TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES Analyse, Preuves et Applications

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TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES Analyse, Preuves et Applications Daniel Mukoko Samba Jean Paul K. Tsasa Vangu 1ère édition 1ier draft 2012

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TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES Analyse, Preuves et Applications

Daniel Mukoko Samba

Jean Paul K. Tsasa Vangu

1ère édition

1ier draft

2012

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Avant – propos

Les grandes avancées constatées en sciences économiques ces cinquante dernières années

sont dues essentiellement à une compréhension profonde et à une utilisation intelligente de

l’outil mathématique. Depuis, l’économiste ne cesse de repousser les frontières de son

imaginaire jusqu’à faire de l’analyse mathématique, selon les termes propre de R.E. Lucas,

le seul moyen de faire de la théorie économique, tout le reste n’étant qu’images et débats !

A travers cet ouvrage, nous proposons aux économistes en herbe un arsenal d’outils

d’analyse devant les préparer à affronter les sujets et thèmes de recherche traités au

niveau de la frontière des connaissances. A l’effet de s’approcher pertinemment de cette

frontière, il faut une initiation rigoureuse et surtout méthodique. Constatant quelques

faiblesses et failles dans ce processus d’initiation au niveau national, nous avons résolu

destiner la première édition de cet ouvrage aux universités locales afin de contribuer à

l’amélioration de la qualité du capital humain, facteur important dans le développement et

le progrès de toute société qui se veut ambitieuse.

En intitulant cet ouvrage « Topologie pour économistes », nous désirons forger une nouvelle

vision sur le plan académique et motiver une mise à jour du contenu du programme dans

les facultés d’économie de nos universités locales. En effet, l’économie est une discipline

relativement jeune, cependant son développement s’est fait à grande vitesse. A ce jour,

force est de constater que la rigueur mathématique, en caractérisant la plupart de grandes

théories économiques, a renvoyé la dimension philosophique essentiellement au niveau de

la construction des hypothèses et de l’interprétation des résultats. Au regard de cette

métamorphose, il est important que le contenu du programme en économie au sein de nos

facultés soit dynamique afin de s’adapter à chaque fois à la nouvelle donne imposée par

l’actualité scientifique. Nous estimons que c’est à ce prix que nos universités seraient à

même de combler leur retard et absence sur la scène internationale.

L’ouvrage « Topologie pour économistes » s’adresse, plus particulièrement, aux étudiants

de premier et deuxième cycle en économie de nos universités locales. Il a pour objectif

d’offrir les bases solides sur quelques notions en topologie qui semblent indispensables à

une compréhension rigoureuse de nombreux concepts et notions fondamentaux utilisés

couramment par l’économiste, tels que les limites, la continuité, le voisinage, la dérivée ou

encore l’équilibre.

Au-delà de ces considérations classiques, comme le note Carl P. Simon et Lawrence Blume,

nous estimons également que pour le meilleur ou pour le pire, les Mathématiques sont

devenues le langage des analyses économiques modernes. Cependant, force est de

constater que l’attention accordée à certaines branches des Mathématiques comme la

topologie ou la théorie de la mesure et de l’intégration dès le premier cycle, voire le second

cycle en économie est trop faible et même quasi-neutre au sein des facultés de nos

universités locales.

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Comme les enseignements d’initiation à la logique, à la philosophie, au droit ou à l’éthique

qui offrent chacun dans son domaine respectif, des bases nécessaires à l’étudiant dès son

entrée à l’université, de même cet ouvrage se propose également d’initier l’étudiant au

raisonnement rigoureux et de forger en lui, le reflexe et le souci de comprendre les

fondements de différentes analyses rencontrées dans son parcours qui, pour la plupart,

exige implicitement la maîtrise de quelques concepts et notions en topologie. Le contenu de

cet ouvrage apparaît de ce fait, comme un complément indispensable aux enseignements

de mathématiques générales et de théorie des probabilités qui, à ce jour, tels que présentés

dans nos universités, apparaissent de plus en plus moins ambitieuses au regard de la

dynamique de la science économique.

