VI – Rang d’une matrice

Mots clés : Rang

• Exemple :

1 2 3

1 2 4

0 1 2 1 5 5 1 0 3 0 1 0

2 2 10 0 4 4 0 1 2 0 1 2

2 2 10 1 8 7 0 0 0 1 4 3

2 4 14 2 14 14 0 0 0 0 0 0

3 lignes non nulles : , et

Rang( )=3

3 colonnes pivots : , et

LA R

R R R

A

R R R

Définition 1 : Rang d’une matrice

• Exemple :

1 0 2 3 1 2 8 11

0 1 3 4 0 3 9 12

1 1 5 7 1 0 2 3

1 0 2 3 1 0 2 3

0 1 3 4 0 1 3 4

1 1 5 7 0 0 0 0

1 2 8 11 1 0 2 3

0 3 9 12 0 1 3 4

1 0 2 3 0 0 0 0

Rang( )=Rang( )=2

L

L

L

A B

A R

B R

A B

Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang

Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang

• Exemple :

0 0 01 0 2 3 1 0 2 3

0 0 00 1 3 4 0 1 3 4

0 0 01 1 5 7 0 0 0 0

0 0 0

Rang( )=2 Rang( )=0

0 0 01 0 2 3 0 0 0

0 0 0= 0 1 3 4 0 0 0 Rang( )=0

0 0 01 1 5 7 0 0 0

0 0 0

LA R B

A B

AB AB

Proposition 1 : rang(AB) rang(A)

Proposition 1 : rang(AB) rang(A)

• Exemple :

1 0 0 01 0 2 3 1 0 2 3

0 1 0 00 1 3 4 0 1 3 4

0 0 1 01 1 5 7 0 0 0 0

0 0 0 1

Rang( )=2 Rang( )=4

1 0 0 01 0 2 3 1 0 2 3

0 1 0 0= 0 1 3 4 0 1 3 4 Rang( )=2

0 0 1 01 1 5 7 1 1 5 7

0 0 0 1

LA R B I

A B

AB AB

Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)

Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)

• Exemple :

t

1 0 01 0 2 3 1 0 2 3

0 1 00 1 3 4 0 1 3 4

2 3 01 1 5 7 0 0 0 0

3 4 0

n'est pas (nécessairement) une l.r.e

1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 1' Rang( )=2=Rang( )

2 3 5 0 0 0

3 4 7 0 0 0

L t

t

Lt

A R R

R

A R A A

Théorème 5 : rang(tA)=rang(A)

• Exemple :

1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 1

0 1 3 4 0 1 3 4 3 1 0

1 1 5 7 0 0 0 0 1 0 0

Rang( )=2 Rang( )=3 ( est inversible)

1 0 1 1 0 2 3 2 1 7 10

= 3 1 0 0 1 3 4 3 1 9 13

1 0 0 1 1 5 7 1 0 2 3

2 1 7 10

= 3 1 9 13

1 0 2 3

LA R B

A B B

BA

BA

1 0 2 3

' 0 1 3 4

0 0 0 0

Rang( )=2=Rang( )

L R

BA A

Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)

Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)

VI – Systèmes linéaires

Mots clés : Equations, Inconnues, Constantes, Coefficients, Système homogène, Système trivial, Système incompatible, Inconnues pivots, Inconnues libres, Solution homogène, Solutions canoniques.

Définition 1 :

1 2 31

1 2 3

1 2

2 1 2

1 2

Exemple : 1

5( ) :

2 4

Exemple : 2

2

( ) : 0

2 4

x x x

x x x

x x

x x

x x

• p=3 inconnues x1, x2 et x3

• n=2 équations

• n=2 constantes -5 et 4

• nxp=2x3=6 coefficients

• p=2 inconnues x1 et x2

• n=3 équations

• n=3 constantes 2, 0 et 4

• nxp=3x2=6 coefficients

Remarque 1

1 2 31

1 2 3

1 2

2 1 2

1 2

Exemple : 1

5( ) :

2 4

Exemple : 2

2

( ) : 0

2 4

x x x

x x x

x x

x x

x x

1

1 2

3

12

2

1 1 1 5( ) :

2 1 1 4

1 1 2

( ) : 1 1 0

2 1 4

x

x

x

x

x

Définition 2

1 2 31

1 2 3

1 2

2 1 2

1 2

Exemple : 1

0( ) :

2 0

Exemple : 2

0

( ) : 0

2 0

x x x

x x x

x x

x x

x x

1

1 2

3

12

2

1 1 1 0( ) :

2 1 1 0

1 1 0

( ) : 1 1 0

2 1 0

x

x

x

x

x

Définition 3

1 2 31

1 2 3

1

Exemple : 1

5( ) :

2 4

1 2 4 5( ) :

2x1 2 4 4

x x x

x x x

1

11 1 1 5

( ) : 22 1 1 4

4

• s1=1 , s2= 2, s3= 4 est une solution du système :

• Remarque 2 :

Rappel : C=AB les colonnes de C sont des combinaisons linéaires des colonnes de A : Cj=ABj

et K (=AX) est une matrice colonne.

• Remarque 3 : En effet : A0=0

Définition 4 :

1 2

2 1 2

1 2

2

Soit le système : ( ) : 0

2 4

x x

x x

x x

• La somme des deux premières équations donne 2x1=2 d’où x1=1.

• En remplaçant dans la 2eme équation on obtient x1=x2=1

• En remplaçant dans la 3eme équation on obtient 3=4

• Impossible! donc le système est incompatible

• On a vu que le système de l’exemple 1 est compatible

Remarque 4 :

• Le système est compatible si et seulement si K appartient à l’ensemble engendré par les colonnes de A.

