Topologie, analyse et calcul

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Topologie, analyse et calcul différentiel Frédéric Paulin Version préliminaire Cours de troisième année de licence École Normale Supérieure Année 2008-2009 1 Table des matières 1 Vocabulaire 1.1 Le corps ordonné des nombres réels ...................... 1.2 Espaces topologiques .............................. 1.3 Espaces métriques ................................ Topologie définie par une famille de pseudo-distances ........... 1.4 Topologie engendrée et base d’ouverts ..................... Topologie de l’ordre ............................. 1.5 Voisinages .................................... 1.6 Intérieur, adhérence, frontière ......................... 1.7 Séparation .................................... 1.8 Continuité .................................... 1.9 Connexité et connexité par arcs ........................ 1.10 Indications pour la résolution des exercices .................. 2 Constructions de topologies 2.1 Comparaison de topologies ........................... 2.2 Topologie initiale ................................ Topologie image réciproque ......................... Topologie définie par une famille de pseudo-distances ........... Topologie définie par une famille de semi-normes ............. Topologie étroite ............................... 2.3 Sous-espace topologique ............................ Parties connexes ............................... 2.4 Topologie produit ................................ Topologie limite projective .......................... 2.5 Topologie finale ................................. Topologie somme disjointe .......................... Topologie faible définie par une famille de sous-espaces .......... Topologie de Schwartz ............................ 2.6 Topologie quotient ............................... Distance quotient d’une pseudo-distance .................. Constructions topologiques par quotients .................. Topologie limite inductive .......................... 2.7 Groupes et corps topologiques ......................... Groupes topologiques ............................ Les groupes classiques ........................... Anneaux et corps topologiques ....................... Corps valués ................................. 2.8 Espaces vectoriels topologiques ........................ Espaces vectoriels normés sur un corps valué ................ Espaces vectoriels topologiques localement convexes ............ Continuité des applications multilinéaires ................. Topologie faible ................................ Topologie faible-étoile ............................ 2.9 Espace quotient d’une action de groupe .................... 2.10 Indications pour la résolution des exercices .................. 2
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Topologie, analyse et calcul

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  • Topologie, analyse et calcul diffrentiel

    Frdric Paulin

    Version prliminaire

    Cours de troisime anne de licence

    cole Normale Suprieure

    Anne 2008-2009

    1

    Table des matires

    1 Vocabulaire1.1 Le corps ordonn des nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Topologie dfinie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . .1.4 Topologie engendre et base douverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Topologie de lordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Intrieur, adhrence, frontire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Sparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9 Connexit et connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.10 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2 Constructions de topologies 432.1 Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Topologie image rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie dfinie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . .Topologie dfinie par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . .Topologie troite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.3 Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.5 Topologie finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie somme disjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie faible dfinie par une famille de sous-espaces . . . . . . . . . .Topologie de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.6 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Distance quotient dune pseudo-distance . . . . . . . . . . . . . . . . . .Constructions topologiques par quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.7 Groupes et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Anneaux et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Corps valus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.8 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Espaces vectoriels norms sur un corps valu . . . . . . . . . . . . . . . .Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . .Continuit des applications multilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie faible-toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2.9 Espace quotient dune action de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    2

  • 3 Limites et valeurs dadhrence 983.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    Proprits des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau . . . . . . . . . . . . . . 1053.3 Valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4 Compltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Espaces complets, de Banach, de Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Thorme du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    3.5 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    4 Compacit 1194.1 Espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Compacit et valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 Compacit et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4 Compacit et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Lespace des bouts dun espace localement compact . . . . . . . . . . . . . 130

    4.6 Thormes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.7 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    5 Topologie fonctionnelle 1365.1 Topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    Exemples despaces fonctionnels complets . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Relation avec la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    5.2 Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    Complt dun espace mtrique. Corps valus complets . . . . . . . . . . 1525.4 Semi-continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    Limites suprieures et infrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Semi-continuit infrieure et suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    5.5 Thorme dArzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.6 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.7 Thorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.8 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    6 Analyse fonctionnelle 1776.1 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    Rappels et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Thormes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Rsultats de compacits pour topologies affaiblies . . . . . . . . . . . . . 189Applications de la thorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    6.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Rappels sur les espaces prhilbertiens et dfinitions . . . . . . . . . . . . 197Projection sur un convexe ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Autodualit des espaces de Hilbert rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Thormes de Lax-Milgram et de Stampachia . . . . . . . . . . . . . . . 205

    3

    Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3 Thorie spectrale des oprateurs auto-adjoints borns . . . . . . . . . . . . 210

    Spectre des oprateurs borns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Oprateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Oprateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Spectre des oprateurs auto-adjoints compacts . . . . . . . . . . . . . . . 221Rsolution spectrale des oprateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . 222

    6.4 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    7 Calcul diffrentiel banachique 2277.1 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    Proprits lmentaires des diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.2 Thorme des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . 2337.3 Diffrentielles partielles et dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

    Diffrentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Diffrentielles dordre suprieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Applications analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

    7.4 Inversion locale et quations implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.5 Thorie de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    Existence locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Solutions approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Unicit locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Explosion des solutions maximales en temps fini . . . . . . . . . . . . . . 258Cas des quations diffrentielles linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Rgularit des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Proprit de la rsolvante dans le cas linaire . . . . . . . . . . . . . . . 262Dpendance rgulire des conditions initiales et des paramtres . . . . . 264Des quations diffrentielles dordre p celles du premier ordre . . . . . 267

    7.6 quations diffrentielles autonomes et champs de vecteurs . . . . . . . . . 2687.7 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

    8 Exercices de rvision 2738.1 noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

    Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

    8.2 Indications de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

    Index 309

    Bibliographie 3161

    1Je remercie les lves de la promotion 2007, en particulier Olivier Begassat, Igor Kortchemski

    4

  • Arthur Leclaire, et les lves de la promotion 2008, en particulier Nicolas Dreyfus, David Gontier etArthur Milchior, pour leurs nombreuses corrections sur les premires versions de ce texte, en esprantque ceux des promotion suivantes aideront encore le peaufiner !

    5 6

  • Dans ces notes, nous supposons connues les notions despaces vectoriels norms relsou complexes (et leurs distance et topologie associes) contenues dans le programme ducours de Mathmatiques Spciales MP*. Nous reviendrons plus longuement sur les espacesvectoriels norms dans le paragraphe 2.8 et le chapitre 6. Les preuves qui ne sont pasdonnes ci-dessous sont les mmes que dans le cas particulier des espaces vectoriels norms,ou sont laisses en exercice. La consultation de livres de contre-exemples [GO, Ste, Kha]est souvent profitable (surtout pour le premier).

    1 Vocabulaire

    Les rfrences recommandes sont [Bou1, Dix, Dug].

    1.1 Le corps ordonn des nombres rels

    On ne ferait pas grand chose en analyse sans le corps ordonn R des nombres rels.Disons quelques mots sur cet objet en prambule.

    Soit E un ensemble. Rappelons quun ordre (ou ordre partiel) sur E est une relation qui est rflexive ( x E, x x), antisymtrique ( x, y E, si x y et y x, alorsx = y) et transitive ( x, y, z E, si x y et y z, alors x z). On note x y six y et x 6= y, x y si y x, et x y si x y et x 6= y. Un ensemble ordonn est unensemble muni dun ordre.

    Si (E,) et (F,) sont deux ensembles ordonns, une application deE dans F prservelordre si f(x) f(y) pour tous x y. Si une bijection prserve lordre, alors son inverseaussi.

    Exemples. Linclusion est un ordre (partiel) sur lensemble P(E) des parties de E, etsera souvent sous-entendu. Si est un ordre sur E, alors la relation dfinie par x ysi et seulement si y x est encore un ordre, appel lordre inverse de . Si (E,) et(F,) sont deux ensembles ordonns, alors la relation sur lensemble produit E F ,dfinie par

    (x, y) (x, y) (x x ou (x = x et y y))est une relation dordre sur E F , appel lordre lexicographique. Si f : E F est uneapplication, alors les applications image dune partie A 7 f(A) et image rciproque dunepartie B 7 f1(B) prservent lordre, respectivement de P(E) dans P(F ) et de P(F )dans P(E).

    Soient E un ensemble ordonn et A une partie de E. Un lment x de E est unmajorant de A si

    y A y x .Un lment x de E est un minorant de A si

    y A y x .

    La borne suprieure (resp. infrieure) de A est (lorsquil existe) le plus petit majorant(resp. le plus grand minorant) de A (il est alors unique), not supA (resp. inf A). Parexemple, s E est la borne suprieure de A si et seulement si

    x A, x s et s E, ( x A, x s) s s .7

    Si (xi)iI est une famille dlments de E, on note supiI xi = sup{xi : i I} (resp.infiI xi = inf{xi : i I}), lorsquils existent.

    Pour tous x, y dans un ensemble ordonn (E,), on note

    [x, y] = {z E : x z y} ,]x, y] = {z E : x z y} ,[x, y[ = {z E : x z y} ,]x, y[ = {z E : x z y} ,

    [x,+[ = {z E : x z} ,]x,+[ = {z E : x z} ,], x] = {z E : x z} ,], x[ = {z E : x z} ,

    que lon appelle les intervalles de E. Les premiers, cinquimes et septimes sont les inter-valles ferms. Les quatrimes, siximes et huitimes sont les intervalles ouverts.

    Un ordre total sur E est un ordre tel que pour tous x, y dans E, on ait x y ou y On note min{x, y} = x et max{x, y} = y si x y, et min{x, y} = y et max{x, y} =si y x. Un ensemble muni dun ordre total est un ensemble totalement ordonn. Pexemple, lordre lexicographique sur le produit de deux ensembles totalement ordonnsest un ordre total.

    Un corps (totalement) ordonn est un corps (commutatif) K muni dun ordre totaltel que, pour tous x, y, z dans K, si x y, alors x+ z y+ z (proprit de compatibilitde lordre avec la structure de groupe additif, aussi appele invariance de lordre partranslations) et si x y et 0 z, alors xz yz (proprit de compatibilit de lordre avla multiplication, aussi appele invariance de lordre par multiplication par un lmenpositif). Un isomorphisme de corps ordonns est un isomorphisme de corps prservanlordre.

    Nous supposons connus dans ce texte le corps ordonn (R,) et sa valeur absolue| |. Il existe de nombreuses constructions de R (voir par exemple [Bou1, TG IV.3]), quincessitent plus ou moins de travail. Nous prfrons introduire R immdiatement, carcela permettra de donner des exemples et des constructions en topologie et en analysetrs rapidement. Rappelons-en (car cela nest pas au programme des classes prparatoires)une construction lmentaire partir du corps ordonn (Q,).

    Une coupure de Q est une partie A de Q, diffrente de et de Q, telle que pour tousx dans A et y dans Q, si y x, alors y A.

    AQ R

    On note R lensemble des coupures de Q, et on note la relation dinclusion entrecoupures, qui est un ordre total sur R, comme on le vrifie facilement (pour deux coupuresA et B, on a min{A,B} = A B et max{A,B} = A B). Sauf mention contraire, unintervalle dans ce texte sera un intervalle de R.

