Polycopie Methodes Numeriques

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  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    UNIVERSITE ABDELMALEK ESSADI

    FACULTE DES SCIENCES DE TETOUAN

    MASTER MECATRONIQUE

    Module MO1: Mthodes nu!"#ues et $!o%&%"l"ts

    '(()*'((+

    A%dell&t", Kh&l"-h"

    0

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    UNIVERSITE ABDELMALEK ESSADI

    FACULTE DES SCIENCES DE TETOUAN

    MASTER .ENIE ENER.ETIQUE ET

    ENVIRONNEMENT

    Module M/: Mthodes nu!"#ues et o$t""s&t"on

    Elent : Mthodes nu!"#ues

    '(()*'((+

    A%dell&t", Kh&l"-h"

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    So&"!e

    Ch&$"t!e1:Les -on-e$ts !&tt&-hs &u -&l-ul nu!"#ue0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

    Ch&$"t!e ':

    Rsolut"on nu!"#ue des #u&t"ons non l"n&"!es0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

    Ch&$"t!e 2:

    Inte!$ol&t"on et &$$!o3"&t"on0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000''

    Ch&$"t!e :

    Rsolut"on nu!"#ue des s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es000000000000000000000000000000000000000000002

    Ch&$"t!e 7:

    Mthodes de -&l-ul nu!"#ue des 8&leu!s $!o$!es et des 8e-teu!s $!o$!es0000000000000007

    Ch&$"t!e 9:

    !o;!&&t"on l"n&"!e00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007(

    Ch&$"t!e /:

    E#u&t"ons d",,!ent"elles &u3 d!"8es $&!t"elles00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007

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    B"%l"o;!&$h"e

    [ ]1 D0 M0 A su!8e4 o, nue!"-&l &the&t"-s>= Volue I=

    Do8e! u%l"-&t"ons= Ne? = Volue II=

    Do8e! u%l"-&t"ons= Ne? = Dunod= &!"s= 1++)0

    [ ]4 0 .0 C"&!let= B0 M"&!&= 0 M0 Tho&s >E3e!-"-es d6&n&l4se nu!"#ue

    &t!"-"elle et d6o$t""s&t"on &8e- solut"ons>= '"5e d"t"on= M&sson= &!"s= 1+)90

    [ ]5 A0 M&;nus >An&l4se nu!"#ue 1& et '>= Cou!s Un"8e!s"t C&thol"#ue de

    Lou8&"n= '((70

    [6] M0 C!oue"3= A0L0 M";not >An&l4se nu!"#ue des #u&t"ons d",,!ent"elles>=

    M&sson= &!"s= 1+)0

    [7] M0 M"nou3 >!o;!&&t"on &th&t"#ue: tho!"e et &l;o!"thes * Toe 1>=

    CNET*ENST= Colle-t"on Te-hn"#ue et S-"ent","#ue des Tl-oun"-&t"ons=

    Dunod= $&!"s= 1+)20

    [8] 0C0 St!"@?e!d& >F"n"te d",,e!en-e s-hees &nd $&!t"&l d",,e!ent"&l e#u&t"ons>=

    &ds?o!th B!oo@s Cole= M&the&t"-s Se!"es= C&l",o!n"& 1+)+0

    3

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    CGAITRE 1:

    Les -on-e$ts !&tt&-hs &u -&l-ul nu!"#ue

    10 Int!odu-t"on

    L'objet de l'analyse numrique est l'ali!ation des mat"matiques a#in de d$eloer des

    al%orit"mes et des mt"odes !aables de !onstruire des solutions numriques au& di##rents

    roblmes ren!ontrs dans la ratique(

    )rs sou$ent les t"ormes d'e&isten!e ermettent d'tablir que !ertaines !lasses de roblmes

    admettent des solutions mais ne donnent au!une in#ormation !on!ernant !omment !al!uler

    e##e!ti$ement la solution(

    *ans d'autres !as des solutions analytiques e&istent mais ne eu$ent as +tre utilises telles

    qu'elles sont our obtenir des rsultats numriques(

    ,oi!i quelques e&emles-

    .1/ !omment rsoudre le systme linaire

    n

    ij j i

    j 1

    a & b i 12 n=

    = = L o les ija et ib sont des

    rels donns

    .2/ !omment $aluer 746e .atlab donne ar e&emle e&. 746/ 0 = et

    324e&. 745/ 4(407 10 = /

    .3/ !omment rsoudre automatiquement l'quation du se!ond de%r 2a& b& ! 0+ + =

    '0 !-"s"on nu!"#ue d6un &l;o!"the

    L'un des roblmes majeurs au&quels le numri!ien est !on#ront est le !ontrle de la

    r!ision des rsultats des !al!uls e##e!tus( l !on$ient our !ela d'utiliser des al%orit"mes

    numriques #iables et !onomiques(

    Le numri!ien ne eut as i%norer l'ase!t mat"matique qui re!ou$re le !"oi& d'un

    al%orit"me numrique a#in de rsoudre un roblme donn(

    onsidrons 9 titre d'e&emle le roblme de l'$aluation de la #on!tion # .&/ tan & sin &=

    en & 0(1250= ( :uosons que nous sou"aitions obtenir un rsultat 9 4 !"i##res si%ni#i!ati#s

    !e qui si%ni#ie une r!ision relati$e de 1;10000 ( *eu& mt"odes au& moins eu$ent +tre

    en$isa%es(

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    Mthode 1:

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    20 Inst&%"l"ts nu!"#ues et $!o%l5es &l -ond"t"onns

    l #aut distin%uer entre les di##i!ults rores asso!ies 9 la rsolution d'un roblme donn et

    les di##i!ults qui sont lies 9 l'al%orit"me numrique utilis our !al!uler numriquement une

    solution de !e roblme(

    onsidrons le roblme de rsolution du systme al%brique linaire sui$ant o 0 1< < n eut trou$er dans la ratique les quatre situations sui$antes-

    roblme mal !onditionn et al%orit"me numrique stable= dans !ette situation tout !e qu'on

    eut #aire !'est tudier la sensibilit du roblme ."aos ar e&emle/=

    roblme mal !onditionn et al%orit"me numrique instable= dans !e !as l'outil numrique

    ne eut ser$ir 9 rien=

    roblme bien !onditionn et al%orit"me numrique stable= !'est la situation idale=

    roblme bien !onditionn et al%orit"me numrique instable= !'est le !as o le numri!ien

    doit tra$ailler da$anta%e(

    0 !o%l5es t4$es #u" "nt!essent le nu!"-"en

    )out d'abord un numri!ien est un mat"mati!ien qui d$eloe analyse et $alue des

    al%orit"mes numriques destins 9 obtenir des solutions numriques aro!"es au&

    roblmes mat"matiques( Feau!ou de !es roblmes aaraissent dans le domaine de la

    "ysique et de l'in%nierie(

    Le numri!ien est sou$ent !onduit 9 d$eloer de nou$eau& rsultats mat"matiques et les

    adater a#in de les utiliser de manire e##e!ti$e dans le !adre de la ro%rammation sur

    ordinateur( L'$aluation des al%orit"mes est !onduite ar des aro!"es mat"matiques et #ait

    ael aussi 9 des essais numriques .ar e&emle $aluation de la dure de !al!ul/(

    L'$aluation des al%orit"mes est sou$ent e##e!tue ar rsolution de roblmes tests sur

    ordinateur(

    Aarmi les roblmes tyes que re!ou$re le domaine de l'analyse numrique on eut !iter les

    e&emles sui$ants-

    .1/ $aluation des #on!tions3

    tan & sin .&/

    1 &

    =

    +=

    .2/ rsolution d'quation ln & 2 & 0+ = =

    .3/ interolation d'une #on!tion= #.&/ est d#inie ar e&emle our & 00(1 1= L trou$er une

    aro&imation ar e&emle de # .0(175/ =

    .4/ roblme de dri$ation numrique=

    .5/ roblme d'int%ration numrique=

    .6/ quation di##rentielle au& $aleurs initiales2dy & y

    d&= + y.0/ 1= [ ]& 02 =

    .7/ rsolution des systmes linaires ?G F= o ? et F sont donns=

    .8/ roblme au& $aleurs rores ?G G= o ? est donn et est un s!alaire=

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    ./ quation di##rentielle au& dri$e artielles roblme au& limites tel que l'quation de

