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Chapitre 7 :
Equation : (Leçon)
3. Tester une égalité
2. Définition 4. Résoudre une équation
5. Résolution de problèmes
Sommaire
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
1. Prérequis
QCM et prérequis
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, appelées membres de l’équation, et où figurent une ou plusieurs inconnues (Les inconnues sont des grandeurs à déterminer).
Premier membre Second membre
: Ceci est un exemple d’équation d’inconnue x
3 x+5 = 6 x - 7
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs s’il y en a pour lesquelles l’égalité est vérifiée.
A Savoir :
…/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
à recopier dans le cahier de leçon
1. Savoir : Définition
Exemple n°1 : Un rectangle a pour largeur 10 mètres et son aire vaut 200m² Quel est la mesure de sa Longueur?
Choix de l’inconnue : …………………………………………
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution :
Vérification :
…………….
…………………
Phrase donnant la réponse : la longueur du rectangle est 20 m
10 x x = 200
10 x x = 200
x = 20
10 x 20 = 200
…/…
Aire de 200m² l = 10m
L= ?
10 x ….. = 200
Rappel : Aire d’un rectangle = Longueur x largeur
soit x la longueur du rectangle.
Dans 200, combien de fois on a 10 ? La longueur du rectangle
devrait mesurer 20 m Vérifions cela !
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Exemple n°2 : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de cet âge et que l’on retire 42, on trouve 51.
Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : …………….
(3 x x ) - 42 = 51
3 x - 42 = 51
x = ????
…/…
On s’aperçoit qu’il est difficile de trouver la solution.
On va donc par la suite, apprendre une méthode pour résoudre ce type d’ équation.
Exemple 2
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II. Tester une égalité : Nous allons tester cette égalité : 3 x+ 5 = 6 x - 7 , pour cela, nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :
Valeur de X 3 x+ 5 6 x - 7 Egalité
vraie ou fausse ?
3 -1 0 4
1,5
14 11 2 - 13
Fausse
Fausse
5 -7 Fausse
17 17 Vraie 9,5 2 Fausse
On dit que 4 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!
= ?
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x, s’il y en a, pour lesquelles l’égalité est vraie.
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2. Savoir Faire : Tester une égalité
Le nombre 2 est-il solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7 ?
Pour x = 2 :
D’une part : 3 x +5 = 3 x (2) + 5 =
(2)
D’autre part : 6 x - 7 = 6 x 2 - 7 =
Donc :
11 ≠ 5
x = 2 n’est pas solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7
6 + 5 = 11
12 - 7 = 5
…/…
à recopier dans le cahier de leçon Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
(2)
Nous allons tester cette égalité : x X x = 4 Nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :
Valeur de X x X x 4 Egalité
vraie ou fausse ?
3 -1 0 2 -3
9 4 1 4
Fausse
Fausse
0 4 Fausse
4 4 Vraie 9 4 Fausse
On dit que 2 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!
= ?
En effet : -2 est aussi solution de l’équation : x X x = 4
Autre exemple :
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Attention !!! □ Tester une équation avec la calculatrice ou un tableur
Par la suite, nous allons voir comment : - on résout une équation - et comment on trouve toutes les solutions…
ne donne pas forcément touts les solutions de l’équation.
