Examen : Traitement Analogique du Signal - Sylvain...

CNAM Saclay Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal Corrigé de l'Examen partiel du samedi 19 mars 2005 : durée 3 heures

Ce corrigé se compose de deux parties. La première comporte principalement les représentations graphiques, et la seconde partie, en fin de document, comporte l'ensemble des développements. Certains calculs et explications n'étaient pas attendus dans le cadre de cet examen. 1- Questions (8 points)

1-1- Système causal : 1-1-1. Définition d'un système causal :

Un système est causal si l'état de sa sortie à un instant t ne dépend que l'état des entrées aux instants t' antérieures à t.

1-1-2. exemples de système causal.

1-2- Théorème de Parseval : 1-2-1. Définition du théorème de Parseval :

L'énergie totale d'un signal ne dépend pas du mode de représentation choisi. Elle reste la même qu'il s'agisse d'une représentation temporelle x(t) ou d'une représentation fréquentielle X(f).

1-2-2. Expression du théorème de Parseval pour un signal périodique et pour un signal apériodique :

1-3- L'Équation 1 définie l'intercorrélation entre les signaux x1(t) et x2(t).

( ) ∫+∞

∞−

∗−

⋅= dtxxRtt )(2)(112 θθ Équation 1

1-4- Dans le cas ou x1(t) = x2(t) et θ = 0, R11(0), représente l'énergie totale du signal x(t).

( ) )()(011 )( txt EdtxxRt

=⋅= ∫+∞

∞−

∗ Équation 2

1-5- Soit le Système Linéaire Invariant dans le Temps (SLIT : Figure 1)

SLIT

e(t) (t)

h(t)

s

Figure 1

e(t) est le signal temporel d'entrée s(t) est le signal temporel de sortie h(t) est la réponse impulsionnelle du SLIT

1-5-1. Relation liant la sortie s(t) à e(t) et h(t).

∫+∞

∞−−⋅=∗= θθθ dehehs tttt )()()()()( ou ∫

+∞

∞−−⋅=∗= θθθ dhehes tttt )()()()()( Équation 3

1-5-2. La fonction Équation 3 liant s(t) à e(t) et h(t) s'appelle le produit de convolution.

1-5-3. Si l'on applique une impulsion de dirac δ(t), sur l'entrée e(t), la sortie s(t) est égale à h(t), la réponse impulsionnelle.

1-5-4. L'impulsion de dirac δ(t) est l'élément neutre du produit de convolution. On note respectivement E(f), H(f) et S(f) les transformées de Fourier e(t), h(t) et s(t).

1-5-5. Relation liant la sortie S(f) à E(f) et H(f).

)()()( fff EHS ⋅= Équation 4

1-5-6. H(f) est la réponse fréquentielle du SLIT.

1-6- Fonction de transfert : La fonction de transfert d'un filtre peut s'écrire avec la notation complexe de Laplace, comme le rapport de deux polynômes (Équation 5)

Sylvain LARRIBE /8 EXAM TAS_19-03-2005_correction.doc (.PDF) imprimé le 30 mars 2005


( ) mm

nn

P

Pp pbpbpbpbpbb

papapapapaaDN

H++++++++++++

==......

44

33

2210

44

33

2210

)(

)( Équation 5

1-6-1. La fonction de transfert H(p) est celle d'un système réel si m ≥ n.

1-6-2. Le système ayant H(p) comme fonction de transfert est stable, si tous les pôles sont à parties réelles négatives.

1-6-3. L'ordre du filtre défini par la fonction de transfert H(p), est donné par le degrés du dénominateur (m dans l'Équation 5).

1-7- Soit le filtre passif représenté à la Figure 2. 1-7-1. Les quatre fonctions de transfert :

21

1 11

ωω LCjRCVVH

E −+== : filtre passe bas du 2ième ordre.

2

22

2 1 ωωω

LCjRCLC

VVH

E −+−

== : filtre passe haut du 2ième ordre.

23

3 1 ωωω

LCjRCjRC

VVH

E −+== : filtre passe bande du 2ième ordre.