    Lala!e2 2

    2 2

    u u0

    & y

    + =

    dans ] [ ] [11 12 = a$e! 3u.& y/ sin. &/ y= + sur la #rontire

    = (

    70 Mthodes "t!&t"8es

    Aar oosition au& mt"odes dire!tes qui ermettent de !onstruire une aro&imation 9 la

    solution en une seule tae les mt"odes dites itrati$es ermettent de !onstruire une suite

    d'aro&imations qui tendent 9 s'amliorer au #ur et 9 mesure que l'on au%mente le nombre des

    itrations( es mt"odes sont sou$ent simles et e##i!a!es( Hlles e&i%ent en rin!ie un

    nombre in#ini d'taes a#in de !on$er%er mais elles ne sont utilises dans la ratique que

    lorsqu'elles assurent une !on$er%en!e raide $ers la solution(

    Les mt"odes itrati$es sont sou$ent utilises our rsoudre des quations de la #orme

    # .&/ 0= o # est une #on!tion non linaire de &( >n initialise la solution en !"oisissant 0& et

    on !al!ule les aro&imations su!!essi$es jusqu'9 l'ordre n- 1& ((( n& 9 l'aide d'un

    al%orit"me dont la #orme %nrale est i 1 i& .& /+ = i 01(((=

    Le rle du numri!ien qui tra$aille dans le domaine des mt"odes itrati$es est d'tudier la!on$er%en!e de dterminer le tau& de !on$er%en!e et d'tablir des !ritres a#in de dire quand

    est!e qu'il #aut s'arr+ter d'itrer our obtenir une aro&imation su##isante de la solution(

    Hn tant qu'e&emle !onsidrons le roblme de l'e&tra!tion de la ra!ine !arre d'un rel

    < 0> ( L'al%orit"me ."abituel/ tant d!rit ar les deu& relations

    0

    i 1 i

    i

    1 n tablit our 1; 2 < 1< < que 6ii& < 2 ( ?insi our atteindre la r!ision sur le

    rsultat il #aut au minimum un nombre total d'itration %al 9 6ln.1; / et on eut !onstater

    que la !on$er%en!e est raide(

    90 L6o!";"ne des &!!ond"s nu!"#ues

    6.1 Arrondis dus au mode de reprsentation des nombres

    Les ordinateurs utilisent la rersentation des rels sous #orme binaire dis!rte( Le mode le

    lus utilis s'aelle rersentation en $ir%ule #lottante .floating-point/( l s'ensuit que le

    nombre de rersentations ossibles est #ini .m+me s'il est en %nral %rand/( *on! tous les

    rels ne sont as rersents et lorsqu'ils sont rersentables ils le sont a$e! des erreurs

    d'arrondis .e&emle 1;3/( e %enre d'erreurs se trou$ent en bas de l'!"elle des erreurs qui

    a!!oma%nent tout !al!ul numrique( Hlles sont lies dire!tement 9 la te!"nolo%ie de la

    ma!"ine 9 sa !aa!it et au mode de rersentation ainsi qu'au nombre de di%its retenus dans

    !ette rersentation(

    Aour #i&er les ides nous !onsidrons la rersentation en base binaire des rels & non nuls

    sous la #orme sui$ante b& a(2= o a et b sont des entiers !rits en base binaire( La

    rersentation de 0 est obtenue a$e! a b 0= = ( ette rersentation est analo%ue 9 l'!riture

    d'un rel a$e! des uissan!es de 10(

    :i nous !onsidrons le !as de la ma!"ine .#i!ti$e/ aele muni de la rersentation en

    $ir%ule #lottante our laquelle 48 di%its sont retenus our a 10 di%its our b et deu& autres

    di%its our les si%nes de a et de b .nous utilisons don! au total 48 10 2 60+ + = di%its/ les

    rersentations binaires de a et b sont-

    1 47 1 0 1 1a s a (((((a a s 0 si a 0 et s 1 si a 0= = > = = = et 47& 0 a 0< = (

    :i & 0> 47 482 a 2 1 et 1023 b 1023 . 101023 2 1= /( *on! le nombre ossible de

    rersentations normalises en mode $ir%ule #lottante !orresond 9-1023 47 1023 482 (2 & 2 .2 1/ ( Le domaine !ou$ert en base d!imale ar !ette rersentation

    imlante dans la ma!"ine est in!lut dans lKinter$alle24 322[10 10 ] et de manire

    symtrique our les rels n%ati#s(

    ? titre d'e&emle e&li!itons les rersentations normalises en mode $ir%ule #lottante de 10

    et 1;10 sur la ma!"ine (

    ?elons F .&/ la rersentation de & en base F( ?insi 1010 .10/= ( Aour trou$er 2 .10/ on

    alique l'al%orit"me de !on$ersion qui !onsiste en de simles di$isions su!!essi$es ar 2 o

    l'on s'arr+te lorsque le reste est soit 1 soit 0( La !olle!tion des restes rise 9 l'en$ers !onstitue

    la rersentation en base binaire asso!ie 9 la rersentation d!imale( >n trou$e alors

    2.10/ 1010 = ( La rersentation en $ir%ule #lottante s'en dduit et on obtient-

    44

    48 bits

    & 101000(((02= 14 2 43 ( :a!"ant que 2 . 44/ 01111010011 = le mot qui rersente 10 s'!rit-

    10 bits 48 bits

    00111101001110100((((01 4 2 4 3 142 43 ( >n en dduit immdiatement la rersentation de .10/ en utilisant

    la r%le du !omlmentaire sous la #orme-10 bits 48 bits

    11000010110001011((((11 44 2 4 43 14 2 43 ( La rersentation

    binaire de 2 .1;10/ est in#inie et riodique( Aour la trou$er il su##it de ratiquer la di$ision

    en binaire de 1 ar 1010( >n trou$e alors- 2 .1;10/ 0(0001100110011001100((( = *es arrondis

    numriques sont n!essaires a#in de se !ontenter de la rersentation de 2 .1;10/ et on !rit

    10

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    51

    2

    48 bits

    .1;10/ 11001100((((12 1 44 2 4 43 ( omme 2 . 51/ 0111001100 = le mot qui rersente 1;10 est-

    10 bits 48 bits

    0011110011001100110011((((11 4 2 4 3 1 4 4 2 4 4 3 (

    emarquons 9 rsent que les nombres que l'on eut rersenter de manire e&a!te ar des

    mots de lon%ueur #i&e et que l'on eut sto!Ber don! dans la mmoire d'un ordinateur #orment

    un sous ensemble #ini de l'ensemble des rationnels @ (

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    1a qui est la! dans la moiti in#rieure uis additionn a$e! la moiti surieure our

    #ormer :a =

    le rsultat est normalis en r$ision de #utures utilisations=

    Le rsultat ainsi obtenu est un mot double et il #aut l'arrondir !e qui sKa!!oma%ne dKerreurs

    dKarrondis(

    L'addition utilise une table binaire sto!Be dans la mmoire de l'ordinateur

    N 0 1

    0 0 1

    1 1 10

    Le rsultat de l'addition est sujet 9 un arrondi numrique systmatique( :i l'on note

    1 2 ma!"ine.& & /+ l'oration d'addition e##e!tue ar la ma!"ine .rsultat de l'al%orit"me

    r!dent/ on a- 1 2 ma!"ine 1 2 :.& & / .& & /.1 /+ = + + a$e!48

    :2 < ( L'erreur absolue eut +tre

    imortante !omme ar e&emle si47

    1& 2= et 1 482& 2 .2 1/

    = (

    Hn tant qu'e&emle de l'e##et des arrondis sur le rsultat !onsidrons l'$aluation de

    l'e&ression sui$ante2

    0 1 2A.&/ a & a & a= + + ( La ro!dure de !al!ul otimale est !elle qui

    !onsiste 9 ro!der de manire r!ursi$e-

    0 0I a= 1 0 1I &I a= + 2 1 2I &I a= +

    La borne surieure des arrondis est donne dans !e !as ar-2

    0 1 2.4 a & 3 a & a /+ + a$e!

    482 < (

    6.3 Les arrondis dus aux tronatures des fontions lmentaires

    ,u les arrondis r!dents il !on$ient toujours dKessayer dKobtenir les #on!tions lmentaires

    a$e! un minimum d'orations( >n !"er!"era 9 aro!"er sou$ent la #on!tion ar un

    olynme ou une #ra!tion rationnelle(

    ?insi our $aluer la #on!tion ar!t an & on eut utiliser la srie de )aylora!laurin-

    3 5 7& & &atan & & (((

    3 5 7

    = + + l #audra 9 eu rs une diIaine de termes our arri$er 9 une

    12

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    erreur 810 sur [ ]11 ( *'autres #ormules lus !onomiques e&istent- on se ramne d'abord 9

    l'inter$alle [ ]tan. ;12/ tan. ;12/ a$e! tan. ;12/ 2 3 = ( Auis on !onsidre

    l'aro&imation2

    20(551370atan & & 0(603157 0(05160454&

    & 1(4087812 + +

    ( Le rsultat obtenu

    rsente une erreur 810 mais n!essite moins de termes qu'a$e! )aylor(

    /0 E3e!-"-es

    H101:oient 10 .&/ 75 = et 10 .y/ 0(8 = trou$er 2 .&/ et 2 .y/ ( Hn dduire 2 .75(8/ (

    H10':oient 2 .&/ 1110(101 = et 2 .y/ 1001011(1100110 = !al!uler 10 .&/ et 10 .y/ (

    H102@uels sont armi les nombres sui$ants !eu& qui sont rersentables sur la ma!"ine -

