13ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012

Formalisme à base de matrices de transfert pour la description d’imagerie interférométrique en défaut de mise au point (ILIDS)

Huanhuan SHEN, Sébastien COETMELLEC, Gérard GREHAN et Marc BRUNEL UMR CNRS 6614 CORIA, Avenue de l’Université, BP 12, 76801 Saint Etienne du Rouvray cedex

1 Introduction L’information sur la taille des particules joue un rôle important dans la surveillance de processus industriels, la modélisation de l’injection de la combustion, en météorologie, analyse médicale, optimisation de processus en agriculture. Les techniques de diagnostic laser se sont beaucoup développées, en particulier parce qu’elles peuvent être non intrusives: citons notamment l’holographie, l’anémométrie phase Doppler, les Malvern, l’interférométrie d’arc en ciel, ou l’imagerie interférométrique en défaut de mise au point (ILIDS : Interferometric Laser Imaging Droplet Sizing).

L’ILIDS est appliquée à mesurer les tailles des gouttes transparentes dans un spray clairsemé à travers une configuration relativement simple [1]. La configuration typique de l’ILIDS est rappelée à la Fig1.

Fig1 : Configuration typique de l’ILIDS

Les faisceaux diffractés dans l’angle de diffusion θ sont collectés par une lentille sphérique. L’angle de collection est noté α . Dans le plan image, deux « glare points » apparaissent tandis que dans un plan en défaut de mise au point, les images des deux « glare points » se chevauchent. Des franges d’interférence apparaissent dans la région superposée. En ILIDS, on place le capteur CCD dans un plan en défaut de mise au point. L’information sur chaque particule est confinée dans la tâche en défaut de mise au point [2], différenciée de l’holographie et du Malvern. La taille de la tache est reliée à la position de la particule [3] et sa forme géométrique est définie par l’ouverture du système optique. Une compression optique peut être réalisée afin d’augmenter la concentration des particules mesurables [4]. La formule de l’ILIDS montrée premièrement par Glantschnig et al. [5] dans l’approximation de l’optique géométrique se met sous la forme de l’Equation(1).

1

1)2/cos(2)2/sin()2/cos(2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+=Δ

θ

θθ

λπ

θmmm (1)

Elle exprime l’interfrange en fonction des caractéristiques de la goutte. m,θΔ sont l’espace angulaire d’interfrange et l’indice de réfraction de la goutte. Le traitement d’image appliqué aux images consiste à obtenir l’écart angulaire d’une interfrange, obtenu soit par le nombre de franges

[6], soit par la fréquence des franges [7] à partir des franges d’interférence. Les deux moyens ont besoin d’une calibration et des difficultés existent : si l’on compte le nombre de franges, il est difficile d’avoir l’angle de collection α , tandis que la fréquence des franges dépend des gouttes mais aussi de différents coefficients liés à la géométrie du système de mesure [8]. Par ailleurs, la plupart des configurations d’ILIDS utilisent un faisceau laser incident incliné par rapport à l’axe optique et à son plan transverse, imposant une taille de la tache et un angle d’ouverture différents selon les particules. Le problème sur la taille des taches peut être résolu avec une configuration de Scheimpflug [6,7], mais l’autre reste non résolu. Si l’on souhaite généraliser l’utilisation d’expériences ILIDS dans des configurations très variées, l’existence d’un simulateur général capable de décrire tout système ILIDS devient nécessaire. Cet article présente l’élaboration d’un simulateur d’expériences d’ILIDS très général, capable de donner accès aux relations théoriques liant la géométrie du système, la nature des franges d’interférences, et les paramètres des gouttes.

