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École Nationale d'Ingénieurs de Tarbes

Enseignements Semestres 2/2* – année 2009-10

Deuxième partie

LES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE et les corps purs réels

Exercices

Premier principe

Exercice 1 : Questions à choix multiples

a) Un système isolé ne peut pas échanger de la matière avec le milieu extérieur, mais peut échanger de l’énergie : � vrai � faux b) La variation d’énergie interne d’un système ne dépend que de l’état initial et de l’état final et pas de la nature de la transformation : � vrai � faux c) Pour calculer la variation d’énergie interne d’un système, il faut nécessairement que son état ini-tial et son état final soient des états d’équilibre thermodynamique : � vrai � faux d) Lors d’une transformation isobare réversible, la quantité de chaleur échangée avec le milieu exté-rieur est égale à la variation d’enthalpie du système : � vrai � faux e) Lors d’une transformation isotherme réversible, la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur est nulle : � vrai � faux f) Lors d’une transformation adiabatique réversible, le travail échangé avec le milieu extérieur est nul : � vrai � faux g) Lors d’une transformation isotherme réversible la variation d’énergie interne d’un gaz parfait est toujours nulle : � vrai � faux

Exercice 2 : Applications directes (questions indépendantes)

a) Au cours d’une transformation d’un système fermé, l’énergie interne augmente de 60 kJ. Le système fournit au milieu extérieur un travail de 100 kJ. Quelle est la quantité de chaleur échan-gée par le système avec le milieu extérieur ? Dans quel sens le transfert thermique s’effectue-t-il ?

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b) Deux moles d’air considérées comme un gaz parfait (R = 8,31 J.mol-1.K-1) subissent une compression réversible de 0,5 à 5 bars à température constante de 50 °C. Quel est le travail reçu par l’air ? En déduire la quantité de chaleur échangée par l’air avec le milieu extérieur. Dans quel sens le transfert thermique s’effectue-t-il ?

Exercice 3 : Conversion d’énergie dans un système isolé (questions indépendantes)

a) Une auto de 636 kg roulant à 72 km.h-1 sur une route horizontale s'arrête brusquement à l'aide de deux freins à disques de 2,5 kg chacun et de capacité thermique massique 420 J.kg–1.K–1. Calculer l’élévation de température des freins en supposant que toute l'énergie cinétique du véhicule est entièrement absorbée par les disques. b) On considère une chute d’eau de hauteur h. En considérant que l’énergie cinétique acqui-se pendant la chute se dissipe intégralement en énergie interne dans les remous au bas de la chute, déterminer l’élévation de température d’un kilogramme d’eau pour une chute de 100 m (c = 4,18 kJ.kg-1.K-1 et g = 9,8 m.s-2).

Exercice 4 : Compression adiabatique d'un gaz parfait

Un récipient, fermé par un piston mobile, renferme m = 2 g d'hélium (gaz parfait monoato-mique avec γ = 1,66, de masse atomique de M = 4 g.mol-1 et de capacité thermique molaire à volu-me constant Cm,V = 12,5 J.mol-1.K-1) dans les conditions (P1, V1, T1). On opère une compression adiabatique réversible qui amène le gaz dans les conditions (P2, V2, T2). a) Sachant que P1 = 1 bar, V1 = 10 litres et P2 = 3 bars, déterminer successivement le volume final du gaz, le travail reçu par le gaz et la variation d'énergie interne du gaz. b) En déduire l'élévation de température ∆T du gaz.

Exercice 5 : Transformations réversibles d'un gaz parfait

Considérons les données suivantes : — 25 g de gaz parfait diatomique (γ = 1,4), — A et B sur une même isotherme, — B et C sur une même isobare, — B et D sur une même isochore, — A, C et D sur une même adiabatique.

a) Compléter les valeurs de (P,V,T) pour l'ensemble des points ABCD dans le tableau suivant :

GP A B C D P (Pa)

V (litres) T (K)

105 20 300

106

b) Calculer les différentes énergies (∆U, W, Q) échangées pendant l'ensemble des cinq trans-formations (1, 2, 3, 4, 5) correspondant aux chemins (AB, AC, AD, BC, BD) :

GP AB (1) AC (2) AD (3) BC (4) BD (5) ∆U (J) W (J) Q (J)

• ••

•

isotherme

adiabatiqueP

V

A

B C

D

!

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c) En déduire les valeurs des capacités thermiques massiques cv et cp et vérifier qu'il s'agit bien d'un gaz diatomique avec γ = 1,4. d) La suite de transformations ABDA forme un cycle, déterminez le travail échangé au cours de ce cycle. Est-ce un cycle moteur ou récepteur ?

e) Considérer la transformation définie par la droite AD dans le diagramme P (V). Quelle est la quantité de chaleur fournie au système au cours de cette transformation ?

Exercice 6 : Succession d’évolutions adiabatique et isotherme

Une mole de gaz parfait (R = 8,31 J.mol-1.K-1) diatomique (γ = 1,4) initialement à la tempéra-ture de 20 °C sous la pression de 1 bar, est comprimée de façon adiabatique et réversible jusqu’à une pression de 20 bars puis on ramène le gaz à la pression initiale de 1 bar par une détente iso-therme.

a) Représenter ces deux évolutions dans un diagramme P (V). b) Calculer la température en fin de compression. c) Calculer le travail total échangé par le gaz au cours de ces deux évolutions.

Exercice 7 : Cycle de Lenoir

Au cours des diverses transformations, nous supposons que le gaz, considéré comme parfait (R = 8,31 J.mol-1.K-1), décrit une suite continue d'états d'équilibres thermodynamiques internes (transformations réversibles). L’état initial d’une mole de ce gaz est caractérisé par P1 = 2.105 Pa et V1 = 14 litres. On fait subir successivement à ce gaz : — une détente isobare, qui double son volume, — une compression isotherme, qui le ramène à son volume initial, — un refroidissement isochore, qui le ramène à l’état initial (P1, T1). a) Déterminer la température à laquelle s’effectue la compression isotherme. En déduire la pression maximale atteinte. b) Représenter le cycle de transformation dans le diagramme P (V). Donner une représenta-tion graphique du travail échangé au cours de ce cycle et préciser en le justifiant si le système reçoit ou fournit ce travail. c) Calculer le travail et la quantité de chaleur échangés par le système au cours du cycle.