Nous adressons également cet ouvrage aux enseignants et chercheurs locaux désirant

œuvrer sur la frontière de la recherche. En effet, nous estimons que sans une bonne

initiation à la manipulation des concepts et notions fondamentaux de topologie, de théorie

de la mesure et de l’intégration, les chercheurs issus de facultés d’économie de nos

universités locales et y œuvrant ne sauraient être internationalement compétitives, ou sinon

devront réaliser plusieurs tours de passe pour y parvenir.

En nommant cet ouvrage « Topologie pour économistes », une question double se pose

implicitement : quel doit être le contenu d’un tel ouvrage et comment doit–il être présenté ?

A la première phase de l’interrogation, nous estimons que le contenu d’un tel ouvrage doit

posséder les caractéristiques suivantes, être à la fois : (i) synthétique (ii) démonstratif ; (iii)

intuitif ; (iv) illustratif ; (v) facilement conciliable aux principaux concepts abordés dans la

plupart de cours d’économie au niveau des cycles inférieurs (graduat et licence). Et la

réponse à la deuxième phase de la question (cf. table des matières) permet d’atteindre les

cinq objectifs décrits précédemment.

In fine, dès les cycle inférieurs, l’économiste a intérêt à se familiariser aux concepts de

topologie, ne serait – ce pour de raisons d’ordre historique. En effet, remarquons que la

topologie a joué un rôle majeur dans l’avancée et le développement des sciences

économiques. A titre illustratif, nous citons :

(i) la dérivation formelle d’une solution en théorie des jeux à l’aide du théorème du point

fixe de Kakutani (proposée en 1954 par Nash, Prix Nobel d’économie 1994) ;

(ii) la preuve de la proposition d’existence d’équilibre général partant des équations de

Walras (démonstration rendue possible en 1953 par Arrow, Prix Nobel d’économie

1972 ; Debreu, Prix Nobel d’économie 1983 et McKenzie, 1953) ;

(iii) ou encore la transposition des équations de Bellman en analyse macroéconomique dès

les années 1970 – 80 notamment par Sargent (Prix Nobel d’économie 2011) et par

Lucas (Prix Nobel d’économie 1995).

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Remarquons au passage, que la proposition de ces différents cadres formels d’analyse

exigeait une connaissance raffinée, notamment sur le concept d’espaces et sur la

manipulation des hypothèses fondant les preuves de théorèmes du point fixe.

In fine, au regard de la place majeure qu’occupe la connaissance des concepts de topologie

dans la compréhension de grands enjeux caractérisant le développement des sciences

économiques, nous avons résolu d’intituler cet ouvrage « Topologie pour économistes », à

l’instar de nombreux intitulés rencontrés sur le marché de livres, Mathématiques pour

économistes, statistiques pour économistes, Probabilités pour économistes, etc.

