Polycopie Algèbre Linéaire

8/12/2019 Polycopie Algbre Linaire

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Chapitre 1

Matrices - systemes dequationslineaires

1.1 Definitions - Exemples

Dans tout ce chapitre Kdesigne le corps des nombres reels Rou des nombres complexes C.Soientm, n deux entiers naturels nons nuls.

Definition 1.1.1 Unematrice A de type(m, n) a coefficients dansKest un tableau :

A=

a11 . . a1j . . a1n. . . . . . .

. . . . . . .

ai1 . . aij . . ain. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

am1 . . amj . . amn

On noteA= (aij), 1im et1j n ; m est le nombre de lignes etn est le nombre decolonnes deA. Le terme (ou le coefficient) aij est situe dans la i-eme ligne et la j-eme colonne deA.- Sim= n, on dit queA est une matricecarree dordren.

- Une matrice carree dordre n, A= (aij), est ditediagonale siaij = 0, pour tout i et j telsquei=j .- Une matrice carree dordren,A = (aij), est ditetriangulaire superieure (resp.inferieure),siaij = 0, pour touti etj tels quei > j (rep. i < j).- La matrice nulle de type(m, n), est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la noteO.- Deux matrices A = (aij) et B = (bij) sont egales si, elles sont de meme types et aij = bij,pour touti, j.

Exemple 1 1) A= 1 5 0

4 7 125 0 320 8 0

est de type(4, 3). B = 1 0 7 5 2012

0 5 1 75 est detype(5, 2).

2


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CHAPITRE 1. MATRICES - SYSTEMES D EQUATIONS LIN EAIRES 3

2)

5 0 00 1 0

0 0 0

est diagonale et

1 0 1 50 8 14 190 0 0 120 0 0 33

est triangulaire superieure.

1.2 Operations sur les matrices

1) Somme de deux matricesSoient A = (aij) et B = (Bij) deux martices de meme type (m, n), la somme A+ B est lamatrice de type (m, n) definie par

A + B = (cij), aveccij =aij+ bij, 1im et 1jn.2) Multiplication dune matrice par un scalaire de K.Soit K et A = (aij) une matrice de type (m, n). La matrice A ets la matrice de type(m, n) definie par : A= (aij).

Exemple 2 1) A=

1 5 04 7 125 0 320 8 0

+

0 1 67 6 20

1 0 1214 1 11

=

1 4 6

4 + 7 13 84 0 4414 9 11

2)

3

1 5 04 7 125 0 320 8 0

=

3 5

3 0

43 73 12353 0 323

0 8

3 0

Proposition 1.2.1 SoientA, B etCtrois matrices de meme type et, K;1. (A +B) +C=A + (B+ C), on dit que+ est associative ;2. A + B =B + A, on dit que+ est commutative ;3. A + O= A, O etant la matrice nulle de type(m, n) ; la matriceO est lelement neutre pour+ ;4. A + (A) =O,A= (1)A est la matrice opposee (ou symetrique) deA ;5. (+ )A= A + A ;6. (A + B) =A + B ;7. ()A= (A) ;8. 1.A= A

Les proprietes de 1) a 8) expriment que lensemble des matrices de type (m, n) est un espacevectoriel sur K. (On reviendrra sur cette notion avec plus de detail dans le chapitre 2). Dansla suite on notera cet espace Mm,n(K) ; si m= n on ecrit Mn(K).3) Produit de matricesSoientA = (aij) une matrice de type (m, n) et B = (bk,l) de type (n, p) (le nombre de colonnesde A est egal au nombre de lignes de B). Le produitAB est une matrice de type (m, p), definiepar : AB = (crs), 1rm et 1sp, avec

crs = ar1b1s+ ....+ arkbks = ...+ arnbns=n

k=1 arkbks.Le terme crs de AB est donne par le produit (scalaire) :


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crs = ar1 . . . ark . . . arn

b1s.

.

.

bks.

.

.

bns

Cest le produit de la r-eme ligne de Apar la s-eme colonne de B.

Remarque 1 Lorsque le nombre de ligne de A est different du nombre de colonnes de B, le

produitAB n est pas defini.

Exemple 3 1) SoientA

1 03 1

0 4

etB = 1 1

2 3

. Le produitBA nest pas defini, mais

AB existe, elle est de type(3, 2), on aAB=

1 11 6

8 6

2) A=

1 1 3

etB =

17

3

.

les produitAB etBA sont bien definis et on : AB= (3) etBA =

1 1 37 7 21

3 3 9

.

Remarquons que le produit AB est le produit scalaire (usuel) des vecteurs A et B de lespaceR3.3) Le produit de deux matrice carrees de meme ordren existe toujours, cest une matrice carreedordren.4) SiA etB sont deux matrices diagonales :

A= a11 0 . . 0

0 . . . .. . . . .. . . . 00 . . 0 ann

etB = b11 0 . . 0

0 . . . .. . . . .. . . . 00 . . 0 bnn

;

alorsAB est diagonale etAB=B A=

a11b11 0 . . 00 . . . .. . . . .

. . . . 00 . . 0 annbnn

De meme, on verifie que le produit de deux matrices triangulaires superieures (resp. inferieures)est triangulaire superieure (rep. inferieure).

Proposition 1.2.2 SoientA, B, etC trois matrices etK,en supposant que tous les pro-duits ci-dessous sont definis, alors1) (AB)C=A(BC)


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2) A(B+ C) =AB + AC et(A +B)C=AC+ BC3) AB = (A)B =A(B)

4) La matrice identite - Inverse dune matriceLa matrice identite dordre n est la matrice (carree) diagonale definie par :In = ij, avecij = 1

si i= j et ij = 0 si i=j :

In=

1 0 . . 00 1 . . .. . . . .

