Automatique analogique

AUTOMATIQUE

Systmes linaires analogiques

B. Bergeon, Professeur

septembre 2010.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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INTRODUCTION: QU'EST-CE QUE L'AUTOMATIQUE ?................................ 5 I. METHODOLOGIE GENERALE DE SYNTHESE DE LOI DE COMMANDE. . 7I.1 Dfinitions .................................................................................................................................................... 7 I.2 Mthodologie gnrale. .............................................................................................................................. 7

II. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION DES SYSTEMES A TEMPS CONTINU.............................................................................................. 9II.1. Equation diffrentielle............................................................................................................................. 9 II.2. Transmittance isomorphe (en p).......................................................................................................... 11 II.3. Transmittance isochrone (en j ) ......................................................................................................... 14 II.4. Schmas fonctionnels et calculs de transmittance. ........................................................................... 16 4.1- Systmes lmentaires : ...................................................................................................................... 17 4.2 Cas de systmes en cascade.................................................................................................................. 17 4.3 Cas de systmes en parallle. ............................................................................................................... 18 4.4 Cas de systmes boucls....................................................................................................................... 18

III. ANALYSE DE SYSTEMES......................................................................... 21III.1 Signaux transitoires. ............................................................................................................................. 21 1.1. limpulsion de Dirac ............................................................................................................................ 21 1.2 Lchelon de Heaviside ........................................................................................................................ 22 1.3 La rampe ................................................................................................................................................ 23 III.2 Stabilit des systmes. ........................................................................................................................... 23 III.3 Reprsentations frquentielles. ........................................................................................................... 23 3.1 Le plan de Bode .................................................................................................................................... 24 3.2 Le plan de Black.................................................................................................................................... 24 3.3 Le plan de Nyquist ................................................................................................................................ 25 III.4 Systmes stables du 1er ordre............................................................................................................... 25 4.1 Rponses transitoires ............................................................................................................................ 25 4.2 Rponse frquentielle ........................................................................................................................... 28 III.5 Systmes stables du 2nd ordre. ............................................................................................................. 30 5.1 Les rponses transitoires....................................................................................................................... 31 5.2 Rponse frquentielle ........................................................................................................................... 35 III.6 Systmes composs et retard. ........................................................................................................... 36 6.1 Intgrateur et 1er ordre........................................................................................................................... 36 6.2 Second ordre avec numrateur ............................................................................................................. 38 6.3 Systme retard .................................................................................................................................... 40 6.4 Rponses frquentielles dun systme retard ................................................................................... 41


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IV. IDENTIFICATION. ...................................................................................... 43IV.1 Principe. .................................................................................................................................................. 43 IV.2 Identification par rponse indicielle. .................................................................................................. 43 IV.3 Identification par rponse frquentielle............................................................................................. 50

V. SPECIFICATION DE LOIS DE COMMANDE,............................................. 53V.1 La commande en boucle ferme............................................................................................................ 53 1.1 Fonctions de transfert de boucle ferme.............................................................................................. 53 1.2 Abaque de Black-Nichols..................................................................................................................... 54 V.2 Stabilit en boucle ferme. ..................................................................................................................... 56 2.1 Equation caractristique, ples............................................................................................................. 56 2.2 Critre du revers .................................................................................................................................... 56 2.3 Marges de stabilit ................................................................................................................................ 58 V.3 Spcifications de performance en boucle ferme. .............................................................................. 58 3.1 Spcifications de poursuite................................................................................................................... 58 3.2 Rgulation.............................................................................................................................................. 60 3.3 Admissibilit des commandes .............................................................................................................. 62

VI. CONCEPTION DE REGULATEURS .......................................................... 63VI.1 Le rgulateur Proportionnel ................................................................................................................ 63 VI.2 Le rgulateur actions Proportionnelle et Intgrale (PI)............................................................... 64 2.1 Structure, transmittance et rponse harmonique ................................................................................. 64 2.2 Prcision statique de la boucle ferme................................................................................................. 66 2.3 Mthodes frquentielles de rglage ..................................................................................................... 66 VI.3 Le rgulateur Proportionnel et pseudo-intgral............................................................................... 68 3.1 Rponse harmonique............................................................................................................................. 68 3.2 Prcision statique de la boucle ferme................................................................................................. 69 VI.4 Le rgulateur actions Proportionnelle et Drive, ou avance de phase. ................................. 70 4.1 Commande retour tachymtrique ...................................................................................................... 70 4.2 Correcteur avance de phase ............................................................................................................... 71 4.3 Mthode frquentielle de rglage......................................................................................................... 72 VI.5 Le rgulateur action Proportionnelle, Intgrale et Drive (PID).............................................. 74 5.1 Structure et transmittance ..................................................................................................................... 74 5.2 Rponse harmonique............................................................................................................................. 75 5.3 Rglage des paramtres. ....................................................................................................................... 76 5.4 Implantation des rgulateurs PID......................................................................................................... 78 VI.6 Rglages empiriques de Ziegler-Nichols. ........................................................................................... 79


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INTRODUCTION: QU'EST-CE QUE L'AUTOMATIQUE ?L'Automatique est une science pour l'ingnieur. L'objectif de cette science est donc de fournir des outils conceptuels et mthodologiques utilisables pour : L'analyse des systmes, La synthse de commandes des systmes. Ce cours ne concerne que l'analyse et la synthse de commandes de systmes dynamiques, linaires, stationnaires, monovariables, c'est dire de systmes dont on peut reprsenter le comportement par une quation diffrentielle (ou une quation rcurrente) linaire coefficients constants. D'une faon gnrale, un systme possde une entre, et une sortie. Un tel systme peut tre reprsent par un schma fonctionnel comme sur la figure 1 ci-dessous.entre SYSTEME sortie

Figure 1: Schma fonctionnel. L'entre et la sortie du systme sont des grandeurs physiques dpendantes du temps, gnralement appeles signaux. La sortie du systme est le signal fabriqu par le systme en rponse au signal d'entre. Ainsi, les flches figurant sur le schma fonctionnel de la figure 1 dcrivent une relation de causalit. Systme Dynamique Linaire Stationnaire monovariableExemple : Considrons le systme constitu :

Equation Diffrentielle, rcurrente Vrifie le thorme de superposition A coefficients constants Une entre, une sortie

- d'une antenne parabolique de rception de signaux hertziens de satellite, - d'un moteur lectrique courant continu, qui, par l'intermdiaire d'un rducteur de vitesse, peut faire pivoter l'antenne autour d'un axe. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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On s'intresse l'orientation (dans un plan pour simplifier le problme) de l'axe de l'antenne vers un satellite gostationnaire. Le signal d'entre est alors la tension d'alimentation u(t) du moteur, le signal de sortie tant l'angle (t) que forme l'axe de l'antenne avec un rfrentiel fixe donn.

