1 E(R) 1 0 1‐0,3 1,3 0,216 0,37 0,328 0,28‐0,2 1,2 0,204 0,33 0,301 0,27‐0,1 1,1 0,192 0,29 0,275 0,26

0 1 0,18 0,25 0,250 0,250,1 0,9 0,168 0,21 0,225 0,240,2 0,8 0,156 0,17 0,202 0,230,3 0,7 0,144 0,13 0,181 0,220,4 0,6 0,132 0,09 0,162 0,210,5 0,5 0,12 0,05 0,146 0,200,6 0,4 0,108 0,01 0,135 0,190,7 0,3 0,096 0,03 0,129 0,180,8 0,2 0,084 0,07 0,130 0,170,9 0,1 0,072 0,11 0,137 0,161 0 0,06 0,15 0,150 0,15

1,1 ‐0,1 0,048 0,19 0,167 0,141,2 ‐0,2 0,036 0,23 0,187 0,131,3 ‐0,3 0,024 0,27 0,209 0,12

;;

Coefficient de corrélation

Titre 1(a %)

Titre 2

(1 – a %)Espérance 6 % 18 %Volatilité 15 % 25 %



1

1 2 1 ,


UE 106 2016 26

J. Hamon

Lieux d’investissement (2 titres)

51

Pas de vente à découvert Vente à découvert possible

1

1

0

A quelle(s) condition(s) peut-on réduire le risque du portefeuille?1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille


J. Hamon

Portefeuille de 2 titres (plan variance)

52

1

1

0




UE 106 2016 27

J. Hamon

Variance des rentabilités d’un portefeuille de n titres

Notations équivalentes

La matrice des variances covariances

Carrée (d’ordre n)Symétrique

Variance de pDéveloppéematricielle

53

, ;

Variances

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 1 1 1 1

1 2 1

, , ,

, , ,

, , ,

, , , ,

n

n

n n n n n

n n n n n n

V=

ni

i

nj

jjijip xx

1 1,

2 xii

n

1

1



J. Hamon

Variance (des taux de rentabilité) d’un portefeuille (2)

54

2 2, , ,

1 1 1 1 1

variances

covariances

j i

j ni n i n n n

p i j i j i i i i j i ji j i i j

x x x x x

2 2, ,

1 1 1

variances

covariances

2i n n n

p i i i i j i ji i j

j i

x x x

ni

i

nj

jjiji

ni

i

nj

jjijip xxxx

1 1,

1 1,

2




UE 106 2016 28

J. Hamon

Corrélations par classes de titres

De 1926 à 2012, données mensuelles (Ibbotson, 2013)Cf tableau 10-3, page 248

55

Panel A, taux nominaux Actions Obligations US T

Bills grandes petites État privées Actions grandes 1,000 0,839 0,089 0,187 –0,006

petites 1,000 0,032 0,142 –0,024 Obligations État 1,000 0,829 0,078

privées 1,000 0,055 US T Bills 1,000

Panel B, taux réels Actions Obligations US T

Bills grandes petites État privées Actions grandes 1,000 0,937 –0,203 0,167 –0,126

petites 1,000 –0,251 0,094 –0,151 Obligations État 1,000 0,725 0,462

privées 1,000 0,464 US T Bills 1,000



J. Hamon

FIC ou ETF (2008-2009)coefficients de corrélation, rentabilité et volatilité

CAC40 Chine DJIA Titan Stoxx Growth Value Small Taux

CAC40 1,00 0,776 0,805 0,743 0,977 0,861 0,874 0,825 ‐0,169

Chine 1,00 0,699 0,554 0,769 0,710 0,656 0,647 ‐0,157

DJIA 1,000 0,783 0,782 0,704 0,686 0,635 ‐0,194Titan 1,000 0,723 0,730 0,802 0,635 ‐0,092Stoxx 1,000 0,841 0,880 0,813 ‐0,153

Growth 1,000 0,875 0,831 ‐0,105

Value 1,000 0,884 ‐0,050

Small 1,000 ‐0,110Taux 1,000Moyenne –22,6 % –18,9 % –12,6 % 8,9 % –28,0 % –27,7 % –9,7 % –19,8 % 9,0 %

Volatilité 35,5 % 52,7 % 28,8 % 30,9 % 35,9 % 30,9 % 39,9 % 32,4 % 8,2 %

Nb obs 504 501 506 390 494 372 411 489 469

56

Source : à partir des données de Lyxor Asset ManagementLes corrélations augmentent en période agitée




UE 106 2016 29

J. Hamon

Covariance et risque marginal (4.3)Lorsque l'on modifie à la marge la composition d'un portefeuille, comment son risque en est-il affecté?