    400 300 300 40010 10 10 10 (

    H10)rou$er dans le !as de la ma!"ine les rersentations normalises de- 2 10 1

    10 0

    40 1722 1722 (

    H107 H!rire un ro%ramme ermettant de !al!uler de manire r!ursi$e-

    n n 1

    0 1 nA.&/ a & a & ((( a= + + +

    13

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    CGAITRE ':

    Rsolut"on nu!"#ue des #u&t"ons non l"n&"!es

    10 Int!odu-t"on

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    a$e! [ ]t

    1 2 nG & & &= L et [ ]

    t

    1 2 nC # # # = L (

    on

    a-

    1& 0

    2

    #.&/lim 0

    &

    = et 1& 02

    #.&/lim

    & +

    = + (

    2.3 "hor#me

    :i D& est un Iro de #.&/ et si our un entier m #.&/ est m #ois !ontinOment di##rentiable

    en D& alors la multili!it de D& est au moins m si et seulement si

    15

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    D D D .m 1/ D# .& / # .& / # .& / (((( # .& / 0 = = = = = (

    La dmonstration de !e rsultat s'auie sur le t"orme de )aylor(

    Re&!#ues

    *es solutions analytiques de .2(3/ ne sont disonibles que dans des !as trs arti!uliers

    !omme ar e&emle our # .&/ a& b= + .# est linaire/ 2# .&/ a& b& != + + .# est quadratique/(

    Hlles sont aussi disonibles lorsque #.&/ est un olynme de de%r 3 mais dans !e dernier

    !as les #ormules sont !omliques et rarement utilises dans la ratique( Aour un olynme de

    de%r stri!tement surieur 9 4 il n'e&iste as toujours des solutions analytiques( Les

    solutions analytiques n'e&istent as non lus en %nral lorsque # #ait inter$enir des #on!tions

    trans!endantes(

    *es mt"odes numriques nous ermettront sou$ent de !al!uler des solutions arories

    dans le !adre des limitations de r!ision e&i%es ar la rersentation dis!rte des rels et la

    rersentation des #on!tions trans!endantes ar des sries tronques( Aarmi les mt"odes

    itrati$es qui ont #ait leur reu$e nous tudions dans la suite-

    la mt"ode de di!"otomie .aele bisetionen an%lais/=

    la mt"ode de la osition #ausse .aelefalse position en an%lais/=

    la mt"ode de

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    18/61

    1 0 1 0 0 0

    1 0 1 0 0 0

    r r s I si # .I /# .r / 0

    r I s s si # .I /# .r / 0

    = =

    .2(5/

    Hn %nral tant donns nr et ns tels que n n# .r /# .s / 0< on ose n n nI .r s / ; 2= + ( :i

    n# .I / 0= le ro!essus s'arr+te et D n& I= ( :inon soit

    n 1 n n 1 n n n

    n 1 n n 1 n n n

    r r s I si # .I /# .r / 0

    r I s s si # .I /# .r / 0

    + +

    + +

    = =

    .2(6/

    et le ro!essus !ontinue(

    3.2 %onvergene de la mthode

    Aour tablir la !on$er%en!e de la mt"ode de di!"otomie on utilise le t"orme des

    M%endarmesM( >n $ri#ie alors que n n nr I s< < nr ns et n nnlim r s 0+ = ( Auisque ar

    ailleurs on a-D n 1

    nI & .b a/ ; 2 + = on eut estimer le nombre d'itrations n!essaires our

    atteindre la r!ision 9 rs( >n obtient ainsi

    b aln

    n 1ln 2

    .2(7/

    Aour3# .&/ & 2= a 1= b 2= et 610 = on trou$e n 1 (

    0 L& thode de l& $os"t"on ,&usse

    ette mt"ode est similaire 9 la mt"ode de di!"otomie 9 l'e&!etion du #ait qu'9 !"aque

    itration on ose

    n n n nn

    n n

    r # .s / s # .r /I

    # .s / # .r /

    =

    .2(8/

    17

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    19/61

    La #ormule r!dente rsulte de la linarisation de # sur l'inter$alle [ ]n nr s qui #ournit

    l'estimation de D& ar nI ( La linarisation ermet de d#inir la #on!tion n# .&/ sur [ ]n nr s ar

    n n n n n nn

    n n n n

    # .s / # .r / s # .r / r # .s /# .&/ &s r s r

    = + .2(/

    ?insi

    n n n nn n n

    n n

    r # .s / s # .r /# .I / 0 I

    # .s / # .r /

    = =

    .2(10/

    >n dmontre que si # est !ontinue sur [ ]a b et # .a/# .b/ 0< la mt"ode de la osition #ausse

    !on$er%e(

    70 L& thode de Ne?ton

    :uosons que D& soit une ra!ine de # .&/ 0= o # est une #on!tion s!alaire de !lasse 1

    alors le t"orme de )aylor ermet d'!rire our 0& aartenant au $oisina%e deD&

    D D

    0 0 0# .& / # .& / .& & /# .& / (((= + + .2(11/

    e qui donne l'aro&imation au remier ordre

    D D D

    0 0 0# .& / # .& / # .& / .& & /# .& / = + % .2(13/

    Hn osant D# .& / 0=% et en suosant que 0# .& / 0 il $ient une estimation de D& d#inie ar

    01 0

    0

    # .& /& &

    # .& /=

    .2(14/

    *'o le s!"ma itrati# de

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    20/61

    >n eut tablir raidement la !on$er%en!e lorsque # est de !lasse 2 au $oisina%e de la

    solution D

    & lorsqu'elle est unique( >n ose ainsi

    #.&/.&/ &

    # .&/

    =

    !e qui donne

    [ ]2

    # .&/# .&/.&/

    # .&/

    =

    ( >n eut trou$er alors un $oisina%e deD& tel que- # .&/

    2# .&/# .&/ < ( *'o .&/ 1 < et la mt"ode !on$er%e our$u que l'initialisation s'e##e!tue

    au $oisina%e de la solution D& (

    90 S4st5e d6#u&t"ons non l"n&"!es

    L'analyse des mt"odes numriques our rsoudre les systmes d'quations non linaires eut

    +tre #aite dans le !adre d'un systme non linaire quel!onque de la #orme

    1 1 2 n

    2 1 2 n

    n 1 2 n

    # .& & ((( & / 0

    # .& & ((( & / 0

    # .& & ((( & / 0

    = =

    =

    .2(16/

    ais a#in de simli#ier la rsentation nous !onsidrons un systme de deu& quations 9 deu&

    in!onnues

    %.& y/ 0

    ".& y/ 0

    = =

    .2(17/

    ette quation eut dans !e !as arti!ulier de dimension 2 +tre asso!ie 9 l'quation

    d'in!onnue !omle&e # .I/ 0= o % e.# /= et " m.# /= (

    Les mt"odes en$isa%es our rsoudre !e roblme sont-

    la mt"ode de nePton %nralise=

    la mt"ode de Qa!obi=

    la mt"ode de Rauss:eidel=

    les mt"odes de rela&ation(

    1

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    /0 L& thode de Ne?ton ;n!&l"se

    Aour n& et ny donns on dtermine n 1& + et n 1y + de sorte qu'au remier ordre en

    n n 1 n& & &+ = et n n 1 ny y y+ = on ait- n 1 n 1 n 1 n 1%.& y / ".& y / 0+ + + += = ( ?insi la #ormule de

    )aylor ermet dK!rire

    n 1 n 1 n n n & n n n y n n%.& y / %.& y / & % .& y / y % .& y / (((+ + = + + +

    n 1 n 1 n n n & n n n y n n".& y / ".& y / & " .& y / y " .& y / (((+ + = + + + .2(18/

    Hn n%li%eant les termes dKordre surieur n 1& + et n 1y + sKobtiennent sous la #orme

    n n y n n n n y n n

    n 1 n

    n

    %.& y /" .& y / ".& y /% .& y /& &Q

    + = .2(1/

    n n & n n n n & n n

    n 1 n

    n

    ".& y /% .& y / %.& y /" .& y /y y

    Q+

    =

    a$e!

    & n n y n n

    n & n n y n n & n n y n n

    & n n y n n

    % .& y / % .& y /Q det % .& y /" .& y / " .& y /% .& y /" .& y / " .& y /

    = =

    le ja!obien des #on!tions # et %(

    Re&!#ues

    Lorsque % ; y 0 = la #ormule %nralise de

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    22/61

    .B 1/ .B / .B / .B 1/

    1 1 2 n 1

    .B / .B 1/ .B / .B 1/

    2 1 2 n 2

    .B / .B / .B 1/ .B 1/

    n 1 2 n n

    # .& & ((( & / 0 &

    # .& & ((( & / 0 &

    # .& & ((( & / 0 &

    + +

    + +

    + +

    =

    = =

    M.2(20/

    >n montre que !ette mt"ode !on$er%e si l'initialisation.0/ .0/ .0/

    1 2 n& & ((( & est !"oisie au

    $oisina%e de la solution et si le rayon se!tral de la matri!e ja!obienne est in#rieur 9 l'unit(

    +0 Mthode de .&uss Se"del

    .B 1/ .B / .B / .B 1/

    1 1 2 n 1

    .B 1/ . B 1/ .B/ .B 1/2 1 2 n 2

    .B 1/ . B 1/ .B 1/ .B 1/

    n 1 2 n n

    # .& & ((( & / 0 &

    # .& & ((( & / 0 &

    # .& & ((( & / 0 &

    + +

    + + +

    + + + +

    =

    = =

    M.2(21/

    1(0 Mthode de !el&3&t"on

    >n ose.B 1/ .B / .B 1/ .B/

    i i i i& & & & i 12((( n+ + = + = % a$e!

