INTÉGRATION : LES RÈGLES DE BIOCHE

Sophie Térouanne � 1ère année GThE

Les règles de Bioche constituent une méthode permettant de déterminer le meilleur chan-

gement de variable possible pour calculer l'intégrale d'une fonction rationnelle de fonctions

trigonométrique de la forme R(sinx, cos x), où R est une fraction rationnelle.

1 Choix du changement de variable

1.1 Règles de Bioche

Il s'agit d'observer les invariances de la di�érentielle R(sinx, cos x) dx pour choisir le chan-

gement de variable adéquat.

� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération

{x → −x

dx → − dx, alors on pose :

t = cos x , dt = − sinx dx.

� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération

{x → π − x

dx → −dx, alors on pose :

t = sinx , dt = cos x dx.

� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération

{x → π + x

dx → dx, alors on pose :

t = tan x , dt =1

cos2 xdx =

(1 + tan2 x

)dx

1.2 Changement de variable "universel"

On peut toujours poser le changement de variable suivant :

t = tan(x/2).

On a alors :

cos(x) =1− t2

1 + t2, sin(x) =

2t

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2, dx =

2 dt

1 + t2.

1

2 Exemples

1. Primitives de sin3(x) :

On teste les di�érents changements de variable :

� Par l'opération x → −x, la di�érentielle sin3(x) dx devient

sin3(−x)d(−x) = (−1)3 sin3(x)(− dx) = sin3 x dx.

Cette di�érentielle est invariante par x → −x, donc on pose :

t = cos x, dt = − sinx dx.

Ainsi,

sin3(x) dx = sin2 x · sinx dx = (1− cos2 x)(sinx dx) = (1− t2)(−dt),

dont les primitives sont

t3

3− t + C =

13

cos3 x− cos x + C.

On pouvait aussi calculer ces primitives par linéarisation du polynôme trigonométrique. Véri�ez

que l'on retrouve bien le même résultat.

2. Primitives de1

1 + sin2 x:

� Par l'opération x → −x, la di�érentielle 11 + sin2 x

dx devient

11 + sin2(−x)

d(−x) =1

1 + (− sinx)2(− dx) = − 1

1 + sin2 xdx.

Cette di�érentielle n'est pas invariante par x → −x.� Par l'opération x → π − x, la di�érentielle 1

1 + sin2 xdx devient

11 + sin2(π − x)

d(π − x) =1

1 + (− sinx)2(− dx) = − 1

1 + sin2 xdx.

Cette di�érentielle n'est pas invariante par x → π − x.� Par l'opération x → π + x, la di�érentielle 1

1 + sin2 xdx devient

11 + sin2(π + x)

d(π + x) =1

1 + sin2 x( dx).

Cette di�érentielle est invariante par x → π + x, donc on pose :

t = tan x, dt = (1 + tan2(x)) dx =1

cos2 xdx,

(ou dx =

dt

1 + t2

).

Ainsi,

dx

1 + sin2 x=

1cos2 x

dx

1cos2 x

+sin2 x

cos2 x

=

dx

cos2 x1 + 2 tan2 x

=dt

1 + 2t2,

dont les primitives sont∫dt

1 + 2t2=

1√2

∫d(√

2)t(√

2t)2 + 1=

√2

2Arctan(

√2t) + C, C ∈ R

Finalement, on en déduit∫dx

1 + sin2 x=

√2

2Arctan(

√2 tanx) + C, C ∈ R

Sophie Térouanne - IUT GThE Grenoble Première année 2