Exercice 8 : Compartiments à piston

On considère un cylindre horizontal fermé, dont les parois sont isolées (calorifugées), divisé en deux compartiments par un piston mobile sans frottement.

1. Dans un premier temps, le système est isolé. À l'état initial, on fixe le piston de manière à ce que les deux compartiments contiennent le même volume V0 = 2 litres d'air (gaz parfait, γ = 1,4) à la température T0 = 300 K (27 °C). Dans le compartiment de gauche, la pression est P0 = 1 bar et dans celui de droite, elle est de 2 P0.

On libère ensuite le piston mobile (on admet que le déplacement s'effectue de façon quasi-

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statique). À l'état final, lorsque l'équilibre est établi, il règne la même pression dans les deux com-partiments. a) Déterminer les volumes V1 et V2 de chaque compartiment à l'équilibre. b) Calculer la pression finale P1 de l'air en fonction de P0 et du rapport des capacités thermi-ques massiques de l'air γ. c) Calculer les températures finales T1 et T2 dans chacun des deux compartiments.

2. Dans un deuxième temps, le système n'est plus isolé. Cette fois, l'air du compartiment de gauche reçoit de la chaleur du milieu extérieur à l'aide d'une résistance chauffante, celui de droite reste isolé. À l'état initial, les deux compartiments contiennent le même volume V0 = 2 litres d'air à la température T0 = 300 K (27 °C) à la pression P0 = 1 bar. À l'état final, la pression d'équilibre est P1 = 3 P0.

a) Déterminer de nouveau les volumes V1 et V2 de chaque compartiment à l'équilibre. b) Calculer les températures finales T1 et T2 dans chacun des deux compartiments. c) Déterminer la variation d'énergie interne de l'air ∆U1 et ∆U2 dans chacun des deux com-partiments. En déduire l'énergie W fournie par la résistance chauffante.

Exercice 9 : Compresseur adiabatique – compresseur isotherme

Un compresseur prélève une mole d’air dans l’atmosphère à la pression P1 = 1 bar et à la température T1 = 300 K (état A), la comprime à la pression P2 = 10 bars (état B) puis la refoule à pression constante dans un ballon gonflable (état C) où la pression est toujours égale à P2. On sup-pose que l’air est un gaz parfait diatomique (γ = 1,4 et R = 8,31 J.mol-1.K-1), que les diverses trans-formations sont réversibles et que le piston peut coulisser sans frottement.

1. Considérons d'abord un compresseur adiabatique où l’étape de compression est effec-tuée de façon adiabatique. L’étape de refoulement isobare s’accompagne alors d’un refroidissement jusqu’à la température T1.

a) Représenter dans un diagramme P (V), le parcours ABC que subit cette mole d’air au cours de cette opération.

b) Calculer la température T2 en fin de compression et déterminer le travail total reçu par l’air au cours de cette double opération.

2. Considérons maintenant un compresseur isotherme où l’étape de compression est effec-tuée cette fois de manière isotherme, la température finale en C étant donc toujours égale à T1.

a) Représenter de nouveau, dans un diagramme P (V), le parcours ABC que subit cette mo-le d’air au cours de cette autre opération.

b) Déterminer le travail total reçu par l’air au cours de cette opération. c) En comparant les résultats obtenus entre les deux compresseurs, pour le même état ini-

tial et état final, en déduire quel type de compresseur est industriellement le plus intéressant. Sa-chant d’une part qu’un compresseur réel doit fonctionner rapidement et que qu’autre part toute

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transformation, pour être isotherme doit s’effectuer de manière très lente, que pouvez-vous conclure de cette étude ?

Exercice 10 : Compresseur à deux étages

Au cours des diverses transformations, nous supposons que l'air est un gaz parfait diatomique (R = 8,31 J.mol-1.K-1 et γ = 1,4) et qu'il décrit une suite continue d'états d'équilibres thermodynami-ques internes.

1. Compresseur mono-étagé : Un compresseur amène une mole d'air de l'état initial A (P1, T1) à l'état B (P2, T2) par une compression adiabatique (transformation AB). L'air est ensuite refroidi de manière isobare de la température T2 à la température T1 (transformation BC). a) Représenter, dans un diagramme P (V), les deux étapes de la transformation ABC que subit l'air au cours de cette compression. b) Établir l'expression de T2 en fonction de T1, P1, P2 et γ. Calculer la valeur de la températu-re T2 pour P2 = 10 P1 et T1 = 300 K. c) Établir l'expression du travail total WT échangé au cours de cette suite de transformations, en fonction de R, γ, T1 et T2. Calculer la valeur de ce travail WT.

d) Pour la suite, on pose T2 = a T1. En vous appuyant sur les réponses des questions précé-dentes, préciser l'expression de a et montrer que WT s’exprime alors comme :

WT = γ Rγ −1

T1 (a - 1)

2. Compresseur bi-étagé : La compression précédente est maintenant réalisée en deux éta-ges. Dans le premier étage, on comprime de manière adiabatique l'air de la pression P1 à la pression P’2 comprise entre P1 et P2 (transformation AB’). La température de l'air en fin de compression est T'2 = b T1. À la sortie du premier étage, l'air est refroidi de façon isobare jusqu'à la température T1 (transformation B’C’), puis introduit et comprimé de manière adiabatique de la pression P'2 à la pression finale P2 (transformation C’B’’). La température de l'air est alors T’’2 = c T1 en fin de com-pression. L'air est enfin ramené à la température initiale T1 par un refroidissement isobare (trans-formation B’’C). a) Représenter, dans un diagramme P (V), la transformation AB’C’B’’C que subit l'air au cours de cette compression dite bi-étagée. Comparer graphiquement les travaux WT et W’T mis en jeu, respectivement, lors des compressions mono-étagée et bi-étagée, faisant évoluer l'air de l'état (P1, T1) vers l'état (P2, T1) : qu’en concluez-vous ? b) Établir les nouvelles expressions de T’2 et de T’’2 en fonction de T1, P1, P2, P’1, P’2 et γ.. En déduire l’expression de c en fonction de a et de b.

c) Montrer alors que l'expression du travail total W’T échangé au cours de cette compression bi-étagée est :

W’T = γ Rγ −1

T1 (b + ab

- 2)

d) Montrer que, a étant fixé, il existe une valeur de b (c'est-à-dire une valeur P’2) pour la-quelle le travail W’T est minimum. Déterminer l’expression de b et le travail minimum W’m corres-pondant. e) Calculer W’m et la valeur P’2 de la pression correspondante pour γ = 1,4 ; P1 = 105 Pa ; P2 = 10 P1; T1 = 300 K.