    . n 1/

    i& +% tel que

    .B 1/ .B 1/ .B 1/ .B 1/ .B / .B /

    i 1 2 i 1 i i 1 n# .& & ((( & & & ((( & / 0+ + + + + =% .2(22/

    ette mt"ode ermet d'a!!lrer la !on$er%en!e ar un !"oi& !ommode de (

    110 E3e!-"-es

    H'01 H!rire un ro%ramme sous atlab ermettant de rsoudre a$e! la mt"ode de

    di!"otomie l'quation # .&/ sin & 0(750 0= = ( >n rendra a 0(800= et b 0(00= (

    H'0'H!rire un ro%ramme sous atlab ermettant de rsoudre a$e! la mt"ode de la osition

    #ausse l'quation # .&/ sin & 0(750 0= = ( >n rendra a 0(800= et b 0(00= (

    H'02*$eloer une mt"ode itrati$e 9 base de la mt"ode de

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    23/61

    H'0 ?liquer sous #orme d'un ro%ramme la mt"ode de n se raellera des deu& #ormules-

    sin.& iy/ sin & !" y i !os & s" y

    !os.& iy/ !os & !" y isin & s" y

    + = ++ =

    H'0/)rou$er les ra!ines !omle&es de 3I 2I 2 0 + = en osant I & iy= + et en rsol$ant ar la

    mt"ode de

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    24/61

    d'interolation on trou$e l'interolation linaire l'interolation de La%ran%e l'interolation

    d'Termite(((

    La deu&ime mt"ode s'aelle aro&imation( *ans !e ro!d on ne demande as 9 C.&/

    de !oSn!ider a$e! #.&/ en un !ertain nombre de oints on imose 9 C.&/ d'+tre ro!"e de

    #.&/ au sens d'une norme 9 !"oisir( >n !"er!"e ar e&emle 9 minimiser [ ]b 2

    aC.&/ # .&/ d&

    ou bien [ ] (

    28

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    ?#in de !ontourner !es di##i!ults il est r#rable d'utiliser des interolations !onstruites 9

    base de olynmes de lus #aible de%r mais sur une artition d'inter$alles de taille lus

    rduite que !elle de l'inter$alle de dart( :i sur !"aque sous inter$alle une interolation

    linaire est ar e&emle !onsidre .!as dj9 $u/ on obtient une #on!tion dKinterolation

    !ontinue qu'on aelle interolation sline linaire( *ans le !as d'une interolation sline

    !ubique on utilise une subdi$ision quel!onque de l'inter$alle de dart et on d#init sur

    !"aque sous inter$alle une interolation !ubique de$ant de lus satis#aire les !onditions de

    r%ularit sui$antes au& oints de la subdi$ision-

    .3(2/

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    31/61

    1 2 2

    2 32

    n 2 n 1 n 1

    n 1 n 1 n

    " " "0 0

    3 6

    " ""

    6 3

    ? 0 0" " "

    3 6

    " " "0 0

    6 3

    +

    +

    = +

    +

    L

    O O M

    O O O

    M O O

    L

    L'interolation asso!ie 9 la sline !ubique est alors lus lisse que !elle du m+me ordre

    asso!ie 9 La%ran%e(

    /0 A$$!o3"&t"on $ol4no"&le &u sens des o"nd!es -&!!s

    >n !onsidre les deu& roblmes sui$ants-

    Aroblme 1-

    Htant donn une #on!tion !ontinue #.&/ sur un inter$alle [ ]a b on minimise

    [ ]( )1b 2 2

    n n2 aA # A .&/ # .&/ = o nA .&/ est un olynme de de%r n (

    Aroblme 2-

    Htant donne une #on!tion d#inie sur un ensemble #ini de oints Q- 0 1 & & (((& !"er!"er 9

    minimiser [ ]

    1 22Q

    n n i i2

    i 1

    A # A .& / # .& /

    =

    =

    (

    Le deu&ime roblme eut !orresondre 9 un ajustement de donnes e&rimentales ar

    nA .&/ (

    *#inissons le roduit s!alaire-b

    a# % # .&/%.&/ d&= dans le !as du roblme !ontinu

    .roblme 1/ ou bien

    i i

    i 1

    # % # .& /%.& /=

    = dans le !as du roblme dis!ret .roblme 2/(

    30

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    32/61

    onsidrons le !as o # est un lment de [ ]( )2L ab ( [ ]( )2L ab muni du roduit s!alaire

    # % est un esa!e de Tilbert( L'e&isten!e et l'uni!it des solutions des roblmes 1 et 2 sont

    alors justi#ies ar le t"orme de roje!tion sur un !on$e&e #erm( L'ensemble des

    olynmes de de%r n est en e##et un sous esa!e $e!toriel #erm de dimension #inie et le

    t"orme de roje!tion s'non!e sous la #orme-

    Aour tout n

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    33/61

    est une matri!e d#inie ositi$e don! non sin%ulire !e qui imlique qu'il e&iste une

    unique solution our le systme .3(3/( al"eureusement sou$ent la matri!e est trs mal

    !onditionne dans la mesure o si l'on !"er!"e 9 in$erser dire!tement !ette matri!e une trs

    %rande erte de r!ision aaraEt( e!i eut s'e&liquer ar le #ait qu'en %nral est quasi

    roortionnelle 9 la matri!e de Tilbert ijT 1;.i j 1/= + + (

    ?#in de !ontourner !ette di##i!ult numrique on !onstruit une base ort"o%onale ar le

    ro!d de Rram :!"midt-

    0

    0 0

    1 0

    0 0

    B 1 B B B B B 1

    .&/ 1

    & .&/ & .&/

    .&/ & .&/ .&/ .&/ 1 B n 1+

    =

    =

    =

    a$e!

    B B

    B

    B B

    &

    =

    et

    B B

    B

    B 1 B 1

    =

    La matri!e ainsi obtenue est dia%onale ou quasidia%onale .9 !ause des arrondis

    numriques/( >n $ri#ie alors que les B sont roortionnels au& olynmes de Le%endre(

    )0 A$$!o3"&t"on $&! une ,!&-t"on !&t"onnelle

    :ou$ent dans la ratique l'aro&imation olynomiale n'est as satis#aisante( Vne meilleure

    r!ision est obtenue lorsqu'on !onsidre l'aro&imation ar une #ra!tion rationnelle(

    L'aro&imation de !e tye !onsiste 9 trou$er une #ra!tion

    mm B

    B

    A .&/C.&/ C .&/

    @ .&/= =

    o mA .&/ et B@ .&/ sont des olynmes de de%r rese!ti$ement m et B et qui n'admettent as

    de Iros !ommuns(

    32

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    *ans le !as de l'aro&imation de Aad on se donne un oint et on !"oisit mA .&/ et B@ .&/

    tels que- C. / # . / = et . j/ . j/C . / # . / = a$e! j 1(((m B= + ( L'aro&imation de Aad est

    une %nralisation du d$eloement en srie de )aylor au $oisina%e de &= (

    :i l'on suose que # est d$eloable en sries entires au $oisina%e de on a-

    . j/j

    j 0

    # . /# .&/ .& /

    jU

    +

    =

    =

    >n montre alors que les !oe##i!ients des olynmes A et @ sont tels que le terme !onstant et

    les monmes en .& / ((( m B.& / + s'annulent dans l'e&ression sui$ante-

    . j/j

    B m

    j 0

    # . /@ .&/ .& / A .&/

    jU

    +

    =

    o lKon aura os le terme !onstant de B@ .&/ %al 9 1(

    Hn tant qu'e&emle !onsidrons .&/ e= 0 = et m B 1= = on trou$e alors-

    1 0 1A .&/ a & a= + et 1 0@ .&/ b & 1= + ( *'o

    11 &

    2C.&/1

    1 &2

    +=

    +0 E3e!-"-es

    H201 )rou$er l'unique olynme A.&/ de de%r 3 tel que- A.0(5/ 2= A.0(6/ 8=

    A.0(7/ 2= A.0(8/ 5= ( al!uler A.0(56/(

    H20')rou$er ln.0(54/ en utilisant une interolation de La%ran%e 9 trois oints 9 l'aide de la

    table-

    & 0(4 0(5 0(6

    #.&/ 0(162 0(6315 0(51083

    33

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    al!uler la $aleur e&a!te de l'erreur sa!"ant que ln.0(54/ 0(6161= et !omarer !ette $aleur

    a$e! la borne de l'erreur(

    H202:oit #.&/ une #on!tion telle que- # .0/ 1(25= # .0(5/ 1(75= # .1/ 2(10= ( :oit A.&/ unolynme de de%r 2 tel que- C.0/ # .0/= C.0(5/ #.0(5/= et C.1/ # .1/= ( *terminer C.&/

    et !al!uler C.0(25/ -

    ar la #ormule d'interolation de La%ran%e=

    ar la #ormule d'interolation de Rr%ory

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    CGAITRE :

