traitement designal analogique

8/13/2019 traitement designal analogique

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Traitement Analogique du Signal( ELE103 )

Christophe OdetProfesseur INSA de Lyon

Hugues Benoit-CattinMatre de Confrences INSA de Lyon

CNAM

2005-2006


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Traitement Analogique du Signal - Christophe2

Objectif, plan et organisation

Matriser le signal analogique et les moyens analogiques(lectroniques) de le traiter

Plan du cours I- Signaux et systmes, Transform de Fourier, corrlation (5h)

II - Rappels de probabilit, signaux alatoires (4h)

III - Filtrage analogique (9h) IV - Modulation analogique (6h)

Organisation 24h de cours

21h de TD (Hugues Benoit-Cattin)

1 interrogation crite intermdiaire Contrle final


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Ressources complmentaires

Travail personnel: 2H par heure de cours ou de TD Bibliographie, ouvrages de rfrence

Association des lves et anciens lves du CNAM Anciens sujet d examen

Polycopis des cours du Professeur B.Fino du CNAM Paris

Ce document disponible en version lectroniquehttp://www.creatis.insa-lyon.fr/~chris/TSanalogique.pdf

Contact avec les enseignants Email, RDV

Site web du cnam : www.cnam.fr

Etc...


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Introduction

Pourquoi traiter les signaux Gnrer, Mettre en forme, Adapter, Moduler, Analyser,

Extraire linformation

Signaux dterministes et alatoires Information et hasard

Bruit et signal utile Fonctions de traitement

Gnrer, amplifier, filtrer, moduler, chantillonner, convertir

Analogique vs. Numrique avantages et inconvnients des deux approches

domaines dutilisation


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I-1 Signaux continus, chantillonns,quantifis, numriques

Signal continu x(t)

Signal chantillonn

Signal quantifi

Signal numrique (chantillonn+quantifi) ex: suite de valeur entire

t

x(t)

][

)(][)(

kx

kTtkTxtxe +

=

Tt

tionquantificadepas

entiertnavectntx

= )(,)()(

,...78,2,34,6,5,3,1...,][ kx


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I-2 nergie et puissance

nergie moyenne normalise

Puissance moyenne normalise

nergie totale

Puissance totale

Signaux nergie finie (signaux rels)

Signaux puissance finie (modles)

= 2

1

)(),( 221t

tdttxttW

= 2

1

)(1

),( 2

12

21

t

tdttx

ttttP

+

= dttxW )(2

= TT dttxTP )(1

lim 2

0=< PW

< WP


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I-3 Signaux utiles

Signe Sgn(t) =t / |t|,-1 pour t0

Echelon unit u(t)=(1+Sgn(t))/2

Rampe

Rectangle ==

t

tutdssutr )(.)()(

)()()(21

21 += tututRect

1

-1

1

-1/2 1/2

1


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Triangle

Signaux de largeur et de position quelconque

Impulsion de Dirac (Thorie des Distribution) Impulsion de largeur nulle et de hauteur infinie ! Ce nest pas un signal physique.

[ ] =

01,1,1)( tttTri

nconvolutiotRecttRecttTri == *)(*)()(

-1 1

1

T

A

t0

)(. 0

T

ttRectA

)(t1


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Dirac: Formules fondamentales

Exercice: dmontrer la formule prcdente

Dirac: Relation avec les signaux usuels

+

+

+

===

===

)()(*)(),()(*)(),()()(

)()0()()(),0()()(,1)(

0000 ttxtttxtxttxtxtttx

txttxxdtttxdtt

...)(1

lim)(1

lim)(

)21()

21()(

)()(

),()(

00===

+=

==

T

tTri

TT

tRect

Tt

ttdt

tdRect

tdt

tduunitchelontudvv

TT

t

)(2

1)()(

1)( ft

aat

==


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Exercices:

Reprsenter

Reprsenter

Montrer que

Calculer et reprsenter

Montrer que (T. de Fourier)

Montrer que

)( KT

tTri

)(*)()(.T

tRect

T

tRect

T

tTriT =

)(*)( 00T

ttRect

T

ttRect

+ = dtftjtRectfSinc )2exp()()(

)( 0T

ttTri

+

= dfftjfftfj )2exp()()2exp( 00


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Exercices: Quelle est la rponse impulsionnelle h(t) d un SLI tel que

s(t)=e(t) ?

Soit un SLI de rp. Imp. h(t)=Rect(t). Calculer la sortie pour uneentre e(t)=Rect(t).

Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d entre estu(t) chelon unit. Que vaut la sortie s(t)? En dduire etreprsenter la rponse impulsionnelle du circuit RC.


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Fonction de transfert H(p) transforme de Laplace de la rponse impulsionnelle

H(p) est en gnral une fraction polynomiale Stabilit si les ples de H(p) sont partie relle ngative

donc situs dans la partie gauche du plan de Laplace

Exercices: tudier les fonctions de transfert suivanteset si possible, dterminer la rponse impulsionnelle

32

1)(

2

1)(

22

1

++

=

+=

pp

ppH

ppH

54

1)(

)1)(2(

1)(

24

3

++=

++=

pppH

pppH


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I-5 Analyse harmonique Transforme de Fourier

Soit un signal x(t) de dure T respectant lesconditions de Dirichlet

En dehors de la dure T, le signal est priodis:Dcomposition en srie de Fourier

Remarque: si x(t) est rel (*:conjugu)

Puissance moyenne

=

=+

Tn

n

dtT

tnjtxTX

T

tnjXtx

)2exp()(1

)2exp()(

Dcomposition d un signal enune somme de fonction sinus et cosinus

Spectre de Raies sparesde 1/T

*

nn XX =

+

= 22

)(1

nT

XdttxT


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Quand

C est la Transforme de Fourier (T.F.) directe et inverse

X(f) est en gnral complexe: module, phase,reprsentation de Bode , reprsentation vectorielle

Exemple:

T

+

+

==

dfftjfXtx

dtftjtxfX

)2exp()()(

)2exp()()(

)()( fXtx F

)()( fSinctRect F

-1/2 1/2

1


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Proprits et formules utiles

)()()()(

)(1

)(

)(*)()()2exp()(

)2exp()()(

)(*)()()(

)()()(*)(

)()2()(

)()()()(

)()(

000

00

**

fxtXalorsfXtxsi

a

fX

aatx

fffXffXtfjtx

ftjfXttx

fYfXtytx

fYfXtytx

fXfjdt

txd

fbYfaXtbytax

fXtx

FF

F

F

F

F

F

nF

n

n

F

F

=

++

Linarit

SLI, filtrage

Modulation

Thorme du Retard

Modulation

Compression/dilatation


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Cas trs courant: Module de X(f) pair, phase impaire

Partie relle de X(f) paire, partie imaginaire impaire

Exemple/exercice Calculer et reprsenter (module et phase) la T.F. de Rect(t-1/2)

)()()( * fXfXrelesttxsi =

Module |X(f)| Phase Arg(X(f))


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T.F. des signaux usuels (exercices)

)2/(12/)()(

)/(1)Sgn(

)()2exp(

)2exp()(

)(1

1)(

))()((2

)2(

))()((2

1)2(

)()(

)()/(

)()(

00

00

000

000

fjftu

fjt

fftfj

ftjtt

f

t

ffffj

tfSin

fffftfCos

fRecttSinc

TfTSincTtRect

fSinctRect

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

+

+

++


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I-6 Rponse en frquence des SLI

La rponse en frquence d un SLI est la transformede Fourier de la rponse impulsionnelle

H(f) gain en frquence, module, phase, diagrammede Bode ( en dB 20log(|H(f)| )

e(t) s(t)h(t)

)()()()(*)()(

)()()()(

)()(

fHfEfSthtets

fHthfSts

fEte

F

F

F

F

==


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Exercice Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d entre

est Rect(t-1/2). Que vaut le gain en frquence H(f)?