! r " u R

Figure 2 : Schma d'antenne parabolique orientable par moteur lectrique. La relation de causalit : une tension lectrique applique au moteur provoque sa rotation et donc une modification de l'orientation de l'antenne. Sur un tel exemple, un problme typique d'Automatique serait de dterminer une structure de commande capable : - de positionner l'antenne dans la direction demande par l'utilisateur; - de maintenir aussi bien que possible cette orientation malgr d'ventuels coups de vent.


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I. METHODOLOGIE GENERALE DE SYNTHESE DE LOI DE COMMANDE. I.1 DfinitionsUn systme est un triplet (entre, relation de causalit, sortie); constitu aussi bien par un procd physique (une machine, un phnomne physique, ...) que par une reprsentation abstraite d'un tel procd. Un modle est une reprsentation abstraite d'un systme ou d'un phnomne physique : par exemple, la loi d'Ohm est un modle mathmatique du systme constitu d'un conducteur lectrique qui, soumis une diffrence de potentiel lectrique, est parcouru par un courant lectrique. Une loi de commande est un algorithme de calcul du signal que l'on doit appliquer l'entre d'un systme pour que sa sortie se comporte de la manire spcifie dans un cahier des charges. Un organe de commande est un appareil physique permettant de raliser l'algorithme de calcul appel loi de commande.

I.2 Mthodologie gnrale.La loi de commande est dtermine partir de la connaissance que l'on a du systme rgler (contenue dans le modle) et des spcifications issues du cahier des charges.

Commande Organe de commande Ralisation technologique Cahier des charges Elaboration de la loi de commande Identification Systme rgler

Modle

Figure 3: Mthodologie gnrale de l'Automatique.


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L'tape de ralisation technologique consiste traduire l'algorithme labor en un organe de commande capable de gnrer les signaux d'entre du procd. Par exemple, un moteur lectrique est gnralement command par l'intermdiaire d'un amplificateur lectronique de puissance. Le signal de commande labor par l'organe de commande est alors la tension d'entre de cet amplificateur, c'est donc un signal lectrique. Cet organe de commande pourra tre ralis sous la forme d'un circuit lectronique. A la fin de ce cours d'Automatique nous aborderons l'tude de quelques mthodes lmentaires d'laboration de loi de commande. Le chapitre II sera consacr l'tude d'outils mathmatiques ncessaires l'criture de modles des systmes utilisable pour la synthse de loi de commande.


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II. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION DES SYSTEMES A TEMPS CONTINUUn systme est dit temps continu si les signaux d'entre et de sortie de ce systme sont (ou sont reprsentables par) des fonctions continues du temps.

II.1. Equation diffrentielleL'objectif fondamental des sciences (en particulier des sciences physiques) est de fournir des reprsentations abstraites de systmes ou de phnomnes. On a parl de l'exemple de la loi d'Ohm. D'une faon gnrale, les modles mathmatiques issus des "lois de la nature" sont sous forme d'quations diffrentielles. Les prtendues "lois de la nature" ne sont videmment pas des expressions d'obligations que la nature devrait suivre sous peine de punition, mais bien des expressions de reprsentation de phnomnes naturels. A ce titre, les "lois gnrales" de la physique ou de la chimie, faisant l'objet des cours de physique et de chimie, sont en fait des modles des phnomnes physiques concerns. Il est important de noter, ce niveau d'analyse, qu'une "loi de la nature" ne se rsume pas une simple expression mathmatique. La loi d'Ohm, par exemple, ne consiste pas seulement en U = R I , mais bien en l'nonc complet des conditions dans lesquelles cette expression rend compte de phnomnes observs et mesurs.Exemple de l'antenne.

Un modle du systme constitu d'un moteur lectrique courant continu et de son amplificateur de puissance, entranant en rotation une antenne par l'intermdiaire d'un rducteur de vitesse, peut tre obtenu en utilisant les connaissances issues de la mcanique et de l'lectricit : - le couple moteur C(t) est proportionnel au courant d'induit i(t) C(t) = k i(t) - le courant d'induit dpend de la tension de commande u(t) et de la vitesse angulaire de rotation (t)

i(t ) =

u (t) ! "#( t) $

- la vitesse de rotation et le couple moteur sont lis par :

J

d!( t) = C( t) dt

o J est le moment d'inertie, ramen sur l'arbre du moteur, de l'induit du moteur, des poulies, de la courroie et de l'antenne. - enfin, la position angulaire (t) de l'antenne par rapport au rfrentiel peut s'crire : _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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" (t) =

r R

% # ($ )d$ + " (0)0

t

ou encore :

!

d" ( t ) r = # (t ) dt R

!

