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http://xmaths.free.fr TS Lois de probabilité à densité page 1 / 12 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Remarque Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre X dans l'intervalle I = ]0 ; 10]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles. Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère l'intervalle I = ]0 ; 10] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre dans cet intervalle. 1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude : ]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10] On considère l'univers que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit la probabilité uniforme sur . On a = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et chaque éventualité de a une probabilité de 1 10 . On choisit de façon aléatoire un nombre X dans . Justifier que la probabilité de l'événement « X est inférieur ou égal à π », notée p(X £ π), est égale à 3 10 . 2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude : ]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10] On considère l'univers = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; ? ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur . On choisit de façon aléatoire un nombre X dans . Déterminer p(X £ π). 3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(X £ π) ? Conjecturer les valeurs de p(X £ 4) ; p(X > 1) ; p(1 < X £ 4) ; p(u < X £ v) avec u I ; v I et u < v . 5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 1 10 . a) Tracer la courbe (C) représentant la fonction f. b) Déterminer l'aire A 1 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = 1 et x = 4. c) Déterminer l'aire A 2 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = u et x = v ; u et v sont deux réels de I tels que u £ v . Exercice 02 (voir réponses et correction) 1°) Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre 0 et 10. 2°) Avec une boucle répétant 100 000 fois l'action précédente, évaluer la fréquence avec laquelle on a X £ π . 3°) Modifier l'algorithme de façon à évaluer, en fonction de deux réels u et v de I, la fréquence avec laquelle on a : u < X £ v . 4°) Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice 1 ? Remarques Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une infinité de points ayant chacun une longueur nulle. L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une infinité de segments ayant chacun une aire nulle. De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale. Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de densité de la loi probabilité.

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LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

Remarque

Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre X dans l'intervalle I = ]0 ; 10]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles.

Exercice 01 (voir réponses et correction)

On considère l'intervalle I = ]0 ; 10] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre dans cet intervalle. 1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude : ]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10] On considère l'univers Ω que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit

la probabilité uniforme sur Ω.

On a Ω = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 et chaque éventualité de Ω a une probabilité de 110

.

On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.

Justifier que la probabilité de l'événement « X est inférieur ou égal à π », notée p(X £ π), est égale à 310

.

2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude : ]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10] On considère l'univers Ω = 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; ? ; 9,8 ; 9,9 ; 10 et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer p(X £ π). 3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis

en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(X £ π) ? Conjecturer les valeurs de p(X £ 4) ; p(X > 1) ; p(1 < X £ 4) ; p(u < X £ v) avec u ∈ I ; v ∈ I et u < v .

5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 110

.

a) Tracer la courbe (C) représentant la fonction f. b) Déterminer l'aire A1 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites

d'équations x = 1 et x = 4. c) Déterminer l'aire A2 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites

d'équations x = u et x = v ; où u et v sont deux réels de I tels que u £ v .

Exercice 02 (voir réponses et correction)

1°) Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre 0 et 10. 2°) Avec une boucle répétant 100 000 fois l'action précédente, évaluer la fréquence avec laquelle on a X £ π . 3°) Modifier l'algorithme de façon à évaluer, en fonction de deux réels u et v de I, la fréquence avec laquelle

on a : u < X £ v . 4°) Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice 1 ?

Remarques

Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une infinité de points ayant chacun une longueur nulle.

L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une infinité de segments ayant chacun une aire nulle.

De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale.

Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de densité de la loi probabilité.

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Définition

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b]. On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b] tels que u £ v

on a p(u £ X £ v) = ⌠⌡u

v

1b - a

dt

c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,

de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v0 £ y £ f(x)

La fonction f définie sur [a ; b] par f(t) = 1b - a

est appelée fonction

de densité de la loi uniforme sur [a ; b].

Remarques

Dans le cas d'une loi uniforme, l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v0 £ y £ f(x)

est un

rectangle et on a de façon évidente p(u £ X £ v) = (v - u) x 1b - a

= v - ub - a

.

La valeur 1b - a

a été choisie de telle façon que p(a £ X £ b) = 1 .

On pourra utiliser la notation p(u £ X £ v) = p([u ; v]). On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) . Il est parfois utile que la fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] soit définie sur IR.

