FILIERE: S.M.P.

KAMAL GUERAOUIProfesseur de lEnseignement Suprieur et Responsable de lEquipe de Modlisation Thorique et Numrique en Mcanique des Fluides et en EnvironnementANNE UNIVERSITAIRE: 2009 2010

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10I- Pression et Force

10II- Units de pression

11III- Notions de pressions absolue et relative

11IV- L'quation de l'hydrostatique

11IV-1. Formulation mathmatique

12IV-2. Exemple .

13IV-3. Remarque: cas des gaz

13IV-4. Interface entre deux fluides

14V- Corps immergs: Principe d'Archimde

15VI- Action dun fluide sur une paroi

15VI-1. Force exerce sur un lment de surface

16VI-2. Cas dune paroi plane

17VI-3. Cas dune paroi Cylindrique

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20I- Description dun fluide en mouvement

20I-1. Reprsentation eulrienne et reprsentation lagrangienne

20I-1.1 Reprsentation lagrangienne

20I-1.2 Reprsentation eulrienne

21II- Dfinitions

21II-1. Ecoulement permanent

21II-2. Ecoulement uniforme

21II-3. Ecoulement plan

21II-4. Ecoulement irrotationnel

II-5. Ligne de courant un instant fixe21

21II-6. Tube de courant

22II-7. Ligne dmission

22II-8. Trajectoires

22III- Equation de continuit

22III-1. Drivation suivant la mthode dEuler

23III-2. Thorme de la divergence

23III-3. Thorme de lintgrale nulle

23III-4. Equation de continuit

25III-5. Vitesse et acclration

25III-5.2 Acclration

25III-6. Conservation du dbit

25III-6.1 Dfinitions

26III-6.2 Conservation du dbit

26III-6.3 Expression du dbit en fonction de la vitesse v

27III-6.4 Vitesse moyenne

27III-7. Thorme de BERNOULLI

27III-7.1 Le phnomne

28III-7.2 Thorme de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible

28III-7.3 Dmonstration:

31III-7.4 Equation transversale

32III-8. Applications

32III-8.1 Phnomne de Venturi

32III.8.2 coulement d'un liquide contenu dans un rservoir - Thorme de Torricelli

33III-8.3 Vidange dun rservoir

34III-9. Thorme global dEuler

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37I- Introduction

37II-Coordonnes gnralises

38III- Contraintes gomtriques

38III-1. Dfinition

39III-2. Liaison holonome

39III-3. Contrainte non holonome

39IV- Centre de gravit

39IV-1. Cas dun ensemble discret

39IV-2. Cas dun ensemble continu

40V- Le paramtrage

40V-1. Paramtres de rotation

40V-1.1 Rotation propre ()

40V-1.2 La nutation ()

41V-1.3 la Prcession ()

41V-2. Paramtres de la translation

41V-3. Schma du paramtrage

42V-Rfrentiel principal dinertie

42V-1. Constatation

42V-2. Consquences

43VI-Energie cintique

43VII-Energie potentielle

43VII-1. Energie de la pesanteur:

44VII-2. Energie lastique: (nergie potentielle du ressort)

44VIII-Equations de Lagrange

44VIII-1. Systme conservatif

44VIII-2. Champ des dplacements virtuels

45VIII-3. Equations de Lagrange

47VIII-4. Intgrale premire de lnergie

47VIII-5. Le Lagrangien du systme

47VIII-6. Intgrale premire du mouvement

47IX- Positions dquilibre

47X-Etudes de la stabilit dune position dquilibre

Ltude de la mcanique des fluides remonte au moins lpoque de la Grce antique avec Archimde qui a dcouvert la notion de la pousse dArchimde pour un fluide au repos.

Aujourdhui, la mcanique des fluides est lun des domaines de la recherche les plus actifs avec de nombreux problmes non rsolus ou partiellement rsolus, comme les problmes de la pollution atmosphrique. La rsolution des quations rgissant ces problmes complexes fait appel aux mthodes de rsolution numriques.

