Topologie générale

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LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES Topologie Générale Philippe Charpentier Université Bordeaux I Année universitaire 2000-01
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    14-Sep-2015
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licence de mathématiques pures

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  • LICENCEDE

    MATHMATIQUESPURES

    TopologieGnrale

    Philippe Charpentier

    Universit Bordeaux IAnne universitaire 2000-01

  • PHILIPPE CHARPENTIERUNIVERSIT BORDEAUX I

    LABORATOIRE DE MATHMATIQUES PURES351, COURS DE LA LIBRATION, 33405 TALENCE

    Adresse lectronique: [email protected]

  • Introduction

    Ce Polycopi a t ralis durant lanne universitaire 2000-2001 alors que jenseignais les certificatsde Licence LA1 et LA2. Jai choisi de faire une prsentation assez exhaustive (donc ne correspon-dant pas toujours exactement au contenu des programmes officiels de la Licence de Bordeaux)pour prparer aux complments de topologie du certificat dAnalyse Fonctionnelle de Matriseaffin dviter au maximum les trous que jai pu constater en travaillant la prparation deloral de lagrgation.La prsentation tche toujours de dgager en premier les concepts gnraux mme si on neles utilise que dans des cas particuliers. Cest ainsi que, par exemple toutes les notions topologiques que lon doit introduire lorsde ltude des espaces mtriques sont dfinies dans le cadre gnral des espaces topologiques ; cela permet de bien distinguer lesnotions de nature topologique de celles de nature mtrique. Ceci amne videmment rajouter un certain nombre de dfinitionsconcernant les espaces topologiques. Dans le chapitre sur les espaces mtriques, seul le thorme dAscoli t rajout.

    Dans le mme tat desprit, pour que la notion de srie, et de srie multiple, dans un espace norm soit bien comprise, jintro-duis celle de famille sommable et je dcris prcisment les liens qui existent entre les deux notions. Cette notion permet de plusdtudier les espaces fondamentaux lpI (E) et c0(E) ainsi que de traiter, en toute gnralit, la thorie des espaces de Hilbert. Dansle chapitre sur les espaces norms, par rapport au programme officiel, jai rajout les thormes classiques lis au thorme deBaire (Sous-section III.4.3, page 61) et le thorme de Hahn-Banach (Sous-section III.4.4, page 62). Pour des raisons de cohrence,je considre que ce dernier thorme doit tre enseign en Licence. En annexe, jai dvelopp les notions de thorie des ensemblesrelatives laxiome du choix, au lemme de Zorn (utile pour le thorme de Hahn-Banach) et la cardinalit des ensembles. Atitre de rfrence, citons les ouvrages suivants qui ont inspir bien des points : [Die68], [Rud70], [DS67]. Pour la partie thorie desensembles, les courageux pouront consulter [Bou67].

    Les exercices des fins de chapitre sont ds Grard Galusinski.Philippe Charpentier

    iii

  • Table des matires

    Introduction iii

    Table des Matires vi

    CHAPITRE I. Les nombres rels 1I.1. Une construction deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Suites de nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    CHAPITRE II. Espaces mtriques 7II.1. Vocabulaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.2. Espaces mtriques, dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.4. Continuit dans les espaces topologiques et mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    II.4.1. Suites dans un espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.4.2. Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.4.3. Continuit uniforme, isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.4.4. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    II.5. Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.1. Connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.2. Connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    II.6. Produit despaces topologiques et despaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.7. Espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    II.7.1. Suites de Cauchy, espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.7.2. Exemples despaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.7.3. Thormes de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.7.4. Compltion dun espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.7.5. Thormes du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    II.8. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.8.1. Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.8.2. Espaces mtriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.8.3. Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.8.4. Compactification dun espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.8.5. Applications aux espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    CHAPITRE III. Espaces vectoriels norms 51III.1. Espaces norms et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3. Sries et familles sommables dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    III.3.1. Sries dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3.2. Familles sommables et absolument sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.3.3. Sries commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3.4. Les espaces lpI (E) et c0(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    III.4. Espaces dapplications linaires et multilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.1. Applications multilinaires et linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.2. Hyperplans ferms et formes linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III.4.3. Les Thormes de Banach et de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.4. Le Thorme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.4.5. Dual dun espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64III.4.6. Duaux des espaces lpI (E) et c0(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    III.5. Espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.5.1. Structure des espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.5.2. Sries et familles sommables dans les espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    v

  • TABLE DES MATIRES

    Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    CHAPITRE IV. Espaces de Hilbert 73IV.1. Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    IV.1.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73IV.1.2. Formes hermitiennes positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.1.3. Exemples de formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    IV.2. Espaces prhilbertiens et Hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4. Projection sur un sous-ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    IV.4.1. Projection sur un convexe spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4.2. Projection sur un cne convexe spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78IV.4.3. Projection sur un sous-espace vectoriel spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78IV.4.4. Dual dun espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79IV.4.5. Sous-espaces orthogonaux supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    IV.5. Sommes hilbertiennes et bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.5.1. Somme hilbertienne externe despaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.5.2. Somme hilbertienne de sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82IV.5.3. Familles orthonormales et bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83IV.5.4. Orthonormalisation, existence des bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84IV.5.5. Exemples de bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    Exemples de sujets et de corrigs dexamens 89Examen partiel de lanne universitaire 2000-2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    Examen de la session de Janvier 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    Examen de la session de Septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    Examen partiel de lanne universitaire 2001-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    Examen de la session de Janvier 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    ANNEXE : Lemme de Zorn, Cardinalit des ensembles 103

    CHAPITRE A. Axiome du choix et Lemme de Zorn 105A.1. Laxiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.2. Ensembles ordonns : dfinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.3. Thorme de Zermelo et Lemme de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.4. Applications de laxiome du choix aux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    CHAPITRE B. Cardinalit des ensembles 111B.1. Cardinalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2. Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.3. Cardinalit des ensembles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    Index des Notations 115

    Index Terminologique 117

    Bibliographie 121

    viLicence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • CHAPITRE ICHAPITRE I

    LES NOMBRESRELS

    SECTION I.1

    Une construction de R

    Rappelons tout dabord que lon appelle suite de Cauchy de rationnels une suite (xn) de rationnels telle que > 0, il existen0 N tels que, p,q n0 implique | xp xq |< .

    Les deux propositions suivantes, dont les dmonstrations sont videntes constituent une dfinition mathmatique deR.

    PROPOSITION I.1.1.

    Soit C = {x = (xn)n0 QN t.q. x est de Cauchy dansQ}. Alors C est un anneau commutatif unitaire nonintgre pour les oprations

    (xn)+(yn) = (xn + yn), (xn)(yn) = (xnyn),

    et un espace vectoriel surQ pour la multiplication externe

    (xn) = (xn).

    PROPOSITION I.1.2.Soit Z = {x C t.q. lim

    n xn = 0}. Alors Z est un idal et un sous-espace vectoriel de C et le quotient C /Zest donc un anneau commutatif unitaire et un espace vectoriel sur Q. Par dfinition ce quotient est appellensemble des nombres rels et est notR.

    Remarque I.1.1. Les proprits suivantes sont des consquences immdiates de la dfinition deR :1. Les lments deR sont des classes dquivalence de suites de rationnels : si x R, et si x appartient la classe dquivalence

    de x, alors x = x +Z .2. Pour tout Q, soit = (n) C dfinie par n = , n N. Alors lapplication i : 7 +Z de Q dans R est un

    homomorphisme danneau injectif. On identifie alorsQ et i(Q) et, par abus de langage, on dit queQ est inclus dansR.3. Si (xn) est une suite de rationnels qui converge, dansQ, vers r Q, alors (xn)+Z = r dansR.

    THORME I.1.1.R est un corps commutatif.

    LEMME. Soit x R, x 6= 0. Il existe r > 0, r Q tel que, si (xn) est une suite de rationnels appartenant la classe dquivalence x,alors il existe n0 N tels que, pour n n0, on a | xn |> r.

    1

  • CHAPITRE I. LES NOMBRES RELS

    Dmonstration. Puisque x 6= 0, on a (xn) /Z . Par suite il existe une sous-suite (xnk ) extraite de (xn) et un rationnel s > 0 tel que,k, | xnk |> s. La conclusion du lemme en dcoule aisment (avec par exemple r = s/4) car (xn) est de Cauchy.

    Dmonstration du Thorme I.1.1. En effet, si xR, x 6= 0 et si (xn) est une suite de rationnels appartenant la classe dquivalencex, alors, pour p,q n0 on a 1xp 1xq

    | xp xq |r2 ,ce qui prouve que y = (n), avec n =

    1xn

    , pour n n0, est une suite de Cauchy dans Q. Alors, clairement y +Z est linverse dex.

    R hrite aisment de lordre dfini sur Q. En effet, on dira que x R est strictement positif si il existe une suite (xn) dans laclasse de x telle quil existe un entier n0 et un rationnel a > 0 tels que, pour n n0, on a xn > a > 0. Pour deux lments x et y deRon dfinit alors la relation x y (ou x< y) par y x 0 (ou y x> 0). Le lemme du Thorme I.1.1 montre que cet ordre est total :

    PROPOSITION I.1.3.R est un corps totalement ordonn et archimdien.

    Le fait queR est archimdien rsulte de la mme proprit pourQ, et on vrifie sans difficults que lordre est compatible avecla structure de corps (i.e. a b et c d implique a + c b + d, et, a b et c 0 implique ac bc).

    De la mme manire on dfinit la valeur absolue en posant, pour xR : | x |= max(x,x). Puis on dfinit les suites convergentesde nombres rels comme dhabitude en utilisant la valeur absolue.

    THORME I.1.2.Q est dense dans R i.e. x R, > 0, R, Q]x ,x + [6= /0, o ]x ,x + [ dsigne lensemble des

    nombres rels strictement compris entre x et x + .

    Dmonstration. On peut supposer x + > 0 quitte changer x en x. Puisque R est archimdien, il existe n N, n 6= 0, telque n > 1/2 . Pour la mme raison, lensemble des entiers strictement positifs plus grands que n(x + ) est non vide et admet

    donc un plus petit lment m qui vrifie doncm1

    n< x + x car, dans le cas contraire, on aurait

    2 = (x + ) (x ) mn m1

    n=

    1n

    ce qui contredit la dfinition de n, et un rationnel cherch estm1

    n.

    THORME I.1.3.1. Une suite de nombres rels est convergente dans R si et seulement si elle est de Cauchy. On dit que R est

    complet.2. Soit ([an,bn]) une suite dintervalles ferms embots de R. Alors

    nN

    [an,bn] est un intervalle ferm non

    vide. De plus, si limn bnan = 0, cette intersection est rduite un point (axiome des segments embots).