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1) « al- jabr » : « On enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation» . Par exemple , 8 x - 5 = 4 x + 11 devient 8 x = 4 x + 16 en ajoutant 5 dans les deux membres
Abu Djafar Muhammad ibn Musa
al Khwarizmi
Bagdad - Perse (780 ; 850)
Ce mathématicien est le premier à proposer une méthode de résolution des équations en notation modernes :
2) « al - muqalaba » : « On soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres » (sur l'exemple précédent , 4 x = 16 en soustrayant 4 x dans chaque membre)
3) « al - hatt » , méthode consistant à multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre . (sur l'exemple précédent , x = 4 en divisant par 4 dans chaque membre)
Cette méthode est la méthode de résolution utilisée de nos jours . …/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Cette méthode de résolution des équations par al Khwarizmi
est similaire à la méthode des balances suivantes :
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90g 30g
Combien pèse la pomme ? 60 g
Traduction mathématique : x + = x + 30 = 90
La solution de cette équation est : x = 60
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
…/…
60g 30g 90g
x + 30 - 30 = 90 - 30
On enlève 30g de chaque côté :
x = 60
Regardez bien la balance …
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= 0 = 60
210g
70 g
3 x = 210
La solution de cette équation est : x = 70
x x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite... Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
= Traduction mathématique :
On divise par 3 de chaque côté :
x = 70
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 210 ÷ 𝟑𝟑
x = 210g ÷ 𝟑𝟑
On ne peut rien enlever de similaire de chaque côté
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85g
85g = 2x = x + 85
La solution de cette équation est : x = 85
x x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
85 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
Traduction mathématique :
= x
x = 85 2 x − 𝒙𝒙 = x + 85 − 𝒙𝒙
On enlève une pomme de chaque côté :
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Traduction mathématique :
=
2x + 20 = 100
Résolution de l’équation utilisation de la balance
100g 20g x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
40 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
100g 20g en équilibre
80g 20g 20g en équilibre
80g 20g 20g
en équilibre
80g
en équilibre
…/… La solution est : 40 g
Traduction mathématique: 4x + 10 = 2x + 110
110g 10g
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
50 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
Résolution de l’équation utilisation de la balance
= x + x + x + x x + x +
en équilibre
en équilibre
en équilibre
en équilibre
110g 10g
100g 10g 10g
100g
100g 10g 10g
…/… La solution est : 50 g
Propriétés :
Pour résoudre une équation, on la transforme en une succession d’équations ayant les mêmes solutions que l’équation initiale, de façon à isoler le ou les inconnues. De telles équations sont dites équivalentes.
■ Lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
■ Lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul, les deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
…/…
3 . Savoir : Résoudre une équation
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Méthode : Avant de commencer , il faut que chaque membre de l’équation soit développé, réduit et simplifié,
On doit isoler les inconnues d’un seul côté de l’égalité, puis en avoir qu’un seul ■ Supprimer les termes constants à gauche. Puis réduire les deux membres. ■ Supprimer les termes inconnus à droites. Puis réduire les deux membres. ■ A la fin, il faut diviser (ou multiplier) les deux membres par un même nombre pour isoler l’inconnue. à recopier dans le cahier de leçon
L’équation admet une seule solution :
x = 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x = 0 + 5 = 5 4. On vérifie que si on remplace x par 5 dans l’équation de départ cela donne « 0 »
= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !
On vient d’isoler l’inconnue : x
Exemple n°1 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x – 5 = 0
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
x – 5 = 0 1. On enlève le « -5 » en ajoutant 5 des deux côtés de l’égalité.
On veut, à gauche, seulement des inconnues.
2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : 5 - 5 = 0
…/…
L’équation admet une seule solution :
x = 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x = 5 = 0
Exemple n°1 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x – 5 = 0
Sans explication :
x – 5 = 0
vérification : 5 - 5 = 0
…/…
= 5
à recopier dans le cahier de leçon
L’équation admet une seule solution :
x = - 22
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x = - 18 - 4 = - 22 4. On vérifie que si on remplace x par - 22 dans l’équation de départ cela donne - 18
= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !
On vient d’isoler l’inconnue : x
Exemple n°2 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x + 4 = - 18
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
x + 4 = - 18 1. On enlève le « +4 » en soustrayant 4 des deux côtés de l’égalité.
On veut, à gauche, seulement des inconnues.
2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : -22 + 4 = -18
…/…
…/…
L’équation admet une seule solution :
x = - 22
x = - 22 = 0
Exemple n°2 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x + 4 = - 18
Sans explication :
vérification :
= - 22
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x + 4 = - 18
-22 + 4 = -18
à recopier dans le cahier de leçon
L’équation admet une seule solution :
x = 𝟏𝟏𝟑𝟑
x = 1 ÷ 𝟑𝟑 = 13
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏𝟑𝟑
dans l’équation de départ cela donne « 1 »
= 1x : On obtient une seule inconnue !
Mais nous voulons connaître la valeur d’1x
Exemple n°3 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 3 x = 1
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
3 x = 1 1. On a, ici, un cas particulier : l’inconnue x est déjà isolée. Et il n’y a pas d’ inconnue du côté droit de l’égalité .
5. On Conclut.
vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑
= 1
…/…
3 x = 1
On divise alors par 3 de chaque côté de l’égalité 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑
…/…
x = 13
= 1 x
Exemple n°3 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 3 x = 1
Sans explication :
= 𝟏𝟏𝟑𝟑
L’équation admet une seule solution :
x = 𝟏𝟏𝟑𝟑
3 x = 1
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑
vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑 = 1
à recopier dans le cahier de leçon
L’équation admet une seule solution :
x = 1
7 x = 7
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.