    Rsolut"on nu!"#ue des s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es

    10 Int!odu-t"on

    n s'intresse seulement au !as o la solution est unique( *ans !e !as [ ]r%.?/ r% ?F n= = et

    det.?/ 0 = et la matri!e est r%ulire.non sin%ulire/(L'unique solution du systme est donne ar la r%le de ramer qui est un t"orme( ?insi si

    l'on note

    11 1 j 1 1 1 j 1 1n

    21 2 j 1 2 2 j 1 2n

    j

    n1 n j 1 n n j 1 nn

    a a b a a

    a a b a adet j 12((( n

    a a b a a

    +

    +

    +

    = =

    L L

    L L

    M M M M M

    L L

    35

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    o la jme !olonne de ? a t remla!e ar F on obtient

    j

    j&

    =

    Vne autre #aJon qui ermet d'e&rimer imli!itement la solution !onsiste 9 !rire

    1G ? F=

    >n dit que le systme est "omo%ne si et seulement si F 0= ( *ans !e !as si ? est r%ulire

    l'unique solution est G 0= (

    '0 Mthodes $!&t"#ues $ou! !soud!e les s4st5es d6#u&t"ons l"n&"!es

    >n s'intresse i!i au& mt"odes ratiques our rsoudre les systmes linaires( La solution qui

    !orresond 9 l'ali!ation de la r%le de ramer n'est as ratique( *ans !ette r%le il #aut

    !al!uler .n 1/+ dterminants d'ordre n( Le !al!ul d'un dterminant e&i%e en %nral un

    nombre de multili!ations qui est %al 9

    n

    j 2

    12.n 1/U

    . j 1/U=+

    Lorsque n est %rand

    n

    j 2

    1e 1

    . j 1/U=

    on obtient don! 9 eu rs 2.e 1/.n 1/U +

    multili!ations( :a!"ant qu'il #aut aussi autant d'additions on obtient un nombre total

    d'orations qui est %al 9 4.e 1/.n 1/U + a#in de !al!uler la solution G du systme ?G F=

    ar la mt"ode de ramer(

    Hn tant qu'e&emle si n 20= il #aut 178(36 10 orations( Vn ordinateur qui est !aable

    d'e##e!tuer 2 millions d'orations ar se!onde de$ra tourner durant au moins treiIe milles

    annes( Fien sOr durant !ette riode l'ordinateur risque de tomber en anne et la ersonne

    qui !onduit les !al!uls ourrait mourirU

    L'e&emle r!dent justi#ie le re!ours au& mt"odes d'limination qui sont attribues 9

    Rauss(

    2.1 $rodure d&limination de 'auss dite aussi triangularisation du s(st#me

    36

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    38/61

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    39/61

    .r /.r 1/ .r / .r /iri i r.r /

    rr

    ab b b i r 1

    a

    + = + .5(4/

    ? l'issue de !ette limination on se retrou$e a$e! le systme-

    .r 1/ .r 1/

    ? G F

    + +

    = ( >n eut $ri#ierar des multili!ations dire!tes que la matri!e

    r 1

    .r /

    r 1r .r /

    .r /

    rr

    .r /

    n r

    .r /

    rr

    0 0

    0 1 0 0

    a1

    a

    0 0

    a0 0 0 1

    a

    +

    =

    M L

    L L L L L

    M L

    M M O

    M M O

    M

    est telle que- .r 1/ .r / . r /? ?+ = et .r 1/ .r / .r /F F+ = (

    n eut se rendre !omte alors de l'a$anta%e ro!ur ar

    !ette mt"ode si on la !omare a$e! la r%le de ramer(

    Re&!#ue

    38

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    40/61

    La mise en mar!"e de lKal%orit"me de Rauss dans sa $ersion r!dente suose que les

    i$ots ne sKannulent jamais( *ans la ralit il se eut quK9 une tae donne le i$ot soit

    nulle( *ans !e !as il #aut ratiquer soit le i$ota%e artiel soit le i$ot !omlet( Le i$ota%e

    ermet dans tous les !as dKamliorer le !onditionnement du systme lorsquKon remla!e le

    i$ot initial ar un autre lus %rand en $aleur absolue(

    20 Inst&%"l"t nu!"#ue

    Lorsque l'al%orit"me de Rauss d!rit r!demment est aliqu dans la ratique il y a des

    !onsidrations qui dassent !elles dj9 mentionnes !idessus( es !onsidrations

    sulmentaires sont dues 9 la nature du !al!ul numrique a$e! la rersentation des nombres

    sur ordinateur qui entraEne n!essairement des arrondis .l'arit"mtique or ar les

    ordinateurs n'est as e&a!te elle est aro!"e/(

    :ous l'"yot"se d'une rersentation idale des nombres .1;3 a une rersentation in#inie/ et

    d'un !al!ul arit"mtique in#iniment r!is l'al%orit"me de Rauss ourrait !onduire 9 l'unique

    solution du roblme et !e a$e! une r!ision in#inie .et eut +tre une dure de !al!ul in#inie/(

    ais la ralit est trs di##rente( Hn rsen!e d'un i$ot qui est etit les tron!atures

    numriques eu$ent olluer !onsidrablement la solution(

    E3e$le:

    2 2

    1

    2 2

    2

    3

    7(080734182735712 10 4(54648713412840 10 0 & 1

    4(54648713412840 10 2(126581726428 10 0 & 1

    0 0 1 & 1

    =

    Lorsque le !al!ul est e##e!tu en double r!ision a$e! la #on!tion inv de atalb on trou$e

    15

    1

    14

    2

    3

    & 6(53158410751655 10

    & 1(0172336721046 10

    & 1

    =

    = =

    ais en e##e!tuant le roduit de la matri!e ? a$e! la solution !al!ule G on trou$e

    3

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    41/61

    2 1

    ?G 1(5 F 1

    1 1

    = =

    La solution !al!ule est #ausse 9 !ause de l'instabilit numrique( L'ori%ine de !ette instabilit

    est lie 9 la rsen!e d'un i$ot qui est #aible(

    0 S4st5e &l -ond"t"onn

    Le systme ?G F= est mal !onditionn lorsque la solution est trs sensible au& etites

    erturbations qui eu$ent a##e!ter la matri!e au%mente [ ]? F (

    *ans le !as d'un systme mal !onditionn l'instabilit de l'al%orit"me de Rauss est un sort qui

    est in$itable(

    :uosons que l'on erturbe le systme ?G F= de la #aJon sui$ante- ?? ? + =

    FF F + alors la solution G est erturbe et de$ient GG + ( Le systme erturb s'!rit

    alors

    ? G F.? /.G / F+ + = +

    ).1 *orme matriielle

    *#inissons la norme sui$ante sur l'esa!e des matri!es !arres d'ordre n n

    G 0

    ?G su

    G

    =

    o

    est une norme sur n

    (

    est dite norme matri!ielle subordonne de la norme

    (

    La norme matri!ielle $ri#ie les rorits sui$antes- A A

    et our tout nG -

    ?G ? G

    (

    Les normes $e!torielles qui eu$ent +tre utilises our d#inir la norme matri!ielle sont-

    n

    i1i 1G &==

    n2

    i2i 1G &==

    iiG ma& &

    = (

    40

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    >n dmontre alors que-n

    1

    ij1 ji 1

    ? ma& a=

    = uis 2 12? = .norme se!trale/ a$e! 1 la

    ra!ine ositi$e de la lus %rande $aleur rore de la matri!e "ermitienne t ?? dite aussi lus

    %rande $aleur sin%ulire de ?( Cinalementn

    iji

    j 1

    ? ma& a

    =

    = (

    Re&!#ue

    >n dmontre le t"orme sui$ant-

    :i est $aleur rore de ? alors our toute norme matri!ielle on a- ?

    le rayon

    se!trale de ? :.?/ est don! born ar toute norme matri!ielle de ?(

    ).2 Anal(se des perturbations

    >n dmontre le t"orme sui$ant-

    :i1

    ? ? 1

    < et 1

    = alors

    1

    G F ?

    1

    ?

    ? ?

    G F ?1 ?

    +

    e t"orme montre que la erturbation qui a##e!te G est majore ar la quantit=

    ( )r rF ?r?

    .?/

    1

    +

    o1.?/ ? ?

