Réduction des Modèles linéaires -...

Transcript of Réduction des Modèles linéaires -...

Réduction des Modèles linéaires

B. CHERKI

Département d’AutomatiqueUniversité Aboubekr Belkaid Tlemcen Algérie

ORAN - du 09 au 12 Décembre 2013

B. CHERKI () Réduction des Modèles linéaires Oran 1 / 57
Introduction

Les systèmes considérés son décrit par :

ẋ = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0y = Cx(t) + Du(t)

x(t) ∈ Rn est appelé état du système, x(t0) est la condition initiale,u(t) ∈ Rm est l’entrée du système, y(t) ∈ Rp est la sortie du système.A,B,C,D des matrices à coefficients constants de dimensionsappropriées

Ils décrivent beaucoup de systèmes physiques autour de pointsde fonctionnementLa Complexité est due à la dimension

Introduction

Les systèmes considérés son décrit par :

ẋ = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0y = Cx(t) + Du(t)

x(t) ∈ Rn est appelé état du système, x(t0) est la condition initiale,u(t) ∈ Rm est l’entrée du système, y(t) ∈ Rp est la sortie du système.A,B,C,D des matrices à coefficients constants de dimensionsappropriées

Ils décrivent beaucoup de systèmes physiques autour de pointsde fonctionnementLa Complexité est due à la dimension

Que cherche t-on à faire ?

Approximer le système initial par un système de même nature mais dedimension plus petite, tout en préservant les propriètés entrée /sortie.Les questions posées

Y’ a t-il des limites fondamentales à la réduction ?Quelle type de norme utiliser pour quantifier l’approximation ?Algorithme de réductionQuelle est la qualité de l’approximation obtenue ?

Notions nécessaires à developper

Commandabilté des systèmes linéairesObservabilité des systèmes linéairesComportement entrée /sortie : Matrice de transfertRéalisation minimale - Une première réductionUn ingrédient important : La décomposition en valeur singulière

Matrice de Transfert

La matrice de transfert est définie par la relation Y (s) = G(s)U(s)avec la condition initiale x(t0) = 0. Elle est donnée par :

G(s) = C(sI − A)−1B + D

La description d’un système physique peut se faire avec différentescoordonnées bien que certaines coordonnées n’aient pas de sensphysique, elles peuvent rendre l’analyse et la synthèse plus faciles.Engénéral soit T ∈ Rn×n une matrice non singulière et soit x = Tx alors :

ẋ = TAT−1x + TBuy = CT−1x + Du

Matrice de Transfert (suite)

La matrice de transfert ne change pas par changement decoordonnées.

G(s) = C(sI − A)−1B + D= C(sTT−1 − A)−1B + D= C[T−1(sI − TAT−1)T ]−1B + D= CT−1(sI − TAT−1)−1TB + D= C(sI − A)B + D

Commandabilité des systèmes linéaires

ẋ = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0 (1)y = Cx(t) + Du(t)

DéfinitionLe système linéaire décrit par (1) ou la paire (A,B) est ditcommandable si pour n’importe quel état initial x(t0) = x0, t1 > 0 et unétat final x1 il existe une commande u(t) continue par morceaux telleque la solution de (1) vérifie x(t1) = x1. Autrement le système ou lapaire (A,B) est dit non commandable

Critères de Commandabilité

ThéorèmeLes assertions suivantes sont équivalentes

i) (A,B) est commandableii) la matrice

Wc(t) :=∫ t

0eAτBB∗eA

∗τdτ

est définie positive ∀t > 0iii) La matrice de commandabilité C =

[B AB · · · An−1B

]est de

rang complet par les lignes.