. . . . 00 . . 0 1

La matrice In verifie : pour tout A Mn(K), AIn = InA= A, cest lelement neutre pour leproduit des matrices.

Definition 1.2.1 Une matrice carree dordre n est dite inversible, sil exiiste une matrice B

carree dordren, telle queAB=B A= In. B est dite linverse deA on la noteB =A

1.

Exemple 4 1) In et inversible etI1n =In.

2) Si D =

a11 0 . . 00 . . . .. . . . .

. . . . 00 . . 0 ann

est diagonale alors : D est inversible, si et seulement si,

aii= 0 pour tout i ; dans ce cas on aD1 =

a111 0 . . 0

0 . . . .. . . . .

. . . . 00 . . 0 a1nn

3) SoitA =

3 1 00 1 2

0 0 1

, On verifie queA33A2A+3I3 =O, douA(13 (A23AI3)) =

I3; A est alors inversible etA1 = 1

3 (A2 3A I3).

Proposition 1.2.3 SoientA, B etC trois matrices carrees dordren, alors :1) SiA etB sont inversibles, alorsAB est inversible et(AB)1 =B1A1

2) SiA est inversible etAB =AC, alorsB =C

5) Puissance dune matriceSoit Mune matrice carree dordre net k un entier natirel. On pose :M0 =In, M1 =M et M

k+1 =MkM=M Mk, pour tout k1.Si M est inversible et k est un entier negatif, on definit : Mk = (M1)k.

Proposition 1.2.4 SoitM une matrice carree, m etp deux entiers naturels. Alors :1) Mm+p =MmMp =MpMm et(Mm)p =Mmp.2) Si de plusMest inversible, 1) est verifiee pour tout entiers relatifsm etp.

Exemple 5 1) Om =O et(In)m =In, pour tout entierm.

2) SiD=

d11 0 . . 00 . . . .

. . . . .

. . . . 00 . . 0 dnn

est diagonale, alorsDk =

d

k

11 0 . . 00 . . . .. . . . .

. . . . 00 . . 0 dknn


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4) Une matrice carreeNest ditenilpotente dindicer1 si, Nr =O etNr1 =O, O etantla matrice nulle. Il est clair que si N est nilpotente dindice r, forcement Nm = O pour tout

mr. Par exemple la matriceJ2 =

0 10 0

est nilpotente dindice2. J3 =

0 1 00 0 10 0 0

est

nilpotente dindice3.

6)Formule du binome de NewtonSoientAet B deux matrices carrees dordre ntelle que AB =B Aet mun entier naturel1.Alors,

(A + B)m =mk=0

CkmAkBmk, avecCkm= m!

(m k)!k!.7) Exemple dapplication

Soit la matrice M= 1 1 00 1 2

0 0 1

, on se propose de calculer Mm pour tout entier naturel m.EcrivonsM=I3 + N, ouN=

0 1 00 0 2

0 0 0

. Il est clair queN I3=I3N. La formule du binome

de Newton implique :

Mm = (N+I3)m =

mk=0

CkmNkImk3

Or, N2 = 0 0 20 0 00 0 0

et N3 = 0 0 00 0 00 0 0

, cest a dire N est une matrice nilpotentedindice 3. Dou Mm =C0mN0 + C1mN1 + C2mN2

C0m= 1,C1m=m etC2m= m(m1)2 . FinalementMm = 1 m m(m 1)0 1 2m

0 0 1

1.3 systemes deqautions lineaires

1.3.1 Matrices echelonnees - Rang dune matriceDefinition 1.3.1 Soit A = (aij) une matrice de type (m, n). On dit A est echelonnee sipour toute ligne i deA, la condition suivante est verifiee : si aij= 0 alorsars = 0 pour r > ietsj , c est a dire tous les element dans le coin inferieur gauche defini paraij sont nuls. Lepremier termes non nuls de chaqune des lignes de la matrice echelonnee est appeleun pivot.Le nombre de pivots dune matrice echelonneeA est appele lerang deA, on le noterg(A).

Exemple 6 1) La matrice

2 7 0 5 2 40 5 0 8 1 00 0 5 12 0 110 0 0 0 0 0

est echeleonnee de rang2

2) Toute matrice (carree) diagonale ou triangulaire superieure est echelonnee.


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Proposition 1.3.1 Toute matrice matrice peut etre transformee en une matrice echelonnee alaide des operations elementaires suivantes :I- Permutation de deux lignes ;II- Multiplication dune ligne par une constante non nulle ;

III- Ajout dun multiple dune ligne a une autre ligne.

Definition 1.3.2 SoitMune matrice. On applle rang deM, le rang de la matrice echelonneeobtenu a partir deM. A noter que le rang ne depend pas de l echlonnement.

Proposition 1.3.2 SoitAune matrice carree dordren. Les conditions suivantes sont equivalentes :1) A est inversible ;2) rg(A) =n.

Exemple 7 Soit la matrice A =

1 2 1 00 3 1 0

1 4 5 11 1 2 2

, notons L1, L2, L3 et L4 les lignes de

A, en remplacant L3 par L3+ L1 et L4 par L4 L1 on obtien la matrice

1 2 1 00 3 1 00 6 6 10 1 1 2

.

Puis, dans la matrice obtenue on remplace L3 par L32L2 et L4 par 3L3 +L2, on obtien

la matrice

1 2 1 00 3 1 00 0 4 1

0 0 4 6

. En fin, on remplace L4 par L4 2L3, on aboutti a la matrice

echelonnee :

1 2 1 00 3 1 00 0 4 10 0 0 5

,A une matrice carree dordre4 et de rang4, doncAest inversible.