Daniel Mukoko Samba Professeur d’université

Jean – Paul K., Tsasa

PhD student

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Sommaire

Introduction

Chapitre I : Eléments sur la théorie des ensembles

I.1 : Introduction à la notion d’ensemble

I.2 : Application et Fonction

Chapitre II : Structure d’espace vectoriel

II.1 : Espace vectoriel

II.2 : Produit scalaire et Métrique

Exercices

Chapitre III : Applications linéaires

III.1 : Morphisme

III.2 : Théorème de rang et Kernel

III.3 : Systèmes linéaires

III.4 : Equations différentiels

Exercices

Chapitre IV : Nombres réels et Nombres complexes

IV.1 : Ensemble des réels

IV.2 : Ensemble des complexes

Exercices

Chapitre V : Suite et Cauchy-convergence

V.1 : Suite, Métrique et Complétude

V.2 : Critère de Cauchy

V.3 : Règles de Cauchy et d’Alembert

V.4 : Règle d’Abel

Exercices

Chapitre VI : Fonctions réelles

VI.1 : Limites, Continuité et Différentiation

VI.2 : Fonctions Exponentielle, logarithmique et trigonométriques

VI.3 : concavité, Convexité et Quasi-concavité

Exercices

Chapitre VII : Espaces topologiques

VII.1 : Construction d’une topologie

VII.2 : Intérieur, Adhérence et Frontière d’une partie

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VII.3 : Espaces séparables

VII.4 : Continuité globale et continuité locale

Exercices

Chapitre VIII : Métriques et Contraction

VIII.1 : Equation de Bellman

VIII.2 : Condition de Blackwell

VIII.4 : Théorème du point fixe de Banach

Exercices

Chapitre IX : Fonction continue

IX.1 : Compacité

IX.2 : Continuité

IX.3 : Théorème d’existence d’un maximum

IX.4 : Théorème du point fixe de Brouwer

Exercices

Chapitre X : Correspondance continue

X.1 : Hémi–continuité

X.2 : Théorème du maximum de Berge

X.3 : Théorème du point fixe de Kakutani

Exercices

Chapitre XI : Espaces euclidiens

XI.1 : Orthogonalité

XI.2 : Projection orthogonale

XI.3 : Problème des moindres carrés

XI.3 : Espaces euclidiens

XI.4 : Transformation de Fourier

Exercices

Chapitre XII : Intégrale de Riemann

XII.1 : Théorie de l’intégration de Cauchy

XII.2 : Intégrales impropres

XII.3 : Lemme d’Abel

XII.4 : Intégrale de Riemann

Exercices

Chapitre XIII : Intégrale de Lebesgue

XIII.1 : Tribu, Ensemble mesurable et Espace mesurable

XIII.2 : Mesure, Espace mesuré et Fonction mesurable

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XIII.3 : Construction de l’intégrale de Lebesgue

XIII.4 : Théorèmes de Lebesgue

XIII.5 : Limites de l’intégrale de Lebesgue

Exercices

Chapitre XIV : Généralisation des Espaces Euclidiens

XIV.1 : De Euclide à Banach

XIV.2 : Espaces de Banach

XIV.3 : Bases hilbertiennes

XIV.4 : Théorème de décomposition de Wold

Exercices

Chapitre XV : Espaces linéaires

XV.1 : Espaces linéaires

XV.2 : Opérateurs et Fonctions linéaires

XV.3 : Théorème et Valeur de Shapley

XV.4 : indice de pouvoir de Shapley – Shubick

Exercices

Chapitre XVI : Initiation à la dynamique

XVI.1 : Problème de croissance optimal déterministe

XVI.2 : Problème de croissance optimal stochastique

Exercices

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Chapitre II

Structure d’espace vectoriel

II.1 : Espace vectoriel

II.1.1 : La structure de groupe

A l’âge de dix-sept ans, Evariste Galois introduit la notion de groupe, un concept

mathématique qui est à la base des notions telles que les anneaux, les corps, les matrices,

les espaces vectoriels. En effet, un groupe est un ensemble auquel est associé une

opération de la loi de composition, vérifiant quatre propriétés :

pour tout i.e. est une loi de composition interne ;

pour tout i.e. la loi est associative ;

il existe tel que et i.e. est l’élément neutre ;

pour tout il existe tel que i.e. est l’inverse de soit

Un ensemble est un groupe abélien ou groupe commutatif, du nom du mathématicien

norvégien Niels Henrik Abel, lorsque sa loi de composition interne est commutative si

:

Remarques 2.1 :

l’élément est unique ;

un élément ne possède qu’un seul inverse.

Par exemple : et sont des groupes commutatifs ; et

sont des groupes commutatifs ; et ne sont pas des groupes, où et

sont respectivement la multiplication et l’addition multiple.

Une partie est un sous-groupe de si : ; on a ; on a

Ainsi, un sous-groupe est un groupe avec la loi induite par celle de

Par exemple : est un sous-groupe de ; est un sous-groupe de

Soit un groupe et un sous-ensemble de Le sous-groupe engendré par est le

plus petit sous-groupe de contenant

Exercice 2. 1. Soit et Montrer que le sous-groupe engendré par l’ensemble

est

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Astuce : Montrer que est un sous-groupe et tel que si est un autre sous-groupe

contenant 2,

II.1.2 : La structure d’anneau

Les structures d’anneau et de corps sont des enrichissements de celle de groupe. En effet,

un anneau ou un corps est un groupe muni d’une deuxième loi interne. Alors que la

structure d’anneau est généralement rencontrée dans l’analyse des ensembles de fonctions

et de matrices, celle de corps est généralement sollicitée dans l’analyse des ensembles et

munis de leurs lois additives et multiplicatives.

