M303 : Topologie

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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées M303 : Topologie Notes de cours par Clément Boulonne L3 Mathématiques 2008 - 2009

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Notes de CoursM303 : TOPOLOGIEClément BoulonneWeb : http://clementboulonne.new.frMail : [email protected]é des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathématiques Pures et AppliquéesLicence de Mathématiques — Semestre 52008 - 2009

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Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

M303 : Topologie

Notes de cours par Clément Boulonne

L3 Mathématiques 2008 - 2009

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Table des matières

Notations 3

1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topolo-giques 41.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Distances équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Distance induite et distance produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Topologie d’un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Distances topologiquement équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Suites convergente et valeurs d’adhérence d’une suite . . . . . . . . . . . 15

1.3 Espaces topologiques et applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Topologie sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4 Topologie induite : sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5 Suites dans un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Cas pour les espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Cas topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.3 Uniforme continuité et Lipschitz continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Espaces métriques compacts 232.1 Définitions et quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Compactié en termes de recouvrements ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Applications continues d’espaces métriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Parties compactes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 303.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Fonctions continues sur des espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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4 Espaces métriques complets, espaces de Banach 384.1 Suites de Cauchy, espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Propriétés des espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5.1 Condition nécessaire à la compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.2 Condition nécessaire et suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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Notations

• Q : corps des rationnels• R : corps des réels• C : corps des complexes• N : ensemble des entiers positifs• Z : ensemble des entiers

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Chapitre 1

Généralités sur les espaces métriques etintroduction aux espaces topologiques

1.1 DistanceDéfinition 1.1.1. Connaître la proximité1, c’est d’abord de mesurer la distance.

1.1.1 Définitions et exemplesDéfinition 1.1.2. Une distance d sur un ensemble E est une application :

d : E × E → [0,+∞[(x, y) 7→ d(x, y)

qui vérifient trois conditions.1) d(x, y) = 0⇔ x = y (deux objets confondus)2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E (symétrie)3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)

Définition 1.1.3. Un espace métrique est la donnée d’un ensemble muni d’une distance : (E, d)

Remarque. • Sur un ensemble donné, il peut y avoir plusieurs distances : on notera le couple(E, d) pour préciser la distance concernée de l’espace.• Distance = métrique.

Exemple 1.1.1 (Espaces métriques). 1. (R, d) avec d : (x, y) 7→ |x−y|. Plus généralement :– (Rn, d1) avec d1(x, y) = |x1 − y1|+ ...+ |xn − yn| avec x = (x1, ..., xn) et y = (y1, ..., yn)– (Rn, d∞) avec d∞ = max

1≤i≤n|xi − yi|

– (Rn, d2) avec d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + ...+ (xn − yn)2

2. Espaces fonctionnels (les "points" (éléments) deE sont des fonctions). On a que C0([0, 1],R)est l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] à valeurs réels. Il y a plusieurs distancespossibles pour cet ensemble :– d∞(f, g) = max

x∈[0,1]|f(x)− g(x)|

– d1(f, g) =∫ 1

0 |f(x)− g(x)|dx– d2(f, g) =

√∫ 10 |f(x)− g(x)|2dx

1voisinage

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6Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Remarque. La notion métrique permet d’avoir un point de vue commun à l’étude de Rn

et celle de C0([0, 1],R).3. Distances "exotiques" :

– Distance discrète sur un ensemble E donné arbitraire.

d(x, y) =

1 si x 6= y

0 si x = y

– Disance SNCF (sur R2)

d(P,Q) =

distance habtiuelle de P et Q s’ils sont alignées à Paris(O)d(P,O) + d(O,Q)

1.1.2 Premières propriétésProposition 1.1.1 (Conséquence de l’inégalité triangulaire).

d(x, z) ≥ |d(x, y)− d(y, z)|

Notation.

α ≥ |β| ⇔

α ≥ β

α ≥ −β

On peut construire beaucoup de métriques à partir d’une distance.

Proposition 1.1.2. Soit (E, d) un espace métrique, soit :

f : [0,+∞[ → [0,+∞[x 7→ f(x)

On pose :D : E × E → [0,+∞[

(x, y) 7→ f(d(x, y))Alors D devient une distance sur E si les trois conditions sont satisfaites :1) f(t) = 0⇔ t = 02) f est croissante : f(t) ≥ f(s) si t ≥ s.3) f est sous-additive : f(t+ s) ≤ f(t) + f(s).

Démonstration. • D(x, y) = 0⇔ f(d(x, y)) = 0⇔ d(x, y) = 02 ⇔ x = y 3.• symétrie : évidente

2vérifié par 1)3car d est une distance

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Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 7

• D(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z)) 4 ≤ f(d(x, y))︸ ︷︷ ︸D(x,y)

+ f(d(y, z))︸ ︷︷ ︸D(y,z)

5

Exemple 1.1.2. •

f(t) =

t si t ∈ [0, 1]1 si t ≥ 1

= min(1, t)

Si d est une distance sur E, alors (x, y) 7→ min(d(x, y), 1) est aussi est une distance.Remarque. Cette "troncature" fonctionne car l’intérêt majeur d’une distance se situe prèsde la valeur 0.• t 7→ t

1+t

On pourra démontrer à la main que

t+ s

1 + t+ s≤ t

1 + t+ s

1 + s

• t 7→ arctan(t)

4car f est croissante5car f est sous-additive

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8Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

1.1.3 Distances équivalentesDéfinition 1.1.4. Soit d1, d2 des distances sur E. Elles sont dits équivalentes s’il existe deuxconstantes c1, c2 > 0 tel que :

c1d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ c2d2(x, y), ∀(x, y) ∈ E2

Proposition 1.1.3. Les distances d∞, d1, d2 sur Rn introduites sur l’Exemple 1.1.1. sontéquivalentes et, par contre, elles ne sont pas équivalentes sur C0([0, 1],R).Démonstration. • Sur R2, ces distances sont définies par les normes N∞, N1, N2 de Rn avec :

N1 : Rn → [0,+∞[(x1, ..., xn) 7→ |x1|+ ...+ |xn|

N2(x) =(

n∑i=1|xi|2

)1/2

N∞(x) = max1≤i≤n

|xi|

Rappel. Toutes les normes sur Rn (de dimension finie) sont équivalentes → les distancesassociés sont équivalentes.• Pour C0([0, 1],R) : il faut trouver des fonctions f et g qui ont une distance très petitepour l’une des distances et assez grande pour les autres.Soit f = 0 et g(x) = xn. On a ainsi :

d1(f, g) =∫ 1

0xndx = 1

n+ 1

d2(f, g) =(∫ 1

0x2ndx

)1/2= 1√

2n+ 1d∞(f, g) = sup

x∈[0,1]|xn| = 1

On a :1

n+ 1︸ ︷︷ ︸A

≤ 1√2n+ 1︸ ︷︷ ︸B

≤ 1︸︷︷︸C

lorsque n→ +∞

On a ainsi :B

A= n+ 1√

2n+ 1→ +∞ ; C

B=√

2n+ 1→∞

⇒ on ne peut pas majorer d2(f, g) par c1d1(f, g), ni d∞(f, g) par c2d2(f, g).

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Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 9

1.1.4 Distance induite et distance produitDéfinition 1.1.5. Soit A ⊂ E et d une distance sur E. On appelle distance induite sur A pard, l’application restreinte :

dA×A : A× A → [0,+∞[(x, y) 7→ dA×A(x, y)

Remarque. La restriction d’une distance sur un sous-ensemble reste encore une distance.⇒ Toute partie d’un espace métrique peut être vue comme un espace métrique.

Définition 1.1.6. Soit (E1, d1),...,(En, dn) des espaces métriques, on peut définir une distanceappelée distance produit, sur E1 × ...× En avec

dI(x, y) =n∑i=1

di(xi, yi) où

x = (x1, ..., xn)y = (y1, ..., yn)

∈ E1 × ...× En

d∞(x, y) = max1≤i≤n

di(xi, yi)

dII(x, y) =(

n∑i=1

di(xi, yi)2)1/2

Proposition 1.1.4. Ces trois choix de distances sont équivalentes : ces distances sont deux àdeux équivalentes.

Démonstration. On veut démontrer qu’il existe c1, c2, c3 > 0 tel que ∀(x, y) ∈ E × E avecE = E1 × ...× En :

c1dI(x, y) ≤ dII(x, y) ≤ c2d∞(x, y) ≤ c3dI(x, y)

Il suffit d’utiliser le fait que les normes N1, N2 et N∞ sont équivalentes sur Rn.

1.1.5 Espaces vectoriels normésDéfinition 1.1.7. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel avec une distance compa-tible avec sa structure d’espace vectoriel.

Définition 1.1.8 (Rappel). 1) Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel avec unenorme.

2) Une norme sur un espace vectoriel E est une application :

N : E → [0,+∞[x 7→ N(x)

tel que :a) N(x) = 0⇔ x = 0 (vecteur nul)b) N(λx) = |λ|N(x), ∀x ∈ E, λ ∈ K(R ou C)c) N(x, y) ≤ N(x) +N(y) (inégalité triangulaire)

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10Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Proposition 1.1.5. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont deux àdeux équvialentes, c’est-à-dire ∃c1, c2 > 0 tel que ∀x ∈ E :

c1N2(x) ≤ N1(x) ≤ c2N2(x)

Proposition 1.1.6. Soit (E,N) un espace vectoriel normé. On pose d(x, y) = N(x − y),∀x, y ∈ E. Alors d est une distance sur EDémonstration. 1. d(x, y) = 0⇔ N(x− y) = 0⇔ x− y = 0⇔ x = y

2. symétrie : d(x, y) = N(x− y) =6 N(y − x) = d(y, x)3. inégalité triangulaire : évident

1.2 Topologie d’un espace métriqueMotivations f est dit continue en un point a ∈ R si :

f(x)→ f(a) quand x→ a

∀ε > 0, ∃δ > 0 ; |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

On dit que les points voisins ont des images voisines. Cette description intuitive pourra êtregénéralisée à un espace "topologique" sans être nécessairement métrique.

1.2.1 VoisinagesDéfinition 1.2.1. Soit (E, d) un espace métrique et soit a ∈ E. Un sous-ensemble V de E estappelé voisinage de a si il contient tous les points suffisament proches de a. C’est-à-dire :

∃ρ > 0 ; d(x, a) < ρ⇒ x ∈ V

Remarque. Tout voisinage de a contient le point a lui-même.Notation. B(a, r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r. On a :

B(a, r) = {x | d(x, a) < r}

Remarque. A ⊂ E est un voisinage de a⇔ ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A.Exemple 1.2.1. 1) [0, 1] est un voisinage de 1

2 ou 13 ou de π

4 mais il n’est pas voisinage de 0et 1.• 1

2 : B(

12 ,

12

)=]0, 1[⊂ A = [0, 1]

• 13 : B

(13 ,

13

)=]0, 2

3

[⊂ A

• π4 : B

(π4 , 0.2

)⊂]0, 1[⊂ A.

• Pourtant, B(0, r) =]− r, r[ 6⊂ A et B(1, r) =]1− r, 1 + r[ 6⊂ A.2) Boules dans R2 avec la distance euclidienne : disques de centre a = (a1, a2) et de rayon r.

Si l’on utilise la métrique :

(x, y) 7→ |x1 − y1|+ |x2 − y2| = d1(x, y)

avec x = (x1, x2) et y = (y1, y2), la boule B(a, r) devient un carré.Vérification : a = (0, 0) et :

B(a, r) = {(x1, x2) | |x1|+ |x2| < r}6On pose a = x− y et −a = y − x. On a ainsi : N(a) = N(−a) en prenant λ = −1

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Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 11

3) Dans R3 muni de la distance euclidienne : boules = ballons.

Propriétés fondamentales des voisinages

Propriété 1.2.1 (Stabilité pour la réunion). Si (Vi)i∈I est une famille de voisinage de a alors⋃i∈IVi est un voisinage de a.

Propriété 1.2.2 (Stabilité pour l’intersection finie). Si (Vi)i∈I est une famille finie de voisinagede a (c’est-à-dire I est fini) alors

⋂i∈IVi est un voisinage de a.

Conséquence. Tout voisinage de a contient le point a lui-même.

Démonstration : Propriété 1.2.1, Propriété 1.2.2, Conséquence. 1.2.1 SoitB(a, r1) ⊂V1 :

⇒ B(a, r1) ⊂⋃i∈IVi (1 ∈ I)

⇒⋃i∈IVi est un voisinage de a

1.2.2 Pour chaque Vi, on a ri > 0 tel que B(a, ri) ⊂ Vi alors :(⋂i∈IB(a, ri)

)︸ ︷︷ ︸

B(a,r) avec r=mini∈I ri

⊂(⋂i∈IVi

)

⇒⋂i∈IVi est un voisinage de a.

Csq Si V est un voisinage de a, B(a, r) ⊂ V . Or a ∈ B(a, r)⇒ a ∈ V .

Remarque. Dans la Proporiété 1.2.2.,⋂i∈IVi n’est pas nécessairement un voisinage si I est

infini car infi∈I

Vi peut être nul.

Page 12: M303 : Topologie

12Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Exemple 1.2.2. ⋂n≥1

]− 1n,1n

[= {0}

1.2.2 Distances topologiquement équivalentesDéfinition 1.2.2. Soient (E, d1) et (E, d2) deux ensembles métriques (sur un même ensembleE). d1 et d2 sont topologiquement équivalentes si chaque voisinage d’un point a par rapport àla distance d1 est aussi un voisinage de a pour la distance d2 et vice et versa.