1.3.2 Applications a la resolution des systemes dequations lineaires- Methode de Gauss

Definition 1.3.3 Un systeme dequations lineaires est un systeme dequations de la forme :

(S)

a11x1+...+a1jxj+ ...+ a1nxn=b1.

.

ai1x1+...+ aijxj+ ...+ ainxn=bi.

.

am1x1+ ...+ amjxj+ ...+amnxn=bm

- Lesxj sont lesinconnues de(S) ;- Lesaij) sont les coefficients de(S) et lesbi forment le deuxieme membre de(S), ce sont des donnees.- (S) est dit un systeme am equations etn inconnues.- Resoudre le systeme(S) consiste a determiner, lorsque cset possible, lesxj verifiant simul-tanement les m equations de (S). Le systeme est dit compatible sil admet des solutions,incompatible dans le cas contraire.


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- (S) est dit un systemehomogene, sib1=....= bm= 0, autrement dit si le deuxieme membre de(S) est nul.

Remarque 2 un systeme homogene admet aumoins une solution : x1=.....= xn= 0.

Interpretation matricielleLe systeme (S) ci-dessus est equivalent a lequation matricielle :

AX= B avec A= (aij)Mmn(K), X =

x1.

.

xj.

.

xn

et X=

b1.

.

bi.

.

bm

, A est dite la matrice de

(S). On dfinit le rang de (S) comme etant le rang de sa matrice.Il est clair que lensemble des solutions de (S) est le meme, si lon transforme ses lignes par desoperations elementaires I, II et III, utilisees dans lechelonnement dune matrice, sans oublier derealiser ces operations sur les bi. Maintenant, soitAla matrice dite augmentee de A, definieparA= (A|B), ( AMm,n+1(K)).Donc, pour resoudre (S), il suffit de resoudre le systeme associe a la matrice echelonnee obtenue

a partir deA. On est amene a resoudre un systeme de la forme

(S)

c11x1+.+ .+ c1rxr+ .+ .+ c1nxn = d1.

.

crrxj+ .+ .+crnxn=dr. 0 =dr+1.

0 =dm

c11,...,crr sont les pivots (non nuls) et rg(A) =r. Deux cas se presentent :1)dr+1=.....= dm= 0 : le systeme est compatible. On resoud alors le systeme par remontee, encalculant les inconnues ditesprincipalesx1,...,xren fonction des inconnues ditessecondairesxr+1,...,xn. Ce procede de resollution de (S) est appele rsolution par lamethode de Gauss.

Les conditions dr+1 =.....= dm = 0, sont dites les conditions de compatibilite du systeme(S)2) Lun des di, r+ 1im, est non nul : le systeme est incompatible, il nadmet pas de so-lution.Des deux cas ci-dessus on tire propostion suivante :

Proposition 1.3.3 Soit le systeme dequations lineaires(S) : AX=B . Alaors,

1) Sirg( A)> rg(A), (S) est incompatible ;2) Sirg( A)rg(A), (S) est compatible.Remarque 3 1) Un systeme homog

ene est toujours compatible.2) le nombre dinconnues principales est eagalA rg(A) =rg(S), le nombre dinconnues secon-daires estn rg(S)


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Proposition 1.3.4 Soit A une matrice carree dordre n, alors les conditions suivantes sontequivalentes1) le systemeAX=B , admet une solution unique ;2) rg(A) =n3) A est inversible.Dans cette situation, on dit que(S) est deCramer

Exemple 8 Resolution de quelques systemes1) Soit le systeme(S) defini par :

x y+z= 4x 4y+ 2z= 32x + 5y= 12

La Matrice augmentee de(S) est :M=

1 1 1 41

4 2 3

2 5 0 12

.

Lechelonnement deMdonne : 1 1 1 40 3 1 1

0 0 1 5

. Donc(S)est equivalent au systeme

x y+z= 43y+ z=

z= 5

il sen suit

x= 1y = 2z= 5

. Lensemble des solutions estS={(1, 2, 5)}.(S)est un systeme de Cra-mer2)Soit le systeme

x + y+ 2z+ t= 4x 4y+ z+ 2t= 32x 3y+ 3z+ 3t= 75y+ z t= 1

La Matrice augmentee de(S) est :M=

1 1 2 1 41 4 1 2 32 3 3 3 70 5 1 1 1

. Apr

es echelonnement on obtient

1 1 2 1 40 5 1

1 1

0 0 0 0 00 0 0 0 0

.Donc(S)est equivalnt au systeme

x

y+ 2z+ t

5y+z t=(S) est de rang 2. On calcule alors les inconnues principales x, y en fonction des inconnues

secondaires z, t. Dou

x= 1

5(21 11z 4t)

y = 15

(1 z+t) . Lensemble des solutions estS ={(15

(21 11z 4t), 1

5(1 z+ t), z , t)|z, t R}. (S) poss

ede une infinite de solutions.3) Soit le systeme

x + 2y+z= 03y+ z= 0x + 4y+ 5z+ = 1x + y+ 2z= 2


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La Matrice augmentee de(S) est :M =

1 2 1 00 3 1 0

1 4 5 11 1 2 2

. Un echelonnement deM, donne

la matrice :

1 2 1 00 1 3 00 0 4 10 0 0 5

. Donc(S) est equivalnt au systemex + 2y+z= 0

3y+ z= 04z= 1

0 = 5Il est clair que(S) est incompatible,S=.


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Exercices du chapitre 1

Exercice 1Calculer la somme A + B, le produit AB et BA, lorsque cest possible, pour les matrices :1)

A= 0 1 2 52 2 6 1

2 7 12 3

etB = 2 2 11 2 21 4 1

.2)

A=

0 1 2 52 2 1 1

2 7 4 3

etB =

2 2 11 2 20 6 31 4 1

.