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Second principe Exercice 11 : Questions à choix multiples

a) L’entropie est une forme d’énergie stockée dans le système : � vrai � faux b) Un système en équilibre possède nécessairement une entropie minimale : � vrai � faux c) L’entropie d’un système ne peut qu’augmenter : � vrai � faux d) La variation d’entropie d’un système entre deux états d’équilibre est identique que la transforma-tion soit réversible ou irréversible : � vrai � faux e) L’entropie d’échange d’un système isolé est toujours nulle : � vrai � faux f) Une transformation caractérisée par une entropie produite négative est : � irréversible � impossible spontanément � réversible � adiabatique

Exercice 12 : Applications directes (questions indépendantes)

a) Quelle est la variation d’entropie d’un litre d’eau (c = 4186 J.kg-1.K-1) se refroidissant de 60 °C à 20 °C ? b) Quelle est l’entropie d’échange d’un système recevant une quantité de chaleur Q = 10 kJ d’une source de chaleur à 50 °C ? c) Quelle est la création d’entropie d’un système dont la variation d’entropie est de 50 J.K-1 et l’entropie d’échange de 80 J.K-1 ? Cette transformation peut-elle se produire spontanément ? d) Une transformation caractérisée par une variation d’entropie du système de 20 J.K-1 et une entropie d’échange de 10 J.K-1 est-elle réversible ?

Exercice 13 : Masse d’eau en contact avec une source de chaleur constante

a) Une masse de 1 kg d’eau (c = 4180 J.kg-1.K-1) à 20 °C est mise en contact avec une source de chaleur à 80 °C. Déterminer, lorsque l’eau atteint 80 °C, la variation d’entropie de l’eau, l’entropie d’échange et la production d’entropie liée à cette transformation. b) La même masse d’eau de 1 kg est cette fois-ci mise en contact d’abord avec une source de chaleur à 50 °C puis, après avoir attendu l’équilibre thermique, avec une autre source de chaleur à 80 °C. Quelle est la production d’entropie liée à cette nouvelle transformation ? c) Expliquer le sens de l’écart entre les deux résultats précédents sachant que ces deux trans-formations ont le même état initial et le même état final. Imaginer comment pourrait-on chauffer cette eau de 20 °C à 80 °C en conservant l’entropie de l’univers à peu près constante.

Exercice 14 : Mélange de deux fluides identiques (questions indépendantes)

a) On mélange, sans fournir de chaleur et à pression constante, une masse m = 1 kg d’eau liquide (c = 4180 J.kg-1.K-1) à 25 °C avec une même masse d’eau liquide à 5 °C. Calculez la tempé-rature d’équilibre et la variation d’entropie du système. Montrez que la production d’entropie est positive et en déduire le type de transformation subi par le système. b) Un récipient est divisé en deux compartiments de même volume V = 10 L contenant cha-cun le même gaz parfait (R = 8,31 J.mol-1.K-1). L’ensemble est en équilibre thermique à la tempéra-ture T0 = 300 K. Dans le premier compartiment, la pression du gaz est P1 = 1 bar et dans le deuxiè-me compartiment, la pression est P2 = 2 bars. On supprime la séparation et l’on attend que le nouvel équilibre soit atteint. Déterminer la pression finale P3 du gaz et calculer la production d’entropie de cette transformation. En déduire le type de transformation subi par le système.

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Exercice 15 : Contact des deux corps à températures différentes

Deux masses égales m d’un même corps (capacité thermique c), initialement à deux tempé-ratures différentes T1 et T2 > T1, sont mises en contact. a) En supposant le système constitué par ces deux masses comme thermiquement isolé, montrer que ces deux masses atteignent une température finale TF dont on donnera l’expression littérale en fonction des données du problème. b) Déterminer la variation d’entropie ∆S de l’ensemble des deux masses en détaillant votre raisonnement (on demande la démonstration). En déduire l’expression littérale de la création d’entropie Sprod caractérisant cette transformation en fonction de T1, T2, m et c. c) Le signe de Sprod renseigne sur le sens d’évolution temporelle de la transformation. Indi-quer le type d’évolution temporelle associé respectivement aux trois cas suivants : Sprod > 0, Sprod < 0 et Sprod = 0. d) Déterminer les différentes conditions sur T1 et T2 conduisant à chacun des trois cas précé-dents. En déduire le type d’évolution temporelle effectivement attendu lors de la mise en contact des deux masses décrites plus haut. e) On suppose maintenant que les températures T1 et T2 sont très proches l’une de l’autre en notant T2 = T1 (1+ε). Exprimer alors Sprod en fonction de ε. En remarquant que si ε << 1 alors (1+ε)n ≈ 1 + nε, que peut-on conclure de l’évolution temporelle de cette dernière transformation ?

Exercice 16 : Prévision de l’état d’un mélange eau - glace

On place dans un récipient calorifugé, une masse m1 = 1 kg d’eau liquide à la température θ1 = 20 °C et une masse m2 = 0,5 kg de glace à la température θ2 = 0 °C. a) La pression étant maintenue constante, posez deux hypothèses réalistes sur l’évolution du systèmeet validez-les en déterminant la composition et la température à l’équilibre. b) Déterminer la variation d’entropie de la masse d’eau initialement à l’état liquide et celle de la glace initialement à l’état de glace. c) En déduire si la transformation est réversible ou non. On donne la capacité thermique massique de l’eau liquide c = 4,18 kJ.kg-1.K-1 et l’enthalpie de fusion de la glace Lf = 335 kJ.kg-1.