Remarque. Ici, "équivalence topologie" = "même voisinage"

Propriété 1.2.3. (1) ∀r1 > 0, soit x ∈ E, ∃r2 > 0 tel que Bd2(a, r2) ⊂ Bd1(a, r1).(2) ∀ρ2 > 0, ∃ρ1 > 0 tel que Bd1(a, ρ1) ⊂ Bd2(a, ρ2).

Démonstration. En effet, soit V1 un voisinage de a pour d1 (c’est-à-dire Bd1(a, r1) ⊂ V1), d’aprèsla Définition 1.2.2, V1 sera un voisinage pour d2 (c’est-à-dire Bd2(a, r2) ⊂ V1). On choisit :V1 = Bd1(a, r1), cela implique (1) de la Propriété 1.2.3.. De même pour (2) de la Propriété1.2.3..

Proposition 1.2.4. Si d1 et d2 sont des métriques équivalentes, elles sont topologiquementéquivalentes.

Démonstration. d1 et d2 sont équivalentes ⇔ ∀x, y ∈ E, on a :

c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2d1(x, y)

où c1, c2 > O sont des constantes. Soit r1 > 0 et on considère Bd1(a, r1). Existe-il r2 > 0 tel queBd2(a, r2) ⊂ Bd1(a, r1). Cela veut dire :

{x | d2(x, a) < r2} ⊂ {x | d1(x, a) < r1}

ou :d2(x, a) < r2 ⇒ d1(x, a) < r1

Or d1(x, a) ≤ 1c1d2(x, a). Si on pose r2 = r1c1, on aura : d2(x, a) < r1c1 ⇒ d1(x, a) < d1(x, a) <

r1. On complète la preuve en permutant les rôles de d1 et d2.x

Exemple 1.2.3. (1) Dans Rn, d∞, d1 et d2 sont équivalentes donc topologiquement équiva-lentes. En particulier, dans le plan R2

Page 13: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 13

(2) Sur la droite réelle R, la distance habituelle (x, y) 7→ d(x, y) = |x − y| et la distance :(x, y) 7→ D(x, y) = min(d(x, y), 1) ne sont pas équivalentes mais elles sont topologiquementéquivalentes.

Remarque. Dès que ρ > 1, BD(a, ρ) = R.Notation. Si a ∈ Va désignant une famille de voisinages de a (Va,d pour préciser la distanceemployée). Deux distances sont topologiquement équivalentes si et seulement si :

∀a ∈ E, ∀V1 ∈ Va,d1 , ∃V2 ∈ Va,d2 tel que V2 ⊂ V1

et vice et versa.

1.2.3 Ouverts, fermésDéfinition 1.2.3. Un sous-ensemble A de (E, d) est dit ouvert s’il est voisinage de tous sespoints. Autrement dit, A est un ouvert :

⇔ ∀a ∈ A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A

Définition 1.2.4. A est appelé fermé si E\A est un ouvert.Exemple 1.2.4. 1. Toute boule ouverte est un ouvert.

2. [0, 1] n’est pas un ouvert.Conventions :– l’ensemble vide ∅ est un ouvert.– On remarque que E est un ouvert.

Propriétés fondamentales des ouverts

Propriété 1.2.5 (Stabilité pour la réunion). ∀(Ui)i∈I une famille d’ouverts. Alors⋃i∈IUi restera

un ouvert de (E, d).Propriété 1.2.6 (Stabilité pour l’intersection finie).

⋂i∈IUi est un ouvert si I est fini.

Conséquence. En outre, E et ∅ sont des ouverts de (E, d).

Démonstration : Propriété 1.2.5., Propriété 1.2.6. 1.2.5. Soit a ∈⋃i∈IUi alors ∃i ∈ I

avec a ∈ Ui. Ui est un overt donc il existe B(a, r) ⊂ Ui. D’où⋃i∈IUi contient la boule

B(a, r) et constitue un voisinage de a.1.2.6 Même raisonnement que 1.2.5.

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14Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Propriétés fondamentales pour les fermés

Propriété 1.2.7 (Stabilité pour l’intersection). ∀(Fi)i∈I une famille de fermés. Alors⋂i∈IFi est

un fermé.

Propriété 1.2.8 (Stabilité pour la réunion finie).⋃i∈IFi est un ouvert si I est fini.

En plus, ∅ et E sont des fermés.

Démonstration : Propriété 1.2.7, Propriété 1.2.8. On a :

U ←→ F = E\U⋃i∈IUi ←→

⋂i∈IFi

⋂i∈IUi ←→

⋃i∈IFi

∅, E ←→ E, ∅

Exemple 1.2.5. [0, 1] est un fermé de (R, d), d : distance habitulle car :

R\[0, 1] =]−∞, 0[∪]1,+∞[

Theorème 1.2.9. Sur R, tout ouvert est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts dis-joints.

1.2.4 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence

Définition 1.2.5. Soit (E, d) un ensemble métrique et soit a ∈ E :(1) a est un appélé point intérieur à A si A est un voisinage de a :

∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A

(2) a est dit "extérieur de A" si a est intérieur à l’ensemble E\A :

∃r > 0 tel que B(a, r) ∪ A = ∅

(3) a est un point frontière de A si tout voisinage de a rencontre A et E\A.

Page 15: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 15

(4) a est dit "adhérence à A" si tout voisinage de a rencontre A.

Remarque. (3) et (4) de la Définition 1.2.5. ⇒ tout point frontière est adhérent de A.

Notation. –◦A = intérieur de A : ensemble des points intérieurs à A.

– ExtA = extérieur de A = ensemble des points extérieurs à A.– ∂A = FrA = Frontière de A = l’ensemble des points frontières à A.– A = adhérence de A = l’ensemble des points adhérents à A.

Proposition 1.2.10. (1)◦A est un ouvert de E et c’est le plus grand ouvert inclus dans A

(◦A⊂ A).

(2) ExtA =◦A

(3) ∂A = A ∩ (E\A)(4) A = E\ExtA est un fermé et c’est le plus petit fermé contenant A (A ⊂ A).

Démonstration. (1) 2 propriétés :

I) ∀a ∈◦A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂

◦A

Démonstration. a est intérieur à A ⇒ ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A. Soit x ∈ B(a, r),∃ρ > 0 tel que B(a, ρ) ⊂ B(a, r) (chaque boule ouverte est un ouvert). Cela veut direque tout point de B(a, r) est intérieur à A ⇒

◦A est un voisinage de a. Or a est un

point quelconque de◦A donc

◦A est un ouvert.

II) Si B est un ouvert tel que B ⊂ A alors B ⊂◦A.

Démonstration. On se donne U un ouvert avec U ⊂ A. On peut montrer que U ⊂◦A

car X ⊂ Y ⊂◦X⊂

◦Y . Donc X = U , donc

◦X=

◦U= U car U est un ouvert donc U ⊂

◦A

(2) Traduction de la définition ExtA.(3) Traduction de la définition ∂A.(4) Un fermé est le complémentaire d’un ouvert. On veut montrer que E\A est un ouvert. Dire

que x ∈ E\A ⇔ il existe un voisinage de x qui ne rencontre pas ⇔ ∃r > 0, B(x, r) ⊂

(E\A)⇔ x ∈ ExtA on a x ∈◦

E\A. D’où E\A =◦

E\A. On a ainsi : E\A est un ouvert, c’estle plus grand ouvert extérieur à A (d’après (1)) donc A est un fermé, c’est le plus grandfermé contenant A.

Remarque. 1. X ⊂ Y ⇒

◦X⊂

◦Y

X ⊂ Y

2. A est ouvert ⇔ A =◦A et A est fermé ⇔ A = A.

Définition 1.2.6. A est dit dense dans (E, d) si A = E.

Exemple 1.2.6. 1. A = Q et E = R. Q est dense dans R.2. On verra que l’ensemble des polynômes est dense dans l’espace des fonctions C0([0, 1]→

R).

Page 16: M303 : Topologie

16Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

1.2.5 Suites convergente et valeurs d’adhérence d’une suiteSoit (E, d) un espace métrique et soit (xn)n∈N une suite d’éléments de E.

Définition 1.2.7. (xn)n≥0 est dite convergente si sa limite (notée l) existe :

∃l ∈ E tel que xn −−−−→n→+∞

l

xn −−−−→n→+∞

l veut dire que la distance entre un et l tend vers 0.

Exemple 1.2.7. 1. R, d(xn, l) = |xn − l|2. Rn, d(xn, l) = ‖xn − l‖ norme euclidienne.

Remarque. On entend par "suite convergente de E", la propriété que la suite converge dans E.Attention :. La qualité d’être convergente par une suite dépend de l’espace, où on travaille.

Exemple 1.2.8.√

2 = 1, 414.... On pose x0 = 1, x1 = 1, 4 (plus généralement xn sera lesn premiers chiffres décimaux de

√2). La suite (xn) est une suite de nombres rationnels et

converge vers√

2 dans R (elle n’a pas de limite rationnelle ⇔ elle n’est pas convergente dansQ).

Remarque. La limite d’une suite dans un espace métrique quand elle existe est unique car sixn → l et l′ alors : d(l, l′) ≤ d(l, xn) + d(xn, l′)→ 0 donc l = l′.

Proposition 1.2.11. La convergence d’une suite est une notion "topologique", c’est-à-direqu’elle est indépendante du choix de distances topologiquement équivalentes. En d’autres termes,si xn d−→ l et d et d′ sont topologiquement équivalentes alors xn d′−→ l.

Démonstration. On a besoin de traduire la proposition entre terme de voisinages :

xnd−→ l⇒,∀V ∈ O, ∃N tel que xn ∈ V dès que n ≥ N

Lorsque d et d′ sont topologiquement équivalentes, pour tout voisinage V ′ de l par rapport à ladistance d′, il existe un voisinage V de l pour d alors V ⊂ V ′, xn ∈ V ⊂ V ′ pour n ≥ N . D’oùxn

d′−→ l.

Exemple 1.2.9. Sur Rn, toutes les normes sont équivalentes donc topologiquement équiva-lentes. La limite d’une suite est indépendante du choix de ces normes.

Theorème 1.2.12 (Caractérisation d’un fermé et de l’adhérence). (1) Un sous-ensemble A deE est un fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente (dans E) d’élémentsde A est dans A (un fermé est stable pour le passage à la limite).

(2) On a a ∈ A⇔ a est limite d’une suite d’éléments de A.

Démonstration. (1) A est fermé ⇔ A = A Soit xn︸︷︷︸∈A

d−→ l ∈ E alors tout voisinage de l contient

"presque" (à un nombre fini près) tous les termes de (xn)n∈N. Or xn ∈ A ⇒ l ∈ A. Donc,toute suite d’éléments de A converge vers un élément de A.

(2) a ∈ A donc ∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅. On choisit r = 1navec n > 0 à chaque étape, il y a

un élément xn ∈ B(a, 1/n) ∩ A, xn d−→ a car d(x, a) = 1n→ 0. a est donc limite d’une suite

d’éléments de A.

Page 17: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 17

Deux situtations pour les poinbts de A(1) a ∈ A donc a ∈ A↔ a = limn xn avec xn = a.(2) a 6∈ A mais a ∈ A ↔ a = limn xn avec xn ∈ A mais xn 6= a. On dit que a est un point

d’accumulation de A (c’est la limite d’une suite non stationnaire d’éléments de A).

Corollaire. a ∈ ∂A (frontière de A) ⇔ a = limn→+∞

xn = limn→+∞

x′n avec xn ∈ A et x′n 6∈ A car∂A = A ∩ (E\A).

Définition 1.2.8. On appelle valeur d’adhérence de (xn) toute limite d’une sous-suite conver-gente de (xn).

Proposition 1.2.13. 1) xn → l⇔ l est la seule valeur d’adhérence de (xn).2) l′ est une valeur d’adhérence de (xn)n si et seulement pour tout ε > 0 et tout N > 0, ∃n ≥ N

tel que xn ∈ B(l′, ε).

Démonstration. (1) évident(2) l′ = lim

n→+∞xϕ(n) où ϕn : N → N croissante ⇔ tout voisinage de l′ contient tous les termes

de (xϕ(n))n pour n assez grand. Soit ε petit, on a : xϕ(n) ∈ B(l′, ε). Réciproquement, onpose ε = 1

net on choisit xm ∈ B(l′, 1

n) où m = ϕ(n) (comme il y a une infinité de choix, on

s’arrange de telle manière que ϕ est croissante, on en déduit que l′ = limn→∞ xϕ(n)).

1.3 Espaces topologiques et applications continuesObservations L’analyse se fait à partir d’une notion de voisinage ou de proximité (exemple :la notion de convergence est indépendante du choix des métriques topologiquement équiva-lentes) → un cadre "abstrait" muni d’une notion de voisinage.

1.3.1 Topologie sur un ensembleSoit E un ensemble non vide.

Notation. On note P(E) l’ensemble des parties E : A ∈ P(E)⇔ A ⊂ E.

Définition 1.3.1. On appelle système de voisinage en a ∈ E, toute partie Ua non vide de P(E)qui possède les propriétés suivantes.(i) Ua est stable pour la réunion. Si Ui ∈ Ua alors ⋃Ui ∈ Ua.(ii) Ua est stable pour l’intersection finie. Si I est fini et Ui ∈ Ua (i ∈ I) alors ⋂i∈I Ui ∈ Ua.(iii) tout élément U de Ua contient a.(iv) ∀V ∈ Ua, ∃W ∈ Ua tel que V soit voisinage de chaque élément de W (en particulier,

W ⊂ V ).