Soit un ensemble possédant deux lois de composition internes et respectivement

l’addition et la multiplication. Alors, le triplet est une structure d’anneau si et

seulement :

est un groupe commutatif (groupe abélien) ;

la loi est associative ;

la loi est distributive par rapport à l’addition.

Si de plus, il existe un élément neutre dans pour la loi noté et appelé élément unité

de l’anneau, alors l’anneau est dit unitaire. Par la suite, on utilisera le mot anneau pour

anneau unitaire.

Exercice 2.2. Soient et deux éléments permutables d’un anneau c’est-à-dire tel que

Montrer que pour tout :

Remarques 2.2 :

Le neutre pour l’addition est

L’ensemble des parties d’un ensemble muni de la différence symétrique et

de l’intersection est un anneau commutatif appelé anneau de Boole.

Un anneau est di commutatif, si la deuxième loi de l’anneau est commutative.

II.1.3 : Le corps

La formalisation de la structure d’un espace vectoriel passe généralement par la prise en

compte de la notion de corps, c’est-à-dire un ensemble dont la structure comprend deux

lois de compositions interne :

la première loi de composition interne, notée associe à deux éléments et de

la composition Puisque est une loi de composition interne, possède

les propriétés suivantes :

- la loi est commutative, ;

- la loi est associative, ;

- il existe un élément neutre tel que ;

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- tout élément du corps admet un inverse, noté tel que ;

la deuxième loi de composition interne, notée associe à deux éléments et de

l’élément caractérisé par les propriétés suivantes :

- la loi est commutative, ;

- la loi est associative, ;

- il existe un élément neutre ou élément unité tel que ;

- sauf l’élément neutre de la loi de composition interne tout élément du corps

admet un inverse, noté tel que

Soient un ensemble ; et deux lois de composition internes sur Alors, le triplet

possède une structure de corps commutatif si :

a une structure d’anneau commutatif unitaire ;

a une structure de groupe abélien de neutre noté

Par exemple, et sont des corps commutatifs.

Exercice 2.3. (i) La structure est-elle un corps commutatif ? (ii) Montrer que tout

corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn).

La combinaison des lois et est commutative et distributive :

Remarques 2.3 :

Les corps classiques qui feront l’objet des analyses de la série topologie concernent

les ensembles réels et complexes avec l’addition et la multiplication,

respectivement des réels et des complexes.

Soit un corps, alors

est intègre car ne possédant pas de diviseurs de

Exercice 2.4. Montrer que si un corps n’est pas intègre, ce que la définition d’un corps n’a

plus de sens.

II.1.4 : Les suites

Une suite dans un ensemble non-vide est un ensemble ordonné, tel que chaque

terme de la suite est un élément de Généralement la suite est notée par

ou parfois et définie par la fonction telle que est

représenté par avec pour Ainsi, l’ensemble de toutes les suites

dans est égal à couramment noté

Une sous-suite d’une suite est une suite qui contient les termes de

apparaissant dans la sous-suite suivant le même ordre que dans telle que :

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où est une suite dans tel que En recourant à la notion de fonction, il

vient qu’une sous-suite d’une suite est une fonction de la forme où

est strictement croissant, i.e. pour tout avec

Par exemple,

est une sous-suite de

tel que

représente

une fonction définie par l’expression

et représente la fonction avec

pour chaque

Une suite double dans est une matrice infinie où chacun des termes est un élément de

