Chapitre

57

12Le théorème de Pythagore

cependant important de bien discerner les contextes d’ap-plication du théorème (calculer une longueur ou démon-trer qu’un triangle est rectangle ou non) et ainsi de débattre sur les différentes formes de l’écriture du théorème. Plu-sieurs propriétés pourront ainsi trouver leur place dans les cahiers des élèves.La désignation de cette propriété comme «  théorème de Pythagore » n’est pas imposée par le programme de la classe de quatrième.

I. Contexte du chapitreCe chapitre a pour objectif d’étudier de façon approfondie cer-taines propriétés du triangle rectangle en abordant quelques aspects numériques fondamentaux de la géométrie du plan.L’introduction du théorème de Pythagore doit être progres-sive et sans excès de formalisme trop précoce. L’égalité de Pythagore doit être considérée comme une propriété carac-térisant le triangle rectangle. Le programme de la classe de quatrième ne distingue pas le théorème direct de Pytha-gore de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). Il est

II. Ressources disponibles sur le site compagnonActivités • Activité 1 : Figure dynamique à télécharger

Savoir faire • Animation : Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle• Animation : Démontrer qu’un triangle est rectangle ou n’est pas rectangle

Exercices • Exercice 104 : figure dynamique a télécharger

Devoir à la maison • Devoir à la maison 3 : figure dynamique à télécharger

Travaux pratiques avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéoprojection : • Activité 1 : figure dynamique a télécharger • Activité 2 : figure dynamique a télécharger • Activité 3 : figure dynamique a téléchargerFichier « boite_noire_12 »

Du côté du site compagnon

• PDF : Pythagore

formalisme.L’exercice propose une situation concrète issue de la vie quotidienne : le charpentier use du théorème de Pythagore pour calculer des longueurs dans la charpente d’une maison. La méthode de résolution passe par un pro-gramme de calcul. Il faudra traiter autant d’exemples numé-riques que nécessaire avant de faire découvrir la formule. Celle-ci pourra également être introduite à l’aide du pro-gramme de calcul :– Soit une longueur du triangle : x– Calcule le carré de cette longueur : x2

– etc.

Activité 3 : Démontrer qu’un triangle est rectangleCette activité comme la suivante a pour objectif d’appliquer l’égalité de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rec-tangle ou non. Il est important de bien distinguer le contexte d’application de la propriété : dans la situation de l’activité, toutes les longueurs du triangle sont connues, il ne s’agit donc pas de calculer une longueur manquante. À ce niveau, la confu-sion est encore bien présente chez beaucoup d’élèves. Il faut également insister sur le choix du carré à « calculer seul » : si hypoténuse il y a, c’est nécessairement le plus grand côté du triangle. C’est donc cette longueur qu’il faudra « calculer seul ».

Activité 4 : Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangleL’activité 4 pourra être menée parallèlement à l’activité 3.L’objectif et la démarche sont identiques.

III. Intentions pedagogiques des activitésA. Activités d’introductionActivité 1 : Découvrir l’égalité de Pythagore• Considérations didactiques : Les variables (longueurs) de la feuille de géométrie dynamique sont directement exploitables dans la fenêtre du tableur. L’avantage est d’avoir à disposition un outil de calcul performant, intuitif et très simple à utiliser.Après avoir réalisé la figure dynamique, on complète la feuille de calcul par un tableau présentant les carrés des côtés du triangle. La propriété de Pythagore peut alors être aisé-ment conjecturée.Le dynamisme de la figure permet, à partir d’un triangle quel-conque, de s’approcher du cas limite qui est ici le triangle rec-tangle. On constate ainsi que l’on approche l’égalité sur les car-rés des côtés lorsque l’on tend vers ce cas limite.

• En pratique : Cette activité peut être réalisée avec la ver-sion 3.0 (ou supérieure) de GeoGebra qui intègre un tableur. Il est préférable que les élèves ne soient pas novices dans l’utilisation d’un tableur. La construction de la figure est rela-tivement aisée.

