Terminale S 1 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Terminale S Calcul intgral Exercices corrigs 1. 1. Calcul de primitives 1 1. 2. Basique 1 1 1. 3. Basique 2 2 1. 4. Centre de gravit (daprs bac pro) 2 1. 5. QCM 1 3 1. 6. QCM 2 3 1. 7. QCM 3 4 1. 8. Calcul dintgrales, fonction rationnelle 5 1. 9. Fonction rationnelle, France 2004 5 1. 10. ROC, Pondicherry 2005 6 1. 11. Aires, France 06/2008, 5 points 8 1. 12. Fonction intgrale, Liban 06/2008, 5 points 9 1. 13. Fonction intgrale, Pondicherry 2008, 4 pts 11 1. 14. Fonction, aire, quation, Polynsie 2006 12 1. 15. Approximation daire, Polynsie 2007 15 1. 16. Aires, Am. du Nord 2006 17 1. 17. Approcher ln(1+x), Antilles 2004 19 1. 18. Suite intgrales, France 2006 20 1. 19. Intgrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts 21 1. 20. Intgrale et suite 5 23 1. 21. Mthode dEuler, Am. du Nord 2006 23 1. 22. Equa diff, intgrale, volume, Am. du Sud 2004 26 1. 23. Equa diff + fonction+intgrale, Antilles 2001 28 1. 24. La chanette 31 1. 25. Primitive de ln 37 1. 26. Equation diffrentielle 38 1. 27. Equation diffrentielle et primitive 39 1. 28. Equation diffrentielle : transfusion 39 1. 29. Equation diffrentielle : populations 41 1. 30. Equation diffrentielle : poursuite 42 1. 31. Eq. diffrentielle : dsintgrations successives 44 1. 32. Equation diffrentielle ROC 46 1. 33. ROC+eq. diff., Am. du Sud remplt 2007 47 1. 34. Population de rongeurs, France 2005 48 1. 35. Equa diff : Populations+probas, Pondich. 2006 50 1. 36. Equa diff, France et La Runion 09/2008 3 pts 52 1. 37. Loi logistique, Pondicherry 06/2008, 7 pts 53 1. 38. Equa diff+exp, France rempl. 2005 55 1. 1. Calcul de primitives a. 31( )( 2 )xf xx x+=+; Correction : 3 33 3 3'( ) 1 1 2 2 1 1 1 1( ) . '( ) ( ) ( 2) '( ) ( ),2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )u x x xf x u x u x u x u xx x x x u x + += = = = = + + u(x) = x + 2x, n 1 = 3, n = 2, 21 1( ) ( 2 )4 4( 2 )F x x xx x= + = +. b. ( ) 1xf xx= sur ]1 ; +[. Correction : 1 2 1 '( )( ) 1 2 1 2 ( )x x u xf xx x u x= = = avec u(x) = x 1, 1 1( ) ln ( ) ln( 1)2 2F x u x x k = = + . c. ln( ) 1 xf x xx= + sur +*. Correction : ln 1 1( ) 1 1 l 2 n 1 '( ) ( )2xf x x x x u x u x xx x= + = + = + avec u(x) = lnx, ( )2 1 1( ) ( ) ln2 2 2 2x xF x x u x x x k = + = + + . 1. 2. Basique 1 Soit la fonction f, dfinie par f(x) = (sin2x 3 sin x +8)cos x. Dterminer sur la primitive F de f telle que 3( ) 02F = . Correction f(x) = (sin2x 3 sin x +8).cos x = cos x sin2x 3 cos x sin x + 8 cos x ; u(x) = sin3 x, u(x) = 3cos x sinx, v(x) = sin x, v(x) = 2cos x sin x, w(x) = sin x, w(x) = cos x. Terminale S 2 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3 21 3( ) sin sin 8 sin3 2F x x x x k = + + . 3 23 1 3 3 3 3 1 3 2 9 48 59( ) 0 sin sin 8 sin 0 8 0 .2 3 2 2 2 2 3 2 6 6F k k k + += + + = + = = = 3 21 3 59( ) sin sin 8sin3 2 6F x x x x = + + . 1. 3. Basique 2 1. Montrer que x3 + 5x2 + 7x + 4 = (x + 3)(x2 + 2x + 1) + 1. 2. En dduire une primitive de la fonction f dfinie par 3 22 5 7 4 ( ) 2 1x x xf xx x+ + +=+ +sur ] ; 1[. Correction 3 22 2 5 7 4 ( 3)( 2 1) 1 1 1( ) 3 3 2 1 2 1 2 1 ( 1)x x x x x xf x x xx x x x x x x+ + + + + + += = = + + = + ++ + + + + + +. 1( ) 32 1xF x xx= + +. 1. 4. Centre de gravit (daprs bac pro) Le plan est rapport un repre orthonormal ( ; , ) O i j . Partie A : Calcul dune primitive On note g la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par ( )1xg xx=+. 1. Dterminer deux rels a et b tels que, pour tout x appartenant lintervalle [0 ; 2], ( )1bg x ax= ++. 2. En dduire une primitive de g sur lintervalle [0 ; 2]. Partie B : Dtermination du centre de gravit dune plaque homogne On note f la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par : ( )11f xx=+. On considre une plaque homogne forme par lensemble des points M(x ; y) du plan dont les coordonnes vrifient les relations : 0 2 x et ( ) 0 y f x . (Voir schma ci-dessous). 1. Soit S laire de la plaque exprime en unit daire. Calculer S. 2. Soit G le centre de gravit de la plaque. On admettra que les coordonnes (X ; Y) de G sont donnes par les formules suivantes : ( )201X xf x dxS= et ( )22012Y f x dxS= ( . a. Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approche arrondie au centime. Terminale S 3 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr b. Calculer la valeur exacte de Y , puis une valeur approche arrondie au centime. Correction On note g la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par ( )1xg xx=+. A. 1. ( )111g xx= +. 2. ( ) ln 1 g x x = +. B. 1. ( )202 ln3 0 ln1 2 ln3 S g x dx = = + = . B. 2. a. ( )22 220 001 1 1 1 1 ln31 ln 1 0,612 1 2 1 2 2 2(2 ln3)xX x dx x dx x x xS x S x S| | (= = = + + = | (+ + \ . b. ( )( ) ( )2 22 2 2220 0 001 1 1 1 2 1 1 11 1 2ln 12 2 1 2 1 2 11Y f x dx dx dx x xS S x S x S xx ( (= = = + = + ( ( (+ + + + , soit ( )1 1 8 6 ln32 2ln3 1 0, 262 3 6 2 ln3YS | |= + = | \ . 1. 5. QCM 1 Esiee, 2000, question 9 Les rsultats suivants sont-ils justes (justifier brivement les rponses) ? a) 4 01cos22tdt=. b) 4 01sin22tdt=. c) 1ln 1etdt =. d) 320sin1cos tdtt=. e) 1 01tte dt =. Correction a) Vrai : 44 001 1cos2 sin22 2tdt t (= = ( . b) Vrai : 44 001 1sin2 cos 22 2tdt t (= = ( c) Vrai : | |11eln ln 1etdt t t t = =. d) Vrai : 33200sin 12 1 1cos cos t dtt t (= = = ( . e) Vrai : Intgration par parties, 1100( 1) 1t tte dt t e (= = . 1. 6. QCM 2 Fesic 2002, exercice 5. Rpondre simplement par Vrai ou Faux chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction dfinie sur par 2( ) ( 1) xf x x e = + . a. La fonction f vrifie lquation 2'( ) 2 ( ) xy x y x e = . b. Lquation 1( )16f x = a deux solutions distinctes. Pour rel, on pose 1( ) ( ) I f x dx =. c. Pour tout rel , on a :221 2 1( )4 4I ee += . Terminale S 4 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr d. On a : lim ( ) I = +. Correction a. Vrai : 2 2 2'( ) 2 ( 1) (2 3)x x xf x e e x e x = + + = + , on remplace : 2 2 2'( ) 2 ( ) (2 3) 2( 1)x x xf x f x e x x e e = + + = ; cest bon. b. Faux : Inutile dessayer de rsoudre, a ne peut pas marcher. Regardons les variations de f : comme le texte nous le dit si gentiment on a 2 et 31 1 116 2 54e < < . Comme le minimum de f est suprieur 116 , lquation propose na pas de solution. c. Vrai : on a tout intrt utiliser lquation diffrentielle pour calculer I() : comme 2'( ) 2 ( ) xf x f x e = + , en intgrant lgalit, on a : 2 2 2 21 1 1 2 1( ) 2 ( ) ( ) ( 1)2 2 4 4x x x xxf x f x dx e f x dx x e e e+| |= + = + = |\ . Do finalement : 112 2 2 222 1 1 2 1 1 2 1( ) ( )4 4 4 4 4xxI f x dx e e e ee + + + ( | |= = = = | (\ . d. Faux : 2 21 1lim ( ) 04 4Ie e = = (il faut utiliser lim 0n xx x e = ). Rappel : somme des n premiers termes dune suite gomtrique de premier terme u0, de raison q : 1011 nquq+ . 1. 7. QCM 3 Soit f la fonction dfinie par 201( )1xf x dtt=. a. f est dfinie sur | | 1 ; 1 . b. f est croissante sur | | 1 ; 1 . c. (0) 1 f = . d. f est une fonction paire. e. En crivant que 21 1 1 12 1 11 t tt | |= + | + \ , on obtient ( ) ( )2ln 1 f x x = . Correction a. VRAI : la fonction 211 t est continue sur | | 1 ; 1 , elle a donc une primitive qui est continue. b. VRAI : 21'( ) 01f xx= > sur | | 1 ; 1 . c. FAUX : ( ) 0 0 f = . d. FAUX : Lintgrale dune fonction paire est une fonction impaire ( justifier). e. FAUX : 2 20 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 1 2 1 2 1 2 21 1x x xdt dt dt x xt t t tt t | |= + = + = + + | + + \ , soit ( )1 1 1ln ln2 1 1x xf xx x+ += = . x f(x) + 3/2 + 0 312 eTerminale S 5 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 1. 8. Calcul dintgrales, fonction rationnelle 1. Dterminer les rels a, b, c tels que pour tout u diffrent de 12, 212 1 2 1u cau bu u = + + . 2. Calculer 20112 1x dxx . 3. Calculer 306cos1 2sinx dxx . Correction 1. 2 22 1 1/ 21 2 2 1 1 3 / 42 0 1/ 4 ( )2 1 2 1 2 1 2 4 2 13 / 4 1a au c au au bu b cau b b a b f u uu u u uc c b= = + + = + + = = = = + = = . 2. 0 20 021 111 1 1 3 2 1 1 3 1 1 3ln 2 1 0 ln 2 12 1 2 4 8 2 1 4 4 8 4 4 8x dx x dx x x xx x ( | |= + = + = | ( \ soit 3ln38. 3. La fonction intgrer ressemble un peu la prcdente en prenant sin u x = : 2 2 21 sin 1 cos( ) (sin )2 1 2sin 1 1 2sinu x xf u f xu x x = = = ; pour pouvoir intgrer (sin ) f x , il faut que ce soit sous la forme (sin )' '(sin ) (cos ) '(sin ) x F x x F x = o F est une primitive de f. Or on a intgrer 3 2 2cos cos 1 sincos cos1 2sin 1 2sin 1 2sinx x xx xx x x ( (= = ( ( donc tout va bien. On a finalement 0 30266cos 1 1 3 3sin sin ln 2sin 1 ln21 2sin 2 4 8 8x dx x x xx (= + = ( . 1. 9. Fonction rationnelle, France 2004 1. Soit g la fonction dfinie sur lintervalle ]1 ; [ + par : 21( )( 1)g xx x=. a. Dterminer les nombres rels a, b et c tels que lon ait, pour tout 1 x > : ( )1 1a b cg xx x x= + ++ . b. Trouver une primitive G de g sur lintervalle ]1 ; [ + . 2. Soit f la fonction dfinie sur lintervalle ]1 ; [ + par : 2 22( )( 1)xf xx=. Trouver une primitive F de f sur lintervalle ]1 ; [ + . 3. En utilisant les rsultats obtenus prcdemment, calculer : 32 222ln( 1)xI xdxx=. On donnera le rsultat sous la forme ln2 ln3 p q + avec p et q rationnels. Correction 1. 