    On identifie Q avec son image dans R par lapplication r 7 {x Q : x r}, qui estune injection prservant lordre. Si A et B sont deux coupures de Q, on pose

    A+B = {x+ y : x A, y B}

    8

  • et on montre facilement que (R,+) est un groupe ablien, dlement neutre la coupure0 = {x Q : x 0}, et doppose de la coupure A la coupure

    A = {y Q : x A, y x} .Si A et B sont deux coupures de Q, on pose

    AB =

    {z Q : x A, x > 0, y B, y > 0, z xy} si A,B > 0 ,((A)B) si A < 0, B > 0 ,(A(B)) si A > 0, B < 0 ,(A)(B) si A,B < 0 ,0 si A = 0 ou B = 0 .

    On vrifie facilement que (R,) est un corps (commutatif) totalement ordonn pour lesdeux lois ci-dessus, llment neutre pour la multiplication tant la coupure 1 = {x Q :x 1}, et linverse de la coupure A > 0 tant la coupure

    1/A = {y Q : x A, x > 0 y 1/x} .

    On vrifie facilement que la valeur absolue | | (o |x| = max{x,x} pour tout x dansR) du corps ordonn R vrifie, pour tous A,B,C dans R :

    |A| = 0 si et seulement si A = 0, |AB| = |A| |B|, |A+B| |A|+ |B|,

    cette dernire proprit tant appele lingalit triangulaire.Il est de plus archimdien, i.e. pour tous A,B > 0 dans R, il existe n dans N tel que

    B nA, comme on le vrifie facilement : comme A > 0 et B 6= Q, il existe des lmentsp, q, r, s de N {0} tels que 0 < p/q A et B r/s, et n = rq convient (car ps 1).

    Une autre proprit cruciale est la suivante.

    Thorme 1.1 Toute partie majore (resp. minore) et non vide de R admet une bornesuprieure (resp. infrieure).

    Preuve. Soit P une partie majore non vide de R. Alors S =

    AP A est une coupure deQ, car si B est un majorant de P , alors 6= S B 6= Q. De plus, si B est un majorantde P , alors A B pour tout A dans P , donc S B, ce qui montre le rsultat.

    On peut raisonner de mme pour un ensemble minor non vide P , ou remarquer quelensemble P des lments opposs des lments de P est un ensemble major non vide,et que si S est la borne suprieure de P , alors S est la borne infrieure de B.

    Il existe de trs nombreuses caractrisations de R, dont celle disant que R est, isomorphisme de corps ordonns prs, lunique corps totalement ordonn archimdiendans lequel toute partie majore non vide admet une borne suprieure (voir par exemple[Bou2, Chap. V, 2]).

    1.2 Espaces topologiques

    Soit E un ensemble. Une topologie sur E est un ensemble O de parties de E tel que

    (1) toute intersection finie dlments de O appartient O ,

    (2) toute union dlments de O appartient O .

    9

    Par convention, une intersection vide de parties dun ensemble E est gal E, et uneunion vide de parties de E est gale la partie vide. Donc et E appartiennent O ,O est une topologie sur E. La premire condition (stabilit par intersections finies) peuttre remplace indiffremment par : E appartient O et AB appartient O pour tousA,B dans O .

    Un espace topologique est un ensemble X muni dune topologie O sur X. Par abus,note souvent X le couple (X,O). Les lments de O sont appels les ouverts de X (oula topologie O quand on veut prciser).

    Les complmentaires des ouverts dune topologie sappellent les ferms de cette to-pologie. Toute union finie de ferms est ferme, toute intersection de ferms est ferme,donc et X sont ferms. tant donn un ensemble de parties dun ensemble E, stable parintersections et par unions finies, lensemble des complmentaires de ces parties est unetopologie sur E. On peut remplacer la stabilit par unions finies par le fait de conteniret dtre stable par lunion de deux lments.

    Exemples 1 : Si E est un ensemble, alors O = {, E} est une topologie sur E, ditetopologie grossire. Lespace (E,O) est alors dit grossier. Les seuls ferms dun espacegrossier E sont et E.

    Lensemble P(E) de toutes les parties de E est une topologie sur E, appele topologiediscrte. Lespace topologique (E,P(E)) est alors dit discret. Toute partie dun espacediscret est ouverte et ferme. Un espace topologique est discret si et seulement si tous sessingletons sont ouverts.

    Exemples 2 : Si E et F sont des ensembles, si O est une topologie sur E et si fF E est une application, alors lensemble f1(O) des f1(A) lorsque A parcourt O estune topologie, appele topologie image rciproque, sur F (voir aussi le paragraphe 2.5).Lensemble des ferms de f1(O) est exactement lensemble des images rciproques desferms de O .

    Exemples 3 : Lintersection O =

    jJ Oj dune famille (Oj)jJ de topologies sur E estune topologie sur E (si cette famille est vide, par convention, cette intersection est gale lensemble de toutes les parties de E). En effet, si (Ui)iI est une famille dlmende O , alors pour tous i I et j J , la partie Ui appartient Oj ; par consquent, lesparties

    iI Ui si I est fini et

    iI Ui appartiennent Oj, pour tout j dans J , donc elles

    appartiennent O .Nous utiliserons cet exemple dans le chapitre 2 pour construire des topologies les plus

    petites possibles (pour linclusion), comme intersection de topologies vrifiant certainesproprits.

    Exercice E.1 Soit E un ensemble. Montrer que lensemble des parties vides ou compl-mentaires de parties finies de E, est une topologie sur E.

    Une bijection f : X Y entre deux espaces topologiques est un homomorphismesi limage rciproque par f de la topologie de Y est la topologie de X. Deux espacestopologiques X et Y sont homomorphes sil existe un homomorphisme de X dans Y

    De manire quivalente, f : X Y est un homomorphisme si et seulement si limagerciproque par f de tout ouvert de Y est un ouvert de X et si limage directe parde tout ouvert de X est un ouvert de Y . La bijection inverse dun homomorphisme est

    10

  • encore un homomorphisme. La composition de deux homomorphismes est un homo-morphisme. Lapplication identit dun espace topologique est un homomorphisme. trehomomorphe est une relation dquivalence sur tout ensemble despaces topologiques.

    Une proprit (P ) sur une collection C despaces topologiques est dite invariantepar homomorphismes si tout lment de C , homomorphe un lment de C ayant laproprit (P ), admet aussi la proprit (P ). Nous ne prciserons pas C lorsque C est lacollection de tous les espaces topologiques.

    Par exemple, les proprits tre grossier et tre discret sont des proprits inva-riantes par homomorphismes.

    Un type de problme prfr des topologues est de classer homomorphismes prsles espaces topologiques dune collection donne. Par exemple : tant donn un lmentn de N, classer homomorphismes prs les varits topologiques de dimension n (voirla dfinition la fin du paragraphe 1.7), ventuellement avec des conditions (invariantespar homomorphismes) supplmentaires donnes, telles que compactes (voir la partie 4),connexes (voir le paragraphe 1.9) ... Par exemple, voici la classification topologique dessurfaces compactes connexes orientables (nous ne dfinirons pas ce terme ici, mais cestle cas (par un thorme non trivial) de toutes les surfaces compactes contenues dans R3,et il suffit de considrer ce cas dans cette introduction) : toute surface compacte connexeorientable est homomorphe une, et exactement une, surface de la liste ci-dessous,indexe par un entier g N introduit par Riemann, appel genre (voir par exemple[Gra, Rey]) :

    S2 T2 T2#T2 T2#T2# . . .#T2

    surface orientable de genre gsphre tore

    Le cas n = 3 a bien sr fait couler beaucoup dencre rcemment, avec les travauxde Thurston et de Perelman (voir par exemple [BBB]). Ces problmes de classifications,mme si leur rsolution complte est infructueuse, donnent souvent lieu linvention (oudcouverte, suivant les orientations philosophiques) dinvariants topologiques (le plus sou-vent, mais pas seulement, des objets de nature algbrique), par exemples des invariants detopologie algbrique (voir cours de lanne prochaine ...) ou les rcents invariants quan-tiques (voir cours de seconde anne de mastre).

    Nous terminons ce paragraphe par un exemple dorigine algbrique.

    Exemple 4 : Soient k un corps commutatif, n un lment de N et An(k) = kn. Un fermde Zariski de An(k) est une partie de la forme

    F = {x kn : i I, Pi(x) = 0},

    avec (Pi)iI une famille de polynmes sur kn. Lensemble des ferms de Zariski est len-semble des ferms dune unique topologie sur An(k), appele la topologie de Zariski.

    Preuve. Lensemble vide est un ferm de Zariski, car cest lensemble des zros du po-lynme constant 1. Si F, F sont des ferms de Zariski, ensembles des zros communsdes familles de polynmes (Pi)iI , (Qj)jJ respectivement, alors F F est lensemble des

    11

    zros communs de la famille de polynmes (PiQj)(i,j)IJ , donc est un ferm de Zariski.Si Fj, pour j J , est un ferm de Zariski, ensemble des zros communs de la famillepolynmes (Pi,j)iIj , alors

    jJ Fj est lensemble des zros communs des Pi,j pour j

    et i Ij, donc est un ferm de Zariski.Remarque. En fait, par le thorme du Nullstellensatz de Hilbert (voir par exemple[Per]), tout ferm de Zariski de An(k) est lensemble des zros communs dune famillefinie de polynmes.

    Un exemple crucial de collection despaces topologiques est donn dans la partie sui-vante.

    1.3 Espaces mtriques

    Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application d : EE [0,+[ telleque, pour tous x, y, z dans E,

    (1) (annulation sur la diagonale) d(x, x) = 0 ;

    (2) (sparation) si d(x, y) = 0, alors x = y ;

    (3) (symtrie) d(x, y) = d(y, x) ;

    (4) (ingalit triangulaire) d(x, y) d(x, z) + d(z, y).Si d est une distance sur E, alors

    d(x, y) |d(x, z) d(z, y)|

    pour tous x, y, z dans E (cette ingalit sappelle lingalit triangulaire inverse).Un espace mtrique est un ensemble X muni dune distance d. Par abus, nous noterons

    souvent X le couple (X, d), en notant plus prcisment dX la distance de X si ncessaire(le contexte aidant, cela lest rarement, et d dsignera par dfaut la distance de tout espacemtrique considr).

    Une application f : X Y entre deux espaces mtriques est isomtrique si

    x, y X, d(f(x), f(y)) = d(x, y) .

    Une application isomtrique tant clairement injective, on parlera aussi dinjection (ouplongement) isomtrique. Une isomtrie entre deux espaces mtriques est une bijection quiest une application isomtrique ; son inverse est alors aussi une application isomtrique.Deux espaces mtriques X et Y sont isomtriques sil existe une isomtrie de X danstre isomtrique est une relation dquivalence sur tout ensemble despaces mtriques.