2 Théorie du modèle 2.1 Théorie fondamentale La théorie fondamentale de l’ILIDS est la propagation du champ électromagnétique à travers un système optique complexe qui est décrite par l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée [9]. Les éléments optiques changent la phase de l’onde et sont caractérisés par des éléments de matrices

Det,C,B,A qui sont les éléments d’une matrice de transfert du système totM . En notant le plan de l’entrée et le plan du capteur ),(et),y,x( ηξ respectivement, l’intégrale de Huygens-Fresnel est donnée par l’Equation (2).

dxdyDyyAB

i

DxxAB

iyxGBBi

LiG

yyy

xxxyx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= ∫ℜ

)2(exp

)2(exp),()2exp(

),(

22

2202

ηηλπ

ξξλπ

λλπ

ηξ (2)

L correspond au chemin optique suivant l’axe optique. yxyxyx DBA ,,, ,, sont les éléments de la matrice totM suivant les axes transverses x ou y.

2.2 Description du champ incident

),(0 yxG est le champ incident exprimé dans le plan des particules. Sa formule rigoureuse est donnée par la théorie de Lorenz-Mie. Dans la configuration de l’ILIDS, le faisceau diffusé est essentiellement du à l’existence de deux « points sources » : les deux « glare points » ; à savoir le rayon réfléchi et le rayon réfracté [10]. Cette hypothèse permet de faire une simplification sur

),(0 yxG . L’hypothèse est que le champ incident d’une particule se compose par deux points sources ponctuels, comme l’indique l’Equation (3).

φδδ ieybxayaxayxG ),(),(),( 210 −+−= (3)

Où 21,aa sont les coefficients d’amplitude des deux « glare points » dépendant de l’angle de diffusion. φ est le déphasage entre les deux « glare points ».

Fig2 : Deux « glare points » d’une goutte

Le schéma des deux glare points A et B pour une particule de diamètre d et d’indice m est montré

dans la Figure 2. Leurs positions relatives sont obtenues par optique géométrique : )sin(2

tda = ,

)2/cos(2

θdb −= . La relation entre les angles t et θ est )2/sin()sin( θ−= tmt . En conséquence

la distance entre les deux glare points est donnée par l’Equation (4) :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++=−

)2/cos(21

)2/sin()2/cos(2 2 θ

θθ

mm

mdba (4)

Le déphasage entre les 2 sources vaut [ ] πθθλπ

φ −−+−= )2/cos()cos(2)2/sin(22

2 tamtd . A

partir de cette relation, nous avons comparé la distance entre les deux « glare points » en fonction de la taille de la goutte obtenue par l’Equation (4) (pour un angle de diffusion °= 69θ ) ou par reconstruction d’un hologramme des « glare points » calculé rigoureusement en utilisant la théorie de Lorenz-Mie. La comparaison est présentée à la Fig3. Les relations d’optique géométrique sont une bonne approximation.

Fig3 : Comparaison entre la théorie de Lorenz-Mie et l’optique géométrique sur la distance entre

les deux glare points par rapport au diamètre de la goutte

2.3 Description des matrices de transfert La matrice de transfert d’un système optique décrit la façon dont sont déviés des rayons à travers un système (en respectant les lois de réflexion et réfraction). La liaison entre la matrice de transfert et la propagation du champ donnée par l’Equation(2) est démontrée via le principe de Fermat : les rayons formant l’image suivent un chemin optique quasi-identique [9]. La matrice totale de la configuration ILIDS de la Fig1 se décompose en trois parties : la matrice entre les gouttes et la

lentille 1zM , la matrice pour la lentille de distance focale image f lentilleM , la matrice entre la lentille et le capteur 2zM . Leurs expressions sont données dans l’Equation suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

101

,1101

,10

1 22

11

zM

fM

zM zlentillez (5)

La matrice du système total est alors celle de l’Equation(6).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=××=

DCBA

MMMM zlentilleztot 12 (6)

Si le système optique est cylindrique, une séparation de l’expression de la matrice de transfert en deux matrices distinctes selon les axes x et y est nécessaire.

2.4 Champ calculé sans l’ouverture Comme le champ incident et la matrice de transfert totale sont connus, l’intégrale de l’Equation(2) pour la configuration Fig1 se calcule. On obtient l’Equation(7).