L'ensemble de ces relations permettent d'crire l'quation diffrentielle : d 2" ( t) d" (t ) r J! + k# = k u (t ) dt R dt 2 Cette quation diffrentielle constitue un modle du systme "antenne parabolique orientable par moteur lectrique". Ce modle ne reprsente correctement le fonctionnement global du systme que si certaines hypothses implicites sont vrifies : - les effets capacitifs des conducteurs sont ngligeables, - les effets auto-inductifs des bobines d'induction sont ngligeables, - les frottements secs et visqueux des parties mcaniques mobiles sont ngligeables, - la courroie entrane l'antenne en rotation sans glissement sur les poulies, - etc... D'une faon gnrale une quation diffrentielle linaire peut s'crire :

a

d ns(t ) d n ! 1s(t ) ds(t ) +a +...+ a + s (t ) = n dt n n ! 1 dt n ! 1 1 dt d me (t ) d m ! 1e (t ) bm + bm ! 1 +.. .+b0e (t ) dt m dt m ! 1

(1.)

Remarque sur la causalit On appelle systme causal un systme dont la sortie (ou plus gnralement ltat) ne peut tre modifie par un signal dentre avant lapparition de celui-ci. Cela se traduit pour les systmes linaires dcrits une quation diffrentielle du type (1) par la contrainte : m n. Dans le cas o lquation diffrentielle nest pas linaire, on peut obtenir une description de la tendance autour dun point de fonctionnement par la procdure de linarisation. Soit lquation diffrentielle non linaire :d x (t ) = f [ x (t ), u (t ) ] dt


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On cherche caractriser le comportement autour dun point de fonctionnement particulier dfini par u0 et x0. On peut crire au voisinage de ce point :u (t ) = u 0 + !u( t ) x( t ) = x0 + !x ( t)

o x et u reprsentent des petites variations de x et de u autour de x0 et u0. On peut alors crire :d "f "f x (t ) ! f x0 , u0 + #x ( t) + #u (t ) dt "x u0 , x0 "u u0 , x0

(

)

Mais comme :d d x (t ) = f x0 , u0 + !x ( t ) dt dt

(

)

On dduit :d "f "f !x ( t) = !x ( t ) + !u ( t) dt "x u 0 ,x 0 "u u0 , x0

Qui est une quation diffrentielle linaire qui caractrise le systme linaire tangent au point x0, u0. Exemple. Le systme :d x (t ) = x 2 (t ) + 2u ( t) dt

admet le linaris tangent :d !x ( t) = 2x 0 !x (t ) + 2!u ( t) dt

II.2. Transmittance isomorphe (en p)Pour simplifier l'tude de ce type d'quation diffrentielle, nous introduisons un outil mathmatique, la transformation de Laplace, qui permet d'effectuer l'analyse du systme et de calculer explicitement certains types de solution par l'intermdiaire du calcul symbolique. La transformation de Laplace est une opration mathmatique sur des fonctions relles f(t) qui vrifient : f(t) = 0 si t < 0 . (2.)

Par dfinition, on crit alors la transforme F(p) de la fonction f(t) comme : _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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L f (t ) ! " F ( p) !F ( p) =

(3.) (4.)

# f (t )e$ pt dt" 0

Cette transformation possde les proprits importantes suivantes :!

1. Elle est linaire par rapport l'addition et la multiplication par un nombre rel :

L f (t ) ! " F ( p) !L g( t ) ! "G( p) ! L ! f (t ) + g(t ) " # F ( p ) + G( p) "et : si est un nombre rel,

(5.) (6.) (7.)

L ! " f (t ) # $ " F ( p ) #

(8.)

2. On peut calculer la transforme de Laplace de la drive d'ordre n (entier) quelconque d'une fonction f(t) par la relation suivante :dn L ( ) n n #1 ! f ( 0+ ) # p n#2 f ' ( 0+ )#... # f n#1 (0 + ) n f (t ) ! " p F ( p) # p dt

(9.)

Cette dernire relation se simplifie ds que les conditions initiales (f(0+), f'(0+), f''(0+), ..., fn(0+)) s'annulent :dn L n ! n f (t ) ! " p F ( p) dt

(10.)

3. Le thorme des valeurs initiales et finales :

lim f ( t ) = lim pF ( p)t "0 p "#

(11.)

!

lim f ( t ) = lim pF ( p)t "# p "0

(12.)

Ces relations n'ont de sens que si ces limites existent !

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Transmittance isomorphe (fonction de transfert) : Soit un systme dcrit par l'quation diffrentielle linaire coefficients constants:d n s( t ) d n "1s( t ) ds( t ) a +a + ...+ a + s( t ) = n dt n n "1 dt n "1 1 dt d m e( t ) d m "1e( t ) b +b + ...+ b e( t ) m dt m m "1 dt m "1 0

(13.)

!

Supposons que : - les signaux d'entre et sortie e(t) et s(t) admettent des transformes de Laplace, respectivement E(p) et S(p); - les conditions initiales sont toutes nulles :di e(t ) t = 0 = 0;!i,0 < i < m dt i di s(t ) t =0 = 0;!i, 0 < i < n dt i

(14.)

on peut alors appliquer la transformation de Laplace sur l'quation diffrentielle, en utilisant la proprit 2 ci-dessus :

a pnS ( p) +...+a pS( p) + S( p) = b pm E ( p)+.. .+b E ( p ) n 1 m 0d'o on peut exprimer le rapport : bm pm +...+b0 S( p) = E( p) a pn +...+a p + 1 n 1

(15.)

(16.)

qui est la forme canonique de la transmittance isomorphe ou fonction de transfert en p.Exemple de l'antenne.

Le systme dcrit par l'quation diffrentielle peut tre reprsent par la fonction de transfert :

! ( p) r 1 = $ U( p ) "R J# p& 1 + & % k"

' p) ) (

dans laquelle (p) reprsente la transforme de Laplace de la position angulaire, et U(p) la transforme de Laplace de la tension de commande du moteur. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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II.3. Transmittance isochrone (en j)Dans le cas particulier o le systme linaire est soumis des signaux d'entre sinusodaux permanents, on utilise la transformation dite transformation complexe, qui est une gnralisation tout type de systme linaire de la reprsentation complexe des circuits lectriques en courant alternatif (voir cours d'lectricit de 1re anne). En effet, une quation diffrentielle linaire coefficients constants, de la forme gnrale ci-dessus, admet une solution gnrale du type :s( t ) = S (" ) cos[" t + # (" )]

(17.)

si le signal d'entre e(t) est de la forme :!

e( t ) = E (" ) cos(" t )En posant :

(18.)