Page 18: M303 : Topologie

18Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Définition 1.3.2. On appelle topologie sur E, la donnée d’un système de voisinage en chaqueélément de E.

Remarque (fondamentale). Les propriétés de la Définition 1.3.1. sont les mêmes que les pro-priétés fondamentales pour un voisinage en un point d’un espace métrique. Cela induit que toutespace métrique est un espace topologique.

Exemple 1.3.1. (1) Topologie discrète. On veut montrer que chaque élément de E, Ua ⊂ E.On pose Ua = {A ⊂ E : a ∈ A} : ce sont tous les sous-ensembles de E contenant a. Onpeut vérifier que (i) et (ii) sont satisfaites.

(2) Topologie grossière : si a ∈ E, on pose Ua = {∅, E}. Cela signifie que tous les points sontdans un même voisinage. Si a 6= b alors Ua 6= Ub car {a} ∈ Ua 6∈ Ub.

Définition 1.3.3. La topologie U sur E est dite séparée (au sens de Hausedorff) si a 6= b ⇒Ua 6= Ub (les systèmes de voisinage permettent de distinguer les points).

Remarque. La topologie définie par une distance est séparée car si a 6= b, d(a, b) > 0 alorsB(b, r) lorsque r est assez petit.

En plus :B(a, r1) ∩B(b, r2) = ∅ si r1 6= r2

Les petites boules de centre a sont disjointes de celles de centre b. Cela implique que les voisi-nages de a sont différentes des voisinages de b.

Définition 1.3.4. Soit U et U ′ deux topologies de E. On dit que U est plus fine que U ′ si∀a ∈ E et ∀V ′ ∈ U ′a, il existe V ∈ Ua avec V ⊂ V ′ (motivé par l’observation suivante : plus lesvoisinages sont petits, plus l’analyse (au point de vue de la structure) des proximités devientprécise).

Définition 1.3.5. On dit que U et U ′ sont équivalents si U est plus fine que U ′ et U ′ est plusfine que U .

1.3.2 Ouverts, fermésSoit (E,U) un espace topologique, soit A ⊂ E.

Définition 1.3.6. (1) A est un ouvert de (E,U) si A est un voisinage de tout point de A,c’est-à-dire :

∀a ∈ A,∃U ∈ Ua tel que a ∈ U(un voisinage de a est un ensemble V qui contient un élément de Ua, Ua est considéré commeune boule ouverte de centre a)

(2) A est dit fermé si E\A est un ouvert.

Theorème 1.3.1 (Propriétés fondamentales des ouverts). (1) Les ouverts sont stables pour laréunion.

(2) Les ouverts sont stables pour l’intersection finie.(3) ∅ et E sont des ouverts.

Theorème 1.3.2. La famille F de tous les fermés vérifie :1) Toute intersection de fermés est un fermé.2) Une réunion finie de fermé est un fermé.

Page 19: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 19

3) ∅ et X sont des fermés.

Remarque. Comparer deux topologies (structures topologiques) d’un ensemble revient à com-parer leurs systèmes de voisinage. (E,U) est plus fine que (E,U ′) :

V ′ ∈ U ′a, ∃V ∈ Ua tel que V ⊂ V ′

Définition 1.3.7. (E,U) et (E,U ′) sont dits équivalents (ou les topologies U et U ′ sont équi-valents) si l’une est plus fine que l’autre et vice et versa.

1.3.3 Intérieur, extérieur, frontière et adhérenceSoit (E,U) un espace topologique et A un sous-ensemble de E.

Définition 1.3.8. (i)◦A est l’intérieur de A : a ∈

◦A, A est un voisinage de a, c’est-à-dire

∃V ∈ Ua tel que V ⊂ A.(ii) A est l’adhérence de A : deux voisinages de a rencontre A et E\A.(iii) ∂A est la frontière de A = A ∩ (E\A).

(iv) ExtA est l’extérieur de A =◦

(E\A)

Theorème 1.3.3. (i)◦A est un ouvert, c’est le plus grand ouvert contenu dans A.

(ii) A est un fermé, c’est le plus petit fermé contenu dans A.En outre :• A est un ouvert ⇔ A =

◦A

• A est un fermé ⇔ A = A

1.3.4 Topologie induite : sous-espacesCas métrique : (E, d) un espace métrique, A est une partie de E → d définit une métrique

sur A (d|A : A× A→ R)

Cas topologique : (E,U) : U = {Ua}a∈E. (A,UA) avec UA = {Ua}a∈A. On peut vérifier queUA a les propriétés des voisinages (stabilité pour l’union et l’intersection finie).

Définition 1.3.9. UA est la topologie induite sur A par U .

Proposition 1.3.4 (Caractérisation de la topologie induite UA). V est un ouvert par rapportà UA ⇔ V peut s’écrire V = A ∩W avec W un ouvert pour U .

Démonstration. V est un ouvert pour UA, il faut que V ⊂ A et en plus, V est voisinage dechacun de ses points :

∀a ∈ V, ∃Va ∈ UAa tel que Va ⊂ V ⇒ V ′ =⋃a∈V

Va

or Va ∈ UAa , Va = A ∩Wa avec Wa ∈ U . On en déduit :

V = A ∩( ⋃a∈V

Wa

)où Wa ∈ Ua

On pose : W =⋃a∈V

Wa ⇒ V = A ∩W .

Page 20: M303 : Topologie

20Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

Remarque. Tout ouvert peut s’écrire comme réunion de voisinages des points contenues dansl’ouvert.

Corollaire. Si A est une partie ouverte de (E,U) alors tous les ouverts du sous-espace (A,UA)sont des ouverts de (E,U). En effet, V = A∩W avec V ouvert de UA etW ouvert de U → A∩Wouvert de U si A est un ouvert.

Exemple 1.3.2. Rn → B(0, 1), boule ouverte unité. B(0, 1) est un espace topologique.

1.3.5 Suites dans un espace topologiqueProblème. Comment définir la convergence d’une suite (an)n∈N dans un espace topologique ?

Définition 1.3.10. (an)n∈N est dite convergente dans (E,U) si sa limite existe dans E, c’est-à-dire si l ∈ E tel que tout voisinage de l contient (quasiment) toute la suite à un nombre finide termes près. ∀V voisinage de l, ∃N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ an ∈ V .

Remarque. (i) Dans la définition, on peut remplacer : "∀V voisinage de l" par "∀V ∈ UAa ".(ii) Pour que la limite soit métrique, il suffit que U soit séparée.

Rappel. U est dit séparée si ∀x, y ∈ E, ∃Vx ∈ Ux et Vy ∈ Uy tel que Vx ∩ Vy = ∅.En effet si an → l et an → l′ et l 6= l′ alors an ∈ Vl et an ∈ Vl′ pour n grand mais ceci est

impossible car Vl ∩ Vl′ = ∅.

Définition 1.3.11 (Valeurs d’adhérence d’une suite). l est une valeur d’adhérence de (an) sitout voisinage de l contient une infinité de termes de cette suite.

1.4 Applications continues1.4.1 Cas pour les espaces métriques

f : (E, d)→ (F, δ) une application d’un espace métrique.

Définition 1.4.1. f est dite continue en an ∈ E si xn −−−→(E,d)

an ⇒ f(xn) −−→(F,δ)

f(an) etδ(f(xn), f(an))→ 0 :

∀ε > 0,∃η > 0 tel que d(xn, an) < η ⇒ δ(f(xn), f(an)) < ε

Theorème 1.4.1. Soit f : (E, d) → (F, δ), a ∈ E et b = f(a). Alors f est continue en a ⇔pour tout voisinage Vb de b, f−1(Vb) est un voisinage de a dans (E, d). L’image réciproque d’unvoisinage reste un voisinage.

Démonstration. Soit V un voisinage de b dans F :

∃r > 0 tel que BE(b, r) = V

x ∈ f−1(V )⇔ f(x) ∈ Vdonc f−1(V ) est un voisinage de a :

⇔ ∃ρ > 0 tel que BE(a, ρ) ⊂ f−1(V )⇔ ∃ρ > 0, f(BE(a, ρ)) ⊂ V ⇔ ∃ρ > 0, f(BE(a, ρ)) ⊂ BF (b, r)

Or continuité en a⇔ ∀ε > 0, ∃ρ > 0 :

d(x, a) < ρ⇒ δ(f(x), b) < r

Page 21: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 21

Theorème 1.4.2 (Caractérisation d’une application en terme d’ouverts). Soit f : (E, d) →(F, δ), les conditions suivantes sont équivalentes :(i) f est continue en tout point de E.(ii) l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E.(iii) l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Démonstration. On suppose (i) vérifié. Soit W un ouvert de F , ∀b ∈ W , W est un voisinagede b → f−1(W ) est un voisinage de a si f(a) = b → f−1(W ) est un voisinage de chacundes points a ∈ E tel que f(a) ∈ W , c’est-à-dire f−1(W ) est un voisinage de toute pointa ∈ f−1(W )⇒ f−1(W ) est un ouvert dans E.

On obtient (i)⇒ (ii)

Pour voir (ii) ⇒ (i) : l’image réciproque d’un voisinage d’un point b quelconque de E estun voisinage de E si ∃a ∈ E tel que f(a) = b. Sinon : b n’est pas définit par f , un tel a n’existeplus. On a :

f−1(W ) = ∅ouf−1(W ) 6= ∅

On regarde les points de E tel que f(a) = W . On utilise le théorème précédent : f est continueen a→ f continue sur E.

Pour compléter la preuve, il reste (iii)⇔ (ii). Si A est un fermé ⇔ E\A est un ouvert. Onutilise la relation :

a ∈ f−1(A)⇔ f(a) ∈ A⇔ f(a) 6∈ E\A⇔ a 6∈ E\f−1(F\A)

On a ainsi f−1(A) = E\f−1(F\A) où A ⊂ F .Remarque. Dans cet relation, on ne peut pas remplacer f−1 par f .

Définition 1.4.2. Un homéomorphisme de (E, d) dans (F, δ) est une application bijective,continue et sa reciproque est aussi continue.

Remarque. f est un homéomorphisme si et seulement si :

Page 22: M303 : Topologie

22Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces

topologiques

(i) f est bijective(ii) f−1(O′) = O avec O,O′ ouverts.(iii) f(O′) = O.

Définition 1.4.3. Deux ensembles métriques sont dits homéomorphes s’ils peuvent être liéspar un homéomorphisme.

Exemple 1.4.1. (E, d) et (E, d′) sont homéomorphes si d et d′ sont topologiquement équiva-lentes :

id : (E, d) → (E, d′)x 7→ x

1.4.2 Cas topologiqueDéfinition 1.4.4. f : (E,U) → (F,W) est une application continue en a ∈ E si ∀W ∈ Wb

(b = f(a)), f−1(W ) ⊂ Ua est un voisinage de a dans U ∃u ∈ Ua tel que :

u ⊂ f−1(W )⇔ f(u) ⊂ W

Theorème 1.4.3. f est continue par tout si et seulement si ∀W ouvert de (F,W), f−1(W )est un ouvert de (E,U)

Remarque. L’image directe d’un ouvert par une application n’est pas nécessairement un ouvert.

1.4.3 Uniforme continuité et Lipschitz continuitéIl s’agit de notions purement métriques. Dans ce paragraphe, on considère donc des espaces

métriques (X, d) et (X ′, d′). On commence par une remarque en revenant sur la continuité surles espaces métriques. La continuité globale d’une fonction f : X → X ′ s’écrit précisément :

∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃αx,ε > 0, ∀y ∈ X, d(y, x) ≤ αx,ε ⇒ d′(f(y), f(x)) ≤ ε

Le α dépend non seulement de ε mais du point x où l’on teste la continuité. La continuitéuniforme signifie que l’on peut prendre α indépendant de x ∈ X.

Définition 1.4.5. On dit que f : X → X ′ est uniformément continue si elle vérifie :

∀ε > 0, ∃αε > 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ αε ⇒′ (f(x), f(y)) ≤ ε

Définition 1.4.6. On dit que f : X → X ′ est lipschitzienne de rapport k ∈ R+ sur X si :

∀x, y : d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)

On vérifie immédiatement les implications :

Proposition 1.4.4.

f lipschitzienne ⇒ f uniformément continue ⇒ f continue

D’une certaine façon, les application lipschitziennes sont les morphismes d’espaces métriquesd’où l’intérêt des notions suivantes :

Définition 1.4.7. a) On dit que f est bilipschitizienne si c’est une bijection telle que f et f−1

sont lipschitziennnes.

Page 23: M303 : Topologie

Chapitre 1. Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espacestopologiques 23

b) On dit que f est une isométrie si pour tout x, y ∈ X, on a d′(f(x), f(y)) = d(x, y). Uneisométrie est toujours injective. Si de plus elle est surjective elle est bilipschitzienne avecrapport 1 dans les deux sens.