Gaz réels

Exercice 17 : Questions à choix multiples

a) Le modèle des gaz parfaits n’est plus valable approximativement pour une pression : � < 1 bar � < 5 bars � > 5 bars � > 50 bars b) Les nuages sont formés de vapeur d’eau : � vrai � faux c) Le domaine d’existence d’un équilibre liquide ↔ solide ↔ vapeur s’appelle : � le point critique � le point triple � le point de sublimation d) Il est possible de passer directement un corps d’une phase solide à une phase gazeuse sans passer par une phase liquide : � vrai � faux e) La quantité de chaleur échangée par un gaz réel lors d’une transformation isotherme est : � m (u2 – u1) � m T0 (s2 – s1) � m (h2 – h1)

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Exercice 18 : Applications directes de la table des variables thermodynamiques de l’eau

En utilisant la table de la vapeur d’eau, déterminer : a) le volume massique de la vapeur d’eau à 300 °C sous 1 bar. b) la pression de la vapeur d’eau de volume massique 0,05665 m3.kg-1 à 500 °C.

c) L’énergie interne massique de la vapeur d’eau à 200 °C sous 1 bar. d) L’enthalpie massique de la vapeur d’eau à 600 °C sous 100 bars.

e) L’entropie massique de la vapeur d’eau à 1200 °C sous 500 bars. f) La pression de la vapeur d’eau à 600 °C dont l’énergie interne massique est de 3288 kJ.kg-1.

Exercice 19 : Fuite de vapeur

On introduit 800 g de vapeur d’eau dans un cylindre de 23,8 litres surmonté d’un piston. a) Le cylindre est à une température de 450 °C. Déterminer, à l’aide des tables, la pression dans le cylindre. Comparer ce résultat à la pression calculée en considérant la vapeur d’eau comme un gaz parfait.

b) Grâce au piston, on porte la pression à 200 bars tout en maintenant la température cons-tante à 450 °C. Calculer le volume occupé par la vapeur d’eau.

c) Au moyen d’une soupape, on ramène alors la pression à 25 bars en maintenant à la fois la température et le volume constants. Déterminer la masse de vapeur d’eau qui s’échappe du cylindre.

Exercice 20 : Interpolations linéaires

a) Déterminer le volume massique de la vapeur d’eau à 435 °C sous 250 bars. b) Déterminer la pression de la vapeur d’eau de volume massique 1,50 m3.kg-1 à 250 °C. c) Déterminer la pression de la vapeur d’eau de volume massique 0,0273 m3.kg-1 à 400 °C. d) Déterminer la pression de la vapeur d’eau de volume massique 0,015 m3.kg-1 à 420 °C.

Exercice 21 : Transformations isothermes de la vapeur d’eau

1. Un cylindre muni d’un piston à un volume de 15 litres et contient 750 g de vapeur d’eau à une pression de 125 bars. a) Déterminer (grâce aux tables) la température à laquelle ces conditions sont réalisées. b) On désire ramener la pression de cette vapeur d’eau à une valeur de 26 bars, tout en main-tenant la température constante. Quel sera le volume occupé par la vapeur d’eau ? c) Évaluer l’erreur sur le volume (en %) que l’on ferait en utilisant le modèle des gaz par-faits.

2. Dans un réservoir, on comprime de façon isotherme de la vapeur d’eau à partir des condi-tions suivantes : V1 = 100 litres, P1 = 10 bars et θ1 = 250 °C. a) Quelle masse de vapeur y a-t-il dans le réservoir ? b) Quelle est la pression dans le réservoir lorsque le volume n’est plus que de 42 litres ?

Exercice 22 : Comparaison gaz réel – gaz parfait

Un réservoir fermé par une paroi mobile contient de la vapeur d’eau dans les conditions initia-les suivantes : P1 = 2 bars, θ1 = 500 °C et V1 = 100 litres. Cette vapeur d’eau subit alors une com-pression isotherme jusqu’à une pression de 200 bars.

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1. En considérant la vapeur d’eau comme un gaz réel, c’est-à-dire en utilisant les tables, dé-terminer approximativement (sans calcul d’interpolation) :

a) la masse m de vapeur contenue dans le réservoir, b) le volume V2 en fin de compression, c) le travail W12 et la quantité de chaleur Q12 échangés lors de cette compression.

2. Mêmes questions en considérant la vapeur d’eau comme un gaz parfait (M = 18 g.mol-1, R = 8,31 J.mol-1.K-1 et γ = 1,34), autrement dit déterminer :

a) la masse m de vapeur contenue dans le réservoir, b) le volume V2 en fin de compression, c) le travail W12 et la quantité de chaleur Q12 échangés lors de cette compression, d) les erreurs commises (en %) sur les valeurs du volume V2, du travail W12 et de la quantité

de chaleur Q12 en prenant l’hypothèse du gaz parfait.

Exercice 23 : Réservoir indéformable

Un réservoir indéformable de 70 litres contient de la vapeur d’eau à 350 °C sous 100 bars.

a) Déterminer, à l’aide des tables, la masse de vapeur d’eau contenue dans ce réservoir. b) La température de ce réservoir est maintenant portée à 800 °C. Calculer avec précision, la pression réelle de la vapeur d’eau dans le réservoir

c) Aborder les deux questions précédentes en assimilant la vapeur d’eau à un gaz parfait. Évaluer l’erreur (en %) que l’on fait sur la détermination de la pression finale (à 800 °C) et conclu-re. On rappelle que R = 8,31 J.mol-1.K-1 et M = 18 g.mol-1.

Exercice 24 : Transformations successives d’un gaz réel (vapeur d’eau)

On considère un récipient fermé par un piston contenant de la vapeur d’eau considérée comme un gaz réel. Au départ (état initial A), la vapeur d’eau est à une pression P1 = 4 bars, une température θ1 = 150 °C et occupe un volume V1 = 2 litres. Elle subit les trois transformations suc-cessives suivantes : — un chauffage (A1A2) à pression constante (4 bars) portant sa température à θ2 = 900 °C, — une compression (A2A3) à température constante (900 °C) portant sa pression à P3 = 25 bars, — un refroidissement (A3A4) à volume constant ramenant sa pression à P4 = 10 bars.