En dduire spectre S(f) du signal de sortie s(t).

Pour RC=0.1, reprsenter rapidement le signal de sorties(t)


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Relation entre Fourier et Laplace Fourier = axe imaginaire du plan de Laplace

Exemplefjp

pHfH2

)()(=

=

1

1)(

2

++

=

pp

pH

2

3

2

1,

2

3

2

1: jjples +

)()(

fHpH


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I-7 Corrlation de signaux transitoires( nergie finie)

Produit scalaire, inter-corrlation

Interprtation: orthogonalit

Signaux rels

)(

)()()(),()(

*

**

=

+=+= +

yx

xy

C

dttytxtytxC

)(

)()()(),()(

=

+=+= +

yx

xy

C

dttytxtytxC

0=xy

C

relle


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Autocorrlation x(t)=y(t)

nergie

Fonction paire si x(t) est rel

Ingalit de Schwarz La fonction d autocorrlation est maximale en =0

)(

)()()(),()( **

x

xx

Cnot

dttxtxtxtxC +

+=+=

)()( =xx

CCxx WxxC == ,)0(

*

)0()( xx CC

)10(.10)10( .

tTri

tRect AutoCorr


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Autocorrlation d un bruit

Relation avec la convolution

Implantation de la corrlation par filtrage (SLI), filtre adapt

)(*)()( * yxCxy =

y(t) s(t)=Cxy(t)h(t)=x*(-t)


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Densit spectrale d nergie (DSE)

nergie

DSE relle, positive ou nulle, indpendante de la phase

Exemple/exercice

2)(

)2exp()())(.(.)(

fX

dtftjtCtCFTfDSE xxx

=

== +

+

+

===

=

dffDSEdttxCW

en

xx )()()0(

0

2

)()( 20 fSincttRectDSE


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SLI, corrlation et DSE

Filtrage

Identification

Bruit blanc en entre, identification par intercorrlation entre

sortie

e(t) s(t)

h(t)

)()()(

)(*)(

)(*)(*)(*)()(*)()(

2

fDSEfHfDSE

tCtC

thtethtetststC

es

eh

s

=

===

)(*)()(*)(*)()(*)()( tCthtethtetstetCees

===

)()()()( thtCttC ese ==


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II - Rappels de probabilits. Processus etsignaux alatoires

Frquence relative, probabilit

Probabilits combines

Probabilits conditionnelles, indpendance

Variables alatoires, fonction de rpartition, densit deprobabilit

Moments statistiques, moyenne, variance Corrlation et covariance

Processus alatoire

Stationnarit, ergodicit

Densit spectrale de puissance

Filtrage des processus alatoires


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II-1 Frquence relative, probabilit

N expriences, vnement A ralis M fois: Frquence relative

Probabilit

Exemple: 10 jets de d 6 face: 1,5,3,4,2,5,6,5,3,4F(1)=1/10 F(2)=1/10 F(3)=2/10

F(4)=2/10 F(5)= 3/10 F(6)=1/10

Intuitivement (d non pip!) Prob(i)=P(i)=1/6 Valeur non dmontrable, souhaite, jamais ralise exactement

(sauf par hasard), valeur moyenne des frquences relativesparamtres statistiques du processus alatoire associ

MAF =)(

1)(0,lim)( =

AProbN

MAProb

N

=

=6

1

1)(i

iF


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II-2 Probabilits combines

vnements s excluant mutuellement P(A B)=P(A ou B)=P(A)+P(B) ex: jeu de d: P(1 2 3 4 5 6) = 6 x 1/6 = 1

vnements non disjoints, non exclusifs

AB= P(A B)=P(A)+P(B)-P(A,B)P(A,B)=P(A B) A et B en mme tempssi AB=0 P(A,B)=0

ex: P( pair ou >4) ? Par numration complte (souvent irralisable)

P(2 ou 4 ou 5 ou 6)=2/3

P(Pair)+P(>4)-P(Pair et >4)= 1/2 + 2/6 - 1/6 = 2/3


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II-3 Probabilits conditionnelles,indpendance

vnements A et B non exclusifs, N expriences,A se produit M(A) fois, B M(B) foiset A et B ensembles M(A,B). F(A)=M(A)/N

F(B)=M(B)/N

F(A et B)=M(A,B)/N M(A,B)/M(B) = frquence d apparition de A lorsque B est

aussi ralis

A la limite P(A/B)=P(A,B)/P(B)ProbA sachant B

Thorme de Bayes: P(A,B)= P(A/B)P(B)= P(B/A)P(A)


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Ex: Jeu de d: P(2/pair) ? (intuitivement 1/3)P(pair)=1/2, P(2,pair)=P(2)=1/6

P(2/pair)P(pair)=P(pair/2)P(2)=P(2,pair)

P(2/pair)=(1/6) / (1/2) = 1/3 P(pair/2)=(1/6) / (1/6) = 1 (Trivial !)

Prob(A1, A2,... AN)

=Prob(A1).Prob(A2/ A1)Prob(AN/ A1... AN-1)

vnements indpendantsP(A/B)=P(A) et P(B/A)=P(B)P(A,B)=P(A)P(B)


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Votepour A

Votepour B

Population 1 0,459 0,441Population 2 0,051 0,049

Exemple:

P(vote A)=0,459+0,051 = 0,51P(vote A/pop.1)=P(vote A et pop.1)/P(pop.1)

=0,459/(0,459+0,441) = 0,51

donc P(vote A) = P(vote A/pop.1) donc indpendance.

Le vote pour A

ou B dpend ilde la population ?


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II-4 Variables alatoires, fonction derpartition, densit de probabilit

Valeurs dpendant du hasard, loi de probabilit =distribution dfinie par: fonction de rpartitionF(x)

densit de probabilitp(x)

Fonction de rpartition: variable alatoire X F(x)=Prob (X x) , fonction non dcroissante F(-)=0, F(+ )=1

Densit de probabilit

==


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Variable alatoire discrte (VAD) valeurs distinctes en nombre fini ou dnombrable

Fonction de rpartition en escalier,

Densit de probabilit en Diracs

ex: jeu de d

Exercice: somme de deux ds

1 2 3 4 5 6

1

1/6

F(x)

1 2 3 4 5 6

1/6

p(x)

x x


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Variable alatoire continue (VAC) ex: Loi normale, Gaussienne

Densit de probabilit Fonction de rpartition

e

( )( )x 3 2

p(x)=

+1

2( )erf x 3

1

2


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Histogramme, estimation de la densit de probabilit p(x)

vnement se produitM(xi,x) fois en

N expriences Densit de probabilit estime (VAD ou VAC approche par une VAD)

22

xxx

xx

ii

+

xxxpN

xxMavecxxp i

ii =

).,(~

),(),(~

N

xxMx

xx

x

xProbdxxpi

Nii

xx

xx

i

i

),(

lim)22()(2

2

=

+

=

+

x

x

xi

),(~ xxp i


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II-5 Moments statistiques, moyenne,variance

VAD valeur moyenne exprimentale

Esprance mathmatique = moyenne statistique

VAC

N

Nx

N

Nx

x iii

i

i

i

ii

==La valeurxi est apparue

Nifois surN expriences

===

i

iiN

x xProbxxXE )(.lim)(

+== dxxpxXEx )(.)(


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Moments d ordre n

Moments centrs

Valeur quadratique moyenne mx,2

Variance

cart-type (dviation standard)

Ingalit de

Tchebycheff

))((,,n

nxnx XEmcm ==

)(,n

nx XEm =

====

+

i

ii

xx

VADxprobx

VACdxxpxXEm

)()()(

)()()())((

2

22

2,

2

x 22

2, xxxm +=

2

2

2

2

)(

1)(

xx

x

xx

Xprob

Xprob

+


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Fonction f(X) d une variable alatoire X

Exercices Moyenne et variance du jeu de d

Calculer moyenne et variance de la loi normale Rappel

Moyenne de la somme de deux ds

)()()(

)()()())((

VADxprobxf

VACdxxpxfXfE

i

i

n

i

nn

==

+

2

2

)(

2)(

2

2

sexp

s

mx

=

)(2

0

2

xerfdte

x

t =


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Signal gaussien (loi normale)moyenne m=0 (volt)cart-types=1 (volt)

Probabilit que le signaldpasse 2 (volt) ?