Formellement, elle est définie à l’aide d’une fonction telle que Une suite double

dans peut également être vue comme une suite de suites dans c’est-à-dire comme une

suite dans Comme dans le cas des suites, nous représentons cette fonction par

l’expression définie par L'ensemble de toutes les suites doubles de est

égal à où est également désigné par Ainsi, une suite double peut

s’écrire comme ou encore comme

II.1.5 : Les vecteurs

Un dans est un vecteur de dimension définie par la fonction

représentée par où pour tout

Exercice 2.5. Vérifiez que

si et seulement si pour tout

Le de est donné par l’expression et De même pour l’espace des

réels, on peut noter

II.1.6 : Les matrices

Une matrice de format dans un ensemble non-vide est une fonction

où et entiers positifs. La fonction est représentée par où

pour tout et ou simplement par la notation Ainsi, une

matrice peut être considérée comme un tableau rectangulaire à lignes et colonnes, tel

que l’élément générique apparaît dans la ligne et colonne de ce tableau.

Pour tout l’expression traduit le produit de par où est un défini

comme suit :

L'ensemble de tous les dans l’ensemble est désigné par l’expression

ou plus généralement par

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II.1.7 : La structure d’espace vectoriel

Un espace vectoriel sur un corps appelé auusi est un ensemble dont

les éléments sont des vecteurs. Il s’agit d’un ensemble non-vide muni de deux lois :

une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de dans :

une loi de composition externe, c’est-à-dire une application de dans :

D’où, le triplet

Axiome 1 : la loi de composition interne qui, à deux élément et de associe l’élément

appelé vérifie les propriétés suivantes :

est commutative, ;

est associative, ;

il existe un élément neutre tel que ;

tout élément de admet un symétrique ou un opposé tel que :

Axiome 2 : la loi de composition externe de dans associe un scalaire et

pour dériver un élément (produit scalaire) caractérisé par les propriétés suivantes :

Distributivité par rapport aux scalaires, : ;

Distributivité par rapport aux vecteurs, : ;

Associativité des scalaires par rapport aux scalaires, :

;

Neutralité vis-à-vis de l’élément unité du corps :

Par exemple : (i) est un espace vectoriel sur le corps ; (ii) la ligne est un espace

vectoriel sur elle-même. (iii) De même, l’ensemble des réels ordonnés

forment un espace vectoriel sur le corps avec tel que :

où la loi est une opération de multiplication (produit

scalaire). (iv) Tout plan passant par l’origine dans est un espace vectoriel.

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Figure 2.1 : Plan passant par l’origine dans

Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des

combinaisons linéaires. Si un espace vectoriel sur un corps alors on note

La combinaison linéaire des vecteurs avec les éléments du corps est

donnée par l’expression :

où est un scalaire, c’est-à-dire un nombre réels multipliant un vecteur dans un espace

vectoriel.

Proposition 2.1. si toute combinaison linéaire avec des scalaires du corps

appartient à ; où le vecteur est une homothétie de

l’extrémité de

Démonstration.

Par l’axiome 2, si avec et avec alors par l’axiome 1, on établit

que

Soit un entier supérieur ou égal à l’unité. Posons et Un élément est

donc un avec où :

Loi de composition interne : si et

alors :

Loi de composition externe : si est un réel et alors :

L’élément neutre de la loi interne est le vecteur nul et le symétrique de

est

Exercices 2.6. (i) Vérifier les propriétés qui font de un (ii) Montrer

qu’un plan ne contenant pas l’origine n’est pas un espace vectoriel.

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Remarque 2.4 :

Un ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans est muni

d’une structure de En effet, la loi interne est l’addition de deux matrices.

La loi externe est la multiplication d’une matrice par un scalaire. L’élément neutre pour la loi

interne est la matrice nulle, et la symétrique de la matrice est la matrice

Par extension, Un ensemble des matrices à lignes et colonnes à

coefficients dans est un

II.2 : Structure des sous-espaces vectoriels

II.2.1 : Les sous-espaces vectoriels

Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel. Soit un L’ensemble

est un sous-espace vectoriel de si :

;

pour tout Ainsi, est stable pour l’addition ;

pour tout et Ainsi, est stable pour la multiplication par un

scalaire.