Wc(t) :=∫ t

0eAτBB∗eA

∗τdτ


[B AB · · · An−1B

]est de





Wc(t) :=∫ t

0eAτBB∗eA

∗τdτ


[B AB · · · An−1B

]est de





Wc(t) :=∫ t

0eAτBB∗eA

∗τdτ


[B AB · · · An−1B

]est de


Critères de Commandabilité (suite)

Théorème (suite)

iv) La matrice [A− λI,B] est de rang complet ∀λ ∈ Cv) Soient λ et x n’importe quelle valeur propre et n’importe quel

vecteur propre à gauche correspondant (x∗A = x∗λ) alors x∗B 6= 0vi) Les valeurs propres de (A + BF ) peuvent être arbitrairement

choisies par un choix judicieux de F

u(τ) = −B∗eA∗(t1−τ)Wc(t1)−1(eAt1x0 − x1)

permet de transfeŕer l’état de x0 à x1


Théorème (suite)







Théorème (suite)







Théorème (suite)






Exemple

A =

0 1 00 0 1−a0 −a1 −a2

b = 00

1

C = [ b0 b1 b2 ] Lamatrice de commandabilité est donnée par C =

0 0 10 1 −a21 −a2 a22 − a1

On voit bien qu’elle est de rang 3, et donc le système est biencommandable. La matrice de transfert est donnée parg(s) = b2s

2+b1s+b0s3+a2s2+a1s+a0

Observabilité des systèmes linéaires

Définitionle système décrit par (1) est dit observable si ∀t1 > 0 x(t0) = x0 peutêtre determiné à partir de u(t) t ∈ [0, t1] et y(t) ∈ [0, t1] autrement lesystème est dit inobservable

Critères d’Observabilité

ThéorèmeLes assertions suivantes sont equivalentes :

i) (C, A) est observableii) La matrice

Wo :=∫ t

0eA

∗τC∗CeAτdτ

est définie positive ∀tiii) La matrice d’observabilité

O =

C

CA...

CAn−1

est de rang complet par les colonnes.

iv) La matrice(

A− λIC

)est de rang complet par les colonnes

∀λ ∈ C




Wo :=∫ t

0eA

∗τC∗CeAτdτ


O =

C

CA...

CAn−1


iv) La matrice(

A− λIC


∀λ ∈ C




Wo :=∫ t

0eA

∗τC∗CeAτdτ


O =

C

CA...

CAn−1


iv) La matrice(

A− λIC


∀λ ∈ C




Wo :=∫ t

0eA

∗τC∗CeAτdτ


O =

C

CA...

CAn−1


iv) La matrice(

A− λIC


∀λ ∈ C




Wo :=∫ t

0eA

∗τC∗CeAτdτ


O =

C

CA...

CAn−1


iv) La matrice(

A− λIC


∀λ ∈ C

Critères d’observabilité (suite)

Théorème (suite)v) Soient λ et y n’importe quelle valeur propre et n’importe quelle

vecteur propre à droite de A ie Ay = λy alors Cy 6= 0vi) Les valeurs propres de (A + LC) peuvent être placées librement

par un choix judicieux de Lvii) (A∗,C∗) est commandable.

Invariance de la Commadabilité et l’Observabilité

Les matrices de commandabilité et d’observabilité deviennent

C =[

TB TAT−1TB · · · TAn−1T−1TB]

= TCO = OT−1 (2)

Donc la commandabilité et l’observabilité ne changent pas parchangement de coordonnées.

Réduction des états non commandables

Si la matrice de commandabilité C est de rang k1 < n alors il existe

une transformation de similitude x =(

xcxc

)= Tx tel que

(ẋcẋc

)=

(Ac A120 Ac

)(xcxc

)+

(Bc0

)u (3)

y =(

Cc Cc)( xc

xc

)+ Du

Avec Ac ∈ Rk1×k1 et (Ac ,Bc) commandable. De plus

G(s) = C(sI − A)−1B + D = Cc(sI − Ac)−1Bc + D

Exemple

A =

0 1 00 0 1−6 −11 −6

b = 01−3

C = 0 1 −31 −3 7−3 7 −15

elleest de rang 2, le système n’est pas commandable.