Echelonner chacune de matrices ci-dessus et donner son rang.

Exercice 2

Soient les matrices carrees dordre 3 :

A=

2 1 22 2 1

1 2 2

etB =

2 2 11 2 2

2 1 2

.

1) Caculer le produit AB.2) En deduire que la matrice Aest inversible et donner son inverse.Exercice 3

Soit la matrice carree dordre 3 definie par :

M=

2 1 10 3 1

0 0 1

.

1) On pose J =

0 1 10 0 1

0 0 0

. Calculer J2 et J3, en deduire Jk pour tout entier k 3. J

est-elle inversible ?2) Determiner la matrice D telle que M=D +J.

3) Calculer Dm

, pour tout entier naturel m.4) En deduire l expression de Mn, pour tout entier naturel n.(Indication : On pourra utiliserla formule du binome de Newton).Exercice 4Soit la matrice carree dordre 3 definie par :

M=

3 2 212 8 6

8 5 3

.

1) Calculer M2, M3 et M3 2M2 M+ 2I3.2) En deduire que Mest inversible et donner son inverse M

1

.


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Exercice 5Resoudre les systemes dequations lineaires :1)

x

y+ z= 1,

2x 4y 2z= 2,3x 5y z= 3,

et x

3y+z= 0,

2x 4y+ 2z= 1,3x + y z= 3,

2) BX=

a

b

c

d

, selon les valeurs des param

etres reels a, b, c et d. B etant la matrice de lex.1- 2).Exercice 6On dispose de trois fruits (F1), (F2) et (F3) contenant chacun par kilogramme, une quantitedunites de vitamines selon le tableau suivant :

Fruit Vitamine A Vitamine B Vitamine C(F1) 1 3 4(F2) 2 3 5(F3) 3 0 3

Quelles quantites de chaque fruits doit-on utiliser afin dobtenir 11 unites de vitamine A, 9unites de vitamine B et 20 unites de vitamine C ?Exercice 7Pour fabriquer trois produits P1, P2 et P3, on leur fait subir successivement des operationssur trois machines M1, M2 et M3. Les temps dexecution, en minutes, sur chaque machine sont

fournis selon le tableau suivant :

M1 M2 M3(P1) 11 12 16(P2) 22 12 16(P3) 11 24 16

Par exemple le temps dexecution dune piece P1 sur la machine M3 est 16 minutes. En supposant que les heures disponibles de chaquemachine pur une activite dun mois sont : 165 heures pour M1, 140 heures pour M2 et 160heures pour M3.

Dans ces conditions, combien doit-on fabriquer mensuellement de produits P1,P2 et P3 si lontdesire utiliser les trois machines a pleine capacite ?Exercice 8Une piscine est alimentee par trois vannes.- Si le vannes 1 et 2 coulent ensemble, la piscine est remplie en un jour et 16 heures.- Si le vannes 2 et 3 coulent ensemble, la piscine est remplie en 30 heures.- Si le vannes 1 et 3 coulent ensemble, la piscine est remplie en deux jours et demi.Combien de temps chaqhe vanne, coulant seule, mettrrait-elle pour remplir la piscine ?Exercice 9Deux etudiants ont travaille dans le meme centre pendant le mois daout. Le premier a gagne

(30DH) de moins par jour que le second, mais il a trvaille 25 jours, tandis que le second atravaille 20 jours. Sachant que le premier a gagne 800 dirhams de plus que le second, calculerle salaire de chacun.


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Chapitre 2

Espaces vectoriels - Applicationslineaires

Dans tout ce chapitre Kdesigne le corps des nombres reels Rou des nombres complexes C.

2.1 Espaces vectoriels

2.1.1 Definitions - Exemples

Definition 2.1.1 Un espace vectoriel est ensemble non videV muni deux operations(i) Une operation interne : V VV, (u, v)u +v, appelee addition ;(ii) Une operation (externe) : K VV, (, v)v, dite multiplication scalaire,telles que lon a les proprietes suivantes : Pour toutu, v,w

V et,

K,

1) u + v= v +u, on dit que+ est commutative ;2) u+(v+w)=(u+v)+w, on dit que+ est associative ;3) Il existe un elementOVV, dit element neutre, tel queuV, OV +u = u + 0V.4) Pour toutuV, Il existe un element noteuV, tel queu+ (u) =OV,u est appelele symetrique ou loppose deu ;5) (u + v) =u + v6) (+ )u= u + u7) ()u= (v )8) 1u= uLes elements de V sont appeles vecteurs, ceux de K sont ditsscalaires. V est di un espace

vectoriel surK.

Exemple 9 1) Kn ={(x1, ...., xn)|xiK}, est un espace vectoriel surK, pour les operationsusuelles suivantes :Pour tout((x1, ....,xn), (y1, ....,yn)Kn etK : ((x1, ...., xn) + (y1, ....,yn) = (x1+y1, ....,xn+ yn) ; ((x1, ...., xn) = (x1, ...., xn) ;Remarquer que, OKn = (0, ...., 0) et(x1, ...., xn) = (x1, ...,xn).2) Plus generalement lensembleMmn(K)des matrices de tupe(m, n), muni de laddition et dela multiplication scalaire est un espace vectoriel surK. En particulier on aKn =M1n(K).3)

F([a, b],R), lensemble des fonction definies sur lintervalle [a, b] et a valeurs reelles, est un

espace vectoriel surR pour les opeerationsf, g F([a, b],R) etK f+ g est la fonction deefinie par(f+g)(x) =f(x) +g(x), pour toutx[a, b] fest la fonction deefinie par(f)(x) =f(x), pour toutx[a, b].