Comme tout problme de mcanique, la rsolution d'un problme de mcanique des fluides passe par la dfinition du systme matriel S, particules de fluide l'intrieur d'une surface ferme limitant S. ce systme, on applique les principes et thormes gnraux de mcanique et de thermodynamique savoir :

- principe de la conservation de la masse,- principe fondamental de la dynamique,- principe de la conservation de l'nergie.

La mcanique des fluides concerne ltude du comportement des fluides et des forces internes associes.

Elle se divise en statique des fluides et dynamique des fluides:

Statique des fluides: Cest ltude des fluides au repos

Dynamique des fluides: Cest ltude des fluides en mouvement

Un fluide peut tre considr comme tant form d'un grand nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et qui peut s'couler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

Les liquides et gaz habituellement tudis sont isotropes, mobiles et visqueux. La proprit physique qui permet de faire la diffrence entre les deux est la compressibilit.

- l'isotropie assure que les proprits sont identiques dans toutes les directions de l'espace.

- la mobilit fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du rcipient qui les contient.

- la viscosit caractrise le fait que tout changement de forme dun fluide rel s'accompagne d'une rsistance (frottements).

I- Pression et Force

Les particules qui forment un fluide ne sont pas immobiles les unes par rapport aux autres. Elles sont agites de faon dsordonne ce qui provoque de nombreux chocs entre elles et avec les parois. Par ces chocs, le fluide applique une force sur les parois. Ces forces sont appeles forces de pression.

Considrons la figure ci-dessus reprsentant une enceinte contenant un fluide. Ce fluide exerce donc des forces sur chacune des parois. Ces forces sont diriges vers lextrieur de lenceinte et sont perpendiculaires aux parois. Si on considre la face hachure de surface S, le fluide lui applique une force F. On peut ainsi dfinir la pression P du fluide comme le rapport de cette force F et de la surface S:

La pression reprsente donc la force qui sexerce sur chaque unit de surface.

II- Units de pression

Dans le systme international, lunit pour la force est le Newton, not N, et lunit de la surface est le mtre carr (m2). Par consquent, lunit dans le systme international pour la pression sera le N/m2.

Une unit a t invente pour la pression: Cest le Pascal, not Pa. On a par consquent lquivalence suivante: 1 Pa = 1 N/m2

Il existe de nombreuses autres units de pression couramment employes dans lindustrie. bar : 1bar = 105 Pa

Atmosphre (atm) : 1atm=101325Pa

Millimtre de mercure (mmHg) ou torr : 1mmHg=133,32Pa

III- Notions de pressions absolue et relative

Nous vivons dans un monde qui est baign au sein dun fluide: lair.

On dsigne par pression atmosphrique la valeur de la pression de lair ambiant.

Cette valeur (que lon mesure laide dun baromtre) fluctue en fonction des conditions mtorologiques et de la zone gographique. Toutefois, la valeur de la pression atmosphrique oscille autour dune valeur moyenne quon appelle pression atmosphrique normale qui vaut 101325Pa.

Lorsque la pression dun fluide est suprieure la pression atmosphrique on dit que ce fluide est sous pression.

Lorsque la pression du fluide est infrieure la pression atmosphrique, on dit que le fluide est sous vide.

Une pression nulle (P=0Pa) correspond un vide parfait qui correspond en fait une absence totale de particules (atomes ou molcules).

On dfinit la pression relative, que lon note P', par:

P est la pression absolue. P et P' sont toutes deux des pressions et ont par consquent la mme unit. IV- L'quation de l'hydrostatique

IV-1. Formulation mathmatique

La pression varie avec la hauteur dans le liquide. Un point du fluide sera donc reprsent par son altitude note z. Laltitude est la coordonne du point sur un axe vertical et dirig vers le haut. On fixera de manire arbitraire laltitude 0 (lorigine) sur cet axe. On veillera tout de mme choisir une origine pratique comme par exemple le fond dun rservoir, le centre dune pompe, etc.

