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Université Pierre et Marie Curie – Paris 6Licence de Mathématiques, 2ème année

Topologie et Calcul Di�érentiel2M216

Nina Aguillon, Jean-Yves Chemin d’après lepolycopié de J.-F. Babadjian

Table des matières

1 Distances et Normes sur Rn 91.1 La notion abstraite de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Normes sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Topologie sur Rn 192.1 Boules ouvertes, boules fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Ensembles ouverts dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Ensembles fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Rappels rapides de théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Fonctions continues 313.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Exemples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Fonctions continues en tout point et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Continuité et compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Uniforme continuité et théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Connexité par arcs et courbes paramétrées 414.1 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Deux problèmes élémentaires de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Dérivées partielles et fonctions C1 455.1 Dérivée partielle, matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Fonction de classe C1 et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Pourquoi la continuité des dérivées partielles est cruciale . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Opérations sur les fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4.1 Combinaison linéaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Recherche d’extremum 556.1 Extremum local et extremum global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Le retour de la compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4 Dérivées partielles d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5 Nature des points critiques : des critères avec la hessienne . . . . . . . . . . . . . . 61

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7 Inégalité des accroissements finis 657.1 Le cas des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 657.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Normes d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 Le théorème des accroissements finis général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Complétude et point fixe 738.1 La notion d’espace complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.2 Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Un bref aperçu des fonctions holomorphes 799.1 La dérivabilité au sens complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 La formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Formule de Cauchy et analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

On peut faire des encadrés comme suit :

Exercice indispensable 1 : exemple fondamental

Syntaxe :\begin{exfonda}[Exemple fondamental] ... \end{exfonda}

Introduction

Ce module est consacré à l’étude des fonctions à plusieurs variables. Quand on cherche à modéli-ser un phénomène (c’est-à-dire à trouver des équations mathématiques qui décrivent correctementce qu’on observe), qu’il soit physique, biologique, économique ou autre, il est plutôt rare qu’il nedépende que d’un seul paramètre. Par exemple pour la météo, le temps qu’il fait dépend de lapression atmosphérique, de la température et du taux d’humidité. Et bien entendu, chacune de ceschoses est fonction de votre position et du jour : les phénomènes physiques dépendent très souventde 2 ou 3 variables d’espace et de la variable de temps. Le PIB dépend de la consommation, desinvestissements, de la dépense publique (mais pas que). Votre IMC est déterminé à partir de votretaille et de votre poids, la taille d’une population animale dépend de la quantité de nourrituredisponible et du nombre de prédateurs, etc.

L’objet de ce cours n’est pas de proposer des modèles mais d’étudier les outils mathématiquesqui permettent de les analyser. Vous savez déjà très bien, à partir de son expression, étudier unefonction d’une variable réelle : trouver ses points de discontinuité, sa limite en +Œ et son minimumpar exemple. Vous savez également faire des développements limités ou calculer des intégrales.Dans ce cours nous allons nous attacher à généraliser toutes ces notions aux fonctions de plusieursvariables.

Désormais, par « fonctions de plusieurs variables » nous entendons une fonction (d’un sousdomaine) de Rn, n Ø 2 dans Rm, m Ø 1. Le cas m Ø 2 est intéressant quand le résultat qui nousintéresse a lui même plusieurs dimensions, par exemple quand on cherche à modéliser un champde vitesse. Beaucoup d’exemples du cours porteront sur les fonctions de R2 dans R, qu’on peutreprésenter par des surfaces. Les énoncés du cours seront donnés dans un cadre général.

Que doit-on généraliser ?Convergence des suites, distance entre deux points

Rappelons la définition de la limite d’une suite.

Définition. Soit (xk)kœN une suite de nombre réels. On dit que la suite (xk)kœN converge vers unréel ¸ si et seulement si

’Á > 0 , ÷kÁ / k Ø kÁ =∆ |xk ≠ ¸| < Á .

La notation signifie que le rang kÁ à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distanceinférieure à Á de la limite ¸ dépend de Á. Nous l’adopterons tout du long du polycopié.

On voit que la définition de convergence d’une suite donnée ici utilise la notion de distance entredeux points, donnée par la valeur absolue. Si xk est un vecteur et non un réel, on verra qu’il y abeaucoup de choix pour remplacer la valeur absolue. Notons que c’est aussi la valeur absolue, etdonc la notion de distance, qui intervient dans la définition de la convergence d’une suite réelle.

L’une des propriétés remarquables des suites réelles est le théorème suivant.