!

E ( j",t ) = E (" ) exp( j"t ) ;S ( j",t ) = S (" ) exp j ["t + # (" )] ;

(19.) (20.)

!!

on vrifie que :"{ E( j#, t)} = e( t ) "{S( j#, t)} = s( t )

!

et en remarquant : di i i E( j! ,t ) = ( j! ) E( j !, t ) dt di i i S( j! ,t ) = ( j! ) S ( j! ,t ) dt on peut rcrire l'quation diffrentielle :

(21.)

d ns(t ) d n ! 1s( t ) ds(t ) a +a +...+ a + s(t ) = n dt n n ! 1 dt n ! 1 1 dt d me (t ) d m ! 1e ( t) bm + bm ! 1 +.. .+b0e ( t) dt m dt m ! 1sous la forme particulire :

(22.)


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a ( j! )n S( j! ,t )+.. .+a ( j! )S( j! ,t ) + S( j! ,t ) = n 1 bm( j! )m E ( j! ,t )+.. .+b0 E ( j! ,t ).

(23.)

De plus, on peut crire :

E ( j",t ) = E ( j" ) exp( j"t ) ; S ( j",t ) = S ( j" ) exp( j"t ) ; ! !o: E(j) = E()S ( j" ) = S (" ) exp[ j# (" )] ,

(24.) (25.)

(26.) (27.)

!!

o " (# ) reprsente le dphasage de la sortie par rapport lentre, la pulsation ".

!

L'quation diffrentielle devient alors :a n( j! )n S( j! ) +...+a ( j! )S( j ! ) + S( j! ) = 1 bm ( j! ) m E ( j! )+...+ b0 E( j! ).

(28.)

On peut alors former le rapport :

S( j ! ) = F ( j! ) E( j ! )qui dfinit la transmittance isochrone (ou fonction de transfert en j). Cette fonction de transfert s'crit : bm ( j! ) m +...+b 0 S( j ! ) = E( j ! ) a ( j ! )n +...+ a ( j! ) + 1 n 1Exemple de l'antenne.

(29.)

(30.)

Le systme dcrit par l'quation diffrentielle peut tre reprsent par la fonction de transfert :

! ( j" ) r = U( j" ) #R

1 % J$ ( j" ' 1+ j"* ' * & k# )


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dans laquelle (j) reprsente la transforme complexe de la position angulaire, et U(j) la transforme complexe de la tension de commande du moteur. Il est vident que la quantit F(j) est une fonction complexe de la variable imaginaire j. Cette fonction complexe peut s'crire sous la forme polaire, mettant en vidence un module et un argument:F( j! ) = F ( j! ) exp jArg (F ( j! ))

[

]

(31.)

avec:F ( j! ) = S( j! ) S(! ) = E ( j! ) E (! )

(32.) (33.)

et Arg( F( j! )) = Arg( S( j! )) " Arg (E ( j! )) = #

Le module de la transmittance isochrone reprsente donc le rapport de l'amplitude du signal sinusodal de sortie sur lamplitude du signal sinusodal d'entre. L'argument de la transmittance isochrone reprsente le dphasage du signal de sortie par rapport au signal d'entre. On voit d'aprs l'expression (31) de la transmittance isochrone que son module et son argument sont fonctions de j, donc, pour un systme dynamique linaire en rgime sinusodal permanent : le rapport d'amplitude des signaux d'entre et de sortie dpend de la pulsation (donc de la frquence), ainsi que le dphasage du signal de sortie par rapport au signal d'entre. L'expression (28), compare l'expression (15) du paragraphe II.2, montre qu'il existe une grande similitude entre les transmittances isomorphe et isochrone : les coefficients sont les mmes (ce sont en fait les coefficients de l'quation diffrentielle), mais la variable n'est pas la mme. Cela traduit le fait que ces deux formes de transmittances reprsentent le mme systme (mmes coefficients), mais dans des conditions exprimentales (signaux d'entre) compltement diffrentes (et incompatibles) : - signaux transitoires (nuls avant l'origine arbitraire du temps) en ce qui concerne la variable (complexe) de Laplace p; - signaux sinusodaux permanents (tablis depuis un temps infini) en ce qui concerne la variable imaginaire j .

II.4. Schmas fonctionnels et calculs de transmittance.Plutt que de manipuler les quations diffrentielles ou les transmittances, on prfre utiliser une reprsentation graphique des signaux et systmes. les signaux sont reprsents par des flches les systmes sont reprsents par des botes _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

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4.1- Systmes lmentaires : additionneur/soustracteur-comparateur :

e2(t) e1(t)

(t)- e3(t)

(t) = e1(t) + e2(t) e3(t) gain statique (amplificateur) e(t) A s(t) = A e(t) intgrateur e(t) 1 p s(t) s(t)

s (t ) = e(t ) dt

!

S(p) = E(p)/p gain dynamique e(t)

s(t) G(p)

S(p) = G(p) E(p) G(p) est ici le nom du systme dont la transmittance est G(p). 4.2 Cas de systmes en cascade. Soit le systme compos de : x1(t) x2(t) x3(t) G2(p)

G1(p)


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On peut alors crire : X3 ( p) X3 ( p) X2 ( p) = = G2 ( p ) G1 ( p) X1 ( p) X 2 ( p) X1 ( p) 4.3 Cas de systmes en parallle. Soit le systme dcrit par le schma : e(t) G1(p) s(t) G2(p) On a alors :S ( p) = G1 ( p) E ( p) + G2 ( p) E ( p) = [G1 ( p) + G2 ( p)] E ( p)

4.4 Cas de systmes boucls!

e(t)

(t)C1(p) + C2(p) G(p)

s(t)

S ( p) = G( p) "( p)

"( p) = C1 ( p) E ( p) # C2 ( p) S ( p)S ( p) = G( p) [C1 ( p) E ( p) # C2 ( p) S ( p)]

[1 + G( p) C2 ( p)]S( p) = G( p) C1( p) E ( p)Do!