    Remarque. Pour pouvoir dfinir une distance, nous avons eu besoin de lintervalle[0,+[ de R et de proprits de R (voir le paragraphe 1.1). Mais le lecteur vrifiera que lesseules proprits de R utilises dans la dfinition dune distance, et pour montrer linga-lit triangulaire inverse, sont celles de groupe ablien ordonn. Pour tout groupe ablienordonn , densemble des lments positifs ou nuls +, on dfinit une -distance surcomme une application d : E E + vrifiant les axiomes (1) (4) ci-dessus. Nousrenvoyons [Chi] pour des exemples intressants de -espaces mtriques, par exemplelorsque = R R muni de lordre lexicographique.

    Soit (X, d) un espace mtrique.

    12

  • Soient x X et r > 0. La boule ouverte de centre x et de rayon r estB(x, r) = {y X : d(x, y) < r} .

    La boule ferme de centre x et de rayon r est

    B(x, r) = {y X : d(x, y) r} .La sphre de centre x et de rayon r est

    S(x, r) = {y X : d(x, y) = r} .Lorsque lon veut prciser la distance, on pourra la mettre en indice, et noter Bd(x, r),Bd(x, r), Sd(x, r).

    Exercice E.2 Soit d une distance sur un ensemble X. Elle est dite ultramtrique si soningalit triangulaire est remplace par la condition (plus forte)

    d(x, y) max{d(x, z), d(z, y)} ,appele ingalit triangulaire ultramtrique.

    Si d est ultramtrique, montrer les proprits suivantes.(1) Pour tous x, y, z dans X,

    si d(x, z) 6= d(z, y), alors d(x, y) = max{d(x, z), d(z, y)} .(2) Tout point dune boule pour d en est un centre.(3) Tout point dune boule ouverte pour d est un centre de la sphre correspondante.(4) tant donn deux boules ouvertes, montrer quou bien lune des deux est contenue

    dans lautre, ou bien elles sont disjointes.

    Topologie induite par une distance Lensemble O des parties U de X telles que

    x U, > 0, B(x, ) Uest une topologie surX, appele topologie induite par la distance d. Sauf mention contraire,tout espace mtrique sera muni de la topologie induite par sa distance.

    La preuve que O est bien une topologie est la mme que celle pour les distancesinduites par des normes. En effet, soit (Ui)iI une famille dlments de O . Si I est fini etx iI Ui, soit i > 0 tel que B(x, i) Ui ; alors = infiI i > 0 et B(x, ) iI Ui.Si x iI Ui, soit i0 I tel que x Ui0 , et > 0 tel que B(x, ) Ui0 ; alorsB(x, ) iI Ui.

    Une isomtrie entre deux espaces mtriques est clairement un homomorphisme pourles topologies induites par les distances (elle envoie boule ouverte sur boule ouverte, ainsique son inverse). Voir le paragraphe 5.3 pour des gnralisations.

    Un espace topologique (X,O) est dit mtrisable sil existe une distance sur lensembleX dont la topologie induite est O . La proprit tre mtrisable est une propritinvariante par homomorphismes. Si la plupart des espaces topologiques rencontrs sontmtrisables, il existe quand mme en analyse des exemples cruciaux qui ne sont pasmtrisables (voir par exemple lexercice E.9 ci-dessous). De plus, dans de nombreux cas,

    13

    il nexiste pas de distance naturelle (i.e. invariante par toutes les transformations que lona envie dtudier) induisant la topologie donne (voir par exemple lespace de Schwartzdans lexemple (iv) ci-dessous). Il est donc crucial dtudier les espaces topologiques poureux-mmes, sans les supposer, lorsque cest possible, munis dune distance fixe.

    Deux distances d et d sur un ensemble E sont dites quivalentes sil existe c 1 telque

    x, y E, 1cd(x, y) d(x, y) c d(x, y) .

    La relation tre quivalente sur lensemble des distances sur E est une relationdquivalence.

    Deux distances sur un ensemble sont dites topologiquement quivalentes si elles in-duisent la mme topologie. Bien sr, quivalent implique topologiquement quivalenmais la rciproque est loin dtre vraie, et on prendra garde ne pas confondre ces deuxnotions : si f : X X est un homomorphisme dun espace topologique X, et d unedistance sur X induisant la topologie de X, alors lapplication d : X X [0,+dfinie par d(x, y) = d(f(x), f(y)) est une distance sur X topologiquement quivalented, mais qui nest quivalente d que si f est bilipschitpzienne (voir la partie 5.3).

    Soit A une partie de X.Pour x X, on appelle distance de x A le nombre

    d(x,A) = inf{d(x, y) : y A}

    (avec la convention d(x,A) = + siA est vide). Par des arguments dingalit triangulaireet dapproximation de borne infrieure, la fonction distance une partie non vide estlipschitzienne (voir la partie 5.3), i.e.

    x, y X, |d(x,A) d(y, A)| d(x, y) .

    Le r-voisinage ouvert de A est lensemble

    Vr(A) = {x X : d(x,A) < r} .

    Le r-voisinage ferm de A est lensemble

    V r(A) = {x X : d(x,A) r} .

    Exercice E.3 Pour la topologie induite par une distance, montrer que les boules ouverteset les voisinages ouverts de parties sont ouverts, et que les boules fermes et les voisinagesferms de parties sont ferms.

    Si B est une partie de X, on appelle distance de A B le nombre

    d(A,B) = inf{d(x, y) : x A, y B} = inf{d(x,B) : x A} = inf{d(y, A) : y B

    (avec la convention d(A,B) = + si A ou B est vide).Le diamtre de A est llment de [0,+] dfini par

    diamA = supx,y A

    d(x, y)

    14

  • si A est non vide, avec la convention que diam = . Si B est une partie de A, alorsdiamB diamA. Pour tout x dans X, et tout r > 0, le diamtre de Vr(A) est, paringalit triangulaire, au plus 2r + diamA ; et le diamtre de S(x, r) est au plus 2r.

    La partie A est borne si elle est vide ou si son diamtre est fini. Si X est non vide,ceci quivaut par lingalit triangulaire au fait quil existe x0 X et r > 0 tels que Asoit contenue dans B(x0, r). Une application dun ensemble valeurs dans X est bornesi son image est borne.

    Il est parfois utile de chercher sil existe une unique boule de rayon minimal contenantune partie non vide borne donne (voir [BH] pour une trs jolie collection despacesmtriques dans lesquels ceci est possible).

    Les vrifications des exemples suivants sont laisses en exercice.

    Exemple (i) Pour tout ensemble E, lapplication d dfinie par

    d(x, y) =

    {0 si x = y1 sinon

    est une distance sur E, appele la distance discrte. La topologie induite par cette distanceest la topologie discrte (les boules ouvertes de rayon 1

    2sont les singletons).

    Exemple (ii) Soient (X, d) un espace mtrique et Y une partie de X. La restriction ded Y Y est une distance sur Y , dite induite. Sauf mention explicite du contraire, toutepartie dun espace mtrique sera munie de la distance induite (et donc de la topologieinduite par sa distance induite, que nous caractriserons et tudierons dans la partie 2.3 :il est facile de montrer quune partie A de Y est ouverte pour la topologie de Y si etseulement sil existe un ouvert U de X tel que A = U Y ).Exemple (iii) Soit E un espace vectoriel sur le corps K = R ou K = C. Une norme surE est une application || || de E dans [0,+[ telle que, pour tous x, y dans E et tout dans K,

    (i) ||x|| = 0 si et seulement si x = 0,(ii) (homognit) ||x|| = || ||x||,(iii) (sous-additivit) ||x+ y|| ||x||+ ||y|| .Si f : E F est un isomorphisme linaire sur un espace vectoriel F sur K, alors y 7||f1(y)|| est une norme sur F , appele la norme image de || || par f .

    Un espace vectoriel norm (rel ou complexe) est un espace vectoriel (rel ou com-plexe) muni dune norme. Par exemple, (R, | |) et (C, | |) sont des espaces vectorielsnorms. Si (E, || ||) est un espace vectoriel (rel ou complexe) norm, alors il est facilede vrifier (et cela a t fait lanne dernire) que d(x, y) = ||x y|| est une distance surlensemble E, dite induite par la norme. La topologie induite par la distance induite parune norme est appele la topologie induite par cette norme (et a dj t introduite enclasses prparatoires).

    Sauf mention contraire, tout espace vectoriel norm sera muni de la distance induitepar sa norme (et donc toute partie dun espace vectoriel norm (en particulier toute partiede R et C) sera munie de la topologie induite par sa distance induite ...).

    Remarquons quune application linaire f : E F entre deux espaces vectorielsnorms est isomtrique (pour les distances induites par les normes) si et seulement si elleprserve la norme, i.e. si

    x E, ||f(x)|| = ||x|| .15

    Soit E un espace vectoriel rel ou complexe. Deux normes || || et || || sur E sondites quivalentes sil existe une constante c > 0 telle que, pour tout x dans E,

    1

    c||x|| ||x|| c ||x|| .

    La relation tre quivalente sur lensemble des normes sur E est une relation dqui-valence.

    Deux normes sont quivalentes si et seulement si leurs distances induites sont quivlentes, et ces distances sont alors topologiquement quivalentes.

    Nous reviendrons plus longuement dans les paragraphes 2.8, 3.4 et surtout danschapitre 6 sur la topologie des espaces vectoriels norms.

    Ci-dessous, nous dessinons les boules units, pour n = 2 et diverses valeurs de p dans[1,+], des normes (quivalentes)

    ||(x1, . . . , xn)||p =( n

    i=1

    |xi|p)1/p

    sur lespace vectoriel Rn, o par convention,

    ||(x1, . . . , xn)|| = max1in

    |xi| .

    La norme || ||2 sur Rn est appele la norme euclidienne, et la topologie induite parnorme euclidienne est appele la topologie usuelle sur Rn.

    boule unit de|| ||1

    boule unit de boule unit de boule unit de boule unit de|| ||2 || ||4 || |||| || 3

    2

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1 11 1 1

    Exercice E.4 Dterminer toutes les isomtries de Rn muni de la distance dp induite pla norme || ||p.

    Lexercice suivant dit que tout espace mtrique est isomtrique un sous-espace dunespace vectoriel norm (ce sous-espace tant muni de la restriction de la distance induitepar la norme). Mais ce nest pas une raison pour ne considrer que les distances induites parla norme des espaces vectoriels norms, la gomtrie des distances particulires pouvanapporter des informations supplmentaires pour tudier un problme donn.

    Exercice E.5 (Thorme dArens-Fells) Soient X un espace mtrique, x0 un pointfix de X, F lensemble des parties finies non vides de X, et B(F ) lespace vectoriel rdes applications bornes f de F dans R, muni de la norme dite uniforme

    ||f || = supAF

    |f(A)| .

    Pour tout x dans X, notons fx : F R lapplication dfinie parfx : A 7 d(x,A) d(x0, A) .

    Montrer que x 7 fx est une isomtrie de X sur son image dans B(F ). En dduire quetout espace mtrique est isomtrique un ferm dun espace vectoriel norm.

    16

  • Exemple (iv) Si n N {0} et E1, . . . , En sont des espaces mtriques, alors lunequelconque des applications dp ci-dessous, dites distance produit, est une distance surlensemble produit E = E1 En : pour tout p [1,+], et pour tous x =(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) dans E,

    dp(x, y) =

    { ( ni=1 d(xi, yi)

    p)1/p

    si p 6= +max1in d(xi, yi) sinon .

