7/27/2019 MATRICE 2014

1/31

MATRICECLASA a XI-a

2014

C.N.R.V.

prof. TIT TIHON

7/27/2019 MATRICE 2014

2/31

Definiie

Matrice ptratic

Matrice nul. Matrice diagonal. Matrice unitate

Matrice simetric. Matrice antisimetric

Matrice transpusMatrice egale. Proprieti

EXERCITII

TEST DE EVALUARE

LECTIA 1

7/27/2019 MATRICE 2014

3/31

DefiniieSe numete matrice cu m linii i n coloane sau de tipun tablou cu mlinii i n coloane, de forma

ale crui elemente, sunt numere complexe.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

m n

MATRICE

EXEMPLU

EXERCITII

1,,1,

i mi jj n

A a

Se noteaz prinINAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

4/31

EXEMPLUL 1

O societate comercial analizaeazeficiena a trei magazineA, B i C. Pentru

aceasta sentocmete un tabel cunumrul de produse vndute prin cele 3magazine n zilele de luni, mari miercuri,joi, vineri i smbt.Notnd zilele cu 1, 2, 3, 4, 5, 6 se poatntocmi urmtoarele tabele care se scriu

sub forma:

749101212C

54101043B

61513121010A

654321

A B C

1 10 3 12

2 10 4 12

3 12 10 10

4 13 10 9

5 15 4 4

6 6 5 7

10 10 12 13 15 6

3 4 10 10 4 5

12 12 10 9 4 7

A

sau 10 3 12

10 4 12

12 10 10

13 10 9

15 4 4

6 5 7

B

Tabelul 1

Tabelul 2

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

5/31

Un depozit de materiale se aprovizioneaz ealonat pe o perioad de 4 luni

cu un anumit produs dup urmtorul plan:n prima lun se aprovizioneaz cu 100 de buci, la preul unitar de 3000uniti monetare (u.m.).n a doua lun se aprovizioneaz cu 120 buci la preul unitar de 3500 u.m.n luna a treia primete cu 10 buci mai puin dect n luna precedenent,cu preul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar n luna a patra comand ocantitate dubl fa de prima lun pltind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.Pentru inerea unei evidene ct mai clare, aceste date pot fi ordonate iclasate n diverse moduri, astfel nct obinerea unor informaii legate deacest proces de aprovizionare s se realizeze ct mai eficient.

EXERCITIUL 1

REZOLVARE

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

6/31

EXERCITIUL 1. REZOLVARE

32000320035003000

200110120001

4321

32000320035003000

200110120001

Datele de mai sus pot fi grupate ntr-un tabel de forma:

Luna 1 2 3 4

Cantitate 100 120 110 200

Pre unitar 3 000 3 500 3 200 3 200

ntr-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate ntr-un tabel de forma:

Un astfel de tabel se numete tabelmatriceal.

Primul tabel matriceal este format din 3linii i 4 coloane (se spune c este de tipul

34), iar al doilea tabel matriceal esteformat din 2 linii i 4 coloane (se spune ceste de tipul 24).

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

7/31

Matricea ptratic

Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea senumete ptratic.

.Sistemul de elemente reprezint diagonala principalSuma acestor elemente se numete urma matriciiSistemul de elemente reprezint diagonala secundar

a matricii A .Suma elementelor de pe diagonala principal a matricei A se numete urmamatricei A i se noteazTr (A).

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

..... ... ....

...

...

21

22221

11211

nnaaa ...2211nnaaa ... 2211

1121 ... nnn aaa

EXEMPLU EXERCITIU INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

8/31

EXEMPLUL 2

1. Matrice ptratic de ordinul doi2 3

1 1

2. Matrice ptratic de ordinul trei

3. Matrice ptratic de ordinulpatru

1 2 3

3 1 1

0 1 2

0 1 2 1

2 1 0 2

3 1 2 0

1 2 3 1

n fiecare din cazurile date numrul de linii este egal cu numrul de coloane

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

9/31

EXERCITIU

INAPOI

Scriei pentru matricele urmtoare

a) Diagonala principal

b) Diagonala secundar

c) Urma matricei

2 3

1 1A

1 2 3

3 1 1

0 1 2

B

1. 2. 3.