Exemple 1.4.2. a) Sur R l’application x 7→ x2 n’est pas uniformément continue et n’est paslipschitizienne :

|x2 − y2| = |x+ y||x− y| où |x+ y| est arbitrairement grand

b) Sur R, la fonction x 7→ arctan(x) est lipschitzienne de rapport 1 :

| arctan(x)− arctan(y)| = 11 + c2 |x− y| ≤ |x− y|

où c ∈ [x, y] est donné par le théorème des accroissements finis. D’une façon générale, unefonction continue dérivable de dérivée uniformément bornée est lipschtizienne.

c) Sur un espace métrique (X, d). Pour tout x0 ∈ X, la fonction d(x0, .) : x ∈ X → d(x0, x) ∈ Rest lipschitizienne de rapport 1 puisque :

∀x, y ∈ X, |d(x0, y)− d(x0, x)| ≤ d(x, y)

De plus, si on met sur X ×X la distance :

d∞((x1, x2), (y1, y2)) = max{d(x1, y1), d(x2, y2)}

alors la distance d : X × X → R+ est lipschitizienne de rapport 2. En effet, pour tout(x1, x2) ∈ X ×X et tout (y1, y2) ∈ X ×X, on a :

|d(x1, x2)− d(y1, y2)| ≤ |d(x1, x2)− d(x1, y2)|+ |d(x1, y2)− d(y1, y2)|

≤ d(x2, y2) + d(x1, y1) ≤ 2d∞((x1, x2), (y1, y2))

Page 24: M303 : Topologie

Chapitre 2

Espaces métriques compacts

Modèle de base : [0, 1] avec [a, b] ou une réunion finie d’intervalles bornés fermés.

Enoncés classiques :1) Toute suite numérique bornée possède une suite suite extraite convergeante.

xn ∈ R, −k < xn < k, (k > 0 constante)

2) Une fonction continue sur [a, b] atteint ses maximas et minimas (extremas).

2.1 Définitions et quelques propriétésSoit (E, d) un espace métrique.

Définition 2.1.1. (E, d) est dit compact si, de toute suite d’éléments de E, on peut extraireune suite convergeante dans (E, d)1

Définition 2.1.2. Une partie A de E est dite compacte si l’espace métrique induite (A, dA)est compact, c’est-à-dire toute suite d’éléments de A possède une suite extraite convergeantedans A.

Rappel. Soit (xn)n∈N une suite, une suite extraite de (xn) est la donnée d’une suite de la forme(xϕ(n))n∈N où ϕ est une application strictement croissante.Remarque. (E, d) est compact si toutes ses suites admettent (au moins) une valeur d’adhérence.

Theorème 2.1.1 (Propriété de Bolzano-Weirestrass). Un espace métrique (E, d) est compactsi et seulement si toute partie infinie A de E admet un point d’accumulation. C’est-à-dire :∃l ∈ E tel que tout voisinage de l contient une infinité d’éléments de A

Démonstration. A ∈ E infini. On trouve alors une suite d’éléments de A non stationnaire (leséléments sont distincts 2 à 2). Si E est compact alors il est clair que cette suite possède unevaleur d’adhérence. Tout voisinage de l contient presque (sauf un nombre fini) tous les élémentsd’une suite extraite de la suite : l est clairement un point d’accumulation de A.

1La limite appartient à E.

24

Page 25: M303 : Topologie

Chapitre 2. Espaces métriques compacts 25

Pour la réciproque, chaque point d’accumulation est une valeur d’adhérence (une suitecontient une infinité d’éléments distincts ou est composé d’un nombre fini de suites station-naires).

Exemple 2.1.1. 1) [0, 1] est compact dans R mais R lui-même n’est pas compact. Pour cela,on peut regarder la suite xn = n qui n’a pas de valeur d’adhérence.

2) [0, 1] ∩Q n’est pas compact. Il y a des suites convergeantes (dans R) qui ne convergent pasdans Q, les limites 6∈ Q : lien très étroit entre la compacité et la complétude (voir Chapitre4).

Propriété 2.1.2. Si A est une partie compacte de (E, d), A est fermée et bornée.A est dit bornée si : sup

x,y∈A(x, y) < +∞ :

∃k > 0 tel que d(x, y) ≤ k, ∀(x, y) ∈ A× A

Proposition 2.1.3. On a équivalence entre :1) ∃k1 tel que d(x, y) ≤ k1, ∀(x, y) ∈ A× A2) ∃k2 et x ∈ A tel que d(x, y) ≤ k2, ∀(x, y) ∈ A× A

Définition 2.1.3. On dit que : supx,y∈A

d(x, y) < +∞ est le diamètre de A.

Démonstration de la Propriété 2.1.2. A fermée ⇔ A = A. Or toute valeur d’adhérence estlimite d’une suite d’éléments de A donc appartient à A (d’après la définition de valeur d’adhé-rence). Pour voir que A est bornée : toute suite convergeante est bornée si et seulement il existeune suite non bornée sans point d’accumulation.

Proposition 2.1.4. Si (E, d) et (E ′, d) sont deux espaces métriques compacts alors (E×E ′, D)où :

D((x, x′), (y, y′) = d(x, y) + d(x′, y′)

est un espace métrique compact.

Propriété 2.1.5. Une suite convergeante dans E ×E ′ si et seulement si les deux composantesconvergent respectivement dans E et E ′.

Démonstration de la Proposition 2.1.4. Soit (xn, x′n) une suite dans E × E ′. Est-ce que onpeut trouver une sous-suite convergeante. La première composante (xn)n admet une suite ex-traite convergeante (xϕ(n))n car E est compact. On va ainsi construire la suite (x′ϕ(n))n dansE ′ → une suite extraite de cette dernière (x′ψ◦ϕ(n))n. On dit alors que (xψ◦ϕ(n), x

′ψ◦ϕ(n)) converge

dans E × E ′, suite extraite de (xn, x′n).

2.2 Compactié en termes de recouvrements ouvertsDéfinition 2.2.1. Soit A une partie de (E, d). On appelle recouvrement ouvert de A (ourecouvrement de A par des ouverts) toute colletion d’ouverts (Ui)i∈I tel que A ⊂

⋃i∈IUi des

ouverts Ui recouvrent A.

Exemple 2.2.1. A = [0, 1], Un =]

1n+1 ,

2n+1

[pour n ≥ 1 et U0 =

]−1, 1

10

[. Chaque élément de

[0, 1] peut être représenté comme réunion d’ensembles (Un) (n ≥ 0).

Page 26: M303 : Topologie

26 Chapitre 2. Espaces métriques compacts

Définition 2.2.2. Un recouvrement est dit fini si, dans la Défintion 2.2.1., I est fini.

Définition 2.2.3. Un sous-recouvrement de (Ui)i∈I est une famille de (Uj)j∈J tel que J ⊂ Itelle que :

A ⊂⋃j∈J

(Uj)

Remarque. 1) E = ⋃x∈E B(x, ε) avec (ε > 0, fixée)

2) A = ⋃x∈AB(x, ε)

Theorème 2.2.1. Un espace métrique (E, d) est compact, si et seulement si, de tout recouvre-ment ouvert, on peut trouver un sous-recouvrement fini.

Démonstration. Pour démontrer le Théorème 2.2.1., on a besoin du résultat suivant :

Lemme 2.2.2. Soit (Ui)i∈I un recouvrement ouvert de E. Si E est compact alors ∃ρ > 0 telque :

∀x ∈ E,∃ix ∈ I avec B(x, ρ) ⊂ Uix

Tout point appartient à un ouvert assez grand du recouvrement.

Démonstration du Lemme 2.2.2. Par l’absurde. Supposons que pour tout n ∈ N, il existexn ∈ A tel que B(xn, 1

n+1) n’est incluse dans aucun des Oi. Par l’hypothèse des sous-suitesconvergeantes, on peut extraire une sous-suite (xnk)k∈N convergeant dans A. Posons l = lim

k∈Nxnk .

Comme l appartient à A, il existe i ∈ I tel que l ∈ Oi et comme Oi est ouvert, il existe ε > 0tel que B(l, ε) ⊂ Oi. Par définition de la limite, on peut trouver kε tel que d(l, xnk) ≤ ε

3 pourk ≥ kε et on peut donc supposer kε assez grand pour que 1

nkε+1 ≤ε3 . Mais dans ce cas, on a

B(xnk , 1nkε+1 ⊂ B(l, ε) ⊂ Oi, ce qui contredit la définition de la suite (xn)n∈N. En conclusion,

il existe n0 ∈ N tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, 1n0+1) est incluse dans un des Oi et on

prend ρ = 1n0+1 .

On revient à la démonstration du Théorème 2.2.1. :(⇒) E est supposé compact et (Ui)i∈I un recouvrement ouvert. On cherche un sous-recouvrementouvert et fini. Avec le Lemme 2.2.2. : ρ > 0 tel que ∀x ∈ E, B(x, ρ) appartient à un cer-tain ouvert Ui du recouvrement. On se fixe un x ∈ E quelconque → ix tel qu’on est deuxsituations :1) E = Uix : on a un recouvrement par un seul ouvert.2) Uix 6= E, ∃x1 ∈ E tel que xi 6∈ Uix alors on regarde Ux1 et on compare Uix ∪ Ux1 (et

ainsi de suite...). Soit on a :

E =N⋃n=0

Uxn

soit on a égalité avec l’infini. Dans ce dernier cas, on obtient un suite (xn) tel que :

xn+1 6∈N⋃n=0

Uxn

Soit une suite extraite (xϕ(n))n convergeante et soit l sa limite. On a ainsi :

B(xn, ε) ⊂ Uxn

Page 27: M303 : Topologie

Chapitre 2. Espaces métriques compacts 27

On choisit le rayon de la boule de centre l et de rayon ε′ = ε3 tel que chaque élément

de la suite extraite soit dans cette boule. On a ainsi :

xϕ(n) → l, xϕ(n) ∈ B(l, ε′) pour un x assez grand

On a ainsi B(l, ε′) ⊂ B(xϕ(n), ε) et on aboutit à une contradiction car un espacemétrique est toujours séparé.

(⇐) Argument du type "découpage". (xn)n une suite de (E, d), on veut chercher une suiteextraite (xϕ(n)) convergeante. On considère le recouvrement ouvert (de rayon ε > 0) :

E =⋃x∈E

B(x, ε)

Donc : on aura un ensemble fini Iε ⊂ E tel que :

E =⋃x∈Iε

B(x, ε)

(xn)n aura une infinité de termes dans une des boules B(x, ε), x ∈ Iε. En diminuant ε,on aura l’existence de valeurs d’adhérences de (xn)n.

Le Théorème 2.2.1. permet de définir la compacité dans un cadre purement topologique.

Définition 2.2.4. Un espace topologique est dit compact s’il est séparé (les points distinctsont des voisinages disjoints) et si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement ouvertfini.

Remarque. Toute partie fini d’un espace topologique est compact.

Corollaire (pour le Théorème 2.2.1). 1) Une partie A de E est compacte si et seulement si,de toute famille d’ouverts (Ui)i∈I de E tel que A ⊂

⋃i∈IUi, il existe J fini tel que : A ⊂

⋃i∈J

Ui.

2) Dans un espace métrique compact, si l’intersection d’une famille de fermés est vide alorsune sous-famille finie est déjà l’intersection vide.

Démonstration. 1) (A, dA) un espace métrique induit, un ouvert de cet espace est de la formeA ∩ U avec U un ouvert de E :

A =⋃i∈IUi ⇔ A =

⋃i∈I

(A ∩ Ui) et {A ∩ Ui}i∈I fini

est un recouvrement ouvert de (A, dA).2) (E, d) un espace métrique compact, (Fi)i∈I fermés avec :⋂

i∈IFi = ∅ ⇔

⋃i∈I

(E\Fi) = E ⇔ {E\Fi}i∈I recouvrement ouvert (car Fi fermé)

⇒ un sous-recouvrement fini donne :⋃i∈J

(E\Fi) = E ⇔⋂i∈J

Fi = ∅

Page 28: M303 : Topologie

28 Chapitre 2. Espaces métriques compacts

2.3 Applications continues d’espaces métriques compactsProposition 2.3.1. L’image continue d’un compact est un compact c’est-à-dire si f : (E, d)→(F, δ) est une application continue d’espaces métriques alors ∀K ⊂ E partie compacte de (E, d),f(K) (fermée, bornée) reste une partie compacte de (F, δ).

Démonstration. 1) En termes de suites extraites convergeantes, soit (bn)n une suite d’élémentschoisis dans f(K) avec bn = f(an) où an ∈ K. K étant compact, ∃(aϕ(n))n une suite extraiteconvergeante. Or f est continue sur (E, d) ⇒ f(aϕ(n))n 2 constitue une suite convergeante⇒ f(K) est une partie compacte de (F, δ).

2) Avec les recouvrements ouverts, soit (Wi)i∈I une famille d’ouverts de (F, δ) telle que f(K) ⊂⋃i∈IWi. Existe-il un sous-ensemble J ⊂ I fini tel que f(K) ⊂

⋃i∈J

Wi. On remarque que :

K ⊂⋃i∈If−1(Wi) image réciproque de Wi

f étant continue, chaque f−1(Wi) est un ouvert dans (E, d) → {f−1(Wi)}i∈I est un recou-vrement ouvert de K. On peut donc en extraire un sous-recouvrement fini c’est-à-dire J ⊂ Ifini avec K ⊂

⋃i∈J

f−1(Wi) ou aussi f(K) ⊂⋃i∈J

Wi avec J ⊂ I fini.

Corollaire. Toute application continue d’un espace métrique compact à valeurs dans R estbornée et atteint ses extrema.

Démonstration. (E, d) est un espace métrique compact, f : E → E continue. f(E) est compactdans R⇒ f(E) est à la fois fermé et borné.• f est bornée sur E (car f(E) borné ⇔ ∃M > 0 tel que |f(x)| ≤M , ∀x ∈ E).• sup

x∈Ef(x) et inf

x∈Ef(x) ∈ E car f(E) est fermé⇔ max

x∈Ef(x) et min

x∈Ef(x) existent dans R⇔ f

atteint ses extrema.