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Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Soit (xk)kœN une suite d’éléments d’une intervalle ferméet borné [a, b] de R. Il existe une sous-suite de la suite (xk)kœN qui converge vers un élément ¸de [a, b].

Nous verrons plus tard en détail la notion de sous-suite (Définition 2.17) ; ce théorème signifiequ’on peut choisir certains termes de la suite de sorte que, si on oublie les autres, la suite obtenueconverge.

Continuité et dérivabilitéCommençons par rappeler la définition de la continuité pour une fonction d’une variable réelle.

Définition. Soit x un réel. La fonction f : R æ R est continue au point x si et seulement si

’Á > 0, ÷÷Á > 0, |x ≠ y| < ÷Á =∆ |f(x) ≠ f(y)| < Á.

Cela signifie que si on prend un tube de diamètre Á, aussi petit que soit Á, on va pouvoir lecouper à une longueur ÷Á (qui dépend de Á) de sorte que le graphe de la fonction reste dans le tubeautour du point (x, f(x)).

Au delà de la continuité, la dérivabilité est une notion bien pratique pour étudier les fonctionsde R dans R. Rappelons la définition.

Définition. Soit f une fonction de R dans R une fonction et x un point de R. On dit que f estdérivable au point x, de dérivée f Õ(x), si

limhæ0

f(x + h) ≠ f(x)h

= f Õ(x) .

Cette notion est fondamentale dans l’étude des fonctions par exemple pour la recherche d’ex-trema, comme le montre le résultat suivant.

Proposition. Soit f une fonction de R dans R admet un minimum local en un point x0 de R.Si f est dérivable au point x0, alors f Õ(x0) = 0.

Démonstration. Le fait que x0 soit un minimum local implique l’existence d’un nombre – stricte-ment positif tel que

’h œ] ≠ –, –[, f(x0 + h) ≠ f(x0) Ø 0 .

Écrit autrement, cela signifie que

0 < h < – =∆ f(x0 + h) ≠ f(x0)h

Ø 0 et ≠ – < h < 0 =∆ f(x0 + h) ≠ f(x0)h

Æ 0.

Ceci implique que la limite f Õ(x0) du taux d’accroissement doit être positive et négative, ce quidémontre la proposition.

La définition ci-dessus de la dérivée pose un énorme problème si h est un vecteur : on ne saitpas diviser par des vecteurs ! Toutefois on dispose d’une définition équivalente de la dérivée qui estla suivante.

Proposition. La fonction f : R æ R est dérivable au point x œ R, de dérivée f Õ(x) si et seulement

’Á > 0 , ÷– > 0, |h| < – =∆--f(x + h) ≠ f(x) ≠ f Õ(x)h

-- Æ Á|h| .

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Démonstration. Par définition de la limite en un point d’une fonction, une fonction f est dérivableen un point si et seulement si

’Á > 0 , ÷– > 0, |h| < – =∆----f(x + h) ≠ f(x)

h≠ f Õ(x)

---- < Á .

En multipliant par h, on conclut la démonstration de la proposition.

Nous n’avons donc plus besoin de diviser pour pouvoir espérer définir un analogue de la dériva-tion lorsqu’il y a plusieurs variables. Par contre, nous avons toujours besoin de généraliser ce quel’on appelle la distance entre deux nombres réels qui est la valeur absolue de la di�érence des deuxnormes. Ce point sera l’objet du premier chapitre de ces notes. À propos de la dérivation, nousétablirons également une généralisation de l’inégalité des accroissements finis que nous rappelonset qui sera un outil fondamental de ce cours.

Théorème (Inégalité des accroissements finis). Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b]est dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[. Supposons que la dérivée soit bornée, c’est-à-dire que

M = suptœ]a,b[

|f Õ(t)| < Œ.

Alors on a|f(b) ≠ f(a)| Æ M |b ≠ a|.

Démonstration. Les deux applications;

[a, b] ≠æ Rt ‘≠æ f(t) ≠ f(a) ≠ M(t ≠ a) et

;[a, b] ≠æ R

t ‘≠æ f(a) ≠ f(t) ≠ M(t ≠ a)

sont continues sur l’intervalle fermé [a, b], dérivable à dérivées négatives sur l’intervalle ]a, b[ etnulle en a, donc elles sont toutes deux négatives. Donnons un peu plus de détails pour la deuxièmefonction

Ï(t) = f(a) ≠ f(t) ≠ M(t ≠ a),

qui est dérivable car c’est la somme entre la fonction ≠f qui est dérivable et le polynôme t ‘æf(a) ≠ M(t ≠ a). Sa dérivée est ÏÕ(t) = ≠f Õ(t) ≠ M . Par hypothèse, pour tout t dans l’intervalle]a, b[, |f Õ(t)| Æ M . Autrement dit,

’t œ]a, b[, ≠M Æ f Õ(t) Æ M

et donc ≠f Õ(t) ≠ M Æ 0. La fonction Ï est décroissante, et Ï(a) = 0, donc Ï est négative surl’intervalle [a, b], ce qui conclut la preuve en prenant t = b.