    Dmonstration. Remarquons tout dabord que le 2. rsulte aisment du 1. : en effet, comme la suite (an) (resp. (bn)) est croissante(resp. dcroissante) et majore (resp. minore) on voit facilement quelle est de Cauchy ; donc les limites lim

    nan et limn bn existent,

    et, si on les note respectivement a et b on a clairement

    nN[an,bn] = [a,b].

    Dmontrons donc le 1. Comme il est clair que toute suite convergente est de Cauchy, supposons que (xn) soit une suite deCauchy dansR et montrons quelle est convergente. Soit (n) une suite de rels strictement positifs qui converge vers 0. Daprs leThorme I.1.2, pour tout n il existe n Q tel que | xnn |< n. Clairement (n) est une suite de Cauchy dansQ et dfinit doncun rel x. Pour conclure, il suffit de voir que lim

    nn = x ce qui rsulte du lemme suivant :

    LEMME. Soit un nombre rel et (n) une suite de rationnels de la classe dquivalence de . Alors la suite (n) converge vers dansR.

    Dmonstration. En effet, il faut voir que > 0, n0 tel que, pour n n0, on a | n |< . Vrifions par exemple que n < ,pour n n0. Pour cela, il faut montrer quil existe (m) et (m) dans les classes respectives de et , m0 et a < 0 tels que, pourm m0 (et n n0) on a mn m < a. Comme (m) est de Cauchy et > 0, il suffit clairement de prendre m = m.

    COROLLAIRE 1.R nest pas dnombrable.

    2Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • I.2. SUITES DE NOMBRES RELS

    Dmonstration. Montrons que lintervalle [0,1] nest pas dnombrable. Sil ltait, on aurait [0;1] = {x1,x2, . . . ,xn, . . .}. Coupons[0,1] en trois intervalles ferms de mme longueurs I11 , I

    21 , I

    31 . Lun de ces intervalles, I1, est tel que x1 / I1. Coupons ensuite I1 en

    trois segments gaux et choisissons I2 un qui ne contient pas x2. En recommenant de mme avec I2 et ainsi de suite, on construitune suite dintervalles ferms embots In dont le diamtre tend vers zro et daprs le Thorme I.1.3, on a

    n

    In = {x}. Clairementx 6= xn, n, ce qui est absurde.

    COROLLAIRE 2.R\Q est dense dansR.

    Dmonstration. Ceci rsulte de la densit deQ dans R (Thorme I.1.2) et du fait que, par le corollaire prcdent, R\Q nest pasvide (daprs la Proposition B.2.1, page 112,Q est dnombrable), car si R\Q, +Q R\Q.

    Rappelons maintenant que si A est une partie deR, on appelle borne suprieure de A (resp. borne infrieure de A) le plus petit(sil existe) (resp. le plus grand) des majorants (resp. minorants) de A et on le note supA (resp. infA). En dautres termes, a = supAsi et seulement si x A, x a et, > 0, x A tel que a < x a.

    THORME I.1.4.Toute partie non vide majore deR admet une borne suprieure (et de mme pour les parties non vides mino-res avec la borne infrieure).

    Dmonstration. En effet, soient A une partie non vide majore de R, a1 A et m1 un majorant de A. Posons I1 = [a1,m1]. Soit ble milieu du segment [a1,m1]. Si b est un majorant de A, on pose I2 = [a1,m2], avec m2 = b ; sinon cela signifie quil existe a2 Atel que b < a2 m1 et on pose I2 = [a2,m1]. Puis on recommence le mme procd en remplaant I1 par I2, et ainsi de suite. Onconstruit ainsi une suite de segments embots In dont le diamtre tend vers zro. Daprs le Thorme I.1.3, on a

    n

    In = {x}. Onvrifie alors facilement que x est la borne suprieure de A.

    Notation I.1.1. On note R= R{,+}.

    SECTION I.2

    Suites de nombres rels

    Si (xn) est une suite de nombres rels, on appelle valeur dadhrence dans R (resp. R) de la suite (xn) tout nombre rel y R(resp. y R) tel quil existe une suite (xnk ) extraite de la suite (xn) telle que limk xnk = y. Dans la suite nous noteronsV (xn) lensembledes valeurs dadhrence de la suite (xn) dansR et V (xn) le mme ensemble dans R.

    On dit quune suite de nombres rels (xn) est borne sil existe deux rels a et b tels que, n N, a xn b.

    THORME I.2.1 (Thorme de Bolzano-Weierstrass ).Soit (xn) une suite borne de nombres rels. Alors V (xn) 6= /0.

    Dmonstration. Soit An = {xm, m n}. Alors An est une partie borne deR (i.e. majore et minore) et, daprs le Thorme I.1.4,elle admet une borne suprieure yn. La suite (yn) est dcroissante et minore et donc converge vers la borne infrieure y de {yn}.Comme, pour tout entier k il existe un entier nk k tel que yk xnk 1/k, quitte extraire de la suite (nk) une suite strictementcroissante, on construit aisment une suite extraite de la suite (xn) qui converge vers y.

    Remarque I.2.1. 1. Avec les notations de ci-dessus, si on note m la borne infrieure de A =n

    An et M le borne suprieure de A,

    alors V (xn) [m,M].2. Si (xn) est une suite quelconque de nombres rels, alors V (xn) est toujours non vide.

    La seconde partie de la remarque rsulte du fait que, si la suite est non borne, par hypothse, + ou est une valeurdadhrence.

    Dfinition I.2.1.

    Soit (xn) une suite de nombres rels. La borne suprieure (resp. infrieure) de V (xn) sappelle la limite su-prieure (resp. infrieure) de la suite (xn) et se note lim

    n xn (resp. limnxn) ou limsup

    nxn (resp. liminf

    n xn).

    Philippe Charpentier 3

  • CHAPITRE I. LES NOMBRES RELS

    Remarque I.2.2. (xn) tant une suite de nombres rels, limn xn V (xn) et limn xn V (xn).

    Exercices

    Exercice I.1 (Structure des groupes additifs deR).Soit G un sous groupe additif deR non rduit {0} et A = {x G, x> 0}.

    1. Montrer que si a = infA > 0, alors a A et G = aZ.2. Montrer que si infA = 0, alors G est dense dansR.3. Soit f : R R une fonction continue priodique non constante. Montrer que f admet une plus petite priode non nulle.4. Soit un rel nappartenant pas 2piQ. Montrer, en considrant lensemble {n + 2ppi; (n, p) Z2}, que X = {cosn; n Z} est dense dansR.

    Exercice I.2.1. Soit f : R R, une application croissante telle que :

    (x,y) RR f (x + y) = f (x)+ f (y).Montrer quil existe un rel k tel que pour tout rel x, f (x) = kx.

    2. En dduire toutes les applications f : R R telles que(x,y) RR f (x + y) = f (x)+ f (y).

    et(x,y) RR f (xy) = f (x) f (y).

    Exercice I.3.1. Soit un nombre rel x [0,1[.

    (a) Montrer quil existe une suite (xn) de nombres entiers appartenant lensemble {0,1, . . . ,9} tels que x = n1

    xn10n

    .

    (b) Montrer quune telle suite (xn) est unique si lon ajoute la condition que lensemble {n N|xn 6= 9} est infini.2. Une autre preuve de la non dnombrabilit deR :

    Supposons quil existe une bijection : N [0,1[ et dsignons par bn le n-ime terme du dveloppement dcimal proprede (n). Choisissons pour tout entier n Nun nombre xn de lensemble {0, . . . ,8} avec xn 6= bn et soit x le rel dont ledveloppement dcimal est 0,x1x2 . . .xn . . .. Que peut on penser de x ?

    Exercice I.4.1. Montrer que toute srie absolument convergente de nombres rels est convergente.

    2. Montrer que la srie n0

    1n!

    converge dansR . On dsignera par l sa somme.

    3. Montrer que pour tout n 1, 1 + 11!

    + + 1n!< l < 1 +

    11!

    + + 1n!

    +1n!

    .

    4. Montrer que la srie n0

    1n!

    ne converge pas dansQ.

    Exercice I.5.Soit (un) une suite numrique et l un nombre rel. Exprimer, laide de la notion de sous suite, la proprit :

    la suite (un) ne tend pas vers l .

    Exercice I.6.1. Dmontrer quune suite borne converge si et seulement si ses limite suprieure et infrieure sont gales.

    2. Soit (un) une suite numrique et L sa limite suprieure dans R. Montrer que L est caractris par les proprits suivantes :

    (a) Quel que soit < L lensemble E des n N qui vrifient xn > est infini.(b) Quel que soit > L lensemble E des n N qui vrifient xn > est fini.

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    Module LA1

  • EXERCICES

    3. Caractriser de faon analogue la limite infrieure.

    Exercice I.7.Soit (xn) une suite relle telle que les sous suites (x2n) et (x2n+1) convergent vers les nombres rels et respectivement. Quelles

    sont les valeurs dadhrence de la suite (xn) ? Dterminer la limite suprieure de la suite (a1nn )n>0 o an = (1 +

    (1)nn

    )n2.

    Exercice I.8.1. Dmontrer la rgle de Cauchy :

    Soit (un) une suite de nombres rels ou complexes, et soit :L = lim

    n |un|1n (0 L+).

    Si L< 1 la srie un est absolument convergente.Si L> 1 la srie un est divergente.

    2. Soit anxn une srie entire complexe, son rayon de convergence R vrifie : 1R = limn |an|1n .

    3. Soit R le rayon de convergence de la srie entire anxn. Quel est celui de la srie entire a2nxn ?

    Exercice I.9.Soit x = (xn) une suite relle borne telle que la suite (xn2 + 2xn) converge vers une limite l.

    1. Soit une valeur dadhrence de la suite (xn). Montrer que l2 est une autre valeur dadhrence de la suite (xn).2. Itrer le procd prcdent et prouver que la suite (xn) converge.

    Exercice I.10.Soit I un intervalle ouvert deR et f une application croissante de I dansR. Montrer que f admet une limite droite et gauche entout point de I.

    Philippe Charpentier 5

  • CHAPITRE IICHAPITRE II

    ESPACESMTRIQUES

    D Ans ce chapitre, on pose les bases de lanalyse : les notions despace topologique et despace mtrique sont constam-ment utilises en analyse. On a choisi de ne traiter en dtails que les espaces mtriques. Nanmoins, tout espacemtrique tant un espace topologique, on a dcid de donner, part, la dfinition despace topologique ainsi queles principales terminologies qui lui sont attaches. Dans tout le cours qui suit, on pourra ainsi distinguer, dansltude des espaces mtriques, ce qui rsulte de la structure despace topologique sous-jacente et ce qui rsulte de la structure m-trique. De plus, en analyse fonctionnelle, on est amen, de faon quasi ncessaire, considrer certains espaces topologiques quine sont pas des espaces mtriques : par exemple la topologie de la convergence simple (c.f. Exemple II.6.1, page 22) est fortementutilise dans ltude des espaces de formes linaires.