= 7x
Exemple n°4 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x Rappel : il faut utiliser la méthode de résolution des équations
4 x = 7 – 3 x 1. On a pas besoin de supprimer des nombres du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : 4 x 1 = 4
…/…
Mais, à droite, on ne veut pas d’inconnue.
2. On va donc supprimer, à droite, - 3x en faisant + 3x de chaque côté de l’égalité.
4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0
On vient d’isoler l’inconnue : x Mais il y en a 7x
On divise alors par 7 de chaque côté de l’égalité 7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1
et 7 - 3 x 1 = 4
x = 1
…/…
Exemple n°4 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x
Sans explication :
4 x = 7 – 3 x
L’équation admet une seule solution :
x = 1
7 x = 7 = 7x
vérification : 4 x 1 = 4
4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0
7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1
et 7 - 3 x 1 = 4
x = 1
à recopier dans le
cahier de leçon
L’équation admet une seule solution :
x = 3
3 x = 9
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟑𝟑 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.
= 3x
Exemple n°5 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x
5 x + 2 = 11 + 2 x
5. On Conclut.
vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17
…/…
Car, à gauche, on veut que des inconnues.
5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x = 0 On vient d’isoler l’inconnue : x
Mais il y en a 3x
On divise alors par 3de chaque côté. 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑
= 1x = 3
et 11 + 2 x 3 = 17
1. On enlève le « +2 » en soustrayant 2 des deux côtés de l’égalité.
5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0
5 x = 9 + 2 x 2. On ne veut pas, à droite d’inconnue. On va donc supprimer + 2x en faisant - 2x de chaque côté de l’égalité.
x = 3
…/…
Exemple n°5 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x
Sans explication :
L’équation admet une seule solution :
x = 3
3 x = 9 = 3x
5 x + 2 = 11 + 2 x
vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17 5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x
= 0
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑 = 1x = 3
et 11 + 2 x 3 = 17
5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0
5 x = 9 + 2 x
x = 3
= 11 - 2 = 9
à recopier dans le
cahier de leçon
Autre Exemple :
Résoudre l’équation : 2 x + 3 = 6 x – 5
Résoudre l’équation : 2(3x +2) = – 2(7x – 7)
−×
41
L’ équation admet une seule solution :
L’ équation admet une seule solution :
−×
41
2 x + 3 - 6 x = 6 x – 5 - 6 x 2x + 3 - 6 x = - 5
2x - 6x + 3 = - 5 - 4 x + 3 = - 5
- 4 x + 3 - 3 = - 5 - 3 - 4 x = - 5 - 3 - 4 x = - 8
- 4 x = – 8
x = 2
6 x +4 + (14 x) = – 14 x +14 +(14 x)
2 x(3x ) +2 x(2) = – 2 x(7 x ) – 2 x(-7)
6 x +4 = – 14 x +14
x = ½
6 x + 4 +(14 x ) = 14 20 x +4 = 14 20 x +4 - 4 = 14 – 4 20 x = 14 – 4 20 x = 10 x = 10/20
48x =
Choix de l’inconnue : ex : soit x : le prix d’une baguette.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ex : 8 + 10 x = 45
Résolution de l’équation : Méthode vue précédemment.
Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.
Phrase donnant la réponse au problème :
…/…
4 . Savoir Faire : Résoudre un problème
Il y a cinq étapes obligatoires :
ou soit x : l'âge de Martine.
à recopier dans le cahier de leçon
Exercice : Si on prend quatre fois son prix et que l’on retire 7, on trouve 18 euros. A quel prix est cet article ?
Choix de l’inconnue : soit x le prix de l’article.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : …………….
(4 x x ) - 7 = 18
4 x – 7 = 18
…/…
Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.
Phrase donnant la réponse au problème :
4 x – 7 + 7 = 18 + 7 4 x = 25 Puis on divise par 4 les deux membres x = 2𝟓𝟓 ÷ 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟓𝟓
𝟒𝟒= 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟓𝟓
4 fois son prix : 4 x 6,25 = 25 Et on y retire 7 : 25 – 7 = 18
Le prix de cet article est de 6,25 €
Exemple : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de son âge et que l’on retire 42, on trouve 51.
Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : L’ âge trouvée
pourrait être la solution
Vérification :
…………….