Dans ce cas, on prendra f(t) = 1b - a

pour t ∈ [a ; b] et f(t) = 0 pour t ∉ [a ; b].

Exercice 03 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [-1 ; 1].

Déterminer : p(X £ 0,3) ; p

- 1

2 £ X £ 1

2 ; p(X > 0,3) ; p

X ∈

1

4 ; 3

4[] ; p

X ∉

1

6 ; 1

2

Exercice 04 (voir réponses et correction)

On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1]. Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit un 3 ? Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit pair ?

Exercice 05 (voir réponses et correction)

On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1]. Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,6 quelle est la probabilité pour qu'il soit inférieur à 0,95 ? Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,963 quelle est la probabilité pour que dans l'écriture décimale de α, le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3 ?

Exercice 06 (voir réponses et correction)

On considère l'intervalle I = ]0 ; 10]. 1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude : ]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10] On considère l'univers Ω = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude : ]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10] On considère l'univers Ω = 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; ? ; 9,8 ; 9,9 ; 10 et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis

en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de E(X).

5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 110

. Calculer ⌠⌡0

10 t f(t) dt .

1

b - a

b u v a

M

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Définition

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b].

Soit f une fonction définie, positive et continue sur [a ; b] telle que ⌠⌡a

b f(t) dt = 1 .

On dit que X suit une loi de fonction de densité f sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b]

tels que u £ v on a p(u £ X £ v) = ⌠⌡u

v

f(t) dt

c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,

de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v0 £ y £ f(x)

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X

le nombre réel E(X) = ⌠⌡a

b t x f(t) dt

Remarques

On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) . Il est parfois utile que la fonction de densité soit définie sur IR. Dans ce cas, on prendra f(t) = 0 pour t ∉ [a ; b].

Propriété (voir démonstration 01)

Si X suit la loi uniforme sur [a ; b] alors son espérance mathématique est E(X) = a + b2

.

Exercice 07 (voir réponses et correction)

On veut modéliser le choix d'un nombre réel dans [0 ; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(t) = λt où λ est un réel fixé. 1°) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera.

2°) Donner la probabilité que le nombre choisi soit dans l'intervalle

0 ; 1

2.

3°) Donner la probabilité que le nombre choisi soit supérieur ou égal à 0,85.

Exercice 08 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X prend ses valeurs dans [1 ; 4]. On veut modéliser la situation en utilisant une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [1 ; 4] par f(x) = λx2 où λ est un réel fixé. 1°) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera. 2°) Déterminer les probabilité suivantes : p(2 < X < 3) ; p(X < 2) ; p(X > 3,95). 3°) Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une valeur approchée à 10-3 près.

Remarque

Si une variable aléatoire prend ses valeurs dans un intervalle non borné, par exemple [0 ; +∞[, on ne peut pas utiliser une loi uniforme, mais on pourra néanmoins utiliser une loi à densité.

Exercice 09 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e kt ; k et λ étant deux réels non nuls.

1°) Soit b un réel positif. Calculer ⌠⌡0

b f(t) dt .

2°) a) Démontrer que si k > 0 la limite de ⌠⌡0

b f(t) dt lorsque b tend vers +∞ est infinie.

b) Si k < 0, déterminer, en fonction de k et λ, la limite de ⌠⌡0

b f(t) dt lorsque b tend vers +∞.

Déterminer k en fonction de λ pour que cette limite soit égale à 1. Donner alors l'expression de f(t) en fonction de t et λ et vérifier que f est positive.

b u v a

M

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Remarque

La fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e -λt (avec λ > 0) est

une fonction positive, strictement décroissante, telle que

t→+∞lim f(t) = 0.

Sa représentation graphique a l'allure ci-contre :

On a

b→+∞lim ⌠⌡

0

b f(x) dx = 1 .

Définition

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'intervalle [0 ; +∞[. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) lorsque pour tout u ∈ [0 ; +∞[ et tout v ∈ [0 ; +∞[ tels que u £ v

on a p(u £ X £ v) = ⌠⌡u

v

λ e -λt dt

c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,

de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v0 £ y £ f(x)

La fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e -λt est appelée

fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ.

Remarque

p([u ; v]) = ⌠⌡u

v

λ e -λt dt = - e

-λt v

u = e

-λu - e -λv .