Soient A,B deux parties compactes de (E, d). On peut montrer que A et B sont disjointssi et seulement si :

infx∈A,y∈B

d(x, y) > 0

en considérant d : E × E → R continue et A×B est compact de E × E.

Corollaire. La notion de compacité est topologique en ce sens que si (E, d1) et (E, d2) sonttopologiquement équivalents alors pour toute partie A ∈ E, A est compact par rapport dans(E, d1) si et seulement si A est compacte dans (E, d2).

Démonstration. (E, d1) et (E, d2) sont topologiquement équivalentes ⇔

id : (E, d1) → (E, d2)x 7→ x

est un homéomorphisme c’est-à-dire :1) elle est bijective2) elle est bi-continue (c’est-à-dire l’application est continue et sa réciproque est continue)

2f(aϕ(n))n est une suite extraite de (bn)n

Page 29: M303 : Topologie

Chapitre 2. Espaces métriques compacts 29

Si A est compact par rapport à d1 alors id(A) = A 3 reste compact pour (E, d2) et reciproque-ment.

Theorème 2.3.2 (Heine). Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques. On suppose que Eest compact. Alors toute application continue de E vers F est uniformément continue.

Remarque. 1) Modèle : Toute application numérique continue de [a, b] est uniformémmentcontinue.

2) Uniforme continuité :

∀ε > 0, ∃η > 0 tel que d(x, x′) < η ⇒ δ(f(x), f(x′)) < ε

Démonstration. Si f : X → X ′ est continue alors⋃x∈X′

f−1(Bd′(z,

ε

2))

est un recouvrement

d’ouverts de X. Par le Lemme 2.2.2., il existe ρ > 0 tel que pour tout x ∈ X, il existe zx ∈ Xtel que Bd(x, 2ρ) ⊂ f−1(Bd′(zx, ε2)). Pour tout x, y ∈ X tels que d(x, y) ≤ ρ < 2ρ, on a :

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(zx)) + d′(f(zx), f(y)) < ε

2 + ε

2 = ε

2.4 Parties compactes de Rn

Theorème 2.4.1. Une partie K non vide de Rn (muni de sa distance euclidienne) est compactesi et seulement si elle est à la fois fermée et bornée.

Démonstration. On sait que toute partie compacte d’un espace métrique est nécessairementbornée et fermée. Pour voir que cette dernière condition ("bornée et fermée") est suffisante, onrappelle que :1) R : Bolzano-Weirestrass - Toute suite bornée admet une sous-suite convergeante donc toute

partie bornée et fermée de R est nécessairement compacte.2) Rn : même argument qui sera appliqué à chacune des composantes de la suite. K ⊂ Rn,

(x(1)m , x(2)

m , ..., x(m)m ) une suite de K.

( x(1)ϕ(m)︸ ︷︷ ︸CV

, x(2)ϕ(m), ..., x

(m)ϕ(m))m

( x(1)ψ◦ϕ(m)︸ ︷︷ ︸

CV

, x(2)ψ◦ϕ(m)︸ ︷︷ ︸

CV

, ..., x(m)ψ◦ϕ(m))m

...⇒ K est compacte si K est bornée et fermée.

Proposition 2.4.2 (Version pour un espace vectoriel normé). (1) Si (E,N ) est un espace vec-toriel normé de dimension finie alors K ⊂ E est un compact ⇔ K borné et fermé.

3id(A) a une image continue

Page 30: M303 : Topologie

30 Chapitre 2. Espaces métriques compacts

(2) (Théorème de Riesz) La propriété (1) est vraie si on prend E de dimension infinie c’est-à-dire si dimE =∞ alors la boule unité fermée {x ∈ E, N (x) ≤ 1} n’est pas compacte.

Démonstration. (1) Soit (e1, ..., en) une base de E sur Rn alors :

: (E,N ) → Rn∑xiei 7→ (x1, ..., xn)

est un homéomorphisme d’espace vectoriel normé. Les compacts de (E,N ) contiennent lessous ensembles :

{x ∈ E, (x1, ..., xn) ∈ F partie fermée et bornée de Rn}︸ ︷︷ ︸fermé et bornée de E

(2) On suppose dimE = ∞ et soit B = B(0, 1) = {x ∈ E, N (x) ≤ 1}. A-t-on une suite (xn)de B sans point d’accumulation ? e1, ..., en, en+1, ... ∈ E, aucun représentant d’un nombrefini des en ne constitue une base de E. En plus, on peut supposer N (en) = 1, ∀n ∈ 1, 2, ....On a ainsi une famille de vecteurs linéairement indépendants dans B, elle n’a pas de valeursd’adhérences.

Page 31: M303 : Topologie

Chapitre 3

Espaces connexes (Espacestopologiques connexes)

Exemple 3.0.1.Connexes : [0, 1], tout intervalle de R.Non-connexe : [0, 1] ∪ [2, 3] n’est pas connexe.

Theorème 3.0.3 (Théorème des valeurs intermédiaires). Si f :]a, b[→ R continue alors ∀α, β ∈]a, b[, (α < β), f atteint toutes les valeurs intermédiaires entre f(α) et f(β) : si c ∈ [f(α), f(β)]alors ∃x0 ∈ [α, β] tel que f(x0) = c. Cela implique que Im(f) est connexe et est un intervalle.

3.1 Définitions et propriétésDéfinition 3.1.1. Soit (E,U) un espace topologique. E est appelé connexe si les seules partiesà la fois ouvertes et fermés de E sont E et ∅.

Interprétation : Si E n’est pas connexe alors ∃X ⊂ E qui est ouvert et fermé et X 6= E,X 6= ∅ (∅ ( X ( E).

Soit X ′ = E\X. Alors X ′ est ouvert (car X est fermé) et fermé (car X est ouvert). On aainsi ∅ 6= X ′ 6= E (car ∅ 6= X 6= E). En plus, E = X ∪X ′ (l’union étant disjointe).Remarque. E n’est pas connexe si et seulement si E = X ∪ (E\X) où X est fermé et ouvert⇔ E peut s’écrire comme union disjointes de deux ouverts.

Définition 3.1.2. Une partie A ⊂ E est connexe si le sous-espace topologique (A,UA) estconnexe.

Proposition 3.1.1. A est une partie connexe si et seulement si pour toute paire d’ouverts U1et U2 de E, A ⊂ U1 ∪ U2 et U1 ∩ U2 = ∅ ⇒ A ⊂ U1 ou A ⊂ U2.

Démonstration. A ⊂ U1 ∪ U2 ⇔ A = X1 ∪X1 si X1 = A ∪ U1 et X2 = A ∪ U2. A est donc uneréunion disjointe de deux ouverts de A. D’après la définition : A connexe ⇔ X1 = ∅ et X2 = Aou X2 = ∅ et X1 = A.

X1 = A⇔ A ∩ U1 = A⇔ A ⊂ U1

De même :X2 = A⇔ A ⊂ U2

Exemple 3.1.1. [0, 1] ∪ [2, 3] = A et E = R. On a que A n’est pas connexion.

31

Page 32: M303 : Topologie

32 Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

1) [0, 1] est un ouvert de A

2) [2, 3] est un ouvert de A.

Ceci justifie que A n’est pas un sous-espace topologique connexe. En effet :

1) [0, 1] = A ∩O avec O ouvert de R choisi plus grand que [0, 1] (par exemple,]−1, 3

2

[.

2) [2, 3] = A ∩]

54 ,

72

[

D’autres exemples :• Z n’est pas connexe car Z = ⋃

n∈Z Z∩]n− 1/2, n+ 1/2[ donc Z est une réunion disjointesd’ouverts.• Q n’est pas connexe car : Q = (Q ∩ {x <

√2}) ∪ (Q ∩ {x >

√2})

Theorème 3.1.2. Les parties connexes de R sont les intervalles.

Rappel. I ⊂ R est un intervalle si la propriété suivante est satisfaite :

∀x, y ∈ I avec x < y, on a [x, y] ⊂ I

Démonstration. Soit A ⊂ R et soit x, y ∈ A. S’il existe z ∈ R, x < z < y tel que z 6∈ A alors :A = A1 ∪ A2 (réunions disjointes d’ouverts) avec :

A1 = {a ∈ A, a < z}

A2 = {a ∈ A, a > z}

Or x ∈ A1 et y ∈ A2, cela implique que A n’est pas connexe.En résumé : un ensemble A "troué" de R n’est pas connexe.Réciproquement : c’ést évident.

3.2 Fonctions continues sur des espaces connexesTheorème 3.2.1 (Caractérisation de la connexité par les fonctions continues à valeurs dans{0, 1}). Un espace topologique (E,U) est connexe si et seulement si les seules fonctions conti-nues de E à valeurs dans {0, 1} sont les fonctions constantes : soit f(x) = 0, ∀x ∈ E, soitf(x) = 1, ∀x ∈ E.

Exemple 3.2.1. Situations possibles :

Page 33: M303 : Topologie

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 33

f(x) =

0 si x ∈ X1

1 si x ∈ X2

Démonstration. L’ensemble {0, 1} pris comme partie de R a pour topologie la topologie discrète.(⇒) Si E est connexe et si E → {0, 1} est continue alors le couple (f−1({0}), f−1({1})) estune partition d’ouverts de X. Donc ou bien f−1({0}) = X et f ≡ 0 ou bien f−1({1}) = Xet f ≡ 1.

(⇐) Supposons que toute application continue f : X → {0, 1} est constante. Si (A, {XA1)est une partition d’ouverts alors la fonction caractéristique 1A est continue sur X. Parhypothèse, elle est donc constante et A = X ou A = ∅. X est connexe.

Theorème 3.2.2. L’image continue d’un connexe est connexe. C’est-à-dire soit f : E → Fune application continue d’espaces topologiques. Si E est connexe alors f(E) est un connexe deF .

Démonstration. Soit h une application continue de f(E) à valeurs dans {0, 1}. On veut montrerque h est constante.

f : E → F h : f(E)→ {0, 1}1Le complémentaire de A dans X

Page 34: M303 : Topologie

34 Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

On sait que la composée de deux applications continues est continue. Par conséquent :

h ◦ f : E → {0, 1}

est continue. Par la connexité de E, on trouve que h ◦ f(x) = 0 ou = 1 pour tout x ∈ E.C’est-à-dire h(y) = 0 ou = 1 pour tout y ∈ f(E). Donc h est constante.

Corollaire (Théorème des valeurs intermédiaires). Toute application continue numérique en-voit un intervalle sur un autre.

3.3 Composantes connexesL’exemple [0, 1] ∪ [2, 3] (non connexité) admet 2 parties connexes : [0, 1], [2, 3]Situatuion générale : Soit E un espace non connexe. Soit x0 ∈ E. On cherche la plus

grande partie connexe contenant x0 dans E.⋃x0∈X⊂E

X connexe

X

Question : Le résultat de cette réunion est-il connexe ?

Proposition 3.3.1. Dans un espace topologique, toute famille de parties connexes non disjoints2 à 2 (leur intersection est non vide 2 à 2) a une réunion connexe.

Démonstration. Soit (Ai)i∈I une famille de parties connexes telle que pour tout i, j ∈ I, Ai ∩Aj 6= ∅. Supposons qu’il existe deux ouverts disjoints O1 et O2 tels que :

A =⋃i∈IAi ⊂ O1 ∪O2

Pour un i0 ∈ I fixé, Ai0 est connexe et inclus dans A ⊂ O1 ∪ O2. Cela entraine Ai0 ⊂ O1, ouAi0 ⊂ O2. Si Ai0 ⊂ O1, l’hypothèse Ai ∩ Ai0 6= ∅ entraîne Ai ∩ Oi 6= ∅ tandis que la connexitéde Ai donne Ai ⊂ O1, ce pour tout i ∈ I. On en déduit A ⊂ O1, l’autre possibilité Ai0 ⊂ O2donnant A ⊂ O2. En conclusion, A est connexe.

Définition 3.3.1. La composante connexe de x0 ∈ E est

Cx0 =⋃

x0∈X⊂E

X connexe

X

et c’est la plus grande partie de E contenant x0.

Exemple 3.3.1. [0, 1] ∪ [2, 3] admet deux composantes connexes.

Proposition 3.3.2. x1 ∈ Cx0 ⇔ Cx1 = Cx0

Page 35: M303 : Topologie

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 35

Démonstration. x0 ∈ Cx0 et Cx0 est le plus grand connexe contenant x0 ⇒ la relation Cx = Cydéfinit une relation d’équivalence sur E. On peut ainsi parler de classe d’équivalence. On veuttrouver les éléments possédant la même composante connexe⇔ les éléments appartenant à unemême composante connexe forment une classe d’équivalence ⇒ les composantes connexes deE. E est connexe si et seulement si il y a une seule composante connexe.

En général :E =

⋃x∈E

Cx0 tel que Cxi ∩ Cxj = ∅, ∀i 6= j, i, j ∈ I

Définition 3.3.2. Un espace connexe est un espace avec une seule composante connexe.

Exemple 3.3.2. L’ensemble des fonctions constantes constitue une partie connexe de C0([0, 1],R)muni de la distance d∞ avec :

d∞(f, g) = maxx∈[0,1]

|f(x)− g(x)|

Pour montrer cela, on va utiliser les propriétés de la connexité de l’image continue d’un connexe.Considérons l’application suivante :

F : (R, | · |) → C0([0, 1],R), d∞a 7→ fa

où fa désigne la fonction constante, de valeur a, sur [0, 1].– F est continue : fa = F (a), fb = F (b) :

d∞(fa, fb) = |a− b| → 0 si a→ b

– R est connexe.d’où l’ensemble des fonctions constantes, identifié à R, est connexe.