Remarque. Ce résultat est donné ici sous forme d’inégalité car ce type de résultat qui se généra-lisera aux fonctions à valeurs dans Rm avec m Ø 2.

Et autresNous allons généraliser bien d’autres choses, par exemple les intégrales, les changements de

variables, la dérivée seconde, les développements limités et les théorèmes sur les recherches d’ex-tremum.

Chapitre 1

Distances et Normes sur Rn

1.1 La notion abstraite de distanceLa définition que nous allons présenter ici résulte d’une démarche très fréquente en mathéma-

tiques. Retenir quelques propriétés de base d’objets familiers, puis les poser dans un cadre trèsabstrait et général. Voici ce que cela donne dans le cas présent.

Définition 1.1. Soit X un ensemble, on appelle distance sur X toute application d de X ◊ Xdans R+ telle que

i) (Séparation) d(x, xÕ) = 0 si et seulement si x = xÕ ;ii) (Symétrie) d(x, xÕ) = d(xÕ, x) pour tout couple (x, xÕ) d’éléments de X ;iii) (Inégalité triangulaire) d(x, xÕ) Æ d(x, xÕÕ) + d(xÕÕ, xÕ) pour tout x, xÕ et xÕÕ dans Rn.Le couple (X, d) est appelé un espace métrique.

Un point important de cette définition est caché : une distance prend uniquement des valeurspositives puisque l’espace d’arrivée de d est R+.

Le point i) reprend l’idée très simple selon laquelle la distance est nulle d’un point à lui-mêmeet que cela est le seul cas où elle l’est.

Le point ii) reprend l’idée elle aussi très simple que la distance est symétrique 1

Le point iii) est une relation fondamentale de la distance que l’on utilise constamment et quel’on appelle inégalité triangulaire. Ceci reprend l’idée très intuitive selon laquelle le parcours estplus long lorsque l’on fait un détour.

Nous allons maintenant donner quelques exemples de distance. Tout d’abord, l’exemple familierdéjà évoqué sur R qui est

d(x, xÕ) déf= |x ≠ xÕ| .

Comme il arrive parfois, une définition mathématique très intuitive contient des exemples qui lesont beaucoup moins. Donnons-en un.

Soit X un ensemble ; on définit sur X ◊ X la fonction

dg(x, xÕ) = 0 si x = xÕ et dg(x, xÕ) = 1 sinon.

Ceci définit une distance (à dire vrai sans grand intérêt). En e�et les deux premières conditionssont immédiates. Pour l’inégalité triangulaire, le membre de droite de l’inégalité vaut au moins 1sauf si x = xÕ = xÕÕ auquel cas les deux membres de l’inégalité sont nuls.

1. Notons à ce propos que l’on peut comprendre cette vision comme une vision statique au sens où l’on ne prétend

pas décrire "un temps de parcours" qui pendrait par exemple en compte la pente d’un chemin entre deux points

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10 CHAPITRE 1. DISTANCES ET NORMES SUR RN

Enfin, on peut citer la “distance SNCF” pour laquelle nous ne donnerons pas de détails puisquesa formalisation mathématiques n’est pas si simple. X est l’ensemble des villes françaises pourvuesd’une gare en fonctionnement, et pour deux villes A, B on définit dSNCF (A, B) comme la distanceminimale (et non le temps, ce qui supprime les problèmes de correspondance, retard et de dénivelé)à parcourir en train pour rejoindre ces deux villes. à vous de vous persuader que les trois pointsde la définition sont vérifiés.