2)(

2

)( 2x

exp

=

[ [ ] ]

)2(1)2(

)()(),22,(2

2

FF

dxxpdxxpxprob

+=

+= +

9545.0)2(

)1)2((2

1)(,

2)( 2

2

)(2

2

=

+

==

erf

s

mxerfxF

s

exp

s

mx

0,0455(environ 1/20)


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Signal sinusodal phase alatoire

u variable alatoire uniformment rparti en 0 et 2densit de probabilit

Rappel: moyenne temporelle nulle et variance temporelle a2/2 ( Valeurefficace au carr)

moyenne et variance de x(t) au sens statistique

00 1)2sin(.),( fTutfautx =+=

[ [

2,0,2

1)( = uup

=+==

=+==

+

+

2

0

2

02

2

22

2

0

0

2)2(cos2)()),((

0)2cos(2

1)(),(

aduutf

aduuputx

duutfaduuputx

==

TT

dtmtxT

dttxT

m0

22

0

))((1

)(1


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II-6 Corrlation et covariance

Variables alatoires X et Y

Statistique du second ordre, moments conjoints Corrlation statistique

Covariance

Indpendance Coefficient de corrlation

d-corrlation si

relation linaire entre X et Y si

Somme de deux variables alatoires Z=X+Y

=

==

),(

),(..)(

iiii

xy

yxprobyx

dxdyyxpyxXYER

yxxyyxxy RYXEC == )))(((

)()(),(,0 ypxpyxpCxy ==

11 =yx

xy

xy

C

0=xy1=xy

xyyxz C2222 ++=


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II-7 Processus alatoire

Ensemble de signaux dpendants de (au moins)

deux variables u dpend des lois du hasard

Description d un processus alatoire par des lois deprobabilit

{ }),( utxX=

u1

u2

u3

t

t1 t2


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Variables alatoires

Fonction de rpartition, densit de probabilit,

moyenne, varianceau sens statistique.(a ne pas confondre avec les mmes notions temporelles sur un signalparticulierx(t,ui)

Statistiques d ordre 1: loi de probabilit del amplitude d un signal l instant ti.

Statistiques d ordre 2: loi de probabilit conjointesdes amplitudes d un signal deux instants ti et tj fonctions de rpartition conjointe, densit de probabilit

conjointe, corrlation, covariance...

Fonction d autocorrlation statistique

Fonction d autocovariance

),().....,(),,( 21 utxutxutx i

))()((),( 2121 tXtXEttRx =

)()(),(

)))()())(()(((),(

2121

221121

ttttR

ttXttXEttC

xxx

xxx

==


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Signal sinusodal phase alatoire

0

0

1

)2sin(.),(

fT

utfautx

=+=

t1 t2

))(2cos(2

))2)(2(cos(

2

1))(2cos(

2

1

))2)(2cos(2

1))(2cos(

2

1(

))2sin()2sin((

),(),(

120

2

120120

2

120120

2

1010

2121

ttfa

uttfEttfa

uttfttfEa

utfautfaE

ttRttC xx

=

++=

++=

++=

=

Rem: Dpend de t2-t1


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II-8 Stationnarit, ergodicit

Stationnarit: invariance temporelle des propritsstatistiques Stationnarit au sens large

valeur moyenne et fonction dautocorrlation invariantedpendante de l cart =t2-t1

Ergodicit: proprits moyennes temporellesgales au proprits statistiques

2

21

21

)()(),(

)(),(

xxxx

xx

RCttC

RttR

===

+

====2

2

)(1lim)()(.)(

T

TT

xdttx

TtxdxxpxXE


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Ergodicit(suite) Puissance

Variance = valeur efficace au carr

Auto corrlation

Consquence pratique tude statistique = tude temporelle

Stationnarit et ergodicit sont souvent supposes vraiessur une certaine dure

voir proprits de l autocorrlation dans le chapitre I

22 )()( txPXEx==

+=+= TTx dttxtxtXtXER )()(lim))()(()(


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II-10 Densit spectrale de puissance Comportement frquentiel des processus alatoires

( puissance finie) Densit spectrale de puissance

Dans la pratique, estimation

Thorme de Wiener-Khintchine

Voir les notions correspondantes pour les signauxdterministes.

=

T

TfXEfDSP

i

Tx

2),(lim)(

),()().(),( . TfXT

tRecttxTtx i

FourierT

ii =

=

=N

i

i

x T

TfX

NfDSP

1

2

),(1)(~

)()( . fDSPR xFourierT

x


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Bruit blanc

DSP constante

X(t1) non corrl avec X(t2) pour t1 diffrend de t2 Bruit blanc bande limite

Puissance

)()()(1

ARAfDSPTF = =


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II-11 Filtrage des processus alatoires

Action dun oprateur g sur un processus alatoire X

Y=g(X) px(x) densit de probabilit de X

Exemple: signal sinusodal phase alatoire ( t=0)

==

=

k

k

xx

kxy xgyderacinesxavec

dx

xdg

xpyp

k

)(,)(

)()(

[ [ 21)(,,),sin()( === xpxxaxgyx

1),arcsin(1: xa

yxRacines =

)(sin1)cos(

)( 2

xaxadx

xdg

==

22

1)(

yayf

y

=

.../...


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SLI et DSP

Exemple: bruit blanc filtr par circuit RC fc=1/(2RC)

X(t,u) Y(t,u)h(t)

)()()()(*)()( 2

fDSPfHfDSPtCtCtC xyxhy ==

2

)(1

1)(

cf

ffH

+

=2

1

)(,)(

+

==

c

yx

ff

AfDSPAfDSP

A

X(t) Y(t)

0 50 100 150 200-4

-2

0

2

4

0 50 100 150 200-4

-2

0

2

4

III - FILTRAGE ANALOGIQUE


54/150


III FILTRAGE ANALOGIQUE

Avant-propos: relations de Bayard-Bode

Gnralits sur le filtrage Les tapes de la ralisation d un filtre

Modlisation des filtres

Filtre idal

Fonctions de rponse normalises du 1er et du 2nd ordre

Transposition des fonctions de rponse

Fonctions dapproximations

Synthse des filtres analogiques

Structures de filtres actifs

Exemple complet de calcul dun filtre

Introduction aux problmes de sensibilit

III-1 Avant propos: relations de Bayard-Bode


55/150


III-1 Avant propos: relations de Bayard-Bode

signal rel causal dtermin par sa partie paire ou impaire

Transforme de Fourier signal rel causal partie relle paire, partie imaginaire impaire

02

)()(,

2

)()(

00)(

2

)()()(,

2

)()()(

)()()(

==


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TF inverse

partie imaginaire nulle

Re(f) paire et Im(f) impaire

Relation entre Re(f) et Im(f): Bayard-Bode

Relation entre module et phase

Filtres spcifis par le gain (module) en frquence

( )

)()(

)2sin()Im()2cos()(

)Im()()( 2

tftf

dfftfdfftfRe

dfefjfRetf

IP

ftj

+=

=+=

====00

)2sin()Im(4)2cos()(4)(2)(2)( dfftfdfftfRetftftfIP

=

=

0

22

0

22

)(2)Im(,

)Im(2)( dy

yf

yReffdy

yf

yyfRe

III - 2 Gnralits sur le filtrage


57/150


g

Oprations Multiplication en temps, Convolution en frquence :

chantillonnage, fentrage, modulation

Convolution en temps, Multiplication en frquence: filtrage

Filtrage Sparer, modifier, liminer, amplifier, attnuer

les composantes frquentielles d un signalen module et/ou en phase

Intervalles de frquences limines: Bandes coupes BC

Intervalles de frquence conserves:

Bandes passantes BP Intervalles intermdiaires :

Bandes de transition BT f

H(f)

BP BT BC1

0

Synthse de filtre


58/150


Synthse de filtre En fonction d une rponse frquentielle souhaite (gabarit),

construire un circuit qui possde cette rponse

Circuits (LC, RC..) passifs Filtres actifs utilisant des lments amplificateurs

Simulation de filtre LC avec composants actifs Gyrateurs, NIC,

Filtres capacits commuts intermdiaires entre le numrique et l analogique

Filtres numriques

?