Corollaire. L’adhérence d’un connexe est connexe.

Démonstration. Situtation : A ⊂ E, A est une partie connexe. Est-ce que A est connexe ?Soit f : A→ {0, 1} une application continue.

Question : f est-elle constante ? (A connexe ⇔ f est toujours constante)Or : f(A) = f(A) (une traduction du fait que f(x) = limxn→x f(xn)).Cas topologique : Soit y ∈ f(A) et U un voisinage ouvert de y. Le problème étant de savoirsi U ∩ f(A) 6= ∅. Or f−1(U)︸ ︷︷ ︸

x−→fy

∩A 6= ∅ ⇒ U ∩ f(A) 6= ∅. (y ∈ f(A) ⇔ tout voisinage de y

rencontre f(A).Puisque A est connexe, f |A est constante (vaut 0 ou 1 partout sur A → f(A) est unsingleton ⇔ f(A) n’a qu’un seul élément de {0, 1}. f est constante sur A.

Page 36: M303 : Topologie

36 Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

3.4 Connexité par arcs

Définition 3.4.1. Un chemin dans un espace topologique E de x vers y est la donnée d’uneapplication continue f : [0, 1]→ E telle que f(0) = x et f(1) = y.

Définition 3.4.2. On dit qu’une partie A ⊂ E est connexe par arcs si deux points quelconquesde A peuvent être reliés par un chemin.

Theorème 3.4.1. Un espace connexe par arcs est connexe.

Démonstration. Etre connexe⇔ avoir une seule composante connexe⇔ deux points se trouventdans une même composante connexe (vrai car ils sont reliés par une application continue :a = f(0), b = f(1) et a, b ∈ f([0, 1])︸ ︷︷ ︸

connexe

⊂ E.

Theorème 3.4.2. L’image continue d’un connexe par arcs reste connexe par arcs.

Démonstration. Siutation : f : E → F continue, E connexe par arcs.Problème : f(E) est connexe par arcs⇔ ∀f(a), f(b), f(a) et f(b) sont reliés par un chemin.Or : a et b (dans E) sont liés par une application continue ϕ : [0, 1]→ E tel que ϕ(0) = aet ϕ(1) = b. On a :

[0, 1] ϕ−→ Ef−→ F

0 7→ a 7→ f(a)

1 7→ b 7→ f(b)

f ◦ ϕ est un chemin dans F .

Exemple 3.4.1 (Exemple d’espaces connexes par arcs). Le graphe d’une fonction numériquecontinue sur un intervalle est connexe par arcs, donc connexe. Soit I un intervalle et f : I →R continue alors Γf = {(x, f(x)) ; x ∈ I} (où Γf représente le graphe de f). On considèrel’application :

Φ : I → R2

x 7→ (x, f(x))

Elle est continue car ses deux composantes connexes le sont ⇒ Φ(I) connexe par arcs.

Exemple d’une telle fonction : I =]0, 1] et f(x) = sin(1/x).

Page 37: M303 : Topologie

Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 37

Γ = {(x, sin(1/x)), 0 < x ≤ 1} est connexe par arcs dans R2 donc connexe. Ainsi Γ 2 estconnexe dans R2 mais Γ n’est pas connexe par arcs.Proposition 3.4.3. Lorsque deux connexes par arcs se rencontrent (en un point commun),leur réunion fait un connexe par arcs.

x′, x ∈ E1

b′, b ∈ E2a ∈ E1 ∩ E2

Démonstration. Problème : Comment relier un point de E1 à un point E2 ? Il faut utiliser(le) (ou un) point commun a comme pont :

xϕ1−→ a

ϕ2−→ b

ϕ1” + ”ϕ2 : x→ b

Soit :ϕ1 : [0, 1]→ E1 tel que 0 7→ x, 1 7→ a

ϕ2 : [0, 1]→ E2 tel que 0 7→ a, 1 7→ b

avec ϕ1, ϕ2 continues. On définit :ϕ : [0, 1] → E1 ∪ E2

t 7→

ϕ1(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2ϕ2(2t− 1) si 1/2 < t ≤ 1

ϕ(0) = ϕ1(0) = x ϕ(1) = ϕ2(1) = b

ϕ est continue car le passage de ϕ1 et ϕ2 est continue.2Γ = Γ ∪ ({0} ∪ [−1, 1])

Page 38: M303 : Topologie

38 Chapitre 3. Espaces connexes (Espaces topologiques connexes)

Proposition 3.4.4. Dans Rn, tout convexe est connexe par arcs.

Définition 3.4.3. Une partie est dite convexe si, étant donnée deux points, le segment qui lesrelient appartient à la partie.

Le segment d’extrémités A(x1, ..., xn) et B(y1, ..., yn) :

[AB] = {tA+ (1− t)B, t ∈ [0, 1]} = {tx1 + (1− t)y1, ... txn + (1− t)yn), t ∈ [0, 1]}

si n = 1, {tx1 + (1− t)y1, t ∈ [0, 1]} = [x1y1] et 0 ≤ x1 ≤ y1.

Démonstration. E ⊂ Rn convexe. Soit A,B ∈ E et on considère le chemin (le segment [AB]) :

ϕ : [0, 1] → Et 7→ tA+ (1− t)B

ϕ(0) = B ϕ(1) = B

Page 39: M303 : Topologie

Chapitre 4

Espaces métriques complets, espaces deBanach

Exemple 4.0.1. • R complet.• Q non complet.

4.1 Suites de Cauchy, espaces completsExemple 4.1.1. an = 1

n+1 . D’une part, |an| < ε dès que :

n > E(1/ε) + 1

E représentant la partie entière et d’après la définition de la limite, an → 0. De l’autre :

|an − am| =|n−m|

(n+ 1)(m+ 1) < ε si n,m ≥ 2E(1/ε) + 1

D’après la définition de Cauchy : (an)n est une suite de Cauchy.

Définition 4.1.1. Une suite (xn)n≥0 est dite de Cauchy si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que n,m ≥ N ⇒ d(xn, xm) < ε

L’écart entre deux termes diminue indéfiniment lorsque les indices augmentent.

Situation :– (E, d) espace métrique– (xn)n une suite d’éléments de EProblème : Critère de convergence sans la connaissance sur la limite éventuelle.

Rappel. xn → l dans (E, d) si d(xn, l) → 0 avec n → +∞. Cette définition doit "connaître" lalimite pour parler de la convergence.

Idée (de Cauchy) : Préciser l’écart entre les termes d’indices grands. En effet : (un convergeseulement si des termes se différent peu de plus en plus

Exemple 4.1.2. x =√

2, on le développe en décimaux.

x0 = 1 ; x1 = 1, 4 ; x2 = 1, 41 ; ... ; xn = 1, 41...

Ces xn consitituent une suite de Cauchy de nombres rationnels, qui ne converge pas dans Q.

39

Page 40: M303 : Topologie

40 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Un nombre rationnel admet un développement en décimaux dont ses segments se répete àpartir d’un certain rang.Proposition 4.1.1. (i) Toute suite de Cauchy est bornée.(ii) Toute suite convergente est une suite de Cauchy.(iii) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle admet une valeur d’adhérence.Démonstration. (i) Il suffit de trouver R > 0 tel que d(xn, x0) ≤ R, ∀n ≥ 0 (x0 peut être

remplacé par n’importe quel élément de E). On pose ε = 1, ∃N ∈ N tel que :

d(xn, xm) < 1 si n,m ≥ N

Donc si n ≥ N :d(xn, x0) < d(xn, xN) + d(xN , x0) < 1 + C

On peut poser R = max(1 + C, d(x0, xn)) avec n < N et on a :

d(xn, x0) ≤ R pour tout entier n ≥ 0

(ii) (xn) est telle que : ∃l ∈ E :

∀ε > 0, ∃N ≥ 0 avec d(xn, l) < ε tel que n ≥ N (∗)

⇒ d(xn, xm) ≤ d(xn, l) + d(l, xm) < 2ε = ε′ si n,m ≥ N

Résumé : ∀ε′ > 0, ∃N ≥ 0 choisis dans (∗) avec ε = ε′

2 de sorte qu’on a n,m ≥ N ⇒d(xn, xm) < ε′. D’où (xn) est de Cauchy.

(iii) Supposons que (xn)n de Cauchy. Si elle converge dans (E, d) ⇒ sa limite est une valeurd’adhérence et c’est la seule valeur d’adhérence pour (xn).Réciproquement, si une suite extraite (xϕ(n))n converge vers l dans (E, d), on a : d(xϕ(n), l)→0 si n→ +∞. Est-ce que d(xn, l)→ 0 si n→ +∞ ? Or, on a :

d(xn, l) < d(xn, xϕ(n)) + d(xϕ(n), l) < 2ε

si d(xn, xϕ(n)) < ε 1 et d(xϕ(n), l) < ε 2. Cela implique que :

∀ε > 0, ∃N ≥ 0 tel que si m,n ≥ N → d(xn, l) < 2ε

avec d(xn, xϕ(n)) < ε 3 et d(xϕ(n), l) < ε 4. D’où la convergence de (xn) vers l.

Définition 4.1.2. Un espace (métrique) complet est un espace métrique où toute suite deCauchy admet une limite.Exemple 4.1.3. R et Rn sont des espaces complets. En effet, si (xn) est de Cauchy dans R munide la distance usuelle ⇒ (xn)n est bornée sur [a, b[ (d’après le (i) de la Proposition 4.1.1),on peut y extraire une sous-suite convergente. D’après le (iii) de la Proposition 4.1.1), (xn)converge vers l.

Si (xn)n est une suite de Cauchy dans l’espace euclidien Rm, on écrit :

xn = (x(1)n , ..., x(m)

n ) pour chaque indice n

et on considère alors m suites numériques (x(j)n ) (pour j = 1, ...,m, toutes de Cauchy 5 ⇒

chaque (x(j)n )n≥0 converge dans R et (xn) converge dans Rm.

1(xn)n de Cauchy avec ε→ 02ε→ 03ϕ(n) ≥ n4ϕ(n) assez grand5|x(i)n − x(j)

n′ | ≤ |xn − xn′ |

Page 41: M303 : Topologie

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 41

Contre-Exemple 4.1.1. (1) Q n’est pas complet (Q est dense dans R).(2) Si E = C0([0, 1],R) et :

d1(f, g) =∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx

alors (E, d1) n’est pas complet. Soit fn tel que :

fn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ n−1n

n2(x− n−1

n

)si n−1

n< x ≤ 1

∫ 1

0f(x)dx = Aire du triangle délimité par le graphe de fn

Est-ce que (fn) est une suite de Cauchy ?

d(fn, fm) =∫ 1

0(fn(x)− fm(x))dx = Aire de ∆(An, Am, Cn,m) + ∆(Cn,mBnBm)

On a besoin de connaître les coordonnées de Cn,m (α, β). (α, β) est le point d’intersectiondes droites : y = n2

(x− n−1

n

)y = m2

(x− m−1

m

)

Page 42: M303 : Topologie

42 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

n2(x− n− 1

n

)= m2

(x− m− 1

m

)(n2 −m2)x = m(m− 1) + n(n− 1)

α = n2 − n−m2 +m

n2 −m2 = 1− 1m+ n

β = n2(α− n− 1

n

)= n2

( 1n− 1n+m

)= nm

n+m

L’aire de ∆(AnAmCn,m) :

12βAnAm = 1

2nm

n+m

(m− 1m

− n− 1n

)= 1

2nm

n+m

m− nnm

= m− n2(n+m)

L’aire de ∆(BnBmCn,m) :

12αBnBm = α

2BnBm = 12

(1 + 1

m+ n

)(m− n) = m− n

2(m+ n)

⇒ d1(fn, fm) = m− nm+ n

Conclusion : (fn)n n’est pas une suite de Cauchy même si m,n → +∞ car d1(fn, fm)peut être proche d’une valeur de [0, 1[.

Theorème 4.1.2. R est complet et toutes les espaces vectoriels de dimension finies sont aussicomplets.

Démonstration. Soit (E,N) un espace vectoriel normé de dimension fini (dimE = n). Soit :

−→v = v1−→e1 + ....+ vn

−→en 7→ (v1, ..., vn) ∈ Rn

E ≈ R× ...× R︸ ︷︷ ︸n fois

Remarque. L’espace produit d’un nombre fini d’espace métriques complets est complet.

Theorème 4.1.3. Soit X un ensemble non vide et (F, δ) un espace complet. Soit Fb(X,F )l’ensemble des fonctions bornées de X à valeurs ans F . Soit f, g ∈ Fb(X,F ), on pose :

d∞(f, g) = supx∈X

δ(f(x), g(x))

Alors (Fb(X,F ), d∞) est un espace complet.

Remarque. (1) d∞ est la distance de la convergence uniforme.(2) Cas particuliers importants :

Corollaire. (a) Si X est lui-même un espace métrique alors l’ensemble des fonctions conti-nues bornées de E vers F constituent un espace complet avec la distance de convergenceuniforme.

(b) Si, en plus, E et F sont des espaces vectoriels normés, alors l’ensemble des applicationslinéaires continues de E vers F est un espace vectoriel normé complet (avec la normede la convergence uniforme).

Page 43: M303 : Topologie

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 43

(3) Méthode générale pour cette problématique : On se donne (fn)n une suite de fonctions aveccertaines hypothèses. Le problème est de chercher la fonction limite.