SoitQ =

0 1 01 −3 0−3 7 1

= T−1 alorsTAT−1 =

0 −2 11 −3 00 0 −3

Tb = 10

0

Réduction des états non observables

Si la matrice de d’observabilité O à un rang k2 < n alors il existe unetransformation de similitude telle que

[TAT−1 TBCT−1 D

]=

Ao 0A21 Ao BoBoCo 0 D

avec Ao ∈ Rk2×k2 , (Co,Ao) observable. De plus

G(s) = C(sI − A)−1B + D = C0(sI − Ao)−1Bo + D

Réduction des états non commandables et nonobservables

Si C est de rang k1 < n et O à un rang k2 < n Alors il existe unetransformation x = Tx (T non singulière) telle que :

ẋcoẋcoẋcoẋco

=

Aco 0 A13 0A12 Aco A23 A240 0 Aco 00 0 A43 Aco

xcoxcoxcoxco

+

BcoBco00

u

y =(

Cco 0 Cco 0)

xcoxcoxcoxco

+ DuG(s) = Cco(sI − Aco)−1Bco + D

Réalisation minimale

(A,B,C,D) est appelée réalisation de G(s), une réalisation est diteminimale si à la fois elle est commandable et observable d’après ledécomposition précédente.

Décomposition en Valeurs Singulières

Soit A ∈ Rm×n alors il existe des matrices unitaires

U = [u1,u2, · · · ,um] ∈ Rm×m

V = [v1, v2, · · · , vn] ∈ Rn×n

tel que

A = UΣV ∗, Σ =[

Σ1 00 0

]où

Σ1 =

σ1 0 · · · 00 σ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · σp

et

σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σp ≥ 0, p = min(m,n)

Quelques propriètés de la SVD

σ̄(A) = max‖x‖=1

‖Ax‖

σ(A) = min‖x‖=1

‖Ax‖

σ̄(A−1) =1σ

(A)siAinversible

Si A et ∆ sont des matrices carrés alors :

|σ(A + ∆)− σ(A)| ≤ σ̄(∆)

σ(A∆) ≥ σ(A)σ(∆)

Propriètés de la SVD (suite)

Soit A ∈ Fm×n et

σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σr > σr+1 = · · · = 0, r ≤ min (r ,n)

alors :

1 rang(A) = r2 ker A = span{vr+1, · · · , vn} et

(ker A)⊥ = span{v1, · · · , vr}3 ImA = span{u1, · · · ,ur} et

(ImA)⊥ = span{ur+1, · · · ,um}4 ‖A‖ = σ1


Soit A ∈ Fm×n et

σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σr > σr+1 = · · · = 0, r ≤ min (r ,n)

alors :



(ImA)⊥ = span{ur+1, · · · ,um}4 ‖A‖ = σ1


Soit A ∈ Fm×n et

σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σr > σr+1 = · · · = 0, r ≤ min (r ,n)

alors :



(ImA)⊥ = span{ur+1, · · · ,um}4 ‖A‖ = σ1


Soit A ∈ Fm×n et

σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σr > σr+1 = · · · = 0, r ≤ min (r ,n)

alors :



(ImA)⊥ = span{ur+1, · · · ,um}4 ‖A‖ = σ1

Équations de Lyapunov

A∗X + XA + Q = 0AX + XA∗ + Q = 0

ThéorèmeSupposons A et Q des matrices carrées et A Hurwitzienne, alors :

X =∫ ∞

0eA

∗τQeAτdτ

est l’unique solution de l’équation de Lyapunov A∗X + XA + Q = 0


A∗X + XA + Q = 0AX + XA∗ + Q = 0

ThéorèmeSupposons A et Q des matrices carrées et A Hurwitzienne, alors :

X =∫ ∞

0eA

∗τQeAτdτ

est l’unique solution de l’équation de Lyapunov A∗X + XA + Q = 0

Preuve

L’intǵrale converge car A est hurwitzienneA∗X + XA =

∫∞0

ddt (e

A∗τQeAτ )dτ = −QΠ : Rn×n → Rn×n définie par :Π(X ) = A∗X + XA où X ∈ Rn×n∀Q ∈ Rn×n l’équation Π(X ) = −Q possède une solution, cela veut direque que la dimension de l’image de Π est n2 mais la dimension dudomaine de Π est aussi n2 et donc ker Π = 0 et donc l’équationΠ(X ) = −Q possède une unique solution pour chaque Q.


ThéorèmeSupposons Q > 0, alors A est Hurwitzienne si et seulement si il existeune solution X > 0 à l’équation de Lyapunov A∗X + XA + Q = 0

Le résultat précédent reste vrai si l’hypothèse Q > 0 est remplacée parQ = C∗C ≥ 0 avec (C,A) observable, dans ce cas la solution del’équation de Lyapunov est notée Yo et vérifie A∗X + XA + C∗C = 0 etest appelée le Gramien d’observabilité de (C,A).

