Théorème de Pythagore Exercices corrigés · Si un triangle est rectangle, alors, d’après le...
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Théorème de Pythagore – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calcul de la longueur de l’hypoténuse Exercice 2 : calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit Exercice 3 : calcul de longueurs dans un triangle quelconque muni d’une hauteur Exercice 4 : mesure de la diagonale d’un carré de côté Exercice 5 : aire et périmètre d’un quadrilatère Exercice 6 : cercle circonscrit à un triangle, aire d’un disque et périmètre d’un cercle Exercice 7 : tangente à un cercle Rappel : Hypoténuse dans un triangle Dans un triangle rectangle, L'HYPOTÉNUSE est le côté non adjacent à l'angle droit, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle droit. Il s’agit en fait du côté le plus long de ce triangle. Rappel : Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors, d’après le THÉORÈME DE PYTHAGORE, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante : Le triangle est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore : A quoi sert le théorème de Pythagore ? à calculer une longueur Hypoténuse Hypoténuse Hypoténuse Hypoténuse Théorème de Pythagore Exercices corrigés Angle droit Attention ! Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle.
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Théorème de Pythagore – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : calcul de la longueur de l’hypoténuse
Exercice 2 : calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit
Exercice 3 : calcul de longueurs dans un triangle quelconque muni d’une hauteur
Exercice 4 : mesure de la diagonale d’un carré de côté
Exercice 5 : aire et périmètre d’un quadrilatère
Exercice 6 : cercle circonscrit à un triangle, aire d’un disque et périmètre d’un cercle
Exercice 7 : tangente à un cercle
Rappel : Hypoténuse dans un triangle
Dans un triangle rectangle, L'HYPOTÉNUSE est le côté non adjacent
à l'angle droit, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle droit. Il s’agit en fait
du côté le plus long de ce triangle.
Rappel : Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors, d’après le THÉORÈME DE PYTHAGORE, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
Le triangle est rectangle en
donc, d’après le théorème de
Pythagore :
Le triangle est rectangle en
donc, d’après le théorème de
Pythagore :
Le triangle est rectangle en
donc, d’après le théorème de
Pythagore :
A quoi sert le théorème de Pythagore ?
à calculer une longueur
Hypoténuse
𝐵
𝐴 𝐶
Hypoténuse 𝐴
𝐵 𝐶
Hypoténuse 𝐴
𝐶 𝐵
Hypoténuse
Théorème de Pythagore
Exercices corrigés
Angle droit
Attention ! Le théorème de
Pythagore ne s’applique que dans
un triangle rectangle.
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Soit un triangle rectangle en , tel que et
.
Calculer .
Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les
informations fournies par l’énoncé.
Le codage de la figure montre clairement que l’angle
est un angle droit, donc que le triangle est
rectangle en .
L’énoncé indique également que le triangle est
rectangle en . Par ailleurs, on connaît deux longueurs, celles des côtés et de l’angle droit.
L’hypoténuse du triangle est le segment : ce côté est en effet opposé à l’angle droit.
Remarques importantes à prendre en compte dans tout exercice de géométrie :
Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du millimètre. Il
ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les
calculs.
Ne pas confondre les écritures et . En effet, désigne un segment alors que désigne
une distance.
Proposons désormais une correction détaillée de l’exercice, étape par étape.
1ère
étape : On repère ce qu’on pourrait appeler « la configuration de Pythagore ».
D’après l’énoncé, le triangle est rectangle en et a donc pour hypoténuse le côté .
2ème
étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
3ème
étape : On applique le théorème de Pythagore en prenant le soin de bien écrire l’égalité.
⏟
⏟
⏟
𝑈 𝐼
𝑂
𝑈 𝐼
𝑂
Hypoténuse
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
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4ème
étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la
même unité.
5ème
étape : On résout l’équation.
Par conséquent, on a :
√ √ √ √ √
6ème
étape : On conclut.
La longueur de l’hypoténuse , notée , est égale à .
Remarque : Il faut toujours veiller à écrire le résultat exact, sauf si l’énoncé invite à donner une valeur
approchée, sans oublier d’indiquer l’unité (s’il y a une unité !).
Proposons désormais une correction pouvant être notée sur la copie.
D’après l’énoncé et d’après le codage de la figure, le triangle est rectangle en . Le côté désigne donc
l’hypoténuse du triangle.
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la même unité :
Par conséquent, on a :
√ ⏟
Par conséquent, dans le triangle rectangle en , l’hypoténuse mesure .
