OUTILS MATHEMATIQUES DU TRAITEMENT DES SIGNAUX ...

Traitement analogique du signal CNAM 2006-2007 LD-P 1/26

OUTILS MATHEMATIQUES

DU TRAITEMENT DES SIGNAUX CERTAINS

Produit de convolution Série de Fourier

Transformée de Fourier Transformée de Laplace


Sommaire

1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants................................ 5

1.1. Méthode classique ........................................................................................................................... 5 1.1.1. Première phase : équation sans second membre ................................................................. 5 1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre ................................................................ 5

2. Produit de convolution * .......................................................................................... 6

2.1. Définition ......................................................................................................................................... 6

2.2. Propriétés de base ............................................................................................................................ 6

2.3. Pour comprendre la convolution .................................................................................................... 6

3. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier .................................. 7

3.1. Définition ......................................................................................................................................... 7

3.2. Deuxième forme d’écriture de la série de Fourier ......................................................................... 7

3.3. Écriture sous forme complexe......................................................................................................... 7

3.4. Quelques décompositions classiques............................................................................................... 8 3.4.1. Signal carré ........................................................................................................................... 8 3.4.2. Signal triangulaire ................................................................................................................ 9

3.5. Identité de Parseval ....................................................................................................................... 11 3.5.1. Signal carré ......................................................................................................................... 11 3.5.2. Signal triangulaire .............................................................................................................. 11

4. Calcul d’une transformée de Fourier (signaux non-périodiques)...................... 12

4.1. Définition ....................................................................................................................................... 12

4.2. Quelques décompositions classiques............................................................................................. 12 4.2.1. Transformée de Fourier d’une porte carrée ...................................................................... 12 4.2.2. Transformée de Fourier d’une porte triangulaire ............................................................. 13

4.3. Propriétés de la transformée de Fourier....................................................................................... 14 4.3.1. Linéarité, symétrie : ............................................................................................................. 14 4.3.2. Retard : ................................................................................................................................ 14 4.3.3. Transformation d’une convolution : .................................................................................... 14 4.3.4. Dérivation, intégration : ...................................................................................................... 14 4.3.5. Transformation d’un produit, modulation : ......................................................................... 14


4.3.6. Facteur d’échelle : ............................................................................................................... 14

4.4. Calcul d’une transformée de Fourier inverse .............................................................................. 14

5. Transformée de Laplace......................................................................................... 15

5.1. Définition de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15

5.2. Propriétés de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15 5.2.1. Linéarité :............................................................................................................................. 15 5.2.2. Retard : ................................................................................................................................ 15 5.2.3. Convolution :........................................................................................................................ 16 5.2.4. Dérivation : .......................................................................................................................... 16 5.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale : ......................................................... 16

5.3. Transformées de Laplace usuelles ................................................................................................ 17 5.3.1. L’impulsion de Dirac : ......................................................................................................... 17 5.3.2. L’échelon de Heaviside :...................................................................................................... 17 5.3.3. La rampe unitaire : .............................................................................................................. 17 5.3.4. L’exponentiel complexe : ..................................................................................................... 17

5.4. Transformée de Laplace inverse ................................................................................................... 18 5.4.1. Définition............................................................................................................................. 18 5.4.2. Exemple ............................................................................................................................... 18

5.5. Exemple d’application de la transformée de Laplace .................................................................. 19

6. EXERCICES ........................................................................................................... 24

6.1. Exemple de transformée de Fourier ............................................................................................. 24

6.2. Exemple de convolution ................................................................................................................ 24

6.3. Comparaison entre produit de convolution et domaine de Laplace ............................................ 24

7. ANNEXE.................................................................................................................. 25

7.1. Transformées usuelles de Fourier ................................................................................................ 25

7.2. Transformées usuelles de Laplace ................................................................................................ 26


1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants 1.1. Méthode classique

{ {( ) ( ) 6 ( ) 12 20

( )Ordre

y t y t y t t

y t

+ − = +&& &ème Coef CstEq du 2

inconnue :

1.1.1. Première phase : équation sans second membre ESSM = Equation sans second membre

( ) ( ) 6 ( ) 0 ( )y t y t y t E+ − =&& &

On recherche la solution générale de cette équation sans second membre : 2( ) 6 0E r r→ + − =Equation caractéristique :

( )( )1 4 6 252 3 0r r

∆ = + × =

+ − =

La solution générale de de l’équation sans second membre : 1 2( ) . .r t r ty t A e B e= + Où 1r et 2r sont les solutions réelles de l’équation caractéristique.