H( p ) =

S( p ) G( p) C1 ( p ) = E ( p ) 1 + G( p) C2 ( p )

Exemple de lantenne

Le schma fonctionnel : u K _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

1 J

1 p

r R

1 p

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La transmittance :!(p) r 1 = = U(p) k " p + J # p 2 " R J# p 1+ p k" k r R

ur !R 1 p1+ J" p k!


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III. ANALYSE DE SYSTEMES III.1 Signaux transitoires.On appelle ainsi des signaux : - nuls avant lorigine du temps (t = 0) - dfinis pour tout t 0 - admettant une transforme de Laplace. Les signaux transitoires lmentaires sont : 1.1. limpulsion de Dirac " ( t ) Ce nest pas une vraie fonction, mais une distribution que lon construit comme une limite de fonction :

! Soit la fonction paramtre en " dfinie par la figure 4:!"(t)

!1/"

t "

Figure 4: fonction "# ( t )$0si t < 0 ( & & &1 & !" (t ) = % si 0 # t # " ) &" & & & ' 0 sit >" *

!

alors :

%

$ #$

!" (t ) dt = 1

et la transforme de Laplace vaut :! " ( p) = &0 # " (t ) e$ pt dt 1 $ e $ p" p" On dfinit limpulsion de Dirac comme la limite de cette fonction lorsque " tend vers zro : =%

! (t ) = lim !" (t )"#0

!Automatique

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Cest donc un signal : - nul pour t < 0 - nul pour t > 0 - infini pour t = 0 - daire (ou surface, ou poids) gale 1 :

$

! (t ) dt = lim "#

#

%&0

$

#

"#

!% (t ) dt = 1

On le reprsente par :1 ou 1

Figure 5: reprsentations de limpulsion de Dirac unitaire Sa transforme de Laplace : 1 % e % p" L(! (t )) = lim $" ( p) = lim =1 "#0 "#0 p" 1.2 Lchelon de Heaviside Il est dfini par :# 0 si t "0 & ' !(t ) = $ % 1 si t >0 (

(34.)

!(t) 1 t

Figure 6 : lchelon de Heaviside unitaire Sa transforme de Laplace : " 1 L{! (t )} = #0 !(t ) e $ pt dt = p

(35.)


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1.3 La rampe Est dfinie par :"0 si t ! 0 % & r ( t) = # $ t si t > 0 'r(t)

t

Figure 7: la rampe unitaire Sa transforme de Laplace : ! 1 L{r(t )} = "0t e # pt dt = 2 p

(36.)

III.2 Stabilit des systmes.Un systme dynamique linaire est dit asymptotiquement stable si et seulement si sa rponse une impulsion de Dirac tend vers zro lorsque le temps tend vers linfini. Si le systme est reprsent par une transmittance isomorphe, alors : il est asymptotiquement stable si et seulement si tous les ples de cette transmittance ont leur partie relle strictement ngative ; il est instable si un ou plusieurs ples ont leur partie relle positive ou nulle.

III.3 Reprsentations frquentielles.Il sagit de reprsenter graphiquement les variations dune fonction de transfert isochrone, en fonction de la pulsation des signaux dentre et de sortie. E(j) S(j)

F(j)


23

3.1 Le plan de Bode On trace sparment le module (en dB) et largument, en fonction de la pulsation en chelle logarithmique :F ( j" ) dBlog "

!

"F ( j# )

!

log "

!

!

Figure 8: plan de Bode 3.2 Le plan de Black On trace une seule courbe, gradue en pulsation, dans un plan o laxe dabscisse est gradu en degrs (argument) et laxe dordonne en dB (module) :

F ( j" ) dB

!

"F ( j# )

!

Figure 9: plan de Black


24

3.3 Le plan de Nyquist Cest le plan complexe en coordonnes polaires : Im

Re

F ( j" )

!Figure 10: plan de Nyquist

III.4 Systmes stables du 1er ordre.On appelle ainsi un systme linaire dcrit par une quation diffrentielle du 1er ordre : d (37.) ! s(t ) + s(t ) = k e(t ) (k > 0) dt Un tel systme est stable si est strictement positif. 4.1 Rponses transitoires Lorsque le signal dentre e(t) est un signal transitoire : - de transforme de Laplace E(p) et si les conditions initiales sont nulles : s(0) = 0 on peut crire la transmittance isomorphe (fonction de transfert en p) du systme :

F( p) =

S( p) k = E( p) 1 + ! p

k est le gain statique est la constante de temps remarque : Cest un cas particulier de la forme gnrale donne au chap II 2, avec m = 0, n = 1, b0 = k, a1 = . rponse impulsionnelle Si le signal dentre est une impulsion de Dirac daire un, sa transforme de Laplace vaut 1, et on a : _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

25

Figure 11: rponse impulsionnelle dun systme du 1er ordrek 1 1+" p $ k ' ) s! (t ) = L #1 & & ) %1 + " p ( S! ( p ) = s! (t ) = k # t" e * (t ) "

Les points remarquables :s ( 0) = k !

e"1 k = 0,37 ! ! s ( #) = 0 si ! > 0 s (! ) = k

rponse indicielle Si le signal dentre est un chelon de Heaviside de hauteur 1, on a :


26

E( p) =

1 p k 1 1+ " p p

S! ( p) =

$ k 1' s ! ( t ) = L#1 & ) % 1+ " p p ( $ #t ' s ! ( t ) = k &1 # e " ) ! (t ) % (

* t = , on calcule : s() = k [1 e-1] = 0,63 k

* si t ! ", alors s(t ) ! k Figure 12 : rponse indicielle dun systme du 1er ordre (k = 3, = 2 s) rponse la rampe Si le signal dentre est une rampe de pente 1 :E( p) = S r ( p) = 1 p2 k 1 1 +! p p 2

# k 1& s r (t ) = L"1 % 2( $1 +! p p ' ) # "t &, s r (t ) = k +t " ! % 1 " e ! ( . / (t ) $ '*


27

Si k = 1, alors lorsque t , la rponse tend vers une asymptote dquation y = t - .