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CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS - APPLICATIONS LIN EAIRES 14

Proprietes 2.1.1 SoitV un espace vectoriel surKalors, pour toutuV etK1) v= OV, si et seulement si, = OK ouu= OV2) ((u)) =(u) =(u)

2.1.2 Sous-espaces vectorielsDefinition 2.1.2 Soit V un espace vectoriel sur K. Une partie F de V est un sous-espacevectoriel (s.e.v) deV si :1) OVF.2) pour toutu, vF, u + vF.3) pour toutuF etK, uF

Il est clair quun sous-espace vectoriel est lui meme un espace vectoriel sur K.

Exemple 10 1) SiV est un espace vectoriel, alors,{OV} etVsont des s.e.v deV.2) Dans R2, F =

{(x, 0) x

R

} la droite de abscisses, G =

{(0, y) y

R

} la droite des

ordonnees etF ={(x, x) x R} la premiere bicectrisse, sont des sont des s.e.v deR2.3) Le sous-ensemble forme par les matrices diagonales (rep. triangulaires superieures, resp.inferrieures) est un s.ev deMn(K).4) Le sous ensemble forme par les fonctions continues (rep.derivables)sur est un s.e .v deF([a, b],R).5) H={(x , , y , z )|x + 2y 3z= 0} est un s.e.v deR3.6) G={(x , y , z , t)|x + 2y 3z+ t= 1} nest pas un est un s.e.vR4.

Definition 2.1.3 Soient A une famille de vecteurs dun e.v V. On appelle combinaison

lineaire (C.L) des vecteurs deAtout vecteur de la formea1v1+ ... + amvm, oua1,...,amK,v1,...,vmV etm. Lensemble des C.L dune familleA de vecteursV, est un s.e.v deVappele le s.e.v engendre parA, on le noteSev < A >.

Sev < A >={a1v1+...+amvm |aiK, viA, n N},cest le plus petit s.e.v de V contenant A. Si V = Sev < A >, on dit que A est une famillegeneratrice deV.En particulier, si A ={u1, ....,up} est finie, alors Sev < A >={a1u1+ ...+ apup|ai K},dans ce casV est appele un espace vectoroel dedimension finie surKV est de dimension finie

Il existe

{u1, ....,up

} V tels queV =Sev .

Si un vecteurvV est C. L deA={u1, ...., up} : v =a1v1+...+amvm, a1, ...., an sont ditesdescomposantes ou les coordonnees dev dansA.

Remarque 4 1)Toute famille contenant une famille generetrice est generatrice.2) Les composantes dun vecteur dans une famille ne sont pas necessairement uniques. DansR2 on a, par exemple :

(3, 2) =2(1, 1) + 5(1, 0) + 4(0, 1) = 0(1, 1) + 3(1, 0) + 2(0, 1).

Exemple 11 1)DansR3 Le vecteur, u = (1, 1, 6) est C.L des vecteurs u = (1, 6, 2) et v =(2, 5, 8), caru=

u + v.

2) La famil le formee par les vecteurs e1 = (1, 0,,..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0),...,en = (0, ..., 0, 1),est generatrice de l e.vRn surR.3) La famille{(2, 1, 5), (1, 5, 0), (3, 4, 5)} nest pas generatrice deR3 ; par contre{(2, 1, 5), (1, 5, 0), (1, 0,lest.


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5) U={(x , y , z , t)|x + 2y 3z+t= 0} est un s.e.v deR4. En effet

U={(x,y,z, x 2y+ 3z)|x, y,z R}= S ev{(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 3)}

2.1.3 Dependance lineaire - Bases et dimensionDefinition 2.1.4 SoitVun e.v suK. Une famille de vecteursA ={u1, ...., up}est ditelibresiaucun vecteur deA nest C.L des autres vecteurs (deA). Autrement dit, pour tout1,...,pK,si 1u1 +... + pup = OV, alors 1 = ...p = OK. On dit aussi que les vecteurs de A sontlineairement independants. SiA nest pas libre elle est dite liee, on dira que les vecteur deA sontlineairement dependants. A est liee, si et seulement si, lun des vecteurs de A estC.L des autres vecteurs (deA).

Remarque 5 - Toute famille de vecteurs contenue dans une famille libre est libre.- Toute famil le de vecteurs contenant une famil le liee est liee.

- Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liee.- Toute famille de vecteurs contenant deux vecteurs identiques est liee.

Definition 2.1.5 SoitVun e.v surK. Une famille de vecteursB deV est appel lee unebasedeV, siB est a la fois libre et generatrice deV.

Proposition 2.1.1 SoitB une famille de vacteurs dun e.vV. Alors, B est une base deV, siet seulement si, tout vecteur deV secrit de maniere unique comme C.L de vecteurs deB. Autrement dit les composantes, de tout vecteur deVdansB sont uniques, cest a dire : Si on poseB ={u1, ....,un} etuV, a1u1+ ...+anun =b1u1+...+ bnun alors, a1=b1, ...., an= bn

Proposition 2.1.2 SoitV un e.v de dimension finie surK. Alors,1) Vadmet une base.2) Toute famille libre deV peut etre completee en une base.3) De toute famille generatrice deV, on peut extraire une base.4) Toutes les bases deV ont le meme nombre delements, quon appel le ladimension deV etque lon notedimKV.5) SiFest libre etG generatrice deV, alorscard(F)dimKVcard(G.Exemple 12 1) dimK(V) = 0 V ={OV}.2) La famille{e1 = (1, 0,,..., 0), e2= (0, 1, 0, ..., 0),...,en= (0, ..., 0, 1)}est une base de l e.vKnappelee la base canonique deKn, doncdimKK

n =n, en effet tout vecteuru= (x1,...,xn)