Pour exprimer laide dune relation mathmatique lvolution de la pression au sein dun fluide au repos, il convient de respecter scrupuleusement les hypothses suivantes:

Le fluide doit tre au repos.

Le fluide doit tre homogne. On ne peut crire de relation quau sein dun seul et mme liquide.On considre au sein de ce fluide homogne et au repos, deux points distincts 1 et 2, daltitudes respectives z1 et z2, alors on peut crire la relation suivante entre les pressions P1 et P2:

O: g est lacclration de la pesanteur.

Cette relation est appele quation de lhydrostatique. On peut aussi lcrire de la faon suivante:

P + .g. z = constante

IV-2. Exemple La pression de leau dans locan 15m de profondeur est de 4bar. On souhaite connatre la pression qui rgne 200m de profondeur. La densit de leau de mer est de 1,02.

On choisit lorigine des altitudes la surface de locan. Le point A correspondant une profondeur de 15m aura donc une altitude ngative zA=-15m. De mme, zB=-200m. On aura de plus:

On peut raisonnablement considrer locan comme un fluide homogne et au repos (on supposera quil nexiste pas de courants marins). Par consquent, on peut appliquer lquation de lhydrostatique:

Do:

La pression de locan 200m de profondeur est donc de 22.5bar.IV-3. Remarque: cas des gaz

Les masses volumiques des gaz sont trs faibles en comparaison de celles des liquides. Par consquent, dans un gaz, la pression variera trs peu avec laltitude. On pourra donc considrer en gnie des procds que dans un gaz la pression est partout la mme.

IV-4. Interface entre deux fluides

Il est trs courant de rencontrer deux fluides en contact comme un gaz au-dessus dun liquide ou un liquide lger surnageant sur un liquide plus lourd avec lequel il nest pas miscible. Cette surface de contact est, pour un liquide au repos, plane et horizontale. On lappelle aussi interface.

On aura alors la proprit suivante: la pression est identique de part et dautre de linterface. En effet, lorsque lon traverse linterface, on nobserve pas de discontinuit brutale de la pression. Ainsi, par exemple, la pression dun liquide sa surface ouverte latmosphre est la pression atmosphrique.

Si on considre la figure suivante, on peut voir linterface entre le fluide 1 et le fluide 2. Le point A est situ linterface des deux fluides. Par consquent, le point A appartient la fois au fluide 1 et au fluide 2. La pression PA est donc la mme que lon considre que le point A fasse partie du fluide 1 ou du fluide 2. On peut ainsi appliquer lquation de lhydrostatique au sein du fluide 1 entre les points A et B, et aussi sur le fluide 2 entre les points A et C:

Par consquent, on aura la relation suivante entre PB et PC:

On notera enfin la remarque suivante qui est trs importante: on ne peut pas crire directement lquation de lhydrostatique entre les points B et C, car ils appartiennent des fluides diffrents. V- Corps immergs: Principe d'Archimde

Analysons ce qui se passe du point de vue de lquilibre mcanique sur un flotteur, cest dire rflchissons aux forces auxquelles il est soumis.

Tout dabord, le flotteur est soumis son propre poids, dirig vers le bas et dintensit m . g, o m est la masse du flotteur et g lacclration de la pesanteur. Mais le poids nest pas la seule force, sinon le flotteur coulerait. Il est donc soumis une force dirige en sens inverse du poids et gale en intensit pour assurer lquilibre des forces. Cette force est appele Pousse dArchimde. Le principe dArchimde permet de relier lintensit de cette pousse au volume de flotteur immerg et la masse volumique du liquide. Lnonc traditionnel du principe dArchimde est le suivant: Tout corps plong dans un liquide subit une pousse verticale dirige vers le haut dont lintensit est gale au poids de liquide dplac. Il est toutefois possible den donner une prsentation plus simple. Ainsi, si lon appelle, le volume de la partie du flotteur qui est immerge dans le liquide, alors lintensit A de la pousse dArchimde sexprimera de la faon suivante:

Remarque:

Pour que le flotteur soit en quilibre, cest dire pour quil flotte, il faut que la pousse dArchimde soit gale en intensit au poids du flotteur. Or, le poids du flotteur vaut:

.g.On aura donc:

En remplaant par , on obtient:

Le volume immerg est toujours plus petit que le volume total du flotteur. Par consquent, pour que la prcdente relation soit satisfaite et que le flotteur flotte, il faut que la masse volumique du liquide soit plus faible que celle du liquide.