57

2p

ix

2,

21 1,1 1 2 1,2 1 1,

22 1 2,1 2 2,2 2 2,

21 ,1 2 ,2 ,

n n

p i i i ji j

n n

n n

n n n n n n n

x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

2

, , ,1 1

2n n

pj i j j j i i i i

j jij i j i

x x xx

Xi avec i=2



J. Hamon

Covariance et risque marginal (suite)

58

Puisque la matrice est symétrique, , , . La relation se simplifie.

2

,1

2n

pj i j

ji

xx

2 ,

• La modification de risque du portefeuille est proportionnelle à la covariance entre les rentabilités du titre i et du portefeuille.

• Le renforcement d'une position dans le titre i, peut entraîner une réduction du risque du portefeuille, même si le titre i est risqué.



2

, , ,1 1

2n n

pj i j j j i i i i

j jij i j i

x x xx


UE 106 2016 30

J. Hamon

Caractéristiques du PVM (5.)La covariance entre le PVM et un titre quelconque est une constante (Etape 1)

soit un portefeuille p composé de deux actifs : le PVM et un actif risqué quelconque q. Le poids du PVM est noté (1–a) et celui de l’actif q est a. La variance de p s’exprime

59

1 2 1 ,

σ 2 1 2 2 1 , 2 , 0Minimisation de la variance

Par définition la valeur de a qui minimise la variance du portefeuille résultant est 0 (puisque l’autre titre EST le PVM).

,

,0.

On en tire : , = Constante


Portefeuille de 2 titres et covarianceExpressions de la variance d’un portefeuille de n titresCovariance et risque marginalLe PVM et ses caractéristiques

J. Hamon

La dernière fois ….

On a montré que la covariance entre n’importe quel titre q et le PVM était égale à une constante (la variance des rentabilités du PVM)

60

, = Constante

Quelque soit q (q=1 jusqu’à n), soit en notations matricielles

X étant le vecteur de poids définissant le PVM et C un vecteur contenant n fois la même donnée (une constante donc)

VX=C


UE 106 2016 31

J. Hamon

Caractéristiques du PVM (II)

Etape 2Etape 3 : normalisation

La somme des poids doit être égale à 1, on normalise

61

VX=C -1X V C

-1

T -1V CX

1 V C C quelconque, donc pourquoi

pas simplifier en choisissant le vecteur unité

-1

T -1V 1X

1 V 1

Remarque : définit un vecteur de n élémentsfait la somme des n éléments du vecteur

-1V CT -11 V C

V−11

1TV−11V

V−11

1TV−11

1

1TV−11Etape 4

Variance du PVM1.Les indices d’actions2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille

Portefeuille de 2 titres et covarianceExpressions de la variance d’un portefeuille de n titresCovariance et risque marginalLe PVM et ses caractéristiques

J. Hamon

La sensibilité (coefficient bêta) et le risque diversifiable

1. Le modèle de marché et le coefficient bêta2. Décomposition de la volatilité (triangle des risques)3. Bêta de portefeuille4. Instabilité du bêta5. Technique d’estimation du bêta

62

Chapitre 11

2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille5.La sensibilité et le risque diversifiable


UE 106 2016 32

J. Hamon

Le modèle de marché et le coefficient bêta

63

Hypothèse :Toutes les informations peuvent être classées en deux catégories

R Ri t i i m t i t, , , Traduit l'influence sur le titre de facteurs communs à tous les titresLe titre i réagissant avec sa propre

sensibilité

Traduit l'influence d'événements spécifiquesau titre i


Le modèle de marché et le coefficient bêtaDécomposition de la volatilité (triangle des risques)Bêta de portefeuilleInstabilité du bêta

J. Hamon

Expression du bêta d’un titre i

64

M

Mii R

RRCov2

;

Estimateur de la pente (en MCO)

VYYVYX

T

T

iEn notation matricielle.X : structure de poids définissant le titre iY : structure de poids définissant l’indice




UE 106 2016 33

J. Hamon

65

Axa(juin à déc 2002)

28-juin

26-juil.

23-août

30-août

6-sept.

20-sept.

18-oct.

6-déc.