Exercice 10 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans [0 ; +∞[ suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,1 . Calculer p(1 £ X £ 2) ; p(X £ 5) ; p(X > 5) ; p(X ³ 10). On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à 10-3 près.

Exercice 11 (voir réponses et correction)

On considère sur [0 ; +∞[ la loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). Pour t ∈ [0 ; +∞[ justifier que p([t ; +∞[) = 1 - p([0 ; t]) . En déduire, en fonction de t, la valeur de p([t ; +∞[). Soit s un réel positif. Calculer la probabilité conditionnelle p

[t ; +∞[([t+s ; +∞[).

Vérifier que cette probabilité ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([s ; +∞[). Justifier que p

[t ; +∞[([t ; t+s]) ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([0 ; s]).

Propriété (voir démonstration 02)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). Soient s et t deux réels positifs. On a p(X ³ t)(X ³ t+s) = p(X ³ s).

Ce que l'on peut aussi écrire p[t ; +∞[

([t+s ; +∞[) = p([s ; +∞[).

Remarque

Les lois exponentielles sont utilisées pour des phénomènes de durée de vie sans usure ou sans vieillissement. Par exemple lorsqu'on considère un composant électronique très fiable comme une DEL (diode électroluminescente), on peut considérer que ce composant ne s'use pas. Sa durée de vie à un moment donné est toujours la même et ne dépend pas du temps pendant lequel il a déjà fonctionné. Sa "mort" n'est pas due à l'usure mais à un événement autre (chute de l'appareil, surtension?). Si on note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie du composant électronique, p(X ³ t)(X ³ t+s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t+s sachant qu'elle est supérieure à t

et p(X ³ s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à s. Autrement dit : si la DEL a fonctionné jusqu'à l'instant t, la probabilité qu'elle fonction encore au-delà de l'instant t+s, c'est-à-dire qu'elle fonctionne encore au moins s unités de temps supplémentaires est égale à la probabilité qu'elle fonctionne au moins s unités de temps à partir de l'instant 0.

λ

u v

M

λ

O

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Remarque

Pour une loi exponentielle, on a aussi p[t ; +∞[

([t ; t+s]) = p([0 ; s]) .

Si X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d'un composant électronique, cette égalité s'interprète de la façon suivante : sachant que le composant est encore en vie à l'instant t, la probabilité qu'il meurt dans les s unités de temps qui suivent est égale à la probabilité qu'il meurt dans les s unités de temps à partir de l'instant 0. Ce qui revient à dire qu'à tout instant t, la probabilité que le composant meurt dans les s unités de temps qui suivent est la même.

Exercice 12 (voir réponses et correction) L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à 1,54 x 10-10. C'est-à-dire que la désintégration de l'uranium 238 suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,54 x 10-10 . Calculer la probabilité p([0 ; 10]) qu'un noyau d'uranium 238 se désintègre en moins de 10 ans et en donner une valeur approchée. Calculer p([0 ; 1010]) ; p([109 ; 1010]) et en donner des valeurs approchées. Interpréter ces résultats. Pour quelles valeurs de t a-t-on p([0 ; t]) ³ 0,99 ? Interpréter le résultat.

Exercice 13 (voir réponses et correction)

Une substance radioactive perd naturellement sa radioactivité par désintégration. Cette désintégration suit une loi exponentielle dont le paramètre λ dépend de la substance. On appelle demi-vie de la substance radioactive, le temps T au bout duquel la substance a perdu la moitié de sa radioactivité. Le nombre T est donc celui pour lequel p([0 ; T]) = 0,5 . 1°) Exprimer T en fonction de λ. 2°) L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à 1,54 x 10-10. Justifier que sa demi-vie est environ égale à 4,5 milliards d'années. 3°) L'iode 131 utilisé dans des traitements médicaux a une demi-vie de 8 jours. a) Déterminer le paramètre λ correspondant à la loi exponentielle de la désintégration de l'iode 131. b) Après combien de temps l'iode 131 a-t-il perdu 75% de sa radioactivité ? 99% de sa radioactivité ?