    SECTION II.1

    Vocabulaire topologique

    Dans cette section, on donne la dfinition despace topologique ainsi que lessentiel du vocabulaire topologique de base.

    Dfinition II.1.1.On appelle espace topologique un ensemble E muni dune partie T de lensembleP(E) des parties de Evrifiant les proprits suivantes :

    1. /0 et E appartiennent T ;2. Toute runion dlments deT est un lment deT ;3. toute intersection finie dlments deT est un lment deT .Les lments deT sont appels les ouverts de lespace topologique E . De plus les complmentaires de

    ouverts de E sont appels les ferms de E.T est parfois appele la topologie de E.

    On notera donc que toute intersection de ferms est un ferm et que toute runion finie de ferms est un ferm et que E et /0sont des ferms (une partie de E peut tre la fois ouverte et ferme).

    Exemple II.1.1 (Lespace topologiqueR). Une partie U deR est dite ouverte si, x U , il existe > 0 tel que lintervalle ouvert]x ,x + [ est contenu dans U . Il est bien clair que ceci dfini une topologie surR.

    Dfinition II.1.2.Soit E un espace topologique. Soit A une partie de E.

    1. On appelle adhrence de A lintersection de tous les ferms contenant A (elle existe puisque E est un

    7

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    ferm qui contient A) et on la note A. A est un ferm et les lments de A sont appels les points adhrents A.

    2. On appelle intrieur de A la runion de tous les ouverts contenus dans A (elle existe, puisque /0 estouvert, mais peut tre vide) et on la note A. A est un ouvert et les lments de A sont appels les pointsintrieurs de A.

    3. Lensemble A\ A est appel la frontire de A et se note gnralement Fr(A).4. Un point a de A est dit isol (dans A) sil existe un voisinage V de a tel que V A = {a}.

    Dfinition II.1.3.Soit E un espace topologique. On dit quune partie A de E est un voisinage dun point x E sil existeun ouvert O contenant x et contenu dans A. En particulier x A est intrieur A si et seulement si A est unvoisinage de x et A est ouvert si et seulement sil est un voisinage de chacun de ses points. Plus gnralement,si A est une partie de E on appelle voisinage de A toute partie de E contenant un ouvert contenant A.

    Exemple II.1.2. Dans lespace topologique R, un voisinage de x est une partie de R qui contient un intervalle ouvert de laforme ]x ,x + [, > 0.

    Dfinition II.1.4.Un espace topologique E est dit spar si tant donns deux points distincts x et y de E , il existe un voisinageVx de x et un voisinage Vy de y tels que VxVy = /0.

    PROPOSITION II.1.1.Soient E un espace topologique et A une partie de E.

    1. Un point x de E est adhrent A si et seulement si tout voisinage de x rencontre A.2. Supposons que A soit infinie. On dit que x E est un point daccumulation de A si tout voisinage de x

    contient une infinit de points de A (ce qui implique en particulier x A).

    Dmonstration. En effet, dans le cas contraire il existe un ouvert O contenant x et ne rencontrant pas A. Alors le complmentairede O est un ferm contenant A et ne contenant pas x.

    PROPOSITION II.1.2.

    Soient E un espace topologique et A une partie de E. Alors E \ A = E \A.

    Dmonstration. En effet, si x nappartient pas A alors tout ouvert O contenant x rencontre le complmentaire de A.

    PROPOSITION II.1.3.Soient E un espace topologique et A et B deux parties de E. Alors :

    1. Si A B, A B et A B ;2. AB = A B et AB = A B.

    Dmonstration. Montrons par exemple la premire galit du 2. Linclusion A B AB provient du 1. ; dautre part AB A Bce qui donne linclusion inverse.

    Remarque II.1.1. On notera que, en gnral, on a seulement les relations AB A B et AB A B et pas des galits,comme le montre lexemple A = [0,1[ et B = [1,2] pour la seconde. Un autre exemple est fourni par : A =Q et B = R\Q : dans cecas AB = R, AB = /0, A = R, B = R, A = /0 et B = /0 (le fait que Q= R a t vu au Thorme I.1.2, page 2 et le fait queR\Q= Rau Corollaire 2 du Thorme I.1.3, page 3).

    Dfinition II.1.5.

    Soient E un espace topologique et A B deux parties de E . On dit que A est dense dans B si A B.

    Dfinition II.1.6.Un espace topologique E est dit sparable sil contient un sous-ensemble dense dans E dnombrable.

    Exemple II.1.3. Comme nous lavons dj vuQ est dense dansR, ce qui fait queR est sparable.

    8Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • II.2. ESPACES MTRIQUES, DFINITION ET PREMIRES PROPRITS

    Dfinition II.1.7.Soient E un espace topologique et A une partie de E.

    1. On dit que A est rare si lintrieur de son adhrence est vide ou, ce qui revient au mme, que lintrieurde E \A est dense.

    2. On dit que A est maigre si elle est contenue dans une runion dnombrable densembles rares (i.e. sielle est contenue dans une runion dnombrable de ferms dintrieurs vides).

    Exemple II.1.4. DansR tout ensemble fini est rare. De mme lensemble des points dune suite convergente est rare. Par contreun ensemble dnombrable nest pas rare en gnral : Q nest pas rare puisquil est dense dans R. Q est toutefois maigre puisquednombrable. Par contre,R\Q nest pas maigre : cest une consquence immdiate du Thorme de Baire ( page 25).

    PROPOSITION II.1.4.Soit E un espace topologique et soit A une partie de E. SoitT1 = {AO, O T }. Alors A muni deT1 est unespace topologique.T1 est appele la topologie induite par celle de E et on parle du sous-espace topologiqueA de E.

    La vrification de la proposition ci-dessus est immdiate.

    Dfinition II.1.8.Soit E un espace topologique,T la topologie de E .

    1. On dit quune partie B de T est une base pour la topologie de E si tout ouvert de E est runiondlments deB.

    2. Soit x un lment de E. Soit V une famille de voisinages de x. On dit que V est une base de voisinagesde x si tout voisinage de x contient un lment de la famille V .

    En particulier, la famille des ouverts contenant x est une base de voisinages de x.

    Dfinition II.1.9.Soient E un espace topologique de topologie T , etR une relation dquivalence sur lensemble E. SoientE/R lensemble quotient de lensemble E par la relationR et pi la surjection canonique de E sur E/R.

    1. LensembleT /R = {OE/R tels que pi1(O)T } est une topologie sur E/R appele la topologiequotient deT parR. On appelle espace topologique quotient de E parR, lensemble quotient E/Rmunide la topologie quotientT /R.

    2. On dit queR est une relation ferme (resp. ouverte) si O T (resp F ferm pour ,T ), pi(O) (resp.pi(F)) est ouvert (resp. ferm) pourT /R.

    Remarque II.1.2. Il se peut quun espace topologique E soit spar sans que lespace topologique quotient E/R le soit.

    SECTION II.2

    Espaces mtriques, dfinition etpremires proprits

    Dfinition II.2.1.On appelle distance sur un ensemble E une application d : EE R possdant les proprits suivantes :

    1. d(x,y) 0, x,y E ;2. d(x,y) = 0 x = y ;3. d(x,y) = d(y,x), x,y E ;4. d(x,z) d(x,y)+ d(y,z), x,y,z E (ingalit triangulaire).De plus, on appelle espace mtrique un ensemble E muni dune distance d.

    Dans toute la suite, la distance dun espace mtrique E sera toujours note d, sauf lorsque cela peut prter confusion, auquelcas la notation sera alors prcise.

    Philippe Charpentier 9

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    Remarque II.2.1. Une application d : EE R possdant les proprits 1. 3. et 4. de la dfinition ci-dessus, la proprit 2.tant remplace par x E, d(x,x) = 0 (i.e. la rciproque ntant pas ncssairement vrifie) sappelle un cart sur E.

    Comme application quasi-immdiate de lingalit triangulaire, on peut noter lingalit souvent utile suivante :

    PROPOSITION II.2.1.Soient E un espace mtrique (de distance d) et x,y,z trois points de E. Alors | d(x,z)d(y,z) | d(x,y).

    Dfinition II.2.2.Soit E un espace mtrique.

    1. Soient A et B deux parties non vides de E. On appelle distance de A B le nombre rel positif, notd(A,B), dfini par d(A,B) = inf

    xA,yBd(x,y) ;

    2. Soit A une partie non vide de E . On appelle diamtre de A le nombre rel positif, not (A), dfini par (A) = sup

    xA,yAd(x,y) ; on dit que A est born si son diamtre est fini.

    Remarque II.2.2. Si A = {x} on note simplement d({x},B) = d(x,B). De plus on vrifie aisment que d(A,B) = infxA

    d(x,B).

    PROPOSITION II.2.2.Soient E un espace mtrique, A une partie non vide de E et x et y deux points de E. Alors | d(x,A)d(y,A) |d(x,y).

    Dmonstration. En effet, par lingalit triangulaire, d(x,A) = infzA

    d(x,z) d(x,y)+ infzA

    d(y,z) = d(x,y)+ d(y,A), lautre ingalit

    sobtenant en changeant les rles de x et y.

    PROPOSITION II.2.3.Soient E un espace mtrique et A et B deux parties bornes de E. Alors AB est borne et (AB) d(A,B)+ (A)+ (B).

    Dmonstration. En effet, on peut supposer (AB) > max( (A), (B)) ce qui implique (AB) = supxA,yB

    d(x,y). Alors, si a A,b B et x A et y B, on a, par lingalit triangulaire, d(x,y) d(x,a) + d(a,b) + d(b,y), ce qui donne d(x,y) (A) + d(a,b) + (B), donc, (AB) d(a,b)+ (A)+ (B) do le rsultat.

    Dfinition II.2.3.Soit E un espace mtrique.

    1. On appelle boule ouverte (resp. boule ferme, sphre) de centre x et de rayon r lensemble B(x,r) ={y E t.q. d(y,x)< r} (resp. B(x,r) = {y E t.q. d(y,x) r}, S(x,r) = {y E t.q. d(y,x) = r} ;

    2. On dit quune partie O de E est ouverte si x O, il existe r > 0 tel que B(x,r) O.

    PROPOSITION II.2.4.Soit E un espace mtrique. SoitT lensemble des ouverts de E. Alors E muni deT est un espace topologique,les boules ouvertes forment une base pour la topologie de E et les boules ouvertes centres en un point x unebase de voisinages de x. On dit queT est la topologie dfinie par la distance de E.

    Dmonstration. En effet, il est clair quune runion densembles ouverts est ouverte et, si O1 et O2 sont deux ouverts, si xO1O2,et si B(x,r1) O1 et B(x,r2) O2, en posant r = min{r1,r2}, on a B(x,r) O1O2.

    Remarque II.2.3. 1. Les boules ouvertes centres en x et de rayons rationnels (en fait 1/n) forment aussi une base de voisinagesde x. Tout point admet donc une base dnombrable de voisinages.