    = et l'e&osant r dans r? indique la norme relati$e de

    la erturbation(

    Le nombre .?/ joue un rle !onsidrable( :'il est etit la erturbation qui a##e!te la

    solution reste etite( *ans le !as !ontraire uisqu'on dmontre dans le !as %nral qu'il

    nKe&iste as de borne lus #ine que la r!dente on eut a$oir amli#i!ation de la

    erturbation( Lorsque !e!i se roduit le systme est mal !onditionn( Le nombre .?/

    s'aelle !onditionnement du systme linaire ?G F= (

    :i

    est la norme se!trale alors

    2

    2 1 n.?/ ; = qui est le raort de la lus %rande et de

    la lus etite $aleur rore de t ?? dites aussi $aleurs sin%ulires de ?( >n a alors2

    2.?/ 1 (

    l ne #aut as !roire que ? est mal !onditionne si det.?/ est etit( Hn e##et2

    2.?/ eut +tre

    %rand dans le !as o la taille du systme est etite et det.?/ etit( Hn tant qu'e&emle on eut

    !onsidrer le systme

    41

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    1

    2

    &1(00 0( 1(

    &0( 0(8 1(7

    =

    70 D-o$os"t"on t!"&n;ul&"!e d6une &t!"-e

    +.1 ,atorisation L

    La ro!dure de Rauss sans modi#i!ation de i$ot !onduit au systme trian%ulaire surieur

    .n / .n /? G F= ( La relation entre .n /? et ? est donne ar- .n /? ?= soit 1 .n /? ?= ( La

    matri!e 1 est donne ar-1 1 1

    1 .1/ .2/ .n 1/ ((( = (

    l est ossible de montrer que

    r 1

    .r /1 r 1r.r /

    .r /rr

    .r /

    n r

    .r /

    rr

    0 0

    0 1 0 0

    a

    1 a

    0 0

    a0 0 0 1

    a

    +

    =

    M L

    L L L L L

    M L

    M M O

    M M O

    M

    de sorte que

    [ ]

    .1/21

    .1/

    11

    .2 /

    321 .2 /

    22

    . n 1/.1/ . 2/n n 1n1 n 2

    .1/ . 2/ .n 1/

    11 22 n 1n 1

    1 0 0 0

    a1

    a

    a1

    a

    1 0

    aa a1

    a a a

    =

    O

    M M O O

    42

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    44/61

    Hn osant- 1 L = .lower/ et .n /? V= .upper/ le rsultat r!dent montre que ? LV=

    a$e! L une matri!e trian%ulaire in#rieure et V une trian%ulaire surieure(

    >n montre ar ailleurs que !ette d!omosition est unique si l'on #i&e la dia%onale de L ou

    !elle de V(:i ? est relle symtrique et d#inie ositi$e alors tV L= et t? V V= !'est la d!omosition

    de "olesBy(

    Lorsque la d!omosition LV d'une matri!e ? est disonible on eut rsoudre le systme en

    deu& taes- LW F= uis VG W= our trou$er en#in G(

    Lorsqu'on ratique le i$ota%e artiel on montre que si l'on aelle A la matri!e de

    ermutation on obtient la d!omosition- A? LV= (

    Vne mt"ode $oisine de la mt"ode de Rauss est la mt"ode de Rauss Qordan qui ermet de

    !al!uler l'in$erse d'une matri!e(

    +.2 La fatorisation de %holes(

    >n dmontre que si ? est symtrique d#inie ositi$e il e&iste au moins une matri!e

    trian%ulaire surieure F telle que t? F F= .ar e&emle F V= d'ars la #a!torisation LV/(

    *e lus on eut imoser que les lments dia%onau& de la matri!e F soient X0 et la

    #a!torisation t? F F

    =asso!ie est alors unique(

    La !onstru!tion de F se #ait ar l'al%orit"me sui$ant qui se justi#ie ar le #ait que-

    min.ij/nt

    ij ij Bi Bj Bi Bj

    B 1 B 1

    a .F F/ b b b b 1 i j n= =

    = = = ( *'o

    !al!ul de la remire li%ne

    11 11b a= 12 12 11b a ; b= ((( 1n 1n 11b a ; b= =

    !al!ul de la ime li%ne

    i 12

    ii ii iB

    B 1

    b a b

    =

    = i 1

    ii 1 Bi Bi 1

    B 1ii 1

    ii

    a b b

    bb

    + +=

    +

    =

    (((

    i 1

    in Bi Bn

    B 1in

    ii

    a b b

    bb

    =

    =

    Le d!omte des orations a$e! la mt"ode de "olesBy !onduit 9 3n ; 3 orations( e qui

    rsente un a$anta%e ar raort 9 la mt"ode de Rauss(

    43

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    45/61

    90 Mthodes "t!&t"8es

    >n !onsidre de manire %nrale la d!omosition de la matri!e ? sous la #orme ? n a don! les qui$alen!es-

    1 1?G F G 0 autrement ij ijC a= si i j< 0 autrement(

    La matri!e de !ette mt"ode itrati$e1

    B 1 BG QG * F+ = + est

    1 1Q * .H C/ * ? = = + = et

    s'aelle la matri!e de Qa!obi ar oints(

    6.2 /thode de 'auss eidel

    ?$e! la d!omosition r!dente .Qa!obi/ de la matri!e ? la matri!e de la mt"ode itrati$e

    de Rauss :eidel est-1R: .* H/ C= = ( * H est bien in$ersible !ar [ ]iia 0 i 1n ( Les

    itrations s'!ri$ent-1

    B 1 BG R:G .* H/ F+ = + ( La mise en oeu$re numrique de !ette

    mt"ode n'e&i%e as le !al!ul de1.* H/ ( ette mt"ode o!!ue moins de la!es mmoires

    que Qa!obi et rsente don! un a$anta%e !ertain dans le !as des %rands systmes(

    6.3 /thode de relaxation

    l s'a%it d'une %nralisation de Rauss :eidel o l'on introduit un aramtre de rela&ation

    0 ( La matri!e itrati$e s'!rit dans !e !as- { }1 .* H/ .1 /* C= + !e qui est

    44

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    asso!i 9 la d!omosition1 1

    ? * H * C = + +

    ( )out se asse !omme si l'on #ait

    asser une artie de la matri!e * dans la matri!e < .on a rela& */(

    Les itrations s'!ri$ent-

    1

    B 1 B 1G G * H F

    + = + (

    :i 1 = on retrou$e Rauss :eidel(

    :i 1 < on arle de sous rela&ation(

    :i 1 > on arle de sur rela&ation(

    La mise en oeu$re numrique de !ette mt"ode n'e&i%e as le !al!ul de1*. H/

    (

    L'a$anta%e de !ette mt"ode !'est qu'elle ermet d'tudier la $itesse de !on$er%en!e en

    #on!tion de et don! de !"oisir un aramtre otimal(

    Vne itration !orresondant 9 la mt"ode de Rauss :eidel ou de rela&ation !orresond 9 la

    rsolution du systme trian%ulaire in#rieur sui$ant-

    ( )

    ( )

    ( )

    B 1 B B B B

    11 1 11 1 11 1 12 2 1n n 1

    B 1 B B 1 B B

    22 2 22 2 21 1 22 2 2n n 2

    B 1 B B 1 B 1 B

    nn n nn n n1 1 nn 1 n 1 nn n n

    a & a & a & a & ((( a & b

    a & a & a & a & ((( a & b

    a & a & a & ((( a & a & b

    +

    + +

    + + +

    = + + + = + + + = + + +

    M

    /0 E3e!-"-es

    H01al!uler les solutions des systmes linaires

    240 31(5 & 3

    17(5 240 y 4 =

    240 31 & & 3

    17 240 y y 4 + = +

    et #aire l'analyse numrique des rsultats(

    H0'>n aelle matri!e de Tilbert d'ordre n la matri!e symtrique ijT ." /= o ij1

    "i j 1

    =+

    1 i j n (

    ontrer que !ette matri!e est d#inie ositi$e .don! in$ersible/(

    45

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    al!uler le !onditionnement2

    2.T/ our n 234510= .il est r#rable d'utiliser 9 !e titre

    atlab/ et !onstater que le !onditionnement est trs raidement !roissant en #on!tion de n(

    H02Hn utilisant la !ommande hol de atlab e##e!tuer la #a!torisation de "olesBy de lamatri!e

    1 2 3 4

    2 5 1 10?