Définition - Propriété (voir démonstration 03)

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance mathématique est définie par :

E(X) =

x→+∞lim

⌠⌡0

x t f(t) dt où f est la fonction de densité, c'est-à-dire f(t) = λ e

-λt . On a : E(X) = 1λ .

Exercice 14 (voir réponses et correction)

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc? Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident.

On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre = 182

.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième. 1°) Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit : a) comprise entre 50 et 100 km ; b) supérieure à 300 km. 2°) Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en

subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ? 3°) La distance moyenne parcourue sans incident correspond à l'espérance mathématique de D. Calculer cette distance moyenne.

Exercice 15 (voir réponses et correction)

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en

années d’un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre = 0,125 .

1°) Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 2°) Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie

supérieure à dix ans ? 3°) On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le

responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

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Remarque ( voir animation )

On considère une variable aléatoire Xn suivant la loi binomiale B(n ; p).

On sait que son espérance mathématique est E = n x p et que son écart-type est σ = n x p x (1 - p) Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi binomiale, on obtient pour toutes les valeurs de n et de p une forme dite "en cloche", mais ce graphique dépend des valeurs de n et de p. Afin de standardiser la courbe en vue d'étendre les résultats à une infinité de valeurs en utilisant une fonction de densité, on peut commencer par centrer la variable (la courbe en cloche semble symétrique). Pour cela on considère la variable aléatoire : Yn = Xn - n x p .

D'après les propriétés connues, cette variable aléatoire Yn aura alors une espérance mathématique égale

à 0 et un écart-type identique à celui de la variable aléatoire Xn.

Puis afin de standardiser les écarts possibles de la variable aléaloire, on la divisera par l'écart-type σ.

On obtient alors la variable aléatoire Zn = Xn - n x p

n x p x (1 - p)

.

D'après les propriétés connues, la variable aléatoire Zn aura alors une espérance mathématique égale

à 0 et un écart-type égal à 1. On dit que Zn est la variable aléatoire centrée réduite associée à Xn.

Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi de probabilité de Zn on obtient une forme en cloche qui

reste très stable lorsqu'on fait varier les valeurs de n et de p. Lorsqu'on superpose à ce graphique la courbe de la fonction f définie sur IR

par f(x) = 1

2π e

- 12 x2

, ( voir animation )

on remarque, lorsque n est suffisamment grand, une coïncidence quasi-parfaite. Cette fonction fut trouvée par le mathématicien Abraham de MOIVRE (1667-1754)

Théorème de Moivre Laplace (admis)

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).

Soit Zn la variable aléatoire définie par Zn = Xn - n x p

n x p x (1 - p)

.

Pour tout u ∈ IR et tout v ∈ IR tels que u £ v ,

la probabilité p(Zn ∈ [u ; v]) tend vers ⌠⌡u

v

1

2π e

- 12 t2

dt , lorsque n tend vers +∞ .

Page 7: exo probabilité

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Exercice 16 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 1

2π e

- 12 x2

1°) Déterminer les limites de f en +∞ et en -∞. Étudier le sens de variation de f et donner son tableau de variations. Tracer la courbe de f.

2°) En utilisant GeoGebra, conjecturer les valeurs de

a→-∞lim ⌠⌡

a

0 f(x) dx et

b→+∞lim ⌠⌡

0

b f(x) dx .

(On ne cherchera pas à calculer ces intégrales)

Définition

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans IR. On dit que X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) lorsque pour tout u ∈ IR et tout v ∈ IR tels que u £ v ,

on a p(u £ X £ v) = ⌠⌡u

v

1

2π e

- 12 t2

dt

c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,

de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v0 £ y £ f(x)

La fonction f définie sur IR par f(t) = 1

2π e

- 12 t2

est appelée

fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).

Remarques

On ne peut pas, à partir des fonctions déjà connues, trouver de primitive de la fonction de densité de la

loi normale centrée réduite N(0 ; 1), c'est-à-dire de la fonction f définie sur IR par f(t) = 1

2π e

- 12 t2

.

La fonction de densité de la loi normale centrée réduite a une courbe symétrique par rapport à (Oy), et

par conséquent si x est un nombre réel positif, on a ⌠⌡-x

0 1

2π e

- 12 t2

dt = ⌠⌡0

x 1

2π e

- 12 t2

dt .