Activité 2 : Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangleCette activité a pour objectif de présenter une applica-tion de l’égalité de Pythagore en se dégageant de tout

58

IV. Corrigés des exercicesSavoir faire

1 a. AB = 10 cm. b. JL = 8,5 cm.

2 a. AB ≈ 5,8 cm. b. DF ≈ 4,3 cm. c. GI ≈ 3,5 cm. d. JL ≈ 7,6 cm.

3 a. HI = 4,8 cm. b. DE = 7,2 cm.

4 2. NP = 7,5 cm. 5   RS ≈ 4 cm.

6 HK ≈ 5,2 cm. 7   TV ≈ 6,98 cm.

8 a. 122 + 52 = 169 et 132 = 169.b. 3,32 + 4,42 = 30,25 et 5,52 = 30,25.

9 a. 62 + 11,22 = 161,44 et 132 = 169.b. 2,82 + 4,52 = 28,09 et 5,52 = 27,04.

10 4,82 + 22 = 27,04 et 5,2 = 27,04.Le triangle MNP est rectangle en N.

11 62 + 52 = 61 et 92 = 81.Le triangle RST n’est pas rectangle.

12 7,82 + 162 = 316,84 et 17,82 = 316,84.Le triangle DEF est rectangle en E.

13 6,62 + 11,22 = 169 et 132 = 169.Le triangle STU est rectangle en U.

14 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. Le triangle IJK semble être rectangle en I.3. En réalité, le triangle IJK n’est pas rectangle. L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée.

Exercices d’entraînement15 a. AB b. DE c. GH

16 Triangle ABC d’hypoténuse AB ; triangle ABD d’hypoté-nuse DB ; triangle BDE d’hypoténuse DE.

17 1. AC. 2. AC2 = BC2 + AB2

18 BC2 = AC2 + AB2

19 1. 32. AD2 = AH2 + HD2 ; DE2 = DH2 + HE2 ; AE2 = AD2 + DE2.

20

E

D

F

• • DE2 = DF2 + EF2

D

F

E• • DF2 = DE2 + EF2

F

D

E

• • EF2 = DE2 + DF2

21 a. 262 = 102 + 242 ; b. 202 = 122 + 162 ; c. 102 = 62 + 82.22 a. ML2 = MH2 + HL2 ; b. GF2 = GD2 + DF2 ;

c. AE2 = AC2 + CE2.23

Tria

ngle

rect

angl

e

Hyp

otén

use

Carr

é de

l’h

ypot

énus

e

Som

me

des

carr

és

des

deux

aut

res

côté

s

Égal

ité d

e Py

thag

ore

ABC AB AB2 BC2 + AC2 AB2 = BC2 + AC2

DEF EF EF2 DE2 + DF2 EF2 = DE2 + DF2

GHI HI HI2 IG2 + GH2 HI2 = IG2 + GH2

KLH KL KL2 KH2 + HL2 KL2 = KH2 + HL2

GHK HK HK2 KG2 + GH2 HK2 = KG2 + GH2

24 1. L’élève a construit un triangle MOP rectangle en P.2. L’élève a construit un triangle CSD rectangle en D.

B. Activités TICEActivité 1 : Le déménagement• Considérations didactiques : Cet exercice est un problème classique mettant en application la propriété de Pythagore. La plus-value du logiciel est de pouvoir visualiser la situa-tion de façon dynamique et ainsi de conjecturer la solution au problème. En effet, le logiciel permet de lever virtuelle-ment l’armoire en faisant pivoter le rectangle comme on le ferait dans la réalité. En laissant la trace du point E, l’élève pourra en déduire que la solution dépend de la longueur CE (diagonale de l’armoire) et non de la hauteur de l’ar-moire comme notre intuition pourrait nous le faire croire. Une fois la conjecture établie, la démonstration est relative-ment aisée et en fait un exercice facile d’entrée de chapitre.