Figure 13: rponse dun systme du 1er ordre (k = 3, = 2 s) une rampe de pente 1. 4.2 Rponse frquentielle La transmittance isochrone dun systme du premier ordre scrit donc :F( j! ) = k k = 1 + j" ! 1 + j ! !c

(38.)

Le paramtre c s'appelle pulsation transitionnelle (ou de coupure). Le module de cette fonction complexe de la frquence scrit :F( j! ) = S ( j! ) = E( j! ) k " ! %2 1+ $ ' $ ' # !c &

Largument scrit :$" ' !F( j" ) = # Arc tan & ) &" ) % c(

Ces fonctions sont traces ci-dessous dans les plans de Bode, Black et Nyquist, avec les valeurs numriques : k = 10 = 0,1 s. ou c = 10 rad/s. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

28

Bode Diagrams

20 15 10 5 0

Phase (deg); Magnitude (dB)

-20 TextEnd -40 -60 -80 100 101 Frequency (rad/sec) 102

Figure 14: diagramme de Bode dun systme du 1er ordreNichols Charts 20

10

Open-Loop Gain (dB)

0

-10

-20

TextEnd

-30

-40 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Open-Loop Phase (deg)

Figure 15: diagramme de Black dun systme du 1er ordre _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

29

Figure 16: diagramme de Nyquist dun systme du 1er ordre Sur ce dernier diagramme (Nyquist), on a trac la fonction pour entre 0 et +.

III.5 Systmes stables du 2nd ordre.On appelle systme du 2nd ordre un systme linaire dcrit par une quation diffrentielle du 2nd ordre, du type : 1 d2 2" d s(t ) + s(t ) = k e(t ) (39.) 2 2 s (t ) + ! n dt ! n dt Dans cette quation on appelle : - k le gain statique (k > 0 gnralement), - le coefficient damortissement, ( > 0 si le systme est stable). - n la pulsation propre non amortie (n > 0). Si le signal dentre e(t) admet une transforme de Laplace, et si : - (t < 0) ! (e(t ) = s(t ) = 0) " % d - (t = 0 ) ! $ s(t ) = s(t ) = 0' # & dt alors on peut crire la fonction de transfert du 2nd ordre (forme canonique): k (40.) F( p) = 2! 1 1+ p + 2 p2 "n "n _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

30

Les ples de cette fonction de transfert sont les racines de lquation caractristique : 2! 1 1+ p + 2 p2 = 0 (41.) "n "n On doit donc calculer le discriminant : % " 2 $ 1( "2 4 ! = 4 2 $ 2 = 4' ' #2 * * #n #n & n ) dont le signe ne dpend que de la valeur absolue de : ! si " > 1, # > 0 et les 2 ples sont rels;! si " = 1, # = 0 et les 2 ples sont rels et confondus ( ple double); ! si " < 1, # < 0 et les 2 ples sont complexes conjugus. Dans tous les cas, on peut crire les ples sous la forme : p1 = ! " # n + # n " 2 ! 1p2 = !" # n ! # n " ! 1 Si > 0, les ples sont partie relle ngative et le systme est stable.2

(42.)

(43.)

5.1 Les rponses transitoires. cas de 2 ples rels (! > 1) La rponse impulsionnelle (e(t) = (t)) est loriginale de la fonction de transfert. Celle-ci se dcompose en somme de 2 fonctions de transfert du 1er ordre (par dcomposition en lments simples, voir cours de mathmatiques) : $ ' ) k !n & 1 1 (44.) F( p) = # & ) 2 2 " # 1 &p + ! n " # "2 # 1 p +!n " + " 2 # 1 ) % ( do lexpression temporelle de la rponse impulsionnelle : $"n (# + # 2 $ 1 ) ( k " n % $" n ( # $ # 2 $ 1 ) t 'e * + (t ) (45.) s! (t ) = $e ) 2 #2 $1 &

(

)

(

)

0.014

0.012

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figure 17: rponse impulsionnelle pour k = 10, n = 10 rad/s et = 1,5 (systme hyperamorti). _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

31

La rponse indicielle se dduit en intgrant la rponse impulsionnelle par rapport au temps :10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figure 18: rponse indicielle pour k = 10, n = 10 rad/s et = 1,5 (systme hyperamorti). Le systme du 2nd ordre est quivalent dans ce cas la mise en cascade de 2 systmes du 1er ordre :10 1 + 0,3 p + 0,01 p2 10 1 + 0.0382 p 1 1 + 0.262p

!

cas de 2 ples rels confondus (! = 1) La fonction de transfert scrit : k F( p) = " %2 $ 1 + 1 p' $ !n ' # & La rponse impulsionnelle (e(t) = (t)) est loriginale de la fonction de transfert, soit : (46.) s! (t ) = k " n 2 t e# "n t $(t )


32

0.012

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 19: rponse impulsionnelle pour k = 10, n = 10 rad/s et = 1 La rponse indicielle sobtient en intgrant la rponse impulsionnelle par rapport au temps :10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 20: rponse indicielle pour k = 10, n = 10 rad/s et = 1 cas de 2 ples complexes conjugus (0 < ! 1 + Ti p b

(79.)

On peut lcrire aussi : 1 + Ti p CPpI ( p) = K b , o b > 1 1 + bTi p 3.1 Rponse harmonique En posant u = Ti, on obtient : 1 + ju CPpI ( j u ) = K b , o b > 1 1 + j bu et on peut tracer le diagramme de Bode de b rduite (figure 56). On remarque que lorsque b ! " , le rgulateur proportionnel pseudo-intgral tend vers le proportionnel intgral.1+ ju , 1 + j bu

(b > 1) , en pulsation


68

Bode Diagrams

20 18 16 14 12 10 8 6

Phase (deg); Magnitude (dB)

4 2 0

0 TextEnd -10

-20

-30

-40

-50 10-2 10-1 Frequency (rad/sec) 100 101

Figure 57: diagramme de Bode de b

1+ ju , 1 + j bu

(b = 2, 3,K, 10) .