On pourra encore crire cette condition avec les densits:

VI- Action dun fluide sur une paroi

VI-1. Force exerce sur un lment de surfaceSoit un liquide contenu dans un rcipient de forme quelconque. Soit P0 la pression du gaz environnant le rcipient.

En un point M situ une distance h de la surface libre du liquide, la pression est:

Llment de surface dS entourant lepoint M subit:

Une force normale dS et oriente vers lextrieur de la part du liquide:

Une force normale dS et oriente vers lintrieur du fluide de la part du gaz environnant

La rsultante sexerant sur dS est donc [force relative]:

soit

O: est un vecteur unitaire normal dS et orient vers lextrieur.

VI-2. Cas dune paroi planeSoit l la largeur de la paroi perpendiculaire au plan

de la figure et L sa longueur dans le plan de la figure.On a:

Or:

Donc:

Dtermination du point dapplication

Toutes les forces lmentaires sont orientes suivant

la rsultante lest aussi:

Pour dterminer le point dapplication de, appel centre de pousse C, on crit le moment en O

Le moment de la rsultante = rsultantes des moments en un point (O par exemple).

Indpendant de

VI-3. Cas dune paroi CylindriqueOn considre le schma ci-dessus.

O: est laxe perpendiculaire au plan de la figure et l la largeur suivant cet axe. Langle varie de 0 . Le vecteur normal la paroi est:

Toutes les forces relatives lmentaires passent par O, do la rsultante est applique en O C centre de pousse.

Avec:

En projetant cette relation suivant la verticale et lhorizontale, on aura:

Or:

car

O centre de pousse; en effet:

Or:

Composante horizontale

Composante verticale

Or:

La force

I- Description dun fluide en mouvement I-1. Reprsentation eulrienne et reprsentation lagrangienne

I-1.1 Reprsentation lagrangienne

Dcrire le mouvement dun fluide fait appel des notions diffrentes de celles dveloppes en Mcanique du point ou du solide. Le mouvement dun fluide est un coulement o il y a dformation continue du fluide.On peut, de manire analogue ce que lon fait en Mcanique du solide, isoler (par la pense ou en trouvant un moyen de visualisation, coloration par exemple) une partie restreinte du fluide appele particule et la "suivre" au cours du temps cest dire connatre chaque instant sa position.

Cette position sera connue, par exemple, par ses coordonnes cartsiennes:

, et

O: reprsentent les coordonnes de la particule choisie linstant, la vitesse de la particule aura pour composantes:, et .

Au cours du temps, la particule sera en diffrents points M, lensemble des points constitue la trajectoire de la particule.Cette faon de faire est appele mthode de Lagrange, les variables introduites sont appeles variables de Lagrange.La mthode de Lagrange savre dans la plupart des cas dlicate, car il nest pas facile de suivre les particules: elle est peu employe.I-1.2 Reprsentation eulrienne

La mthode dEuler consiste connatre la vitesse des particules au cours du temps un endroit donn dtermin par ses coordonnes, par exemple cartsiennes x, y, z. Elle est plus employe que la mthode de Lagrange, la connaissance du champ des vitesses tant suffisante pour la description du fluide en mouvement.Les composantes du vecteur vitesse sont des fonctions des variables (x, y, z), ainsi O: , et .

Remarque:

Dans la mthode dEuler, lacclration dune particule peut tre due, bien sur, au caractre instationnaire de lcoulement, mais aussi sa non-uniformit. Ainsi, chacun a pu constater, dans lcoulement permanent dune rivire, lacclration des particules lors du franchissement dun rtrcissement.