    De plus, ces distances dp sont quivalentes.Soient n N {0}, E1, . . . , En des espaces vectoriels norms, et p [1,+]. Alors

    les applications || ||p : E1 En [0,+[ dfinies par

    ||(x1, . . . , xn)||p =( n

    i=1

    ||xi||p)1/p

    si p 6= + et||(x1, . . . , xn)|| = max

    1in||xi||

    sont des normes (quivalentes), appeles normes produits sur lespace vectoriel produitE1 En, et la distance associe la norme || ||p est la distance produit dp desdistances associes aux normes des Ei.

    Exemple (v) Une pseudo-distance (ou cart) sur un ensemble E est une application d :EE [0,+[ vrifiant les axiomes (1), (3) et (4) des distances. On dfinit les pseudo-boules et les pseudo-distances une partie comme pour les distances. En particulier, pourtous x E et > 0, on note

    B(x, ) = {y E : d(x, y) < } ,

    (et Bd(x, ) lorsque lon veut prciser la pseudo-distance), que lon appelle la (pseudo-)boule ouverte de centre x et de rayon pour la pseudo-distance d.

    Une famille (di)iI de pseudo-distances sur un ensemble E est dite sparante si pourtous x, y distincts dans E, il existe i I tel que di(x, y) 6= 0.

    Remarques : si c > 0 et si d est une pseudo-distance sur E, alors

    c d , min{c, d} , d1 + d

    sont des pseudo-distances sur E, les deux dernires tant bornes (majores par c et 1respectivement) : lapplication x 7 x

    1+xest croissante sur [0,+], et, pour tous x, y 0,

    x+ y

    1 + x+ y x

    1 + x+

    y

    1 + y.

    Si de plus d est une distance, alors les pseudo-distances c d,min{c, d}, d1+d

    sont des dis-tances, induisant la mme topologie que d sur E.

    Une somme convergente iI di de pseudo-distances dune famille dnombrable depseudo-distances (di)iI est une pseudo-distance, qui est une distance si la famille estsparante.

    17

    Une borne suprieure finie supiI di de pseudo-distances dune famille de pseudo-distances (di)iI est une pseudo-distance, qui est une distance si la famille est sparante.

    Topologie induite par une famille de pseudo-distances Soient E un ensemble(d)A une famille de pseudo-distances sur E. Lensemble O des parties U de E tellesque pour tout x dans U , il existe > 0 et A une partie finie de A tels que

    A Bd(x, ) U

    est une topologie sur X, qui est appele la topologie dfinie par la famille de pseudo-distances (d)A . Si la famille (d)A est compose dun seul lment, qui est unedistance, on retrouve bien sr la dfinition prcdente.

    La preuve que O est bien une topologie est similaire celle pour les distances. Eneffet, soit (Ui)iI une famille dlments de O .

    Si I est fini et x iI Ui, alors pour tout i I, soient i > 0 et Ai une partie finieA tels que

    Ai Bd(x, i) Ui. Alors = infiI i est strictement positif, A =

    iI

    est fini, et

    A Bd(x, )

    iI Ui. Donc O est stable par intersections finies.Si x iI Ui, soit i0 I tel que x Ui0 . Soient > 0 et A une partie finie de A

    tels que

    A Bd(x, ) Ui0 . Alors

    A Bd(x, )

    iI Ui. Donc O est stable parunions.

    Exercice E.6 (1) Soit E un ensemble muni dune famille sparante de pseudo-distanc(dn)nN. Soient (an)nN une suite de rels strictement positifs telle que la srie

    +n=0

    converge, et (bn)nN une suite de rels strictement positifs convergeant vers 0.Montrer que les applications

    (x, y) = supnN

    min{bn, dn(x, y)}

    (x, y) =nN

    andn(x, y)

    1 + dn(x, y)

    (x, y) =nN

    anmin{1, dn(x, y)}

    sont des distances topologiquement quivalentes sur E, dont la topologie induite esttopologie dfinie par la famille de pseudo-distances (dn)nN.

    (2) Donner un exemple densemble E muni dune famille sparante de pseudo-distanc(dn)nN telles que les distances

    (x, y) = supnN

    min{1, dn(x, y)} , (x, y) =nN

    2ndn(x, y)

    1 + dn(x, y)

    ne soient pas topologiquement quivalentes.

    Une semi-norme sur un espace vectoriel E sur le corps K = R ou K = C est uneapplication || || de E dans [0,+[ vrifiant

    x, y E, K, ||0|| = 0 , ||x|| = || ||x|| , ||x+ y|| ||x||+ ||y|| ,

    18

  • cest--dire vrifiant toutes les proprits dune norme sauf peut-tre laxiome de spara-tion ||x|| = 0 = x = 0.

    Si || || est une semi-norme sur un espace vectoriel E, alors d(x, y) = ||x y|| estune pseudo-distance sur lensemble E, dite induite par || ||. Une famille (|| ||i)iI desemi-normes sur un espace vectoriel E est dite sparante si la famille des pseudo-distancesassocies lest, ou, de manire quivalente, si, pour tout x dans E, si ||x|| = 0 pour tout dans A , alors x = 0.

    Lespace de Schwartz des fonctions dcroissance rapide Par exemple, pour toutr N{0}, une application f de lespace euclidien usuel Rr dans R, qui est lisse (i.e. declasse C), est dite dcroissance rapide si pour tous k dans N,m = (m1, . . . , mr) Nr etx = (x1, . . . xr) (avec, de manire usuelle, |m| = m1+ +mr et mf =

    |m|

    xm11 . . . xmrr

    f ),

    lapplicationx 7 (1 + ||x||k) mf(x)

    est borne. Notons S (Rr) lespace vectoriel rel des applications f de Rr dans R lisses dcroissance rapide. Alors

    ||f ||k,m = supxRr

    (1 + ||x||k) mf(x)est une semi-norme sur S (Rr). Notons I = NNr, et (dk,m)(k,m)I la famille des pseudo-distances sur S (Rr) induites par les semi-normes || ||k,m, qui est sparante.

    Soit : I [0,+[ une application telle que la srie iI 2(i) converge (parexemple (k,m) = k + |m|). Notons

    d(x, y) =iI

    2(i)di(x, y)

    1 + di(x, y).

    Alors les applications d dfinies ci-dessus sont, par les exemples de pseudo-distances pr-cdents, des distances bornes sur S (Rr). De plus, les distances d sont topologiquementquivalentes, comme on le montre aisment (voir lexercice E.6 (1)).

    Ainsi, lensemble S (Rr) est muni de nombreuses distances topologiquement quiva-lentes. Nous dfinirons de manire intrinsque la topologie dfinie par ces distances auparagraphe 2.2.

    Nous dfinirons, dans le paragraphe 3.1, une suite convergente vers un lment y dansun espace mtrique (X, d) comme une suite (xn)nN telle que d(xn, y) 0. Il est facilede montrer que les distances d dfinissent les mmes suites convergentes dans S (Rr)(i.e. une suite (fn)nN dans S (Rr) converge vers un lment g de S (Rr) pour lune deces distances si et seulement si elle converge vers ce mme lment pour une autre, car cestle cas si et seulement si pour tout couple (m, k), la suite de rels ||fng||k,m converge vers0 quand n tend vers +). Mais il nest pas clair que lune de ces distances soit meilleureque les autres. Do lintrt dune notion gnrale de convergence, voir la partie 3 : lanotion de convergence nest pas une proprit dune distance, mais cest une proprit dela topologie quelle induit.

    Exercice E.7 Soit E un espace vectoriel sur le corps K = R ou K = C, et O unetopologie sur E. On dit que O est normable sil existe une norme sur E dont la topologieinduite est O. Si A est une partie de E et K, on note A = {x : x A}.

    19

    (1) Montrer que si O est normable, alors les applications

    E E E(x, y) 7 x y et

    K E E(, y) 7 y

    sont continues (voir le paragraphe 1.8 pour la dfinition de la continuit, et le paragraphe2.4 (et la remarque (iii) suivant la proposition 2.9) pour celle de la topologie dun produitde deux espaces topologiques).

    (2) Si la topologie O est normable, et dfinie par une distance d, montrer que pourtout > 0 suffisamment petit, lensemble U = { 1

    n+1B(0, ) : n N} est un systme

    fondamental de voisinages ouverts du vecteur nul pour O, i.e. U O, 0 appartienttout lment de U , et tout ouvert de O contenant 0 contient un lment de U (voirparagraphe 1.5).

    (3) En dduire que lespace de Schwartz des fonctions dcroissance rapide nest pnormable.

    Exemple (vi) Les applications d de C C dans [0,+[ suivantes sont des distancessur C, respectivement appeles distance SNCF et distance du peigne :

    d(x, y) =

    { |x y| si x et y sont colineaires sur R|x|+ |y| sinon

    et

    d(x, y) =

    { |x y| si Re x = Re y| Im x|+ | Im y|+ |RexRe y| sinon.

    Remarquons que les topologies induites par ces distances sont diffrentes de la topologieusuelle de C.

    distance SNCF distance du peigne

    Exemple (vii) Soit (X, d) un espace mtrique. Un chemin dans X est une application de [0, 1] dans X qui est continue (i.e. telle que

    > 0, t0 [0, 1], > 0, t [0, 1], |t t0| < = d((t), (t0)) < ,voir le paragraphe 1.8) . Les extrmits dun chemin sont les points (0) et (1). Lalongueur dun chemin de X est

    long = sup

    ni=0

    d((ti), (ti+1)) ,

    o la borne suprieure est prise sur tous les n dans N et toutes les subdivisions t0 = 0t1 < < tn < tn+1 = 1 de [0, 1]. En particulier,

    long d((0), (1)) .20

  • Deux chemins , qui ne diffrent que par reparamtrage la source (i.e. = o : [0, 1] [0, 1] est un homomorphisme) ont la mme longueur.

    Si : [0, 1] X et : [0, 1] X sont deux chemins continus tels que (1) = (0),on appelle concatnation des chemins et lapplication : [0, 1] X, note souvent , dfinie par

    (t) ={

    (2t) si t [0, 12]

    (2t 1) si t [12, 1] .

    Dans lespace mtrique (X, d), il est facile de vrifier que la concatnation est encoreun chemin (continu), de (0) (1).

    Un espace mtrique est connexe par arcs rectifiables si pour tous x, y dans X, il existeun chemin de longueur finie dextrmits x, y. Si X est connexe par arcs rectifiables,alors lapplication d, qui au couple (x, y) de points de X associe la borne infrieure deslongueurs des chemins dextrmits x, y, est une distance sur X (pour vrifier lingalittriangulaire, utiliser la concatnation des chemins et des arguments classiques de passage la borne infrieure). Elle est appele la distance de longueur induite par d, et elle vrifie

    d d et (d) = d .(Cette dernire galit nest pas si vidente que cela, car les distances d et d ne sont pastoujours topologiquement quivalentes, voir [Gro1, page 5].) Un espace de longueur est unespace mtrique (X, d) tel que d = d, et d est alors appele une distance de longueur. Unespace mtrique X est godsique si pour tous x, y dansX, il existe un chemin dextrmitsx, y de longueur gale d(x, y). Bien sr, un espace godsique est un espace de longueur.