Gabarit

f

|H(f)|+

C

CR

2R1

V

e

Vs+

Les tapes de la synthse d un filtre


59/150


Les tapes de la synthse d un filtre Cahier des charges, spcifications de filtrage, gabarit

module, phase, rponse impulsionnelle, indicielle

Approximation: Calcul de la fonction de transfert respectantle gabarit

normalisation, transposition, optimisation, calcul de l ordre.

Choix d une structure lectronique

Calcul des composants, calcul de sensibilit

Simulation du circuit

Cblage, test

Il est souvent ncessaire de revenir en arrire pourobtenir un rsultat satisfaisant

Ces tapes sont ralisables +/- automatiquement par

des outils logiciels (utilisez les!)

III - 3 Modlisation des filtres


60/150


Filtre (linaire) = systme linaire invariant Fonction de transfert, gain en frquence

Affaiblissement

e(t) s(t)h(t)

)()()(

)()(,2,

)(

)()( fjefH

fE

fSfHfjp

pE

pSpH ====

))(log(20)(,)(

1

)(

)()( fHGainAfffA

fHfS

fEfA dBdBdB =====

Gabaritd affaiblissement

f

A(f)dB

Proprits de H(p), H(f)f i ll d d l ffi i l


61/150


fraction relle de deux polynmes coefficients rels

ples et zros de H(p) sont rels ou par paires complexesconjugues

ples partie relle strictement ngative (partie gauche du plan deLaplace) pour stabilit

En analogique, degr du numrateur infrieur ou gal au degr dudnominateur

Dans le contexte temporel, relation de Bayard-Bode valables, filtre

causal rel

Rponse en frquence continue, pas de passage brusque de labande passante (BP) la bande coupe (BC)prsence obligatoire de bandes de transition (BT) progressives

f

H(f)

BP BT BC1

0f

H(f)

BP BC1

0

Zros d affaiblissement dBfAf 0)(/ =


62/150


Zros d affaiblissement

Ples d affaiblissement zros de transmission,

zros de H(p) imaginaires purs

Forme gnrale pk: ples

zn

: zros

K facteur d chelle (gain) rel

En gnral, on choisit K tel quil y ait le maximun de zrosd affaiblissement (gain =1 (0dB)) car la sensibilit des filtresaux variations des composants est nulle aux zrosd affaiblissement (thorme).

Degr du dnominateur=ordre du filtre

dBfAf idBi 0)(/ =

0)(

)(/

=

j

jdBj

fH

dBfAf

=

k

k

n

n

pp

zp

KpH)(

)(

)(

Filtre elliptique passe-bas,

+.2542p2 .3938

3 2H(p)=


63/150


ordre 3, BP 3dB, BC 20dB,fc=0.16

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1-0.5

0

0.5

1

Real Part

Im

aginaryPart

Plan de Laplace, ples (x) et zros (o)

|H(f)|

+ + +p3 .591p2 1.0031p .3938(p)

AdB(f)

GaindB(f)

Zros 0.0000 + 1.2446i

0.0000 - 1.2446iples -0.0842 + 0.9617i-0.0842 - 0.9617i-0.4226

k = 0.2542

Synthse en cascade (filtre actifs)


64/150


filtre d ordre N pair: N/2 cellules d ordre 2

filtre d ordre N impair : N/2 cellules d ordre 2, une cellule

d ordre 1

Problme de l ordre des cellules ?

Problme de la rpartition des ples et des zros danschaque cellule ?

Synthse additive par dcomposition en lmentssimples peu utilise en analogique

01

01

12

0 0,1,

2

2,

0,1,

2

2,.)(

dpd

cpc

apapa

bpbpbpH

N

k kkk

kkk

++

++++

=

=

Cellule

ordre 2

Cellule

ordre 2

Cellule

ordre 2

Cellule

ordre 1

III - 4 Filtre idal


65/150


Peut -on raliser un filtre passe-bas idal ?

Rponse impulsionnelle non causale, bande de

transition de largeur nullefiltre idal irralisable

Filtre non idal: approximation du filtre idal

dphasage non nul

Oscillations (Sinc(t)), dues la transition raide, gnantes Besoins rels moins draconiens pour les applications

)2()(c

f

fRectfH = -fc 0 fc f

H(f)1

)2(2)( tfSincfth cc=

III - 5 fonctions de rponse normalisesf2


66/150


Normalisation de H(p) dans les formules, apparat systmatiquement une pulsation

particulire caractristique p

s : variable de Laplace normalise

: pulsation ou frquence normalise, SANS DIMENSION

La forme normalise permet de travailler sur une expressionINDEPENDANTE des frquences relles (de coupure,)

Exemple: circuit passe-bas RC, fc=1/2RC

Tous les passe-bas du premier ordre ont les mmes fonctionsde transfert et rponses en frquence NORMALISEES

fjrjrp 2+=+=

+=+=+== jr

f

fj

rj

rs

p

pppppp

+=

+=

+==

+=

jH

ssH

ppH

RCRCppH

p

p1

1)(,

1

1)(,

1

1)(,

1,

1

1)(

Fonction du premier ordre (passe-bas) sH =1

1)(


67/150


p (p ) ple s=-1 (p=-wp)

Diagramme de Bode (asymptote -6dB/octave, -20dB/dcade)

-3dB =1 (=p)

s+1)(

|H()|chelles linaires7,0

21

Module(dB)

Phase(radians)

/4

/2

3

Rponse impulsionnelle normalise


68/150


Rponse impulsionnelle dnormalise

= euhsH inverseLaplaceT )()()( .

t

p

inverseLaplaceT petuthpH

= )()()( .

p

1/pconstante de temps

t

III - 6 Transposition des fonctions de


69/150


rponse

Passe-bas Passe-hautPasse-bandeRjecteur/coupe-bande

Simplifier les procdures de calcul des filtres

L tude des filtres passe-bas est suffisante

Transposition passe-bas/passe-haut Symtrie (en chelle log) autour du point

est en gnral situ dans la bande detransition

p

p

jjj

js

s

,1

,1

p== ,1

p== ,1

Exemple: Fonction du premier ordre


70/150


p p

p

p

j

j

j

j

s

s

ss

+

=

+

+

=

+

+ 11,

111

1

1

1

Exercice: Fonction passe-haut du second ordreV ifi tt f ti d


71/150


481

4)(2

2

pp

ppH

++=

Vrifier que cette fonction correspondbien un passe-haut

Tracer rapidement la module de la

rponse en frquence (voir ci-dessous)Choisir la pulsation p et normaliser la fonctionTransposer la fonction normalise pour obtenir

une fonction passe-basVrifier que la fonction obtenue a un

comportement passe-bas

Transposition passe-bas/passe-bandeDcalage de =0 en =1


72/150


Dcalage de =0 en =1

B = bande passante relative ( 3dB), p frquence centraledu passe-bande

)(),1

(),1

(1

p

pB

jj

B

jj

s

s

B

s

+

1 p 2

)3(2

1dB

pp

f

ffB 1212

=

=

Fonction du premier ordre


73/150


22 1,

11

1

+

++

+ jBjB

sBs

Bs

s

10

5

1

==

=

B

B

B

dB

! Ordre x 2

Transposition passe-bas/coupe-bande


74/150


Ex: premier ordre

1)1(1

12

+

=

+

s

sB

ss

B

s

2

2

2

2

1

1,

1

1

1

1

+

+++

+ jBBss

s

s

dB10

5

1

=

==

B

B

B

Gain nul pour =1

III - 7 Fonctions dapproximationsF i d i d


75/150


Fonction du premier ordre voir tude prcdente

Fonction du 2eme ordre Q coefficient de qualit,

ou de surtension

z, coefficient d amortissement

s+11

zQ

d

sdssH

21

11)( 2

==

++=

21

1

)( += jdjH 1)2(

1)(

224 ++=

djH

)1

())((2

=

dArctgjHArg

7.02

1,2

2100

)( 2>

=

==

2

2

4

11

41

1)(

1)0(

)1(

==

jH

jQjH

Fonction du 2eme ordre (suite)