31-déc.

y = 2.04 Cac40 + 0.0091R² = 86%

7 juin au 31 déc 2002

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

-30% -20% -10% 0% 10% 20% 30%

Cac40

Le bêta d’Axa sur cette période est de 2,04. Le titre amplifie les mouvements du marché à la hausse (par exemple, la semaine du 18 octobre ou celle du 23 août), mais aussi à la baisse (la semaine du 20 septembre ou du 26 juillet)



J. Hamon

Bêta ou sensibilité

Bêta > 1 : les fluctuations du titre amplifient

celles du marché dans son ensemble

0<Bêta<1 : les fluctuations du titre amortissent

celles du marché dans son ensemble

Bêta <0 : valeur refuge (par rapport au marché

des actions dans son ensemble)

66




UE 106 2016 34

J. Hamon

Décomposition de la volatilité (triangle des risques)

67

2 2, , ,i t i i m t i tR R

Carré duRisque total(ou volatilité)

Carré duRisque systématique

(ou non diversifiable)

Carré du risque spécifique(ou diversifiable)



, , ,

J. Hamon

Axa & Infogrammes

68

Titre i, i= Volatilité :

iR

Carré de la volatilité :

iR2 Bêta :

i Carré du risque diversifiable :

i 2

Axa 0,39479 0,1559 2,04 0,02207Infogrammes 0,60017 0,3602 2,17 0,20939

Cac40 0,17911 0,0321 1,00 0,00000

13-déc.

29-nov.

25-oct.

18-oct.

27-sept.

20-sept.

6-sept.

23-août

9-août

2-août

12-juil.

14-juin

y = 2.17 Cac40 + 0.0141

R2 = 42%

-50%

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50%

28-juin

26-juil.

23-août

30-août

6-sept.

20-sept.

18-oct.

6-déc.

31-déc.

y = 2.04 Cac40 + 0.0091R² = 86%

7 juin au 31 déc 2002

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

-30% -20% -10% 0% 10% 20% 30%

Cac40

Axa

Infogrammes

Infogrammes a une volatilité plus élevéeMais son risque relatif au Cac40 est identiqueLe risque diversifiable d’Infogrammes est plus élevé




UE 106 2016 35

J. Hamon

Risque d’un portefeuille

69

Le d’un portefeuille est la moyenne pondérée des des titres en portefeuille

Soit un portefeuille p équipondéré

p

p M

M

Cov R R

R

;2

Covn

R R

R

ii

i n

M

M

1

1

2

;

1 1

21 R n

Cov R RM

i Mi

n

;

n

iin 1

1

1 1 1 n n n

p i i M i p p M pi i i

R R Rn n n

Lorsque le nombre de titres augmente, le risque diversifiable tend vers 0

Seul reste le risque systématique

22 2 21 1

p i

n

i n n

2 2 2 p p M2.Le taux de rentabilité3.La volatilité d’un titre4.La volatilité d’un portefeuille5.La sensibilité et le risque diversifiable


J. Hamon

Instabilité du bêta (I)

70

3 août 1999

22 juil. 1999

10 mars 2000

28 janv. 2000

29 nov. 1999

12 oct. 1999

4 000

4 500

5 000

5 500

6 000

6 500

7 000

7

Juin Juillet Août Sept. Oct. Nov. Déc. Janvier Fév. Mars

1999 2000

30

35

40

45

50

55

60

Cac40

Renault




UE 106 2016 36

J. Hamon

Instabilité du bêta (II)

71

2001 Spt

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

5

Jnv Fév Mrs Avl Mai Jun Jut Aot Spt Oct Nov Déc Jnv Fév Mrs Avl Mai Jun Jut Aot Spt Oct Nov Déc

2001 2002

Cou

rs (

bas

e 10

0)

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Bêt

a

Club Med base100

Cac40 Base 100

Bêta hebdo 52



J. Hamon

Techniques d’estimation du bêta

Le bêta d’un portefeuille est moins instableLe bêta d’un titre tend à revenir vers 1 (force de rappel)Des données prévisionnelles peuvent être intégrées (duration relative, cf. chap 23)Le bêta des small-caps est plus délicat à estimer

Asynchronisme entre données du titre et de l’indiceChoisir un indice largeEviter les taux de rentabilité quotidiens (ou somme sur 3 séances, cf. Frazzini & Pedersen, 2014)Autres estimateurs que les MCO

72


Décomposition de la volatilité (triangle des risques)Bêta de portefeuilleInstabilité du bêtaTechniques d’estimation du bêta

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