( )ee iiyy

yxaa

BDi

BBi

zziG )(21

22121exp

)(2exp),( φθθη

λπ

λ

λπ

ηξ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += (7)

Où )2(),2( 22222

1 ξξλπ

θξξλπ

θ xxxxx

x DbbABDaaA

B+−=+−= . L’intensité dans le plan du

capteur est alors 2),(),( ηξηξ GI = qui donne la formule de l’Equation (8) :

[ ])cos(21),( 122122212 φθθληξ +−++= aaaaBBI yx (8)

2.5 Champ pris en compte de l’ouverture En ILIDS l’ouverture du système est un paramètre essentiel. L’ouverture peut être prise en compte afin de décrire l’extension finie des franges. L’ouverture se situe sur la lentille (Fig1), ce qui découpe l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée en deux sections : la propagation entre les gouttes et la lentille suivie de la traversée de la lentille caractérisée par la matrice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=×=

11

1111 DC

BAMMM zlentille , et la propagation entre la lentille et le capteur, de matrice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

22

2222 DC

BAMM z . Le champ dans le plan de l’ouverture sera noté )'y,'x(G1 , où )'y,'x(

sont les coordonnées dans le plan de l’ouverture. Le champ )'y,'x(G1 est donné par la relation (7) si l’on remplace ),( ηξ par )'y,'x( ainsi que les coefficients de Mtot par ceux de la matrice M1. L’ouverture est ensuite prise en compte sous la forme d’un coefficient de transmission )'y,'x(T . L’expression de la propagation dans la deuxième section s’exprime alors par l’Equation(9).

'')'2'(exp

)'2'(exp)','()','()2exp(

),(

22

221

2

2 2

dydxDyyAB

i

DxxAB

iyxGyxTBBi

ziG

yyy

xxxyx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= ∫ℜ

ηηλπ

ξξλπ

λλπ

ηξ (9)

La transmission ),( '' yxT vaut un dans le cercle de rayon 0R et zéro dehors. Il s’écrit par la décomposition en fonctions Gaussiennes ci-dessous :

∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

N

k

kk yxR

QPyxT1

2220

)''(exp)','( (10)

N est égale à 10. Les coefficients kk QP , sont listés dans la ref [12]. Le champ dans le plan de capteur devient alors l’Equation (11) et l’intensité est 22 ),( ηξGI = .

[ ]eee kikN

kyx

ky

y

x

x

yxyxaa

kkP

BD

BDi

BBBBi

zziG )(2

)(1

1

2

2

22

2

2

22112

21

221

)()()(exp

)(

)(2exp),( βφβ

γγ

πηξ

λπ

λ

λπ

ηξ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += ∑

=

(11)

yxxxx

y

y

y

yky

x

x

x

xkx

yxx

x

yxx

x

BBBb

BBa

BA

BD

iRQk

BA

BD

iRQk

kkBbAik

kkBaAik

2211

2

1

12

1

1

11

2),(2),(2

)()(),()(

)(4)(4)(,

)(4)(4)(

2122

1

2202

20

22

22

21

2

21

21

21

1

λπη

φφξ

λπ

φξ

λπ

φ

λπ

γλπ

γ

γ

φ

γ

φ

λπ

βγ

φ

γ

φ

λπ

β

ηηξξ

ηξηξ

==++=+=

+−=+−=

−−=−−=

Les termes )(2,1 kβ contiennent la localisation des 2 centres correspondant séparément aux positions des images des deux glare points pour l’intensité, ainsi que le terme d’oscillation en cosinus le long l’axeξ .

3.1 Comparaison avec la théorie de Lorenz- Mie Une simulation d’images ILIDS avec une seule lentille sphérique a été proposée par Girasole et al. Les faisceaux diffusés par la particule jusqu’à la lentille étaient calculés par la théorie de Lorenz-Mie généralisée et la propagation des faisceaux de la lentille au capteur étaient calculés par l’intégrale de Huygens-Fresnel [11]. Nous allons comparer ici ces simulations à celles que l’on peut réaliser avec notre modèle. Nous utilisons les mêmes paramètres : mz 72.01 = , mf 6.0= ,

nm488=λ , °= 5.66θ , le diamètre de la lentille mms 100= , l’indice de goutte d’eau 33.1=m , le diamètre de la goutte d’eau µmd 60= . Le plan image est alors à m6.3 derrière la lentille. Quatre profils d’images en défaut de mise au point à quatre distances 2z sont montrées dans la Fig4. Pour chacune d’elles, nous trouvons le même nombre des franges (16) et le même interfrange que Girasole et al. qui utilisaient la théorie de Lorenz-Mie.