76/150


QHQdSi MM >>>ArgjH ,1)(,1

2

Asymptote -40dB/dc.

dB

3,2,5.0,1.0=d

Fonction du 2eme ordre (suite)Phase


77/150


Phase

Rem: si d>2, H(s) quivalent deux filtres du premierordre en cascade. Ce nest plus un VRAI 2eme ordre!

3,2,5.0,1.0=d

)(

1

)(

1

)(21 = sssH 21

1

=coupuredepulsations

Fonction du 2eme ordre (suite)P h t


78/150


Passe-haut:

symtrie des courbes

prcdentes par rapport =1

Passe-bande:

A faire en exercice et voir transp.73

2

2

1

)(,1

sds

ssH

s

s

++

=

21)(

sds

dssH

++=

dB

3,2,5.0,1.0=d

Fonction de Butterworth1


79/150


filtre d ordre n

on montre: H(s) ples sur le cercle unit

nn jH

2

1

1)(

+

=

niinn

js iiii ,1),12(2

),sin()cos( =+=+=

2/,1),cos(2

,1

1

1

1)(

,1

1)(

2/)1(

12

2/

12

nid

impairnpoursdss

sH

pairnpoursds

sH

ii

n

i i

n

i i

==+++

=

++=

=

=

Fonction de Butterworth (suite)


80/150


Fonctions passe-bas H(s)

n=1

2

3

4

Pente -n20db/dc.

-3dB

322

2

2211

11

113

21

12

1

11

ssssssn

ssn

sn

+++=

+++=

++=

+=

Choix de l ordre n dun filtre de Butterworth Gabarit passe-bas normalis daffaiblissement:

ATTENTION l b d it 3dB 1


81/150


ATTENTION: la courbe doit passer par 3dB =1 4 paramtres

Abp,Abc bpbc

Il faut respecter: f

A(f)dB

Abp

Abc

bp bc

nN

A

A

bcn

bc

bpn

bp

+

min

210

210

)1

1(log20

)1

1(log20

K

Exemple: 1dB, 40 dB, 0.8, 2

/ 6.64


82/150


Mauvais choix de bp et bc ? Dans la pratique, seul le rapport (slectivit)k=bp/ bc intervient

ex: 0.872, 2.18 5.9


83/150


Les pulsationsbp et bc doivent tre places correctement (dansla plage de rglage disponible).

Pour l exemple, on obtient n=5,76. On choisira donc n=6.

)/1log(2

)110log()110log(

kn

=

Autres fonctions d approximation


84/150


Filtres polynomiaux:

Butterworth slectif, optimisation de la rponse en amplitude

Legendre (Papoulis) Trs slectif, avec attnuation continment dcroissante

Chebychev Les plus slectifs, ondulation dans la bande passante

Bessel (Thomson) Peu slectif, optimisation de la rponse en phase

Filtres elliptiques (Cauer) Prsence de zros de transmission dans la bande coupe, encore

plus slectif que Chebychef, mais attnuation limite en bandecoupe

Filtres de Chebychev Ondulation dans la bande passante ( ER :Equal Ripple filters)


85/150


Ondulation dans la bande passante ( ER :Equal Ripple filters)

Polynmes de Chebychev

Exemples: n=3 et n=4, b=1

)(1

1

)( 22 += nn

TbjH

2110 2,,1 === nnn TTTTT

21

1

b+

dB

Filtres de Chebychev (suite) on montre: ples situs sur une ellipse dans le plan de


86/150


on montre: ples situs sur une ellipse dans le plan deLaplace

La fonction de transfert H(s) dpend de l ordre n ET de b(b dfinit londulation en bande passante)

ex: b=1 ondulation de 3dB en bande passante

ex: H(s) pour n=2 et 3, pour 1 dB d ondulation

Tables (techniques de l ingnieur,)

Logiciels (Matlab,)

)0058.14971.01)(0235.21(

1

907.09957.01

1

2

2

sss

ss

+++

++

Filtres de Cauer prsence de zros de transmission dans la bande coupe

coupure trs raide, bande de transition troite, forte slectivit


87/150


coupure trs raide, bande de transition troite, forte slectivit

comportement de Chebychev dans la bande passante

maisralisation et rglages dlicats Fonction de transfert de base d ordre 2:

Gain (asymptote) en BF : b/c

Gain (asymptote) en HF : a

Passe-haut (b/ca) Zros de transmission (gain nul, attnuation infinie)

Dnominateur: rsonance environ m=1 (cf. tude du 2nd ordre) Grande slectivit pour mais avec d faible (risque

dinstabilit) et (faible diffrence entre BP et BC)

On peux tudier la forme simplifie avec c=1, a=1 (passe-hautavec ba)

cdss

bassH

+++

=2

2

2 )(

a

b=

mba

a=0.1 , b=1 , d=1 a=0.9, b=1, d=0.2


88/150


a=1, b=0.1, d=0.9 a=1, b=1, d=0.2

Filtres de Cauer (suite) Ordre > 2 : mise en cascade (produit) de N fonctions dordre 2

2


89/150


=

++

+

=N

i

mimi

i

pd

p

p

pH1

2

2

2

2

1

1

)(

mi

i

: Zros de transmission dans la BC

: Position approximative des maximas dans la BP

1221 mm

a

p

...

2211 === mmap

Fonctions passe-tout Module |H(f)|= 1, action sur la phase


90/150


)1

(21

1)(

)(21

1

)(

22

2

2

1

=+++

=

=+

=

b

aarctgphase

bsas

bsassH

arctgphases

s

sH

III - 8 Synthse des filtres analogiques


91/150


Obtenir le circuit lectronique ralisant une fonctionde transfert donne

Critres de choix Domaine de frquence

Cot, nombre de composants, prcision

stabilit sensibilit aux variations de valeurs des composants

Dynamique

Amplification ncessaire

Impdances dentre et de sortie

Solutions Filtres passifs

LC HF Q l diffi il bt i BF


92/150


LC, en HF, Q lev difficile obtenir en BF

RC, ples rels, pas de surtension donc pas de forte slectivit

Filtres actifs Prsence d lments amplificateurs

Utilisation en BF (limite de bande passante des composants)

Source d nergie ncessaire

Dynamique limite (saturation) Structures

Classique amplificateur contre-ractionn

Simulation de LC (NIC, Gyrateurs,.)