21( )( 1)g xx x=. Terminale S 6 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr a. 2( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )( )1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)a x x bx x cx x a b c x c b x a a b cg xx x x x x x x x x+ + + + + + + = + + = =+ + + do on tire par identification : 0 1 1/ 20 0 1/ 21 1 1a b c b c bc b c b ca a a+ + = + = = = = = = = = . On a donc 1 1 1 1 1( )2 1 2 1g xx x x= + ++ . b. 1 1 1 1( ) ln ln 1 ln 1 ( ) ln ln( 1) ln( 1)2 2 2 2g x dx x x x G x x x x = + + + = + + + (ne pas oublier les valeurs absolues au dpart, on les supprime par la suite car on est sur ]1 ; [ + ). 2. Pour trouver une primitive de 2 22( )( 1)xf xx=, il suffit dutiliser 11'1n nu u dx un +=+ avec 21 u x = et 2 n = : 2 2 121 1( ) ( 1)2 11f x dx xx + = = + . 3. A premire vue (et mme seconde vue) il faut intgrer par parties : 2 2 22 1 1ln , ' ' ,( 1) 1xu x v u vxx x= = = = , ce qui donne 33 32 2 2 22 222 ln 1ln( 1) 1 ( 1)1 1 1 1 1 1ln3 ln2 ln3 ln 4 ln2 ln2 ln3 ln18 3 2 2 2 21 1 1 1 13 17ln3 ln2 ln3 ln2 ln2 ln2 ln3 ln3 ln2.8 3 2 2 8 6x xI xdx dxx x x x (= = + ( | | | |= + + + + + + | |\ \ = + + + + = + 1. 10. ROC, Pondicherry 2005 On considre la fonction f, dfinie sur [1 ; [ + par ( ) tef tt= . 1. a. Justifier la continuit de f sur [1 ; [ + . b. Montrer que f est croissante sur [1 ; [ + . 2. Restitution organise de connaissances On pourra raisonner en sappuyant sur le graphique fourni. Pour tout rel 0x de [1 ; [ + , on note 0( ) A x laire du domaine dlimit par la courbe reprsentant f dans un repre orthogonal, laxe des abscisses et les droites dquations 1 x = et 0x x = . a. Que vaut A(1) ? b. Soit 0x un rel quelconque de [1 ; [ + et h un rel strictement positif. Justifier lencadrement suivant : 0 00 0( ) ( )( ) ( )A x h A xf x f x hh+ + . c. Lorsque 01 x , quel encadrement peut-on obtenir pour 0 h < et tel que 01 x h + ? d. En dduire la drivabilit en 0x de la fonction A ainsi que le nombre driv en 0x de la fonction A. e. Conclure. Terminale S 7 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Correction 1. a. f est continue sur [1 ; [ + comme quotient de fonctions continues. b. 2 2( 1)'( ) t t t e t e t ef tt t = = ; te et 2t sont videmment positifs, 1 t lest galement lorsque 1 t . Donc f est croissante sur [1 ; [ + . 2. Restitution organise de connaissances a. A(1) vaut 0. b. Sur [1 ; [ + f est croissante ainsi que A. La diffrence 0 0( ) ( ) A x h A x + reprsente laire de la bande sous la courbe de f, comprise entre les droites 0x x = et 0x x h = + : cette bande a une aire suprieure celle du rectangle de hauteur 0( ) f x et de largeur h, et infrieure celle du rectangle de hauteur 0( ) f x h + et de largeur h. On a donc 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) hf x A x h A x f x h h + + do lencadrement demand en divisant par h puisque h est positif. c. Si on prend 0 h < , a ne change pas grand-chose sur le fond, il y a surtout des questions de signes respecter : la bande sous la courbe de f a pour aire 0 0( ) ( ) A x A x h + , le rectangle infrieur a pour aire 0( )( ) f x h h + et le rectangle suprieur a pour aire 0( )( ) f x h ; on a donc 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h f x h A x A x h h f x hf x h A x h A x hf x + + + + , soit 0 00 0( ) ( )( ) ( )A x h A xf x h f xh+ + en divisant par h (attention au changement de sens des ingalits : h est ngatif). 0123450 1 2 3xye 0x0x h +Terminale S 8 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr d. On a le mme encadrement pour h positif ou ngatif, on peut passer la limite lorsque h tend vers 0, ce qui donne 0 00 0 0 00( ) ( )( ) lim ( ) '( ) ( )hA x h A xf x f x A x f xh + = puisquon retrouve le nombre driv de A au milieu de lencadrement. e. Conclusion du cours : laire sous la courbe de f entre 1 x = et 0x x = est obtenue en trouvant une primitive de f (la fonction A) telle que A(1)=0. 1. 11. Aires, France 06/2008, 5 points Les courbes (C) et (C) donnes ci-dessous reprsentent respectivement, dans un repre orthonormal ( ; , ) O i j , les fonctions f et g dfinies sur l'intervalle | | 0 ; + par : ( ) ln f x x = et ( ) ( )2ln g x x = . 1. On cherche dterminer l'aire A (en units d'aire) de la partie du plan hachure. On note 1lneI xdx = et ( )21lneJ x dx =. a. Vrifier que la fonction F dfinie sur l'intervalle | | 0 ; + par ( ) ln F x x x x = est une primitive de la fonction logarithme nprien. En dduire I. b. Dmontrer l'aide d'une intgration par parties que 2 J e I = . c. En dduire J. d. Donner la valeur de A. 2. Dans cette question le candidat est invit porter sur sa copie les tapes de sa dmarche mme si elle naboutit pas. Terminale S 9 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Pour x appartenant l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe (C) d'abscisse x et N le point de la courbe (C) de mme abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN. Correction 1. a. On drive : ( )1' 1 ln 1 ln 1 1 ln F x x x x xx= + = + = donc F est une primitive de ln. ( ) ( ) ( ) ( )1ln 1 ln 1ln1 1 1eI xdx F e F e e e = = = =. b & c. Posons ln' lnu xv x= = do 1'lnuxv x x x = = et ( ) ( ) ( ) | |2 211 1 1ln ln ln ln 1 0 0 2 2e e e eJ x dx x x x x x dx I x e e I (= = = + = = ( . Remarque : on na pas besoin de passer par I pour calculer J d. ( ) 1 2 3 A I J e e = = = . 2. Comme a priori on ne sait pas qui est au-dessus, il faut prendre la valeur absolue : ( ) ( ) ( ) ( )2ln ln ln ln 1 MN g x f x x x x x = = = . Sur [1 ; e] ln 0 x et ln 1 0 x donc ( ) ( )2ln ln MN h x x x = = . Sa drive vaut 1 1 1 2ln2 ln xxx x x = qui est nulle pour 12x e = , ce qui donne la distance maximale 1214h e| | | = |\ . 1. 12. Fonction intgrale, Liban 06/2008, 5 points On considre une fonction f drivable sur l'intervalle | | ; + . On donne le tableau de ses variations : x 0 2 + ( ) f x + + 0 ( ) f x 0 21 e+ 1 Soit g la fonction dfinie sur | | ; + par ( ) ( )0xg x f t dt = . Partie A 1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de reprsenter f dans le plan muni d'un repre orthogonal (units graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnes). 2. a. Interprter graphiquement ( ) 2 g . b. Montrer que ( ) 0 2 2, 5 g . 3. a. Soit x un rel suprieur 2. Montrer que ( )22xf t dt x . En dduire que ( ) 2 g x x . b. Dterminer la limite de la fonction g en + . 4. tudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle | | ; + . Terminale S 10 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Partie B On admet que pour tout rel t, ( ) ( ) 1 1tf t t e= + . 1. l'aide d'une intgration par parties, exprimer en fonction du rel x l'intgrale ( )01xtt e dt. 2. En dduire que pour tout rel x, ( ) ( )1 xg x x e= . 3. Dterminer la limite de la fonction g en . Correction Partie A 1. Pas trop dur... 2. a. ( ) ( )202 g f t dt = ; ( ) 2 g est laire sous la courbe (C) sur lintervalle | | 0 ; 2 . b. Daprs le tableau de variations de f on peut dire que pour tout rel t de | | 0 ; 2 , ( )20 1 e f t + et que f est continue sur | | 0 ; 2 . Daprs lingalit de la moyenne, on a : ( ) ( ) ( ) ( )2200 2 0 1 e 2 0 f t dt + , cest--dire ( ) ( )2200 2 1 e f t dt +. Or ( )22 1 e 2,3+ et ( ) ( )202 g f t dt =. Par consquent, ( ) 0 2 2, 5 g . 3. a. Soit x un rel suprieur 2. Daprs le tableau de variations de f, pour 2 t , ( ) 1 f t . On intgre cette ingalit : ( )2 21 2x xf t dt dt x = . De plus, ( ) ( ) ( ) ( )20 0 2x xg x f t dt f t dt f t dt = = + daprs la relation de Chasles do ( ) ( ) ( )22 xg x g f t dt = +. Comme ( ) 2 0 g (daprs la question 2. b.), on en dduit que ( ) 2 g x x pour tout rel x suprieur 2. b. ( ) lim 2x x+ = +, daprs le thorme de comparaison des limites, ( ) limx g x+ = +. 4. g est la primitive de f sur R sannulant en 0, ( ) ( ) g x f x = . Daprs le tableau de variations de f, ( ) 0 f x lorsque 0 x donc g est croissante et ( ) 0 f x lorsque 0 x , g est dcroissante. Partie B 1. ( )01 xtI t e dt= . Posons ( ) e tu t = et ( ) 1 v t t = ; alors ( ) e tu t = et ( ) 1 v t = . ( ) ( ) ( )0 00 01 1 1 1x xx xt t t x tI t e dt t e e dt x e e ( ( (= = = do ( ) ( )01 1 1 1xt x x xt e dt x e e xe ( = + = . 2. ( ) ( )0 01 e 1 x xtg x t dt dt= + daprs la linarit de lintgration. Do : ( ) ( ) e 1 0 ex xg x x x x x = + = , donc ( ) ( )1 xg x x e= , pour tout rel x. 3. ( ) limx x = + et lim eXX+ = + do lim e xx = + (limite dune fonction compose). On en dduit alors que ( )lim 1 e xx = ; de plus, limx x = ; donc ( ) limx g x = +et ( ) lim sin 1nn ny+ = . Terminale S 11 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 1. 13. Fonction intgrale, Pondicherry 2008, 4 pts 1. Soit f la fonction dfinie sur | | 1 ; + par ( )1xxf xe= et soit H la fonction dfinie sur | | 1 ; + par ( ) ( )1xH x f t dt =. a. Justifier que f et H sont bien dfinies sur | | 1 ; + . b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ? c. Soit C la courbe reprsentative de f dans un repre orthonormal ( ); , O i j du plan. Interprter en termes d'aire Ie nombre ( ) 3 H . 