Opérateur et Gramien d’observabilité

ẋ(t) = Ax(t , x(0) = x0 ∈ Rn,A Hurwitzy(t) = Cx(t)

y(t) = CeAtx0 pour t ≥ 0On définit l’opérateur d’observabilité par Ψo : Rn → L2[0∞) par

x0 7→{

CeAtx0 pour t ≥ 00, autrement

Opérateur et Gramien d’observabilité

On peut montrer que

|CeAtx0| ≤ βe−αt |x0|

quelque soit x0 et t . Si l’on pose y = Ψox0 nous obtenons‖y‖ ≤ β√

2α|x0| donc y ∈ L2[0,∞) et Ψo est un opérateur borné.

L’énergie contenue dans le signal y = Ψox0, pour x0 ∈ Rn, est donnéepar :

‖y‖2 = 〈Ψox0,Ψox0〉 = 〈x0,Ψ∗oΨox0〉

, où Ψ∗o : L2[0,∞)→ Rn est l’adjoint de Ψo.

Ψ∗oz =∫ ∞

0eA

∗τC∗z(τ)(τ)dτ

pour z ∈ L2[,∞) la norme de y = Ψox0 est donné par 〈x0,Ψ∗oΨox0〉

Ψ∗o(Ψox0) =∫ ∞

0eA

∗τC∗CeAτx0dτ (4)

=

(∫ ∞0

eA∗τC∗CeAτdτ

)x0 = (Ψ∗oΨo) x0

Donc l’opérateur Ψ∗oΨo est donné par la matrice :

Yo = Ψ∗oΨo =∫ ∞

0eA

∗τC∗CeAτdτ

,c’est le Gramien d’observabilité

Représentation d’une ellipsoïde

Soit M : U → Rn et Z = MM∗Alors

E1 = {x ∈ Rn; x∗Z−1x ≤ 1}

E2 = {Z12 y ; y ∈ Rn, ‖y‖2 ≤ 1}

E3 = {Mu; u ∈ U , ‖u‖2 ≤ 1}

Représentent le même ellipsoide, les λi sont les valeurs propres de Z

Ellipsoïde d’Observabilité

L’énergie contenue dans le signal de sortie y = Ψox0 à partir de lacondition initiale x0 ∈ Cn est donnée par

‖y‖2 = x∗0 Yox0

Le Gramien "mesure" combien est observable un état initial

Y12

o x0 où x0 est de longueur unité, ce vecteur possède une longueurégale à la norme 2 de y .

Eo = {Y12

o x0 : x0 ∈ Rnet|x0| = 1}

Comme Yo est semi défini positif, cet ensemble est une ellipsoïde etindique la norme de sortie associée à une direction particulière del’espace d’état


Soientη1 ≥ η2 ≥ · · · ≥ ηn ≥ 0

les valeurs propres de Y12

o et v1, · · · , vn les vecteurs propresnormalisés correspondants. Alors vk donne les directions des axesprincipaux de l’ellipsoide et ηk la longeur de ces axes.ηk = 0⇒ le vecteur vk correspondant ne produit aucune énergie ensortie et sera donc non observable.


Si ηk >> ηl ⇒ "l’énergie en sortie due à vk >> l’énergie en sortie dueà vl " Donc on peut penser supprimer les états peu observables.

Un état peut être faiblement observable mais fortement commandable !

Opérateur et Gramien de Commandabilité

L’opérateur de commandabilité est définit par : Ψc : L2(−∞,0]→ Rnpar

u 7→∫ 0−∞

e−AτBu(τ)dτ

Interprétation :

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(−∞) = 0 (5)

u ∈ L2(−∞,0] où la sortie est le vecteur x(0)

Interprétation énergétique

Étant donné la condition finale x(0) ∈ Rn avec la norme |x0| = 1, quelu ∈ L2(−∞,0] résoud l’équation

Ψcu = x0

avec la norme minimale ‖u‖?En d’autres termes quelle est l’entrée deplus faible énergie ‖u‖ qui transfère l’état à x(0) = x0 à l’instant t = 0

ThéorèmeSupposons (A,B) commandable, alors :

i) La matrice ΨcΨ∗c = Xc est non singulièreii) pour n’importe quel x0 ∈ Rn, l’entrée uopt := Ψ∗cX−1c x0 est

l’élement de norme minimale dans l’ensemble{u ∈ L2(−∞,0],Ψcu = x0}.

