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  • Conception avances des circuits intgrs analogiques.Convertisseurs A/N et N/A

    www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2009 1

    Conversions analogique - numrique et numrique - analogique.

    I. Introduction.

    Le monde physique est par nature analogique (dans la quasi-totalit des cas). Il est peru via

    des signaux analogiques (son, ondes visuelles, etc.) qui peuvent tre traits par des systmes

    analogiques (cf. Fig. I.1).

    x(t) Traitement analogique

    y(t)

    Fig. I.1 Traitement analogique.

    Depuis une vingtaine dannes, le traitement numrique des donnes prend le pas sur les

    approches purement analogiques. Le recours au numrique permet en effet un stockage ais

    de linformation, une excellente reproductibilit des traitements, la possibilit de dvelopper

    relativement aisment des fonctionnalits complexes, une rduction des cots de production,

    etc.

    Linterface ncessaire entre le monde analogique et un traitement numrique donn est ralis

    par des convertisseurs analogique numrique (CAN, ou ADC pour Analog to Digital

    Converter en anglais1) et numrique analogique (CNA, ou DAC pour Digital to Analog

    Converter). Le rle dun CAN est de convertir un signal analogique en un signal numrique

    pouvant tre trait par une logique numrique, et le rle dun CNA est de reconvertir le signal

    numrique une fois trait en un signal analogique (cf. Fig. I.2).

    x(t) CANN

    x [k]Traitement numrique N

    y [k]

    CNA y(t)

    Fig. I.2 Conversions et traitement numrique des donnes.

    Les parties suivantes dcrivent les principes de conversion et les architectures des CAN

    (partie II) et des CNA (partie III).

    1 Ce cours utilise frquemment des termes et abrviations en langue anglaise, on les retrouve dans la documentation technique, les livres de rfrences et les publications scientifiques .

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    II. Conversion analogique numrique.

    II.1. Principe de la conversion analogique numrique.

    Dfinition : Un convertisseur analogique numrique (CAN) est un dispositif lectronique

    permettant la conversion dun signal analogique en un signal numrique.

    Cette premire dfinition pour tre complte en appelle deux autres, celles des signaux

    analogiques et numriques :

    Signal analogique : signal continu en temps et en amplitude.

    Signal numrique : signal chantillonn et quantifi, discret en temps et en amplitude.

    Conceptuellement, la conversion analogique numrique peut tre divise en trois tapes :

    lchantillonnage temporel, la quantification et le codage.

    La figure II.1 prsente successivement ces trois tapes pour un CAN dont la sortie du signal

    numrique est sur 3 bits :

    t

    va(t) 011 10

    1

    110

    111

    101

    010

    001

    010

    011

    100

    011

    011

    t

    vech (k.Tech)

    0 Tech

    vq [k]

    k0

    ( i ) ( ii ) ( iii )

    Fig. II.1 (i) signal analogique (ii) signal chantillonn (iii) puis quantifi.

    Un signal analogique, va(t) continu en temps et en amplitude (i) est chantillonn une

    priode dchantillonnage constante Tech. On obtient alors un signal chantillonn

    vech(k.Tech) discret en temps et continu en amplitude (ii). Ce dernier est ensuite quantifi, on

    obtient alors un signal numrique vq[k] discret en temps et en amplitude (iii). La

    quantification est lie la rsolution du CAN (son nombre de bits) ; dans lexemple

    prcdent vq[k] peut prendre huit amplitudes diffrentes (soit 23, 3 tant le nombre de bits du

    CAN). La figure II.1.iii prsente galement le code numrique sur trois bits (en code binaire

    naturel) associ vq[k] en fonction du temps.

    Les notions prcdentes seront approfondies dans les parties suivantes.

    La figure II.2 prsente le symbole dun CAN N bits qui sera utilis dans la suite de ce cours.

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    CAN

    b1

    va(t)b2

    bN

    vq [k]N bits

    Fig. II.2 Convertisseur analogique numrique.

    II.2. Aspects temporels et frquentiels de lchantillonnage.

    Lobtention dun signal chantillonn xech(k.Tech) partir dun signal analogique x(t) peut tre

    modlise mathmatiquement dans le domaine temporel par la multiplication de x(t) par un

    peigne de Dirac de priode Tech (not Tech (t) ):

    ==k

    echTechechech TkttxttxTkx ).().()().().(

    Lchantillonnage est illustr graphiquement dans le domaine temporel aux points (i), (ii) et

    (iii) de la figure II.3.

    x(t)

    t

    xech (k.Tech)

    0 Tech

    X(f)

    t f

    ffech-fech fmax

    Xech (f) x Tech

    t f

    Tech (t)

    0

    1

    Tech

    fech (f)

    fech-fech 0

    1 / Tech

    fmax0

    0

    x *

    ( i )

    convolution

    domaine temporel domaine frquentiel

    ( ii )

    ( iii )

    ( iv )

    ( v )

    ( vi )

    multiplication

    Fig. II.3 Echantillonnage dun signal analogique.