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre ( ) 3 H . a. Montrer que pour tout rel 0 x > , 1 1xx xx exe e= . b. En dduire que ( ) ( )3 331 11 13ln 1 ln 1 ln 1 xf x dx e dxee | | | |= | |\ \ . c. Montrer que si 1 3 x , alors ( )31 1ln 1 ln 1 ln 1xee e| | | | | |\ \ . d. En dduire un encadrement de ( )31ln 1 xe dx, puis de ( )31 f x dx. Correction 1. a. ( )1xxf xe=, ( ) ( )1xH x f t dt = : comme 0xe > sur R, 1 0xe donc f existe et est continue sur R; f a donc une primitive F et ( ) ( ) ( ) 1 H x F x F = existe sur R. b. Grce au cours nous savons que ( ) ( ) ( ) ' ' 0 H x F x f x = = . c. ( ) 3 H est laire, exprime en units daire,de f, laxe (Ox) les droites 1 x = et 3 x = . 2. a. Multiplions ( ) f x par xe au numrateur et au dnominateur : ( )( )1 1x x xx x x x x xxe e ef x x xe e e e e e = = = . b. On reconnat dans 1xxee la drive de ln 1 xe ; il faut donc intgrer par parties en posant : u x = , '1xxeve=, soit ' 1 u = , ln 1 xv e= ; par ailleurs 1 0 1 0 0x xe e x x donc ( )ln 1 xv e= : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 11 1 1 1ln 1 ln 1 3ln 1 ln 1 ln 1x x xf x dx x e e dx e e e dx (= = . c. La fonction ( )1 xe est strictement positive si 1 3 x ; ( ) ( )ln 1 ' 01xxxeee = > donc ( )ln 1 xe est croissante sur | | 1 ; 3 do ( ) ( ) ( )1 3ln 1 ln 1 ln 1xe e e . Terminale S 12 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr d. On intgre : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 313 1 ln 1 ln 1 3 1 ln 1xe e dx e , soit ( ) ( ) ( )33 112ln 1 ln 1 2ln 1xe e dx e , do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33 1 3 3 1 113ln 1 ln 1 2ln 1 3ln 1 ln 1 2ln 1 e e e f x dx e e e et enfin ( ) ( )3 3 3 33 31 1 3 2 3 21 11 1 1 1ln 3ln ln 3lnln1 1e e e ef x dx f x dxe e e e e e | | | | | | | | | | | | | | | | \ \ \ \ . 1. 14. Fonction, aire, quation, Polynsie 2006 Partie A On donne le tableau de variations dune fonction f drivable sur : x 0 2 + f + 0 24e 0 On dfinit la fonction F sur par ( ) ( )2xF x f t dt =. 1. Dterminer les variations de la fonction F sur . 2. Montrer que ( )20 3 4 F e . Partie B La fonction f considre dans la partie A est la fonction dfinie sur par ( )2 xf x x e= . On appelle g la fonction dfinie sur par ( ) xg x e= . On dsigne par (C) et ( ) les courbes reprsentant respectivement les fonctions f et g dans un repre orthogonal ( ; , ) O i j . Les courbes sont traces en annexe. 1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles donnes dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites. b. tudier les positions relatives des courbes (C) et ( ). 2. Soit h la fonction dfinie sur par ( ) ( )21 xh x x e= . a. Montrer que la fonction H dfinie sur par ( ) ( )22 1 xH x x x e= est une primitive de la fonction h sur . b. Soit un rel suprieur ou gal 1. On considre la partie du plan limite par les courbes (C) et ( ) et les droites dquations x = 1 et x = . Dterminer laire A( ), exprime en unit daire, de cette partie du plan. c. Dterminer la limite de A( ) lorsque tend vers + . 3. On admet que, pour tout rel m strictement suprieur 4e2, la droite dquation y = m coupe la courbe (C) au point P(xP ; m) et la courbe ( ) au point Q (xQ ; m). Lobjectif de cette question est de montrer quil existe une seule valeur de xP, appartenant lintervalle | | ; 1 telle que la distance PQ soit gale 1. Terminale S 13 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr a. Faire apparatre approximativement sur le graphique (propos en annexe) les points P et Q tels que xP appartienne | | ; 1 et PQ = 1. b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier lgalit ( ) ( )P Qf x g x = . c. Dterminer la valeur de xP telle que PQ = 1. Correction Partie A 1. ( ) ( ) ( ) ( )2'xF x f t dt F x f x = = : f est toujours positive donc F est croissante 2. 3 appartient lintervalle | | 2 ; + , sur cet intervalle f est positive donc ( ) ( )323 0 F f t dt = ; comme ( )24 f t e sur cet intervalle, en intgrant on a de mme : ( ) ( )3 32 2 22 24 3 2 4 4 f t dt e dt e e = = Partie B ( )2 xf x x e= , ( ) xg x e= . 1. a. On drive f : ( ) ( )22 2x x xf x xe x e x x e = = ; xe est toujours strictement positive, f est du signe de ( ) 2 x x , ngatif entre les racines 0 et 2, positif lextrieur. b. Signe de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1x x x xf x g x x e e x e x x e = = = + . Terminale S 14 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Donc ngatif (C est en dessous de ) lorsque | | 1; 1 x et positif (C est au-dessus de ) lorsque | | | | ; 1 1 ; x + . 2. ( ) ( )21 xh x x e= . a. On drive H : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1 2 2 2 1 1x x x xH x x e x x e x x x e x e = = + + + = . Ok. b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 11 11 2 1 4 A f x g x dx h x dx H H e e = = = = + . c. Les croissances compares donnent ( ) H tend vers 0 en + donc A( ) tend vers 14e. 3. a. Voir la figure (on voit quatre solutions, reprsentes par 1 flche noire et 3 flches rouges qui ne conviennent pas car xP nest alors pas dans | | ; 1 ). b. P QPQ x x = ; par ailleurs on a ( ) ( )P Qf x m g x = = par dfinition. c. 1 1 1 1P Q P Q P QPQ x x x x x x = = = = donc -113579111315-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xyy = m Q P 1 xP xQ Terminale S 15 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2112 21 1 111 11 1 1111 11 1 11 1Q x xQ QQ Q QQQ QQ x xQ QQ Q QQx ex e e e x e x ex ef x g xx ex e e e x e x ex e = > + = + = + = = = = + > = = = = + > La seule solution est donc 1Qx e = , 1 1 1P Qx x e e = + = + = . On vrifie pour f et g : ( )1 e ef e ee e + = = , ( )11 eg e e + = , ok. 1. 15. Approximation daire, Polynsie 2007 6 points On considre la fonction f dfinie sur | | 0 ; + par ( ) 1 ln f x x x = + . On note (Cf) sa courbe reprsentative dans un repre orthogonal ( ; , ) O i j . Toutes les aires considres dans ce problme seront exprimes en units daire. Partie A Le but de cette partie est de dterminer un encadrement de laire A du domaine dlimit par laxe des abscisses, la courbe (Cf) et les deux droites dquations 1 x = et 2 x = . On note M et N les points de (Cf) dabscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projets orthogonaux respectifs sur laxe des abscisses. La figure est donne plus bas. 1. a. Montrer que f est positive sur | | 1 ; 2 . b. Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est 2ln2 . c. Soit E le point dabscisse 4e. Montrer que sur lintervalle | | 1 ; 2 , le point E est lunique point de (Cf) en lequel la tangente (Cf) est parallle (MN). d. On appelle (T) la tangente (Cf) au point E. montrer quune quationde (T) est : ( )42ln2 1 y xe= + . 2. Soit g la fonction dfinie sur | | 1 ; 2 par ( ) ( ) ( )42ln2 1 g x f x xe (= + ( . a. Montrer que ( ) ' 1 ln4xg x | |= + |\ pour tout x de | | 1 ; 2 . b. Etudier les variations de g sur | | 1 ; 2 et en dduire la position relative de (Cf) et de (T) sur cet intervalle. 3. Soient M et N les points dabscisses respectives 1 et 2 de la droite (T). On admet que la courbe (Cf) reste sous la droite (MN) sur lintervalle | | 1 ; 2 et que les points M et N ont des ordonnes strictement positives. a. Calculer les aires des trapzes MNQP et MNQP. b. En dduire, laide de la calculatrice, un encadrement de A damplitude 101. Partie B Le but de cette partie est de dterminer la valeur exacte de A. 1. A laide dune intgration par parties, calculer 21ln x xdx. 2. En dduire la valeur exacte de A. Terminale S 16 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Correction Partie A 1. a. ln 0 x > sur | | 1 ; 2 donc f est positive sur | | 1 ; 2 . b. M a pour coordonnes ( ) 1 ; 1 , N ( ) 2 ; 1 2ln2 + ; le coefficient directeur de la droite (MN) est 2ln22ln21M NM Ny yx x = = . c. La drive de f est : ( )1' ln ln 1 f x x x xx= + = + ; la tangente (Cf) est parallle (MN) lorsque ( )22ln2 1 ln21 4ln 1 2ln2 x x e ee e+ = = = = . d. ( ) ( )4 4 4 4 4 4 42ln2 1 ln 2ln2 2ln2 1 ln4 2ln2 1 y x x xe e e e e e e| | | | | |= + + = + + = + | | |\ \ \ ( ln4 2ln2 = ). 2. Soit g la fonction dfinie sur | | 1 ; 2 par ( ) ( ) ( )42ln2 1 g x f x xe (= + ( . a. ( ) ( ) ' ' 2ln2 1 ln ln4 1 ln4xg x f x x | |= = + = + |\ . b. ( )14' 1 ln 0 ln 14 4 4x x xg x e xe | | | |= + | |\ \ . Terminale S 17 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Lorsque 4xe= , g est nulle ; donc dcroissante jusqu 4e puis croissante, le minimum est 0 ; conclusion ( ) 0 g x et (Cf) est au-dessus de (T). 3. a. Il nous faut les ordonnes de M et N : ( )'42ln2 1Mye= + , ( )'44ln2 1Nye= + . Aire de MNQP : ( ) ( )1 1 ln2 1, 6932 2M ny y PM QNPQ + + = = + ; aire de MNQP : ( ) ( )' '' ' 41 3ln2 1 1, 6082 2M Ny y PM QNPQe+ + = = + ; b. Laire A est comprise entre ces deux valeurs : 1,6 101 prs. Partie B 1. On pose 21 1' , ln , '2u x v x u x vx= = = = do 2 22 22 2 21 11 11 1 1 1 3ln ln 2ln2 2ln2 0, 6362 2 4 4x xdx x x x dx xx ( (= = = ( ( . 2. ( )2 2 21 1 13 11 ln 1 2ln2 2ln2 1, 6364 4f x dx dx x xdx = = + = + = + A . 1. 16. Aires, Am. du Nord 2006 5 points 1. On considre la fonction g dfinie sur | | 0 ; + par : ( )2ln g x xx= . On donne ci-dessous le tableau de variations de g. x 0 2,3 x0 2,4 + g 0 + Dmontrer toutes les proprits de la fonction g regroupes dans ce tableau. 