Déterminer, grâce aux tables thermodynamiques : a) La masse m de vapeur d’eau dans le récipient, b) Le volume V2 occupé par la vapeur d’eau à la fin du chauffage A1A2, c) Le volume V3 occupé par la vapeur d’eau à la fin de la compression A2A3, d) La température θ4 occupé par la vapeur d’eau à la fin du refroidissement A3A4. e) Rassembler les résultats obtenus dans un tableau récapitulatif et comparer-les à ceux ob-tenus, dans les mêmes conditions, pour l’exercice 9 (gaz parfaits – semestre 1/1*).

Exercice 25 : Énergies échangées au cours d’une transformation

1. Dans un cylindre de volume initial V1 = 100 litres, on refroidit de la vapeur d’eau depuis une température θ1 = 400 °C jusqu’à une température θ2 = 200 °C à pression constante de P0 = 5 bars. Déterminer le travail et la quantité de chaleur échangés au cours de cette transformation.

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2. Dans un réservoir (indéformable) de volume V0 = 50 litres, on chauffe de la vapeur d’eau à partir des conditions suivantes : P1 = 10 bars et θ1 = 250 °C. En fin d’opération, la pression est de P2 = 20 bars.

a) Quelle est la température de la vapeur en fin d’opération ? b) Quelle quantité de chaleur a-t-elle été nécessaire pour cette opération ?

Exercice 26 : Compressions d’un gaz réel

De la vapeur d’eau est contenue dans un cylindre de volume initial de 25 litres. La tempéra-ture et la pression initiales sont de 300 °C et de 1 bar. On comprime alors de façon réversible, cette vapeur jusqu’à une pression de 60 bars.

1. Dans un premier temps, on considère un cylindre dont les parois permettent les échanges de chaleur avec le milieu extérieur et que la compression s’effectue de façon isotherme (transforma-tion A1A2).

a) En utilisant la table de la vapeur d’eau, déterminer le volume occupé par la vapeur en fin de compression.

b) Calculer le travail reçu par la vapeur lors de cette transformation.

2. Dans un deuxième temps, on considère un cylindre parfaitement calorifugé. On comprime la vapeur d’eau depuis le même état initial (25 litres, 300 °C, 1 bar) jusqu’à la même pression finale (60 bars, transformation A1A3). a) Déterminer, grâce aux tables, le volume occupé par la vapeur en fin de compression ainsi que la température atteinte par la vapeur. b) Calculer le travail reçu par la vapeur lors de cette transformation. c) Comparer les travaux échangés lors de ces deux compressions. Équilibre liquide - vapeur

Exercice 27 : Questions à choix multiples

a) La pression de vapeur saturante est la pression minimale que peut présenter un gaz : � vrai � faux b) Lors d’une vaporisation isobare, la température reste toujours constante : � vrai � faux c) Lors d’une vaporisation isochore, la pression reste toujours constante : � vrai � faux d) Une vaporisation isotherme se fait sans variation d’énergie interne (∆U = 0) : � vrai � faux e) Le titre massique d’un mélange liquide + vapeur est le rapport de la masse de vapeur sur la mas-se de liquide du mélange : � vrai � faux f) L’enthalpie de vaporisation représente l’énergie qu’il faut fournir à un liquide saturant pour le vaporiser complètement : � vrai � faux

Exercice 28 : Applications directes en utilisant les tables thermodynamiques de l'eau

1. Déterminer : a) la pression de vapeur saturante de l'eau à 160 °C, b) les volumes massiques du liquide saturant et de la vapeur saturante à 160 °C, c) l’enthalpie massique de vaporisation à 160 °C, d) la température et la pression au point triple.

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2. Indiquer, en le justifiant (1 ligne) si l'eau, dans chacun des cas suivants, est à l'état de liquide comprimé, de vapeur surchauffée ou correspond à un équilibre liquide - vapeur. a) 60 °C / 0,15 bar b) 250 °C / 50 bars c) 4 bars / 100 °C d) 200 °C / 0,05 m3/kg e) 300 °C / 0,03 m3/kg f) 100 bars / 0,0013 m3/kg

3. Calculer le volume massique d'une masse d'eau ayant un titre en vapeur de 70 % à 200°C.

4. Calculer les masses et les volumes d'eau liquide et de vapeur d'eau (en équilibre) contenus dans un récipient de 0,4 m3 sachant que la masse totale d'eau est de 2 kg et que la pression est de 6 bars.

5. Calculer, grâce aux tables, la quantité de chaleur nécessaire pour vaporiser complètement à pres-sion constante 1,5 kg d’eau liquide saturé à 20 °C.

6. Un récipient indéformable, maintenu à une température de 120 °C, contient 50 g d’un mélange d’eau liquide et de vapeur d’eau avec un titre massique en vapeur de 25 %. On chauffe ce récipient jusqu’à 250 °C pour qu’il soit rempli uniquement de vapeur d’eau saturée. Calculer, toujours grâce aux tables, la quantité de chaleur fournie.

Exercice 29 : Condensation par refroidissement d’un gaz réel (questions indépendantes)

1. Un récipient à parois rigides de 10 litres contient 200 g d’eau à 350 °C. On refroidit ce récipient jusqu’à une température de 150 °C. a) Déterminer, grâce aux tables, la pression initiale P1 et la pression finale P2 dans le réci-pient. b) Déterminer la masse d’eau condensée (liquide) lors de cette transformation. c) Quelle est la quantité de chaleur échangée avec l’extérieur au cours du refroidissement.

2. Un cylindre, muni d’un piston mobile, de volume initial V1 = 12,9 litres, contient 500 g d’eau à une pression de 90 bars. On refroidit le cylindre à pression constante, jusqu’à obtenir un volume final V2 = 2 litres. a) Déterminer, grâce aux tables, la température initiale θ1 et la température finale θ2. b) Déterminer la masse d’eau condensée (liquide) lors de cette transformation. c) Quelle est la quantité de chaleur et le travail échangés avec l’extérieur au cours du refroi-dissement.