Filtres a capacits commutes

Fonctionnement chantillonn Structure de filtres actifs classiques

III - 9 Structures des filtres actifs


93/150


Filtres RC actifs (pas d inductance)

H(p) : fraction de deux polynmes d ordre N et M

Factorisation des polynmes

Regroupement des ples et zros complexesconjugus en fonctions du second (et premier) ordre

M

M

N

N

papapa

pbpbpbbpH

++++++++

=...1

...)(

2

21

2

210

=

=

=

1

0

1

0

)(

)(

)(M

j

j

N

i

i

pp

zp

pH

== ++++

k

k

kpapaa

pbpbb

pHpH kkkkkk )()( 2210

2

210

Hk(p): fraction de polynmes de degr 2 coefficients rels

Synthse en cascade (voir III-3)


94/150


Problmes d impdance d entre et de sortie des

structures lectroniques en cascade Filtres actifs en tension (cellule transfert de tension)

impdances dentre forte

impdances de sortie faible

Filtres actifs en courrant impdance dentre faible

impdance de sortie forte

Filtres passif Adaptation d impdance Ze=Zs

Transfert de puissance

ZeZs

Structure/cellule biquadratique

valeurs de a,b,c : passe-bas, passe-haut, passe-bande,1

)(2

2

++++

=dss

cbsassH


95/150


, , p , p , p ,rjecteur (coupe-bande)

Ralisation de la structure biquadratique Structures universelles

Passe-bas, passe-haut, par choix/rglage des valeurs descomposants et/ou choix de la sortie du montage

Delyannis-Friend, Fleisher-Tow, rseau variable dtat

Structures 1 amplificateur (oprationnel) A contre-raction simple de Rausch, ou contre-ractions multiples

de Sallen et Key, ou source contrle

convertisseur d impdance (NIC) (gnralement deuxamplificateurs)

Simulation dinductance, gyrateur etc.(autres solutions moins intressantes)

Exemple de cellule universelle simulation de H(s) par intgration

C


96/150


a,c,d>0

ad>b (sauf pour passe-bande)

Passe-bas: a=b=0, enlever R2 et R3 Passe-haut: b=c=0, enlever R1

Passe-bande: a=c=0, enlever R1 et R3et R2=R/b

-

+

-

+

-

+

R R

R/d

R RC

C

R1=R/c R 2=R/(ad-b) R3=R/a

ue

us

1)(

)(2

2

++++

=dss

cbsas

su

su

e

s

1)()(

2 ++=

dssbs

susu

e

s

Structure contre-raction simpleZ1(s) Z2(s)

)(sZ


97/150


Z1 et Z2 quadriples complexes dfinis par leur trans-rsistance (Is/Ve) en sortie court-circuite

Sur la borne - de l ampli-op (parfait) , courant nul, donc:

Is(s) pour Z1 = - Is(s) pour Z2

-+

)(

)()(

1

2

sZ

sZsH =

Is

Ve )()()(

sIsVsZ

s

e=

)(

)(

)(

)()(

1

2

sZ

sZ

sV

sVsH

e

s ==

Exemple/exercice:C2


98/150


Structure de Sallen et Key

-

+

RR RR C1C1

2212221

1)(

pCCRpRCpH

++=

Z2

Z4

Z3Z1

K

)())1(()( 431243142

ZZZZZKZZ

ZKZpH ++++=

-+

R1 R2

1

21R

RK +=


99/150

Structure de Rausch (contre-ractions multiples)Admittances Yi


100/150


ex: Y1=1/R1,Y2=C2p,Y3=1/R3,Y4=1/R2,Y5=C1p

Passe-bas

-

+

Y1Y4 Y5

Y3Y2

4354321

31

)()(

YYYYYYYYYpH ++++=

3221

2

32

1

321

1

2

)(1

1)(

RRCCpRR

R

RRpC

R

RpH

++++=

Convertisseur d impdance ngative (NIC)

RVI

R2


101/150


ZR

R

I

V

Zi 1

2

==-

+R1Z

V

-

+

r

Kr

R2

entre

C2

sortie

R1C1

2211

212

2211

12

)(1

1

)(

CRCRpK

CR

CRCRp

CpR

K

pH

+++

=

Ex: Passe-bande

III -10 Exemple complet de calcul dun filtre

Ralisation d un filtre passe-haut Chebyshev


102/150


Etapes:

normalisation

(transposition passe-bas) recherche H(s), vrification (tables, abaques, logiciel)

factorisation, ples-zros, organisation en cellules dusecond ordre

(transposition passe-haut)

d-normalisation

choix structure lectronique, calcul des composants

test,...

10 18 f(kHz)

A(dB)

40

1

Normalisation choix de la frquence de normalisation f0 ?

attention aux proprits de la fonction d approximation


103/150


choisie et dune ventuelle marge par rapport au gabarit

On choisit ici f0=18kHz, avec une ondulation (Chebyshev)infrieure 1dB, soit 0.5 dB, pour garder une marge sur legabarit en limite et dans la bande passante

kHzf

ff

180

0

=

=

1/1.8 1

A(dB)

40

1

Transposition (pas ncessaire si les outils permettent de travaillerdirectement sur un passe-haut)


104/150


Recherche de Hpb(s) Ordre ?

titre indicatif, Butterworth (transp. 83) n=8.98, ordre 9 ou 10

Matlab: Chebyshev type 1, ondulation 0.5 dB

>> cheb1ord(1, 1.8, 0.5, 40, s ) ----> n=6

1

1 1.8

A(dB)

40

1

Recherche de H(s) (suite) Vrification (ex: Matlab)

>>[b,a]=cheby1(6,0.5,1,'s')

b = 0 0 0 0 0 0 0 0895


105/150


b = 0 0 0 0 0 0 0.0895

a = 1.0000 1.1592 2.1718 1.5898 1.1719 0.4324 0.0948>> freqs(b,a)

---> observation de la courbe, zoom...

0.09480.43241.17191.58982.17181592.1

0895.0)(

23456 ++++++=

sssssssHpb

factorisation, ples-zros, organisation en cellules dusecond ordre (synthse en cascade)>>[z,p,k]=cheby1(6,0.5,1,'s')


106/150


z =[ ]

p = -0.2898 + 0.2702i , -0.2898 - 0.2702i

-0.2121 + 0.7382i , -0.2121 - 0.7382i

-0.0777 + 1.0085i , -0.0777 - 1.0085i

k = 0.0895

>>zp2sos(z,p,k)

Transposition passe-bas / passe-haut

1.0230)0.15530.5900)(0.42430.1570)(0.5796(0.0895)(

222 ++++++=

sssssssHpb

ss 1

1.0230)0.155310.5900)(0.424310.1570)(0.5796(1

0.0895

)( 222

6

ssssss

s

sH ++++++=

Dnormalisation

2 2

2

2

1)()(

scsb

sKsHsH ii ++

== KKK 08950=


107/150


Pulsation de rsonance de la cellule i

Coefficient de qualit Qi=1/di

On choisit a priori

00

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0 0

2,

1

)(

1

fp

cp

b

pK

pH

scsb

i

ii

i

i i ii

=

++=

++

=

= =

kHzf

KKK

18

0895.0

0

210

=

=

i

ri

c

0

i

i

i

ic

b

Qd ==

1

4473.00895.0332

0

=== =i

ii KK

Calcul des composants Structure de Rausch passe-haut


108/150


Par identification, pour la cellule i

Rsolution: par exemple, choix de R2, calcul de R1,C1,C2

Dans certains cas, on tombe sur des impossibilits quincessitent de revenir en arrire (choix R2, Ki, structure)

-

+

C1C2 R2

C1R1

2121

2

211

21

2

1

2

)2(1)(

RRCCpCCpR

RRCppH

+++=

21212

0

211

0

21

2

12

0

)2( RRCCc

CCRb

RRCK iii =+==

Rsultats Cellule 0: bi=0.5796 ci=0.1570 choix R2=1k

R1=135.8 C1=16nF C2=5.63nF


109/150


1 1 2

Cellule 1: bi=0.4243 ci=0.59 choix R2=10k R1=365.3 C1=3.09nF C2=4.08nF Cellule 2: bi=0.1553 ci=1.023 choix R2=50k

R1=146.7 C1=2.18nF C2=4.99nF

-+

16nF 5.63nF 1k

16nF135

-+

3.09nF 4.08nF 10k

3.09nF

365-+

2.18nF 4.99nF 50k

2.18nF146

Si les valeurs obtenues sont incohrentes (trop petites, tropgrandes), retour sur choix de R2,Ki,structure