3.2 Prcision statique de la boucle ferme Lerreur finale de la rponse un chelon unitaire scrit :lim # (t ) = lim S( p )t! " p! 0

$ ' & ) & ) 1 & ) = lim & ) 1 + Ti p p! 0 &1 + K F( p) ) 1 & ) + Ti p & ) % ( b 1 = 1 + b K F0

La prcision est donc dautant meilleure que b est grand.


69

VI.4 Le rgulateur actions Proportionnelle et Drive, ou avance de phase.4.1 Commande retour tachymtriqueExemple

Considrons lexemple de lantenne orientable, et son modle que lon crit sous la forme : ! ( p) F0 F( p) = = (80.) U( p) p (1 + " p) La position angulaire de laxe de lantenne est mesure par un potentiomtre diviseur de tension, et on place une dynamo tachymtrique sur laxe de rotation de lantenne. On dispose de mesures de position et de vitesse ". On souhaite utiliser ces 2 mesures pour raliser une commande selon le schma fonctionnel de la figure 57 :

!r Td K

F0 1+! p

1 p

Figure 58: commande retour tachymtrique. La fonction de transfert de r vers scrit : ! ( p) H( p ) = R( p)

F0 p ( 1 + " p) = F0 1+ K (1 + Td p) p ( 1 + " p) K = K F0 p (1 + " p) + K F0 (1 + Td p )

(81.)

que lon peut mettre sous forme canonique :

H( p ) =

1 1 + K Td F0 ! 1+ p+ p2 K F0 K F0Automatique

(82.)

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII,

70

On doit donc trouver les valeurs de K et Td pour que le comportement dynamique de cette boucle ferme corresponde au cahier des charges. Si le cahier des charges contient des spcifications sous forme : dune valeur souhaite de pulsation propre nd , dune valeur souhaite de facteur damortissement d , on doit raliser le rglage :

! 1 "2 ! = 2 # K = nd K F0 " nd F01 + K Td F0 2$ d 2 $ ! " nd % 1 = # Td = d 2 K F0 " nd ! " nd

(83.)

4.2 Correcteur avance de phase Souvent, il nest pas possible de mesurer la drive de la sortie : on est alors amen raliser un (circuit lectronique par exemple) qui fabrique un signal proche de la drive du signal de sortie. Le rgulateur actions proportionnelle et drive que lon souhaite raliser vise reproduire la commande retour tachymtrique, donc la transmittance :CPDidal ( p) = K(1 + Td p )

(84.)

En fait, seules les fonctions de transfert propres, cest dire dont le degr du dnominateur est suprieur ou gal au degr du numrateur, sont ralisables par systmes physiques. Il faut donc incorporer au correcteur CPD idal un dnominateur du 1er ordre au moins, qui reprsente un filtre passe-bas :CPD ( p) = K 1 + Td p , ! < Td 1+! f p f

(85.)

Pour obtenir une forme connue, on pose :

a 1 ,"f = !0 a !0 et on retrouve le correcteur avance de phase : Td =ap !0 CPD ( p) = K p , a >1 1+ !0 a 1+

(86.)


71

4.3 Mthode frquentielle de rglage La rponse harmonique du correcteur :

! a !0 CPD ( j ! ) = K ! 1+ j !0 a1+ jscrit en pulsation rduite u =

(87.)

! : !0(88.)

CPD ( j u) = KOn peut

1+ ju a u 1+ j a alors tracer

un

abaque

des

diagrammes

de

Bode

de

CPD ( j u ) = K

1+ ju a u , pour diffrentes valeurs du paramtre a et K = 1. 1+ j a

On peut calculer les valeurs particulires : en u = 1 :CPD ( j1) = K a CPD ( j1)dB

= 20 log( K ) + 10 log( a)

!C PD ( j1) = Arc tan

( a) " Arc tan % $ ( a) " ) 2

# 1 & ( a'

(89.)

= 2 Arc tan

en u ! 0 :CPD ( j u )dB

! 20 log K dB

"C PD ( j u ) ! 0

(90.)

en u ! " :CPD ( j u )dB

! ( 20log K + 20 loga ) dB

"C PD ( j u ) ! 0

(91.)

Le correcteur PD produit donc de lavance de phase que lon utilise pour augmenter la frquence au gain unit de boucle ouverte (donc la bande passante de boucle ferme), tout en assurant une marge de phase spcifie.


72

20 18 16 14 12 a=10 a=8 a=7 a=6 a=5 a=4 a=3

module

10 8 6 4 2 0 10-1 100

a=2

101

60 a=10 50 a=5 a=4 30 a=3 a=8 a=7 a=6

40

argument

20 a=2 10

0 10-1

100

101

Figure 59: abaque des diagrammes de Bode de correcteurs avance de phase, pour diffrentes valeurs de a (a = 2, 3, , 10). _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

73

Soit par exemple calculer les paramtres K, 0 et a dun rgulateur PD, pour que la boucle ferme ait une bande passante suprieure min, et que la marge de phase soit M . 1. Pour que la bande passante soit suprieure min, on peut choisir min comme pulsation au gain unit de boucle ouverte. On calcule (ou on mesure sur la rponse frquentielle exprimentale) : le module F ( j! min ) largument ! F ( j " min ) 2. Le correcteur avance de phase devra apporter le maximum davance de phase cette pulsation : on choisit donc ! 0 = ! min . Le coefficient a est dtermin en fonction de lavance de phase ncessaire :

! " + M# = $F ( j % min ) + $CAP ( j % min ) & $CAP ( j % min ) = M# ! " ! $F ( j % min )(92.)