2. Soit f la fonction dfinie sur | | 0 ; + par ( )5ln xf xx= . a. Dmontrer que ( )02010f xx= o 0x est le rel apparaissant dans le tableau ci-dessus. b. Soit a un rel. Pour 1 a > , exprimer ( )1af t dt en fonction de a. 3. On a trac dans le repre orthonormal ( ; , ) O i j ci-dessous les courbes reprsentatives des fonctions f et g notes respectivement ( ) fC et ( ) gC . On appelle I le point de coordonnes ( ) 1 ; 0 , P0 le point dintersection de ( ) gC et de laxe des abscisses, M0 le point de ( ) fC ayant mme abscisse que P0 et H0 le projet orthogonal de M0 sur laxe des ordonnes. Terminale S 18 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr On nomme D1 le domaine plan dlimit par la courbe ( ) fC et les segments | |0IP et | |0 0P M . On nomme D2 le domaine plan dlimit par le rectangle construit partir de | | OI et | |0OH . Dmontrer que les deux domaines D1 et D2 ont mme aire, puis donner un encadrement damplitude 0,2 de cette aire. Correction 1. ( )2ln g x xx= . x 0 2,3 x0 2,4 + g 0 + Limite en 0 : ln tend vers de mme que 2x ; limite en + : ln tend vers + , 2x tend vers 0. ( )21 20 g xx x = + > donc g est croissante ; comme elle est continue, elle sannule une seule fois. On a ( ) 2, 3 0, 04 g et ( ) 2, 4 0, 04 g donc 02, 3 2, 4 x . 2. a. ( )0 0020 005ln 2 / 105x xf xx x x= = = car ( )0 0020 ln g x xx= = . b. On se rappelle que la drive de ln t est 1t et quune primitive de ' nu u est 111 nun ++ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 11ln 1 1 5 5 55 5 ln 5 ln ln ln1 ln2 2 2 2aa a atf t dt dt tdt t a at t (= = = = = ( . -3-2-10123-1 0 1 2 3 4 5 6 7xyH0 I P0 M0 Cf Cg Terminale S 19 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3. Labscisse de P0 est x0 donc lordonne de M0 est ( )02010f xx= . Laire de D1 est ( ) ( ) ( )020 02 210 05 5 4 10ln2 2xf t dt x f xx x| |= = = = | |\ , soit laire du domaine D2. Comme 02, 3 2, 4 x , 20101, 89 1, 74x 1. 17. Approcher ln(1+x), Antilles 2004 But de lexercice : approcher ln(l + a) par un polynme de degr 5 lorsque a appartient lintervalle [0 ; + [. Soit a dans lintervalle [0 ; + [ ; on note 00( )1a dtI at=+et pour * k , on pose ( )10( )( )1kak kt aI a dtt +=+. 1. Calculez I0(a) en fonction de a. 2. A laide dune intgration par partie, exprimez I1(a) en fonction de a. 3. A laide dune intgration par partie, dmontrez que 1 11( 1)( ) ( )1k kk kaI a I ak+ ++ = ++pour tout * k . 4. Soit P le polynme dfini sur par 5 4 3 21 1 1 1( )5 4 3 2P x x x x x x = + + . Dmontrez en calculant I2(a), I3(a) et I4(a), que I5(a) = ln(1 + a) P(a). 5. Soit ( )50( ) aJ a t a dt = . Calculez J(a). 6. a. Dmontrez que pour tout [0 ; ] t a , ( )( ) ( )5561t at at +. b. Dmontrez que pour tout [0 ; [ a + , 5( ) ( ) 0 J a I a . 7. En dduire que pour tout [0 ; [ a + , 6ln(1 ) ( )6aa P a + . 8. Dterminez, en justifiant votre rponse, un intervalle sur lequel P(a) est une valeur approche de ln(1 + a) 103 prs. Correction 1. 0 00( ) [ln(1 )] ln(1 ) ln1 ln(1 )1aadtI a t a at= = + = + = ++. 2. 10( )( )(1 )a t a dtI at=+ : intgration par parties, on pose 2( )1'( )(1 )u t t av tt= = + do '( ) 11( )1u tv tt= = + et 1 0001( )( ) ( ) ln(1 )1 (1 )a at a dtI a a I a a at t (= = + = + (+ + . 3. Encore une intgration par parties : 12( ) ( )1'( )(1 )kku t t av tt++ = = +, soit 2 2 11'( ) ( 1)( )1 1( ) (1 ) (1 )2 1( 1)(1 )kk kku t k t av t t dt tk k t ++ = + = + = + = + + + , do 1 1 1 111 10 00( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( )1 1( 1)(1 ) ( 1)(1 ) (1 )ak k k k k ka ak kk k kt a k t a a t a dt aI a dt I ak kk t k t t+ + + ++ + + ( + = + = + = + ( + ++ + + + + ( . Terminale S 20 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 4. Soit 5 4 3 2( )5 4 3 2x x x xP x x = + + ; calculons 5( ) I a laide de lgalit prcdente : pour k = 1 : 2 22 1( 1) ( ) ( ) ln(1 )2 2a aI a I a a a= + = + + , pour k = 2 : 3 3 3 23 2( 1)( ) ( ) ln(1 )3 3 2a a aI a I a a a= + = + + + , pour k = 3 : 4 4 3 24 3( ) ( ) ln(1 )4 4 3 2a a a aI a I a a a = + = + + + , pour k = 4 : 5 5 4 3 25 4( ) ( ) ln(1 ) ln(1 ) ( )5 5 4 3 2a a a a aI a I a a a a P a = + = + + + + = + . 5. 6 6500( )( ) ( )6 6aa t a aJ a t a dt (= = = ( 6. a. Comme t a , on a 50 ( ) 0 t a t a do 55 66 6( ) 1( ) 1 (1 ) 1(1 ) (1 )t at a tt t + + + ce qui est videmment vrai (remarquez les deux changements de sens des ingalits). b. On a 556( )( )(1 )t at at + donc en intgrant sur lintervalle [0 ; a] : 5560 0( )( )(1 )a a t at a dt dtt + do 5( ) ( ) J a I a ; de plus 56( )0(1 )t at + et lintgrale dune fonction ngative sur un intervalle dont les bornes sont ranges dans le sens croissant est ngative donc 560( )0(1 )a t a dtt +, do 5560 0( )( ) 0(1 )a a t at a dt dtt + . 7. On a daprs 4. 6550ln(1 ) ( ) ( ) ( )6a aa P a I a t a dt + = = (lingalit du 6.b. devient 5560 0( )( )(1 )a a t at a dt dtt + du fait du changement de signe). 8. Il suffit de prendre 63106a , soit 6 36.10 0, 426 a . Moralit : pour x dans [0 ; 6 36.10], on approche ln(1+ a) par P(a) avec une erreur maximale de 0,001. Ceci est trs utile pour calculer les valeurs des logarithmes. 1. 18. Suite intgrales, France 2006 5 points 1. Soit f la fonction dfinie sur par ( )2 1 xf x x e = . On dsigne par C sa courbe reprsentative dans un repre orthonormal ( ; , ) O i j dunit graphique 2 cm. a. Dterminer les limites de f en et en + ; quelle consquence graphique pour C peut-on en tirer ? b. Justifier que f est drivable sur . Dterminer sa fonction drive f . c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C. 2. Soit n un entier naturel non nul. On considre lintgrale In dfinie par 110 n xnI x e dx=. a. tablir une relation entre In+1 et In. b. Calculer I1, puis I2. Terminale S 21 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr c. Donner une interprtation graphique du nombre I2. On la fera apparatre sur le graphique de la question 1. c. 3. a. Dmontrer que pour tout nombre rel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a lingalit suivante : 1 n n x nx x e x e . b. En dduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers + . Correction 5 points 1. a. ( )2 1 xf x x e = tend vers + en car les deux termes tendent vers + . En + , les croissances compares permettent de dire que lexponentielle fait tendre f vers 0. On a alors une asymptote horizontale 0 y = . b. f est le produit de fonctions drivables sur et est donc drivable sur . ( ) ( )1 2 1 12 2x x xf x xe x e x x e = = . c. Comme lexponentielle est positive, f est du signe de ( ) 2 x x . x 0 2 + f + 0 14e 0 La reprsentation graphique est laisse au lecteur. 2. a. Faisons une intgration par parties : ( )11 1' 1' 'n nx xu n x u xv e v e+ = + = = = do ( ) ( ) ( )1 1 111 1 1 1 1 0 1100 0 01 1 0 1 1 1n x n x n x n xn nI x e dx x e n x e dx e n x e dx n I+ + + (= = + = + + + = + + . b. 1 11 11 1 1 1 110 00 01 2x x x xI x e dx e e dx e xe e ( (= = + = + + = ; par application de la formule de rcurrence, on trouve : ( )2 11 2 1 2 2 2 5 I I e e = + = + = . Remarque : on aurait pu faire calculer 111 10001x xI e dx e e (= = = + puis appliquer la formule de rcurrence : ( )1 01 1 1 2 I I e e = + = + = on aurait vit une deuxime intgration par parties c. Aire entre la courbe de f, laxe horizontal, x = 0 et x = 1. 3. a. 0 1 1 10 1 1 0 0 1 1 x n n x nx x x e e e x x e x e car 0nx > . b. On intgre lingalit entre 0 et 1 : 1 11 1 11 1 10 0 00 01 1 11 1 1 1n n x n n nn n ex dx x e dx x edx x I e x In n n n + + ( ( ( (+ + + + ; donc In tend vers 0 grce nos amis les gendarmes 1. 19. Intgrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts On considre les suites ( )nx et ( )ny dfinies pour tout entier naturel n non nul par : 10cosnnx t tdt = et 10sinnny t tdt =. 1. a. Montrer que la suite ( )nx est termes positifs. Terminale S 22 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr b. tudier les variations de la suite ( )nx . c. Que peut-on en dduire quant la convergence de la suite ( )nx ? 2. a. Dmontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 11nxn+. b. En dduire la limite de la suite ( )nx . 3. a. laide dune intgration par parties, dmontrer que, pour tout entier naturel n non nul, ( ) ( )11 sin 1n nx n y+ = + + . b. En dduire que lim 0nn y+ = . 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, ( ) ( )11 cos 1n ny n x+ = + . Dterminer lim nn nx+ et lim nn ny+. Correction 1. a. Pour tout rel t de | | 0 ; 1 , cos 0 t > et 0nt ; la fonction cosnt t t est positive sur lintervalle | | 0 ; 1 . De plus, cette fonction est continue sur | | 0 ; 1 , par consquent 10cos 0nt t dt , cest--dire que 0nx pour tout entier naturel n non nul. b. ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1 110 0 0 0 0cos cos cos cos cos 1 cos n n n n n n nn nx x t t dt t t dt t t t t dt t t t dt t t t dt+ + ++ = = = = . Sur | | 0 ; 1 , 1 0 t , 0nt , cos 0 t , la fonction ( ) 1 cosnt t t t est ngative et ( )101 cos 0nt t t dt , 10n nx x+ : ( )nx est dcroissante. c. Comme ( )nx est dcroissante et minore par 0, ( )nx est convergente. 2. a. 0 cos 1 t < , soit 0 cosn nt t t < et 1 10 00 cos n nt t dt t dt < . 111001 1 11 1 1n nnt dt t xn n n+ (= = (+ + + . b. Comme 101nxn< + et 1 1lim lim 01 n n n n + += =+, daprs le thorme des gendarmes, lim 0nn x+ = . 