Pour conclure cette section, remarquons que l’inégalité triangulaire peut s’écrire

d(x, xÕ) ≠ d(x, xÕÕ) Æ d(xÕÕ, xÕ)

ce qui en permutant le rôle de xÕ et de xÕÕ assure que d(x, xÕÕ) ≠ d(x, xÕ) Æ d(xÕ, xÕÕ). En utilisant lasymétrie de la distance, on obtient finalement

≠d(xÕÕ, xÕ) Æ d(x, xÕ) ≠ d(x, xÕÕ) Æ d(xÕÕ, xÕ)

ce qui constitue la seconde inégalité triangulaire (ou inégalité triangulaire inverse)--d(x, xÕ) ≠ d(x, xÕÕ)| Æ d(xÕÕ, xÕ) . (1.1.1)

1.2 Normes sur Rn

Nous allons dans cette section introduire la notion de norme sur un espace vectoriel qui nouspermettra de définir une distance associée. Avant de donner une définition, rappelons que l’en-semble Rn est un espace vectoriel sur R de dimension finie égale à n (qui est un entier strictementpositif). Ses éléments sont appelés des vecteurs. En tant qu’espace vectoriel de dimension n, ilexiste une base {e1, . . . , en}, i.e. une famille libre et génératrice, de sorte que tout vecteur x de Rn

peut s’écrire de manière unique

x =nÿ

i=1xie

i,

où les nombres réels x1, . . . , xn désignent les coordonnées de x dans la base {e1, . . . , en}. Une foisfixée la base (la plupart du temps, on utilisera la base canonique définie par

e1 =

Q

ccccccca

100...00

R

dddddddb

, e2 =

Q

ccccccca

010...00

R

dddddddb

, · · · , en =

Q

ccccccca

000...01

R

dddddddb

.

et on identifiera le vecteur x avec la matrice colonne de taille n ◊ 1Q

cax1...

xn

R

db et on écrira x =

Q

cax1...

xn

R

db = (x1, . . . , xn)T .

AVERTISSEMENT : Le fait de représenter un vecteur de Rn sous forme d’un vecteur colonnesera essentiel lorsque l’on devra e�ectuer des produits matrices/vecteurs. Dans les autres situations,la représentation d’un vecteur sous forme d’une colonne ou d’une ligne ne sera pas particulièrementimportante et pour cette raison, nous ferons parfois des abus de notations (surtout au tableau).Dans le polycopié, nous notons souvent un vecteur (x1, · · · , xn)T , le T indiquant la transposée ; ils’agit donc en fait d’un vecteur colonne.

1.2. NORMES SUR RN 11

En tant qu’espace vectoriel, Rn possède— une loi interne (l’addition) : si x = (x1, . . . , xn)T œ Rn et y = (y1, . . . , yn)T œ Rn, alors

x + ydéf= (x1 + y1, . . . , xn + yn)T œ Rn;

— une loi externe (la multiplication par un réel) : si x = (x1, . . . , xn)T œ Rn et ⁄ œ R, alors

⁄xdéf= (⁄x1, . . . , ⁄xn)T œ Rn.

Définition

Nous pouvons maintenant définir la notion de norme sur Rn. On peut remplacer Rn par unespace vectoriel quelconque dans cette définition, mais ce n’est pas l’objet de ce cours de travailleren toute généralité.

Définition 1.2. On appelle norme sur Rn toute application N de Rn dans R+ telle que, pour toutcouple (x, xÕ) de vecteurs de Rn et tout réel ⁄,

i) (Séparation) N(x) = 0 si et seulement si x = 0Rn = (0, · · · , 0)T ;ii) (Homogénéité) N(⁄x) = |⁄|N(x) pour tout x œ Rn et tout ⁄ œ R ;iii) (Inégalité triangulaire) N(x + xÕ) Æ N(x) + N(xÕ) pour tout x et xÕ dans Rn.

Des deux dernières propriétés, on déduit la seconde inégalité triangulaire.

Proposition 1.3. Soit N une norme sur Rn. Alors pour tout x et y dans R2 on a

|N(x) ≠ N(y)| Æ N(x ≠ y).

Démonstration. En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtient

N(x) = N(x ≠ y + y) Æ N(x ≠ y) + N(x) et N(y) = N(y ≠ x + x) Æ N(y ≠ x) + N(y).

L’homogénéité avec ⁄ = ≠1 donne que N(x≠y) = N(y ≠x), et on peut réécrire ces deux inégalitéscomme

≠N(x ≠ y) Æ N(x) ≠ N(y) Æ N(x ≠ y)ce qui constitue le résultat recherché.

Trois exemples importants, inégalité de Cauchy-Schwarz

Donnons trois exemples qui nous accompagneront tout au long de ces notes.

Proposition 1.4. L’application Î · Î1 définie sur Rn par

ÎxÎ1déf=

nÿ

j=1|xj | = |x1| + |x2| + · · · + |xn|

est une norme.

Démonstration. Commençons par un rappel important : une somme de termes positifs est nullesi et seulement si tous ces termes sont nuls. Ici on a sommé des valeurs absolue donc des termespositif. On a donc ||x||1 = 0 si et seulement si tous les |xj | sont nuls, donc si et seulement si tousles xj sont nuls, donc si x = (0, 0, · · · , 0)T . L’homogénéïté résulte du fait que

Î⁄xÎ1 =nÿ

j=1|⁄xj | =

nÿ

j=1|⁄| |xj | = |⁄|

nÿ

j=1|xj | = ÎxÎ1 .