Kn serit de maniere uniqueu= x1e1+ ...+ xnen.3)dimKMmn(K) =mn en effet, la famille de matrices(Eij), definies par :Eij = (ekl)avecekl =1si(k, l) = (i, j), etekl = 0sinon.4){1, i} est une base de le.vC surR. i est le nombre complexe tel que i2 =1. Par ailleurs{1} est une base de l e.vC surC, doncdimRC = 2, maisdimCC = 1.5){(1, 2), (1, 5)} est une base deR2.6) U etant le s.e.v deR4 de lexemple 11, dim la famille{(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 3)}est une base deU etdimU= 3, cette famille nest pas une base deR4, cardimRR

4 = 4.

Proposition 2.1.3 soit V un espace vectoriel de dimension n sur K et B une famille devecteurs deV telle quecard(B) =n. Alors, les assertions suivantes sont equivalentes :1) B est une base deV ;2) B est generatrice deV ;3) B est libre.


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Exemple 13 1) La famille de vecteursA ={u1, u2, u3}, avecu1 = (1, 2, 1), u2= (0, 2, 2), u3=(3, 2, 1) est une base deR3, en effet, card(A) =dimR3 = 3, dapres la proposition precedente, il suffit de montrer queA est libre.Soienta,b,c R3, tels queau1+bu2+cu3 = OR3 = (0, 0, 0), dou le systeme

a + 3c= 0,2a + 4b + 2c= 0,a + 2b c= 0,

La resolution de ce systeme impliquea= b = c = 0, ceci prouve queA est une base deR3.

Proposition 2.1.4 SoientV un e.v de dimension finie surK, FetG deux s.e.v deV. Alors1) SiF G alorsdimKF dimKG ;2) SiF G etdimKF =dimKG, alorsF=G.

Exemple 14 Dans le.vR3 surR, on considere les s.e.v F =

{(x,y,z)

| x+ y

z = 0

} et G = Sev , avec u = (0, 1, 1) et

v= (2, 1, 3).Remarquons que u, v F, donca, b R, au+ bv F, dou G F. Dautre part,{u, v}est libre, donc cest une base de G et dimG = 2. Par ailleurs dimF dimR3 = 3, F R3et F= R3 . On a 2 = dimG dimF < dimR3 = 3. Finalement F = G car, F G etdimG= dimF = 2

Definition 2.1.6 SoitVun espace vectoriel surKetA={u1, ....,up} une famille de vecteursde V. On appelle rang de A, la dimension de S e v < A >, on le note rg(A), cest a direrg(A) =dimKSev < A >.

Proposition 2.1.5 Soit Vun espace vectoriel sur K et A ={

u1, ....,up}

une famille de vec-teurs deV, alors,1) rg(A) est le nombre maximal de vecteurs linearement independants parmiu1, ....,up.2) r(A)minimum(card(A),dimKV)3) A est libre rg(A) =card(A) =p4) rg(A) =dimKV A est une base deV.

Exemple 15 Dans le.vR3 surR , on considere les vecteursu1= (1, 1, 2),u2 = (2, 4, 0)etu3 = (1, 3, 2). la famille de vecteurs{u1, u2}est libre, doncrg(A)2, maisu1 u2 = u3, doncrg(A) = 2, ouA={u1, u2, u3}.

2.2 Applications lineaires


Definition 2.2.1 SoientEetFdeux espace vectoriel surK. Une applicationf :EF estditelineaire, si pour toutu, vEet pour toutK, on a1) f(u + v) =f(u) +f(v) ;2) f(u) =f(u).En consequence, sif est lineaire on a, f(

iui) =

if(ui), pour un nombre fini de vecteurs

ui et de scalairesi.

Une application lineaire bijective est dite un isomorphisme. Si E = F, f est dite un en-domorphismede E. Un endomorphisme bijectif de E est dit unautomorphismede E. OnnoteraL(E, F) lensemble des applications lineaires deF dansF.


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Exemple 16 1) SoitV un espace vectoriel surK. Lapplication nulle et lapplication identitedeV sont lineaires.2) Lapplication, f : R3 R2, definie par : Pour tout (x,y,z) R3, f(x , y , z ) = (x+ 2y4z, x+ z).3) Lapplication, f : R2

R, definie par : Pour tout (x, y)

R2, f(x, y) = x2 + 2yx, nest

pas lineaire.4) Pi : R

n Rn, definie par : Pour tout (x1,...,xi,...,xn) Rn, Pi(x1,...,xi,...,xn) =(0, ...0, xi, 0, ..., 0). Pi est est dite la i-eme projection deRn dans lui meme.4) SoitD(R,R) le.v des fonctions reelles derivables sur R. Lapplication d :D(R,R)D(R,R), definie par : Pour toutf D(R,R), d(f) =f est lineaire.

2.2.2 Noyau et Image dune application lineaire

Definition 2.2.2 Soitf

L(E, F).

1) On appellenoyau def, on noteKer(f), le s.e.v deE : Ker(f) ={uE|f(u) =OF} ;2) On appelleimage def, on noteIm(f), le s.e.v deF : Im(f) ={f(u)E|uF}.3) La dimension du s.e.vIm(f) est appelee lerang def, on la noterg(f).

Proposition 2.2.1 . Soitf L(E, F). On suppose queEest de dimension finie. Alors :1) Ker(f) etIm(f) sont de dimensions finies ;2) dimKE=dimK(Ker(f) +dimK(Im(f), ette egalite est connue par le theoreme du rang.