• En effet Théorème 1 : AB=C CJ =ABJ

• Donc AX=K K =AX

Définition 5 : Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions

• Remarque 5 : Cette relation est une relation d’équivalence– Réflexive

– Symétrique

– Transitive

Proposition 1 : Soit AX=K un système linéaire et (A|K) sa matrice augmentée. Si (A|K) est ligne-équivalente à (B|H) alors AX=K et BX=H sont équivalents

En pratique :

1 2 31

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 3

2 3

Exemple : 1

5( ) :

2 4

5

0 3 14

0 2 9

0 3 14

2 9

3 14

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

21

12

( 2)

(1)

1 1 1 5( | )

2 1 1 4

1 1 1 5

0 1 3 14

1 0 2 9

0 1 3 14

Plus simple à résoudre

L

L

A K

• En donnant des valeurs à x3 on obtient celles de x1 et x2

Définition 6 :

1 2 31

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Exemple : 1

5( ) :

2 4

0 2 9

0 3 14

x x x

x x x

x x x

x x x

1 1 1 5( | )

2 1 1 4

1 0 2 9( | )

0 1 3 14

A K

R H

• Deux inconnues pivots : x1 et x2 une inconnue libre : x3

Théorème 6 :

1 2

2 1 2

1 2

2

Exemple : 2 ( ) : 0

2 4

1 1 2 1 0 0

( | ) 1 1 0 0 1 0 ( | )

2 1 4 0 0 1

( | ) 3 2 ( )

x x

x x

x x

A K R H

rg R H rg R

• Le système est donc incompatible

Théorème 6 :

1 23

1 2

2 2 10Exemple : 3 ( ) :

3 2 12

2 2 10 1 0 2( | ) ( | )

3 2 12 0 1 3

( | ) 2 2 ( ) 2 (nb d'inconnues)

x x

x x

A K R H

rg R H rg R p

• Le système admet donc une solution unique : x1=2 ; x2=3

Théorème 6 :

1 2 31

1 2 3

5Exemple : 1 ( ) :

2 4

1 1 1 5 1 0 2 9( | ) ( | )

2 1 1 4 0 1 3 14

( | ) 2 2 ( ) 3 (nb d'inconnues)

x x x

x x x

A K R H

rg R H rg R p

• Le système admet donc une infinité de solutions

Remarque 5 :

1 2 31

1 2 3

1 3 1 3

2 3 2 3

5Exemple : 1 ( ) :

2 4

1 1 1 5 1 0 2 9( | ) ( | )

2 1 1 4 0 1 3 14

( | ) 2 2 ( ) 3 (nb d'inconnues)

2 9 2 9ou encore

3 14 3 14

x x x

x x x

A K R H

rg R H rg R p

x x x x

x x x x

• Par exemple : x3=4 on obtient : x1=1 et x2=2 ou : x3=5 on obtient : x1=-1 et x2=-1

Définition 7 : L’ensemble solution d’un système linéaire homogène AX=0 est appelé noyau de la matrice A. On le note Ker(A)

• Proposition 2 : Soit un système linéaire homogène AX=0 alors :

• (a) 0Ker(A)

• (b) Si S1Ker(A) et S2Ker(A) alors S1+ S2Ker(A)

• (c) Si SKer(A) et R alors S1Ker(A)

Définition 8 :

2 3 4 5 6

1 2 3 5 64

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2 5 5 0

2 2 10 4 4 0Exemple 4 : ( ) :

2 2 10 8 7 0

2 4 14 2 14 14 0

0 1 2 1 5 5 1 0 3 0 1 0

2 2 10 0 4 4 0 1 2 0 1 2

2 2 10 1 8 7 0 0 0 1 4 3

2 4 14 2 14 14 0 0 0 0 0 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

A

R

• 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4

3 inconnues libres : x3 , x5 et x6

Définition 8 :

1 3 5

2 3 5 6

4 5 6

1 3 5

2 3 5 6

3 3

4 5 6

5 5

6 6

3

2 2

4 3

3

2 2

4 3

x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x

x xS

x x x

x x

x x

Définition 8 :

1 3 5

2 3 5 6

3 3

4 5 6

5 5

6 6

1 2 3

3

2 2

4 3

3 1 0

2 1 2

1 0 0

0 4 3

0 1 0

0 0 1

x x x

x x x x

x xS

x x x

x x

x x

S S S

• 3 solutions canoniques

Théorème 7 :

2 3 4 5 6 1

1 2 3 5 6 24

1 2 3 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6 4

Exemple 4 bis :

2 5 5

2 2 10 4 4( ) :

2 2 10 8 7

2 4 14 2 14 14

x x x x x k

x x x x x k

x x x x x x k

x x x x x x k

Théorème 7 :

1

2

3

4

1

2

3

4

0 1 2 1 5 5

2 2 10 0 4 4( | )

2 2 10 1 8 7

2 4 14 2 14 14

1 0 3 0 1 0

0 1 2 0 1 2( | )

0 0 0 1 4 3

0 0 0 0 0 0

k

kA K

k

k

h

hR H

h

h

• 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4

• 3 inconnues libres : x3 , x5 et x6

Théorème 7 :

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 31 2 3

4 4

5 5

6 6

3 1 0

2 1 2

1 0 0

0 4 3

0 1 0

0 0 1

S S S S P

x p

x p

x pS

x p

x p

x p

• S= Sh+Sp