Démonstration du théorème de Pythagore
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Démonstration du théorème de Pythagore
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Démonstration du théorème de Pythagore. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. b. a. c. c. b. b. a. a. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. c. c. b. b. b. a. a. a. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Démonstration du théorème de Pythagore
Démonstration du théorème
de Pythagore
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
a
cb
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
a
cb
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
a
cb
a
cb
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
cb
a
cb
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
a
cb
a
cb
ac
b
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
c b
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
a
cb
ac
b
a
cb
ac
b
ac
b
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
c b
ac
b
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
a c
b
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
a
cb
a
c b
ac
b
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
ac
b
On obtient deux quadrilatères ABCD de même coté :
A A B
CD
B
CD
a + ba + b
a +
b
a + b
Or si un quadrilatère a tous ses côtés de la même longueur
alors c’est un losange
Donc ABCD est un losange sur les deux figures
Angles droits
a
cb
a
c b
ac
b
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
ac
bA
B
CDC
D
a + ba + b
a +
b
ABCD est un losange et
Donc ABCD est un carré
a un angle droit
Or si un losange a un angle droit
alors c ’est un carré
AB
a
cb
a
c b
ac
b
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
ac
bA
B
CDCD
a + ba + b
a +
b
ABCD est un carré
AB
ac
bI
FG E
H
M
N
R
S
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit.
Donc AGFI est un carré de côté a
De même HFEC est un carré de côté b
a
cb
a
c b
ac
b
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
ac
bA
B
CDCD
a + ba + b
a +
b
ABCD est un carré
AB
ac
bI
FG E
H
M
N
R
S
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit.
Donc AGFI est un carré de côté a
De même HFEC est un carré de côté b
Démontrons que MNRS est un carré
Démontrons que MNRS est un carré
a + b
a
cb
ac
b
CD
R
ac
b a
cb
BA M
N
S
ac
b a
cb
BA M
N
Sa
cb
ac
b
CD
R
S
N
Démontrons que MNRS est un carré
a + b
a
cb
ac
b
CD
R
ac
b a
cb
BA M
N
S
ac
b a
cb
BA M
N
Sa
cb
ac
b
CD
R
S
N
SDR et RCN sont deux triangles semblables
Donc les angles DRS et RNC sont égaux
De même les angles DSR et NRC sont égaux
Démontrons que MNRS est un carré
a + b
a
cb
ac
b
CD
R
ac
b a
cb
BA M
N
S
ac
b a
cb
BA M
N
Sa
cb
ac
b
CD
R
S
N
Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires
Démontrons que MNRS est un carré
a + b
a
cb
ac
b
CD
R
ac
b a
cb
BA M
N
S
ac
b a
cb
BA M
N
Sa
cb
ac
b
CD
R
S
N
Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires
Donc les angles DRS et NRC sont complémentairesDonc les angles DRS et NRC sont complémentaires
Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure 90°
Démontrons que MNRS est un carré
a + b
a
cb
ac
b
CD
R
ac
b a
cb
BA M
N
S
ac
b a
cb
BA M
N
Sa
cb
ac
b
CD
R
S
N
MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit.
Donc MNRS est un carré.
a
c b
ac
b
a
cb
ac
bA
CD
a + b
a +
b
ABCD est un carré
B
ac
bI
FG E
H
AGFI est un carré de côté a
HFEC est un carré de côté b
a
cb
ac
b
ac
b a
cb
B
CD
a + b
A M
N
R
S
Donc MNRS est un carré de côté c
a
c b
ac
b
a
cb
ac
bA
CD
a + b
a +
b
B
ac
bI
FG E
H a
cb
ac
b
ac
b a
cb
B
CD
a + b
A M
N
R
S
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire:
a
c b
ac
b
a
cb
A
CD
I
FG E
H a
cb
ac
b
ac
b
CD
A M
N
R
S
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire :
a
cb
a
cb
c
a
c b
a
b
a
cb
A
CD
I
FG E
H a
cb
ac
b
CD
M
N
R
S
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire :
a
cb
a
cb
cc
a
c b
a
b
a
b
A
CD
I
FG E
H a
cb
D
M
N
R
S
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire :
a
cb
a
cb
c
c
c
a
b
a
b
A
C
I
FG E
H
M
N
R
S
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire :
c
c
c
c
L’aire du carré AGFI est a²
L’aire du carré HFEC est b²
L’aire du carré MNRS est c²
Donc: a² + b² = c²
Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore
a
cb
a² + b² = c²
Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.