Définition

Si une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans IR suit une loi de fonction de densité f, alors son

espérance mathématique est définie par : E(X) =

x→-∞lim ⌠⌡

x

0 t f(t) dt +

x→+∞lim

⌠⌡0

x t f(t) dt .

Sa variance V(X) est définie par V(X) = E[(X - E(X))2] et son écart-type est défini par σ(X) = V(X) .

Propriété (voir démonstration 04)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). On a E(X) = 0 ; V(X) = 1 et par conséquent σ(X) = 1.

Remarque

Lorsqu'on parle de la loi normale centrée réduite, le mot "centrée" signifie que l'espérance mathématique est égale à 0 et cela correspond au premier paramètre de la notation N(0 ; 1), le mot "réduite" signifie que la variance est égale à 1 et cela correspond au deuxième paramètre de la notation N(0 ; 1).

Exercice 17 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). On donne dans le tableau suivant des valeurs approchées de p(X < x) pour certaines valeurs de x.

x -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 p(X < x) 0,159 0,227 0,309 0,401 0,500 0,599 0,691 0,773 0,841

En utilisant ce tableau, déterminer : p(X £ 0,5) ; p(X ³ -0,75) ; p(-1 < X < 0,5) .

u v

M

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Remarques

Si X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). La fonction qui à un réel x associe F(x) = p(X < x) s'appelle fonction de répartition de la loi de probabilité. On peut déterminer une valeur approchée de p(X < x) en utilisant une calculatrice ou un tableur. Par exemple pour trouver la valeur de p(X < 2,67)

Avec une calculatrice Casio, on pourra utiliser la touche OPTN puis PROB et l'expression P(2.67)

Avec une calculatrice TI, on pourra utiliser le menu distrib ou DISTR et l'expression normalFRép(-1000,2.67) ou normalcdf(-1000,2.67)

On peut remplacer la valeur -1000, par tout autre valeur négative assez importante. L'erreur commise est négligeable par rapport à l'imprécision du résultat donné par la calculatrice.

Avec un tableur on pourra utiliser l'expression

=LOI.NORMALE.STANDARD(2,67)

Exercice 18 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). 1°) Utiliser la calculatrice ou le tableur pour compléter le tableau suivant (valeurs approchées au millième) :

x 0 0,33 0,67 1 1,33 1,67 2 2,33 2,67 p(X < x) 0,500 0,996

2°) En utilisant le tableau de la question précédente, déterminer : p(1 £ X < 2) ; p(0 £ X £ 0,67) ; p(-0,33 £ X £ 0,33) ; p(-1 £ X £ 2,67) .

Exercice 19 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). Pour tout réel x on note F(x) = p(X < x). (F s'appelle la fonction de répartition de la loi de probabilité). Justifier que pour tous réels u et v tels que u < v, on a : p(u £ X < v) = F(v) - F(u). En déduire, en utilisant la calculatrice ou le tableur, les valeurs suivantes : p(1,21 £ X < 2,35) ; p(-2,54 < X < 1,45) ; p(-1,96 < X < 1,96) ; p(-2,58 < X < 2,58) .

Propriété (voir démonstration 05)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). Soit α ∈ ]0 ; 1[ ; il existe un unique réel positif uα tel que

p(-uα £ X £ uα) = 1 - α

Remarque

La propriété ci-dessus signifie aussi que la probabilité que la variable aléatoire X prenne ses valeurs en dehors de l'intervalle [-uα ; uα] est égale à α.

En prenant des valeurs de α petites on peut ainsi donner un intervalle dans lequel X se trouve avec une probabilité proche de 1.

Exercice 20 (voir réponses et correction)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). En utilisant des tableaux de valeurs faits avec une calculatrice ou avec un tableur, déterminer une valeur approchée du réel positif uα pour lequel p(-uα £ X £ uα) = 1 - α pour les valeurs suivantes de α :

α = 0,3 ; α = 0,1 ; α = 0,05 ; α = 0,01 ; α = 0,001

uα -uα

1 - α

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Propriété (admise)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). On a u0,05 ≈ 1,96 et u0,01 ≈ 2,58 .

C'est-à-dire que p(-1,96 £ X £ 1,96) ≈ 0,95 et p(-2,58 £ X £ 2,58) ≈ 0,99 .

