Une démonstration du théorème de Pythagore illustrée avec ...

© Bertrand PELLETIER

Une démonstration du théorème de Pythagore illustrée avec

GEOGEBRA

Le but de cette activité est d’apprendre à se servir de GEOGEBRA pour réaliser une figure qui

ressemble à la figure suivante et qui illustre une démonstration du théorème de Pythagore :

Avant de se lancer dans cette construction compliquée regardons les différentes étapes plus simples.


Présentation du logiciel

Voici l’apparence de GEOGEBRA lors le la première ouverture :


Décrivons un peu les différents outils et objets présents dans cette fenêtre :

Première opération à réaliser : dans la zone de construction il y a un repère dont on n’a pas besoin

pour notre construction. Pour ne plus afficher ce repère :

- Cliquer sur <affichage> puis <Axes>

Les icônes utilisées pour faire les constructions peuvent changer d’allure suivant la fonction

sélectionnée, à cause de cela, nous allons numéroter les icones de gauche à droite pour pouvoir s’y

référer dans la suite du document. Il y a 9 icônes, celle de gauche numérotée 1, est très souvent .

Celle de droite, numérotée 9, est très souvent . Le numéro de l’icône sera indiqué entre crochets

après l’icône.

Construction d’un point libre

Cliquer sur l’icône [2] puis n’importe où sur la zone de géométrie, un point est placé et nommé

automatiquement A. En cliquant avec le bouton droit sur le point on peut modifier ces propriétés

Menu

Icones représentant les outils

Petit triangle permettant

d’accéder à des sous-menus

Objets « numériques »

Cette zone est la zone

géométrique où le dessin

est réalisé


(couleur, taille…). Pour déplacer l’étiquette du point, cliquer sur l’étiquette maintenir enfoncé le

bouton puis déplacer la souris.

Construction d’un segment

Pour construire un segment : cliquer sur le petit triangle de l’icône [3], dans le sous menu, cliquer

sur segment entre deux points. Puis cliquer sur le point A puis sur le point B. Le segment est construit.

Remarque : dans la fenêtre algèbre apparait sous Objets dépendants, le nom du segment (a) et sa

longueur.

La fenêtre doit maintenant ressembler à la fenêtre suivante :

Construction d’un triangle rectangle en A

Tout d’abord il faut construire une droite perpendiculaire à (AB) passant par A : cliquer sur le petit

triangle de l’icône [4] et choisir <droite perpendiculaire>. Amener la flèche (blanche) sur le

segment [AB], celui-ci passe en gras, cliquer. Amener ensuite la flèche sur le point A et cliquer. La

droite est tracée.


Il faut ensuite placer un point sur cette droite : cliquer sur le triangle de l’icône [2] et choisir

<nouveau point>, déplacer la flèche sur la droite que l’on vient de construire et cliquer. Le point C est

placé. Pour construire le triangle on peut construire un polygone à trois cotés : cliquer sur l’icône

[3] et choisir <polygone>. Cliquer ensuite successivement sur A, B, C et A. Le triangle est construit.

Remarque : Dans la fenêtre de gauche on voit apparaitre poly1=un nombre, ce nombre représente

l’aire du polygone. Pour changer les paramètres de ce polygone (couleur, …) cliquer avec le bouton

droit sur son nom et choisir <propriétés>.

A ce moment précis la fenêtre doit ressembler à la suivante :

Puisque la droite (AC) ne va pas nous servir pour la suite, on peut ne pas l’afficher : cliquer avec le

bouton droit sur la droite et choisir <Afficher objet> dans la liste. L’objet disparait.

On peut maintenant faire bouger la figure, pour cela cliquez sur [1], puis cliquer sur un des points

et le déplacer. Bien sûr tous les points ne se déplacent pas librement puisque le triangle doit rester

rectangle.


Construction d’un carré de côté [AB]

Deux possibilités ici : faire simple ou faire compliqué. Mais pourquoi faire simple quand on sait faire

compliqué ?

• On va d’abord construire un quadrilatère avec 3 angles droits et deux cotés consécutifs de la

même longueur.

Petit travail mathématique : démontrer qu’un tel quadrilatère est bien un carré.

D’abord construire la perpendiculaire à (AB) qui passe par A puis la perpendiculaire à (AB) qui

passe par B.

On va ensuite construire le cercle de centre A qui passe par B : cliquer sur l’icône [5] et

choisir <Cercle Centre-Point>, Cliquer sur A puis sur B. Il faut ensuite construire les points

d’intersection de ce cercle et de la droite (AC) : cliquer sur [2] choisir <Intersection entre

deux objets>, cliquer sur le cercle et sur la droite (AC). Deux points sont construits E et D.

Construire ensuite la perpendiculaire à (AC) qui passe par le point D (de manière à ce que le

carré que l’on veut construire soit à l’extérieur du triangle). Construire ensuite le dernier

sommet du carré comme intersection de deux droites déjà construite. Le carré s’appelle ADFB.

La figure doit ressembler à ça :


On peut maintenant faire disparaitre les objets de construction : cliquer sur ces objets de

construction avec le bouton droit et choisir <afficher objet>.

La figure ressemble à la suivante :


Pour construire le carré, construire comme précédemment le polygone ABFD.