0 1 2 1

2 1 0 2

3 1 2 0

1 2 3 1

C

7/27/2019 MATRICE 2014

10/31

MATRICE NULA

MATRICE DIAGONALA

MATRICE UNITATE

O matrice se numete matrice diagonaldac

i exist cel puin un element

( )A M c

, 0, , 1, , 1,i ja i j i n j j

, 0, 1, , 1,i ja i n j n

Caz particular: Matricea diagonal n care

(toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1) se numetematricea unitate i se noteaz cu

, 1, 1, , 1,i ja i n j n

nI

O matrice se numete matrice nul dac( )A M c

, 0, 1, , 1,i ja i m j n . Se noteaz cu ( , )0 m n

EXEMPLE INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

11/31

MATRICE NULA

MATRICE DIAGONALA

MATRICE UNITATE

Matrice nul de tipul (2,3) Matrice nul de tipul (3,3) Matrice nul de tipul (1,3)

(2,3) 0 0 000 0 0 3

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

(1,3)0 0 0 0

2 0

0 1

Exemplul 1 Exemplul 2 Exemplul 3 Exemplul 4

2 0 0

0 3 0

0 0 0

2 0 0

0 1 0

0 0 3

4 0 0 0

0 0 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

2

1 0

0 1I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

4

4 0 0 0

0 0 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

I

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

12/31

MATRICE SIMETRICA

MATRICE ANTISIMETRICA

O matrice se numete matrice simetric

dac

, 1,

1,

( ) ( )i j i nj n

A a M

c

, , , 1, , 1,i j j ia a i n j n

O matrice se numete matrice antisimetric

dac

, 1,1,

( ) ( )i j i n

j n

A a M

c

, , , 1, , 1,i j j ia a i n j n

EXEMPLE INAPOIEXERCITII

7/27/2019 MATRICE 2014

13/31

EXEMPLE

MATRICE SIMETRICE

MATRICE ANTISIMETRICE

INAPOI

3 2

2 3

2 3 4

3 1 1

4 1 5

1 3 2 1

3 1 5 7

2 5 2 8

1 7 8 2

3 2

2 3

2 3 4

3 1 1

4 1 5

1 3 2 1

3 1 5 7

2 5 2 8

1 7 8 2

7/27/2019 MATRICE 2014

14/31

EXERCITII

INAPOIREZOLVARE

1. S se determine mulimea matricelorA simetrice, tiind c

2. S se determine mulimea matricelorB antisimetrice, tiind c

2 ( )A M R

2 ( )B M R

3. S se determine intersecia celor dou dou mulimi.

7/27/2019 MATRICE 2014

15/31

REZOLVARE

INAPOI

1. Fie ;A este simetric dac2 ( )

x yA M

u v

R y u

Deci | , ,x y

X x y vy v

R

2. Fie ;A este antisimetric dac2( )

m nA M

e f

R e n

Deci 0 |0

nY n

n

R

m m i f f

3. 20 0 { }0 0

X Y O

7/27/2019 MATRICE 2014

16/31

MATRICE TRANSPUSA

Fie .

Matricea se numete matrice transpus a matricei

, ( , )1,

1,

( ) ( )i j m ni mj n

A a M

c

1

1,

( )t ji i mj n

A a

A

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

n

ij

m m mn

a a a

a a aA

a

a a a

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

nt

ji

n n nm

a a a

a a aA

a

a a a

MATRICEA DATA MATRICEA TRANSPUSA

EXEMPLE INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

17/31

MATRICEA DATA MATRICEA TRANSPUSA

EXEMPLE

1 3 2 1

4 5 3 7A

1 4

3 5

2 3

1 7

tA

1 2 2

0 1 3

5 4 7

B

1 2 2

2 1 3

2 3 7

tB

a b

C c de f

ta c e

C b d f

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

18/31

EGALITATEA MATRICELOR

Fie matricele ,

DefiniieMatriceleAi B se numesc matrice egale, dac

, ,1,

1,

( ) ( )i j m ni mj n

A a M

c , ,1,1,

( ) ( )i j m ni mj n

B b M

c

, , , 1, , 1,i j i ja b i m j n

PROPRIETI

DacA=A,A (proprietatea de reflexivitate).DacA=B, atunci B=A (proprietatea de simetrie). DacaA=B i B=C, atunciA=C(proprietatea de tranzitivitate).

,, , ( )m nA B C M c

EXERCITII INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

19/31

EXERCITII

REZOLVARE INAPOI

1. S se determine numerele realex, i y tiind c

2. S se determine matricele ptratice de ordinul 2 pentru care

3. S se determine astfel nct matricea dat s fie egal cu

2 4 2

3 1 1 3

x x y

y x

tA A

, ,x y zR 3I

2 1 0

3

0 0 1

x y

x y z

z

7/27/2019 MATRICE 2014

20/31

REZOLVARE

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

21/31

EXERCITII

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

22/31

TEST DE EVALUARE

INAPOI

7/27/2019 MATRICE 2014

23/31

TEST NOTARE

START

URMARESTE INDICATIILE SI RASPUNDE

LA INTREBARILE PROPUSE

7/27/2019 MATRICE 2014

24/31

a

b

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

25/31

a

b

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

26/31

a

b

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

27/31

ab

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

28/31

ab

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

29/31

ab

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

30/31

ab

c

d

7/27/2019 MATRICE 2014

31/31

NOTA

FINIS

TESTUL IIINAPOI TESUL I TESTUL III TESTUL IV TESTUL V