2

24

4 11

ωωω

LCjRCLC

VVH

E −+−

== : filtre coupe bande du 2ième ordre.

1-7-2. Calcul de m et ω0 pour pouvoir écrire les fonctions de transfert sous la forme générale d'un filtre du 2ième

ordre : ( ) 2

00

21

−+

=

ωω

ωω

ωjm

xH j.

On en déduit LCR

2=m soit

21

10.47010.470

262,31

6

9

== −

−

m et LC1

0 =ω soit

srd /5,2826747

10.1010.47010.470

1 6

960 ==×

=−−

ω (f = 10 708 Hz).

Figure 2 : filtre passif



2- Exercice 1 (11 points)

2-1- Donner l'expression temporelle du signal x1(t) dont la transformée de Fourier est donnée par l'Équation 6

( ) ( ) ( )( )111

1 2 FfFffAX +− += δδ Équation 6

2-2- Soit le signal périodique e(t) de la Figure 3

0 t

Te 2Te

E

-d/2 d/2

e(t)

Figure 3

E : amplitude de e(t). Te : période de e(t). Fe = 1/ Te e(t) = E pour t∈[0 ; d/2[ e(t) = 0 pour t∈[ d/2 ; T- d/2[ e(t) = E pour t∈[T- d/2 ; T[

2-2-1. Ecrire e(t) sous la forme d'une série de Fourier. 2-2-2. Application numérique : E = 500, d/Te = 20 %.

Voir la représentation graphique en Figure 8.

2-3- On réalise le produit de x1(t) par e(t), et l'on obtient le signal s(t) (Figure 4) x1(t)

s(t)= x1(t) . e(t)

e(t) Figure 4

2-3-1. Ecrire l'expression de s(t) sous la forme d'une série de Fourier.

2-3-2. Dans le cas E = 1, proposez un schéma de principe simple permettant de réaliser s(t). Comment appelle-t-on cette fonction ?

2-3-3. Application numérique : A1 = 20, E = 1, d/Te = 20% Fe = 8 x F1 = 8 Hz. Dans ce cas, réécrire e(t) , x1(t) et s(t).

2-3-4. Voir la représentation graphique des signaux e(t), x1(t) et s(t) en Figure 9 2-3-5. Voir la représentation graphique du module du spectre d'amplitude de E(f), X1(f) et S(f) en Figure 10 2-3-6. Que se passe-t-il si l'on fait varier la fréquence F1 du signal x1(t), sans modifier Fe ?

Faire une représentation graphique si nécessaire.

2-3-7. Le signal s(t) peu être utilisé dans un système de transmission par exemple, et au bout de la chaîne de transmission (coté récepteur), on souhaite restituer le signal x1(t). Pour cela, le signal s(t) est appliqué à l'entrée d'un SLIT, et l'on récupère en sortie le signal x2(t). La fonction de transfert de ce système est notée H2(f), et caractérisée par l'Équation 7.

SLIT

H2(f) s(t) x2(t)

Figure 5

pour | f | ≤ F( )τπfj

jf ekH 22 . −= 1

pour | f | > F1 ( ) 02 =jfHk et τ sont des constantes Équation 7

Tracer l'allure du module et de la phase de H2(f).

2-3-8. Quelle est la fonction de H2(f), et quelle remarque vous inspire-t-elle ?



2-3-9. Dans les conditions précédentes, quel est la fréquence maximale F1max du signal x1(t) permettant de satisfaire la condition suivante : x2(t) = x1(t), à savoir reconstituer exactement le signal d'entrée.

3- Exercice 2 (7 points) On souhaite réaliser le filtre passe bande défini par le gabarit donné par la Figure 6.

F (kHz)

G (dB)

0 -1

-26

52 66 84 115

Figure 6 : gabarit du filtre passe bande à réaliser

3-1- Décrire et réaliser les 3 étapes permettant de se ramener au prototype d'un filtre passe bas normalisé.