• En pratique : L’activité est plutôt destinée à des élèves pos-sédant quelques expériences dans l’utilisation du logiciel. La construction du rectangle peut poser de petites difficultés pour le report des longueurs imposées.

Activité 2 : Le plus « grand » rectangle• Considérations didactiques : L’activité traite d’un problème d’optimisation de périmètre et d’aire. La recherche s’effec-tue à l’aide du tableur par disjonction des cas. L’élève pourra, selon ses compétences ou celles travaillées en classe, conjec-turer la solution depuis le tableau ou depuis les représenta-tions graphiques.

En classe de quatrième, il n’est pas possible de prouver le résul-tat  : le quadrilatère de diagonale 5 cm qui possède le plus grand périmètre et la plus grande aire est un carré. Mais les élèves pourront prouver à l’aide de la propriété de Pythagore que ce carré a pour côté le nombre dont le carré est égal à 2,5.

Activité 3 : Problème ouvert• Considérations didactiques : En classe de quatrième, il est intéressant de proposer des problèmes motivants et ouverts qui offrent un apprentissage autonome par la décou-verte. L’élève devient un expérimentateur qui va pouvoir se construire une démarche. Celle-ci n’a pas besoin d’abou-tir. Chaque étape de la recherche exprime une réflexion de l’élève qui mérite d’être valorisée. Dans cette activité, l’objec-tif est de trouver les positions d’un point défini à partir d’un triangle rectangle et d’un cercle.

Le logiciel permettra d’expliciter la conjecture au problème que les élèves pourront ensuite démontrer.

•  En pratique  : La construction ne présente aucune diffi-culté notable autre que la compréhension de l’énoncé. Par la consigne demandant « à quelle distance de M faut-il placer un point N du cercle (�) », les élèves devront comprendre qu’il faut placer un point quelconque et mobile sur ce cercle pour ensuite le déplacer et conjecturer la solution.

Activité 4 : La boîte noire du chapitre 12Pour cette boîte noire, l’élève place deux points A et B et le logi-ciel affiche un segment perpendiculaire à [AB] en B. Il affiche également un nombre mystère.

Le segment affiché a pour longueur 1. En déplaçant les points A et B, les élèves pourront le remarquer puisque la feuille de géométrie intègre un quadrillage.

Le nombre mystère est égal au carré de l’hypoténuse du triangle défini par le côté [AB] et le segment de longueur 1. Les élèves pourront afficher des longueurs et effectuer des calculs à l’aide du logiciel.

59Chapitre 12 • Le théorème de Pythagore

55

T riangle Carré du grand

côté

Somme des carrés des deux autres

côtés

Conclusion

20

12

16

202 = 400 162 + 122

= 256 + 144= 400

Le triangle est rectangle

17

9

15

172 = 289 152 + 92

= 225 + 81= 302

Le triangle n’est pas rectangle

5

1,5

4,852 = 25 4,82 + 1,52

= 23,04 + 2,25= 25,29

Le triangle n’est pas rectangle

9

5,4

7,2

92 = 81 7,22 + 5,42

= 51,84 + 29,16 = 81

Le triangle est rectangle

5,2

2

4,85,22 = 27,04 4,82 + 22

= 23,04 + 4= 27,04

Le triangle est rectangle

56 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. Le triangle semble rectangle en T.3. 6,82 = 46,24 et 3,22 + 62 = 46,24, le triangle est rectangle.

57 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. 5,12 = 26,01 et 3,12 + 3,12 = 19,22. Le triangle MNO n’est pas rectangle en O.

58 8,52 = 72,25 et 7,72 + 3,52 = 71,54.Le parallélogramme n’est pas un rectangle.