3. a. 1110cos nnx t t dt++ =. Posons ( ) cos u t t = et ( )1 nv t t += , alors ( ) sin u t t = et ( ) ( ) 1 nv t n t = + : ( ) ( ) ( ) ( )1 1 111 1 1 1100 0 0cos sin 1 sin sin 1 0 1 sin n n n nnx t t dt t t n t t dt n t t dt+ + + ++ (= = + = + donc ( ) ( )11 sin 1n nx n y+ = + + . b. On a ( )1sin 11 nn xyn +=+ et 1lim 0nn x ++ = (daprs la question 2. b.) do : ( ) ( ) ( )1lim sin 1 sin 1nn x ++ = . De plus, ( ) lim 1n n+ + = + ; donc, par quotient des limites, lim 0nn y+ = . 4. ( ) ( )11 cos 1n ny n x+ = + . Alors ( )1cos 1n n nnx y x+= + ; or 1lim 0nn y ++ = et lim 0nn x+ = donc ( ) lim cos 1nn nx+ = . Terminale S 23 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr On sait que ( )1sin 11 nn xyn +=+, soit ( ) ( )1sin 11n nnny xn += + ; comme ( ) ( ) ( )1lim sin 1 sin 1nn x ++ = et 1lim lim 1111n nnnn+ += =+ + 1car lim 0n n +| |= |\ , on a par consquent, ( ) lim sin 1nn ny+ = . 1. 20. Intgrale et suite 5 Pour tout entier naturel n, on dfinit 20sinnxnI e xdx= et 20cosnxnJ e xdx=. 1. Calculer I0 et J0 2. En intgrant par parties In puis Jn montrer que 21n nnn nI nJnI J e + = + = . 3. En dduire les expressions de In et Jn en fonction de n. 4. Dterminer la limite de In et celle de Jn quand n tend vers + . Correction 1. | |2 2000sin cos 1 I xdx x = = =, | |2 2000cos sin 1 J xdx x = = =. 2. On pose par exemple '' sin cosnx nxu e u nev x v x = = = = do 2 2200 0sin cos cos 1 1nx nx nxn n n nI e xdx e x ne xdx nJ I nJ (= = = + = . On procde de mme pour la deuxime intgrale. 3. On rsoud facilement le systme : 22222211(1 ) 11nn n nn nnn nI nJnen I ne Inn I nJ ne+ = + = =+ + = puis 222222(1 )1nn n nn nnn nnI n J n n en J n e JnnI J e + = + + = + =+ + =. 4. Lexponentielle lemporte toujours, donc 1 0lim 01nn I+ = =+ et 2lim lim 0nn n nJn+ += = . 1. 21. Mthode dEuler, Am. du Nord 2006 7 points Le plan est muni dun repre orthonormal ( ; , ) O i j . On sintresse aux fonctions drivables sur | | 0 ; + vrifiant les conditions : (1) pour tout rel x appartenant | | 0 ; + , ( ) ( )2' 4 f x f x = ( ; (2) ( ) 0 0 f = . On admet quil existe une unique fonction f vrifiant simultanment (1) et (2). Les deux parties peuvent tre traites de manire indpendante. Lannexe sera complte et remise avec la copie la fin de lpreuve. Partie A : tude dune suite Terminale S 24 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Afin dobtenir une approximation de la courbe reprsentative de la fonction f, on utilise la mthode itrative dEuler avec un pas gal 0,2. On obtient ainsi une suite de points nots ( )nM , dabscisse ( )nx et d'ordonne ( )ny telles que : 0 120 10, 0, 20, 0, 2 0, 8n nn n nx x xy y y y++= = += = + +. 1. a. Les coordonnes des premiers points sont consignes dans le tableau ci-dessous. Complter ce tableau. On donnera les rsultats 104 prs. n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0,4 yn 0 0,8000 1,4720 b. Placer sur le graphique donn en annexe les points Mn pour n entier nturel infrieur ou gal 7. c. Daprs ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite ( )ny et sur sa convergence ? 2. a. Pour x rel, on pose ( )20, 2 0, 8 p x x x = + + . Montrer que si | | 0 ; 2 x alors ( ) | | 0 ; 2 p x . b. Montrer que pour tout entier naturel n, 0 2ny . c. Etudier le sens de variation de la suite ( )ny . d. La suite ( )ny est-elle convergente ? Partie B: tude dune fonction Soit g la fonction dfinie sur | | 0 ; + par ( )44121xxeg xe =+ et ( ) gC sa courbe reprsentative. 1. Montrer que la fonction g vrifie les conditions (1) et (2). 2. a. Montrer que ( ) gC admet une asymptote dont on donnera une quation. b. Etudier les variations de g sur | | 0 ; + . 3. Dterminer labscisse du point dintersection de et de la tangente ( ) gC lorigine. 4. Tracer dans le repre la courbe ( ) gC et les lments mis en vidence dans les questions prcdentes de cette partie B. Terminale S 25 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Correction Partie A : tude dune suite 1. a. n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 yn 0 0,8000 1,4720 1,8386 1,9625 1,9922 1,9984 1,9997 b. Voir ci-dessous c. La suite ( )ny semble croissante et converger vers 2. 2. a. ( )20, 2 0, 8 p x x x = + + , ( ) ' 0, 4 1 p x x = + qui est positif lorsque 12, 50, 4x < = . Donc p est croissante de | | 0 ; 2 vers ( ) ( ) | | | | 0 ; 2 0, 8 ; 2 0 ; 2 p p = ( . b. On a par rcurrence | |00 0 ; 2 y = ; par ailleurs si | | 0 ; 2ny alors ( ) | |10 ; 2n ny p y+ = avec ce quon a dit en 2. a. c. 1 00, 8 y y = > ; par rcurrence on a alors ( ) ( )1 0 2 1p y p y y y > > , etc. En appliquant p autant de fois que ncessaire on a 1 n ny y+ > (notez que cest uniquement le fait que 1 00, 8 y y = > qui rend la suite croissante, si ctait le contraire, 1 0y y < alors la suite serait dcroissante). d. La suite ( )ny est croissante et majore par 2, elle converge ; sa limite est le point fixe de p dans | | 0 ; 2 , savoir 2. Terminale S 26 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr Partie B: tude dune fonction 1. ( )4 04 010 2 01ege = =+ ; ( ) ( ) ( )( ) ( )4 4 4 442 24 44 1 4 12 161 1x x x x xx xe e e e eg xe e+ = =+ + ; par ailleurs ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 24 4 44 422 2 2 24 4 4 41 1 12 24 4 4 4 4 161 1 1 1x x x x xx x x xe e e e eg xe e e e + = = = = ( + + + +. La fonction g vrifie bien les conditions (1) et (2). 2. a. En + ( )44121xxeg xe =+ se comporte comme ses termes les plus forts, soit 442 2xxee ; lasymptote est donc 2 y = . Il ny a pas dasymptote verticale car 41 0xe + > . b. La drive a dj t calcule au 1. ; elle est positive donc g est croissante. 3. La tangente ( ) gC lorigine a pour quation ( ) ( ) ( ) 0 0 0 4 y g x g x = + = . Elle coupe en 1; 22| | |\ . 1. 22. Equa diff, intgrale, volume, Am. du Sud 2004 3 points On a reprsent ci-dessous, dans un repre orthonormal ( ; , ) O i j , la courbe reprsentative de la fonction f, drivable sur , solution de lquation diffrentielle (E) ' 0 y y + = et telle que (0) y e = . 1. Dterminer f(x) pour tout x rel. 2. Soit t un rel donn de lintervalle [1 ; e]. Rsoudre dans lquation 1 xe t = dinconnue x. Terminale S 27 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3. Soit A le point dabscisse 0 et B le point dabscisse 1 de la courbe. On considre le solide obtenu par rotation autour de laxe des ordonnes de larc de courbe

AB comme reprsent sur la deuxime figure. On note V son volume et on admet que 21(1 ln )eV t dt = . Calculer V laide de deux intgrations par parties successives. Correction 00,511,522,533,54-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4xyB A 00 ,511,522 ,53-2 -1,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1,5 2xyTerminale S 28 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 1. (E) ' 0 ' y y y y + = = et (0) y e = : ( ) xf x Ce= et 0(0) f Ce C e = = = donc 1( ) x xf x ee e = = . 2. 11 ln 1 lnxe t x t x t = = = (on a ainsi la fonction rciproque de f : 1( ) 1 ln f t t = ). 3. 21(1 ln )eV t dt = : on pose 2(1 ln ) , ' 1 u t v = = , do 1' 2 (1 ln ) u tt| |= |\ et v t = : 2 211 1 1(1 ln ) (1 ln ) 2 1 ln 0 2 1 lne e eeV t dt t t tdt tdt (= = + = + ; on pose 1 ln , ' 1 u t v = = , do 1' ut= et v t = : | |11 11 ln (1 ln ) 1 1 ( 1) 2e eetdt t t dt e e = = + = et enfin 2 4 (2 5) 1, 37 V e e = + = . Remarque : on voit sur la figure que le volume en question est quasiment celui dun cne de base un cercle de rayon 1 et de hauteur 1,5. Comme le volume dun cne est 213 R h , on a bien environ 1,5. 1. 23. Equa diff + fonction+intgrale, Antilles 2001 11 points Partie A :Rsolution de lquation diffrentielle (1) : ' 2 xy y xe = . 1. Rsoudre lquation diffrentielle (2) : ' 2 0 y y = , o y dsigne une fonction drivable sur . 2. Soient a et b deux rels et soit u la fonction dfinie sur par u(x) = ( ) xax b e + . a. Dterminer a et b pour que u soit solution de lquation (1). b. Montrer que v est solution de lquation (2) si et seulement si u+v est solution de (1). c. En dduire lensemble des solutions de (1). d. Dterminer la solution de lquation (1) qui sannule en 0. Partie B : Etude dune fonction auxiliaire Soit g la fonction dfinie sur par ( ) 2 2xg x e x = . 1. Dterminer la limite de g en et la limite de g en + . 2. Etudier le sens de variation de g , puis dresser son tableau de variation. 3. On admet que lquation g(x) = 0 a exactement deux solutions relles. a. Vrifier que 0 est lune de ces solutions. b. Lautre solution est appele . Montrer que 1,6 1, 5 . 4. Dterminer le signe de g(x) suivant les valeurs du rel x. Partie C : Etude de la fonction principale Soit f la fonction dfinie sur par 2( ) ( 1)x xf x e x e = + . 1. Dterminer la limite de f en et la limite de f en + .( On pourra mettre 2xe en facteur) 2. Calculer '( ) f x et montrer que '( ) et ( ) f x g x ont le mme signe. Etudier le sens de variation de f. 3. Montrer que 22( )4f += , o est dfini dans la partie B. En dduire un encadrement de ( ) f (On rappelle que 1,6 1, 5 ). 4. Etablir le tableau de variation de f. 5. Tracer la courbe (C), reprsentative de f dans le plan rapport un repre orthonormal (unit graphique 2 cm ). Partie D : Calcul daire Terminale S 29 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 1. Soit m un rel ngatif. Interprter graphiquement lintgrale 0( )m f x dx. (On justifiera la rponse) 2. a. Calculer 0xm xe dx laide dune intgration par parties. b. En dduire 0( )m f x dx. 3. Calculer la limite de 0( )m f x dx, lorsque m tend vers . Correction Partie A 1. Lquation (2) sans second membre a, daprs le cours, pour solutions les fonctions dfinies sur par : 2xx ke avec k rel quelconque. 