Par exemple, l’ensemble est un sous-espace vectoriel de En

effet : (i) ; (ii) pour tout alors et Par

conséquent : ; (iii) pour tout et on

a Donc :

Exercices 2.7. Montrer que respectivement : les ensembles (i) ;

(ii) ne sont pas des sous-espaces vectoriels du plan

Théorèmes 2.1. Soient un et un sous-espace vectoriel de

Alors est lui-même un pour les lois induites par

Démonstration.

Soit un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel La stabilité de l’ensemble

pour l’addition et le produit scalaire permet de munir cet ensemble d’une loi de

composition interne et d’une loi de composition externe, tout en restreignant à les

opérations définies dans

Ainsi, les propriétés de commutativité et d’associativité de l’addition et les axiomes

relatifs à la loi de composition externes sont vérifiés, car ils sont satisfaits dans et

donc en particulier dans puisque

L’existence d’un élément neutre découle de la définition de sous-espace vectoriel.

Montrons à présent que pour le symétrique de noté – appartient à Soit

Puisque et que est un espace vectoriel, alors il existe un élément de

noté – tel que – Etant donné que alors pour Et par

conséquent : –

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Théorèmes 2.2. Soient et un système d’équations linéaires

homogènes à variables :

alors l’ensemble des vecteurs solutions est un sous-espace vectoriel de

Démonstration.

Soit l’ensemble des vecteurs solutions de l’équation Montrons à présent que

est un sous-espace vectoriel de En effet :

le vecteur est élément de ;

est stable par addition : si et sont des vecteurs solutions, alors et

donc d’où ;

est stable par multiplication par un scalaire : si est un vecteur solution, alors il

vient que pour tout et Par conséquent,

II.2.2 : Les combinaisons linéaires

Soient un entier naturel et vecteurs d’un espace vectoriel Tout vecteur

de la forme :

est appelé combinaison linéaire des vecteurs et où les scalaires

sont appelés coefficients de la combinaison linéaire. Pour on a que et on dit

que le vecteur est colinéaire à

Par exemple, dans le le vecteur est une combinaison linéaire

des vecteurs et En effet :

Théorèmes 2.3 (Caractérisation d’un sous-espace vectoriel par la notion de

combinaison linéaire). Soient un et une sous-ensemble non-vide

de Alors est un sous-espace vectoriel de si et seulement si :

pour tout et C’est-à-dire si et seulement si toute combinaison

linéaire de deux éléments de appartient à

Démonstration.

Soient un sous-espace vectoriel, et En effet :

Par la définition de sous-espace vectoriel : et ainsi ;

Réciproquement :

- Puisque n’est pas vide, posons Alors ;

- En posant on a ;

- En posant on trouve :

Exercice 2.8. Montrer que dans le le vecteur n’est pas

colinéaire au vecteur

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II.2.3 : L’intersection de deux sous-espaces vectoriels

Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un On appelle intersection

de et le sous-ensemble de noté et défini par :

Exercice 2.9. Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un Montrer

que l’intersection est également un sous-espace vectoriel de

Astuce : (i) Montrer que contient ; Montrer que est stable par addition ; (iii)

Montrer que est stable par produit externe.

Considérons à présent un sous-ensemble de l’espace vectoriel défini par :

tel qu’on a :

Montrons que est un sous-espace vectoriel de En effet, l’ensemble est l’intersection

de et deux sous-ensembles de définis respectivement par :

et

Puisque les plans et sont deux sous-espaces vectoriels de car passant par l’origine,

alors, est également un sous-espace vectoriel de C’est une droite vectorielle.

II.2.4 : La réunion et la somme de deux sous-espaces vectoriels

Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un On appelle réunion de

et le sous-ensemble de noté et défini par :

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Contrairement à l’opération d’intersection, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est

un sous-espace que lorsque l'un de deux sous-espaces est inclus dans l'autre. Dans le cas

contraire, cette réunion n'est pas stable par addition.

Propositions 2.2.

Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un Alors :

est un sous-espace vectoriel de

est le plus petit sous-espace vectoriel contenant à la fois et

Démonstration.