…………………
Phrase donnant la réponse : la personne à 31 ans
(3 x x ) - 42 = 51
3 x - 42 = 51 3 x = 93
3 x 31 - 42 = 93 - 42 = 51
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 93 ÷ 𝟑𝟑
x = 31
…/…
x = 93 ÷ 𝟑𝟑
FIN
…/…
FIN FIN FIN FIN
Explication
Explication
Explication
Explication
Explication
…/…
Si X = -2 On a : 3X + 5 = (-6) + 5 = -1 3 x (-2) + 5 =
Donc, l’expression vaut : -1
Réponse : a)
Retour
…/…
Retour Au Q.C.M
(prèrequis)
Si X = 3
On a : -2X + 5 = l’égalité est vrai lorsque x = 3
a) D’une part : -2 x ( 3) + 5 = -1
D’autre part : On a : X – 4 = (3) - 4 = -1
Donc :
? ?
Si X = 0
On a : -2X + 5 = Les 2 expressions ne sont pas égale lorsque x = 0
b)
D’une part : -2 x ( 0) + 5 = 5
D’autre part : On a : X – 4 = (0) - 4 = -4
Donc :
(-6)
(0)
…/…
Retour
Retour Au Q.C.M
(prèrequis)
? ?
Si X = -1 On a : -2X + 5 = Les 2 expressions
ne sont pas égale lorsque x = -1
c) D’une part : -2 x (-1) + 5 = 7
D’autre part : On a : X – 4 = (-1) - 4 = -5
Donc :
(+2)
…/…
Retour
21 42 35
- 4 x 2 - 7 : 5
x = 7
Réponse : X = 7
…/…
Retour
Retour Au Q.C.M
(prèrequis)
Le nombre de départ est : ??
x 6
….
+ 3
15
- 3
: 6
12 2
…/…
Retour
12 + 3n
□ Si je vois « n films », je vais payer : ( 3 x n ) €
Chaque film coûte 3 €
□ Mais il ne faut pas oublier « l’abonnement » qui est de 12 euros
Coût total annuel :
…/…
Retour
Fin
…/…
Facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 5 - 10 8
? ? ?
- 2 1
3
Moins facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 5
- 3 8 ? ?
?
- 10
- 2
7
? ? ?
Encore moins facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 11
2 3
- 11
2 3 ? x
x + 3 x + 2 2x + 5
Equation : 2x + 5 = -11 -11 = 5 - 16
Equation : 2x + 5 = 5 - 16 Equation : 2x = - 16 Solution: x = - 8
? ? ?
Vérifions que la solution x = - 8 convient.
3 2
- 11
- 8
? - 5 ? - 6
Avant de démarrer
Je remplace x par -2 dans l’équation : 3X + 5 = 3 x (-2) +5
-2X+ 5 = X - 4
Si X= 3 On a : -2X + 5 =
et X – 4 = -2X + 5 = -6 + 5 = -1 X – 4 = - 1
Donc : -2X+ 5 = X – 4 pour X = 3
Si X= 0 On a : -2X + 5 = -2 x (0) + 5
et X – 4 = (0) - 4 -2X + 5 = 0 + 5 = 5 X – 4 = - 4
Donc : -2X+ 5 ≠ X - 4
Si X= -1 On a : -2X + 5 = -2 x (-1) + 5
et X – 4 = (-1) - 4 -2X + 5 = 2 + 5 = 10
Donc : -2X+ 5 ≠ X – 4 pour X = 0
= - 5
Que vaut X pour que L’égalité soit vraie ?
-2 x (3) + 5 (3) - 4
Si X = -2 On a : 3X + 5 = 3 x (-2) + 5 = (-6) + 5 = -1
Si X = 3 On a : -2X + 5 = X - 4 Donc : -2x(3) + 5 = -1 et (3) - 4 = -1
21 42 35
-4 x2 -7 :5
x = 5
((X x (-3)) + 5) x 7 = ((-3X) + 5) x 7 = 7 x (-3X + 5)
Donc : l’égalité est vrai lorsque x = 3
Réponse X = 5
(X x (6) + 3) = 15 donc (6X + 3) = 15
6X = 12 X = 2
12 € + (n place à 3€) = 12 € + (n x 3€) 12 + 3n
12 + 3n = 42 3n = 42 - 12 = 30 3n = 30 n = 10
donc 6X + 3 = 15
6X = 15 - 3 6
12 X =