    2. Un espace mtrique est spar (c.f. Dfinition II.1.4, page 8).3. Soit A une partie dun espace mtrique E . Pour r > 0, soit Vr(A) = {x E t.q. d(x,A)< r}. Alors Vr(A) est un voisinage de A

    mais lensemble des Vr(A), r > 0, ne forme pas, en gnral, une base de voisinages de A (voir toutefois Proposition II.8.16, page 35).Par exemple, dansR2, si on prend A = R= {(x,0), x R}, alors

    Vr(A) = {(x,y), x R, | y |< r},

    et le voisinage ouvert

    V = {(x,y), | y |

  • II.2. ESPACES MTRIQUES, DFINITION ET PREMIRES PROPRITS

    de A ne contient aucun Vr(A) ; de mme, si B = {1/n, n N}, pour tout r > 0, Vr(B) =

    nNB(1/n,r) ne contient pas le voisinage

    ouvert

    nNB(1/n,1/n) de B.

    4. Malgr les notations B(x,r) et B(x,r), il ne faut pas croire que B(x,r) est ladhrence de B(x,r). On a seulement linclusionB(x,r) B(x,r), et elle peut tre stricte, comme par exemple, en gnral, dans le cas dun espace ultramtrique (c.f. Exemple 8).

    Dfinition II.2.4.On dit quun espace topologique est mtrisable si sa topologie peut tre dfinie par une distance.

    Remarque II.2.4. Si d est un cart (Remarque II.2.1, page prcdente) sur un ensemble E , on peut dfinir des boules et dessphres de la mme manire que ci-dessus pour une distance, puis une topologie sur E , comme dans la Proposition prcdente,qui nest, priori, pas spare. On obtient ainsi un espace semi-mtrique que lon appelle, par abus de langage, un espacemtrique. Bien que nous ne considrerons pas, pour la thorie, de tels espaces dans ce chapitre, il peut arriver, dans les exempleset dans les chapitres qui suivent, que lon fasse appel cette notion.

    PROPOSITION II.2.5.

    Une boule ferme et une sphre sont des ensembles ferms. De plus, on a B(x,r) B(x,r), linclusion pouvanttre stricte (c.f. Exemple 7, Section II.3, page 13).

    Dmonstration. En effet, si y / B(x,r), cela signifie que d(x,y)> r, et, si on pose = d(x,y) r2

    , lingalit triangulaire montre que

    B(x,r)B(y,) = /0 ce qui montre que le complmentaire de B(x,r) est ouvert. La preuve pour la sphre est similaire.

    PROPOSITION II.2.6.Soit E un espace mtrique.

    1. Soit A une partie de E. Alors un point x de E est adhrent A si et seulement si d(x,A) = 0.2. Tout ferm est lintersection dune suite dcroissante densembles ouverts, et tout ouvert est runion

    dune suite croissante de ferms. Plus prcisment, si F est ferm on a

    F =

    nNV1/n(F) =

    r>0

    Vr(F)

    (c.f. le 3. de la Remarque II.2.3, page prcdente) .

    Dmonstration. Si x A alors toute boule ouverte de rayon strictement positif rencontre A ce qui montre que d(x,A) = 0 ; rcipro-quement, si d(x,A) = 0, pour tout r > 0, il existe y A tel que d(x,y) < r ce qui signifie que B(x,r)A 6= /0. La premire assertiondu 2. en rsulte, et la seconde sobtient par passage au complmentaire.

    PROPOSITION II.2.7.Pour quun espace mtrique E soit sparable, il faut et il suffit quil existe une base dnombrable pour satopologie.

    Dmonstration. La condition est clairement suffisante car si (On) est une telle base et si an On, n, alors {an} est clairementdense dans E. Inversement, supposons que E soit sparable et soit {an} un sous-ensemble dense dnombrable. Montrons que lafamille douverts {B(an,1/m)}nN,mN est une base pour la topologie de E. Pour cela il suffit de voir que tout boule B(x,r), r > 0,contient un lment B(an,1/m) de la famille tel que x B(an,1/m). Puisque {an} est dense dans E, pour tout p N, il existe nptel que anp B(x,r/p), . Alors, si p est assez grand, on peut trouver m tel que la boule B(anp ,1/m), avec 1/p < 1/m < r/2, rponde la question.

    Dfinition II.2.5.Soient E un ensemble et d1et d2 deux distances sur E .

    1. On dit que d1 et d2 sont topologiquement quivalentes si les topologies quelles dfinissent sur E sontles mmes.

    2. On dit que d1 et d2 sont quivalentes sil existe deux constantes c> 0 etC> 0 telles que cd1 d2Cd1.

    On notera que, clairement, deux distances quivalentes sont topologiquement quivalentes. Par contre la rciproque est engnral fausse.

    PROPOSITION II.2.8.Soient E un espace mtrique et E1 un sous-ensemble de E. Soit d1 la restriction E1E1 de la distance de E.Alors d1 est une distance sur E1et la topologie dfinie par d1 sur E1 est la topologie induite par celle de E. Onparle alors du sous-espace mtrique E1.

    Philippe Charpentier 11

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    La dmonstration de cette proposition est immdiate.

    Remarque II.2.5. Soient E un espace mtrique etR une relation dquivalence sur lensemble E. En gnral, lespace topolo-gique quotient E/R nest pas mtrisable (i.e. sa topologie nest pas dfinie par une distance).

    SECTION II.3

    Exemples

    1. La fonction (x,y)| x y | est une distance surR.

    Plus gnralement, la fonction (x,y)(

    n

    i=1

    (xi yi)2)1/2

    est une distance sur Rn appele la distance Euclidienne. Pour

    1 p< , (x,y)(

    n

    i=1| xi yi |p

    )1/pest aussi une distance surRn.

    Pour le voir, on utilise lingalit de Minkowski qui se dduit de celle de Hlder :

    Soient ai et bi 1 i n des nombres rels positifs, et deux rels p et q de [1,+[ vrifiant 1p +1q

    = 1. Alors on a (Ingalit de

    Hlder) :

    n

    i=1

    aibi (

    n

    i=1

    api

    )1/p( ni=1

    bqi

    )1/q. (II.3.1)

    En effet, la fonction x 7 xq tant convexe, on a(ni=1 cidi

    ni=1 ci

    )q

    ni=1 cid

    qi

    ni=1 ci, ce qui donne, puisque

    q1q

    =1p

    ,

    n

    i=1

    cidi (ci)1/p

    (n

    i=1

    cidqi

    )1/q,

    et, si on applique cette ingalit ci = api et di =

    bi

    ap/qi, on obtient (II.3.1).

    On en dduit alors aisment lingalit de Minkowski :(n

    i=1

    (ai + bi)p)1/p

    (

    n

    i=1

    api

    )1/p+

    (n

    i=1

    bpi

    )1/p. (II.3.2)

    En effet, si q est tel que1p

    +1q

    = 1, en crivantn

    i=1

    (ai + bi)p =n

    i=1

    (ai + bi)p1ai +n

    i=1

    (ai + bi)p1bi, (II.3.1) donne

    n

    i=1

    (ai + bi)p (

    n

    i=1

    (ai + bi)q(p1))1/q( n

    i=1api

    )1/p+

    (n

    i=1

    bpi

    )1/p ,do on dduit le rsultat en utilisant que q(p1) = p puis que 1 1

    q=

    1p

    .

    Plus gnralement encore, on note lp(C) (resp. lp(R) ) lensemble des suites (xn)nN de nombres complexes (resp. rels)telles que (

    n=0|xn|p

    )1/p

  • II.4. CONTINUIT DANS LES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MTRIQUES

    3. Soit A un ensemble et F =B(A;E) lensemble des fonctions bornes de A dans un espace mtrique E. Alors

    du( f ,g) = supxA

    d( f (x),g(x))

    dfinit sur F une distance presque quivalente la distance de la convergence uniforme sur A, dans le sens o elle estgale la distance de la convergence uniforme sur A sur toute partie de diamtre plus petit que 1 et quivalente la distancede la convergence uniforme sur A sur toute partie borne. On note cet espaceBu(A;E).

    4. Soient A un ensemble, E un espace mtrique etF (A;E) lensemble des fonctions de A dans E. SoitP = (An) une famillednombrable de parties de A telle que

    nN

    An = A. Pour chaque n, soit

    dn( f ,g) = supxAn{min(1,d( f (x),g(x))}

    la distance de la convergence uniforme sur An (ce nest pas ncessairement une distance surF (A;E), mais, priori, seule-ment un cart). Alors

    du( f ,g) = nN

    12n

    dn( f ,g)1 + dn( f ,g)

    est une distance sur F (A;E) appele la distance de la convergence uniforme sur les An. Une suite de fonctions convergepour cette distance si et seulement si elle converge uniformment sur chaque An.

    5. Soit I = [a,b] un segment deR et soit C 1(I;C) lensemble des fonctions continment drivables sur I. Alors

    d( f ,g) =| f (x0)g(x0) |+suptI| f (t)g(t) |,

    x0 I, est une distance sur I.6. Soit I = [a,b] un segment deR et E = C (I;C) lensemble des fonctions continues sur I. Alors d1( f ,g) =

    ba| f (t)g(t) | dt

    est une distance sur E ainsi que d2( f ,g) =( b

    a| f (t)g(t) |2 dt

    )1/2.

    7. Soit E un ensemble. Posons d(x,y) = 1 si x 6= y et d(x,x) = 0. Alors d est une distance sur E et lespace mtrique obtenu estappel un espace mtrique discret. On notera que, pour cet espace, on a {x}= B(x,1) = B(x,1) alors que B(x,1) = E.

    8. Soit p un nombre premier. Pour tout entier n> 0, soit vp(n) lexposant de p dans la dcomposition de n, en facteurs premiers.Clairement on a

    vp(nn) = vp(n)+ vp(n), n,n > 0. (II.3.3)Si x = r/s est un nombre rationnel non nul, r et s entiers > 0, on pose vp(x) = vp(r) vp(s), ce qui ne dpend pas de lareprsentation de x daprs (II.3.3). De mme, on voit que (II.3.3) est vraie pour des rationnels non nuls. On pose alors, pourx et y rationnels

    d(x,y) = pvp(xy) six 6= y,d(x,x) = 0.

    (II.3.4)

    Alors d(., .) est une distance surQ appele la distance p-adique. De plus elle vrifie lingalit

    d(x,z)max{d(x,y),d(y,z)}. (II.3.5)Les distances vrifiant lingalit (II.3.5) sont dites ultramtriques. Pour un espace ultramtrique toute boule est la foisouverte et ferme et ladhrence dune boule ouverte est donc diffrente, en gnral, de la boule ferme.

    SECTION II.4

    Continuit dans les espacestopologiques et mtriques

    SOUS-SECTION II.4.1

    Suites dans un espace mtrique

    Dfinition II.4.1.Soient E un espace mtrique et (xn) une suite dans E . On dit que la suite (xn) converge vers x E si, pourtout voisinage V de x, il existe un entier n0 tel que, pour n n0, on a xn V et on crit x = lim

    n xn.