Exercice 30 : Vaporisation isobare – vaporisation isochore

Un récipient de 10 litres contient un mélange d’eau liquide et de vapeur d’eau de masse tota-le de 100 g. La pression est de 10 bars. En utilisant exclusivement les tables :

a) Déterminer la température ainsi que la masse de vapeur dans ce récipient. b) Dans une première expérience, on chauffe ce récipient à pression constante. — Quel est le volume du récipient lorsque disparaît la dernière goutte de liquide ? — Quelle quantité de chaleur a-t-on fourni au système ? — Quel travail a été échangé avec le milieu extérieur ? Est-il moteur ou récepteur ? c) Dans une deuxième expérience, on chauffe ce même récipient à volume constant. — Calculer la pression et la température dans le récipient lorsque disparaît la dernière goutte de liquide. — Quelle quantité de chaleur a-t-on fourni au système ? d) Comparer les énergies échangées au cours de ces deux expériences. Que pouvez-vous en conclure ?

. 12 .

Exercice 31 : Énergies échangées au cours d’une vaporisation (questions indépendantes)

a) Un cylindre muni d'un piston a un volume de 0,1 m3 et contient 0,5 kg d'eau à 4 bars. On fournit de la chaleur à l’eau du récipient jusqu'à ce que la température atteigne 300 °C, tout en maintenant la pression constante. Calculer, grâce aux tables, la quantité de chaleur transmise et le travail effectué au cours de la transformation. b) Un récipient indéformable ayant un volume de 5 m3 contient 0,05 m3 d'eau sous forme de liquide saturé et 4,95 m3 de vapeur d'eau saturée à 1 bar. On fournit de la chaleur jusqu'à ce que le récipient soit rempli de vapeur saturée. Calculer, grâce aux tables, la quantité de chaleur fournie au cours de cette transformation.

Exercice 32 : Histoire d’eau

Un cylindre muni d’un piston contient une masse m = 0,28 kg (280 g) d’eau à la température TA = 150 °C. Le volume initial du cylindre est VA = 0,025 m3 (25 litres). Cette eau effectue un cycle ABCDEA dont les transformations successives sont considérées comme réversibles. On complètera au fur et à mesure, à l’aide des tables thermodynamiques, les deux tableaux ainsi que le diagramme P (V) ci-dessous. Aucune interpolation n’est nécessaire pour cet exercice. Dans les calculs, on se limitera à 4 chiffres significatifs.

État A B C D E

Phase liq + vap. vap sat. vap surch. vap sat. liq + vap.

P (bars) V (litres) T (°C) U (kJ) H (kJ)

25 150

12,0

250

25

5

10

15

1005025 75 125

P (bar)

V (litres)

courbe de saturation

Énergie AB (1) BC (2) CD (3) DE (4) EA (5)

W (kJ) Q (kJ)

. 13 .

a) Montrer, grâce aux tables, qu’il s’agit au départ d’un équilibre liquide + vapeur. En dédui-re la pression PA dans le cylindre, le titre en vapeur xA, l’énergie interne UA et l’enthalpie HA du mé-lange. b) On augmente lentement le volume du récipient jusqu’à vaporisation complète de l’eau (détente isotherme AB). Déterminer par les tables, le volume VB à la fin de la vaporisation (point B) son énergie interne UB et son enthalpie HB. En déduire le travail W1 et la quantité de chaleur Q1 échangés avec l’extérieur pendant cette transformation. c) On comprime ensuite rapidement la vapeur jusqu’à une pression PC = 12 bars et une tem-pérature TC = 250 °C (compression adiabatique BC). Montrer, toujours grâce aux tables, que l’on a à faire à une vapeur surchauffée et déterminer le volume VC de la vapeur ainsi que son énergie in-terne UC et son enthalpie HC. En déduire le travail W2 associé à cette transformation. d) On refroidit ensuite le cylindre à pression constante jusqu’à apparition de la première goutte de liquide (compression isobare CD). Déterminer de nouveau, la température TD et le volume VD ainsi que UD et HD. En déduire le travail W3 et la quantité de chaleur Q3 au cours de la transfor-mation CD. e) On poursuit la compression isobare pour revenir au volume initial VE = 0,025 m3 (com-pression isobare DE) qui entraîne la condensation d’une partie de la vapeur. Déterminer le titre xE ainsi que l’énergie interne UE et l’enthalpie HE du mélange. En déduire le travail W4 et la quantité de chaleur Q4 échangés. f) On referme enfin le cycle en revenant au point de départ en refroidissant le cylindre à vo-lume constant (transformation isochore EA). Déterminer la quantité de chaleur Q5 échangée pendant cette opération.

g) Calculer enfin le travail total W et la quantité de chaleur totale Q échangés au cours du cycle ABCDEA. Ce cycle est-il moteur ou récepteur ?

Exercice 33 : Eau chaude – eau froide

Une enceinte calorifugée, dont une paroi est mobile (paroi sans masse, sans frottement et libre de ses mouvements) contient une masse d’eau m1 = 100 kg d’eau liquide à θ1 = 15 °C et P0 = 1, 013 bar. On souhaite produire de l’eau chaude en mélangeant cette eau froide à de la vapeur d’eau que l’on introduit à une température θ2 = 150 °C, sous une pression et P0 = 1, 013 bar. a) Décrire les différentes étapes de la transformation subie par la masse m1 d’eau initiale-ment sous forme liquide à 15 °C (préciser pour chaque étape, l’état physique et la température d’équilibre). Même question pour la masse m2 d’eau initialement sous forme de vapeur à 150 °C.

P0

Liq : m1, θ1

Vap : m2, θ2 Liq :

m1+m2,θe

P0

b) Déterminer la masse m2 de vapeur que l’on doit introduire dans cette enceinte pour obte-nir une masse totale d’eau liquide à 60 °C à l’équilibre thermodynamique à pression P0. c) Calculer la variation d’entropie ∆S1 de la masse d’eau m1 initialement sous forme liquide ainsi que la variation d’entropie ∆S2 de la masse d’eau m2 initialement sous forme vapeur.