Remarque

Statistiquement cela signifie que 95% des réalisations de X se trouvent dans l'intervalle [-1,96 ; 1,96] et 99% des réalisations de X se trouvent dans l'intervalle [-2,58 ; 2,58].

Définition

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans IR. Soit µ un réel et σ un réel positif.

On dit que X suit la loi normale N(µ ; σ2) lorsque la variable aléatoire Z = X - µσ

suit la loi normale centrée

réduite N(0 ; 1).

Remarques ( voir animation )

Si X suit la loi normale N(µ ; σ2), alors µ est l'espérance mathématique de X σ est l'écart-type de X. Graphiquement l'espérance mathématique µ correspond à

l'axe de symétrie de la courbe de la fonction de densité et l'écart-type σ mesure la "concentration" de la loi de densité autour de son espérance mathématique.

Exercice 21 (voir réponses et correction)

Pour une variable aléatoire Z suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1), on donne le tableau ci-dessous :

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 p(Z < x) 0,500 0,599 0,691 0,773 0,841 0,894 0,933 0,960 0,977 0,988 0,994 0,997 0,999

Une variable aléatoire X suit la loi normale N(1 ; 4). Justifier, en utilisant le tableau précédent, que p(2 < X < 5) ≈ 0,286 . Déterminer p(3,5 < X < 6,5) .

Exercice 22 (voir réponses et correction)

1°) Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Vérifier en utilisant une calculatrice ou un tableur que p(0 < Z < 1) ≈ 0,341 . Déterminer en utilisant une calculatrice ou un tableur les valeurs de p(-2 < Z < 4) et p(-1 < Z < 2) . 2°) Une entreprise fabrique des vis. On considère la variable aléatoire L correspondant à la longueur d'une

vis en millimètres. On admet que L suit une loi normale N(150 ; 0,25). a) Justifier que la probabilité que la longueur d'une vis soit comprise entre 149 et 152 millimètres est

égale à p(-2 < Z < 4). Donner la valeur de cette probabilité. b) Lorsqu'une vis a une longueur comprise entre 149,5 et 151 millimètres elle est acceptée. Lorsqu'une vis a une longueur comprise entre 151 et 153 millimètres elle est rectifiée. Dans tous les autres cas, la vis est rejetée. Déterminer la probabilité qu'une vis soit acceptée, qu'elle soit rectifiée, qu'elle soit rejetée. (On donnera les résultats au millième près)

Exercice 23 (voir réponses et correction)

Une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ ; σ2), dont la fonction de densité est représentée ci-contre. L'aire A coloriée sur le dessin est telle que : A ≈ 0,07 unités d'aire. Déterminer approximativement µ et σ . O

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Remarques

Si X suit la loi normale N(µ ; σ2). On peut déterminer p(a < X < b) en utilisant une calculatrice ou un tableur. Par exemple pour trouver la valeur de p(149 < X < 152) lorsque X suit la loi normale N(150 ; 0,25) :

Avec une calculatrice Casio, on pourra utiliser le menu STAT DIST NORM Ncd (éventuellement Var) Lower : 149 Upper : 152 σ : 0.5 µ : 150

Avec une calculatrice TI, on pourra utiliser le menu distrib ou DISTR et l'expression normalFRép(149,152,150,0.5) ou normalcdf(149,152,150,0.5)

Avec un tableur on pourra utiliser l'expression =LOI.NORMALE(152;150;0,5;1) - LOI.NORMALE(149;150;0,5;1)

Exercice 24 (voir réponses et correction)

En utilisant une calculatrice ou un tableur, déterminer dans chacun des cas une valeur approchée de la probabilité demandée en sachant que la variable aléatoire X suit la loi normale N(µ ; σ2). 1°) p(-3 < X < 0) avec µ = 1 et σ = 4 2°) p(-4,8 < X < -3,5) avec µ = -4 et σ = 0,3 3°) p(X < 49) avec µ = 40 et σ = 12 4°) p(X > 0) avec µ = -1 et σ = 3

Exercice 25 (voir réponses et correction)