On utilise l’inégalité triangulaire sur R pour écrire que, pour tout j dans {1, · · · , n},

|xj + xÕj | Æ |xj | + |xÕ

j | .

On conclut la démonstration par sommation par rapport à l’indice j.

Proposition 1.5. L’application Î · ÎŒ définie sur Rn par

ÎxÎŒdéf= max

1ÆjÆn|xj |

est une norme.

Démonstration. Si ÎxÎŒ = 0, on a que pour tout j dans {1, · · · n}, |xj | = 0 et donc x = 0Rn .Comme pour tout j dans {1, · · · n}, on a |⁄xj | = |⁄||xj |, on a

max1ÆjÆn

|⁄xj | = |⁄| |xj | .

Pour démontrer l’inégalité triangulaire, on utilise que

’j œ {1, · · · , n} , ’(x, xÕ) œ (Rn)2 , |xj + xÕj | Æ |xj | + |xÕ

j | Æ ÎxÎŒ + ÎxÕÎŒ.

Ainsi donc max1ÆjÆn

|xj + xÕj | Æ ÎxÎŒ + ÎxÕÎŒ et l’inégalité triangulaire est démontrée.

Proposition 1.6. L’application Î · Î2 définie sur Rn par

ÎxÎ2déf=

ı̂ıÙnÿ

j=1x2

j =Ò

x21 + x2

2 + · · · + x2n

est une norme, appelée norme euclidienne.

Démonstration. On a ÎxÎ2 = 0 si et seulement si ÎxÎ22 =

nÿ

j=1x2

j = 0. En utilisant à nouveau le fait

qu’une somme de termes positifs est nulle si et seulement si tous ces termes sont nuls, on en déduitque pour tout j, x2

j = 0, donc que touts les xj sont nuls, donc que x = 0Rn .En ce qui concerne l’homogénéïté, écrivons que

Î⁄xÎ22 =

nÿ

j=1(⁄xj)2 = ⁄2

nÿ

j=1x2

j = ⁄2ÎxÎ22

ce qui assure l’homogénéïté.La démonstration de l’inégalité triangulaire dans ce cas est sensiblement plus délicate que le

deux précédentes. Elle repose sur l’inégalité fondamentale suivante qui est souvent utilisée pourelle-même.

Proposition 1.7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tout couple (x, xÕ) d’éléments de Rn,on a ----

nÿ

j=1xjxÕ

j

---- Æ ÎxÎ2ÎxÕÎ2.

L’égalité a lieu si et seulement si x et xÕ sont co-linéaires.


Démonstration. Pour tout nombre réel t, on définit

P (t) déf= Îx + txÕÎ22 =

nÿ

j=1(xj + txÕ

j)2.

Un développement élémentaire permet d’écrire que

P (t) =nÿ

j=1

!x2

j + 2txjxÕj + t2(xÕ

j)2"

= ÎxÎ22 + 2tS + t2ÎxÕÎ2

2 avec Sdéf=

nÿ

j=1xjxÕ

j .

La fonction P est donc un trinôme du second degré qui est positif (puisque c’est une somme decarrés) donc a au plus une racine double ; son discriminant est donc négatif ou nul, ce qui assureque 4S2 ≠ 4ÎxÎ2

2ÎxÕÎ22 est négatif ou nul, ce qui exactement l’inégalité voulue.

Le cas d’égalité correspond exactement au cas où le discriminant est nul, c’est-à-dire au cas oùle polynôme P admet une racine t0 tel que Îx + t0xÕÎ2

2 = 0. L’axiome de séparation de la normeimplique que x + t0xÕ = 0Rn .

Conclusion de la démonstration de la proposition 1.6 Par un développement élémentaire, ontrouve que

Îx + xÕÎ22 =

nÿ

j=1

!x2

j + 2xjxÕj + (xÕ

i)2"

= ÎxÎ22 + ÎxÕÎ2

2 + 2nÿ

j=1xjxÕ

j

L’inégalité de Cauchy-Schwartz ci-dessus assure alors que

Îx + xÕÎ22 Æ ÎxÎ2

2 + ÎxÕÎ22 + 2ÎxÎ2ÎxÕÎ2 =

!ÎxÎ2 + ÎxÕÎ2

"2.

La proposition est ainsi démontrée.