    Philippe Charpentier 13

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    Remarque II.4.1. On peut naturellement donner une dfinition semblable dans un espace topologique quelconque. Mais lanotion ainsi dfinie na, en gnral, pas beaucoup dintrt.

    De la dfinition on dduit immdiatement les proprits suivantes :

    PROPOSITION II.4.1.Soit E un espace mtrique.

    1. Pour quune suite (xn) dans E converge vers x il faut et il suffit que, > 0, n0 N tel que n n0implique d(x,xn)< . Il revient au mme de dire que lim

    n d(x,xn) = 0.2. Soit (xn) une suite dans E. Si x = lim

    n xn alors pour toute suite (xnk ) extraite de la suite (xn) on ax = lim

    kxnk .

    Dfinition II.4.2.Soit (xn) une suite dans un espace mtrique E. On dit que x E est une valeur dadhrence de la suite (xn)sil existe une suite extraite (xnk ) telle que x = limk

    xnk . Lensemble des valeurs dadhrence de (xn) est parfois

    not V (xn).

    Si une suite (xn) converge vers x alors x est lunique valeur dadhrence de (xn). Mais la rciproque nest pas vraie ; par exemple,dansR la suite dfinie par x2n = 1, x2n+1 = n a 1 comme unique valeur dadhrence et ne converge pas.

    PROPOSITION II.4.2.Soit (xn) une suite dans un espace mtrique E. Soit x E. Les conditions suivantes sont quivalentes :

    1. x est valeur dadhrence de (xn) ;2. Pour tout voisinage V de x et tout entier m N, il existe un entier n m tel que xn V ;3. Pour tout > 0, et tout entier m N, il existe un entier n m tel que d(x,xn)< .

    Cette proposition est vidente.

    PROPOSITION II.4.3.Soient E un espace mtrique et A une partie de E. Soit a E. Les conditions suivantes sont quivalentes :

    1. a A ;2. a est valeur dadhrence dune suite de points de A ;3. a est limite dune suite de points de A.

    Dmonstration. Vrifions simplement que 1. implique 3. : par hypothse, pour tout n N, il existe an A tel que an B(a,1/n).Alors la suite (an) rpond la question.

    PROPOSITION II.4.4.Soit (xn) une suite dans espace mtrique E. Soit A = {xn, n N}. Si A est infini et si x est point daccumulationde A alors x est valeur dadhrence de la suite (xn).

    Dmonstration. En effet, ceci se voit en remarquant que, pour tout p N, il existe np N, aussi grand que lon veut tel qued(x,xnp )< 1/p.

    On remarquera que la rciproque de cette Proposition nest pas vraie en gnral : une valeur dadhrence dune suite nest pasncessairement un point daccumulation de lensemble des points de la suite comme la montre lexemple xn = (1)n.

    SOUS-SECTION II.4.2

    Fonctions continues

    Dfinition II.4.3.Soient E et E deux espaces topologiques et f une application de E dans E . On dit que f est continue enx0 E si, pour tout voisinage V de f (x0) dans E , il existe un voisinage V de x0 dans E tel que f (V )V . Deplus, on dit que f est continue si elle est continue en tout point de E.

    Il revient au mme de dire que, pour tout voisinage V de f (x0) dans E , f1(V ) est un voisinage de x0 dans E. Dans le cas desespaces mtriques, cette dfinition sexprime aisment en termes de distances et de suites :

    14Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • II.4. CONTINUIT DANS LES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MTRIQUES

    PROPOSITION II.4.5.Soient E et E deux espaces mtriques de distances respectives d et d et f une application de E dans E . Alorsles conditions suivantes sont quivalentes :

    1. f est continue en x0 E ;2. > 0, il existe > 0, tel que, d(x0,x)< implique d( f (x0), f (x))< ;3. Pour toute suite (xn) dans E qui converge vers x0, la suite ( f (xn)) converge vers f (x0) dans E .

    Dmonstration. Pour voir que 3. implique les deux autres proprits, on raisonne par labsurde et on contredit facilement, parexemple, le 2.

    La proprit suivante est importante et compltement gnrale :

    THORME II.4.1.Soient E et E deux espaces topologiques et f une fonction de E dans E . Les conditions suivantes sont quiva-lentes :

    1. f est continue ;2. Pour tout ouvert O de E , f1(O) est un ouvert de E ;3. Pour tout ferm F de E , f1(F ) est un ferm de E ;4. pour toute partie A de E f (A) f (A).

    Dmonstration. Comme un ensemble est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points (c.f. Dfinition II.1.3),lquivalence 1. 2. rsulte de la dfinition ; 2. 3. sobtient par passage au complmentaire ; 3. 4. en rsulte aussitt (carf1( f (A)) est un ferm contenant A) ; enfin 4. 3. car si F est ferm, et si F = f1(F ), alors f (F) F = F , donc F f1(F ) =F .

    PROPOSITION II.4.6.Soient E, E et E trois espaces topologiques, f : E E et g : E E . Si f est continue en x0 et si g estcontinue en f (x0) alors g f est continue en x0. En particulier, si f et g sont continues, g f lest aussi.

    Dmonstration. En effet, si W est un voisinage de g f (x0) alors (g f )1(W ) = f1(g1(W )) est un voisinage de x0 par hypothse.

    Si E est un espace topologique et si F E est un sous-espace de E, alors linjection i : F E est continue comme le montre ladfinition de la topologie induite (Dfinition II.1.4, page 9). On en dduit la proprit suivante :

    PROPOSITION II.4.7.Soient E et E deux espaces topologiques, f : E E une fonction continue en x0 et F un sous-espace de Econtenant x0. Alors la restriction f|F de f F est continue en x0.

    Naturellement, la restriction f|F dune application f : E E un sous-espace F peut tre continue sans que f soit elle mmecontinue aux points de F .

    PROPOSITION II.4.8.Soient E un espace mtrique et A et B deux parties non vides de E. Si A B = AB = /0, il existe deux ouvertsdisjoints U et V tels que AU et BV .

    Dmonstration. En effet, daprs la Proposition II.2.2, page 10, la fonction g(x) = d(x,A)d(x,B) est continue sur E, strictementngative sur A et strictement positive sur B. Il suffit donc de prendre U = g1(],0[) et V = g1(]0,+[).

    Dfinition II.4.4.Soient E et E deux espaces topologiques et f : E E . On dit que f est un homomorphisme si elle estbijective et si f et f1 sont toutes deux continues. De plus, dans ce cas, on dit que les espaces E et E sonthomomorphes.

    La proprit suivante rsulte des dfinitions :

    PROPOSITION II.4.9.Soient E un ensemble et d1 et d2 deux distances sur E. Soient E1 et E2 les espaces mtriques obtenus en munis-sant E des distances d1 et d2 respectivement. Alors les conditions suivantes sont quivalentes :

    1. Les distances d1 et d2 sont topologiquement quivalentes ;

    2. Lapplication identique est un homomorphisme de E1 sur E2 ;

    Philippe Charpentier 15

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    3. Pour tout espace topologique F et toute fonction f : E F , les proprits suivantes sont quivalentes :(a) f : E1 F est continue ;(b) f : E2 F est continue.

    On traduit cette Proposition en disant que deux distances sont topologiquement quivalentes si elle dfinissent les mmefonctions continues.

    La Proposition suivante est une consquence immdiate de la dfinition des topologies quotients :

    PROPOSITION II.4.10.

    Soient E un espace topologique etR une relation dquivalence sur lensemble E. Alors la surjection canoniquede E sur E/R est continue de lespace topologique E sur lespace topologique E/R.

    SOUS-SECTION II.4.3

    Continuit uniforme, isomtries

    Dfinition II.4.5.

    Soient E et E deux espaces mtriques. On dit quune fonction f : E E est uniformment continue si, > 0, il existe > 0 tel que d(x,y)< implique d( f (x), f (y))< .

    Limportant dans cette dfinition est que le ne dpend pas de x ni de y ; cest donc une proprit plus forte que la conti-nuit : toute fonction uniformment continue est continue, mais la rciproque est fausse. De plus, la continuit est une notiontopologique alors que la continuit uniforme est une notion mtrique.

    Exemple II.4.1. Si A est un sous-ensemble non vide dun espace mtrique E alors x d(x,A) est uniformment continue.

    En effet, ceci rsulte de la Proposition II.2.2, page 10.

    La proposition suivante est immdiate :

    PROPOSITION II.4.11.

    La compose de deux fonctions uniformment continues est uniformment continue.

    Dfinition II.4.6.

    Soient E1 et E2 deux espaces mtriques de distances respectives d1 et d2. On dit quune application f : E1E2 est une isomtrie si, x,y E, on a d( f (y), f (y)) = d(x,y). Dans ce cas, et si f est surjective, on dit queles espaces E1 et E2 sont isomtriques.

    Une isomtrie bijective est naturellement un homomorphisme uniformment continu ainsi que son inverse.

    La Proposition suivante est immdiate :

    PROPOSITION II.4.12.

    Soient E un ensemble et d1 et d2 deux distances sur E. Si ces distances sont quivalentes, pour tout espacemtrique F , toute fonction f : EF est uniformment continue pour d1 si et seulement elle est uniformmentcontinue pour d2.

    On traduit cette Proposition en disant que les fonctions uniformment continues sont les mme pour deux distances qui-valentes. On remarquera toutefois que la rciproque de cette proprit nest pas vraie : il se peut que, pour deux distances nonquivalentes les fonctions uniformments continues soient les mme (cest par exemple le cas si d1 est une distance non borneet que lon considre d2 = min{1,d1}). En fait ce qui compte ici est ce que lon appelle la structure uniforme de lespace mtrique.Pour avoir une ide sur cette notion, les plus courageux pouront consuter [Bou65] Chapitre 2.

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    Module LA1

  • II.4. CONTINUIT DANS LES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MTRIQUES

    SOUS-SECTION II.4.4

    Limites

    Dfinition II.4.7.Soient E et E deux espaces topologiques, A une partie de E , a A tel que V voisinage de a, V A\{a} 6= /0,et f une fonction de A dans E. On dit que f a une limite b E lorsque x tend vers a, x A\{a}, et on crit

    b = limxa,xA\{a}

    f (x),

    si la fonction g : A{a} E dfinie par g(x) = f (x), si x A\{a}, et, g(a) = b, est continue du sous-espacetopologique A{a} dans E .

    On notera que la condition V voisinage de a, V A \ {a} 6= /0 nest pas ncessaire pour formuler la dfinition, mais, si aest un point isol de A, la dfinition ne dit rien, et lunicit de la remarque ci-dessous nest plus vraie. Cette condition est doncsuppose satisfaite dans toute la suite.