2. a. On a '( ) ( ) ( )x x xu x ax b e ae ax a b e = + + = + + donc u est solution de lquation diffrentielle (1) ( ) 2( )x x xax a b e ax b e xe + + + = . Comme 0xe pour tout rel x, u est solution de lquation diffrentielle (1) 2 2 ax a b ax b x + + = cest dire si et seulement si , pour tout x rel , ax a b x + = soit 1 1 et 10aa ba b = = = =. La fonction u cherche est donc dfinie par u(x) = ( 1) xx e . b. On sait que '( ) 2 ( ) xu x u x xe = , v est solution de (2) ' 2 0 ' 2 ' 2 ( ' ') 2( )x xv v v v u u xe v u v u xe = + = + + =( )' 2( ) est solution de (1)xv u v u xe u v + + = + . Remarque : on peut aussi supposer que v est solution de (2) et en dduire que u+v est solution de (1) puis supposer que (u+v) est solution de (1) et en dduire que v est solution de (2). c. Soit f une solution de (1). On peut poser f = u + v. (On a alors v = f u) . On sait que u + v est solution de (1) v est solution de (2). Les solutions de (1) sont donc les fonctions f dfinies par : 2( 1) x xx x e ke + + ( k ) d. On cherche k tel que f(0)=0 : 0 0(0) 0 0 1 f e ke k = + = = . La solution de (1) qui sannule en 0 est la fonction 2(1 ) x xx x e e + + Partie B 1. On a lim 0xx e = donc lim ( ) lim 2x xg x x = = + . Ecrivons g(x) en mettant en facteur le terme qui crot le plus vite : ( ) (2 2 )x x xg x e xe e = . Or on sait que lim lim 0x xx xxe e + += = par consquent lim ( )x g x+ = + . 2. La fonction g est drivable sur et sa drive est : 1'( ) 2 1 22x xg x e e| |= = |\ . Signe de '( ) g x : On a : 1 1 10 ln ln22 2 2x xe e x x . Tableau de variations : x ln2 + Terminale S 30 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr g(x) 0 + g + + ln21 Remarque : ln 2 - 1 0, 31 , 1ln21 1ln 2 ln 2 1 ln22 2g e | | |\ | | | | | |= = + | | |\ \ \ . 3. a. 0(0) 2 0 2 0 g e = + = donc 0 est une solution de lquation ( ) 0 g x = . b. Daprs le tableau de variation de g, lautre solution est dans lintervalle ] ; ln2[ ; or sur cet intervalle, g est dcroissante. La calculatrice donne : ( 1,6) 0,004 et ( 1, 5) 0, 054 g g , par consquent ( 1, 5) ( ) ( 1,6) g g g et donc 1,6 1,5. 4. Etude du signe de g(x) : rsumons la dans un tableau. x ln2 0 + g + + 0 0 ln21 signe de g(x) + 0 0 + Partie C : 1. 2( ) x x xf x e xe e = . On sait que 2lim 0, lim 0, lim 0x x xx x xe xe e = = = , par consquent lim ( ) 0x f x = . ( )2( ) 1x x xf x e xe e = : on sait que lim 0xx xe+ = et lim 0xx e+ = donc lim ( )x f x+ = + . 2. La fonction f est drivable sur et sa drive vaut : 2 2'( ) 2 ( 1) 1 2 ( 2)x x x x xf x e x e e e x e (= + + = + . Mettons xe en facteur pour faire apparatre g(x) : '( ) (2 2) ( )x x xf x e e x e g x = = ; comme, pour tout x rel, 0xe > , '( ) f x est du signe de g(x). On en dduit le tableau de variations de f : x 0 + f (x) + 0 0 + f f( ) + 0 0 3. On sait que ( ) 0 g = donc 2 2 0 e = soit e= 22 +. On obtient 2 2 222 2 4 4 3 2( ) ( 1) ( 1)2 2 4 2f e e | |+ + + + + +| | | |= + = + = | | | |\ \ \ , soit 2 22 2( )4 4f += = . 4. Nous lavons dj donn la question 2. 5. La courbe (C) admet laxe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de et comme tangente en O. Terminale S 31 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 00.511.522.53-2 -1 1 2x Partie D : 1. Comme m 0 et que f est positive sur [m ; 0] , lintgrale en question est laire de la partie de plan comprise entre laxe des abscisses, la courbe (C) et les droites dquation (x = m) et (x = 0). 2. a. Faisons, comme suggr par lnonc, une intgration par parties : ( ) '( ) 1'( ) ( )x xu x x u xv x e v x e= == =. On en dduit 0xm xe dx= ( )00 01 (1 ) 1x x m x m m mm mmxe e dx me e me e m e ( ( = = = . b. On a 0( )m f x dx=0 0 002 2 21( ) ( ) (1 ) 12x x x x x x x x mmm m me xe e dx e e dx xe dx e e m e ( = = + ( , soit finalement : 02 21 1 1 1( ) 1 (1 ) 12 2 2 2m m m m mm f x dx e e m e me e = + + = + . 3. On sait que lim 0mm me = et que 2lim 0mm e = donc limm01( )2m f x dx =. 1. 24. La chanette La chanette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogne, pesant, flexible et inextensible suspendu ses extrmits deux points fixes. On montre et on admettra dans ce problme que, rapporte un repre orthonorm ( ; , ) O i j convenable la chanette a pour quation ( )2x xe ey f x += = o est un paramtre rel positif dpendant de la longueur du fil. On note C la courbe reprsentative de f. On laisse pendre un tel fil dune longueur de 4 m entre deux points situs une mme hauteur et distants de 2 m. Le but du problme est de calculer une valeur approche de la flche prise par le fil, c'est--dire la distance d indique sur le schma. Terminale S 32 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr A. Etude de la chanette 1. On prend 1 = : tudiez les variations de 1( ) f x ; dterminez ses limites en + et . 2. Tracez les courbes C1, 2C et 3C (unit graphique 1 cm). 3. Prouvez que pour tout la courbe C se dduit de la courbe C1 par une homothtie dont on prcisera le centre et le rapport. Dans toute la suite on prend strictement positif. B. Recherche de d Pour une courbe dquation y = f(x) un petit lment de courbe a pour longueur ds tel que 2 2 2ds dx dy = + , soit | | | | | |2 22 2 21 1 '( ) 1 '( ) 1 '( )bady ds dsf x ds f x dx s f x dxdx dx dx| | | | = + = + = + = + | |\ \ . 1. Faites un schma montrant que vous avez compris quelque chose aux explications prcdentes et montrez que la longueur de la chanette est ( ) e eL = . 2. Exprimer en fonction de la flche ( ) d de la chanette C. C. Le problme consiste donc trouver la valeur de pour laquelle ( ) 4 L = 1. Donnez une valeur approche 102 prs de la solution de lquation (E) : ( ) 4 L = . 2. On considre la fonction ( ) t te ett = . Calculez '( ) t et montrez que '( ) t est toujours positive. Dterminez la limite de ( ) t en + et dduisez-en lexistence dune unique solution de (E). 3. Dterminez alors les coordonnes du minimum de la fonction ( ) f x ainsi que d( ). D. Une variante (nettement plus labore) de la question prcdente est la suivante : 1. Rsoudre lquation dinconnue X, 24 1 0 X X = . 2. En dduire que ( ) 4 L = quivaut 2ln(2 4 1) = + + . 2 m d Terminale S 33 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3. Soit g la fonction dfinie par ( )2( ) ln 2 4 1 g x x x = + + . a. Etudier les variations de g sur . b. Tracer sa courbe reprsentative ainsi que la droite D(y = x). c. Montrer que lquation g(x) = x a une seule solution comprise entre 2 et 3. 4. On note [2, [ I = + . a. Dmontrer que pour tout x de I, g(x) appartient I. b. Prouver que pour tout t de I, 0 '( ) 0, 5 g t < . En dduire que pour tout x de I, ( ) 0, 5 g x x . 5. On considre la suite nu dfinie par 02 u = et pour tout 0 n 1( )n nu g u+ = . a. En utilisant la construction du 3.b. conjecturer le comportement de nu . b. Dmontrer que pour tout n, 0, 5 2nnu a . Conclure quand la convergence de nu . c. Dterminer un entier n0 tel que 0nu soit une valeur approche de 104 prs. d. Amliorez le rsultat obtenu au C.3. Correction A. Etude de la chanette 1. 1 = , 1( ) cosh( )2x xe ey f x x+= = = ; 1( ) sinh( )2x xe ef x x = = ; 0 0x x x xe e e e x x x ; donc cosh est dcroissante avant 0, croissante aprs. En fait cosh est paire donc sa courbe est symtrique par rapport 0 ; en + la fonction est comme xe et tend vers + . Le minimum est 1 en 0. 2. Merci lordinateur 3. Essayons une homothtie de centre O, de rapport k (inconnu) sur C1 ; pour ce faire on crit analytiquement cette homothtie, soit M(x, y) en fonction de M(x, y) puis on obtient les coordonnes de M en fonction de celles de M ; enfin on remplace dans f1. Terminale S 34 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr ' (1/ ) '( ; ) '( ' ; ')' (1/ ) 'x kx x k xM x y M x yy ky y k y= = = = ; remplaons : ' ' ' '1 1'( ) ' ( ')12 22x x x xx x k k k kky e e e e e ey f x y f xkk + + += = = = = . Moralit, la courbe C1/k,1/( )ky f x = , est limage de C1 par lhomothtie de centre O de rapport k donc C est limage de C1 par lhomothtie de centre O de rapport 1. B. Recherche de d 1. Lessentiel est dans 2 2 2ds dx dy = + : on considre un petit morceau de courbe comme un bout de tangente et cette expression est le thorme de Pythagore cet endroit. On a donc | |21 '( )bas f x dx = + avec a=1, b=1 et f f= : ( )( ) ( )2 2 2x x x x x xe e e e e ey f x f x + = = = = qui sannule en 0 x = ; le repre choisi est donc centr sur le sommet de la courbe ; par ailleurs 2 1(0)2f = = , enfin comme la largeur est de deux mtres les extrmits sont aux abscisses 1 et 1 et lordonne (1) ( 1)2e ef f += = , on a 2( ) (1) (0)2e ed f f + = = . On a donc : | |2 22 21 1 121 1 14 2( ) 1 ( ) 12 4 2x x x x x xbae e e e e eL f x dx dx dx dx | | | | + + + = + = + = = | | | |\ \ do 11111 1 1( ) ( )2 2 2x x x x e e e e e eL e e dx e e + + + (= + = = = ( . 