    Lchantillonnage peut galement tre dcris graphiquement dans le domaine frquentiel.

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    Au signal analogique x(t), est associ dans le domaine frquentiel le spectre X(f) (cf.

    Fig. II.3.iv) stendant sur une bande de frquence de fmax fmax.

    Lon rappelle un certain nombre de rsultats dmontrs en cours danalyse de Fourier :

    - Une multiplication dans le domaine temporel correspond un produit de convolution

    dans le domaine spectral (et inversement),

    - La transforme de Fourier dun peigne de Dirac temporel, de priode Tech, et

    damplitude 1, est un peigne de Dirac dans le domaine frquentiel, de priode

    fech = 1 / Tech et damplitude 1 / Tech.

    Ainsi, la multiplication temporelle x(t).Tech(t) on fait correspondre dans le domaine

    frquentiel le produit de convolution X(f)* fech(f) (fech(f) tant la transforme de Fourier de

    Tech(t), cf. point (v) de la Fig. II.3). Le rsultat de ce produit de convolution (Fig. II.3.vi) est

    la transforme de Fourier du signal chantillonn xech(k.Tech). On obtient le spectre X(f) rpt

    toutes les frquences multiples de la frquence dchantillonnage (centrs sur les k.fech, k

    entier), un facteur multiplicatif prs sur lamplitude Tech introduit par le peigne frquentiel

    de Dirac.

    Une approche graphique dans le domaine spectrale permet dillustrer la rcupration de

    linformation contenue dans un signal chantillonn par un filtrage passe bas (cf. Fig. II.4). En

    supposant un filtrage passe bas parfait (un tel filtre est impossible raliser) sur la bande de

    frquence de fech/2 fech/2 (appele bande de Nyquist, le frquence fech/2 tant appele

    frquence de Nyquist), on retrouve le spectre X(f) et donc le signal temporel qui y

    correspond x(t).

    ffech-fech fmax

    Xech (f) x Tech

    0 fech / 2- fech / 2

    filtrage

    ffech-fech fmax0fech / 2- fech / 2

    X(f)

    x(t)

    t

    Fig. II.4 Rcupration de linformation par filtrage passe bas.

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    Notion de repliement de spectre (aliasing).

    Les illustrations graphiques prcdentes correspondent au cas o fech/2 > fmax. Dans le cas o

    on augmente la priode dchantillonnage (on a alors fech qui diminue) il apparat un

    phnomne de recouvrement spectral illustr figure II.5.

    t0

    Tech

    ffech-fech

    Xech (f) / Tech

    xech (k.Tech)

    Fig. II.5 Repliement de spectre.

    Ce phnomne apparat ds lors que fmax, la plus grande frquence de la partie du spectre

    centr sur 0, devient suprieur fech - fmax la plus basse frquence de la partie du spectre

    centre sur fech ; les parties du spectre qui se superposent sajoutent, et on obtient le spectre

    repli de la figure prcdente. Il nest plus possible de rcuprer le signal analogique de

    dpart par filtrage passe bas.

    La contrainte qui en dcoule sur la frquence dchantillonnage pour viter le repliement

    scrit mathmatiquement :

    fech > 2.fmax

    Elle snonce sous la forme du thorme de Shannon, ou thorme de lchantillonnage :

    "Un signal x(t) peut tre reprsent de manire univoque par une suite de valeurs

    chantillonnes si la frquence dchantillonnage, fech, est au moins deux fois plus leve que

    la plus grande des frquences, fmax, contenues dans le spectre."

    A titre dexemple, la plage de frquences audio que nous percevons stend de 20 Hz

    20 kHz, ce qui explique le choix de la frquence dchantillonnage des CD qui a t fixe

    44,1 kHz (avec une lgre marge, entre autre, lie la difficult de raliser des filtres

    abruptes).

    Le spectre rel est gnralement de largeur infinie ( cause du bruit, ou de signaux interfrents

    non dsirs), il y a donc toujours un phnomne de repliement spectral susceptible de ramener

    dans la bande de Nyquist, du bruit ou un signal dinterfrence. Do la ncessit de toujours

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    inclure un filtre passe bas anti-repliement (anti-aliasing filter) ayant une frquence de coupure

    fech/2 devant un CAN.

    II.3. Caractristiques des convertisseurs