1ère étape : définition de la focntion en chaque point, avec un procédé de passage à lalimite. Pour le théorème, (fn) est une suite de Cauchy :

fn : X → F

On prend un point x dans X et (fn(x))n constitue une suite de Cauchy6 dans F qui estcomplet ⇒ fn(x)→ une valeur de F . On a aussi définit une application :

f : X → F

2ème étape : la fonction obtenue est la bonne limite pour d∞.

Exemple 4.1.4. (C([0, 1],R), d1) n’est pas complet où d1 : (f, g) 7→∫ 1

0 |f(x)− g(x)|dx.

fn(x) =

0 si 0 ≤ 1

2 −1

n+1affine entre An et Bn

1 si 12 + 1

n+1 ≤ x ≤ 1

f(x) =

0 si 0 ≤ x < 1

2"arbitraire" si x = 1

21 si 1

2 < x ≤ 1

1) f n’est pas continue en 12 .

2) (fn)n est une suite de Cauchy pour la métrique d1. m ≥ n :

|fm(x)− fn(x)| =

0 si x ∈ [0, Am] ou x ∈ [Bm, 1]fm(x)− fn(x) si x ∈ [Am, 1/2]fn(x)− fm(x) si x ∈ [1/2, Bm]

∫ 1

0|fm(x)− fn(x)| = Aire∆AnAmC + Aire∆CDnDm → 0 si m,n→ +∞

6d∞(fn, fm) ≥ δ(fn(x), fm(x)), ∀x ∈ X

Page 44: M303 : Topologie

44 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

3) On peut démontrer que d1(fn, f)→ 0 si n→ +∞ (d1 : les fonctions intégrables sur [0, 1]).4) Il n’existe pas de fonction h continue sur [0, 1] telle que :

∫ 1

0|fn(x)− h(x)|dx =

∫ A

0|fn(x)− h(x) +

∫ 1

B|fn(x)− h(x)|dx+

∫ B

A|fn(x)− h(x)|dx

Pour voir 4), en dehors de x = 12 , h(x) = 0 ou 1 car l’intégrale d’une fonction positive

continue est égale à 0 si et seulement si la fontion est identiquement nulle.

Theorème 4.1.4. Soient X un ensemble, (F, d) un espace métrique complet, Fb(X,F ) l’en-semble des fonctions bornées de X vers F :

d∞(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x))

Alors Fb(X,F ) est un espace fonctionnel complet.

Démonstration. (fn)n suite de Cauchy de A (= Fb(X,F )) en chaque point x ∈ X : (fn(x))n estune suite de F qui est de Cauchy ⇒ fn(x)→ Fx

7f(x)⇒ On choisit une fonction f : X → F .

Question : f est-elle limite de (fn) dans l’espace fonctionnel (A, d∞) ? On veut savoir doncsi :

d∞(fn, f)→ 0 (?)⇒ supx∈X

(fn(x)− f(x))→ 0 (?)

Or : (fn)n de Cauchy ⇔ d(fn, fm)→ 0 si m,n→ +∞

⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0 tel que n,m > N ⇒ d∞(fn, fm) < ε

d∞(fn, fm) = supx∈X

(fn(x), fm(x)) < ε si m,n > N

Sim→ +∞, cette inégalité continue à être valable. Or : fm(x)→ f(x)⇒ supx∈X d(fm(x), f(x)) <ε, ceci étant vrai pour tout ε > 0 (à condition que n → ∞). Donc : fn → f dans (A, d∞) etf ∈ A.

Corollaire. X = E un espace métrique. F est un espace métrique complet, A est l’ensembledes fonctions continues et bornées de E vers F ⇒ (A, d∞) est complet.

7une valeur de F qui dépend de x

Page 45: M303 : Topologie

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 45

Démonstration. On utilise le théorème qui nous dit qu’une limite uniforme d’une suite defonctions continues est continue. C’est donc une partie fermée de l’espace métrique complet(Fb(X,X ′), d∞). Il est donc complet.

Corollaire (Cas d’un espace compact). Si E est un espace compact (inclu dans [0, 1]), dansl’ensemble des fonctions continues de E vers F est un espace métrique complet avec d∞ lorsqueF est complet.

4.2 Propriétés des espaces completsOn dit qu’un espace est complet si et seulement si toute suite de Cauchy converge dans

l’espace. Si E est complet et E1 ⊂ E un sous-espace (sous-ensemble), E1 reste complet sitoutes ses suites de Cauchy converge dans E1.

Or : toute suite convergeante est necessairement une suite de Cauchy⇒ si E1 reste complet,E1 est un fermé de E (qui contient tous ses points limites).

Proposition 4.2.1. Un sous-espace d’un espace complet est complet si et seulement si ce sous-espace est fermé.

Démonstration. 1) si (xn) converge, elle est une suite de Cauchy si l’espace est complet.2) Chaque fermé contient tous ses points limites ⇔ sous-espace complet.

Exemple 4.2.1. R est complet → les sous-espaces complets de R sont les fermés.

Proposition 4.2.2. La réunion d’un nombre fini de sous-espaces complets d’un espace métriqueest compléte.

Démonstration. (xn) une suite de Cauchy composée d’éléments de E1 ∪ ... ∪ En. D’après leprincipe des tiroirs ⇒ un sous-espace Ek contiendra une sous-suite extraite (infinie) de (xn)laquelle reste encore de Cauchy ⇒ il existe une "sous-limite" de (xn) donc converge dans E1 ∪... ∪ En.

Lemme 4.2.3 (Lemme de Cantor). Dans un espace complet, si (Fn)n≥0 est une suite décrois-sante de fermés non vides tel que :

diam(Fn) := supx,y∈Fn

d(x, y)→ 0, n→ 0

alors⋂n≥0

Fn est un singleton.

Theorème 4.2.4 (Théorème de Baire). Dans un espace complet, l’intersection d’une familledénombrable d’ouverts denses reste une partie dense.

Démonstration. (Lemme) •⋂n≥0

Fn ne peut pas contenir deux éléments x, y distincts car

sinon diam(Fn) ≥ d(x, y).• Pour arriver aux éléments communs aux Fn, on choisit, pour chaque n, un élémentxn ∈ Fn (Fn 6= ∅) et on considère la limite dans (xn)n≥0. Cette suite est de Cauchy carFm ⊂ Fn si m ≥ n tel que d(xn, xm) ≤ diam(Fm)→ 0⇒ xn ∈ Fm.xn ∈ Fn, xm ∈ Fm. On suppose que m ≥ n : Fm ⊂ Fn, xm ∈ Fn.

d(xm, xn) ≤ diam(Fn)

Page 46: M303 : Topologie

46 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

Pour m,n→∞ et m ≥ n)d(xn, xm)→ 0

xn → l dans l’espace initial (car complet). En plus, à chaque indice, M fixé, (xn)n≥Mest une suite d’éléments de FM → sa limite appartient à FM (fermé) c’est-à-dire l ∈ FMpour tout M ≥ 0⇒ l ∈ ⋂n≥0 Fn.

(Théorème)Cas d’un nombre fini d’ouverts. Si U1, U2 deux ouverts denses (U1 = U2 = E) alorsU1 ∩ U2 reste un ouvert dans de E.Un ensemble U est dense si pour tout un ouvert V non vide de E, U ∩ V 6= 0 (ou touteboule ouverte intersectant U 6= ∅ ou tout élément de E est limite d’éléments de U).On vérifie alors : (U1 ∩ U2) ∩ V 6= ∅. On écrit :

U1 ∩ U2 ∩ V = (U1 ∩ V︸ ︷︷ ︸6=∅

) ∩ U2

U1 ∩ V 6= ∅ car U1 est dense dans E. En plus, c’est un ouvert car intersection de deuxouverts ⇒ W ∩ U2 6= ∅ si W = U1 ∩ V car U2 est dense aussi, d’où U1 ∩ U2 ∩ V 6= ∅ ⇒l’intersection de deux ouverts denses ou d’un nombre fini quelconque d’ouverts densesreste une partie ouverte dense.

Fin de la démonstration : (Un)n une suite d’ouverts denses. On suppose que (Un) estdécroissante : Un+1 ⊂ Un (si ce n’est pas le cas, on considère : U ′1, U ′2, U ′3, ... avec U ′1 = U1,U ′2 = U1 ∩ U2, U ′3 = U1 ∩ U2 ∩ U3...). On choisit V un ouvert non vide. Est-ce qu’on a⋂n≥1

Un

∩ V 6= ∅ ?U1 ∩ V 6= 0→ B(x0, r0) ⊂ U1 ∩ V

F0 = B(x0, r0/2) ⊂ V1 ∩ V

On pose V1 =◦F0 l’intérieur de F0 = B(x0, r0/2). On associe :

(U1, V ) 7→ (F0, V1), F0 ⊃ F1

(U2, V1 7→ (F1, V2)

......

(Un+1, Vn) 7→ (Fn, Vn+1)

On vérifie que :F0 ⊃ F1 ⊃ ... diam(Fn)→ 0

⇒ élement limite commun à tous Fn ∈⋂n≥1

Un

∩ V .

Theorème 4.2.5 (Théorème de Baire). E un espace complet, (Un)n une famille dénombrabled’ouverts denses de E. Alors

⋂n≥0

Un est dense dans E.

Page 47: M303 : Topologie

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 47

Application 4.2.1. Rn+1 : espace métrique complet. A chaque réel a ∈ R, chaque Ea est unfermé de Rn+1. Notons Ea = {a}×Rn8 et Rn+1\Ea est un ouvert dense de Rn+1 ⇔

⋂a∈Q

(Rn+1\Ea)

est dense donc différent du vide ⇔⋃a∈Q

Ea 6= Rn+1.

Corollaire. Un espace vectoriel normé complet ne peut pas être réunion d’hyperplans Ea.

On définit :Ea = {x ∈ E,L(x) = a}

des hyperplans tels que :

L : E → Rx = (x1, ..., xn) 7→ L(x) = a1x1 + ...+ anxn = a

On note :EL,a = {x ∈ E, L(x) = a}

EL,a est fermé dans E (car image réciproque par L de a, L : E → R (linéaire continue)) :E\EL,a est dense dans E.

4.3 Espaces de BanachDéfinition 4.3.1. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. Soit (E, ‖.‖)un espace vectoriel normé : il est de Banach ⇔ toute suite de Cauchy est convergente dans E.

Exemple 4.3.1. 1) Tous les espaces euclidiens sont de Banach. Tout espace vectoriel norméde dimension finie l’est.

2) L’espace C0([−1, 1],R) muni de ‖.‖∞ est un espace de Banach. En revanche, C0([−1, 1],R)muni de la norme ‖.‖1 n’est pas complet. On prend la suite (fn)n∈N donnée par :

fn(x) =

1 si x = 01− (n+ 1)x si 0 ≤ x ≤ 1

n+10 si 1

n+1 ≤ x ≤ 1

On a alors :

‖fn − fm‖1 =∫ 1

−1|fn(x)− fm(x)dx ≤ 1

2(n+ 1) + 12(m+ 1) ≤ ε

pourm,n ≥ ε−1. La suite (fn)n∈N est de Cauchy mais ne peut pas converger dans C0([−1, 1],R)pour la norme ‖.‖1. Une fonction qui vaut 1 sur [−1, 0[ et 0 sur ]0, 1] n’est pas continue.

8Sous-ensemble de Rn+1 (de dimension n)

Page 48: M303 : Topologie

48 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

3) αn(x) = xn

n+1x ∈ [−1/2, 1/2]E = C([−1/2, 1/2],R)

∑‖αn‖ =

∑n≥0

2−nn+ 1 converge avec 2−n

n+ 1 ≤ 2−n

C([−1/2, 1/2],R) est complet → ∑n≥0 αn(x) est uniformément convergente sur [−1/2, 1/2]

(ou tout intervalle compact ⊂]− 1, 1[)

Définition 4.3.2. Une série ∑n≥0 αn d’éléments de (E, ‖ · · · ‖) est dite convergeante de limiteα si la suite de ses sommes partielles converge vers α et ∑n≥0 αn est normalement convergentesi ∑ ‖αn‖ est bornée (c’est-à-dire ∑ ‖αn‖ est une série à termes positifs convergeante).

Proposition 4.3.1. Dans un espace de Banach E, toute suite normalement convergeante,converge dans E.

Remarque. Dans le cas des fonctions continues sur un compact, toute série normalement conver-gete de fonctions continues sur [0, 1] est uniformément convergente.

Démonstration. (⇒) On suppose (E, ‖ · ‖E) complet. Soit (xn)n∈N une suite de E telle que∑n∈N ‖xn‖E <∞. Alors les sommes SN = ∑

n≤N xn vérifient pour M ≥ N :

‖SM − SN‖E =

∥∥∥∥∥∥M∑

n=N+1xn

∥∥∥∥∥∥E

≤M∑

n=N+1‖xn‖E

Ainsi, la suite (SN)N∈N de Cauchy dans (E, ‖ · ‖) et donc converge.(⇐) Supposons que toute série absolument convergente converge. Soit (xn)n∈N une suite deCauchy de (E, ‖·‖E). On peut extraire une sous-suite (xnk)k∈N telle que : ∀k ∈ N, ‖xnk+1−xnk‖ ≤ 2−k (il suffit de prendre nk = N2−k). On pose alors uk = xnk+1−xnk pour k ∈ N etla série∑k∈N uk est absolument convergeante donc converge dans (E, ‖·‖E) par hypothèse.Or on a xnk+1 − xn0 = ∑k

j=0 uj est on en déduit que la sous-suite (xnk)k∈N converge dans(E, ‖ · ‖E). Comme toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente convergealors limn→+∞ xn = xn0 +∑

k∈N uk.