Fig4 : Simulation pris en copte l’ouverture(a)

Le nombre des franges obtenu en fonction du diamètre de la particule dans la gamme [8µm,124µm] est également identique aux prédictions utilisant Lorenz-Mie (voir dans la référence [11]). On peut conclure que notre simulateur est cohérent avec des calculs théoriques utilisant la théorie de Lorenz-Mie.

3.2 Comparaison avec l’expérience 3.1.1 Configuration  avec  géométrie  sphérique    Nous avons réalisé l’expérience de la Figure (1). La lentille utilisée est une lentille sphérique. Le laser est un laser Nd:YAG fonctionnant en régime continu à la longueur d’onde nm532=λ . L’angle de diffusion est °= 66θ . La distance entre la goutte d’eau et la lentille sphérique est

mmz 3051 = . La distance focale image de la lentille est mmf 100= . Son diamètre vaut mm26 . Le capteur CCD (8bit F 201-B Marlin) se trouve à mmz 1282 = derrière la lentille et une distance

mmp 21=Δ devant le plan d’image mise au point. Les gouttelettes d’eau mono dispersées sont générées par un générateur piézoélectrique (Microdrop). Elles ont un diamètre de 100µm. La figure 5(a) montre l’image ILIDS expérimentale et la figure 5(b) montre la prédiction faite avec le modèle de l’Equation (11).

(a) (b)

Fig5 : (a) image expérimentale ; (b) image de simulation (4.4µm*4.4µm, 1000*1000)

Les deux images montrent le même nombre de franges, et les mêmes interfranges. Par contre le motif de diffraction par la lentille (anneaux concentriques) n’est pas parfaitement décrit. Ceci est dû à la décomposition approchée de l’ouverture en fonctions Gaussiennes.

3.1.2  Configuration  avec  géométrie  cylindrique  L’expérience d’une configuration avec géométrie cylindrique (Fig6) a ensuite été réalisée. Elle correspond au cas de gouttes dans une canalisation [13]. Le laser est le même que précédemment ( nm532=λ ), ainsi que l’angle de diffusion ( °= 66θ ). Les gouttes sont centrées dans le tube. La distance entre la goutte et surface interne du tube est mmz 351 = . Le tube est en quartz. Il a une épaisseur mme 4= et un indice de réfraction 4585.1=qn . La focale de la lentille vaut 100mm et le diamètre d’ouverture est 12mm. La distance entre la surface extérieure du tube et la lentille fait mmz 1102 = . La distance entre la lentille et le capteur CCD est mmz 3293 = . Nous utilisons ici un générateur piézoélectrique de gouttes dont le diamètre fait µm30 . Le système est astigmate et les positions d’images mises au point selon les axes x et y sont différentes :

mmzmmz yx image image 305,2.293 ,3,3 == .

Fig6 : Configuration d’ILIDS visualisé dans un tube

Comme le capteur est plus loin de la position d’image suivant l’axe x que de celle suivant l’axe y, le tache est une ellipse aplatie. La comparaison entre l’expérience et la simulation utilisant l’équation (11) est donnée dans la Fig (7). Une bonne cohérence est observée (en particulier le nombre de franges et l’interfrange), malgré les importantes aberrations géométriques introduites par la canalisation.

(a) (b)

Fig7c : Comparaison entre expérience(a) et simulation(b)

4 Discussion A partir de l’équation (7), la fréquence des franges d’interférence suivant l’axe x se déduit par la formule de l’équation (12).