𝑂𝑈 désigne une longueur, donc elle
est positive. On cherche donc le
nombre positif qui, élevé au carré,
donne . Ce nombre s’appelle la
RACINE CARRÉE de et se
note √ .
√𝐴 𝐵 √𝐴 √𝐵
Pour tous nombres
positifs 𝐴 et 𝐵,
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Soit la figure ci-contre.
Donner la valeur exacte de et une valeur approchée de au
millimètre près.
Commençons par exprimer les longueurs dans la même unité (par
exemple en millimètres, notamment afin d’obtenir des nombres
entiers naturels et donc afin de faciliter par la suite les calculs).
D’après la figure, le triangle est rectangle en .
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
D’où :
(on soustrait dans chaque membre afin de n’avoir que dans le
membre à droite du signe )
(car )
Il en résulte que :
√ √ √ ⏟
√ √ √ √ ⏟
√
𝑁
𝑈
𝐿
𝑐𝑚
𝑚𝑚
𝑁
𝑈
𝐿
𝑚𝑚
𝑚𝑚
Hypoténuse
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
√𝐴 𝐵 √𝐴 √𝐵
Si 𝐴 ≥ et 𝐵 ≥
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√ √ √ √
En conclusion, √ (valeur exacte).
Avec la calculatrice, en tapant √ , on obtient . Ainsi, (valeur approchée
arrondie au millimètre près par défaut).
Remarque : On peut également écrire (valeur approchée arrondie au millimètre près par défaut).
Sur la figure ci-contre, représente une hauteur du
triangle .
Calculer et en déduire une valeur approchée au
millimètre près de la longueur du segment .
Rappel : Hauteur dans un triangle
Une HAUTEUR est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans un
triangle non aplati, il existe donc 3 hauteurs, concourantes en un point unique appelé ORTHOCENTRE du
triangle.
Sur la figure proposée,
représente une
hauteur du triangle .
Autrement dit, la droite
est perpendiculaire
à , ce qui signifie que
les triangles et
sont tous les deux des
triangles rectangles en .
𝐶 𝐻
𝑂
𝑈
𝑐𝑚 𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝐶 𝐻
𝑂
𝑈
𝑐𝑚 𝑐𝑚
𝑐𝑚
Sommet du
triangle
Pied de la
hauteur
Côté opposé
au sommet
Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3
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1- Commençons par calculer .
Nous venons de montrer que le triangle est
rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore,
on a l’égalité suivante :
En remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives, on obtient :
D’où :
Il s’ensuit que : √ √ √
Le segment mesure .
2- Calculons désormais .
Nous avons montré que, comme représente une
hauteur du triangle , est rectangle en .
Comme le triangle est rectangle en , d’après le
théorème de Pythagore, l’égalité suivante est vérifiée :
En remplaçant les longueurs connues par leurs
mesures respectives, on obtient :
Par conséquent,
√ √ √ √ √ √
mesure √ (valeur exacte), soit (valeur arrondie au millimètre près par excès).
𝐶 𝐻
𝑂
𝑈
𝑐𝑚 𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝐶 𝐻
𝑂
𝑈
𝑐𝑚 𝑐𝑚
𝑐𝑚 𝑐𝑚
√
𝐻𝑂
𝐻𝑂
𝐻𝑂
𝐻𝑂
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Soit un carré de côté .
1- Calculer, en fonction de , la longueur de ses diagonales.
2- D’après la question précédente, combien mesure alors la diagonale d’un carré d’aire ?
1- La figure ci-contre représente un carré de côté .
est un carré dont les diagonales sont donc et , toutes
deux de même longueur.
Un carré est un quadrilatère possédant 4 angles droits et des côtés de
même mesure.
On a donc en particulier :
est un triangle rectangle en
est un triangle rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où :
√ √ √ √ √ √
En conclusion, dans un carré de côté , les diagonales mesurent √ .
2- Déterminons la mesure de la diagonale d’un carré d’aire .
Soit l’aire d’un carré de côté . Alors, .
Ici, donc . Ainsi, √ √ √ .
Un carré d’aire a pour côtés des segments mesurant .
D’après la question 1-, si un carré a pour côté , alors ses diagonales mesurent √ . Comme
ici, , les diagonales du carré mesurent √ .
𝑎
𝑎
𝑎 𝑎
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
Exercice 4 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 4
Rappel : Périmètre et aire d’un
carré de côté 𝒄
𝑃 𝑟𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑒 𝑐
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑐 𝑐 𝑐
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On considère la figure ci-contre.
Les triangles et sont respectivement rectangles en et en .