    En termes de voisinages, cette dfinition se traduit comme suit :

    PROPOSITION II.4.13.tant donn deux espaces topologiques E et E , soient A E, a A, b E et f : E E . Alors

    b = limxa,xA\{a}

    f (x)

    si et seulement si, pour tout voisinage V de b dans E , il existe un voisinage V de a dans E tel que

    f ((V A)\{a})V .

    Remarque II.4.2. 1. Soient E et E des espaces topologiques, a E et f : E E . Pour que f soit continue en a, il faut et ilsuffit que

    f (a) = limxa,xE\{a}

    f (x).

    2. Si E est spar, f ne peut avoir quune seule limite lorsque x tend vers a A en restant dans A\{a}.3. On peut aussi dfinir lim

    xa,xAf (x) pour a A. Si a / A, cela ne change rien ; par contre si a A, lexistence de cette limite est

    quivalente la continuit en a de f .

    Le 2. de la remarque ci-dessus est clair en vertu de la Proposition prcdente et de la Dfinition II.1.4, page 8.Dans le cas des espaces mtriques, on peut exprimer cette dfinition avec la distance et les suites :

    PROPOSITION II.4.14.Soient E et E deux espaces mtriques de distances respectives d et d, A E, a A, b E et f : E E . Lesconditions suivantes sont quivalentes :

    1. b = limxa,xA\{a}

    f (x) ;

    2. Pour tout > 0, il existe > 0, tel que x A, x 6= a, d(x,a)< implique d( f (x), f (a))< ;3. Pour toute suite (xn) dlments de A\{a} telle que lim

    n xn = a, on a limn f (xn) = b.

    Dmonstration. 2. est la traduction de 1. en termes de boules. Lquivalence entre 3. et les deux autres proprits rsulte de laProposition II.4.5, page 15.

    Les proprits rsumes dans la proposition suivante sont toutes immdiates :

    PROPOSITION II.4.15.

    1. Si b = limxa,xA\{a}

    f (x), alors b f (A\{a}).2. Si f : E E est telle que b = lim

    xa,xA\{a}f (x) et si g : E E est continue alors

    g(b) = limxa,xA\{a}

    g f (x).

    3. Si b = limxa,xA\{a}

    f (x) et si B A, a B alors b = limxa,xB\{a}

    f (x).

    Philippe Charpentier 17

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    De la mme manire que lon a dfini les limites suprieures et infrieures de suites de nombres rels (Dfinition I.2.1, page 3),on peut dfinir les limites suprieures et infrieures dune fonction valeurs dans R :

    Dfinition II.4.8.

    Soient E un espace mtrique, f une fonction de E dans R, A E et a un point de E . On appelle limitesuprieure (resp. infrieure) de f lorsque x tend vers a en restant dans A le nombre

    limxa

    xA\{a}f (x) = inf

    r>0sup

    x(B(a,r)\{a})Af (x)

    (resp. limxa

    xA\{a}f (x) = sup

    r>0inf

    x(B(a,r)\{a})Af (x)).

    Naturellement, cette dfinition sinterprte aussitt en termes de suites :

    PROPOSITION II.4.16.

    Soient E un espace mtrique, f une fonction de E dans R, A E et a un point de E. Alorsb = lim

    xaxA\{a}

    f (x)

    (resp. b = limxa

    xA\{a}f (x)) si et seulement si :

    (a) Pour toute suite (xn) dlments de A\{a} qui converge vers a on alimn

    f (xn) b

    (resp. limn f (xn) b) ;

    (b) Il existe une suite (xn) dlments de A\{a} qui converge vers a telle quelimn

    f (xn) = b

    (resp. limn f (xn) = b).

    SECTION II.5

    Espaces connexes

    SOUS-SECTION II.5.1

    Connexit

    Dfinition II.5.1.On dit quun espace topologique E est connexe si on ne peut pas le mettre sous la forme E = O1O2 o O1et O2 sont deux ouverts disjoints non vides. Une partie A de E est dite connexe si lespace topologique (pourla topologie induite) A lest.

    On ferra attention au fait que, pour une partie, la connexit est une proporit de la topologie induite. Prcisment, si A nestpas connexe, cela signifie quil existe deux ouverts O1 et O2 de lespace E tels que AO1 6= /0, AO2 6= /0 et AO1O2 = /0, ce quinimplique pas O1O2 = /0.

    Exemple II.5.1. DansR,Q nest pas connexe (Q= (Q{x2})).On peut mme dire plus : les seules parties de Q qui sont connexes sont les parties rduites un point : Q est totalement

    discontinu (c.f. Dfinition II.5.3, page ci-contre).Par contre :

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    Module LA1

  • II.5. ESPACES CONNEXES

    PROPOSITION II.5.1.Les connexes deR sont les intervalles.

    Dmonstration. Soit A un connexe de R. Si A nest pas un intervalle, il existe trois points x, y et z dans R tels que x < z < y, x et ydans A et z dans le complmentaire de A. Ceci contredit la connexit de A puisque

    A],z[]z,+[.Vrifions maintenant que tout intervalle est connexe. Soit A un intervalle de R. Si A nest pas connexe, il existe deux ouverts Oi,i = 1,2, tels que AOi 6= /0 i = 1,2, et AO1 O2 = /0. Soit x un point de AO1. Par hypothse sur les Oi, on peut, par exemple,supposer quil existe y AO2, y> x. Soit alors

    = sup{z t.q. [x,z[ AO1.Alors [x, [ AO1 et < y. Clairement on ne peut avoir ni O1 ni O2 donc / A ce qui contredit le fait que A soit unintervalle.

    PROPOSITION II.5.2.Dans un espace topologique toute union dune famille de connexes dont lintersection est non vide est connexe.

    Dmonstration. Soit Ci, i I, une telle famille. SupposonsiI

    Ci = O1O2,

    Oi ouverts non vides deiI

    Ci disjoints. Comme chaque Ci est connexe, il est soit contenu dans O1 soit dans O2. Comme ils ont tous

    un point en commun, ils sont tous contenus soit dans O1 soit dans O2.

    PROPOSITION II.5.3.Soit A une partie connexe dun espace topologique E. Tout ensemble B tel que A B A est connexe.

    Dmonstration. En effet, supposons B = O1O2, les Oi tant des ouverts disjoints de B. Comme A est connexe, on doit avoir, parexemple, AO1 = /0. Ceci qui implique BO1 = /0 car si x BO1, O1 est un voisinage de x A donc O1A 6= /0.

    PROPOSITION II.5.4.Soient E1 et E2 deux espaces topologiques, f une application continue de E1 dans E2 et A une partie connexede E1. Alors f (A) est connexe.

    Dmonstration. Cest une consquence immdiate de la dfinition et du Thorme II.4.1, page 15.

    La Proposition suivante est souvent trs utile pour montrer quun espace est connexe :

    PROPOSITION II.5.5.Un espace topologique E est connexe si et seulement si toute application continue de E dans {0,1} estconstante.

    Dmonstration. Ceci est presque immdiat. La ncessit vient du fait que {0} et {1} sont la fois ouverts et ferms dans {0,1}, etla suffisance se voit de mme en raisonnant par labsurde.

    PROPOSITION II.5.6.Soit E un espace topologique. La relation xRy entre lments de E dfinie par il existe une partie connexede E qui contient x et y est une relation dquivalence. Les classes dquivalences pour cette relation sontappeles les composantes connexes de E. La classe dquivalence contenant un lment x de E est la runiondes connexes de E contenant x et sappelle la composante connexe de x. Lorsque lon parle des composantesconnexes dune partie A dun espace topologique E il sagit toujours (sauf mention expresse du contraire) descomposantes connexes de lespace topologique A muni de la topologie induite par celle de E.

    Dmonstration. Cette Proposition rsulte de la Proposition II.5.2.

    Dfinition II.5.2.Un espace topologique E est dit totalement discontinu si ses composantes connexes sont toutes rduites un seul point.

    Dfinition II.5.3.Un espace topologique est dit localement connexe si tout point admet une base de voisinages connexes.

    Philippe Charpentier 19

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    Exemple II.5.2. Rn est un espace mtrique localement connexe (en fait localement connexe par arc c.f. sous-section suivante).

    PROPOSITION II.5.7.Pour quun espace topologique soit localement connexe il faut et il suffit que les composantes connexes desouverts soient ouvertes. En particulier, dans un espace topologique localement connexe, tout point admet unebase de voisinages ouverts connexes.

    Dmonstration. La preuve de cette proprit est trs simple. En effet, si E est localement connexe, la conclusion rsulte de laProposition II.5.2 car, un point dune composante connexe dun ouvert possde un voisinage connexe contenu dans louvert et cevoisinage est donc contenu dans la composante. Rciproquement, si V est un voisinage ouvert dun point, la composante connexedu point dans V est un ouvert connexe contenu dans V .

    Remarque II.5.1. Il est clair que la connexit locale nimplique pas la connexit. De mme la connexit nimplique pas laconnexit locale. Par exemple, dansR2, lensemble constitu du segment [0,1] deR et de tous les segments {(x,y), y [0,1], xQ}est connexe (car il est connexe par arc c.f. sous-section suivante), mais les points qui ne sont pas sur R nont pas de voisinagesconnexes.

    Voici deux exemples classiques dutilisation de la connexit :

    PROPOSITION II.5.8.Tout ouvert deR est runion dnombrable dintervalles ouverts deux deux disjoints.

    Dmonstration. Soit O un ouvert de R. Comme R est localement connexe, les composantes connexes de O sont ouvertes, et,comme QO est dense dans O, les composantes connexes de O sont les composantes connexes des rationnels de O et formentdonc un ensemble dnombrable.

    PROPOSITION II.5.9 (Thorme de Darboux ).Soit f une fonction drivable de ]0,1[ dans R. Alors f (]0,1[) est un intervalle. En dautres termes, f vrifie lethorme des valeurs intermdiaires.

    Dmonstration. Soit

    A = {(x,y) R2 t.q. 0< x< y< 1}.A est clairement un connexe (vrification facile en utilisant par exemple la connexit par arcs vue a la sous-section suivante). Soitg la fonction dfinie sur A par

    g(x,y) =f (x) f (y)

    x y .

    Daprs le thorme des accroissements finis, pour (x,y) A, il existe c ]0,1[ tel que g(x,y) = f (c). On a donc g(A) f (]0,1[).Dautre part, si x ]0,1[, on a f (x) = lim

    yx g(x,y) ce qui entrane f(]0,1[) g(A). Le rsultat dcoule donc de la Proposition II.5.3 et

    de la Proposition II.5.1.

    SOUS-SECTION II.5.2

    Connexit par arcs

    Dfinition II.5.4.1. On dit quun espace topologique est connexe par arcs si, tant donns deux points x et y de E , il existe uneapplication continue f de [0,1] dans E telle que f (0) = x et f (1) = y. On dit quune partie de E est connexepar arcs si le sous-espace correspondant est connexe par arcs.

    2. On dit quun espace topologique est localement connexe par arcs si, tout point admet une base devoisinages connexes par arcs.