2. Comme vu au 1. on a 1( ) (1) (0)2e ed f f += = . C. 1. ( ) 4 L = 104 prs vaut 2,1773. ds dx dy Terminale S 35 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 2. t > 0, ( ) t te ett = , 2( ) ( )'( ) t t t te e t e ett + = . La situation se corse Nous allons considrer la fonction tanh t tt te ete e=+ dont la drive est ( )24tanht tte e =+ ; on a alors | | ( ) ( ) ( ) tanht t t t t te e t e e e e t t + = + ; posons ( ) tanh u t t t = , alors 2 22 2 2( ) 4 ( ) 4'( ) 1 0( ) ( ) ( )t t t tt t t t t te e e eu te e e e e e + = = = + + + donc u est croissante et ( ) (0) 0 u t u = . Ouf !!! Nota bene : lorsquon trace la courbe de ( ) t on saperoit quelle dmarre 2 qui doit donc tre la limite de en 0. On peut lobtenir comme suit : 20 01lim ( ) lim2 22ttt t et et = = car 01lim 1xx ex = . En + cest plus simple puisque se comporte comme tet qui tend vers + . est donc continue, monotone strictement croissante de [0 ; [ + vers [0 ; [ + , elle est bijective et lquation ( ) 4 t = a une seule solution. 3. Le minimum de ( ) f x est en x = 0, 1 1(0) 0, 462,1773f= ce qui donne 1( ) 2, 052 0, 46 1, 592e ed += = . Terminale S 36 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr D. 1. 24 1 0 X X = : 216 4 = + , 222 4 1 X = + , 212 4 1 X = + + . 2. ( ) 4 L = donne alors 224 4 4 1 04 1 0X ee e e e e eX X =+ = + = + = + =. Comme est positif, on choisit la racine positive, soit 2 22 4 1 ln(2 4 1) e = + + = + + . 3. ( )2( ) ln 2 4 1 g x x x = + + . a. ( )222 22 2 2 24 2 4 12 22 4 124 1 4 1'( ) 02 4 1 2 4 1 2 4 1 4 1x x xx xx xg xx x x x x x x+ + ++ ++ += = = = >+ + + + + + + donc croissante sur . b. On trace la courbe reprsentative de g ainsi que la droite D(y = x) ; sur la figure on a rajout lescalier form par les termes de la suite (question pose en C. 5. a, on part de 1 sur la figure pour mieux voir, fichier tlcharger : http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/TS_ds7_C.xls) x v 0 0 + v + 1,31 0 3 / 2Terminale S 37 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr c. Pour x >0, soit v(x) = g(x) x : 22'( ) 14 1v xx= + ; 2 23'( ) 0 2 4 1 4 4 12v x x x x = = + = + = . On a le tableau de variations ci-contre. On calcule (2) 0,1 0 v > et (3) 0, 05 0 v < donc v sannule une seule fois. 4. a. g est croissante, (2) 2, 094 2 g > donc pour tout x, g(x) appartient I. b. Pour 0 '( ) g t < cest vident ; pour '( ) 0, 5 g t : 2 222 2 12 4 16 4 1 17 44 24 1t t tt + > > < =+. Intgrons cette relation entre x et : ( ) 0 '( ) 0, 5 0 '( ) 0, 5 0 ( ) ( ) 0, 5x xg t g t dt dt g g x x < < < ; on peut recommencer avec x suprieur , ce qui donne la relation dans lautre sens do en remarquant que ( ) g = , ( ) 0, 5 g x x . 5. 02 u = , 1( )n nu g u+ = . a. La suite est croissante, majore, convergente vers . b. On utilise ( ) 0, 5 g x x avec nx u = , 1( ) ng x u += do 10, 5n nu u + . Par rcurrence il est immdiat que 21 2 00, 5 0, 5 ... 0, 5 0, 5 2n nn n nu u u u = . Cette dernire suite est gomtrique de raison 0,5 ; elle converge donc vers 0 et nu converge vers . c. A la calculatrice on voit que 122,1773... u = et est donc stabilis 104 prs de (voir le fichier). A la main on peut rsoudre 40, 5 2 10n , ce qui donne une ide. On a alors 44ln102 3 2 1 0, 5 2 0, 5 10 13, ..ln0, 5n nn soit 014 n = . d. On peut donc obtenir une valeur trs prcise de : 2,17731898496531 pour 41u est trs bon. Soit lquation diffrentielle (E) : ' 1 y y x + = . 1. 25. Primitive de ln Soit la fonction dfinie sur l'intervalle I = ]4 ; + [ par : 1( ) 2 5 3ln4xf x xx += + + et (C) sa courbe reprsentative dans le repre orthonormal (O ; ) i, j , unit graphique : 1 cm. 1. tude de f a. tudier les limites de la fonction f aux bornes de I. b. Montrer que sur I, ( ) f x est strictement ngative et dresser le tableau de variation de f. c. Montrer que la droite (D) d'quation y = 2x + 5 est une asymptote (C). Prciser la position de (C) par rapport (D). 2. Calcul d'aire a. Dterminer, l'aide d'une intgration par parties, les primitives sur ]0 ; + [ de la fonction x ln x. b. Montrer que la fonction G : x (x + 1) ln (x + 1) x est une primitive de la fonction g : x ln (x + 1) sur I. c. Montrer que la fonction H : x (x 4) ln (x 4) x est une primitive de la fonction h : x ln (x 4) sur I. Terminale S 38 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr d. Dduire des questions prcdentes le calcul de l'aire A du domaine plan dlimit par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'quations respectives x = 5 et x = 6. On donnera la valeur exacte de A puis une valeur approche 10 2 prs. Correction 1. a. Lorsque x tend vers 4, 14xx + tend vers + ainsi que 1ln4xx+ donc f tend vers + . Lorsque x tend vers + , 14xx + tend vers 1, 1ln4xx+ tend vers 0, 2x+5 tend vers donc f tend vers . b. | |2( 1)( 4) 15 1 1 1'( ) 2 3 ln 2 3 ln( 1) ln( 4) 2 34 1 4 ( 1)( 4)x x xf x x xx x x x x + + ( (= + = + + = + = ( ( + + . Lorsque x > 4, x+1 est positif, x4 est positif donc le numrateur est ngatif et le dnominateur est positif. Moralit, f est ngative. c. 1( ) ( 2 5) ln4xf x xx + + = ; nous avons dit que ce terme tend vers 0 lorsque x tend vers + donc la droite (D) est une asymptote (C). Lorsque x > 4, 104xx + > donc (C) est au-dessus de (D). 2. a. On pose 1ln , ' 1 ' , u x v u v xx= = = = do une primitive de ln x est 1ln ln x x xdx x x xx = . b. On drive G : 1'( ) 1. ln( 1) ( 1) 1 ln( 1)1G x x x xx= + + + = ++. c. Exactement pareil. d. On cherche 6 65 5A ( ) ( 2 5) 3 ln( 1) ln(4 ) 3[ (6) (5)] 3[ (6) (5)] f x x dx x x dx G G H H = + = + = ; (6) (5) 7 ln7 6 6 ln6 5 7 ln7 6 ln6 1 G G = + = , (6) (5) 2ln2 6 1ln1 5 2ln2 1 H H = + = et le rsultat | | A 3 7 ln7 6 ln6 2ln2 4, 45 U = . 1. 26. Equation diffrentielle On se propose de dterminer les fonctions drivables solutions de l'quation diffrentielle 2 y' + y = x + 2x 2 (E) 1. Montrer qu'il existe une fonction polynme g du second degr solution de (E) et dterminer laquelle. 2. Dmontrer que f est solution de (E) si et seulement si f g est solution de l'quation diffrentielle : 2y' + y = 0 (E) 3. Rsoudre (E) et en dduire toutes les solutions de (E). 4. Dterminer les solutions dont la reprsentation graphique passe par l'origine du repre. Correction 1. On pose 2( ) g x ax bx c = + + do 2 22 ' 4 2 (4 ) 2 g g ax b ax bx c ax a b x b c + = + + + + = + + + + , soit par identification : 21 14 2 2 ( ) 2 22 2 2a aa b b g x x xc b c= = + = = = + = + = . Vrification, 2 22 ' 4 4 2 2 2 2 y y x x x x x + = + + = + , ok. 2. f est solution de (E) : 22 ' 2 2 2 ' 2( ' ') ( ) 0 2( )' ( ) 0 f f x x g g f g f g f g f g + = + = + + = + = , on a donc bien f g est solution de l'quation diffrentielle : 2y' + y = 0 (E). Terminale S 39 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3. 121'2 xy y y Ce= = do 1 122 2( ) ( ) ( ) 2 2x xf x g x Ce f x Ce x x = = + + . 4. On doit avoir (0) 0 2 0 2 f C C = + = = et la solution 122( ) 2 2 2xf x e x x= + + . 1. 27. Equation diffrentielle et primitive Soit lquation diffrentielle (E) : ' 1 y y x + = . 1. A laide dune intgration par parties, calculer 1( 1)xte t dt . 2. Soit z une fonction drivable sur , on pose ( ) ( ) xf x z x e= . Montrer que f est solution de (E) si, et seulement si, pour tout x rel, '( ) ( 1)xz x e x = . 3. A laide de la premire question, dterminer toutes les fonctions z vrifiant '( ) ( 1)xz x e x = . 4. Dduire de la question prcdente les solutions de (E). Dterminer la solution pour laquelle limage de 1 est 0. Correction 1. On pose 1, ' ' 1,t tu t v e u v e = = = = do 11 1( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 2)x xxt t t x x xe t dt t e e dt x e e e x e e ( = = + = + . 2. ( ) ( ) xf x z x e= . f est solution de (E) : ' 1 '( ) ( ) ( ) 1 '( ) 1 '( ) ( 1)x x x x xf f x z x e z x e z x e x z x e x z x x e + = + = = = . 3. Il est clair que z est une des primitives de ( 1) xx e , soit une fonction du type du 1. agrmente dune constante : ( ) ( 2) xz x x e e K = + + . 4. ( ) ( ) ( ) 2x x xf x z x e f x x ee Ke = = + + ; 1 1 1(1) 1 0 0 f ee Ke Ke K = + + = = = . La solution cherche est donc 1( ) 2 xf x x e += + . 1. 28. Equation diffrentielle : transfusion Une exsanguino-transfusion peut se schmatiser de la faon suivante : un rcipient R contient un liquide L dans lequel se trouve une substance S dont on veut diminuer la concentration. Le volume de R est de p litres (genre le corps humain) et la concentration initiale de S est de a gramme par litre dans L. 1. Premire mthode : on injecte dans R de manire continue du liquide L ne contenant pas la substance S et on prlve simultanment la mme quantit de mlange par un tuyau de sortie de sorte que le volume de liquide dans R reste constant. Les tuyaux darrive et de sortie ont des dbits de d litres par heure. On note m(t) la quantit de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration. a. Montrer que ( ) ( ) ( ) m t h m t dhC t + = ; en dduire que '( ) ( ) m t dC t = puis que '( ) ( )dC t C tp= (E). b. Dmontrer que lunique solution de (E) est ( ) exp dC t a tp| |= |\ . c. Au bout de combien de temps la concentration de S est-elle infrieure 5 % de sa valeur initiale ? d. Cette mthode permet-elle dliminer compltement S ? 