II- Dfinitions

II-1. Ecoulement permanent

Lcoulement du fluide est permanent ou stationnaire si ses composantes de vitesse sont indpendantes de la variable temps t; il est dit non-permanent ou instationnaire si cette condition nest pas ralise.

II-2. Ecoulement uniforme

Lcoulement du fluide est uniforme si ses composantes de vitesse sont indpendantes des coordonnes despace; il est non-uniforme si cette condition nest pas remplie.

II-3. Ecoulement plan

Un coulement plan est un coulement dont le champ de vitesse est, tout instant, parallle un mme plan, et qui ne varie pas perpendiculairement au plan.

On a donc :

II-4. Ecoulement irrotationnel

Un coulement est dit irrotationnel si.

Dans ce cas, appele potentiel des vitesses telle que

Remarque: Le vecteur est appel vecteur tourbillon.II-5. Ligne de courant un instant fixe

On appelle ligne de courant une courbe dont la direction tangente en chacun de ses points est la direction du vecteur vitesse. Lquation dune ligne de courant se calcule par intgration des quations obtenues laide de:

II-6. Tube de courant

Un tube de courant est un ensemble de lignes de courant sappuyant sur un contour ferm.

II-7. Ligne dmission

On appelle ligne dmission une courbe constitue par lensemble des points atteints un instant donn par des particules passes antrieurement en un mme point.Trajectoire, ligne de courant et ligne dmission sont confondues pour un coulement permanent.

II-8. Trajectoires

Ensemble des positions

EMBED Equation.3 occupes par une particule fluide donne.

Elle est donc solution de :

Ce qui conduit (si):

On a trois quations du premier ordre, donc 3 constantes d'intgration. On obtient ainsi une famille de courbes 3 paramtres.

Pour observer, au sens propre, des trajectoires, on peut mettre en suspension dans le milieu quelques particules et faire une photographie avec un temps de pose trs long.

Remarque:

A priori, les trajectoires et les lignes de courant sont des entits diffrentes. Toutefois ces deux concepts sont identiques dans le cas d'coulements stationnaires.III- Equation de continuit

III-1. Drivation suivant la mthode dEuler

Considrons la fonction scalaire Q(x, y, z, t) rendant compte dune grandeur physique caractristique du fluide au point de coordonnes x, y, z et au temps t.

La particule fluide au temps t + dt sera au point de coordonnes.La variation de la fonction Q sera donc gale :

La drive , que lon note et que lon appelle drive particulaire, est gale :

Cette drive apparat comme la somme de deux termes:

le premier, qualifi de convectif ou advectif, est du la non-uniformit de lcoulement,

le second, qualifi de temporel, est du au caractre instationnaire de lcoulement.

III-2. Thorme de la divergenceNous nous contenterons de donner, sans dmonstration, un nonc de ce thorme appel aussi thorme de Green Ostrogradski:

Le flux dun champ tensoriel A au travers de la surface D enveloppant le domaine D est gal lintgrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine:

Remarque:

Dans le cas o A reprsente un champ vectoriel constant, on obtient

Dans le cas o A reprsente un champ scalaire f, on obtient

III-3. Thorme de lintgrale nulleLnonc de ce thorme est le suivant:

Considrons un champ vectoriel volumique a dfini et continu sur un domaine D. Si quelque soit le sous domaine D* inclus dans D, lintgrale du champ tensoriel sur le domaine D* est nulle, alors le champ tensoriel est identiquement nul. III-4. Equation de continuit

Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matire. En consquence la variation de la masse au cour du temps est nulle:

La masse peut se calculer partir de la masse volumique:

Avec la notion de drive particulaire dune intgrale de volume, on obtient:

On peut encore utiliser le thorme de la divergence:

Ce qui nous donne une forme locale de lquation de continuit avec le thorme de lintgrale nulle:

De plus, nous avons les relations:

On obtient ainsi une autre forme locale de lquation de continuit:

Remarque:

Sauf prcision contraire, nous appliquerons lquation de conservation de masse en absence de source ou de puits, soit .Deux cas particuliers sont alors considrer.