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++=

−=

)2/cos(21)2/sin()2/cos(

2 2 θθ

θλλ mm

mBd

BbaF xx (12)

En comparaison avec l’équation (1), on obtient :

FBx1

=Δθ (13)

L’équation (13) contient la relation connue dans le cas des fentes Young où le système à traverser

est l’espace libre de longueur z . Dans ce cas là, zBx = alors baFBx −

==Δλ

θ1 .

5 Conclusion et perspective Un simulateur d’images ILIDS, utilisable pour n’importe quelle configuration d’imagerie, a donc été élaboré [15]. Il est basé sur l’utilisation d’intégrales d’Huygens-Fresnel généralisées, et la simplification du champ diffusé par une goutte par deux émetteurs ponctuels (fonctions de Dirac). Ce simulateur ne décrit pas les aberrations introduites par les systèmes optique utilisés. Un troisième « glare point » (mentionné par Hess [14]) peut aussi être pris en compte en ajoutant une autre fonction de Dirac dans le champ incident ),(0 yxG .

Références [1] S.P. Skippon, A.R. Glover et P.J. Cooney, « studies of mixture preparation in a spark ignition engine

using Interferometric Laser Image for Droplet Sizing (ILIDS) », SAE transaction –104, 876-889, (1995) [2] R. Ragucci, A. Cavalier et P. Massoli, « Drop sizing by laser light scattering exploiting intensity angular

oscillation in the Mie regime», Part. Part. Syst. Charact. –7, 221-225, (1990) [3] N. Damaschke, H. Nobach, T.I. Nonn, N. Semidetnov et C. Tropea, « Multi-dimensinal particle sizing

techniques », Experiments in Fluids –39, 336-350, (2005) [4] M. Maeda, T. Kawaguchi et K. Hishida, « Novel interferometric measurement of size and velocity

distribution of spherical particles in fluid flows », Meas. Sci. Technol., –11, L13-L18, (2000) [5] W.J. Glantschnig et S.H Chen, « Light scattering from water droplets in the geometrical optics

approximation », Applied Optics, –20, 2499-2509, (1981) [6] A.R. Glover, S.M. Skippon et R.D. Boyle, « Interferometric laser imaging for droplet sizing: a method for

droplet size measurement in sparse spray systems », Applied Optics, –34, 8409-8421, (1995) [7] A. Quérel, P. Lemaitre, M. Brunel, E. Porcheron et G. Gréhan, « Real-time global interferometric laser

imaging for the droplet sizing (ILIDS) algorithm for airborne research », Applied Optics, –21, 015306, (2010)

[8] S. Dehaeck et J.P.A.J. van Beeck, « Designing a maximum precision interferometric particle imaging set-up », Exp Fmuids, –42, 767-781, (2007)

[9] A.E. Siegman, , « Lasers », University Science Book, chapter 20, (1986) [10] H.C. van de Hulst et R.T. Wang, « Glare points », Applied Optics, –30, 4755-4763, (1991) [11] T. Girasole, K.F. Ren, D. Lebrun, G. Gouesbet et G. Gréhan, « Particle Imaging sizing : GLMT

simulation», Journal of visualization, –3,195-202, (2000) [12] J.J. Wen et M.A. Breazeale, « A diffraction beam field expressed as the superposition of Gaussian

beams », J. Acoust. Soc. Am, –83,1752-1756, (1988) [13] S.P. Skippon et Y. Tagaki, « ILIDS measurements of the evaporation of fuel droplets during the intake

and compression strokes in a firing lean burn engine», SAE transaction –105, 1111-1126, (1996) [14] C.F. Hess et D. L’Esperance, « Droplet imaging velocimeter and sizer: a two dimensional technique to

measure droplet size», Exp Fluids–47, 171-182, (2009). [15] H. Shen, S. Coëtmellec, G. Gréhan, M. Brunel, « ILIDS revisited: elaboration of transfer matrix models

for the description of complete systems », accepté à Appl. Opt. (2012).

Remerciements Nous remercions Sawitree Saengkaew, Jean-Bernard Blaisot et Pascal Boubert pour leur aide.