Problme de dynamique


110/150


Problme de dynamique

Gain des cellules dans la bande passante Cellule 0 : 2.8

Cellule 1 : 0.76

Cellule 2 : 0.436

Facteur de qualit (rsonance) Cellule 0 : 0.67

Cellule 1 : 1.83

Cellule 2 : 6.5

. Choix de l ordre des cellules, modifications des Ki

2

1

C

C

c

K

i

i =

Cellule 2

Cellule 1

Cellule 0

Rponse totale

Vrification par simulation


111/150


Cblage, test, problme de prcision des composants

III - 11 Introduction aux problmes desensibilit

Sensibilit dun paramtre a (frq ence de co p re gain )


112/150


Sensibilit d un paramtre a (frquence de coupure, gain, )

en fonction dun composant b (rsistance, capa):

En gnral:

Plus Q est grand, une petite variation dun composantentranera une grande variation de Q. Risque dinstabilit,gabarit non respect...

bb

aSa

a

b

db

daS ab

a

b == ,

QSQ

Ex: Sallen-Key passe-bas

2

11, 0

1

0

1

21

0

0

1

1

0 ===

CC

SCCR

C

dC

dS


113/150


Si C1 varie(augmente) de 10%, 0 varie(diminue) de 5%

Exercice: pour la structure de sallen key passe-bas,montrer que:

Que peut-on en dduire ?

Que devient l expression pour K=1 ?

10RCd

KSd

K =

IV - MODULATION ANALOGIQUE- Introduction, gnralits

- Modulation damplitude


114/150


Modulation d amplitude

avec porteuse sans porteuse

Bande latrale unique

Bande latrale rsiduelle

Modulateurs

Dmodulateurs

Performance en prsence de bruit

- Modulation angulaire (Frquence,Phase) Modlisation, contenu spectral

Rgle de Carson

Comportement en prsence de bruit

Modulateurs Dmodulateurs

IV-1 Introduction, gnralits

Cadre gnral de la modulation

T i i


115/150


Buts: Transposition/adaptation en frquence

Multiplexage frquentiel, partage du support

Amplification, faible bruit

Modification du spectre, codage, confidentialit

Domaine dapplication principal : Tlcommunications

Modulation Dmodulation

Transmission

StockageAmplification

SignaldmodulSignalmodulant

Porteuseauxiliaire

Classification des techniques de modulation

modulation analogiques, signaux modulants analogiques


116/150


porteuse sinusodale Modulation d amplitude (AM)

Modulation angulaire

Modulation de frquence (FM)

Modulation de phase (PM)

Combinaison AM / FM ou PM porteuse impulsionnelle (modulation d impulsion) (suited impulsions priodiques)

en amplitude (PAM)

en dure (PDM)

en position (PPM)

en frquence (PFM) (proche PPM)

Modulations analogiques porteuse sinusodale

AMPLITUDE


117/150


FREQUENCE

PHASE

AMPLITUDE et PHASE


118/150

Modulation par Dplacement dAmplitude MDA (Amplitude Shift KeyingASK)

- modulations numriques, reprsentation numrique des signauxmodulants quantifis


119/150


Modulation par Dplacement de Phase MDP (Phase Shift KeyingPSK)

Modulation par Dplacement de Phase Diffrentiel MDPD (Differential Phase Shift KeyingDPSK)

Modulation dAmplitude de deux porteuses en quadrature MAQ (Quadrature Amplitude Modulation QAM)

Modulation par Dplacement de Frquence MDF (Frequence Shift KeyingFSK)

modulations numriques

1 0 1 0 1 1Alphabet fini (ex. binaire)


120/150


AMPLITUDE

FREQUENCE

PHASE

AMPLITUDE et PHASE

Modu lant :

Porteuse :

IV-2 Modulation d amplitude Modulation avec porteuse (AM, MDBAP, DSB)

Signal


121/150


modulant g(t)

Signalmodul s(t)

Indice de modulation

si m>1 il y a sur-modulation

)2cos())(

1()2cos())(()(

))(max(,)(

pppppp tfBUA

tgmtfUtgBts

tgAAtgA

++=++==


122/150


)]()([2

)]()([2

)( ppp

pp

pffGffG

Uffff

BUfS +++++=

Bande latralesuprieure (BLS)

-fp 0 fp f

G(f)

Bande latraleinfrieure (BLI)!! Information dupliqueen BLI et BLS

AM, rendement (puissance de l metteur ?) pour g(t) signal sinusodal amplitude A

Pg=A2/2

Puissance porteuse2


123/150


Pp=Up2

/2 Dans le signal modul, puissance totale

Ptot= Up2A2/8 + Up

2A2/8 + B2Up2/2

Rendement(Up

2A2/8 + Up2A2/8 ) / Ptot= m

2/(m2+2)

maximum, sans sur-modulation m=1, rendement 33% ! Seule la moiti est utile...

Mauvais rendement, mais dmodulation simple pardtection d enveloppe

Amliorer le rendement en liminant la porteuse,

m>>1 , d ou.modulation sans porteuse

Modulation sans porteuse (AM-P, MDBSP,DBSSC)

)2cos()()(

)(.).(,)(

pp tfUtgts

fGFTspectreAtgA

=


124/150


)]()([2

)( ppp

ffGffGU

fS ++=

-fp 0 fp f

G(f)

Bande latrale

infrieure (BLI)

Bande latrale

suprieure (BLS)Rendement 100% mais seule

la moiti est utile !Et dmodulation plus difficile

Modulation bande latrale unique (BLU, SSB) Filtrage d une des deux bandes latrales (difficile, filtre trs

slectif)

Ralisation par modulateur spcial


125/150


Bande passante rduite d un facteur 2

Pour un signal modulant sinusoidal de frquence f0, le signal

modul est un signal sinusoidal pur de frquence fp+f0

-fp 0 fp f

G(f)

Bande latrale

unique (BLU)

Modulation bande latrale rsiduelle (BLR, VSB) Transmission des trs basses frquences (vido,)

Modulation AM puis filtrage spcifique de la BLU

En prsence d une porteuse, dmodulation d enveloppe


126/150


avec une distorsion acceptable

-fp 0 fp f

G(f)

Bande latrale

unique (BLU)

Modulateurs AM Multiplieur analogique, transconductance variable

BC mVkT

UII

y ==

=

= 26,

E

s(t)


127/150


Amplification gain variable=multiplication

T

Ct

T

BEB

T

BEBB

TBEBE

t

U

Iy

U

VI

U

VII

qVVy

=

=

))(exp()1)(exp(

,

00

Ic(t)

e(t)

)()()()()( tetIU

RtVRytIRts

C

T

BEtC ===

)()()( 11 tIU

R

th

R

tG cT==

Modulation par non-linarit (inter-modulation) Systme relation entre-sortie non linaire

2

=

=N

n

n

nteats

0

)()(


128/150


Ex: systme quadratiques(t)=e (t)

)4cos(2

)2cos()(2)(2

)(

)2cos()()(

2

2

2

tfU

tfUtgtgU

ts

tfUtgte

p

p

pp

p

pp

+++=

+=

0 fp 2fp f

G(f)

Fmax 2Fmax

Dmodulateurs analogiques AM Dmodulation synchrone: multiplication et filtrage passe-bas

ex: en modulation sans porteuse


129/150


Problme: connatrefp: AM avec porteuse,reconstitution(PLL...)