    3 1 35 5

    4 10 5 45

    =

    H0H!rire un ro%ramme sous atlab qui ermet de rsoudre un systme quel!onque ar la

    mt"ode de Rauss sans !ontrle du i$ot(

    46

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    CGAITRE 7:Mthodes de -&l-ul nu!"#ue des 8&leu!s $!o$!es et des

    8e-teu!s $!o$!es

    10 Int!odu-t"on

    Aour !al!uler des aro&imations du se!tre .ensemble des $aleurs rores/ d'une matri!e ?

    une ide !ouramment e&loite !onsiste 9 !onstruire une suite de matri!es B B 1.A / telle que les

    matri!es1

    B BA ?A !on$er%ent dans un sens 9 r!iser $ers une matri!e de $aleurs rores

    !onnues !'est9dire dia%onale ou trian%ulaire(

    ette ide est 9 la base de la mt"ode de Qa!obi our les matri!es symtriques o les matri!es

    BA sont des roduits de matri!es ort"o%onales lmentaires trs simles 9 !onstruire(

    Aour les matri!es quel!onques des al%orit"mes dKe&tra!tion de $aleurs et $e!teurs rores

    e&istent- les itrations in$erses la mt"ode @ la mt"ode de Lan!Ios(((

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    ort"onormale de $e!teurs rores le ime $e!teur !olonne tant un $e!teur rore asso!i 9 la

    $aleur rore i (

    Aartant de 1? ?= la mt"ode de Qa!obi !onsiste 9 !onstruire une suite B B 1.A / de matri!es

    ort"o%onales lmentaires en s'arran%eant our que la suite de matri!es .en!ore symtriques/

    t t

    B 1 B B B 1 2 B 1 2 B ? A ? A .A A (((A / ?.A A (((A / B 1+ = = !on$er%e $ers la matri!e dia%onale i*. / 9

    une ermutation des indi!es rs(

    Le rin!ie de !"aque trans#ormationt

    B 1 B B B ? A ? A B 1+ = est d'annuler deu& lments "ors

    dia%onau& en osition symtrique soit B q.? / et B q.? / de la matri!e B? ( Aosons B ij? .a /=

    B 1 ij? .b /+ = et BA A= (

    La mt"ode de Qa!obi s'auie sur le t"orme sui$ant-

    soit et q deu& entiers $ri#iant 1 q n < et un nombre rel au&quels on asso!ie la

    matri!e ort"o%onal

    1 0 0

    0

    1

    !os sin1

    A

    1

    sin !os

    1

    0

    0 0 1

    =

    L

    O

    M O M

    O

    L

    48

    q

    q

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    :i ij? .a /= est symtrique tF A ?A= est symtrique etn n

    2 2

    ij ij

    i j 1 i j 1

    b a= =

    = ( :i de lus qa 0 il

    e&iste un unique0 0

    4 4

    tel que- qb 0

    = q

    qq

    2at an.2 /

    a a = et

    n n2 2 2

    ii ii q

    i 1 i 1

    b a 2a= =

    = + (

    Re&!#ues:

    :eules les me et qme li%nes et !olonnes de la matri!e ? sont modi#ies dans la

    trans#ormation t? F A ?A = ( *e #aJon lus r!ise our toute $aleur de l'an%le

    ij ijb a si i q et j q=

    i i qib a !os a sin si i q=

    i ib b si i q=

    qi i qib a sin a !os si i q= +

    iq qib b si i q=

    2 2

    qq qb a !os a sin a sin.2 /= +

    2 2

    qq qq qb a sin a !os a sin.2 /= + +

    qq

    q q q

    a ab b a !os.2 / sin.2 /

    2

    = = +

    ?u $u du rsultat r!dent une tae de la mt"ode Qa!obi= !elle qui ermet de !onstruire

    B 1? + 9 artir de

    B

    B ij? .a /= !onsiste 9 !"oisir un !oule .q/ q our lequel l'lment

    B

    qa 0 uis on !onstruit la matri!e BA a$e! l'an%le B qui est !"oisi dans 0 0

    4 4

    de telle #aJon que

    B

    q

    B B B

    qq

    2at an.2 /

    a a =

    et l'on ose-

    t .B 1/

    B 1 B B B ij? A ? A a ++ = = (

    >n distin%ue trois strat%ies our le !"oi& du !oule .q/ -

    4

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    .1/ t"ode de Qa!obi !lassique

    >n !"oisit l'un des !oules our lesquelsB B

    q iji j

    a ma& a

    = ( ? !ette oration est asso!i un !oOt

    de !al!ul qui n'est as n%li%eable(

    .2/ t"ode de Qa!obi !y!lique

    >n balaye systmatiquement tous les !oules "ors dia%onau& .q/ dans l'ordre sui$ant-

    .12/ = .13/ = (((= .1n/ = .23/ =(((= .2n/ =((( .n 1 n/ (

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    H70'Hn utilisant la !ommande eigde atlab !al!uler les $aleurs et $e!teurs rores de la

    matri!e

    120 0(86 0 0

    0(86 157(2 67(5 0

    0 67(5 124(0 46(26

    0 0 46(26 78(84

    H702H!rire un ro%ramme sous atlab qui ermet de !al!uler les $aleurs et $e!teurs rores

    de la matri!e de lKe&er!i!e .5(2/ ar la mt"ode de Qa!obi(

    CGAITRE 9:

    !o;!&&t"on l"n&"!e

    10 Int!odu-t"on

    >n aelle de manire %nrale ro%ramme mat"matique un roblme d'otimisation sous

    !ontraintes dans un esa!e $e!toriel norm , ( >n !"oisira de manire systmatique dans la

    suite n, = et le ro%ramme mat"matique s'!rit

    { }n i

    $ V

    )rou$er u tel que

    .A/ u V $ = .$/ 0 1 i m

    Q.u/ in# Q.$/

    = =

    51

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    53/61

    Le $e!teur nu admet our !omosantes 1 2 nu u ((( u qui rersentent les in!onnues du

    roblme( La #on!tion Q est aele la #on!tion obje!ti# .on dit aussi ar#ois- #on!tion !oOt/ et

    l'ensemble des !onditions { }i .$/ 0 i 12(((m = sont les !ontraintes du roblme(

    n aelle solution de .A/ tout $e!teur $ $ri#iant les !ontraintes !'est9dire tel que-

    { }i .$/ 0 i 12(((m = (

    >n aelle solution otimale de .A/ .ou en!ore otimum %lobal/ de .A/ une solution qui

    minimise Q.$/ sur l'ensemble de toutes les solutions(

    '0 !"n-"$&les -l&sses de $!o%l5es en $!o;!&&t"on &th&t"#ue

    2(1 Aro%rammation linaire

    Vn roblme de ro%rammation linaire !onsiste 9 minimiser une #on!tion linaire sous des

    !ontraintes linaires= il s'a%it don! d'un ro%ramme mat"matique de la #orme

    { }n mm & nt n

    $ V

    )rou$er u tel que

    .AL/ u V $ = $ d . / d

    Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ a $ a

    =

    = =

    >n eut suoser sans restreindre la %nralit que r%./ m= !e qui imose m n ( >n eut

    suoser aussi que tous les $e!teurs !olonnes j8 de la matri!e sont non nuls(

    2(2 Aro%rammes !on$e&es

    >n dit qu'un roblme de ro%rammation mat"matique est !on$e&e s'il !onsiste 9 minimiser

    une #on!tion !on$e&e sur un domaine !on$e&e( e!i re$ient 9 suoser que Q et

    { }i i 1((( n = sont toutes des #on!tions !on$e&es(

    >n dmontre dans !e !as en arti!ulier que tout otimum lo!al est un otimum %lobal(

    52

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    54/61

    2(3 Aro%rammes non linaires

    'est le !as %nral qui !omrend en arti!ulier le !as intressant o la #on!tionnelle Q est

    quadratique(

    20 !o;!&&t"on l"n&"!e

    n dmontre que les trois #ormes sui$antes du roblme de ro%rammation linaire sont

    qui$alentes(

    nn

    ij j i

    j 1

    n

    i i$ V

    i 1

    )rou$er u tel que

    .AL1/ u V $ = $ d 1 i m

    Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ a $

    =

    =

    =

    = =

    nn

    ij j i

    j 1

    n

    i i$ V

    i 1

    )rou$er u tel que

    .AL2/ u V $ = $ d 1 i m

    Q .u / in# Q .$ / Q .$ / a $

    +=

    =

    =

    = =

    53

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    55/61

    nn

    ij j i

    j 1

    n

    i i$ V

    i 1

    )rou$er u tel que

    .AL3/ u V $ = $ d 1 i m

    Q .u / in# Q .$ / Q .$ / a $

    +=

    =

    = =

    = =

    L'qui$alen!e est !onsidre i!i au sens sui$ant- artant d'un roblme os sous l'une des

    trois #ormes r!dentes on eut toujours lui #aire !orresondre un roblme os sous l'une

    quel!onque des deu& autres #ormes de telle #aJon que la !onnaissan!e de l'ensemble des

    solutions .m+me si il est $ide au !as o la solution n'e&iste as/ du roblme initial entraEne

    !elle de l'ensemble des solutions du nou$eau roblme et in$ersement(

    La #orme .AL2/ s'aelle #orme !anonique standard du roblme de ro%rammation linaire(

    Le assa%e de .AL1/ 9 .AL2/ se #ait en introduisant des $ariables ositi$es de sorte que toute

    $ariable ou$ant rendre des $aleurs n%ati$es uisse +tre remla!e ar la di##ren!e de deu&

    $ariables ositi$es(

    Le assa%e de .AL2/ 9 .AL3/ se #ait en introduisant de nou$elles $ariables ositi$es aeles