• Pour construire un carré plus simplement on peut construire un polygone régulier à 4 cotés :

cliquer sur l’icône [3], choisir Polygone régulier, puis cliquer sur A et C (dans cet ordre). Un

menu apparait demandant le nombre de cotés, taper 4. Le carré ACGH est construit et la figure

ressemble à la suivante :

Choisir une méthode pour construire le carré CBIJ.


On obtient la figure suivante :

Marquage d’un angle droit

Construire maintenant la perpendiculaire à (CB) qui passe par A et le point d’intersection K avec la

droite (CB) (qui est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC). L’angle �� est un angle

droit, nous allons coder la figure : cliquer sur le triangle de l’icône [6] et choisir <Angle>. Cliquez

ensuite sur les points A, K et B (dans cet ordre). L’angle est marqué. On peut supprimer le 90° en

cliquant avec le bouton droit sur l’angle et en choisissant <Afficher l’étiquette>.



Illustrer le fait que les triangles JCK et JCA ont la même aire

Petit travail mathématique : démontrer que si deux triangles ont la même base et que le troisième

somme est sur une parallèle à la base alors ces deux triangles ont la même aire.

Construire ensuite le point L sur la dernière droite tracée puis construire le polygone ou le triangle

CLJ. Ce triangle s’appelle poly5 et sont aire est inscrite dans la fenêtre de gauche. Pour l’exemple

l’aire est 1,3. Si on déplace le point L sur la droite (AK), l’aire de ce triangle ne change pas. On observe

alors que l’aire du triangle JCK et JCA sont les mêmes.


La figure obtenue est la suivante :

Illustrer le fait que les triangles JCA et GCB ont la même aire

Pour alléger la figure on peut provisoirement ne plus afficher le triangle « mobile » LCJ et aussi la

droite (AK) et le point K. Rappel : cliquer avec le bouton droit sur ces objets et choisir <afficher objet>.

Construire le triangle JCA.


La figure ressemble maintenant à la suivante :

L’idée maintenant est de « faire tourner » le triangle ACJ autour du point C et de superposer cette

image avec le triangle GCB.

Petit travail mathématique pour un élève de seconde : Montrer que les triangles ACJ et GCB sont

isométriques.

On va tout d’abord construire un arc de cercle de centre C et qui passe par J et B : cliquer sur le

triangle de l’icône [5] et choisir <arc de cercle (centre – 2 points)>, cliquer ensuite sur C, B et J,

l’arc de cercle est tracé.

Placer un point M sur cet arc de cercle. Construire le segment [CM]. On peut déplacer le point M sur

l’arc de cercle du point B au point J.

Il faut ensuite mesurer l’angle �� : cliquer sur le triangle de l’icône [6] et choisir <Angle>, puis

cliquer successivement sur A, C et J. Dans la fenêtre de droite on voit que l’angle créer s’appelle � et

qu’il mesure dans l’exemple 159,85°. On peut faire ne plus s’afficher la mesure de l’angle.


On va maintenant construire un point N tel que l’angle �� soit égal à l’angle �� : cliquer sur le

triangle de l’icône [6] et choisir <Angle de mesure donnée>, cliquer sur M puis C, une fenêtre

s’ouvre, la remplir comme suit :

Puis cliquer sur <Appliquer>.

Le point N est créé. Attention : dans l’exemple le point N est créé trop à droite et on ne le voir pas ! Il

faut déplacer la figure : pour cela cliquer sur l’icône [9], puis n’importe où sur la figure en

maintenant le bouton appuyer et déplacer la figure.

La figure doit ressembler à celle-ci :


Il faut maintenant créer le segment [NC], l’arc de cercle de centre C qui passe par A et G, le point

d’intersection O de cet arc et du segment [NC], le triangle OCM et enfin ne plus afficher les objets de

construction.

La figure obtenue ressemble à la suivante :

On peut déplacer le point M son arc de cercle et faire tourner le triangle OCM, ce « triangle

tournant » peut se superposer avec les triangles ACJ et GCB, ces deux triangles ont donc la même

aire.

Pour la suite de l’activité on peut faire ne plus afficher les triangles ACJ, le triangle tournant et les arcs

de cercle de construction.

On revient à la figure suivante :


Illustrer le fait que les triangles GCB et GCA ont la même aire

Placer un point P sur le segment [AB], puis construire le triangle (mobile) GCP. Déplacer le point P sur

le segment [AB] pour illustrer le fait que les triangles GCB et GCA ont la même aire.

Petit travail mathématique : démontrer que ces triangles ont la même aire.


Le travail avec GEOGEBRA est fini, il faut maintenant écrire une démonstration du théorème de

Pythagore.

L’aire du carré CBIJ est égale à CB². Elle est aussi égale à 2 fois l’aire du triangle CKJ plus 2 fois l’aire du

triangle IKB. On a montré que l’aire du triangle JCK est égale à l’aire du triangle CGA qui est la moitié

de l’aire du carré ACGH. On pourrait montrer de même que l’aire du triangle IKB est égale à l’aire du

triangle BAD qui est la moitié de l’aire du carré ADFB.

En conclusion CB²=AB²+AC².

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres

cotés.

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