Exemple 17 Lapplication, f : R3 R2, definie par : Pour tout (x,y,z) R3, f(x, y) =(x +y, x z).(x,y,z)K er(f), si et seulement si, (x,y,z) R3 etf(x,y,z) = (0, 0).f(x,y,z) = (0, 0)

x + y = 0x z=o . Autrement dit (x,y,z) = (x, x, x), x R, par suite

Ker(f) =Sev .Dautre part, (a, b)I m(f) (x,y,z)R3, et

x + y= ax z= b La resolution de ce systeme,

implique

x Ry = a xz=

b +x

. DoncIm(f) = R2 etrg(f) = 2.

Proposition 2.2.2 Soitf L(E, F). Alors,1) f est injective Ker(f) ={OE} rg(f) =dimKE.2) f est surjective rg(f) =dimKF.3) f est bijective rg(f) =dimKE=dimKF.4) SidimKE=dimKF alors :f est injective f est surjective f est bijective.

Remarque 6 Soit V un espace vectoriel de dimension n, B ={u1,...,un}, lapplication f :V Kn, definie par, pour tout u = a1u1 + ...+ anun V, f(u) = (a1,...,an), est unisomorphisme. Donc, tout vecteur est completement determine par ses composantes dans une base.


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Exercice 1Soient les sous ensembles1) F=

{(x, y)

R2

|x +

3y= 0

}2) F={(x , y , z )R3 |x + 2y z= 0}2) F={(x , y , z )R3 |2x + 3y z+ 1 = 0}3) Soit F ={(x , y , z , t)R4 |x z=a, y t= b} ou aet b sont deux reels donnes.Lesquels des ces sous-ensembles est-il un s.e.v. Si cest le cas, donner une base et la dimension.Exercice 2Dans chacun des cas suivants, dire si la famille de vecteurs proposee est libre ou lee. Si ellelibre, la completer en une base.1) v1 = (1, 2), v2= (

2, 2

2), dans lespace vectoriel R2.

2) u1= (1, 1), u2= (1, 0) et u3= (4, 1), dans lespace vectoriel R2.3) v1 = (1, 2, 1), v2 = (1,

1, 5) et v3 = (0, 1, 0), dans lespace vectoriel R

3.

4) u1= (1, 2, 5), u2 = (2, 3, 1) et u3= (3, 1, 6), dans lespace vectoriel R3.5) w1= (1, 5, 6), w2 = (1, 2, 3) et W3= (5, 6, 1) et W4 = (0, 0, 1) dans lespace vectoriel R3.6) v1 = (1, 5, 0, 4), w2 = (1, 2, 3, 8) et W3 = (4, 8, 3, 16) et W4 = (0, 0, 0, 1) dans lespacevectoriel R3.Exercice 3Determiner, selon les valeurs du reel , la dimension du sous-espace engendre par les vecteursde R4 suivants : v1= (, 1, 1, 1) , v2= (1, , 1, 1) , v3= (1, 1, , 1) et v4 = (1, 1, 1, ).Soient les sous espaces de R3

Exercice 4F =sev et F =sev .Determiner une base et la dimension de chacun des s.e.v F +G et F G. En deduire queR3 =F+ G.Exercice 5On considere les applicationsa) f :R2 R3 definie par : f(x, y) = (x +y, x y, y), (x, y)R2.b) f :R3 R3 definie par :(x,y,z)R3, f(x , y , z ) = (x z, x y, y z).c) f :R3 R2 definie par :(x , y , z )R3, f(x,y,z) = 2x z+ yz .Lesquelles de ces application est-elle linaire ? Si cest le cas, determiner Ker(f). En deduirele rang de f. Determiner une base de Im(f). Lapplication f est-elle injective ? Surjective ?Bijective ?Exercice 6Soit le R-espace vectoriel E = R3. On note B ={e1, e2, e3} la base canonique de E et ulendomorphisme de Edefini par la donnee des images des vecteurs de la base B :u(e1) =2e1+ 2e3 , u(e2) = 3e2 , u(e3) =4e1+ 4e3.1) Calculer f(x , y , z ).2) Determiner une base de ker(u). u est-il injectif ? surjectif ?3) Determiner une base de Im(u). Quel est le rang de u ?


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Chapitre 3

Matrice dune application lineaire -Determinants

Dans tout ce chapitre Kdesigne le corps des nombres reels Rou des nombres complexes C.

3.1 Matrice dune application lineaire


Soient E et Fdeux espaces vectoriels de dimension finies sur K et fune application lineairede E dans F. On note A ={u1,...,un} une base de deE et B ={v1,...,vm} une base de F.Ecrivons pour tout j, 1jn,

f(uj) =a11v1+ ...+a1jvj+ ...+ a1mvm,

a11,...,a1j etant les composantes de f(uj) dans la base B.

Definition 3.1.1 Avec les notaions ci-dessus, la matrice def relativement aux bases deA etB est :

M at(f , B , C ) =

a11 . . a1j . . a1n. . . . . . .

. . . . . . .

ai1 . . aij . . ain

. . . . . . .. . . . . . .