    Exemples : Lespace euclidien R2 priv de 0 est un espace de longueur qui nestpas godsique.

    Tout espace vectoriel norm, et plus gnralement tout convexe dun espace vectorielnorm, est un espace godsique : par lingalit triangulaire, la ligne droite y est un pluscourt chemin !

    Lensemble C muni de la distance SNCF ou de la distance du peigne est un espacegodsique.

    Sur la sphre unit Sn de lespace euclidien usuel Rn+1, la distance d induite par ladistance euclidienne de Rn+1 nest pas une distance de longueur, et la distance de longueurd induite par d, qui est la distance angulaire, est godsique, les arcs de grands cercles ysont les plus courts chemins.

    x y

    Sn

    d(x, y)

    d(x, y)

    d(x, y) = ||y x||

    0 d(x, y) = 2 arcsind(x,y)

    2

    Des exemples despaces mtriques godsiques apparaissent naturellement en gom-trie riemannienne, sous-riemannienne et leurs dgnrescences (voir par exemple [Gro1,Gro2]).

    21

    Exemple (viii) Soit (X, d) un espace mtrique, et Pc(X) lensemble de ses partiesfermes bornes non vides. Nous allons munir Pc(X) dune distance, invariante par lesisomtries de X.

    On appelle correspondance entre deux ensembles E et F une relation R entre E et(rappelons que R est une partie de E F , que lon note xR y au lieu de (x, y) R,que lon dit alors que x est en relation avec y pour R) telle que tout point de E soitrelation pour R avec au moins un point de F et rciproquement.

    Proposition 1.2 Considrons lapplication dH : Pc(X)Pc(X) [0,+[ dfinie p

    dH(K,K) = max

    {supxK

    d(x,K ), supxK

    d(x, K)}

    = inf{ > 0 : K V(K ) et K V(K)

    },

    ou encore en demandant que dH(K,K ) soit la borne infrieure des > 0 tels quil existeune correspondance R entre K et K telle que

    x, y K K , xR y = d(x, y) < .

    Alors dH est une distance sur Pc(X), invariante par les isomtries de X : pour touteisomtrie f de X, on a dH(f(K), f(K )) = dH(K,K ).

    Cette distance, qui dpend bien sr de d, est appele la distance de Hausdorff surPc(X).

    Exemples : Si X est lespace mtrique [0, 1] usuel, et An = { kn+1 , 0 k n+ 1alors

    dH(X,An) =1

    2(n+ 1)n+ 0 .

    Pour tous les n N {0} et p [1,+], notons Bp la boule unit ferme depour la norme || ||p (voir lexemple (iii)). Les Bp sont des ferms borns non vides demuni de la distance euclidienne usuelle. Pour tout p0 dans [1,+], il est facile de montrerque dH(Bp, Bp0) tend vers 0 quand p tend vers p0 dans [1,+].

    On considre la suite (Kn)nN de lignes polygonales du plan R2, o Kn est formde 4n segments conscutifs de longueurs 1

    3n, qui est dfinie ainsi par rcurrence : K0 est

    lintervalle unit horizontal [0, 1] ; Kn+1 est obtenu partir de Kn en subdivisant en troischacun des 4n segments de Kn, et en remplacant le tiers du milieu par les deux autrescts du triangle quilatral ayant comme base (et situ gauche en parcourant Kn, bienque cela nait gure dimportance). Il est facile de montrer que dH(Kn, Kn+1) =

    32

    13n,

    quil existe un ferm bornK du plan tel que dH(Kn, K) converge vers 0 quand n tend vers+ : lapplication fn : [0, 1] Kn, obtenue en dcoupant lintervalle [0, 1] en 4n segmende longueurs gales, puis en prenant sur chacun de ces segments une application affinesur le segment correspondant de Kn, est uniformment de Cauchy (voir le paragraphe3.4), donc converge vers une application continue de [0, 1] dans R2, dont limage estCe ferm born K est appel la courbe de von Koch.

    22

  • K0

    K3

    K2

    K1

    Exercice E.8 Montrer que la courbe de von Koch est homomorphe [0, 1] (donc estconnexe par arcs, au sens du paragraphe 1.9), mais nest pas connexe par arcs rectifiables(pour la distance usuelle de R2).

    La notion de limite (voir le paragraphe 3.1) pour la distance de Hausdorff permetsouvent de construire de trs jolis objets fractals (voir par exemple [Man, Fal, Mat]).

    Preuve. Par dfinition des -voisinages ouverts, les deux inclusions K V(K ) et K V(K) sont vrifies si et seulement si la relation xR y dfinie par d(x, y) < est une corres-

    pondance entre K et K . Si K V(K ) et K V(K), alors on a max{

    supxK d(x,K),

    supxK d(x, K)

    } . Si max

    {supxK d(x,K

    ), supxK d(x, K)

    }< , alors K

    V(K) et K V(K). Lgalit des trois dfinitions en dcoule aisment.

    La fonction dH est finie (pour tous K,K dans Pc(X), pour x K et x K , on adH(K,K

    ) diamK + d(x, x) + diamK ), positive ou nulle, symtrique et nulle sur ladiagonale. Par ingalit triangulaire, on a V(V(A)) V+(A)) pour toute partie A de Xet tous , > 0. Donc en utilisant la seconde dfinition, lapplication dH vrifie lingalittriangulaire. (On peut aussi composer les correspondances : si R est une correspondanceentre K et K telle que d(x, x) < si xR x, et si R est une correspondance entre K etK telle que d(x, x) < si x R x, alors la relation R entreK etK dfinie par xR x

    si et seulement sil existe x dans K tel que xR x et x R x est une correspondance entreK et K telle que d(x, x) < + si xR x, par ingalit triangulaire).

    Si dH(K,K ) = 0, alors pour tout x dans K, on a d(x,K ) < pour tout > 0, doncd(x,K ) = 0. Nous verrons dans le paragraphe 1.6 que si une partie A de X est ferme,alors d(x,A) = 0 si et seulement si x appartient A. Donc K K . Par symtrie, cecimontre laxiome de sparation de dH .

    Exemple (ix) Soit (X, d) un espace mtrique. Soit B la tribu de ses borliens et M (X)lensemble de ses mesures (borliennes) de probabilit (voir le cours dIntgration et proba-bilit). Il existe sur M (X) plusieurs topologies intressantes et naturelles (voir lexemple(3) du paragraphe 2.2), et ces topologies suffisent en gnral. Mais pour les aficionadosdes distances, et quelques usages prcis, il existe aussi plusieurs distances intressanteset naturelles sur M (X) (voir [Par, Vil]). Nous nen donnons quune ci-dessous, voir parexemple [Vil, Chap. 6] pour la dfinition et les premires proprits des distances deWasserstein dW,p entre deux lments , de M (X), pour p [0,+[ :

    dW,p(, ) =

    (inf

    m(,)

    XX

    d(x, y)p dm(x, y)

    )1/p,

    23

    o (, ) est lensemble des mesures (borliennes) de probabilit m sur lespace toplogique produit X X (voir paragraphe 2.4) telles que les mesures images (appelesmarginales, voir le cours dIntgration et probabilit) (pr1)m et (pr2)m de m par lesprojections canoniques pr1 : (x, y) 7 x et pr2 : (x, y) 7 y soient respectivement et

    Proposition 1.3 Considrons lapplication dP : M (X)M (X) [0,+[ dfinie par

    dP (, ) = inf{ > 0 : B B, (B) (V(B)) + et (B) (V(B)) +

    }.

    Alors dP est une distance sur M (X).

    Cette distance est appele la distance de Prokhorov sur M (X).

    Preuve. Lapplication dp est valeurs finies (majores par 1), positives ou nulles ; elleest symtrique et nulle sur la diagonale, par construction. En utilisant de nouveau le faitque V(V(A)) V+(A)) pour toute partie A de X et tous , > 0, et quun voisinageouvert est ouvert, donc borlien, lingalit triangulaire en dcoule.

    Si B est un ferm de X, alors(V 1n(B))nN est une famille dcroissante de borliens,

    dintersection lensemble des x de X tels que d(x,B) = 0, qui est gal B daprs le pa-ragraphe 1.6. Donc par convergence monotone (voir le cours dIntgration et probabilit),pour tout dans M (X), la suite des

    (V 1n(B))converge vers (B). Il en dcoule que

    dP (, ) = 0, alors (B) = (B) pour tout ferm B de X. Comme les ferms engendrenla tribu des borliens, ceci implique que = , ce qui montre laxiome de sparationdP .

    Exemple (x) Une distance d sur un groupe G est dite invariante gauche (resp. droitesi pour tous g, x, y dans G, nous avons

    d(gx, gy) = d(x, y) (resp. d(gx, gy) = d(x, y) ) .

    Une distance est dite bi-invariante si elle est invariante droite et gauche. Par exemple,la distance induite par une norme sur un espace vectoriel est invariante par translations.

    Sur le groupe (R+,), la formule

    d(a, b) = | log ab|

    est une distance invariante gauche (donc droite, par commutativit).Sur le groupe O(n) des rotations de Rn, la formule

    d(x, y) =(trace t(y x)(y x)) 12

    est une distance bi-invariante.

    Nous renvoyons par exemple [Gro1][Vil, Chap. 27] pour dautres trs jolis exemplesdespaces mtriques.

    24

  • 1.4 Topologie engendre et base douverts

    Soit E un ensemble. Pour toute partie de P(E), il existe une unique topologie laplus petite (pour linclusion) contenant . Cest lensemble O des unions dintersectionsfinies dlments de . Cest lintersection de toutes les topologies contenant . On ditque O est la topologie engendre par , et que est une prbase de O .

    Preuve. Lintersection de toutes les topologies contenant est une topologie, clairementla plus petite pour linclusion. Il est clair que toute topologie contenant contient O . Ilsuffit donc pour conclure de montrer que O est une topologie. Ceci dcoule du fait queE O et de la distributivit(

    iIAi

    )(jJ

    Bj

    )=

    iI,jJ

    (Ai Bj).

    Une base douverts dun espace topologique (X,O) est une partie B de O telle quetout ouvert de X soit union dlments de B. De manire quivalente, une base douvertsde (X,O) est une partie B de O telle que

    U O , x U, V B, x V U .Un espace topologique est base dnombrable douverts sil admet une base douverts quiest dnombrable.

    Si f : X Y est un homomorphisme, si B est une prbase (respectivement une base)douverts dans Y , alors f1(B) est une prbase (respectivement une base) douverts dansX. La proprit tre base dnombrable douverts est une proprit invariante parhomomorphisme.

    Exemples. (a) Lensemble des intersections finies dlments dune prbase est une basedouverts.

    (b) Si (X, d) est un espace mtrique, alors {B(x, r) : x X, r > 0} est une basedouverts de la topologie induite par la distance d, par dfinition de celle-ci.