. 14 .

d) En déduire la valeur de la création d’entropie Sprod et conclure sur le type d’évolution tem-porelle subie par ces deux masses d’eau.

Données : Capacité thermique massique de l’eau liquide : c = 4,18 kJ.kg-1.K-1 Capacité thermique massique de la vapeur d’eau à pression constante : cP = 1,87 kJ.kg-1.K-1 Enthalpie massique de vaporisation de l’eau : Lv = 2257 kJ.kg-1.

Réponses aux exercices Premier principe : 1. a) F, b) V, c) V, d) V, e) F, f) F, g) V ; 2. a) 160 kJ, reçu par le système, b) 12, 36 kJ, - 12,36 kJ perdu par l’air ; 3. ) 60 K, b) 0,23 K ; 4. a) 5,16 litres, 822 J, 822 J, b) 132 K ; 5. a) 2 litres, 106 Pa, 3,86 litres, 579 K, 2,5.106 Pa, 2 litres, 750 K, b) 4605 J, 4650 J, 7550 J, –1860 J, 6510 J, c) 933 J.kg-1.K-1, 666 J.kg-1.K-1, d) – 2,9 kJ (moteur), e) – 16 kJ ; 6. b) 690 K, c) 8,25 kJ, - 17,2 kJ, - 9 kJ ; 7. a) 674 K, 4.105 Pa, b) W > 0, c) 1082 J, – 1082 J ; 8. 1.a) 1,52 litre et 2,48 litres, b) 1,47 bar, c) 334 K et 274 K, 2. a) 3,09 litres, b) 1390 K et 409 K, c) 1817 J, 182 J et 2 kJ; 9. 1. b) 306 °C, 8115 J, 2. b) 5740 J ; 10. 1. b) 570 K, c) 8114 J, 2. a) W’T < WT, c) c = a/b, d) b = a1/2, e) 6800 J, 3,2 bars.

Deuxième principe : 11. a) F, b) V, c) F, d) V, e) V, f) impossible spontanément ; 12. a) – 536 J.K-1, b) + 31 J.K-1, c) – 30 J.K-1, non, d) non ; 13. a) 779 J.K-1, 711 J.K-1, 68 J.K-1 > 0, b) 778,7 J.K-1, 743,5 J.K-1, 35,2 J.K-

1 > 0 c) transformation très lente ; 14. a) 15 °C, 5 J.K-1 > 0 irréversible, b) 1,5 bar, 6,9 J.K-1 > 0, irréversible ; 15. c) irréversible, impossible spontanément, réversible, d) (T2-T1)2 > 0 : toujours vrai, (T2-T1)2 < 0 : jamais vérifié, T2=T1 : pas le cas donc irréversible, e) réversible, 16. a) 0,25 kg glace, 1,25 kg eau, 0°C, b) 308 J.K-1, c) 11 J.K-1 > 0.

Gaz réels : 17. a) > 5 bars, b) F, c) point triple, d) V, e) V, f) m T0 (s2 – s1) ; 18. a) 2,639 m3.kg-1, b) 60 bars, c) 2658,1 kJ.kg-1, d) 3625,3 kJ.kg-1, e) 7,3083 kJ.kg-1.K-1, f) 25 bars ; 19. a) 100 bars, 112 bars (GP), b) 10,2 litres, c) 722 g ; 20. a) 0,008393 m3.kg-1, b) 1,75 bar, c) 97,5 bars, d) 163,7 bars ; 21. 1. a) 400 °C, b) 86,9 litres, c) 17 %, 2. a) 0,43 kg, b) 22,8 bars, c) 23,8 bars ; 22. 1.a) 56,1 g, b) 0,83 litre, c) 92,4 kJ et - 102,9 kJ, 2. a) 56,04 g, b) 1 litre, c) 92 kJ et - 92 kJ, d) 20 %, 0,4 %, 10,6 % ; 23. a) 3,12 kg, b) 214 bars, c) 2,43 kg, 172 bars, 20 % ; 24. a) 4,25 g, b) 5,75 litres, c) 0,92 litres, d) 218 °C ; 25. 1. 15,6 kJ, – 67,5 kJ, 2. a) 740 °C, b) 180 kJ ; 26. 1. a) 0,34 litre, b) 10,3 kJ ; 2. a) 1073 °C, 0,98 litre, b) 13 kJ.

Équilibre liquide-vapeur : 27. a) F, b) V, c) F, d) F, e) F, f) V; 28. 1. a) 6,178 bars, b) 0,001102 m3.kg-1, 0,3071 m3.kg-1, c) 2082,6 kJ.kg-1, d) 611 Pa ; 2. a) VS, b) LC, c) LC, d) L+V, e) VS, f) LC, 3. 0,0895 m3.kg-1, 4. 0,7356 kg, 1,2644 kg, 0,0008 m3, 0,3992 m3, 5. 3680 kJ, 6. 79,6 kJ ; 29. 1. a) 51,2 bars, 4,76 bars, b) 175 g, c) – 386,7 kJ ; 2. a) 350 °C, b) 432,5 g, c) – 703,6 kJ, 98,1 kJ ; 30. a) 179,9 °C, 51 g, b) 19,4 litres, 98,7 kJ, -9,4 kJ, c) 19,93 bars, 212,2 °C, 90,9 kJ ; 31. a) 771 kJ, b) 105 MJ ; 32. a) 4,758 bars, 22,5 %, 298,3 kJ, 310,2 kJ, b) 110 litres, 716,7 kJ, 769,0 kJ, - 40,4 kJ, 458,8 kJ, c) 53,8 litres, 757,2 kJ, 821,8 kJ, 40,5 kJ, 0 kJ, d) 188 °C, 45,7 litres, 724,9 kJ, 779,7 kJ, 9,7 kJ, - 42,1 kJ, e) 54,3 %, 495,6 kJ, 525,6 kJ, 24,8 kJ, - 254,1 kJ, f) – 197,3 kJ, g) 34,5 kJ, - 34,5 kJ, récepteur ; 33. a) m1 : Liq (15°C) Liq (60°C) ; m2 : Vap (150°C) Vap (100°C) Liq (100°C) Liq (60°C), b) 7,47 g, c) 60,7 kJ.K-1 et – 50,5 kJ.K-1, d) 10,2 kJ.K-1, irréversible.