59 • PIC : 452 = 2 025 et 272 + 362 = 2025,le triangle PIC est rectangle en I.• PUC : 452 = 2 025 et 262 + 352 = 1901,Le triangle PUC n’est pas rectangle.

60 Joan suppose dès le départ que BE2 = CB2 + CE2, or c’est ce qu’il faut démontrer. Les calculs doivent être séparés.

61 Ibrahim applique dès le début la propriété de Pythagore ce qui suppose que le triangle ABC est rectangle, or c’est ce qu’il faut démontrer.

62 Antoine n’applique pas correctement l’égalité de Pytha-gore. Il faut calculer OC2 et OB2 + BC2.

63 1. 2,42 + 3,22 = 16 et 42 = 16.Le triangle TAC est rectangle en A.2. On ne peut pas en déduire que le quadrilatère TICA est un rectangle : deux angles droits sur les côtés ne suffisent pas pour le prouver.

64 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. • 7,32 = 53,29 et 5,52 + 4,82 = 53,29.Le triangle ABD est rectangle en B.• 82 = 64 et 4,82 + 6,42 = 64.Le triangle BDC est rectangle en D.4. ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].

65 24,32 = 590,49 et 212 + 24,32 = 589,84. Le triangle formé par l’équerre n’est pas rectangle.L’équerre d’Anne-Sophie ne possède pas deux côtés parfaite-ment perpendiculaires.

66 1,32 = 1,69 et 0,662 + 1,122 = 1,69.Le piquet est perpendiculaire au sol.

67 6,62 = 43,56 et 3,32 + 5,62 = 42,25.Deux côtés consécutifs du potager ne sont pas perpendi-culaires.

68 MC2 = 507,52 ; AM2 + AC2 = 507,52.Le triangle MAC est rectangle en A.

25 L’élève a construit sur une même figure un triangle ACD rectangle en D et un triangle DEC rectangle en C.

26 L’élève a construit un rectangle ACBD.

27 32 = 9 ; 92 = 81 ; 32 + 92 = 90.

28 A = 383,09 ; B = 168,8301 ;C = 12,9525 et D = 2 700.

29 25 ; 17 ; 12 ; 12,5 ; 0,15 ; 89,12.

30 3,7 ; 1,4 ; 8,2 ; 3 ; 31,6 ; 3,2.

31 a. AB ≈ 2,2 cm ; b. AB ≈ 3,8 cm ; c. AB ≈ 9,3 cm ; d. AB ≈ 7,5 cm.

32 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. BC = 5 cm. 3. Vérification en autonomie.

33 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. CI = 12 cm. 3. Vérification en autonomie.

34 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. BC = 8,5 cm.

35 Les diagonales mesurent environ 11,3 cm.

36 Julie a commis une erreur dans la formule en confondant l’hypoténuse du triangle avec le côté à calculer (erreur clas-sique).

37 Adèle applique la propriété de Pythagore sur un triangle qui n’est pas nécessairement rectangle.

38 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. Dans un triangle isocèle, la hauteur et la médiatrice issue du sommet principal sont confondues.3. La hauteur mesure environ 4,9 cm.4. L’aire du triangle est environ égale à 17,15 cm2.

39 1. 52 – 2,52 = 18,75 donc la hauteur est égale à 4,3 cm au dixième de centimètre par défaut.2. L’aire du triangle est environ égale à 10,75 cm2.

40 Le périmètre du carré est égal à 20.

41 2,236 × 4 + 4,243 × 2. Le périmètre de LCOEUR est envi-ron égal à 17,4.

42 1. À vérifier sur le cahier de l’élève. 2. Côté ≈ 3,2 cm.3. Le périmètre du losange est environ égal à 12,8 cm.