    $ariables d'!art qui ermettent d'!rire les in%alits sous #orme d'%alits(

    *ans la suite nous omettrons a#in d'all%er les notations les rimes et les se!ondes en se

    r#rant 9 l'un des trois roblmes r!dents(

    0 Rsolut"on nu!"#ue dun $!o;!&e &th&t"#ue

    LKal%orit"me du simle& ermet de rsoudre les ro%rammes linaires(

    La !ommande linprogde atlab ermet de rsoudre tout ro%ramme linaire(

    La !ommandefminonde atlab ermet elle de rsoudre des ro%rammes non linaires(

    70 E3e!-"-es

    H901soudre en utilisant le simle&e le ro%ramme de ro%rammation linaire sui$ant-

    { }3 1 2 3 1 2 1 2 3

    1 2 3$ V

    )rou$er u tel que

    u V $ = 3$ $ 2$ 7 2$ 4$ 12 4$ 3$ 8$ 10

    Q.u/ in# Q.$/ Q.$/ $ 3$ 2$

    +

    = + + + + = = +

    54

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    CGAITRE /:

    E#u&t"ons d",,!ent"elles &u3 d!"8es $&!t"ellesJ

    s-h&s &u3 d",,!en-es ,"n"s

    10 Int!odu-t"on

    onsidrons les quations di##rentielles au& dri$es artielles linaires de la #orme

    && &y yy & yL.u/ au 2bu !u du eu #u %= + + + + + = .7(1/

    55

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

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    o l'indi!e rersente la di##rentiation ar raort 9 la $ariable !onsidre et ab!de# et %

    sont des #on!tions donnes suoses !ontinues sur un domaine du lan .&y/ (

    Le roblme au& limites tye qui eut +tre d#ini a$e! .7(1/ eut se #ormuler sous la #orme du

    roblme de *iri!"let sui$ant

    2

    d

    )rou$er u . / tel que

    L.u/ % sur

    u.& y/ u .& y/ sur

    = =

    .7(2/

    o du est une #on!tion donne et la #rontire du domaine (

    Les quations di##rentielles au& dri$es artielles linaires .7(1/ eu$ent +tre !lasses de

    tye ellitique "yerbolique ou arabolique selon le !omortement des !oe##i!ients a b et !(

    L'quation est dite-

    ellitique si 2b a! 0 < dans

    "yerbolique si 2b a! 0 > dans

    arabolique si 2b a! 0 = dans

    :i le dis!riminant 2b a! !"an%e de si%ne sur on dit que l'quation est mi&te( *es

    e&emles simles d'quations de tye .7(1/ sont donns ar-

    && yyu u 0+ = quation de Lala!e .ellitique/

    && yyu u 0 = quation d'ondes ."yerbolique/

    && yu u 0 = quation de di##usion .arabolique/

    Le !lassement r!dent des quations di##rentielles au& dri$es artielles de tye .7(1/

    ermet dKen$isa%er des mt"odes de rsolution numrique qui sKadatent da$anta%e 9 la

    !lasse !onsidre( ?insi si le roblme est "yerbolique on eut re!ourir 9 la $ieille mt"ode

    des !ara!tristiques !"ose que lKon ne eut as #aire dans le !as dKune quation arabolique

    ou ellitique( ?ussi si des s!"mas au& di##ren!es #inis e&li!ites sont en$isa%s our

    int%rer les quations di##rentielles au& dri$es artielles les restri!tions sur le as de tems

    qui sont dues 9 la !ondition de stabilit sont en %nral lus s$res our les roblmes

    araboliques que our les roblmes "yerboliques qui sou#rent eu& da$anta%e de

    lKamortissement numrique( *ans la suite seules les quations s!alaires de la di##usion et de

    la !"aleur stationnaire sont tudies(

    56

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    ertains roblmes qui sont d#inis ar la donne d'une quation de tye .7(1/ et des

    !onditions au& limites eu$ent +tre bien oss dans la mesure o il e&iste une unique solution

    qui $arie !ontinOment a$e! les $aleurs s!i#ies au& limites du domaine( ? titre d'e&emle si

    l'on !onsidre l'quation .7(1/ a$e! # 0 le roblme de *iri!"let .7(2/ est bien os(

    '0 E#u&t"on de d",,us"on

    L'quation de di##usion la lus simle sK!rit

    t &&u bu= .7(3/

    o b est une !onstante ositi$e(

    >n !onsidre le roblme de au!"y o 0u.0 &/ u .&/= et on dsire !al!uler u.t&/ our

    t 0> ( *ans le !as arti!ulier de .7(3/ une solution unique e&iste( Hlle est donne sous #orme

    analytique ar

    2. & y /

    4bt0

    1u.t &/ e u .y/ dy

    4 bt

    +

    =

    .7(4/

    La relation .7(4/ e&rime u.t&/ !omme une sorte moyenne ondre de 0u .&/ (

    20 S-h&s &u3 d",,!en-es ,"n"s

    >n !onsidre dans la suite le !as s!alaire d#ini ar l'quation .7(3/( >n se donne un rseau de

    oint dans le lan esa!e tems .t&/ ( :oit t et & des nombres ositi#s le rseau d#ini

    ar n m.t & / .n tm &/= our .nm/ entiers( Les $aleurs d'une #on!tion $ d#inie sur le

    rseau seront notes nm n m$ $.t & /= ( L'ensemble des oints du rseau our n #i& est ael

    ni$eau n( L'ide de base des s!"mas au& di##ren!es #inis !onsiste 9 remla!er les dri$es

    artielles ar des di##ren!es #inies( >n eut ainsi oser

    ( ) ( )u .n 1/ tm & u n tm &u.n tm &/

    t t

    +

    .7(5/

    ou bien

    57

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    59/61

    ( ) ( )u .n 1/ tm & u .n 1/ tm &u.n tm &/

    t 2 t

    +

    .7(6/

    La $alidit des #ormules .7(5/ et .7(6/ est justi#ie ar le #ait que

    0 0

    u u.t &/ u.t &/ u.t &/ u.t &/.t &/ lim lim

    t 2

    + + = =

    .7(7/

    *ans le !as de lKquation de di##usion .7(3/ on eut d#inir lusieurs s!"mas au& di##ren!es

    #inis( Vn e&emle de tels s!"mas est donn ar

    n 1 n n n n

    m m m 1 m m 1

    2

    $ $ $ 2$ $b

    t &

    ++ +=

    .7(8/

    >n eut dmontrer que la stabilit de !e s!"ma e&i%e que 2t 1

    b& 2

    et que le s!"ma est

    dKordre 2( l sKa%it l9 dKune !ondition s$re qui dans la ratique e&i%e dKutiliser des as de

    tems e&tr+mement etits a#in dKassurer la !on$er%en!e( Hn tant quKalternati$e au s!"ma

    .7(8/ on eut !onsidrer le s!"ma imli!ite

    n 1 n n 1 n 1 n 1

    m m m 1 m m 1

    2

    $ $ $ 2$ $b

    t &

    + + + ++ +=

    .7(/

    qui est in!onditionnellement stable(

    Le s!"ma saute Y mouton d#ini ar

    n 1 n 1 n n n

    m m m 1 m m 1

    2

    $ $ $ 2$ $b

    2 t &

    + + +=

    .7(10/

    est quant 9 lui instable our toutes les $aleurs de2

    t

    &

    (

    Vn s!"ma intressant !onstruit ar modi#i!ation du s!"ma r!dent est le s!"ma de *u

    Cort Y CranBel sui$ant

    58

  • 7/24/2019 Polycopie Methodes Numeriques

    60/61

    n 1 n 1 n n 1 n 1 n

    m m m 1 m m m 1

    2

    $ $ $ .$ $ / $b

    2 t &

    + + + + +=

    .7(11/

    e s!"ma dKordre 2 est in!onditionnellement stable(

    70 E#u&t"on de l& -h&leu!

    LKquation de la !"aleur stationnaire .quation qui modlise la distribution stationnaire de la

    temrature/ sK!rit

    && yyu u u # .& y/ = + = .7(12/

    o #.&y/ est le terme sour!e

    Vn !as arti!ulier de !ette quation est lKquation de Lala!e

    u 0 = .7(13/

    ?#in de rsoudre .7(12/ ou bien .7(13/ il #aut r!iser les !onditions au& limites qui eu$ent

    +tre de deu& tyes

    du u sur = *iri!"let .7(14/

    n

    uu sur

    n

    =

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    61/61

    LKint%ration numrique de l'quation de la !"aleur stationnaire eut +tre en$isa%e %rZ!e au

    s!"ma au& di##ren!es #inies d#ini ar

    m 1 m m 1 m 1 m m 1 m2 2

    u 2u u u 2u u#& y

    + +

    + ++ =

    l l l l l l

    l .7(17/

    e s!"ma est de se!ond ordre(

    :i de lus on !"oisit y & " = = sur un domaine re!tan%ulaire l'quation .7(17/ se r!rit

    { }" m 1 m 1 m 1 m 1 m m21

    u u u u u 4u # "

    + + = + + + =l l l l l l .7(18/

    0 E3e!-"-es

    H/01*montrer que le s!"ma

    n 1 n n n n

    m m m 1 m m 1

    2

    $ $ $ 2$ $b

    t &

    ++ +=

    roos our rsoudre l'quation de di##usion t &&u bu= o b 0> est stable sous la !ondition

    2

    t 1b

    & 2

    (