Le théorème nous dit que pour atteindre x0, uopt = Ψ∗cX−1c x0 est la

commande la plus économique en termes d’énergie, cette énergie estdonnée par

‖uopt‖2 = 〈Ψ∗cX−1c x0,Ψ∗cX−1c x0〉 (6)= 〈X−1c x0,ΨcΨ∗cX−1c x0〉= x∗0 X

−1c x0

ThéorèmeLes ensembles suivants sont égaux

a) {Ψcu : u ∈ L2(−∞,0]et‖u‖ ≤ 1}

b) {X12

c xc : xc ∈ Rnet|xc | ≤ 1}

Cela veut dire que les états atteignables avec u vérifiant ‖u‖ ≤ 1 sontdonnés par

X12

c xc

où xc vérifie |xc | ≤ 1 La norme de n’importe quel état de ce type estx∗c Xcxc


a) {Ψcu : u ∈ L2(−∞,0]et‖u‖ ≤ 1}

b) {X12



X12

c xc



a) {Ψcu : u ∈ L2(−∞,0]et‖u‖ ≤ 1}

b) {X12



X12

c xc


Ellipsoïde de Commandabilité

on définit l’ellipsoide de commandabilité par :

Ec = {X12

c xc : xc ∈ Rnet|xc | = 1}

Soient µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µn ≥ 0, les valeurs propres de X12

cv1, · · · , vn les vecteurs propres orthonormés correspondantsSi µk = 0 alors l’état vk est non atteignable.Si µk >> µl alors la direction vk est plus commandable que la directionvl .

Réalisations équilibrées

Ellipsoides de Commandabilité et observabilité

Une direction peu commandable pourrait être très observableChangement de coordonnées pour aligner les deux ellipsoides


Ellipsoides de Commandabilité et observabilité

Une direction peu commandable pourrait être très observableChangement de coordonnées pour aligner les deux ellipsoides


(A,B,C) −→ (Ã = TAT−1, B̃ = TB, C̃ = CT−1) avec T une matrice dechangement de coordonnées

X̃c =∫ ∞

0eÃτ B̃B̃∗eÃ

∗τdτ (7)

=

∫ ∞0

TeAτT−1TBB∗T ∗(T ∗)−1eA∗τT ∗dτ

= TXcT ∗

de mêmeỸo = (T ∗)−1YoT−1


Théorème

Étant donné deux matrices définies positives X et Y , il existe unematrice non singulière telle que

TXT ∗ = (T ∗)−1YT−1 = Σ

où Σ est une matrice diagonale définie positive.

CorrolaireSupposons (A,B,C) une réalisation commandable et observable,alors il existe une transformation d’état T telle que la réalisationéquivalente (Ã, B̃, C̃) = (TAT−1,TB,CT−1) vérifie

X̃c = Ỹo = Σ avec Σ > 0diagonal.


Théorème

Étant donné deux matrices définies positives X et Y , il existe unematrice non singulière telle que

TXT ∗ = (T ∗)−1YT−1 = Σ

où Σ est une matrice diagonale définie positive.

CorrolaireSupposons (A,B,C) une réalisation commandable et observable,alors il existe une transformation d’état T telle que la réalisationéquivalente (Ã, B̃, C̃) = (TAT−1,TB,CT−1) vérifie

X̃c = Ỹo = Σ avec Σ > 0diagonal.

Rálisations équilibrées

ThéorèmeEtant donné les matrices définies positives X et Y alors il existe T nonsingulière T telle que

a) TXT ∗ =

Σ1

Σ20

0

b) (T ∗)−1YT−1 =

Σ1

0Σ3

0

où les matrices Σk sont diagonales définies positives.



a) TXT ∗ =

Σ1

Σ20

0

b) (T ∗)−1YT−1 =

Σ1

0Σ3

0




a) TXT ∗ =

Σ1

Σ20

0

b) (T ∗)−1YT−1 =

Σ1

0Σ3

0



Sous une telle transformation la matrice d’état Ã aura la forme :

Ã =

Ã1 0 Ã6 0Ã2 Ã3 Ã4 Ã50 0 Ã7 00 0 Ã8 Ã9

C’est la décomposition de Kalman.