Calculer l’aire et le périmètre du quadrilatère .
Commençons par déterminer la mesure de chacun des segments qui composent le quadrilatère .
D’après l’énoncé, le triangle est rectangle en donc, d’après le
théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
C’est-à-dire :
Par conséquent :
√ √
mesure donc .
D’après l’énoncé, le triangle est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité
suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives :
C’est-à-dire :
Par conséquent :
√ √
mesure donc .
𝐵
𝐴 𝐶
𝐷
𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝐵
𝐴 𝐶
𝐷
𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝑐𝑚
Correction de l’exercice 5
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen
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Rappel : Périmètre d’un quadrilatère quelconque
Le périmètre d'un quadrilatère, quel qu’il soit, est égal à la somme de la mesure de ses 4 côtés. Ainsi, si
est un quadrilatère, le périmètre du quadrilatère est donné par la formule :
Dès lors, il est possible de calculer le périmètre du quadrilatère .
Le périmètre du quadrilatère est égal à .
Rappel : Aire d’un quadrilatère quelconque et d’un triangle
Pour calculer l’aire d’un quadrilatère quelconque, c’est-à-dire l’aire d’un polygone à 4 côtés non
particulier, il convient de décomposer son aire en aires de polygones particuliers (comme des carrés,
des rectangles, des losanges, des trapèzes, des parallélogrammes ou des triangles). L’aire du
quadrilatère quelconque est alors égale à la somme des différentes aires qui le composent.
L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
L’aire d’un triangle rectangle est donnée par le produit des
longueurs des côtés de l’angle droit, que divise 2.
Calculons enfin l’aire du quadrilatère .
L’aire du quadrilatère se compose de l’aire
du triangle et de l’aire du triangle .
Autrement dit, l’aire est égale à la somme des aires
et .
C’est-à-dire :
L’aire du quadrilatère est égale à .
hauteur base
𝐵
𝐴 𝐶
𝐷
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est un point du cercle de diamètre tel que
et .
1- Calculer la mesure du diamètre du cercle ci-
contre.
2- En déduire le périmètre du cercle et l’aire du disque de
diamètre .
1- Calculons la mesure du diamètre du cercle ci-
contre.
est un point du cercle de diamètre donc le cercle est
circonscrit au triangle de diamètre . Par conséquent,
le triangle est rectangle en .
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité
suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
Il en résulte que :
√
Le diamètre du cercle est égal à .
2- Calculons le périmètre du cercle et l’aire du disque de diamètre .
Rappel : Aire d’un disque et périmètre d’un cercle
Aire d’un disque de rayon :
Aire d’un disque de diamètre :
(
)
Périmètre d’un cercle de rayon :
Périmètre d’un cercle de rayon :
𝐵 𝐿
𝑈
𝐵 𝐿
𝑈
Correction de l’exercice 6
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
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D’après la question précédente, le cercle a pour diamètre , c’est-à-dire pour rayon .
Ainsi, en notant le périmètre du cercle de diamètre , on a :
⏟
(on peut également écrire ⏟
)
Le périmètre du cercle de diamètre mesure .
D’autre part, en notant l’aire du disque de diamètre , on a :
⏟
(on peut aussi écrire
⏟
)
L’aire du disque de diamètre mesure .
La droite est tangente en au cercle de centre et
de rayon .
est un point de , tel que et tel que
.
1- Calculer le rayon du cercle.
2- En déduire, à l’unité près, le périmètre du
cercle et l’aire du disque de centre et de
rayon .
Rappel : Tangente à un cercle
Soit un cercle de centre et de rayon un point de ce cercle.
La TANGENTE au cercle en est la droite perpendiculaire à la droite passant par .
1- Cherchons à préciser la mesure du rayon
du cercle de centre .
D’après l’énoncé, la droite est tangente en au
cercle de centre et de rayon . Donc, par définition
de la tangente à un cercle en un point, est
perpendiculaire à . Autrement dit, le triangle
est rectangle en .
𝑑
𝑂
𝐼 𝑀
𝑑
𝑂
𝐼 𝑀
Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 7
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Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives :
D’où :
Par conséquent,
√
En conclusion, le rayon du cercle est égal à .
2- Dès lors, précisons, à l’unité près, le périmètre du cercle et l’aire du disque de centre et de rayon
.
En notant le périmètre du cercle, on a :
(arrondi à l’unité près par excès)
Le périmètre du cercle mesure environ .
D’autre part, en notant l’aire du disque, on a :
L’aire du disque mesure environ .