Tout d’abord, montrons que est un sous-espace vectoriel. En effet :

Puisque et donc

Soient et des éléments de Puisque il existe et tels que

Comme alors il existe et tels que Par

conséquent : car et

Soient un élément de et Il existe et tels que Alors :

car et

L’ensemble contient respectivement et En effet :

Pour tout peut s’écrire comme : où et étant un sous-espace

vectoriel, on a aussi Donc, Il en est de même pour tout élément de

Si est un sous-espace vectoriel contenant et on peut montrer que En

effet, si alors en particulier cat De même, si alors Et

puisque est un sous-espace vectoriel, alors

Soient et deux sous-espaces vectoriels du L’ensemble de tous les

éléments où est un élément de et un élément de est appelé somme des sous-

espaces vectoriels et et notée :

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Exercice 2.10. Déterminer l’expression dans le cas où et sont les sous-espaces

vectoriels de tels que et et

Par exemple, considérons et deux sous-espaces vectoriels de :

et

Montrons que

Graphiquement, on a que :

En effet, par définition de on a que tout élément de est dans

Réciproquement, si est un élément quelconque de par exemple, tel que :

avec et alors

Remarques 2.5 :

Un élément de ne s’écrit pas forcément de façon unique.

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L’intersection de deux sous-espaces vectoriels et est un sous-espace vectoriel.

La réunion de deux sous-espaces vectoriels et n’est pas en général un sous-

espace vectoriel.

Si un élément de s’écrit d’une manière unique comme la somme d’un élément

de et d’un élément de alors pour tout et et et on a :

Intéressons-nous enfin, à la notion de somme directe des sous-espaces. En effet, deux

sous-espaces vectoriels et sont en somme directe dans le si :

;

On note alors :

II.2.5 : Les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Si les sous-espaces vectoriels et sont en somme directe, alors et sont des sous-

espaces vectoriels supplémentaires dans le

Propositions 1.3.

Soient et deux sous-espaces vectoriels du Alors et sont

supplémentaires dans si et seulement si tout élément de s’écrit de façon unique

comme la somme d’un élément de et d’un élément de

Démonstration.

Supposons :

Montrons que tout élément se décompose de manière unique. En effet :

- Soient et avec et On alors :

- Comme est un sous-espace vectoriel, alors

- De même, puisque est un sous-espace vectoriel, alors

- D’où :

- Or par définition d’espaces supplémentaires donc :

et

- Ainsi, conclut-on que et

Soit Montrons que En effet :

- Montrons que Si il peut donc s’écrire :

et

c’est-à-dire soit comme somme d’un élément de soit comme celle de

- Par l’unicité de la décomposition,

Puisque par hypothèse, tout élément se décompose en avec et

alors on a que :

Par exemple, considérons les sous-espaces vectoriels et du tels

que : et

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Déterminons si et sont supplémentaires dans

Tout d’abord, vérifions que En effet, si l’élément alors les

coordonnées de vérifient les expressions respectives suivantes :

car ;

car

D’où :

Montrons à présent que Soit un élément quelconque de Il faut

déterminer des éléments de et de tels que En effet, l’élément doit être de

la forme et l’élément de la forme Ainsi, on a : si et

seulement si et Donc :

où et

D’où,

Exercices 2.11. Soient et deux sous-espaces vectoriels du tels

que : et Montrer que

Note : Deux droites distinctes du plan passant par l’origine forment des sous-espaces

supplémentaires.

II.2.6 : Les sous-espaces engendrés

Soient sont des vecteurs du Alors, on appelle sous-espace

engendré l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs. C’est un sous-

espace vectoriel de et on le note Pour tout tel que on a :

Théorème 2.4 (Théorème de structure de l’ensemble des combinaisons linéaires).

Soit un ensemble fini de vecteurs d’un Alors :

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l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs est un sous-

espace vectoriel de

C’est le plus petit sous-espace vectoriel de (au sens de l’inclusion)

contenant les vecteurs

Démonstration.

Soit l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs Alors :

car contient la combinaison linéaire particulière

Si alors il existe tels que et tels que

Ainsi, on déduit que

De même,

D’où : est un sous-vectoriel.