3-2- Calculer l'ordre du filtre en utilisant le polynôme d'approximation de Chebychev.

3-3- En utilisant la table des filtres passifs normalisés de Chebychev, calculer la valeur des éléments du filtre prototype passe bas.

3-4- Décrire et réaliser les étapes permettant de revenir au filtre passe bande défini par le gabarit donné à la Figure 6. Pour l'application numérique, on prendra R0 = 50Ω.

3-5- L'allure de la fonction de transfert du filtre réalisé (module dans un repère orthonormé log/log et phase dans un repère orthonormé log/lin).

Gain Phase (à 2kπ)



Rappels :

Figure 7 : filtres passifs normalisés

Polynôme d'approximation de Chebychev pour Ω ≤ 1 pour Ω ≥ 1

))arccos(cos()( Ω⋅=Ω nTn ))(harccoscosh()( Ω⋅=Ω nTn

( ) 2)(

2

2

11

ΩΩ ⋅+

=n

j TH

ε

ε ondulation dans la bande passante. 2

)(ΩnT carré du polynôme de Chebychev. ( )a

2

10

harccos

110harccos

Ω

−

≥

−

ε

Ga

n

n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 1 0,6986 1 2 1,4029 0,7071 1,9841 3 1,5963 1,0967 1,5963 1 4 1,6703 1,1926 2,3661 0,8419 1,9841 5 1,7058 1,2296 2,5408 1,2296 1,7058 1 6 1,7254 1,2479 2,6064 1,3137 2,4758 0,8696 1,9841 7 1,7372 1,2583 2,6381 1,3444 2,6381 1,2583 1,7372 1 8 1,7451 1,2647 2,6564 1,359 2,6964 1,3389 2,5093 0,8796 1,9841 9 1,7504 1,269 2,6678 1,3673 2,7239 1,3673 2,6678 1,269 1,7504 1 O

ndul

atio

n 0,

5 dB

10 1,7543 1,2721 2,6754 1;3725 2,7392 1,3806 2,7231 1,3485 2,5239 0,8842 1,9841 1 1,0177 1 2 1,8219 0,685 2,6599 3 2,0236 0,9941 2,0236 1 4 2,0991 1,0644 2,8311 0,7892 2,6599 5 2,1349 1,0911 3,0009 1,0911 2,1349 1 6 2,1546 1,1041 3,0634 1,1518 2,9367 0,8101 2,6599 7 2,1664 1,1116 3,0934 1,1736 3,0934 1,1116 2,1664 1 8 2,1744 1,1161 3,1107 1,1839 3,1488 1,1696 2,9685 0,8175 2,6599 9 2,1797 1,1192 3,1215 1,1897 3,1747 1,1897 3,1215 1,1192 2,1797 1 O

ndul

atio

n 1,

0 dB

10 2,1836 1,1213 3,1286 1,1933 3,189 1,199 3,1738 1,1763 2,9824 0,821 2,6599

Tableau 1 : valeurs normalisées des impédances pour un filtre passif passe bas de Chebychev. Le dernier point à -x dB (ondulation) est obtenu pour Ω0 = 1 rd/s



module

0

9,816,817,8

11,7

0

13,4

23,325,2

17,0

0

20,8

37,843,2

31,2

0

46,8

100,9

151,4

187,1

8,9

100

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n

phase

-180 °

-135 °

-90 °

-45 °

0 °0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n

Figure 8 : Exercice 2-2-2 : le module et la phase des coefficients de e(t).



-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

e(t) x1(t) s(t) = x1(t) * e(t)

t(s)

Figure 9 : Exercice 2-3-4 : représentation temporelle de x1(t), e(t), et s(t).




module 10 10

0,1010,151 0,187 0,20 0,187 0,151

0,101

2

1,011,01

1,511,51

1,871,87

1,011,01

1,511,51

1,871,87 2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-25 -23 -21 -19 -17 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

X1(f) E(f) S(f)

Hz

Figure 10 : Exercice 2-3-5 : le module du spectre d'amplitude de E(f), X1(f) et S(f).

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