    (c) Si X est un ensemble muni de topologie dfinie par une famille de pseudo-distances(d)A , alors par dfinition, cette topologie est la topologie engendre par lensemble desboules ouvertes pour ces pseudo-distances d. De plus, lensemble des intersections finiesn

    i=1Bdi (x, ) de boules ouvertes (de mmes centre et rayon) pour ces pseudo-distances,o 1, . . . , n A , x X et > 0, est une base douverts de cette topologie.

    (d) Un espace vectoriel norm de dimension finie est base dnombrable douverts :dans Rk, lensemble des pavs dyadiques

    di=1 ]xi ri, xi + ri[, avec les xi et ri > 0 de

    la forme n2m

    avec n,m dans Z, est une base dnombrable douverts ; plus gnralement,lensemble des boules ouvertes de rayon rationnels et centres en des points dont toutesles coordonnes dans une base fixe sont rationnelles.

    Par dfinition, tout ensemble de parties dun ensemble est une prbase de sa topologieengendre. Mais par contre la proprit tre une base douverts dune certaine topologie est une condition non automatique sur les ensembles de parties dun ensemble.

    Proposition 1.4 (Critre pour quune prbase soit une base) Soit E un ensemble.Soit B une partie de P(E) telle que

    B = E et telle que

    () U, V B, x U V, W B, x W U V .25

    Alors lensemble O des unions dlments de B est la topologie engendre par B. Enparticulier, B est une base douverts de sa topologie engendre.

    Preuve. Il suffit de montrer que O est unetopologie. Comme E O et par la formulede distributivit ci-dessus, il suffit de montrerque lintersection de deux lments de B estunion dlments de B. Ceci dcoule de lacondition ().

    x

    W

    VU

    En fait, la topologie dun espace mtrique a t construite ainsi au paragraphe 1.2,prenant pour B lensemble des boules ouvertes, et en montrant que B satisfait au critreci-dessus pour vrifier que la topologie induite par la distance est bien une topologie.en tait de mme pour la topologie dfinie par une famille de pseudo-distances (exemple(v) du paragraphe 1.2).

    Exemple (1) : la droite numrique tendue.

    Soient + et deux ensembles distincts nappartenant pas R. Lensemble des par-ties de R{+,} de la forme ]x 1

    n, x+ 1

    n[ ou {} ],n[ ou ]n,+[ {+}

    avec x R et n N{0} est une base douverts pour une topologie sur R{,+}Cet ensemble muni de cette topologie est not R.

    Exemple (2) : les topologies de Schwartz et de Whitney sur lespace des fonc-tions lisses support compact.

    Soient K = R ou K = C, r N {0} et un ouvert non vide de lespace euclidienusuel Rr. Dfinissons le support dune application f de dans K comme le plus petit fermde en dehors duquel f est nulle (i.e. lintersection de tous les ferms en dehors desquelsf est nulle, ou (en renvoyant au paragraphe 1.6 pour la notion dadhrence) ladhrencede lensemble des points x de tels que f(x) 6= 0). En particulier, le support de f estferm. Rappelons quun compact de Rr est, pour linstant, un ferm born de Rr, et uncompact de un compact de Rr contenu dans (nous reviendrons bien sr longuemensur cette notion dans le chapitre 4, nous naurons besoin pour ltude ultrieure de cetexemple que du fait que tout ferm contenu dans un compact est compact, et que de toutrecouvrement ouvert dun compact on peut extraire un sous-recouvrement ouvert fini).

    Soit D() lespace vectoriel sur K des applications de dans K lisses (i.e. de classeC) support compact dans . Remarquons que D() est la runion, pour K parcouranles compacts de , des sous-espaces vectoriels DK() des applications dont le support(compact) est contenu dans K.

    Soit C 00,+() lensemble des applications continues de dans R, nulles sur la frontirede et strictement positives dans . Il nest pas si vident que cela que C 00,+() est nonvide et mme non-dnombrable, mais nous verrons dans le paragraphe 1.8 que puisquecomplmentaire c de est ferm, et sil est non vide (sinon les applications constantesstrictement positives conviennent), alors pour tout t > 0, lapplication x 7 t d(x, c) dans R est continue, nulle sur la frontire de et strictement positive dans , doncappartient C 00,+().

    (i) Pour tout f dans D(), pour tout dans lensemble C 00,+(), notons Bf, lensembledes g dans D() tels que

    |mf(x) mg(x)| < (x)pour tous les x dans et m Nr tels que |m| 1

    (x).

    26

  • Proposition 1.5 Lensemble B des Bf, pour f D() et C 00,+() est une basedune topologie sur D(), appele la topologie de Schwartz.

    Preuve. Appliquons le critre prcdent. Tout dabord, nous verrons, dans le paragraphe1.6 suivant, que si 6= , alors lapplication 0 : x 7 d(x, ) est continue, strictementpositive sur et nulle sur . Si = , posons 0 : x 7 1. Alors dans les deux cas,0 C 00,+(). Comme f Bf,0 , lensemble B recouvre D().

    Soit g Bf, Bf ,. Lapplication de dans [0, 1[ dfinie par

    x 7 maxmNr : |m|1/(x)

    |mf(x) mg(x)|(x)

    ,

    ainsi que celle obtenue en remplaant (f, ) par (f , ), est continue, nulle en dehors duncompact et strictement infrieure 1, donc est strictement infrieure pour un ]0, 1[.Soit = (1 )min{, }, qui appartient C 00,+(). Par lingalit triangulaire de lavaleur absolue, on vrifie que

    Bg, Bf, Bf , ,ce qui permet dappliquer la proposition 1.4.

    (ii) Pour tout f dans D(), pour tout dans lensemble C 00,+() et pour tout k dansN, notons Bf,,k lensemble des g dans D() tels que, sur ,

    |mf mg| <

    pour tout m Nd tel que |m| k. De mme, lensemble des Bf,,k pour f D(), C 00,+() et k N, est une base dune topologie sur D(), appele la topologie deWhitney.

    Ce genre de topologies (surtout celle de Schwartz) intervient dans la thorie des dis-tributions (voir par exemple [Sch]). Nous reviendrons moultes fois sur cet exemple, quinous servira dillustrations pour de nombreuses notions de topologie et danalyse.

    Exemple (3) : la topologie de lordre.

    Soit (E,) un ensemble totalement ordonn. La topologie de lordre est la topologiedont une base douverts est lensemble des parties I de E de la forme I = E ou

    I = ]x, y[ = {z E : x z y} ou

    I = ], y[ = {z E : z y} ou I = ]x,+[ = {z E : x z}pour les x, y dans E (lensemble de ces parties vrifie le critre pratique 1.4). Par exemple,il est facile de vrifier que si est lordre usuel sur toute partie A de R, alors la topologiede A (induite par la valeur absolue de R) et la topologie de lordre pour sur A concident.En particulier, les intervalles ouverts de R sont des ouverts, et les intervalles ferms de Rsont des ferms.

    Nous reviendrons sur les proprits des topologies de lordre ultrieurement. Nous don-nons ci-dessous quelques dfinitions sur les bons ordres, qui nous serviront pour construiredes exemples despaces topologiques plus tard.

    Un ordre total sur E est un bon ordre si toute partie non vide de E admet un pluspetit lment (i.e. A E, si A 6= alors x A, y A, x y). Un ensemble

    27

    muni dun bon ordre est un ensemble bien ordonn (par dfinition, ceci implique quil esttotalement ordonn).

    Par exemple, lensemble N muni de son ordre usuel est bien ordonn. Par exemple,E,F sont deux ensembles bien ordonns, alors lensemble produit E F muni de lordrelexicographique (dfini au paragraphe 1.1) est bien ordonn.

    Rappelons quune application f : E F entre deux ensembles ordonns E,F prservelordre si pour tous x, y dans E, si x y alors f(x) f(y). Deux ensembles ordonnssont dit isomorphes sil existe une bijection de lun dans lautre prservant lordre. Larelation tre isomorphe est une relation dquivalence. Un ordinal est une classedisomorphisme densembles bien ordonns. Comme un cardinal est une classe dquivlence densembles pour la relation tre en bijection , le cardinal dun ordinal est biendfini. Un ordinal est dit dnombrable si son cardinal lest (i.e. si son cardinal est le cardi-nal dune partie de N). Par un thorme de Zermelo (voir [Kri]), tout ensemble admet unbon ordre, et donc il existe un ordinal non dnombrable (voir ci-dessous pour un exemplene dpendant pas de laxiome du choix).

    Soit E un ensemble bien ordonn. Un segment initial de E est une partie de la forme{y E : y x} pour un x dans E. Muni de lordre induit de celui de E, un segmeninitial de E est bien ordonn. Soit , deux ordinaux, on dit que si est isomorphe un segment initial de (ce qui ne dpend pas des choix des reprsentants). On note si ou = . On montre que tout ensemble dordinaux, muni de cet ordreest bien ordonn. En particulier, la classe disomorphisme de lensemble (qui en est bienun) bien ordonn des ordinaux dnombrables est un ordinal non dnombrable, qui estplus petit ordinal non dnombrable.

    1.5 Voisinages

    Soit X un espace topologique et A une partie de X.

    Un voisinage de A est une partie de X contenant unouvert contenant A. On appelle voisinage dun point x deX un voisinage de {x}.

    Un systme fondamental de voisinages de A (ou dupoint x si A = {x}) est un ensemble P de voisinages deA tels que tout voisinage de A contienne un lment deP.

    V

    U

    x

    Cette notion de voisinages permet de reconstruire la topologie. En effet, une partieA de X est ouverte si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points, car elleest alors gale la runion des ouverts quelle contient. En particulier, si deux topologiessur un mme ensemble ont les mmes ensembles de voisinages de points, alors elles songales.

    Si V (A) est lensemble des voisinages de A (on note V (x) si A = {x}), alors toute partie de X contenant un lment de V (A) appartient V (A) ; toute intersection finie dlments de V (A) appartient V (A).

    (Si A est non vide, ces proprits sont des proprits de filtres (voir par exemple [DixBou1]), et on parle du filtre des voisinages de A.)

    Exemple (0) Lensemble des voisinages ouverts de A est un systme fondamentalvoisinages de A. Lensemble des voisinages de A contenus dans un voisinage donn V0

    28

  • A est un systme fondamental de voisinages de A (car si V est un voisinage de A, alorsV V0 est un voisinage de A contenu dans V et dans V0).Exemple (1) Soit (X, d) un espace mtrique. Pour nimporte quelle suite de rels stric-tement positifs (rn)nN tendant vers 0, lensemble {B(x, rn) : n N} est un systmefondamental (dnombrable) de voisinages de x X. En considrant les boules fermes,tout point dun espace mtrique admet un systme fondamental de voisinages ferms.Mais ceci nest pas vrai pour tous les espaces topologiques (voir lexercice E.11).

    Par contre, tant donne une partie A de X, lensemble {V(A) : > 0} nest pastoujours un systme fondamental de voisinages de A. Par exemple, si A = {(x, y) R2 :x > 0, xy = 1} et U = {(x, y) R2 : x, y > 0}, alors U est un voisinage ouvert de Aqui ne contient aucun V(A). Voir lexercice E.85 du paragraphe 8.1 pour une conditionsuffisante sur A pour que {V(A) : > 0}, ainsi que {V (A) : > 0}, soit un systmefondamental de voisinages de A.