. . . . . . .

am1 . . amj . . amn

cette matrice est de type(m, n) avecm= dimF etn= dimE. SiE=F etA= B , on noteraM at(f , A , A) =M at(f, A)

Exemple 18 1) La matrice de lapplication lineaire nulle est la matrice nulle.2) La matrice de lapplication lineaire identite dun espace vectoriel de dimension n est lamatrice identiteIn

3) Soit Lapplication, f : R3 R

2

, definie par : Pour tout (x , y , z ) R3

, f(x , y , z ) =(x+y z, 2x+y+z). La matrice def relativement aux bases canoniquesC3 deR3 etC2 deR2 est

M at(f, C3, C2) =

1 1 12 1 1

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CHAPITRE 3. MATRICE DUNE APPLICATION LIN EAIRE - D ETERMINANTS 20

Considerons maintenant le s base B ={v1, v2, v3}, avec v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 3) et v3 =(1, 2, 1), on a alors,M at(f, C3, C2) =

2 2 04 4 1

Remarque 7 1) En general La matrice dune application lineaire depend des bases choisies.2) Si u Ea pour composantes x1,...,xn dans la base A et f(u) a pour pour composantesy1,...,ym dans la baseB, alors

y1.

.

.

.

.

.ym

=M at(f,A,B)

x1.

.

.

.

.

.xn

Proposition 3.1.1 I- Soient E et F deux espaces vectoriels sur K, f et g deux applicationslineaires ddeE dansF, A une base deE etB une base deF etK alors :1) M at(f+ g,A,B) =M at(fA,B) +M at(g,A,B).2) Matf,A,B) =Mat(f , A , B)II- SoientE, F etG trois espaces vectoriels surK, f une application lineaire deE dansF, gune application lineaire deF dansG, A, B etCdes bases respectives deE, F etG. alorsa) g fest une application deE dansGb) M at(g

f , A , C ) =M at(g , B , C )M at(f,A,B).

Soit fune application lineaire de Edans F, A={u1,...,un} de E, il est clair que :

Im(f) =sev < f(A)>=sev ,et les vecteurs sont completement determines par leurs composantes dans une base donnee.Puisque les composantes des vecteursf(u1),...,f(un) dans une base deFdefinissent exactementla matrice de f, On a alors :

Proposition 3.1.2 1) dim(Imf) =rg(f) =rg(M at(f))2) Sidim(E) =dim(F)alors,f est un isomorphisme, si et seulement si, M at(f)est inversible.

3) fest un isomorphisme, si et seulment si, limage d une base deEest une base deF.

3.2 Determinants

On va definir le determinant dune matrice carre M = (aij) dorde n par iteration. On noterale determinant de M : det(M). On definit det(M) comme suit1) Pour n= 1, M= (a11), det(M) =a11.

2) Pour n= 2, det(M) =det(

a11 a12a21 a22

=a11a22 a12a21

3) Supposons defini le determinant dune matrice carree dordre n

1, soit M

une matricecarree dordre n, fixon une ligne i de M, pardefinition :

det(M) = (1)i+1ai1i1+ (1)i+2ai2i2+ ...+ (1)i+nainin,


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ou ij designe le determinant de la matrice dordre (n 1) obtenue en supprimant la i-emeligne et la j-eme colonne de M, cest la decomposition de det(M) suivant la i-eme ligne.On demontre que lon peut decomposer det(M) suivant une colonne, cest dire : pour unecolonne j fixee, on

det(M) = (1)1+ja1j1j+ (1)2+ja2j2j...+ (1)n+janjnj,ij est appele un mineur dordre (n 1).

Proposition 3.2.1 Le determinant verifie les proprietes suivantes :1) Le determinant est nul, si lune des lignes deMest nulle, ou deux ligne deMsont identiques2) Le determinant deM et multiplie par1 si on permute deux lignes deM.3) Le determinant ne change pas si on ajoute une ligne une combinaison lineaires des autrelignes4) Pourv tout scalaire , le determinant de M et multiplie par si lune des ligne de M estmultiplie par. En consequencedet(M) =n(detM)5) Le determinant deMest nul , si et seulement si, les lignes deMconsideres comme vecteursdeRn, forment une famil le liee. En consequence, det(M)= 0, si et seulement si, les lignes deM consideres comme vecteurs deRn, forment une base deRn .6) Pour toutM etNmatrices carrees dordren,on adet(M N) =det(M)det(N).7) Mest inversible, si et seulement si, det(M)= 0,A noter que les assertions de 1) a 7) ci-dessus, sont vraies si lon remplace ligne par colonne.


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Exercice 1Soit lapplication lineaire f : R3 : R3 definie par :

(x,y,z)

: R3, f(x,y,z) = (x + 2y

z, x

y, x + 3y

z).

1) Determiner la matrice de f relativement la base R3 ;2) fest- elle un automorphisme de R3 ?Exercice 2On considere lapplication lineaire g : R3 R3 dont la matrice relativement a la base cano-noique C={e1, e2, e3} de R3 est :

M=

2 4 47 12 7

7 10 5

.

1) A partir de la matrice M, donner le vecteurs g(e1), g(e2) et g(e3).

2) Soitv1= (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) etv3= (1, 1, 2). Montrer que la famille B ={v1, v2, v3}estune base de R3.3) Exprimer g(v1), g(v2) et g(v3) en fonction de v1, v2 et v3.4) Ecrire la matrice de g dans la base B.5) g est-elle injective ? Bijective ?6) La matrice Mest-elle inversible ? Si oui, determiner son inverse.Exercice 3Calculer les determinants des matrices ci dessous, lesquelles sont inversibbles ?

M= 0 1 2 52 2 6 12 7 12 30 8 16 9

etN= 2 2

1

1 2 20 7 1

.

P =

0 1 2 52 2 1 1

2 7 4 30 4 4 1

etB =

2 2 1 21 2 2 10 6 3 01 4 1 1

.

Exercice 4Refaire lexercice 3 de la fiche dexercice du chapitre 2, en utilisant les determinantsExercice 5On considere lendomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base canonique est

M=

1 1 13 3 3

2 2 2

.

1) Calculer f(x , y , z )2) Calculer M2,3) En deduire que f fest lendomorphisme nul.

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