Exercice indispensable 2 :

Calculer les normes Î · Î1, Î · Î2 et Î · ÎŒ du vecteur u = (1, ≠1, 2, ≠3, 1)T .

Corrigé. En revenant aux définitions, vous devez trouver ||u||1 = 8, ||u||2 = 4 et ||u||Œ = 3


Sur R3, démontrer que ces trois normes classiques sont bien des normes.Dans le cas où n = 2, représenter graphiquement les ensembles

S1 = {(x, y) œ R2 : ||(x, y)||1 = 1},

S2 = {(x, y) œ R2 : ||(x, y)||2 = 1},

etSŒ = {(x, y) œ R2 : ||(x, y)||Œ = 1},


Figure 1.1 – De gauche à droite, les ensembles S2, S1 et SŒ.

Corrigé. Le fait que ce sont des normes a été démontré ci-dessus ; le point le plus délicat est sansdoute l’application de l’inégalité de Cauchy-Schwartz pour démontrer l’inégalité triangulaire pourla norme euclidienne Î · Î2.

L’ensemble S2 n’est autre que {(x, y) œ R2 : x2 + y2 = 1} : c’est donc un cercle centré enl’origine (0, 0) et de rayon 1 (figure 1.1, gauche).

Pour la norme Î · Î1, on a

S1 = {(x, y) œ R2 : ||(x, y)||1 = 1} = {(x, y) œ R2 : |x| + |y| = 1}.

Distinguons selon le signe de x et y :— si x Ø 0 et y Ø 0, |x| + |y| = x + y et nous avons la portion de droite y = 1 ≠ x contenue

dans le quadrant supérieur droit ;— si x Æ 0 et y Ø 0, |x| + |y| = x ≠ y et nous avons la portion de droite y = x ≠ 1 contenue

dans le quadrant supérieur gauche.En procédant de même pour les deux autres quadrant, on obtient un carré de sommets (1, 0), (0, 1),(≠1, 0) et (0, ≠1) (figure 1.1, milieu)

Enfin pour la norme Î · ÎŒ, il nous faut comparer |x| et |y|. Dans le demi plan x Ø 0,

|y| Æ |x| ≈∆ |y| Æ x ≈∆ ≠x Æ y Æ x.

Ainsi, toujours si x Ø 0,

||(x, y)||Œ =I

|x| si ≠ x Æ y Æ x

|y| sinon

ce qui nous permet de dessiner la moitié de l’ensemble S1 contenue dans le demi plan x Ø 0, quicontient :

— la portion droite x = 1 à l’intérieur de l’entonnoir ≠x Æ y Æ x ;— les deux portions de droite |y| = 1 en dehors de cet entonnoir (y = 1 ou y = ≠1 en fonction

du signe de y).En remarquant que ||(≠x, y)||Œ = ||(x, y)||Œ, on complète le dessin par une symétrie d’axe x = 0et on obtient un carré de sommets (1, 1), (≠1, 1), (≠1, ≠1), (1, ≠1) (figure 1.1, droite).


Montrer que l’application

N

;R2 ≠æ R

(x, y) ‘≠æ |x + 2y| + 3|y|

est une norme sur R2.

Corrigé. Démontrons que N vérifie les trois points de la définition 1.2, en commençons par lapropriété de séparation (on voit immédiatement que N est à valeurs positives). Si N(x, y) = 0,comme les deux termes de la somme sont positifs, il faut qu’ils soient tous les deux nuls ; on a donc

N(x, y) = 0 ≈∆I

|x + 2y| = 0|3y| = 0

≈∆I

x + 2y = 03y = 0

≈∆I

x = 0y = 0


L’homogénéïté est comme souvent facile. Soit ⁄ un réel,

N(⁄x, ⁄y) = |⁄x + 2⁄y| + |3⁄y| = |⁄|!|x + 2y| + |3y|

"= |⁄|N(x, y).

Enfin, l’inégalité triangulaire découle de celle sur la valeur absolue :

N(x + xÕ, y + yÕ) = |(x + xÕ) + 2(y + yÕ)| + |3(y + yÕ)|= |(x + 2y) + (xÕ + 2yÕ)| + |3y + 3yÕ|Æ |x + 2y| + |xÕ + 2yÕ| + |3y| + |3yÕ|Æ N(x, y) + N(xÕ, yÕ).

Normes équivalentes

La définition suivante fournit un critère de comparaison entre deux normes distinctes.

Définition 1.8. Soient N1 et N2 deux normes sur Rn. On dit que N1 et N2 sont équivalentes s’ilexiste deux constantes – > 0 et — > 0 telles que

’x œ Rn , –N1(x) Æ N2(x) Æ —N1(x) .