Si est un sous-espace vectoriel contenant l’ensemble des combinaisons linéaires des

vecteurs alors :

Il est stable par combinaison linéaire. Donc, il contient toute combinaison linéaire des

vecteurs

D’où, est le plus petit sous-espace contenant car

Ainsi, puisque est le plus petit sous-espace de contenant les vecteurs

alors s’il existe un sous-espace vectoriel de contenant aussi les vecteurs par

conséquent

II.3 : Produit scalaire et Métrique dans un espace vectoriel

Le produit scalaire est une opération qui permet, d’une part, de conférer à l’espace vectoriel

un caractère métrique et d’autre part, de préciser les définitions d’orthogonalité et de

colinéarité. Considérons un corps noté tel que Le produit scalaire est une opération

qui associe deux vecteurs de l’espace vectoriel à un nombre réel :

De il suit que :

Des expressions et on peut dériver l’inégalité triangulaire :

Proposition. Le produit scalaire est distributif : où

et sont des scalaires indépendants.

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Démonstration.

(i) Si

;

(ii) Alors

;

(iii) Et donc, où puisque

Le produit scalaire étant distributif, on a pour :

Définissons à présent les notions d’indépendance linéaire et de base d’un espace vectoriel.

Précédemment, nous avons évoqué la nécessité de disposer d’un repère comprenant deux

vecteurs non colinéaires dans le plan :

ou par extension,

ou plus généralement,

Les vecteurs n’étant pax colinéaires :

Ainsi, éléments d’un espace vectoriel sur le corps sont linéairement indépendants si

et seulement si les forment une famille libre :

Si :

les forment une famille liée.

Parallèlement, si un seul le rang de ce système est égal à 1. Et si le rang

est alors égale à Pour tel que on obtient :

Soit une famille libre telle que :

23

La famille libre constitue une base de l’espace si et seulement si elle permet

d’engendrer tout en faisant varier les scalaires :

La base canonique d’un espace vectoriel est une famille de vecteurs à la fois libre

(linéairement indépendant) et génératrice c’est-à-dire dont les combinaisons linéaires

permettent de construire tous les autres vecteurs de l’espace.

Tableau 1 : Illustration de la base canonique

Espace Base canonique

… ;

Une base canonique de est composée de vecteurs tels que :

avec :

où désigne un symbole de Kronecker, du nom du mathématicien allemand Leopold

Kronecker.

Ainsi, la base canonique du plan comprendra deux éléments, celle de l’espace trois

éléments, ainsi de suite jusqu’à

En considérant une base telle que :

le produit scalaire peut s’écrire en fonction de leurs composantes. Ainsi, on a :

2

Si l’on considère le cas spécifique des bases orthonormées, le produit scalaire devient :

2 Le symbole * désigne la conjugaison complexe, le produit scalaire dans un espace vectoriel

sur le corps complexe étant défini par :

Il ressort donc que l’ordre, dans ces deux opérations, est de rigueur, et que par ailleurs le produit scalaire est sesquilinéaire c’est – à – dire à la fois linéaire par rapport au second vecteur du couple et antilinéaire par rapport au premier.

24

et donc :

D’où, norme de Dès lors, on peut extraire de l’analyse la notion de distance

dans l’espace vectoriel En effet, une distance est une application de dans

telle que les propriétés suivantes sont satisfaites :

(i) (symétrie) ;

(ii) (séparation) ;

(iii) (inégalité triagulaire).

Un espace vectoriel où une distance est définie, est désigné espace métrique. Lorsque ce

dernier est doté d’un produit scalaire sesquilinéaire, l’espace métrique est dit préhibertien.

De même, plus loin, nous distinguerons d’autres cas spécifiques d’espaces métriques, selon

qu’ils seront munis de telle ou telle autre caractéristique ou structure remarquable. Ainsi,

par exemple, un espace métrique sera dit proprement euclidien lorsqu’on y déterminera une

norme définie positive telle que seul le vecteur nul possède une norme nulle.

25

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