Le cas 1 dun fluide incompressible ( = cte) pour un coulement stationnaire ou instationnaire.

Cet coulement est dit isovolume.

Le cas 2 dun coulement stationnaire

En dehors de la possibilit cas 1, il existe la possibilit dcoulements isovolumes tels que = 0 o les variations de masse volumique sont orthogonales, en tout point, au vecteur vitesse.

Ce cas correspond des coulements stratifis par salinit ou temprature (courants marins), par temprature et humidit (atmosphre). III-5. Vitesse et acclration

III-5.1 Vitesse

Pour une particule fluide donne, identique pour fix, la vitesse est donne par:

Soit en notation tensorielle:

III-5.2 Acclration

Pour une particule fluide donne, identique pour fix, lacclration est donne par:

Soit en notation tensorielle:

III-6. Conservation du dbit

III-6.1 Dfinitionsi. Le dbit

Le dbit est le quotient de la quantit de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la dure de cet coulement.

ii. Dbit-masse

Si dm est la masse de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps dt, par dfinition le dbit-masse est :

Son unit est le kgs-1iii. Dbit-volume

Si dV est le volume de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps dt, par dfinition le dbit-volume est :

Son unit est le m3s-1.vi. Relation entre qm et qV La masse volumique est donne par la relation : d'o : Remarque : Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'coulements isovolumes.

Pour les gaz, la masse volumique dpend de la temprature et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limite) et pour des tempratures constantes on retrouve le cas d'un coulement isovolume.

III-6.2 Conservation du dbit

Considrons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps dt, infiniment petit, la masse dm1 de fluide ayant travers la section S1 est la mme que la masse dm2 ayant travers la section S2.En rgime stationnaire, le dbit-masse est le mme travers toutes les sections droites d'un mme tube de courant.

Dans le cas d'un coulement isovolume ( = Cte) :

En rgime stationnaire, le dbit-volume est le mme travers toutes les sections droites d'un mme tube de courant.

III-6.3 Expression du dbit en fonction de la vitesse v

Le dbit-volume est aussi la quantit de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur gale v, correspondant la longueur du trajet effectu pendant l'unit de temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en rsulte la relation importante : III-6.4 Vitesse moyenne

En gnral, la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse ( cause des forces de frottement). Le dbit-masse ou le dbit-volume s'obtient en intgrant la relation prcdente :

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne la vitesse telle que:

La vitesse moyenne apparat comme la vitesse uniforme travers la section S qui assurerait le mme dbit que la rpartition relle des vitesses.

Si l'coulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle l'aire de la section droite. C'est l'quation de continuit quon peut aussi crire sous la forme:

La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.III-7. Thorme de BERNOULLI

III-7.1 Le phnomne

Observations- Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air inclin.

- Une feuille de papier est aspire lorsqu'on souffle dessus.

Conclusion: La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.

III-7.2 Thorme de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible

Un fluide parfait est un fluide dont l'coulement se fait sans frottement.

On considre un coulement permanent isovolume dun fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il ny a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe travers la section S1 entre les instants t et t+dt. Pendant ce temps la mme masse et le mme volume de fluide passe travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide tait pass de la position (1) la position (2).

En appliquant le thorme de lnergie cintique ce fluide entre les instants t et t+dt (la variation dnergie cintique est gale la somme des travaux des forces extrieures: poids et forces pressantes), on obtient:

p est la pression statique, gzest la pression de pesanteur, est la pression cintique.

Tous les termes sexpriment en pascal.

En divisant tous les termes de la relation prcdente par le produit g, on crit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimes en mtres de colonne de fluide).

H est la Hauteur totale, est la Hauteur de Pression, z est la cote, est la Hauteur cintique, est la Hauteur pizomtrique.