Cette propriété signifie intuitivement qu’un vecteur “petit” selon la norme N1 le sera aussi selonl’autre norme N2 et réciproquement. La proposition 1.9 ci-dessous montre que les trois normes Î ·Î1, Î · Î2 et Î · ÎŒ sont équivalentes.

Proposition 1.9. Pour tout x de Rn, on a

ÎxÎŒ Æ ÎxÎ2 Æ ÎxÎ1 ÆÔ

nÎxÎ2 Æ nÎxÎŒ .

Démonstration. Pour tout j dans {1, · · · , n}, on a

x2j Æ

nÿ

j=1x2

j = ÎxÎ22 et donc ÎxÎ2

Œ Æ ÎxÎ22.

Comme 3 nÿ

j=1|xj |

42=

nÿ

j=1x2

j +ÿ

1Æj,kÆnj ”=k

|xj |xk| ,

nous avonsnÿ

j=1|xj |2 Æ

3 nÿ

j=1|xj |

42et donc ÎxÎ2

2 Æ ÎxÎ21.

En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz avec les vecteurs

Âx déf= (|x1|, · · · , |xn|) et xÕ déf= (1, · · · , 1),

on trouve quenÿ

j=1|xj | Æ

Ôn

3 nÿ

j=1x2

j

4 12

ce qui est exactement l’inégalité ÎxÎ1 ÆÔ

nÎxÎ2. Enfin, écrivons quenÿ

j=1x2

j Æ n max1ÆjÆn

x2j

et l’on conclut que ÎxÎ2 ÆÔ

nÎxÎŒ et la proposition est ainsi démontrée.



Savoir redémontrer l’équivalence des normes Î · Î1, Î · Î2 et Î · ÎŒ, au moins dans R2.

Exercice complémentaire 1 :

Sur R2, montrer que la norme définit par N(x, y) = |x+2y|+3|y| est équivalente à la normeÎ · ÎŒ.

Corrigé. Soit (x, y) un élément de R2. En utilisant d’abord l’inégalité triangulaire puis le faitque |x| et |y| sont tous les deux inférieurs ou égaux à max{|x|, |y|}, on obtient

|x + 2y| + 3|y| Æ |x| + 2|y| + 3|y| Æ 6 max(|x|, |y|) = 6||(x, y)||Œ.

Pour l’autre sens, faisons apparaitre la majoration connue max(|x|, |y|) Æ |x| + |y| :

||(x, y)||Œ Æ |x| + |y| Æ |(x + 2y) ≠ 2y| + |y| Æ |x + 2y| + |2y| + |y| Æ N(x, y).

On a finalement obtenu

’(x, y) œ R2, ||(x, y)||Œ Æ N(x, y) Æ 6||(x, y)||Œ

ce qui montre que ces deux normes sont équivalentes.

En fait, la propriété suivante, que nous démontrerons à la fin du chapitre 3 montre que cettepropriété est générale.

Théorème 1.10. Toutes les normes sur Rn sont équivalentes entre elles.

Ce théorème d’une extrême importance sera démontré par la suite. Il a pour conséquence que lesnotions de convergence de suite, de continuité, etc, ne dépendent pas de la norme choisie dans Rn.En dimension infinie, cas que nous n’aborderons pas dans ce cours, ce n’est pas du tout le cas(pensez par exemple aux suites de fonctions qui convergent simplement mais pas uniformémentpar exemple). On peut aussi observer que lorsque la dimension n devient très grande, les contrôlesde la norme Î · Î2 par la norme Î · ÎŒ et de la norme Î · Î1 par la norme Î · Î2 donnés par laproposition 1.9 deviennent très mauvais.

Distance associée à une norme

Définissons maintenant le concept de distance associée à une norme. Cette définition est baséesur la proposition suivante.

Proposition 1.11. Soit N une norme sur Rn, l’application d définie par

d : Rn ◊ Rn ≠æ R+

(x, xÕ) ‘≠æ N(xÕ ≠ x)

est une distance.

1.3. CONVERGENCE DES SUITES 17

Démonstration. On commence par observer que si N est une norme, alors

d(x, xÕ) = N(xÕ ≠ x) = 0Rn ≈∆ xÕ ≠ x = 0Rn

ce qui assure le premier point de la définition d’une distance. En ce qui concerne le deuxième point,la propriété d’homogénéïté appliquée avec ⁄ égal à ≠1 assure que

d(x, xÕ) = N(xÕ ≠ x) = N(x ≠ xÕ) = d(xÕ, x).