    PROPOSITION II.5.10.Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.

    Dmonstration. Supposons E = O1O2 o O1 et O2 sont deux ouverts non vides disjoints. Soit x O1 et y O2 ; par hypothse, ilexiste une fonction continue f de [0,1] dans E telle que f (0) = x et f (1) = y. Soit t = sup{s t.q. r [0,s[, f (r) O1}. On ne peutpas avoir t = 1 car f est continue ; on a donc t < 1. Dautre part, pour la mme raison, on ne peut avoir ni f (t) O1 ni f (t) O2 cequi est une contradiction.

    20Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • II.6. PRODUIT DESPACES TOPOLOGIQUES ET DESPACES MTRIQUES

    Remarque II.5.2. Comme il a t dit dans la remarque de la sous-section prcdente, la connexit par arc nimplique pas lalocale connexit.

    Exemple II.5.3. Soit A le graphe, dans R2 de la fonction x 7 sin(1/x), pour x ]0,1[. A est videment connexe par arcs, doncconnexe, et par suite (Proposition II.5.3), A est connexe. Or on voit facilement que A est la runion du graphe de la fonction et delintervalle [1,1] de laxe des ordonnes ; on constate alors que A nest pas connexe par arcs (le graphe natteint jamais laxe desordonnes).

    Cet exemple montre que la rciproque de la proposition ci-dessus est fausse.

    PROPOSITION II.5.11.Soient E et F deux espaces topologiques, A une partie connexe par arcs de E et f une application continue deE dans F . Alors f (A) est connexe par arcs.

    Cette proposition est immdiate.

    PROPOSITION II.5.12.Soit E un espace topologique. La relation xRy dfinie entre deux lments de E par il existe un chemincontinu dans E qui joint x y est une relation dquivalence. Les classes pour cette relation sont appeles lescomposantes connexes par arcs de E. La classe dquivalence contenant un lment x est appele la compo-sante connexe par arcs de x.

    Le fait que, dans cette Proposition,R soit une relation dquivalence se vrifie en utilisant linverse dun chemin continu (i.e.parcouru dans le sens inverse) et la juxtaposition de deux chemins.

    PROPOSITION II.5.13.Un ouvert deRn est connexe si et seulement si il est connexe par arcs.

    Dmonstration. En effet, soit O un ouvert connexe de Rn. Soit x0 un point de O, et soit U lensemble des points de O qui peuventtre joints par un chemin continu contenu dans O. Toute boule de Rn tant connexe par arcs, U est ouvert ; dautre part, si y U ,et si y O, alors, pour la mme raison y U . Ceci montre que U est la fois ouvert et ferm dans O ce qui termine la preuve.

    SECTION II.6

    Produit despaces topologiques etdespaces mtriques

    Dfinition II.6.1.

    Soit (Ei)iI une famille quelconque despaces topologiques et soit E = iI

    Ei le produit des ensembles Ei.

    Soit T la famille de parties de E dfinies comme tant les runions quelconques densembles de la formeiI

    Oi, o Oi est un ouvert de Ei et Oi = Ei sauf pour un nombre fini dindices i. Alors T est une topolo-

    gie sur E appele la topologie produit des topologies des Ei. E muni de cette topologie sappelle lespacetopologique produit des Ei et se note E =

    iIEi.

    En effet, la seule chose vrifier est que lintersection de deux ensemble de la forme iI

    Oi, o Oi est un ouvert de Ei et Oi = Ei

    sauf pour un nombre fini dindices i, est encore de la mme forme, ce qui est vident.Cette dfinition a pour consquence immdiate la description suivante des voisinages des points pour la topologie produit :

    PROPOSITION II.6.1.Soient Ei une famille despaces topologiques et E le produit de ceux-ci. Soit x = (xi) un point de E. Alors lesensembles de la formeV =

    iIVi oVi est voisinage de xi etVi = Ei sauf pour un nombre fini dindices i, forment

    une base de voisinage de x.

    Philippe Charpentier 21

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    Exemple II.6.1. Soient A un ensemble et E un espace topologique. Soit F (A;E) lensemble des applications de A dans E.Identifions F (A;E) avec EA (i.e. on identifie une fonction avec lensemble des valeurs quelle prend). Alors la topologie produitsur EA sappelle la topologie de la convergence simple surF (A;E). Lespace topologique ainsi obtenu se note parfoisFs(A;E).

    A titre dexercice, on pourra crire explicitement une base de voisinages dune fonction f pour cette topologie pour comprendreintuitivement cette terminologie.

    Remarque II.6.1. Si E = iI

    Ei est le produit des espaces topologiques Ei, on peut considrer les projections canoniques pi (i.e.

    pi((x j)) = xi). Alors, pi est continue de E dans Ei.

    Ceci est une consquence facile de la dfinition et du fait que, si W j = iI

    U ji avec Uj

    i = E j si i 6= j, U ii = Oi ouvert de Ei, alors

    W j = iI

    U ji = p1i (Oi).

    PROPOSITION II.6.2.Soient E lespace topologique produit dune famille despaces Ei, F un espace topologique et f une applicationde F dans E. Alors f est continue si et seulement si les applications pi f sont continues.

    Dmonstration. Ceci sobtient facilement par la remarque ci-dessus et le Thorme II.4.1, page 15.

    La topologie produit est en fait dfinie de sorte que cette proposition soit vraie (i.e. la topologie produit est la moins fine rendantcontinues les projections).

    PROPOSITION II.6.3.Soient E1 et E2 deux espaces mtriques de distances respectives d1 et d2. Alors, sur E1E2 les trois distances

    d(x,y) = max{d1(x1,y1),d2(x1,y2)},d(x,y) = d1(x1,y1)+ d2(x2,y2)

    et

    d(x,y) =

    (d1(x1,x2))2 +(d2(x2,y2))2

    sont quivalentes et dfinissent la topologie produit. E muni de lune de ces distances sappelle lespace m-trique produit de E1 et E2.

    Dmonstration. Le fait que ces distances sont quivalentes est trs simple. Vrifions que d dfinit la topologie produit. Soit x =(x1,x2) un point de E. Alors, pour d, la boule ouverte de centre x et de rayon r est le produit des boules ouvertes de centres xi etde rayon r dans chaque Ei. Toute runion de boules ouvertes pour d est donc un ouvert pour la topologie produit et la rciproquesobtient tout aussi immdiatement.

    Un produit infini despaces mtriques nest pas, en gnral un espace mtrique. Toutefois :

    PROPOSITION II.6.4.Un produit dnombrable despaces mtriques En, n N, est un espace mtrique dont la topologie est dfiniepar la distance d donne par la formule

    d(x,y) = nN

    12n

    dn(xn,yn)1 + dn(xn,yn)

    ,

    o dn dsigne la distance de En, x = (xn) et y = (yn).

    Dmonstration. Soit B(x,r) une boule ouverte pour d. Puisque la srie 1/2n est convergente, il existe n0 tel que, B(x,r) contiennentlensemble des y = (yn) tels que dn(xn,yn)< r/4 pour n n0. On dduit facilement le rsultat de cette remarque.

    La proprit suivante est immdiate :

    PROPOSITION II.6.5.Soient E = E1E2 un espace mtrique produit, F un espace mtrique et f une application de F dans E. Pourque f soit uniformment continue, il faut et il suffit que les fonctions pi f , i = 1,2 le soient.

    La description faite ci-dessus de la topologie produit montre que, la plupart du temps, pour vrifier une proprit sur un espaceproduit il suffit de la vrifier sur chacun des facteurs. La proposition suivante est une liste de telles proprits et la dmonstrationen est laisse au lecteur :

    22Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • II.7. ESPACES MTRIQUES COMPLETS

    PROPOSITION II.6.6.Soient E1 et E2 deux espaces mtriques et E leur produit.

    1. Pour quune suite zn = (xn,yn) soit convergente, il faut et il suffit que les suites (xn) et (yn) le soient.2. Pour que E soit un espace de lun des types suivants- born ;- sparable,- connexe,- localement connexe,il faut et il suffit que E1 et E2 soient tous deux du mme type.

    SECTION II.7

    Espaces mtriques complets

    SOUS-SECTION II.7.1

    Suites de Cauchy, espaces mtriquescomplets

    Dfinition II.7.1.

    Soit E un espace mtrique. On dit quune suite (xn) dans E est de Cauchy si > 0, il existe n0 N tel que,p,q n0 implique d(xp,xq)< .

    On notera que cette notion fait appel la distance de E : ce nest pas une notion topologique. Ainsi elle nest pas ncessaire-ment stable si on remplace la distance de E par une distance topologiquement quivalente (c.f. Exemple 3), mais elle lest si on laremplace par une distance quivalente.

    PROPOSITION II.7.1.Soit E un espace mtrique.

    1. Toute suite convergente dans E est de Cauchy.2. Si une suite de Cauchy dans E possde une valeur dadhrence alors elle est convergente.

    Dmonstration. Le 1. est vident, vrifions le 2. Soit (xn) de Cauchy et (xnk ) extraite telle que limkxnk = a. Soit > 0 ; il existe donc

    deux entiers n0 et k0 tels que p,q n0 et k k0 impliquent d(xp,xq) < et d(xnk ,a) < . Si m0 max{n0,nk0}, on a alors, pourn m0, d(xna)< 2 .

    Dfinition II.7.2.Un espace mtrique E est dit complet si toute suite de Cauchy de E est convergente.

    PROPOSITION II.7.2.Soit E un espace mtrique et F un sous-espace. Si F est complet, il est ferm dans E. Si E est complet, F estferm si et seulement si il est complet.

    Ceci est immdiat.

    La proposition suivante se montre directement partir des dfinitions (c.f. Proposition II.6.6, page 23) :

    PROPOSITION II.7.3.Soient E1 et E2 deux espaces mtriques. Alors lespace mtrique produit E1E2 est complet si et seulementsi les espaces E1 et E2 sont tous deux complets. De mme, un produit dnombrable despaces mtriques (c.f.Proposition II.6.4, page prcdente) est complet si et seulement si chaque facteur est complet.

    Philippe Charpentier 23

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    Dfinition II.7.3.Soient E et E deux espaces mtriques, A E , f : A E . On appelle oscillation de f dans A, et on note( f ;A), le diamtre de f (A) :

    ( f ;A) = ( f (A)).Soit a A. On appelle oscillation de f au point a par rapport A le nombre

    ( f ;a,A) = infV voisinage de a

    ( f (V A)).

    PROPOSITION II.7.4.Soient E et E deux espaces mtriques. On suppose que E est complet. Soient A E et a A. Pour que

    limxa,xA\{a}

    f (x)

    existe, il faut et il suffit que loscillation de f au point a par rapport A \ {a} soit nulle, et de mme pourlim

    xa,xAf (x) (c.f. Dfinition II.4.7).