' M ! $F ( j % min ) " * & a = tan2 ) # ! , ) 2 4, ( + En gnral, il est plus simple et plus rapide de dterminer a en utilisant labaque de la figure 58.Il faut enfin dterminer K : 1 K= F ( j ! min ) a

(93.)

VI.5 Le rgulateur action Proportionnelle, Intgrale et Drive (PID)5.1 Structure et transmittance Il sagit de combiner les avantages des correcteurs PI et PD. La commande est donc :$ 1 e(t ) = K &! (t ) + & Ti %

#0 ! (" ) d" + Td

t

d ! (t ) ' ), K > 0, Ti > 0, Td > 0 dt ) (

(94.)

et sa transforme de Laplace :" % 1 E ( p) = K $1 + + Td p' (( p) # Ti p &

(95.)

_________________________________________________!IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

74

d r Td p 1+f p 1 Ti p

K

e

s F(p)

Figure 60: structure de rgulateur PID. En fait la drivation pure (Td p) nest pas ralisable : il faut donc ajouter un filtre passe-bas pour pouvoir raliser ce correcteur :# 1 Td p & E ( p) = K %1 + + % T p 1 + " p ( )( p) ( $ i f '

(96.)

Le schma fonctionnel est donn la figure 60.!

5.2 Rponse harmonique En rgime sinusodal permanent :" !% $1 + j ' $ !1 ' # & CPID ( j ! ) = C0 ( j! ) " !% $1 + j ' $ !2 ' # & " % $1 + j ! ' $ !f ' # &

(97.)

o :# !1 = 1 " % 1 % % ! 2 = 1" $; ! 1 < ! 2 < ! f 2 % % ! f = 1" % f &

(98.)


75

On remarque que cette transmittance peut scrire :

" !% $1 + j ' $ !i ' # & CPID ( j ! ) = C1 " % $j !' $ !' # i&o on a pos :

" $1 + j $ # " $1 + j $ #

a! % ' !d ' & ! % ' a !d ' &

(99.)

C1 =

C0 !i(100.)

!d = a ! 2 ! a= f !d

Le rgulateur PID peut donc scrire sous la forme de la mise en cascade dun correcteur PI et dun correcteur avance de phase. Le diagramme de Bode a lallure de la figure 60 ci-dessous. 5.3 Rglage des paramtres. Il faut donc rgler successivement un PI et un AP. Un cas typique est : le systme rgler est dcrit par une fonction de transfert F(p) ou un relev exprimental de rponse frquentielle (Bode), les spcifications de la boucle ferme sont : prcision statique parfaite en poursuite de consigne et en rejet de perturbation constante, donc le correcteur doit avoir une action intgrale, bande passante suprieure la valeur spcifie, min, marge de phase suprieure M .


76

20 log (a C1) 20 log (C1) i d

Figure 61: diagramme de Bode dun PID. La mthode de rglage se droule en 5 tapes : 1re tape : On choisit min comme pulsation au gain unit de boucle ouverte, en sassurant que le dphasage de F(j) ne dpasse pas (- 180 200), sinon le rgulateur PID ne permettra pas datteindre les objectifs. 2me tape : On dtermine la pulsation i de telle faon que le PI napporte pas plus de 5 de dphasage la pulsation min, cest dire, daprs la relation (76) :

!i "

! min ; 12

(101.)

3me tape : On calcule le paramtre a du correcteur avance de phase, en choisissant d = min. On doit alors vrifier :! 180 + M" = # F ( j $ min ) + #CPI ( j$ min ) + #CAP ( j $ min )

(102.)

cest dire :!CAP ( j " min ) = # 180 + M$ # ! F ( j " min ) + 5

(103.)

On lit la valeur de a sur labaque de la figure 58, ou on calcule selon la formule :% M " # F( j $ ) + 5 ( min a = tan 2 ' ! " 45* ' * 2 & )

(104.)


77

4me tape : On dtermine le gain C1 tel que min soit la pulsation au gain unit, cest dire :F ( j! min ) CPI ( j ! min ) CAP ( j ! min ) C1 = 1

(105.)

donc

C1 =

1 F( j ! min )

a

(106.)

5me tape : Il reste calculer les paramtres K, Ti, Td et f :

"f =Ti = Td =

1 #d . a 1 a + $"f #i #d(107.)

a $"f # d . # i . Ti K = C1 . # i . Ti

!

5.4 Implantation des rgulateurs PID a. PID srie Limplantation se fait selon le schma de la figure 62 : d r Td p 1+f p 1 Ti p

K

e

s F(p)

Figure 62:structure de PID srie b. PID srie-parallle Pour ne pas introduire de pics de commande rsultant de la drivation des changements de consignes, on dispose le correcteur avance de phase dans la chane de retour, selon la figure 63.


78

C0-

(1 + ! 1 p)p

F(p)

(1 + ! 2 p)

(1 + ! p)f

Figure 63: PID srie-parallle c. autre structure : 1/Tip F(p)

K Td p 1+! f p

Figure 64: autre structure de PID

VI.6 Rglages empiriques de Ziegler-Nichols.Soit le cas dun systme reprsent par un premier ordre avec retard, cest dire une fonction de transfert du type :F( p) = F0 e! T p 1+" p

(108.)

On peut effectuer une identification en boucle ferme retour unitaire et rgulateur proportionnel. En effet, le lieu de Black a lallure de la figure 64, et on peut donc trouver une valeur du gain K pour lequel le lieu de boucle ouverte passe sur le point critique : la boucle ferme entre en oscillation. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique

79

-180 20 log F0

0dB

20 log K0

0

Figure 65: lieu de Black de systme de 1er ordre et retard. On peut mesurer le gain K0, qui amne la boucle ferme en oscillation, et la priode T0 des oscillations. On peut utiliser un rgulateur PI, de la forme de lquation (70), avec les rglages :

K=et

K0

2,

Ti = 0,8T0 .On obtient ainsi un rglage denviron 45 de marge de phase et 6 dB de marge de gain. ____________________


80

Automatique analogique

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