43 Un côté mesure environ 3,677 cm.Le périmètre du carré est environ égal à 14,7 cm.

44 QP ≈ 8,062 cm, le périmètre du rectangle est environ égal à 24,12 cm.

45 AC ≈ 7,07 cm, le périmètre du triangle ACG est environ égal à 21,21 cm.

46 AC ≈ 8,485 cm. Hauteur du triangle ACG ≈ 7,348 cm.L’aire du triangle ACG est environ égale à 31,2 cm2.

47 Côté du cube ≈ 35,3553 mm.Le volume du cube est environ égal à 44 194 mm3.

48 RA ≈ 9,7 cm. 49 PI = 10 mm. 50 EN ≈ 2,8 cm

51 1. 62 = 36 et 32 + 42 = 25.2. Le triangle n’est pas rectangle : 32 + 4 2≠ 62.

52 1. 172 = 289 et 82 + 152 = 289.2. Le triangle est rectangle : 82 + 152 = 172.

53 1. Faux 2. Vrai 3. Vrai 4. Faux

54 1. 3,32 + 5,62 = 42,25 et 6,52 = 42,25.2. Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendicu-laires, alors c’est un losange donc ABCD est un losange.

60

102 Volume du parallélépipède : 5 × 7 × 2,5 = 87,5 m3.Volume du prisme : (5 × 2,45 : 2) × 7 ≈ 42,9 m3.Volume de la maison : 130,4 m3.

103 Environ 396 km.

104 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. La symétrie conserve les distances et le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite.3. 332 + 242 = 1 665. Le chemin le plus court mesure envi-ron 40,8 m.

105 1. HM = 5 cm et MB ≈ 9,5 cm, le chemin rouge mesure donc environ 14,5 cm.2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. 132 +  62 =  205. Le chemin le plus court mesure environ 14,3 cm.

106 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. On peut conjecturer que les points S, L et U sont alignés.3. et 4. SL ≈ 4,2802 cm et LU ≈ 5,7201 cm donc SU ≈ 10,0003 cm, SU ≈ 10 cm. Les points S, L et U ne sont donc pas alignés (SU ≠ SL + LU).

107 1. a. a = 5, b = 12, c = 13.b. 132 = 169 et 52 + 122 = 169.2. a. a = 16, b = 30, c = 34.b. 342 = 1 156 et 162 + 302 = 1 156.3. À vérifier sur le cahier de l’élève.

108 1. 62 = 36 et 3,62 + 4,82 = 36.

2. 26 3 6

=EF,

, EF = 1,2 cm.

3. a. L’aire du triangle LMN est égale à 8,64 cm2,LH = 8,64 × 2 : 6 = 2,88 cm.b. MH = 2,16 cm.

109 1. 17,52 = 306,25 et 142 + 10,52 = 306,25.2. PRSC est un parallélogramme qui possède deux côtés consé-cutifs perpendiculaires.

3. a. 514 10 5

=PR

,, PR = 3,75 cm.

b. L’aire du rectangle PRSC est égal à 9 × 3,75 = 33,75 cm2.

110 D’après la propriété de Pythagore, on a :R2 = r2 + 2,52. L’aire de la couronne est égale à :π(R2 – r2) = π × 2,52 ≈ 19,6 cm2.

111 D’après la propriété de Pythagore : BC = 10 cm.

Q

A B

5 cm

4 cm

3 cm

C

P

M N

Le carré a des côtés de longueur 12 cm.L’aire du carré est égale à 144 cm2.

112 On démontre à l’aide de la propriété de Pythagore que le triangle PON est rectangle en O.M est le milieu de [PN] et I est le milieu de [PO] donc les droites (MI) et (NO) sont parallèles.Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.On en déduit que le triangle PIM est rectangle en I.

69 a. 10 cm b. 15 cm c. 13 cm d. 50 cm

70 a. Non b. Oui c. Oui d. Non

71 a. 10 cm b. 7 cm c. 12 cm

72 1. Oui, car 32 + 42 = 52. Non, car 42+52 ≠ 62.

73 1. HF2 = 72. 2. DF2 = 108, DF ≈ 10 cm.