2. Deuxime mthode : toutes les minutes on prlve dans R un pourcentage fixe q de mlange que lon remplace par la mme quantit de L ne contenant pas S. A la minute n on appelle mn la masse de S restant dans R et Cn sa concentration. Terminale S 40 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr a. Exprimer en fonction de n et des autres paramtres la masse nm de S prleve la minute n. b. Exprimer 1 nm + en fonction de nm puis 1 nC + en fonction de nC . En dduire nC en fonction de n, a, p et q. c. Au bout de combien de minutes la concentration de S est-elle infrieure 5 % de sa valeur initiale ? d. En posant 60 n t = donner une expression de nC . Comparer au rsultat du 1. Correction 1. Premire mthode : on note m(t) la quantit de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration. a. Pendant la dure h la quantit m de S passe de m(t) m(t+h) ; la diffrence entre les deux est ce qui est sorti pendant ce laps de temps, soit volume sorti x concentration = dbit x temps x concentration, on a donc bien ( ) ( ) ( ) m t h m t dhC t + = ; divisons tout par h : ( ) ( )( )m t h m tdC th+ = ; passons la limite quand h tend vers 0 : '( ) ( ) m t dC t = . Par ailleurs un instant t donn on a ( ) ( ) '( ) '( ) m t pC t m t pC t = = do '( ) ( )dC t C tp= (E). b. On reprend donc le cours et on a ( ) exp dC t K tp| |= |\ ; comme (0) C a = on en dduit que K = a et ( ) exp dC t a tp| |= |\ . c. On cherche t de sorte que ln(0, 05)( ) 0, 05 exp 0, 05 exp 0, 05 ln(0, 05) p d d dC t a a t a t t tp p p d| | | | | |\ \ . d. Pour liminer compltement S il faudrait que C(t) sannule un moment, ce qui est impossible ceci dit cest comme pour lhomopathie, au bout dun certain temps la quantit restante de S devient tellement faible que lon peut considrer quil ny en a plus. 2. Deuxime mthode : toutes les minutes on prlve dans R un pourcentage fixe q de mlange que lon remplace par la mme quantit de L ne contenant pas S. a & b. A t = 0 on a 0m ap = , t = 1 mn on a 1 0 0(1 ) m m qm ap q = = , puis de minute en minute on multiplie par 1 q , ce qui donne (1 )nnm ap q = . La concentration quand elle est 1( ) (1 )nn nC m t a qp= = c. On a 0ln0, 050, 05 (1 ) 0, 05 ln(1 ) ln(0, 05)ln(1 )nnC C q n q nq< < . d. 60 n t = , soit ( ) ( )60(1 ) exp 60 ln(1 ) exptnC a q a t q a kt = = = avec 6060ln(1 ) ln (1 ) k q q (= = . Pour que ce soit semblable il faut donc que 60ln (1 ) dqp ( = , soit 1 exp 1 exp60 60d dq qp p| | | | = = | | | |\ \ . Application numrique : p = 5 l, d = 0,1 l/mn, on a alors q = 0,03 % , pour le premier cas t suprieur 150 mn, pour le deuxime cas n suprieur 8987 (secondes), soit t suprieur 150 mn. Terminale S 41 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 1. 29. Equation diffrentielle : populations Une tude sur le comportement de bactries places dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvel en permanence a conduit proposer une loi dvolution de la forme ( ) ( ) ( )22 0, 0045 N t N t N t ( = (1) o t est le temps exprim en heures. ( ) N t reprsente le nombre dindividus prsents dans lenceinte linstant t ; t = 0 on a ( ) 0 1 N = (en milliers). 1. On pose ( ) ( )1y tN t= ; montrer que y est solution dune quation diffrentielle (E) du type y = ay+b. 2. Rsoudre (E). 3. En dduire que la solution de (1) est ( )210, 99775 0, 00225tN te=+. 4. Etudier les variations de N. 5. Montrer que ( )220, 99775 0, 00225tteN te=+. Dduisez-en une primitive de ( ) N t . 6. On appelle nombre moyen de bactries la limite quand T tend vers + de 01( )TN t dtT. Calculer cette intgrale et en dduire le nombre moyen de bactries dans lenceinte. Correction 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2'1 1' y ty t N t N tN t y t y t= = = . Remplaons dans (1) : ( ) ( ) ( )22 2' 2 0,0045' 2 0,0045 ' 2 0,0045yN t N t N t y yyy y= = = + . 2. On a donc la solution 2 20, 0045( ) 0, 002252t ty t Ce Ce = = +. A t = 0 on a N(0) = 1 do y(0) = 1 et donc 1 0, 00225 0, 99775 C C = + = . 3. La solution pour N est donc ( ) ( )22 21 10, 00225 0,99775 0,00225 0,99775tt teN ty t e e= = =+ +. 4. On a ( ) ( )( ) ( )222 22 20,99775 21,9955' 00, 00225 0, 99775 0,00225 0,99775t tt te eN te e = = >+ + donc N est croissante. En + sa limite est 14440, 00225 . 5. ( )220, 00225 0,99775tteN te=+ ; ( ) N t est de la forme ' uu avec 20,00225 0,00125tu e = , soit 2' 0,0045 tu e = . On crit donc ( )221 0, 00450,00450, 00225 0, 99775tt eN te=+ ; une primitive de N est alors ( )21ln 0, 00225 0, 997750, 0045 te + . Terminale S 42 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 6. ( ) ( )( ) ( ) ( )2002 21 1 1ln 0,00225 0,997750,0045ln 0, 00225 0, 99775 ln 1 ln 0,00225 0, 997750,0045 0, 0045TTtT TN t dt eT Te eT T (= + ( + += = Quand T tend vers + , ( )20,00225 0, 99775Te + est quivalent 20, 00225 Te et ( )2ln 0,00225 0, 997750,0045TeT+ est quivalent ( ) ( ) 2 ln 0,00225 ln 0,0022520,0045 0,0045 0,0045TT T+= + qui tend donc vers 24440, 0045 . 1. 30. Equation diffrentielle : poursuite Cet exercice est une (libre) adaptation de Max et Lucie : voir http://promenadesmaths.free.fr/fichiers_pdf/trajectoire_poursuite.pdf Le but de lexercice est de rsoudre lquation diffrentielle 2'' 1 ' xy R y = + (E). 1. a. On considre la fonction sinh( )2x xe ex = . Etudier les variations de sinh(x). b. Montrer que pour tout u rel, il existe un unique x tel que sinh(x) = u. c. Montrer que 1 2sinh ( ) ln( 1) x u u u= = + + . d. Montrer que la drive de sinh1(u) est ( )=+12'sinh ( ) '1uuu. 2. a. Montrer que lquation (E) est quivalente 2''1 'y Rxy = + et donne aprs intgration 1sinh ( ') ln y R x K= + o K est une constante. b. En dduire que | |= |\ 1'2 K RR Ke xyx e. c. Avec la condition initiale '(1) 0 y = , montrer que ( )1 1'2RRy xx (| |= ( |\ ( . c. Dmonstration de cours : Montrer quune primitive de mx o m est rel et diffrent de 1 est ++111 mxm. En dduire que si R est diffrent de 1 on a 1 11 1'2(1 ) 2(1 )R Ry x x KR R = + + o K est une constante. Dterminer la valeur de K pour que y(1) = 0. d. Tracez la solution obtenue (on prendra R = 2). Correction 1. a. sinh( )2x xe ex = est dfinie sur ; sa drive est cosh( )2x xe ex += qui est toujours positive. En + , sinh tend vers + , en elle tend vers . b. sinh est continue, monotone strictement croissante de | | ; + vers | | ; + donc pour tout u on aura un unique x correspondant. sinh est bijective. Terminale S 43 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr c. Il faut rsoudre lquation 22sinh( ) 2 2 1 02 2 1 0xx xx x x x e Xe ex u e e u e ueX uX = = = = = =. On a une quation du seconde degr rsoudre : 24 4 u = + do 2212 2 112u uX u u+ += = + + et 2 221 X u u = + ; mais comme 0xe X = > la deuxime solution ne convient pas. On a donc 1 21sinh ( ) ln( ) ln( 1) x u X u u= = = + + . On pouvait galement remplacer x par 2ln( 1) u u + + dans sinh( )2x xe ex = et vrifier que le rsultat est bien x. d. Attention la drivation des fonctions composes : 222 222 2 2 22 ' '( 1)'1' 2 1 1ln( 1)1 1 1 1u u u u uuu u u u uu uu u u u u u u+ + + (+ + ( + + (+ + = = = = ( + + + + + + +. Ce rsultat peut sobtenir galement en passant par ( )' ' .( ' ) f g g f g = et en prenant 1g f = ; on a alors ( ) ( )1'( ) '( ) ( )' 1 f g x f f x x= = = et 1' ' f g f f= do ( )111'ff f =

. Ici a donne ( )( ) ( )12 22 2ln 1 ln 121 2 ' 2 'sinh ( ) ' .1cosh ln 1 11u u u uu uu uu u u ue e u u| | | |+ + + + | |\ \ = = =+ + + + ++ + +, soit le rsultat demand car 22 2 22 221 11 1 2 111 u uu u u u uu uu u ++ + + = + + + = + + +. 2. a. On a (E) 2 12 2'' 1 ' sinh ( ') ln1 ' 1 'xy y Rxy R y R y R x Kxy y = + = = = ++ +. b. On applique sinh des deux cts : | | ( ) ( )1 ln ln ln ln1 1 1 1sinh sinh ( ') sinh ln '2 2 2R RR x K R x K K x K x K R RKy R x K y e e e e e e e x xe + | | ( = + = = = | \ et finalement | |= |\ 1'2 K RR Ke xyx e. c. 21 1 1'(1) 0 1 2 0 02 1KK KK Key e e K Ke e| |= = = = = = |\ . Do 1 1'2 RRy xx (= ( . 3. a. Dmonstration de cours :utiliser ln m m xx e = b. On intgre : 1 11 1 1 1' '2 2 1 1R R R Ry x x y x x KR R + ( ( = = + ( + . 1 121 1 1 1 1 1(1) 1 1 ' 0 '2 1 1 2 1 1 1R R Ry K KR R R R R + ( (= + = = = ( ( + + . c. La solution obtenue est 1 121 1 1( )2 1 1 1R R Ry x x xR R R + (= + ( + , soit avec R = 2 : Terminale S 44 F. Laroche Calcul intgral corrigs http://laroche.lycee.free.fr 3 31 1 1 2 1 1 2( )2 3 3 2 6 3y x x xx x (= + = + ( . On vrifie bien les conditions initiales 1. 31. Eq. diffrentielle : dsintgrations successives partie A La dsintgration radioactive du Zirconium 95 (95Zr) se fait en deux tapes : formation de Niobium radioactif (95Nb) puis transformation du Niobium qui conduit un isotope stable. On sintresse lvolution du 95Nb en fonction du temps. linstant t (exprim en jours), on note Z(t) le nombre datomes de 95Zr et N(t) le nombre datomes de 95Nb. La fonction Z(t) est solution de lquation diffrentielle ( ) ( ) ' 0,02 Z t Z t = avec ( )00 Z Z = . 1. Donner lexpression de Z(t) en fonction de t et de 0Z . Quel est le sens de variation de Z ? 2. Pendant que Z dcroit, N crot et est solution de lquation diffrentielle ( ) ( ) ( ) ' 0,01 N t Z t N t = avec ( ) 0 0 N = . a. On pose ( ) ( )0,01tN t f t e= . Montrer que ( )0,010' tf t Z e= . b. En dduire que ( ) ( )0,01 0,020100 t tN t Z e e = . Partie B On prend 02 Z = , de sorte que sur lintervalle [0 ; + [ lexpression de N(t) est : ( ) ( )0,01 0,02200 t tN t e e = . On note C la courbe reprsentative de la fonction N dans un repre orthogonal dunits graphiques : 1 cm pour 10 jours sur laxe