    COROLLAIRE.Dans les conditions de la Proposition, pour que lim

    xa,xA\{a}f (x) existe, il faut et il suffit que, pour toute suite

    (xn)nN dlments de A, xn 6= a, qui converge vers a, la suite ( f (xn))nN soit de Cauchy dans E .

    Dmonstration. La condition est bien sr ncssaire. Pour voir quelle est suffisante, on raisonne par labsurde : si la limite nexistepas, il existe une suite (xn) dans A\{a} qui converge vers a telle que la suite ( f (xn)) ne converge pas. Comme E est complet celaimplique que ( f (xn)) nest pas de Cauchy.

    PROPOSITION II.7.5 (Proprit de Cantor ).Soit E un espace mtrique complet. Soit (Fn) une suite de sous-ensembles ferms non vides de E dcroissanteau sens de linclusion et telle que le diamtre de (Fn) vrifie

    limn (Fn) = 0.

    Alors lintersection des Fn est exactement un point.

    Dmonstration. En effet, pour tout n soit xn Fn. La dcroissance et la proprit sur le diamtre impliquent que la suite (xn) est deCauchy et donc converge vers x E puisque E est complet. Puisque

    n

    Fn Fm pour tout m, il en rsulte que son diamtre est nul,ce qui termine la preuve.

    Remarque II.7.1. ATTENTION : si (Fn)nN est une suite dcroissante de ferms dun espace mtrique complet dont le diamtrene tends pas vers zro, il se peut que lintersection des Fn soit vide : cest le cas par exemple de Fn = [n,+[ dansR. Cela peut aussise produire avec une suite dcroissante de ferms borns (c.f. Exemple 2, page 26).

    PROPOSITION II.7.6.Soit E un espace topologique. Les conditions suivantes sont quivalentes :

    (i) Toute intersection dnombrable douverts denses est dense.(ii) Toute runion dnombrable de ferms dintrieurs vides est dintrieur vide.(iii) Tout ensemble ouvert non vide est non maigre (Dfinition II.1.7, page 9).(iv) Le complmentaire dun ensemble maigre est dense.

    (v) Toute suite (Fn)nN de ferms vrifiant

    nNFn = E est telle que

    nN

    Fn est dense.

    Dmonstration. (i) et (ii) sont quivalents par passage au complmentaire, (ii) implique clairement (iii) qui implique tout aussifacilement (iv). Voyons que (iv) implique (v) : si

    x E \

    nN

    Fn,

    comme il existe n0 tel que x Fn0 , on a x Fr(Fn0 ). Comme Fr(Fn) est rare, la runion de ces ensembles est maigre, ce qui montre(v). Reste voir que (v) implique (i). Soit (Un)nN une suite douverts denses. Clairement lhypothse implique que E nest pasmaigre (sil est non vide) et, par suite, la runion des complmentaires des Un ne peut tre gale E cest--dire que lintersectiondes Un est non vide. Si on remarque que tout ouvert de E vrifie automatiquement la proprit (v) (en effet, si Fn, n 1, est unesuite de ferms dun ouvert O de E dont la runion des intrieurs (dans O) est dense dans O, on a Fn = Fn O, n 1, o Fn est

    24Licence de Mathmatiques Pures de Bordeaux

    Module LA1

  • II.7. ESPACES MTRIQUES COMPLETS

    un ferm de E, et, en posant F0 = E \O, on obtient une suite Fn, n 0, de ferms de E dont la runion des intrieurs (dans E) estdense dans E, ce qui implique que

    n1

    ( FmO

    )est dense dans O, do le rsultat), le raisonnement ci-dessus donne aussitt la conclusion.

    Les proprits introduites dans la Proposition prcdente se justifient par le Thorme essentiel suivant :

    THORME II.7.1 (Thorme de Baire ).Un espace mtrique complet vrifie les conditions quivalentes de la Proposition II.7.6 ci-dessus.

    Dmonstration. Dmontrons ce thorme sous la forme de lassertion sur les ferms. Soit donc (Fn)n1 une suite de ferms din-trieurs vides de E et montrons que le complmentaire de

    n

    Fn rencontre toute boule ouverte. Soit B0 une telle boule. Puisque

    E \F1 est dense et ouvert il contient une boule ouverte B1 de rayon < 1 dadhrence contenue dans B0. De mme E \ (F2), doncE \ (F1F2), contient une boule ouverte B2 de rayon< 1/2 dadhrence contenue dans B1. En recommenant de mme avec F3 etB2, et ainsi de suite, on construit une suite dcroissante de boules ouvertes Bn de rayons tendant vers zro et telles que Bn Bn1et

    Bn E \n

    i=1Fi.

    La Proposition II.7.5 montre que lintersection des Bn contient un point, qui, par construction, est dans le complmentaire de larunion des Fn, ce qui termine la preuve.

    Remarque II.7.2. Limportance de ce Thorme a entran lutilisation de nombreuses terminologies.1. Une intersection dnombrable douverts denses sappelle un G et une runion dnombrable de ferms dintrieurs vides

    un F . Un sous-ensemble maigre (Dfinition II.1.7, page 9) dun espace topologique est contenu dans un F .2. Un espace mtrique est dit de premire catgorie de Baire sil est runion dnombrable de sous-ensembles dont les adh-

    rences sont dintrieurs vides. Dans le cas contraire, il est dit de seconde catgorie de Baire. Le Thorme de Baire implique doncquun espace mtrique complet est de seconde catgorie de Baire.

    Ce Thorme a de nombreuses applications non videntes en analyse. Les deux Propositions suivantes en sont des exemplestrs classiques. La premire, que nous utiliserons au chapitre suivant, est parfois appele le principe de la borne uniforme et laseconde est connue sous le nom de Thorme de Sunyer et Balaguer (une autre application tout aussi classique est le rsultatde lexercice I page 94) :

    PROPOSITION II.7.7.Soient E un espace mtrique complet (ou un espace de Baire) et ( fi)iI une famille de fonctions continues deE dansR. Si

    x E, supiI

    fi(x)

  • CHAPITRE II. ESPACES MTRIQUES

    contenus dans O, et, daprs ce qui prcde il existerait une drive de f identiquement nulle sur ces deux intervalles ce quiimplique x0 O. Appliquons maintenant le Thorme de Baire F . Soit Fn = {x tels que f (n)(x) = 0}. Les Fn sont des ferms deF , et, par hypothse, F est runion des Fn. Le Thorme de Baire implique donc quil existe n0 tel que Fn0 est dintrieur non nul(dans F bien sr). En dautres termes, il existe > 0 et x0 Fn0 tel que f n0 est nulle sur H =]x0 ,x0 + [F .

    Remarquons maintenant que, en tout point y de H, on a f (n0+p)(y) = 0, pour tout entier p 0. En effet, comme F na pas depoints isols, y est limite dune suite infinie de points de H. En appliquant le Thorme de Rolle entre deux points de cette suite,on conclut quil existe une suite infinie de points qui converge vers y et sur lesquels f (n0+1) sannule. En rptant ce procd, parrcurrence, pour tout entier p 0, on produit une suite infinie qui converge vers y sur laquelle f (n0+p) sannule. Ceci prouve notreassertion par continuit.

    Comme ]x0,x0 +[\H est un ouvert, cest une runion dnombrable dintervalles douverts In =]an,bn[ deux deux disjoints(Proposition II.5.8, page 20). Pour chacun de ces intervalles In, il existe un entier mn tel que f (mn) est nulle sur In. Alors, en appliquantla formule de Taylor en an un ordre suffisament lev, on conclut que f est un polynme de degr n0 sur In. Il en rsulte que f (n0)

    est identiquement nulle sur ]x0 ,x0 + [ ce qui contredit le fait que x0 F et termine la preuve.C.Q.F.D.

    Il existe des espaces topologiques (non ncessairement mtriques (c.f. Proposition II.8.22, page 36)) qui vrifient les conclu-sions du Thorme de Baire. Ceci a amen introduire la terminologie suivante :

    Dfinition II.7.4.On dit quun espace topologique E est de Baire sil vrifie les conclusions du Thorme de Baire, cest--direles proprits quivalentes de la Proposition II.7.6.

    PROPOSITION II.7.9.Tout ouvert dun espace topologique de Baire est de Baire.

    Dmonstration. Supposons donc que O est un ouvert dun espace de Baire E, et soit (Un)nN une suite douverts denses de O. Alors

    les Un sont denses (dans E) dans O et si U = E \ O, Un = UnU est dense dans E. Par hypothse,

    nNUn =

    (nN

    Un

    )U est dense

    dans E ce qui implique que

    nNUn est dense dans O.

    SOUS-SECTION II.7.2

    Exemples despaces mtriques complets

    1. Rn muni de la distance euclidienne est un espace mtrique complet. En effet, cela rsulte facilement du fait queR est complet(Thorme I.1.3 page 2), car si on a une suite de Cauchy dansRn, les suites coordonne par coordonne sont de Cauchy dansR (Proposition II.7.3).

    2. Les espaces lp(C) et lp(R) (c.f. Exemple 1, page 12) sont des espaces mtriques complets. De plus, lespace c0(C) (resp. c0(R))form des suites de l(C) (resp. l(R)) qui tendent vers zro linfini est un sous-espace ferm donc un espace mtriquecomplet. Lespace l1(R) fournit un exemple trs simple dune suite dcroissante de sous-ensembles borns ferms dontlintersection est vide (alors quil est complet) : soit en llment de cet espace dont la i-ime coordonne vaut in (symbolede Kronecker qui signifie in = 1 si i = n et in = 0 sinon. Soit alors Fn = {e j, j n} ; il est clair que les Fn sont borns et queleur intersection est vide ; enfin ils sont ferms car Fn ne peut contenir aucune suite de Cauchy (infinie) puisque la distancede en em est gale 2 si n 6= m.

    3. SurRR, lapplication (x,y) 7 d(x,y) = 2pi| Arctg(x)Arctg(y) | est une distance qui dfinit la topologie usuelle deR (t 7

    2/piArctg(t) est un homomorphisme de R sur ] 1,1[. Toutefois R nest pas complet pour d : les suites (n) et (cotg(1/n))sont de Cauchy pour d mais ne convergent pas.

    4. Fu(A;E) Exemple 2, page 12, lensemble des applications dun ensemble A dans un espace mtrique complet E muni de ladistance de la convergence uniforme est complet. En effet, si ( fn) est une suite de Cauchy de fonctions pour la convergenceuniforme, alors, pour tout x A, ( fn(x)) est de Cauchy dans E et donc converge, et on conclut facilement.

    1. Bu(I;C) (Exemple 3, page 13) est un espace mtrique complet car une limite uniforme de fonctions bornes est borne et,si ( fn) est une suite de Cauchy de fonctions bornes pour la convergence uniforme, alors la limite est une fonction borne.Plus gnralement, lespaceBu(A,E) des fonctions bornes dun ensemble A dans un espace mtrique complet E muni dela mtrique de la convergence un