    De mme, soit X un espace topologique dont la topologie est dfinie par une famillednombrable de pseudo-distances (d)A . Pour tout x dans X, lensemble des parties

    A B(x, ) deX, o > 0 et A est une partie finie de A , est un systme fondamental

    de voisinages de x.

    En particulier, tout point dun espace mtrique admet un systme fondamental dnom-brable de voisinages. De mme, tout point dun espace topologique dont la topologie estdfinie par une famille dnombrable de pseudo-distances admet un systme fondamentaldnombrable de voisinages.

    Ce fait donne un critre souvent utilis pour montrer quun espace topologique estnon mtrisable : il suffit dy exhiber un point qui nadmet pas de systme fondamentaldnombrable de voisinage.

    Exemple (2) En reprenant les notations de lexemple (2) du paragraphe 1.4, pour toutf D() fix, lensemble des Bf,,k pour C 00,+() et k N est un systme fondamental(non dnombrable) de voisinages de f pour la topologie de Whitney. De mme, pour toutf D() fix, lensemble des Bf, pour C 00,+() est un systme fondamental (nondnombrable) de voisinages de f pour la topologie de Schwartz.

    Exercice E.9 Montrer que les topologies de Whitney et de Schwartz ne sont pas mtri-sables.

    Le type de construction de topologie comme celle induite par une distance et celle delexemple (2) est un moyen trs rpandu de construire des bases douverts : on se donne,pour tout point x dun ensemble E, un ensemble Ex de parties de E le contenant, et onmontre que la runion des Ex lorsque x parcourt E vrifie le critre 1.4 pour tre unebase douverts dune topologie. Bien souvent (mais bien sr pas automatiquement, nouslaissons au lecteur le soin de donner un critre ncessaire et suffisant pour cela), pourtout x, lensemble Ex sera un systme fondamental de voisinages de x. Attention, ce nestpas parce quune topologie est construite par la donne dun systme fondamental nondnombrable de voisinages en chaque point quelle nadmet pas de systme fondamentaldnombrable de voisinages en chaque point (penser dj au cas des espaces mtriques).

    Si f : X Y est un homomorphisme et x X, alors f(V (x)) = V (f(x)), etlimage par f dun systme fondamental de voisinages de x est un systme fondamentalde voisinages de f(x).

    29

    1.6 Intrieur, adhrence, frontire

    Soient X un espace topologique et A une partie de X.

    Lintrieur de A est lensemble, notA (ou parfois int(A)), des points de A dont A est

    un voisinage. Ladhrence de A est lensemble, not A (ou parfois adh(A)), des pointsX dont tout voisinage rencontre A. On note aussi parfois A

    Opour dsigner ladhrence

    dune partie A pour une topologie O , lorsque lon veut prciser la topologie. La frontirde A est lensemble, not A, des points de X adhrents A et son complmentaire

    A = A cA .

    Pour tout x dans X, soit Vx un systme fondamental de voisinages de x. Alors

    dcoule des dfinitions que x A si et seulement sil existe V dans Vx tel que V A ;x A si et seulement si pour tout V dans Vx, lintersection V A est non vide.

    Les proprits suivantes se montrent de la mme manire que pour les topologies desespaces vectoriels norms, et sont donc laisses en exercices. Les inclusions du siximepoint ne sont en gnral pas des galits, des contre-exemples ayant dj t vus (enprenant des intervalles bien choisis dans lespace topologique R).

    Si A,B sont des parties de X, alors Lintrieur de A est la runion des ouverts contenus dans A, cest le plus grand (pourlinclusion) ouvert contenu dans A.

    Ladhrence de A est lintersection des ferms contenant A, cest le plus petit (pourlinclusion) ferm contenant A.

    A est ouvert si et seulement si A = A (doncA =

    A).

    A est ferm si et seulement si A = A (donc A = A).

    A B = A

    B, A B = A B.

    A B

    A B, A B A B.

    (A B) A B. X A = X A (donc

    A = X X A et A = A

    A).

    X A =

    X A (donc A = X

    X A). si f : X Y est un homomorphisme, alors

    f(A ) =

    f(A) , f(A ) = f(A) , f(A) = (f(A)) .

    Soit B une base douverts de X. Une partie A de X est dense dans X si lune desconditions clairement quivalentes suivantes est vrifie :

    ladhrence de A est gale X, la partie A rencontre tout ouvert non vide de X (en au moins un point), tout lment non vide de B contient au moins un point de A, lintrieur du complmentaire de A est vide.

    Une partie de X est nulle part dense si lintrieur de son adhrence est vide.Par exemple, Q est dense dans R ; R est dense dans lespace R dfini dans lexemple

    1 du paragraphe 1.4 ; louvert des matrices inversibles de lespace vectoriel Md(R) (munidune norme matricielle quelconque) est dense dans Md(R) ; Z (et plus gnralemen

    30

  • tout ensemble infini) est dense dans A1(R) = R pour la topologie de Zariski dfinie parlexemple 4 du paragraphe 1.2 ; Zn est Zariski-dense dans An(R) = Rn.

    Exemple. Si X est un espace mtrique et si A est une partie de X, alors

    x A > 0, B(x, ) A ,

    x A n N, B(x, 1n+1

    ) A 6= .Autrement dit,

    x A d(x,A) = 0 .En particulier, A est ferm si et seulement si lensemble des x dans X tels que d(x,A) = 0est gal A ; et A est dense dans X si et seulement si pour tout > 0 et tout x dans X,il existe a dans A tel que d(x, a) < . Dans un espace mtrique X, on a, pour tous les xdans X et r > 0,

    B(x, r)

    B(x, r) et B(x, r) B(x, r) .Ces inclusions sont des galits dans le cas des espaces vectoriels norms, mais sont faussesen gnral.

    Plus gnralement, si X est un ensemble muni de la topologie dfinie par une famillede pseudo-distances (di)iI (voir lexemple (v) du paragraphe 1.3), et si A est une partiede X, alors

    x A n N, i0, . . . , in I, > 0,n

    k=0

    Bdik (x, ) A ,

    x A i I, di(x,A) = 0 .

    Un espace topologique est sparable sil admet une partie dnombrable dense. La pro-prit tre sparable est invariante par homomorphismes. Par exemple R, et toutespace vectoriel (rel ou complexe) norm de dimension finie, est sparable (car Qn estdense dans Rn).

    Proposition 1.6 Un espace topologique base dnombrable douverts est sparable.

    Preuve. Si (Ui)iN est une base douverts (que lon peut supposer non vides), si xi estun point de Ui, alors la partie {xi : i N} est dense, car elle rencontre tout ouvert nonvide.

    De nombreux espaces topologiques, mme trs gros, sont sparables (voir la partie6.1). En particulier, pour tout ouvert non vide de Rn et tout p dans [1,+[ , lespacevectoriel norm Lp() est sparable ; par contre, lespace vectoriel norm L() nest passparable (voir le cours dIntgration et probabilit, et [Bre, page 66]).

    Exercice E.10 (1) Montrer quun espace mtrisable X est sparable si et seulement silest base dnombrable douverts.

    (2) Considrons B = { ]a, b] : a, b R, a < b}.i) Montrer que B est une base dune topologie O sur R.

    31

    ii) Montrer que lespace topologique (R,O) est sparable.

    iii) Montrer que tout point de lespace topologique (R,O) admet un systme fondamentaldnombrable de voisinages.

    iv) Montrer que lespace topologique (R,O) nadmet pas de base dnombrable douverts.

    v) Montrer que lespace topologique (R,O) nest pas mtrisable.

    1.7 Sparation

    Un espace topologique X est spar si deux points distincts de X admettent desvoisinages disjoints. (Les anglophones disent Hausdorff space pour espace spar, ettrouve parfois aussi la terminologie espace T2 (voir[Dug, page 138]). On ne confondrapas la sparation (proprit dtre spar) et la sparabilit (proprit dtre sparable).

    Les proprits suivantes sont immdiates. Soit X un espace topologique. Pour tout x dans X, soit Vx un systme fondamental

    de voisinages de x dans X. Alors X est spar si et seulement si

    x, y X, U Vx, V Vy, U V = .

    Dans un espace spar, les singletons sont ferms (puisque leur complmentaire estvoisinage de chacun de ses points).

    La topologie grossire sur un ensemble ayant au moins deux lments nest passpare.

    La proprit tre spar est invariante par homomorphismes.

    Proposition 1.7 Tout espace topologique mtrisable est spar.

    Lespace topologique (R,O) tudi dans lexercice E.10 est spar, mais non mtrisable.Nous verrons ultrieurement des exemples intressants despaces spars non mtrisables,comme lespace D(R) des applications lisses support compact sur R muni de la topologiede Schwartz (voir lexemple 3.2 du paragraphe 2.2) ou lespace topologique produit [0, 1](voir le paragraphe 2.4).

    Preuve. Soient d une distance sur un ensembleX, et x, y deux points de X. Si x 6= y, alors r =12d(x, y) > 0. SiB(x, r)B(y, r) est non vide, soit z

    un de ses points. Alors d(x, y) d(x, z)+d(z, y) 0.

    Exercice E.13 Montrer que la topologie de lordre (voir lexemple (3) du paragraphe 1.4)sur un ensemble totalement ordonn est spare.

    Le problme de sparation des espaces topologiques sera un problme crucial pourles espaces topologiques quotients (voir la partie 2.6, qui fournira en particulier dautresexemples despaces non spars). Vrifier leur sparation devra tre un rflexe (et ceproblme nest pas toujours trivial).

    1.8 Continuit

    Soient X et Y deux espaces topologiques, x0 X et f : X Y une application.On dit que f est continue en x0 si,

    pour tout voisinage V de f(x0) dans Y ,il existe un voisinage U de x0 dans Xtel que f(U) V .

    f

    U

    f(x0)Vx0

    f(U)

    Il est immdiat que si Z est un espace topologique et si g : Y Z est une applicationcontinue en f(x0), alors g f : X Z est continue en x0 si f lest.

    Soit U un systme fondamental de voisinages de x0, et V un systme fondamental devoisinages de f(x0). Alors en utilisant la dfinition dun systme fondamental de voisinage,il est facile de montrer que f est continue en x0 si et seulement si pour tout V V , ilexiste U U tel que f(U) V . En particulier, on peut remplacer voisinage par voisinage ouvert dans la dfinition de la continuit en un point.

    Exemple (1) Dans un espace mtrique, lensemble des boules ouvertes (ainsi que desboules fermes) centres en un point x de rayons strictement positifs (ventuellementseulement dans une partie de ]0,+[ saccumulant sur 0) est un systme fondamentalde voisinages de x. Donc si Y est un espace mtrique, alors f est continue en x0 si etseulement si pour tout > 0, il existe un voisinage U de x0 tel que pour tout y dans U ,on ait d(f(y), f(x0)) < .