Une entreprise fabrique des conserves alimentaires dont l’étiquette annonce une masse de 250 grammes. On admet que la variable aléatoire M qui à chaque conserve associe sa masse suit la loi normale de moyenne µ = 249 et d'écart-type σ = 5. 1°) En utilisant la calculatrice, donner à 10-3 près la probabilité qu'une boîte de conserve ait une masse

comprise entre 240 et 250 grammes. 2°) En utilisant la calculatrice, déterminer les valeurs approchées à 10-3 près de : p(µ - σ < M < µ + σ) ; p(µ - 2σ < M < µ + 2σ) ; p(µ - 3σ < M < µ + 3σ). Interpréter ces résultats en termes statistiques avec des pourcentages. 3°) Déterminer, en utilisant la calculatrice, le nombre réel a tel que p(249 - a £ M £ 249 + a) = 0,97. Interpréter à l’aide d’une phrase.

Propriété (voir démonstration 06)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ ; σ2). On a : p(µ - σ < X < µ + σ) ≈ 0,68 à 10-2 près. p(µ - 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0,95 à 10-2 près. p(µ - 3σ < X < µ + 3σ) ≈ 0,997 à 10-3 près.

Exercice 26 (voir réponses et correction)

Le quotient intellectuel QI est le résultat d'un test suivant une loi normale N(µ ; σ2). Différents tests sont utilisés. Leur moyenne µ est toujours 100. L'écart-type σ est de 15 pour le test dit "standard" et de 24 pour le test de Cattell. L'intervalle [µ - σ ; µ + σ] est appelé plage de normalité à 68% et l'intervalle [µ - 2σ ; µ + 2σ] est appelé plage de normalité à 95% . 1°) Une personne a un résultat de 135 mais ne connaît pas la nature du test utilisé. Indiquer, suivant le test,

si ce résultat est dans la plage de normalité à 68%, dans la plage de normalité à 95%. 2°) En utilisant une calculatrice, déterminer la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un QI

supérieur à 140, pour un test standard et pour un test de Cattell. 3°) Justifier qu'un résultat X pour un test de Cattell correspond à 0,625X + 37,5 pour un test standard.

0,68

µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ

µ+3σ

0,95 0,997

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Rappels Intervalles de fluctuation au seuil de 95%

En classe de seconde il a été vu que, pour un caractère ayant une proportion p dans une population donnée, lorsqu'on prend un échantillon de taille n dans cette population, si 0,2 £ p £ 0,8 et si n ³ 25 alors

pour 95% au moins des échantillons la fréquence du caractère appartient à l'intervalle

p - 1

n ; p + 1

n .

En classe de première, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ; p), on a considéré a le plus petit entier tel que p(X £ a) > 2,5% et b le plus petit entier tel que p(X £ b) ³ 97,5%.

Alors la fréquence du succès est dans l'intervalle

a

n ; b

n avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.

Définition - Propriété (voir démonstration 07)

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p) et soit α ∈ ]0 ; 1[.

On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 1 - α de la variable aléatoire fréquence Fn = Xn

n

l'intervalle In =

p - uα p(1 - p)

n ; p + uα p(1 - p)

n

uα étant l'unique réel positif tel que p(-uα £ Z £ uα) = 1 - α lorsque Z est une variable aléatoire suivant la loi

normale centrée réduite N(0 ; 1).

On a :

n→+∞lim p(Fn ∈ In) = 1 - α .

Remarques

Lorsqu'on prend α = 0,05 on sait que uα ≈ 1,96. On obtient alors l'intervalle de fluctuation asymptotique

au seuil de 95% ; cet intervalle est

p - 1,96 p(1 - p)

n ; p + 1,96 p(1 - p)

n .

On peut justifier que 1,96 p(1 - p) < 1 ce qui montre que cet intervalle est plus précis que l'intervalle de

fluctuation

p - 1

n ; p + 1

n donné en classe de seconde.

On considèrera que l'on peut utiliser 1 - α comme approximation de la probabilité p(Fn ∈ In) lorsque les

conditions suivantes sont remplies : n ³ 30 ; n x p ³ 5 et n x (1 - p) ³ 5 .

Exercice 27 (voir réponses et correction)

D'après l'Insee la proportion de femmes dans la population française est d'environ 51,6 %. Un observateur se place à la sortie d'une gare et note le nombre Yn de femmes observées parmi les n

premières personnes qui passent. On admet que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion de femmes dans la population française et que Yn suit une loi binomiale.

Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence Fn correspondant à Yn

lorsque n = 50 puis lorsque n = 100. Sur les 100 premières personnes sortant de la gare, 43 sont des femmes. Ce résultat est-il conforme à l'intervalle trouvé ? La même expérience effectuée sur 100 personnes à la sortie des employés d'une entreprise donne 60 femmes. Peut-on en conclure que l'entreprise emploie plus particulièrement des femmes ?

Exercice 28 (voir réponses et correction)

Un constructeur affirme que la probabilité qu'un de ses téléviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0,17. 1°) Justifier, en utilisant une calculatrice, que l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de

panne pour un échantillon de 40 téléviseurs est : [0,054 ; 0,286] au seuil de 95% et [0,072 ; 0,268] au seuil de 90%. 2°) Une association de consommateurs effectue un test sur 40 personnes ayant ce modèle de téléviseur. Dans cet échantillon, 11 personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Doit-on rejeter l'affirmation du constructeur ? 3°) L'association pense maintenant effectuer un test sur 200 personnes. Déterminer l'intervalle de fluctuation

asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon de 200 téléviseurs. Interpréter le résultat en fonction du nombre N de pannes décelées sur les 200 téléviseurs.

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Remarque

L'utilisation de l'intervalle de fluctuation permet de vérifier, par un échantillon, qu'une proportion est conforme à un résultat annoncé ou supposé. Lorsqu'on veut, inversement, déterminer à partir d'un échantillon, la proportion dans la population générale, on utilisera la notion d'intervalle de confiance.

Propriété (voir démonstration 08)

Soit p ∈ ]0 ; 1[ et soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).

Soit Fn = Xn

n la fréquence associée.

Lorsque n est suffisamment grand, p est dans l'intervalle

Fn - 1

n ; Fn + 1

n avec une probabilité

supérieure ou égale à 0,95.

Définition

Si f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n (avec n assez grand), alors on dit que la

proportion p (dans la population générale) se trouve dans l'intervalle

f - 1

n ; f + 1

n avec un niveau de

confiance supérieur à 95%.

On dit que l'intervalle

f - 1

n ; f + 1

n est un intervalle de confiance à 95% de la proportion p.

Remarque

On pourra utiliser cet intervalle de confiance lorsque les conditions suivantes sont remplies : n ³ 30 ; n x p ³ 5 et n x (1 - p) ³ 5 .

Exercice 29 (voir réponses et correction)

On effectue un sondage d'opinion pour déterminer le pourcentage de personnes décidées à voter pour un candidat A. 1°) Sur un échantillon de 50 personnes choisies au hasard, 22 ont déclaré vouloir voter pour A. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes décidée à voter pour A. Ce résultat est-il utilisable dans la pratique ? 2°) Sur un échantillon de 500 personnes choisies au hasard, 215 ont déclaré vouloir voter pour A. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes décidées à voter pour A. 3°) On voudrait obtenir un intervalle de confiance à 95% d'amplitude 2%. Combien de personnes faudrait-il

interroger ?

Remarque

L'intervalle

f - 1,96 x f(1 - f)

n ; f + 1,96 x f(1 - f)

n est parfois utilisé comme intervalle de confiance à

95 % mais il n'est pas possible de le justifier au niveau d'une Terminale.

Exercice 30 (voir réponses et correction)

On interroge un échantillon de 1000 personnes choisies de façon aléatoire. Sur ces 1000 personnes, 490 personnes sont des femmes et 312 personnes ont moins de 25 ans. D'après l'Insee, la proportion de femmes dans la population générale est d'environ 51,6%. En utilisant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l'échantillon est conforme à la répartition hommes-femmes dans la population générale. D'après l'Insee, la proportion des moins de 25 ans dans la population générale est d'environ 30,8%. En utilisant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l'échantillon est conforme à la répartition des moins de 25 ans dans la population générale. On interroge les personnes de l'échantillon concernant l'intérêt qu'ils portent à une émission de télévision. 258 des 1000 personnes sont intéressées. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes intéressées par l'émission de télévision dans la population générale.