74 1. IJ2 = 18. 2. CI2 = 45.3. CJ2 = 45 donc CIJ n’est pas rectangle.

Parcours autonome75 B 76 B et C 77 A 78 C 79 A

80 a. AC2 = AB2 + BC2 ; b. EG2 = EF2 + FG2 ;c. HJ2 = HI2 + IJ2.

81 1. 32. BC2 = AB2 + AC2 ; AB2 = BD2 + AD2 ; AC2 = AD2 + DC2.

82 CD2 = CA2 + AD2 ; CA2 = CM2 + MA2 ; AD2 = AM2 + MD2.

83 L’élève construit un triangle RST rectangle en T.

84 a. MT = 3,4 cm. b. AB = 7,2 cm.

85 1. À vérifier sur le cahier de l’élève. 2. PF ≈ 6,4 cm.

86 1. À vérifier sur le cahier de l’élève. 2. OF ≈ 4,47 cm.

87 1. FE2 = 28,8. 2. BE ≈ 6,8 cm.

88 1. OH ≈ 2,4 cm. 2. MH ≈ 3,2 cm.3. L’aire du triangle MON est environ égale à 10,4 cm2.

89 BC = 58 m.

90 a. 10,92 = 118,81 et 62 + 9,12 = 118,81.b. 10,62 = 112,36 et 92 + 5,62 = 112,36.

91 a. 142 = 196 et 122 + 52 = 169.b. 82 = 64 et 72 + 2,42 = 54,76.

92 13,62 = 184,96 et 122 + 6,42 = 184,96.Le triangle RST est rectangle en S.

93 142 = 196 et 11,22 + 9,62 = 217,6.Le triangle MNP n’est pas rectangle.

94 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. 5,22 = 27,04 et 22 + 4,82 = 27,04.Le triangle ABC est rectangle en C3. À vérifier sur le cahier de l’élève.4. 7,22 = 51,84 et 52 + 5,22 = 52,04.Le triangle AOB est rectangle en A.

95 1. BE = 2,7. 2. BC2 = 13,54.3. AB2 + BC2 = 33,79 et AC2 = 37,21.Le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exercices d’approfondissement96 1. À vérifier sur le cahier de l’élève. 2. SH ≈ 3 m.

97 1. La taille de l’écran est de 14 pouces.2. L’écran a une hauteur d’environ 26,3 cm. Il ne passera pas sous l’étagère.

98 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.2. 7,52 = 56,25 et 4,52 + 62 = 56,25.

3. EF=

4 53

7 5, ,, EF = 1,8 cm.

99 • 42 = 16 et 1,22 + 3,52 = 13,69.Le triangle ANB n’est pas rectangle.• 42 = 16 et 3,22 + 2,42 = 16.Le triangle AMB est rectangle en M.Les points A, M et B sont équidistants du point O.

100 Les carrés des côtés du triangle sont égaux à : 10, 73 et 64. 73 ≠ 64 + 10. Le triangle n’est pas rectangle.

101 1. SB = 2,8 m. 2. S’B’= 0,7 m. 3. 2,1 m. 4. Environ 8 min

61Chapitre 12 • Le théorème de Pythagore

3  1. Donc π × 8,52 = 72,25 π cm2 et π × 7,52 + π × 42 = 72,25 π cm2.2. π × (a/2)2 = πa2/4, et π × (b/2)2 + π × (c/2)2

= πb2/4 + πc2/4 = π(b2 + c2)/4 = πa2/4.

Devoir à la maison

1  1. à 4. : À vérifier sur le cahier de l’élève.5. La somme des aires de PIRE et LAID est égale à l’aire de PABO.6. c2 = a2 + b2.

2  1. PI = 6 cm2. Les droites (PI) et (A’B) sont parallèles. Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.3. A’B = 12 cm en appliquant l’égalité de Pythagore ou le théo-rème de Thalès.