    En particulier, si la topologie de X est induite par une distance d et si celle de Y estinduite par une distance d, alors f est continue en x0 si et seulement si

    > 0, > 0, d(x, x0) < d(f(x), f(x0)) < .Nous pouvons remplacer les deux dernires ingalits strictes par des ingalits larges,

    et prendre , seulement de la forme rn > 0, sn > 0, o rn n+ 0, sn n+ 0.33

    La traduction de cette proprit dans le cas des espaces vectoriels norms est laisselecteur, qui retrouvera la dfinition usuelle de la continuit en un point des applicationsentre (parties d)espaces vectoriels norms.

    Proposition 1.8 Soient B une base douverts de Y , et une prbase de Y (i.e.ensemble de parties de Y engendrant la topologie de Y ). Les conditions suivantes sontquivalentes :

    (1) pour tout ouvert U de Y , f1(U) est un ouvert de X ;

    (1) pour tout U B, f1(U) est un ouvert de X ;(1) pour tout U , f1(U) est un ouvert de X ;(2) pour tout ferm F de Y , f1(F ) est un ferm de X ;

    (3) pour tout x X, f est continue en x ;(4) pour tout A X, f(A ) f(A).

    On dit que f est continue si elle vrifie lune de ces conditions.

    Preuve. Il est immdiat que (1) implique (1) qui implique (1) (en prenant pour B len-semble des intersections finies dlments de , qui est une base douverts). La rciproquedcoule du fait que tout ouvert de X est union dintersections finies dlments de ,que limage rciproque commute avec la runion et lintersection.

    Lquivalence des assertions (1) et (2) se montre par passage au complmentaire.Lquivalence de (1) et (3) dcoule du fait quune partie dun espace topologique est

    ouverte si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points.Montrons que (4) implique (2). Soient F un ferm de Y et A = f1(F ). Alors f(A )

    f(A) F = F . Donc A A et A est ferm.Montrons que (1) implique (4). Soient x f(A ) et V un voisinage ouvert de x. Soit

    y A tel que f(y) = x. Alors f1(V ) est un voisinage ouvert de y, donc rencontredonc V rencontre f(A). Par consquent, x f(A), et le rsultat en dcoule.

    Les proprits suivantes sont immdiates. Limage dune partie dense de X par une application continue surjective f : X

    est dense dans Y (appliquer (4)). Si X est discret, alors f est continue. Si Y est grossier, alors f est continue. Si f : X Y et g : Y Z sont deux applications continues, alors g f : X

    est continue. Une bijection f : X Y est un homomorphisme si et seulement si f et f1 son

    continues. Si : X X et : Y Y sont des homomorphismes, alors f est contin

    (resp. continue en un point x0 de X) si et seulement si f est continue (resp. continue

    (x0)).

    Pour les premiers exemples dapplications continues, nous renvoyons aux applicationscontinues entre (parties d)espaces vectoriels norms. Nous reviendrons plus longuemensur la continuit dans le chapitre 5.

    Proposition 1.9 Soit A une partie dun espace mtrique X. Alors lapplication xd(x,A) de X dans R est continue.

    34

  • Preuve. En utilisant lexemple (1) ci-dessus, ceci dcoule du fait vu au paragraphe 1.3que cette application est 1-lipschitzienne, et nous reverrons cela plus gnralement dansle paragraphe 5.3.

    Si K = R ou K = C, avec leur topologie usuelle, si f, g : X K sont deux applicationscontinues, alors les applications f+g : X K dfinie par x 7 f(x)+g(x) et fg : X Kdfinie par x 7 f(x)g(x) sont continues. Il y a un moyen propre de montrer cela (voirle paragraphe 2.8), mais cela se dmontre aisment la main ainsi : pour tout x0 dansX, pour tout > 0, soient V, V deux voisinages de x0 tels que |f(x) f(x0)| < 2 pour xdans V , et |g(x) g(x0)| < 2 pour x dans V . Alors pour x dans le voisinage V V dex0, on a

    |(f + g)(x) (f + g)(x0)| |f(x) f(x0)|+ |g(x) g(x0)| < ,

    ce qui montre la continuit de f+g. En utilisant quune fonction continue sur X valeursdans un espace mtrique est borne au voisinage de tout point de X, la continuit duproduit se montre de mme.

    En particulier, comme les applications coordonnes sont continues de Kn dans K (parexemple car 1-lipschitziennes i.e. |xi yi| ||x y|| pour tous x, y dans Kn, avec || || lanorme euclidienne ou hermitienne usuelle, et xi, yi les i-mes coordonnes de x, y respec-tivement), les applications polynomiales de Kn dans K sont continues.

    Exemple (2) En reprenant les notations de lexemple (2) du paragraphe 1.4, les trans-lations dans lespace vectoriel D() sont continues (donc sont des homomorphismes, carleurs inverses sont aussi des translations), la fois pour la topologie de Whitney et cellede Schwartz : si tg : f 7 f + g est la translation par g D(), alors pour tous f, g dansD()

    t1g (Bf+g,,k) = B

    f,,k et t

    1g (Bf+g,) = Bf, .

    Soient X, Y deux espaces topologiques et f : X Y une application. On dit que fest ouverte si limage par f de tout ouvert de X est un ouvert de Y . On dit que f estferme si limage par f de tout ferm de X est un ferm de Y . Donc une application entredeux espaces topologiques est un homomorphisme si et seulement si cest une bijectioncontinue ferme, et si et seulement si cest une bijection continue ouverte.

    Exercice E.14 Soient X et Y deux espaces topologiques, et f : X Y une applicationcontinue injective. Montrer que si Y est spar, alors X aussi.

    Le rsultat suivant permet dtendre une application continue, valeurs relles, dfiniesur une partie ferme dun espace mtrique lespace tout entier, et donc dinterpolercontinuement deux applications continues valeurs relles dfinies sur des ferms disjoints.

    Thorme 1.10 (Thorme de prolongement dUrysohn) Soient X un espace to-pologique mtrisable, F un ferm non vide de X et f : F R une application continueborne. Alors il existe une application continue g : X R, prolongeant f , de mmesbornes infrieures et suprieures que f :

    x F, g(x) = f(x), supxX

    g(x) = supxF

    f(x), infxX

    g(x) = infxF

    f(x) .

    35

    Le ferm F est muni de la topologie induite par la restriction F dune distance d surX induisant la topologie de X (voir le paragraphe 2.3 pour viter de telles contorsions).

    Le rsultat prcdent est valable pour les applications valeurs dans les espacesBanach rels, et mme dans les espaces vectoriels topologiques rels localement convexes(voir le chapitre 6 pour les dfinitions de ces notions, et [Dug, page 188] pour une preuvde ce thorme de Dugundji), en remplaant les deux dernires conditions par le faitque limage de g soit contenue dans lenveloppe convexe ferme (voir dfinition aprscorollaire 6.16) de limage de f .

    Preuve. Quitte translater f et g par une constante, nous pouvons supposer que minfxF f(x) > 0. Posons

    g(x) =

    {f(x) si x FinfyF f(y)

    d(x,y)d(x,F )

    sinon ,

    qui est bien dfinie, car d(x, F ) = 0 si et seulement si x F .Montrons lgalit des bornes de f et de g. Soit M = supxF f(x). Pour tout x / F

    tout > 0, il existe y F tel que d(x, y) d(x, F )(1+ ), donc supx cF g(x) M(1+En faisant tendre vers 0 et en utilisant le fait que f = g sur F , on obtient que fg ont la mme borne suprieure. Comme d(x, y) d(x, F ) pour tout y dans F , onimmdiatement que infx cF g(x) m. En utilisant le fait que f = g sur F , on obtienque f et g ont la mme borne infrieure.

    Montrons la continuit de g en x0 / F . Bien que cF soit ouvert, ceci nest pas auto-matique, car une borne infrieure de fonctions continues nest pas toujours continue (voirle paragraphe 5.4). Soit ]0, 1[. Comme d(x0, F ) > 0 et par continuit de la distanceune partie (voir la proposition 1.9), il existe un voisinage U de x0 et C > 0 tels que pourtous x, x dans U , on ait

    d(x, F ) C , d(x, x) et d(x, F )d(x, F )

    1 .

    Notons que U cF . Soient x, x dans U . Choisissons y F tel que f(y) d(x,y)d(x,F )

    g(x)+Par ingalit triangulaire,

    g(x) f(y) d(x, y)

    d(x, F ) f(y)d(x, y) +

    d(x, F ) g(x) + + ( d(x, F )

    d(x, F ) 1)(g(x) + ) + f(y)

    d(x, F

    g(x) + (1 + (M + 1) + MC

    ).

    Par changeabilit de x et de x, et en prenant x = x0, on en dduit que |g(x) g(x0)|(2+M+M

    C

    )pour tout x dans U , donc g est continue en x0. (Le lecteur savant reconnatra

    l un argument duniforme continuit, mais nous devrons attendre le paragraphe 5.3 avandemployer un tel argument).

    Montrons la continuit de g en x0 F . Par continuit de f sur F et de la distanceune partie, pour tout > 0, il existe ]0,min{1, }] et un voisinage U de x0 tel que,pour tout x dans U , pour tout y dans F tels que d(x, y) max{ + 2, M+1

    m}, on ait

    d(x, F ) , d(x, x0) et |f(y) f(x0)| .Soit x U . Si x F , alors |g(x) g(x0)| = |f(x) f(x0)| . Sinon, soit y dans F telque d(x, y) d(x, F )(1 + ). En particulier, d(x, y) + 2. Alors

    g(x) f(y) d(x, y)d(x, F )

    f(y)(1 + ) (f(x0) + )(1 + ) f(x0) + (2 +M) .36

  • Rciproquement, soit z F tel que infyF f(y)d(x, y) f(z)d(x, z) d(x, F ). En par-ticulier, d(x, z) 1

    f(z)(f(x0)d(x, x0) +

    d(x, F )) M+1m

    . Alors

    g(x) f(z) d(x, z)d(x, F )

    f(z) f(x0) f(x0) 2 .

    Ceci montre le rsultat.

    Porisme 1.11 2 Soient X un espace topologique mtrisable, F un ferm de X, et U unouvert de X contenant F . Alors il existe une application continue de X dans [0, 1] valant1 sur F et valant 0 en dehors de U .

    Preuve. Les parties F et cU sont des ferms de F cU (pour la topologie induite par unedistance induisant la topologie de X), par la caractrisation des ferms dans un espacemtrique Y (A Y est ferm si et seulement si A = {x Y : d(x,A) = 0}). Commef1(0) =c U et f1(1) = F , lapplication f : F cU [0, 1] valant 0 sur cU et 1 sur Fest donc continue (utiliser la caractrisation (2) de la proposition 1.8). On applique alorsle thorme 1.10.

    Ce corollaire 1.11 est valable sur dautres espaces topologiques que les espaces m-triques, mais pas dans tous. Un espace topologique X est dit normal sil est spar etsi deux ferms disjoints de X ont des voisinages disjoints, ou, de manire quivalente, sipour tout ferm F et tout ouvert V tels que F V , il existe un ouvert U tel que

    F U U V .

    La proprit tre normal est invariante par homomorphismes. Il existe des espacesspars non normaux (voir par exemple [Dug, page 144]).

    Proposition 1.12 Un espace topologique mtrisable est normal.

    Preuve. Soit (X, d) un espace mtri