En BLU ou BLR, dmodulation isochrone sinon distorsion

[ ])cos()()4cos()(2

)(

)2cos()()(:)2cos()()(:

ddp

dp

dpd

pp

tgtftgUU

td

tfUtstdonDmodulatitfUtgtsModulation

++=

+==

Modulation AM 2fplimine parfiltrage passe-bas

Signal g(t) dmodulDmodulation isochronesi d=0


130/150

Performances en prsence de bruit (AM avec porteuse)

Bruit blanc

(DSP constante : N0)


131/150


Dans la bande de rception du signal (filtre passe-bandelargeur 2F)

Puissance du bruit = 4FN0 Puissance du signal (g(t) sinusodal amplitude A) =Up2A2/4

Puissance porteuse = B2Up2/2

Rapport Signal/Bruit

Filtrepasse bande

Dmodulateur Filtrepasse bas

0

222

16

)2(

FN

ABURSB

p

HF

+=

Aprs dmodulation Puissance du bruit = 4FN0 Puissance du signal = A2Up2/2

Rapport Signal/Bruit22UA

RSBp

BF=


132/150


Gain en RSB

Maximum 2/3 pour m=1, c est dire diminution du RSB !

Sans porteuse (AMP-P) (exercice dmontrer)

Exercice: Calculer GRSB en modulation AM BLU avec et sans porteuse

08FN

2

2

2

2

m

m

RSB

RSBG

HF

BFRSB +

==

2=RSBG

IV-3 Modulation angulaire (Frquence,Phase)

Modle gnral ))(2cos()( ppp ttfUts ++=


133/150


Modulation de phase (PM) si

Modulation de frquence (FM) si

Modle simplifi Modulation de phase

Modulation de frquence

)()( tmkt =

dt

tdtmk

duumkt

t

))((

2

1)(

)(2)(0

=

=

))(2cos()(0+=t

pp duumtfUts

))(2cos()( tmtfUts pp +=

Frquenceinstantane

dt

tdftf

pi

)(

2

1)( +=

d o quivalence :

Modulationm(t) s(t) Modulationde Frquence

m(t) s(t)d/dt


134/150


de Phase

Modulationde Frquence

m(t) s(t) Modulationde Phase

m(t) s(t)dt

Modulation de Phase (PM) Modulation de Frquence (FM)

Proprits principales des modulations angulaires

Indpendance du niveau de signal dmodul par rapport au signalreu


135/150


... ce qui implique une meilleure immunit au bruit quen modulationdamplitude

Bonne rsistance aux perturbations si lindice de modulation estlev

Largeur de bande du canal de transmission leve

La modulation FM possde une immunit au bruit suprieure lamodulation PM

Spectre des signaux moduls forme gnrale

[ ]

[ ]))(()2()(

)2sin())(sin()2cos())(cos()(

tjtfjRUt

tfttftUts

pp

ppp =


136/150


Complexe calculer dans le cas gnral

Diffrent de zro uniquement au voisinage de la porteuse

Modulation bande troite NFM(faible niveau)

[ ])(

!

))(()2exp()(

))(exp()2exp()(

0

fSn

tjtfjReUts

tjtfjReUts

TF

n

n

pp

pp

=

=

=


137/150


Le signal est aussi faiblement modul en amplitude

/2Signal modulant m(t)

Signal modulant

Porteuse, signal modul

Signal modulant sinusodal

en PM

)2cos()( tfUtm mm =

)2sin()2sin(

)(

2

1

)(

)2cos()2cos()()(

max

max

tfftffkUdt

td

tf

tftfkUtkmt

mmmmi

mmm

===


138/150


en FM

Indice de modulation

en FM

)2sin()2sin(2)( max tfftffkUdttf mmmmi ===

)2cos()2cos()(

2

1)(

)2sin()2sin()(2)(

max

max

tfftfkUdt

tdtf

tftff

Ukdttmkt

mmmi

mm

m

m

==

=

===

mf

fmax=

))2sin(2cos(

))(22cos()(

tftfU

duumktfUts

mpp

t

pp

+=

+=

Signal modulant sinusodal en FM on montre (dcomposition en srie de Fourier)

))(2cos()()( tnffJUts mpn

np += +


139/150


Jn() dsigne la fonction de Bessel de 1re espce dordre n

Densit spectrale de s(t): spectre de raies (s(t) priodique)

n =

[ ]+

=

+++=n

mpmpn

p

s nfffnfffJU

fDSP )()()(4

)( 22

J0J1 J2 J3

Fonctionsglobalement dcroissantes

quand n augmenteLe spectre est donc born pour une valeur de donne


140/150

Exemples de DSPs(f) en NFM


141/150


Il ne reste plus que 3 raies: la porteuse et deux raies latrales fp-fm et fp+fm, (analogie avec AM faible)

Le signal moduls(t) est quasiment sinusodal.

fp=20

fm=1

=0.5

fp=20

fm=1

=0.1

Rgle de Carson (signal quelconque) largeur du spectre du signal modul

fBs )1(2


142/150


Fp

Bs

mfBs )1(2 +

Exemple:

Porteuse 20 Mhz, FMFrquence max dusignal modulant 20 kHz (audio)

pour =2Bs=120 kHz

pour =0.1Bs=40 kHz (identique AM)

Comportement en prsence de bruit pour un RSB en entre suprieur 5dB

entresortie RSBRSB 23=


143/150


donc, augmenter l indice de modulation pour amliorerle RSB en sortie...

au prix d une augmentation de la largeur de bande Bs

Bruit basse-frquence en sortie du dmodulateur FM

pr-accentuation (amplification) des HF avant modulation

2

23

)( fRSBBs

PfB

entre

entreBF =

Modulateurs FM


144/150


Oscillateur Quartz accordable par diode varicap

mais variation de frquence faible (


145/150


VCO + PLL (Phased Locked Loop, boucle verrouillage de phase)

Oscillateur quartzdiviseur par R

Comparateurde phase

Filtre passe-basfc


146/150


Frquence instantane fi(t)

Signal modul e(t)

Signal modulant m(t) PM:

FM:

signal BFDphaseur))((

2pi ftfr +

dt

tdftf

pi

)(

2

1)(

+=

)()( ttmk =

dt

tdtmk

))((

2

1)(

=

))(cos())(2cos()( tUttfUte HFppp =+=

))(2)(cos()( tmkrtUtxHFp ++=

/...

++++=

++==

))(2

cos())(2

)(2cos(2

))(cos())(2

)(cos()()()(

2

tmkrtmkrtU

tUtmkrtUtetxty

HF

p

HFpHFp

T HF (2f ) T BF


147/150


Terme HF (2fp) Terme BFlimin par filtrage passe-bas

[ ]

))(2

)(1)(

))(sin(2

))(2

cos(2

)(

2

22

tmkrU

tstmkrgnralen

tmkrU

tmkrU

ts

p

pp


148/150


bobie(t) L C R

s(t)signal BF

Exemple pour fp = 10,7 MHz, frquence intermdiaire des rcepteurs FMC = 100pF, C0 = 5pF, L = 2.1mH et R = 1k

Gain

Phase

10.7MHz 10.7MHz

Autour de fpdphasage:

))((2

piftfr +

Pente r

Dmodulateur PLL

Comparateur

de phase

Filtre passe-bas

fc


149/150


Quand la PLL est verrouille, les phases de e(t) et v(t) sontgales:

En FM:

p ( )

))(2cos()( ttfUte pp +=

))(2cos()( += dttsgtfAtv pquation du VCO

)(2

)())((

2

1)( tm

g

kts

dt

tdtmk

=

=

)())((

)()( tsgdt

tddttsgt =

=

Exemple/exercice (bande FM) Porteuse fp= 100 Mhz

Dviation de frquence maximale 75kHz Signal modulant audio, frquence min 50Hz,

frquence max 15kHz


150/150


Calculer les indices de modulation maxi et mini

En dduire les largeurs de bande Bs maxi et mini

Etudier et critiquer les schmas de modulation Chane d Armstrong

Chane d Armstrong et multiplieur Chane d Armstrong, multiplieur et mlangeur

Exercice Signal modulant m(t)=2Rect(t/T) - 1, avec T=1ms

Porteuse FM 10Mhz, Largeur de bande Bs = 20kHz

Quel indice de modulation proposez-vous ?

traitement designal analogique

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