III-7.3 Dmonstration:

On considre le schma suivant:

L'quation de Bernoulli pour les fluides incompressibles peut tre dmontre, soit, par application du principe de conservation de l'nergie le long d'une ligne de courant, en ngligeant les effets thermiques, de viscosit, de compressibilit, soit, laide de lquation dEuler.

i. A laide de la conservation dnergieSoit le systme ferm contenu l'instant t entre x1 et x2 et t + t entre x1 + v1.t et x2 + v2.t.

Le fluide est incompressible, la masse m contenue entre x1 et x2 doit tre identique la masse contenue entre x1 + v1.t et x2 + v2.t.

Ce que l'on peut ramener ici la conservation du dbit massique:

t.v1.A1. = t.v2.A2..

Toutes les forces qui s'exercent (forces pressantes et poids) sont conservatives (il n'y a pas d'effet visqueux). On peut donc appliquer le thorme de conservation de lnergie mcanique au systme:

Epp + Ek = W

O

est la variation dnergie cintique du systme.

Epp = mgh2 mgh1 est la variation dnergie potentielle de pesanteur du systme.

W = p1A1.(v1t) p2A2.(v2t) est le travail des forces de pressions.

Soit:

D'o, en divisant par m:

Et donc:

On peut remarquer que la dmonstration est faite dans le contexte particulier d'un coulement obissant la gomtrie de la figure. Cependant, pour un coulement quelconque en rgime permanent, on pourra toujours dfinir au voisinage d'une ligne de courant une section sur laquelle la vitesse est homogne, et raisonner comme prcdemment.ii. A laide de lquation dEuler

Quelque soit la particule fluide M, lquation dEuler peut scrire sous la forme:

O: z est la cte de la particule M et R un rfrentiel galilen.

Dautre part, on sait que:

Dans le cas dun coulement permanent, = Cte, ce qui conduit :

Comme la fonction est linaire, alors on aura:

Considrant un dplacement infinitsimal sur une ligne de courant (ou sur les trajectoires, puisque lcoulement est permanent, les trajectoires et lignes de courant sont confondus), on a:

Comme le vecteur vitesse est parallle llment de dplacement et que est perpendiculaire , alors la projection de suivant le vecteur conduit :

On sait que quelque soit la fonction scalaire f, on peut crire:

Alors, on peut dduire que:

Sur la ligne de courant considre

Et par consquent:

Sur la ligne de courant considre

La constante varie dune ligne de courant une autre.

III-7.4 Equation transversale

Soit le vecteur normal la trajectoire (ou la ligne de courant) orient vers lintrieur de la cavit. Dans le repre de Frnet, on a:

O: R est le rayon de courbure des lignes de courant au point M considr.

La projection de suivant la normale conduit :

O: est langle entre les vecteurs unitaire et .

Remarque:

Dans un coulement o on peut ngliger les forces de gravite, la pression reste constante lorsquon se dplace perpendiculairement aux trajectoires dans les zones ou celles-ci sont des droites. Cest--dire lorsque R tend vers linfini.

En gnral, si les trajectoires sont des droites alors on aura:

III-8. ApplicationsIII-8.1 Phnomne de Venturi

Un conduit de section principale SA subit un tranglement en B o sa section est SB. La vitesse dun fluide augmente dans ltranglement, donc sa pression y diminue: si vB>vA donc pB < pA

Le thorme de Bernoulli s'crit ici:

D'aprs l'quation de continuit, et donc

La diffrence de pression aux bornes aux extrmits du tube de Venturi est proportionnelle au carr du dbit; application la mesure des dbits (organes dprimognes).

On peut citer aussi la trompe eau, le pulvrisateur...

III.8.2 coulement d'un liquide contenu dans un rservoir - Thorme de Torricelli

Considrons un rservoir muni d'un petit orifice sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant l'orifice au point (2). En appliquant le thorme de Bernoulli entre les points (1) et (2),

Or: p1 = p2 = pression atmosphrique et v1