Quant à l’inégalité triangulaire, observons que

d(x, xÕ) = N(xÕ ≠ xÕÕ + xÕÕ ≠ x)Æ N(xÕ ≠ xÕÕ) + N(xÕÕ ≠ x)Æ d(xÕ, xÕÕ) + d(x, xÕÕ).

L’application d est donc bien une distance.

1.3 Convergence des suitesNous allons voir comment étendre la notion de suite convergente que l’on connait pour les suites

à valeurs réelles aux suites à valeurs dans Rn.

Définition 1.12. Soit N une norme sur Rn. Considérons une suite (xk)kœN d’éléments de Rn. Ondit que (xk)kœN converge vers a œ Rn en norme N , et on note xk ≠æ

Na, si et seulement si

’Á > 0 , ÷kÁ œ N / k Ø kÁ =∆ d(a, xk) = N(xk ≠ a) < Á .

AVERTISSEMENT : Si (xk)kœN est une suite de Rn, l’indice en haut désigne l’indice de la suite.En revanche, l’indice en bas désigne la composante du vecteur. Ainsi, xk

i est la i-ème composantedu vecteur xk.

Dans Rn, une suite qui converge pour une norme converge pour toutes les autres. En e�et, toutesles normes sont équivalentes et on a la proposition suivante.

Proposition 1.13. Soient N et N Õ deux normes équivalentes. On a

xk ≠æN

a ≈∆ xk ≠æN Õ

a

Démonstration. Les deux normes sont équivalentes, donc il existe – > 0 et — > 0 tels que

’x œ Rn, –N(x) Æ N Õ(x) Æ —N(x).

Supposons que la suite (xk)kœN converge vers a au sens de la norme N . Ceci signifie que pourtout réel strictement positif Á, il existe un entier positif kÁ tel que pour tout k supérieur à kÁ,on ait N(xk ≠ a) Æ Á/—, et donc que N Õ(xk ≠ a) Æ Á. La réciproque est strictement identique enutilisant que N(x) Æ 1/–N Õ(x).

Un raisonnement similaire s’appliquant pour toutes les définitions du cours, onutilisera désormais la norme qui rend la démonstration la plus simple. Parfois, nousécrirons la démonstration pour une norme quelconque. On notera tout simplementxk ≠æ a

Proposition 1.14. La limite, si elle existe, est unique.


Démonstration. Vu ce qui précède, nous écrivons la démonstration pour une quelconque normesur Rn que l’on note Î · Î. Soient a et b deux éléments de Rn tels que la suite (xk)kœN convergevers a et vers b. Alors, pour tout Á > 0 il existe deux entiers positifs kÁ,a et kÁ,b tels que

’k Ø kÁ,a , Îxk ≠ aÎ < Á et ’k Ø kÁ,b , Îxk ≠ bÎ < Á .

En utilisant l’inégalité triangulaire, on en déduit que pour tout k supérieur au maximum de kÁ,a

et Ø kÁ,b on aÎa ≠ bÎ Æ Îa ≠ xkÎ + Îxk ≠ bÎ < 2Á

ce qui montre que a = b, puisque Á est arbitraire.

Le résultat suivant montre que la convergence d’une suite de Rn est équivalente à la convergencede chacune de ses composantes dans R.

Proposition 1.15. Soit (xk)kœN une suite d’éléments de Rn et a œ Rn. Alors

limkæŒ

xk = a ≈∆ ’j œ {1, · · · , n} , limkæŒ

xkj æ aj .

Démonstration. En utilisant l’équivalence des normes et la proposition 1.13, nous allons utiliser lanorme Î·ÎŒ pour décrire la convergence des suites à valeurs dans Rn. Supposons que la suite (xk)kœNconverge vers a (en norme Î ·ÎŒ donc). Par définition, pour tout Á > 0, il existe un entier positif kÁ

tel que pour tout k Ø kÁ, on ait Îxk ≠ aÎŒ < Á. Ceci implique que

’j œ {1, · · · , n} , |xkj ≠ aj | < Á

et donc que limkæŒ

xkj = aj . Réciproquement, supposons que pour tout j dans {1, · · · , n} on

ait limkæŒ

xkj = aj . Par définition,

’Á > 0 , ÷kÁ,j / ’k Ø kÁ,j |xkj ≠ aj | < Á .

Posons kÁdéf= max

1ÆjÆnkÁ,j . Nous avons alors

’k Ø kÁ , ’j œ {1, · · · , n} , |xkj ≠ aj | < Á et donc Îxk ≠ aÎŒ < Á

ce qui montre bien que xk æ a en norme Î · ÎŒ.

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