4.4 Théorème du point fixef : (E, dE)→ (F, dF ) une application.

Définition 4.4.1. f est dit k-lipschitzienne si :

∀x, y ∈ E, dF (f(x), f(y)) ≤ kdE(x, y)

Si k < 1, f est appelé "contraction".

Remarque. Toute application k-lipschitzienne est continue et uniformément continue.Dans la suite :

f : (E, ‖ · ‖)→ (E, ‖ · ‖)une application contractante d’un espace de Banach.

Page 49: M303 : Topologie

Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 49

Theorème 4.4.1. Tout contraction d’un espace de Banach admet un unique point fixe : ∃!x0 ∈E tel que f(x0) = x0.

Démonstration. On part d’un point a0 ∈ E et on pose :

a1 = f(a0), a2 = f(a1), a3 = f(a2), ...

Idée : On montre que (an) est une suite de Cauchy. Plus précisément, ∑n≥0 an+1 − an estune suite bornée en norme par une série géométrique convergente alors elle est normalementconvergente.

On remarque que si an → x0 alors par continuité de x0 : x0 = f(x0). En effet, an+1 = f(an) :

‖am − an‖ = ‖f(an)− f(an+1)‖ ≤ k‖an − an+1‖ ≤ kn‖a1 − a0‖

⇒∑n≥0‖an+1 − an‖ ≤ ‖a1 − a0‖

∑n≥0

kn < +∞

car k < 1.Application 4.4.1. F (u) = 0 : équation sur la fonction inconnue u. Si f(u) = F (u) + u alorsla solution de F (t) = 0 est exactement le point fixe de f : il faut trouver un espace fonctionnelsur lequel f est une contraction.Exemple 4.4.1. Soit à résoudre (E) :

(E) :

y′ = y(+y2 + x)f(0) = 1

On doit tout d’abord traduire (E) en équation intégrale :∫ t

0y′(s)ds =

∫ t

0y(s)ds⇒ yu(t) = 1 +

∫ t

0y(s)ds

F (u)(s) = u(s) + 1 +∫ t

0u(s)ds

f(u)(t) = 1 +∫ t

0u(s)ds

Soit E = l’ensemble des fonctions continuies "au voisinage de 0" ([−1, 1], [−1/2, 1/2], ...) munide la norme de la convergence uniforme. Soit I un intervalle fermé autour de 0 :

‖f(u)− f(v)‖ = supt∈I|f(u)(t)− f(u)(t)| = sup

t∈I

∣∣∣∣∫ t

0u(s)− v(s)ds

∣∣∣∣ ≤ sups∈I|u(s)− v(s)|max

t∈I|t|

Conclusion : si I = [−a, a] avec 0 < a < 1 alors f est contractante sur C([−a, a],R) avec lanorme de la convergence uniforme.

On peut ensuite calculer la solution par itération est ainsi prouver que la suite cherchéeconverge vers la solution.Exemple 4.4.2.

f : R → Rx 7→ x

2

1) x = 0 est le point fixe.2) itération : f ◦ f = x

22 , f ◦ f ◦ f = x23 , ..., f

[n](x) = x2n . ∀a ∈ R, a un point initial quelconque,

on a :f [n](a) = a

2n → 0 si n→ +∞

Par itération, le point fixe est atteint depuis un point arbitraire.

Page 50: M303 : Topologie

50 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

4.5 Théorème d’AscoliPour (X, d) espace métrique compact et (X ′, d′) espace métrique, l’ensemble C0(X;X ′) des

fonctions continues muni de la distance d∞ de la convergence uniforme est un espace métrique.Et si (X ′, d′) = (E, ‖·‖) est un K-espace vectoriel, c’est un espace vectoriel normé de dimensioninfinie (sauf cas très particulier où X est fini ou X ′ = {0}).

La question que l’on se pose est l’identification des parties compactes de (C0(X;X ′), d∞).Avec le théorème de Riesz dans le cas où (X ′, d′) = (E, ‖ · ‖), on sait que les fermés bornés neconviennent pas. Ainsi, il ne suffit pas de majorer uniformément les fonctions.

4.5.1 Condition nécessaire à la compacitéSoit (X, d) un espace métrique compact et (X ′, d′) un espace métrique. On considère une

partie compacte K de C0(X,X ′).Pour tout x ∈ X, l’application C0(X,X ′) 3 f → f(x) ∈ X ′ est continue. On en déduit que

l’ensemble {f(x), f ∈ K} est compact (image d’un compact par une application continue).

Définition 4.5.1. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X ′, d′) un espace métrique.On dit qu’une partie E de C0(X,X ′) est ponctuellement (relativement9) compacte si pour toutx ∈ X, l’ensemble {f(x), f ∈ E} est (relativement) compact dans (X ′, d′).

De plus, comme K est un compact de l’espace métrique (C0(X,X ′), d∞) pour ε > 0 arbi-trairement petit, on peut trouver Nε boules de rayon ε/3, B(fi, ε/3), i ∈ {1, ..., Nε}, telles que

K ⊂Nε⋃i=1

B(fi, ε/3) (conséquence de la compacité et du Lemme de la maille). De plus, chaque

fi est uniformément continue sur le compact X (théorème de Heine) :

∃αi > 0, ∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ αi)⇒ (d′(fi(x), fi(y) ≤ ε)

d’où l’on tire pour tout f ∈ B(fi, ε/3)

∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ αi, d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(xi)) + d′(fi(x), fi(y)) + d′(fi(y), f(y)) ≤ ε

En prenant α = mini∈{1,...,Nε}

αi, on obtient une uniforme continuité :

∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α)⇒ (∀f ∈ K, d′(f(x), f(y)) ≤ ε)

qui est uniforme par rapport à f ∈ K (le α ne dépend plus de f). Cela nous conduit à ladéfinition suivante.

Définition 4.5.2. Pour deux espaces métriques (X, d) et (X ′, d′), on dit qu’une partie E deC0(X,X ′) est équicontinue sur X (ou encore également uniformément continue sur X) si :

∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α)⇒ (∀f ∈ E, d′(f(x), f(y)) ≤ ε)

Le raisonnement précédent nous donne une condition nécessaire à la compacité dans C0(X,X ′).

Proposition 4.5.1. Soit (X, d) un espace métrique compact et (X ′, d′) un espace métrique. Lesparties compactes K de (C0(X,X ′), d∞) sont nécessairement équicontinues et ponctuellementcompactes.

9On rappelle qu’une partie est relativement compacte si son adhérence est compacte

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Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach 51

Il est clair que la propriété d’équicontinuité est transmise à toute partie du compact K. Ona donc aussi la variante suivante pour les parties relativement compactes.

Corollaire. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X ′, d′) un espace métrique. Les par-ties relativement compactes E de (C0(X,X ′), d∞) sont nécessairement équicontinues et ponc-tuellement relativement compactes.

4.5.2 Condition nécessaire et suffisanteOn va voir que les propriétés d’équicontinuité et de (relative) compacité ponctuelle sont

suffisantes. La relative compactié est plus commode dans le sens où les parties d’une partieéquicontinue sont équicontinues et où la relative compactié se transmet aux sous-ensembles.

Theorème 4.5.2. Soit (X, d) est un espace métrique compact et (X ′, d′) est un espace métrique.Une partie de E de C0(X,X ′) est relativement compacte pour la topologie de la convergenceuniforme si et seulement si elle est équicontinue et ponctuellement relativement compacte.

Remarque. Une façon d’énoncer ce théorème est de dire qu’une famille de fonctions continuesest relativement compacte si (et seulement si) on sait contrôler uniformément leurs valeurs etleurs oscillations.

Démonstration. Soit E une partie équicontinue, ponctuellement relativement compacte deC0(X,X ′). On veut montrer que son adhérence E est un compact de l’espace métrique (C0(X,X ′), d∞).Autrement dit, on veut montrer que de toute suite (fn)n∈N de E, on peut extraire une sous-suitequi converge uniformément sur X vers f ∈ C0(X,X ′).

Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues de X dans X ′. Comme (X, d) est un espacemétrique compact, il est séparable. Soit D = {xk, k ∈ N} un ensemble dénombrable dense.Pour chaque k ∈ N, la suite (fn(xk))n∈N reste dans un compact Kk de (X ′, d′). Ainsi, la suitedes restrictions (fn|D)n∈N peut être vue comme une suite du compact métrisable ∏k∈NKk. Onpeut donc en extraire une sous-suite (fnl)l∈N qui converge ponctuellement sur D.

Etudions maintenant la convergence de cette sous-suite en un point arbitraire x ∈ X. Parl’hypothèse, l’adhérence dans (X ′, d′) de {f(x), f ∈ E} est compacte donc complète. Pour quela sous-suite (fnl(x))l∈N ait une limite f(x) ∈ X ′, il suffit donc de vérifier que cette sous-suiteest de Cauchy. Soit ε > 0. Comme la partie E est équicontinue on sait que α > 0 assez petiton a :

∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ α, ∀l ∈ N, d′(fnl(y), fnl(x)) ≤ ε/3Puisque D est dense dans X, on prend xk ∈ D tel que d(x, xk) ≤ α. Comme la suite (fnl(xk))l∈Nconverge dans X ′, elle est de Cauchy et on peut trouver Lε,k tel que :

∀l, l′ ≥ Lε,k, d′(fnl(xk, fnl′ (xk)) ≤ ε

On majore d′(fnl(x), fnl′ (x)) par :

d′(fnl(x), fnl(xk)︸ ︷︷ ︸≤ε/3

+ d′(fnl(xk), fnl′ (xk))︸ ︷︷ ︸≤ε/3

+ fnl′ (xk), fnl′ (x))︸ ︷︷ ︸≤ε/3

et on obtient∀l, l′ ≥ Lε,k, d

′(fnl(x), fnl′ (x)) ≤ ε

Ainsi la sous-suite (fnl(x))l∈N converge dans (X ′, d′) pour tout x ∈ X. On note f(x) sa limite.Il reste à vérifier que la convergence de (fnl)l∈N vers f a lieu uniformément par rapport à

x ∈ X. Pour ε > 0 fixé, en utilisant les notations ci-dessus, on sait qu’il existe un entier N tel

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52 Chapitre 4. Espaces métriques complets, espaces de Banach

que X ⊂N⋃k=0

B(xk, α) (⋃k∈NB(xk, α) forme un recouvrement de X qui est supposé compact).

On prend alors Lε = maxk∈{0,...,N}

Lε,k et on a :

∀l, l′ ≥ Lε, ∀x ∈ X, d′(fnl(x), fnl′ (x)) ≤ ε

On passe à la limite l′ →∞ et on obtient :

∀l ≤ εLε, d∞(fnl , f) ≤ ε

La sous-suite (fnl)l∈N converge uniformément vers f ∈ C0(X,X ′).

Corollaire. Si de plus (X, d) est connexe par arc et si (X ′, d′) est un K-espace vectoriel dedimension finie (K = R ou C) alors il suffit que E ∈ C0(X,X ′) soit équicontinue et que pourun x0 ∈ X l’ensemble {f(x0, f ∈ E} soit borné pour que E soit relativement compacte dans(C0(X,X ′), ‖ · ‖∞).Démonstration. Dans un K-espace vectoriel de dimension finie les parties relativement com-pactes sont les parties bornées. Il s’agit donc de vérifier que pour tout x ∈ X, l’ensemble{f(x), f ∈ E} est borné. Comme X est supposé connexe par arc il existe pour tout x ∈ X unchemin γ ∈ C0([0, 1], X) reliant x0 à x. Cette application γ : [0, 1]→ X est en particulièrementuniformément continue et pour tout α > 0, il existe N ∈ N∗ tel que :

∀t, t′ ∈ [0, 1],(|t− t′| ≤ 1

N

)⇒ d(γ(t), γ(t′)) ≤ α)

Avec l’équicontinuité de E, on sait trouver α > 0 tel que :

∀x, y ∈ X, (d(x, y) ≤ α)⇒ (∀x ∈ E, d′(f(x), f(y)) ≤ 1)

On a alors en fixant une origine A ∈ X ′ :

∀f ∈ E, d′(A, f(x)) ≤ d′(A, f(x0)) + d′(f(x0), f(x))

≤ d′(A, f(x0)) +N−1∑k=0

d′(f ◦ γ(k/N), f ◦ γ((k + 1)/N)) ≤ d′(A, f(x0)) +N

Remarque. Dans le Corollaire précédent, on peut se contenter de supposer que (X, d) estconnexe.

Pour fixes les idées sur les applications possibles du théorème d’Ascoli nous donnons leCorollaire suivant :Corollaire. Si on munit C1([0, 1],R) de la norme ‖f‖C1 = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞, alors les bornés de(C1([0, 1],R), ‖ · ‖C1) sont relativement compacts dans C0([0, 1],R).Démonstration. Soit E un borné de C1([0, 1],R), E ⊂ Bf,C1(0,M). Comme la norme ‖f‖∞est majorée par la norme ‖f‖C1 , il est clair qu’un borné de C1([0, 1],R) est ponctuellementrelativement compact. L’équicontinuité vient de l’inégalité des accroissements finis :

∀f ∈ E, ∀x, y ∈ [0, 1], |f(y)− f(x)| ≤M |x− y|

Remarque. On peut étendre ce résultat à plusieurs dimensions et en considérant les bornés deCk+1 dans Ck. D’une façon générale avec les espaces fonctionnels, un controle uniforme d’unerégularité un peu plus élevée conduit à des propriétés de compacité.