Opérateur de Hankel

ΓG = ΨoΨc

ThéorèmeLa norme de ΓG est donnée par :

‖ΓG‖L2→L2 = (λmax (YoXc))12

où Yo et Xc sont les Gramiens de la réalisation minimale (A,B,C)

Les valeurs propres de YoXc sont appelées les valeurs singulières deΓG ou les valeurs singulières de Hankel du système G. on note cesvaleurs singulièrs σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ 0


Les valeurs singulièrs de Hankel sont les mêmes pour des réalisationséquivalentes. En effet

Ỹo = (T−1)∗YoT−1 (8)X̃c = TxcT ∗

et doncỸoX̃c = (T−1)∗YoXcT ∗

, donc ỸoX̃c et YoXc sont reliés par une transformation de similitude etdonc elles ont les mêmes valeurs propres.


Théorème

Supposons G(s) = C(sI − A)−1B et que A est Hurwitzienne alors :

‖G‖∞ ≤ 2(σ1 + · · ·+ σn)

où les σk sont les valeurs singulières de Hankel de G

Réduction de modèles


Le problème se pose comme suit :

Donnée : Matrice de transfert G(s) =[

A BC D

]où A ∈ Rn×n est

hurwitzienne

Trouver une matrice d’ordre plus faible Gr (s) =[

Ar BrCr Dr

]où

Ar ∈ Rr×r et Hurwitziennetel que

‖G −Gr‖∞soit minimisée.



Le problème se pose comme suit :

Donnée : Matrice de transfert G(s) =[

A BC D

]où A ∈ Rn×n est

hurwitzienne

Trouver une matrice d’ordre plus faible Gr (s) =[

Ar BrCr Dr

]où

Ar ∈ Rr×r et Hurwitziennetel que

‖G −Gr‖∞soit minimisée.


Limitations

LemmeSupposons N ∈ Rn×n avec les valeurs singilières σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn.Alors pour n’importe quelle matrice R ∈ Rn×n, rang(R) ≤ r < n

σ̄(N − R) ≥ σr+1


Limitations

ThéorèmeSoient σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr ≥ σr+1 · · · ≥ σn ≥ 0 les valeurs singulièresde Hankel associées à la fonction de transfert G ∈ RH∞ Alors pourn’importe quel Gr d’ordre r < n , l’inégalité suivante

‖G −Gr‖∞ ≥ σr+1

est vérifiée


Borne de l’erreur

ThéorèmeSupposons que les valeurs singulières de Hankel vérifient :

σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > σr+1 ≥ σr+2 ≥ · · · ≥ σn.

Si Gr est obtenue par une troncature à l’ordre r d’une éalisationéquilibr̊’ee alors :

‖G −Gr‖∞ ≤ 2(σr+1 + σr+2 + · · ·+ σn)


Exemple 1

On considère l’exemple suivant :

g(s) =(s + 10)(s − 5)(s2 + 2s + 5)(s2 − 0.5s + 5)

(s + 4)(s2 + 4s + 8)(s2 + 0.2s + 100)(s2 + 5s + 2000)

À l’aide de Matlab on peut calculer les valeurs singulières de Hankel àl’aide de la commande sv = hankelsv(g)

sv =

0.17920.17870.10760.10750.0007

0.000080.00002


Réduction à l’ordre 4


Réduction à l’ordre 2


Exemple 2

Modèle d’aun batiment à 8 étages, chacun ayant trois degrés deliberté soit 24 variables. Le modèle a la forme suivante :

Mq̈(t) + Cq̇(t) + Kq(t) = uv(t)

, le système peut être mis sous la forme d’état avec x =[

qq̇

]. on

s’intéresse au mouvement de la première coordonnées q1(t) doncv = [10 · · · 0]T et y(t) = q̇1(t) = x25(t)


Exemple 2


Exemple 2 suite


Exemple 2 suite

Réduction des Modèles linéaires -...

Documents

Transcript of Réduction des Modèles linéaires -...