Examen de thermodynamique : 1. 5,4 bars, 4150 J, 0 J ; 2. a) 1,28 kg, - 1796 J, b) -978 kJ, 978 kJ, c) 45,5 %, 61,8 % ; 3. b) 7,47 kg, c) 60,7 kJ.kg-1, - 50,5 kJ.kg-1, d) 10,2 kJ.K-1, irréversible ; 4. a) liquide comprimé, vapeur surchauffée, équilibre liquide – vapeur, 82,1 %, 1,64 kg vap, 0,36 kg liq, c) 5200 kJ, - 412 kJ, d) 201 kJ.

. 15 .

École Nationale d'Ingénieurs de Tarbes Année scolaire 2007-2008

EXAMEN DE THERMODYNAMIQUE Thermo 2 – Semestre S2

Samedi 17 mai 2008 - 2 heures - Barème indicatif Documents autorisés : tables de variables thermodynamiques de l’eau

Exercice 1 : Gaz parfait (1,5 points)

Un gaz parfait diatomique (γ = 1,4) subit une compression adiabatique réversible d’un état d’équilibre initial, défini par une pression de 1,5 bars et un volume de 25 litres, à un état d’équilibre final où le volume est de 10 litres. Déterminez le travail et la quantité de chaleur échangée par le gaz avec le milieu extérieur au cours de cette transformation.

Exercice 2 : Comparaison gaz réel – gaz parfait (3,5 points)

Un réservoir fermé par une paroi mobile contient de la vapeur d’eau dans les conditions initia-les suivantes : P1 = 500 bars, θ1 = 500 °C et V1 = 5 litres. Cette vapeur d’eau subit alors une détente isotherme réversible à 500 °C jusqu’à P2 = 10 bars.

a) En considérant la vapeur d’eau comme un gaz réel, c’est-à-dire en utilisant les tables, dé-terminez le travail W12 et la quantité de chaleur Q12 échangés lors de cette détente.

b) En considérant cette fois-ci la vapeur d’eau comme un gaz parfait (M = 18 g.mol-1 et R = 8,31 J.mol-1.K-1), calculez le travail W’12 et la quantité de chaleur Q’12 échangés lors de cette transformation.

c) Déterminez les erreurs commises (en %) sur la valeur du travail W12 et sur celle de la quan-tité de chaleur Q12 lorsque l’on prend l’hypothèse du gaz parfait.

Exercice 3 : Production d’eau chaude (6 points)

Une enceinte calorifugée, dont une paroi est mobile (paroi sans masse, sans frottement et libre de ses mouvements) contient une masse d’eau m1 = 100 kg d’eau liquide à θ1 = 15 °C et P0 = 1, 013 bar. On souhaite produire de l’eau chaude en mélangeant cette eau froide à de la vapeur d’eau que l’on introduit à une température θ2 = 150 °C, sous une pression P0 = 1, 013 bar.

P0

Liq : m1, θ1

Vap : m2, θ2 Liq :

m1+m2,θe

P0

a) Décrivez, sous forme schématique, les différentes étapes de la transformation subie par la

masse m1 d’eau initialement sous forme liquide à 15 °C (préciser pour chaque étape, l’état physique et la température d’équilibre). Même question pour la masse m2 d’eau initialement sous forme de vapeur à 150 °C.

b) Déterminez la masse m2 de vapeur que l’on doit introduire dans cette enceinte pour obtenir une masse totale d’eau liquide à 60 °C, à l’équilibre thermodynamique à pression P0.

. 16 .

c) Calculez la variation d’entropie ∆S1 de la masse d’eau m1 initialement sous forme liquide ainsi que la variation d’entropie ∆S2 de la masse d’eau m2 initialement sous forme vapeur.

d) En déduire la valeur de la création d’entropie Sprod. La valeur et le signe de l’entropie pro-duite renseignent sur le sens d’évolution temporelle de la transformation.

— Indiquez le type d’évolution associé respectivement aux trois cas suivants : Sprod > 0, Sprod < 0 et Sprod = 0

— Conclure sur le type d’évolution temporelle subie par ces deux masses d’eau.

Données : Capacité thermique massique de l’eau liquide : c = 4,18 kJ.kg-1.K-1 Capacité thermique massique de la vapeur d’eau à pression constante : cp = 1,87 kJ.kg-1.K-1 Enthalpie massique de vaporisation de l’eau à 100 °C : Lv = 2257 kJ/kg

Exercice 4 : Histoire d’eau… (9 points)

Répondre en utilisant EXCLUSIVEMENT les tables de variables thermodynamiques de l’eau (Tables de la vapeur d’eau surchauffée, du liquide comprimé et de l’équilibre vapeur d’eau saturée – eau liquide saturée)

On considère un récipient contenant une masse m = 2 kg d’eau à la température θ1 = 60 °C et P1 = 50 bars (état A). Cette eau subit successivement les transformations réversibles suivantes :

— un chauffage à pression constante jusqu’à θ2 = 280 °C, (état B) ; — une compression à température constante θ2 jusqu’à un volume V3 = 50 litres (état C).

a) En vous aidant des tables de variables thermodynamiques de l’eau, précisez, en le justi-fiant, les états physiques de l’eau (nature des phases : liquide comprimé, vapeur surchauffée ou mélange liquide – vapeur à l’équilibre) aux différents points A, B et C. Si un de ces états corres-pond à un mélange, donnez la pression de vapeur saturante correspondante et déterminez la compo-sition du mélange, c’est-à-dire le titre en vapeur ainsi que les masses de liquide et de vapeur à l’équilibre.

b) Tracez l’allure des transformations AB et BC, dans deux diagrammes P (T) et P (V) en po-sitionnant les points A, B et C par rapport à la courbe de vaporisation et la courbe de saturation.

c) Calculez la quantité de chaleur reçue par l’eau au cours de la phase de chauffage. Quelle quantité de travail est échangée au cours de cette évolution ?

d) Calculez la quantité de travail fournie au système lors de la phase de compression.

Bon courage