2 31 22 3 ( ) . .t tr r y t A e B e−= − = ⇒ = +et

A et B dépendent des conditions initiales.

1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre EASM =equation avec second membre

On cherche une solution particulière : ( ) ( ) 6 ( ) 12 20y t y t y t t+ − = +&& &

La solution particulière est de la même forme que le second membre : ( ) ( ) ( ) 0y t at b y t a y t= + ⇒ = =& &&et

6 6 12 20

6 12 2 116 20 2236 20

a at b t

at t a b a ba b

− − = +

⎤⎧− = ⇒ = − −⎪⇒ ⇒ = − = − → =⎥⎨− =⎪ ⎥⎩ ⎦

11( ) 23

y t t −= − − solution particulière de EASM

La solution générale de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants est :

2 3 11( ) . . 23

t ty t A e B e t−= + − −

A et B dépendent des conditions initiales.


2. Produit de convolution * 2.1. Définition

( ) ( )x t y tet :

( )* ( ) ( ). ( ).x t y t x y t dτ τ τ+∞

= −∫−∞

Traitement du signal

2.2. Propriétés de base

- Commutativité : ( ) * ( ) ( ) * ( )x t y t y t x t=

- Associativité : [ ] [ ]( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) * ( )x t y t z t x t y t z t=

- Unité de convolution : ? ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( )u t x t u t u t x t x t∃ = = / (élément neutre) L’élément neutre est l’impulsion de Dirac : ( ) ( )ttu δ=

- Dérivation : ( ) '*'*'* TSTSTS == L’ impulsion de Dirac :

( )f t1k

Surface = 1

k

kt

On cherche la limite de ( )f t lorsque 0k → : ( ) ( )tft

k 0lim→

=δ

2.3. Pour comprendre la convolution Le produit de convolution permet, par exemple, d’obtenir la fonction de transfert d’un système en présentant à son entrée une impulsion de Dirac. De manière générale, on a ( ) ( ) ( )tethts *= . On montre que si ( ) ( )tte δ= , alors ( ) ( ) ( ) ( )thtthts == δ* . En effet,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )thdxxxthtthts ∫+∞

∞−

=−== δδ .*

Prenons le produit de convolution discret :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ieikhikeihkekhksii

..* ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−==

Passons par un filtre dérivateur : [ ] [ ] [ ]1−−= kekeks [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]110 −+= kehkehks Donc : [ ] 10 =h et [ ] 11 −=h Si : [ ] [ ]kdke = (Dirac discret) alors [ ] [ ]khks = alors [ ] [ ] [ ]1−−= kdkdkh : on retrouve bien les coefficients [ ] 10 =h et [ ] 11 −=h


3. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier 3.1. Définition Soit f la fonction T-périodique. Donc )()( TtftfIRt +=∈∀ D’après Fourier, tout signal périodique se décompose en somme infinie de sinusoïde.

On a alors : ))2sin()2cos(()(1

0 tT

nbtT

naatf nn

nππ

++= ∑+∞

=

Les na et nb sont appelés les coefficients de Fourier. 0a représente la valeur moyenne du signal sur une période.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∫

∫

∫

+

+

+

T

n

T

n

T

dttT

ntfT

b

dttT

ntfT

a

dttfT

a

α

α

α

α

α

α

π

π

)2sin()(2

)2cos()(2

)(10

Nous pouvons choisir la valeur de α arbitrairement, cela dit il serait intéressant de faire un choix judicieux.

En effet si 2T

−=α on est ramené à calculer une intégrale sur l’intervalle ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤−

2,

2TT . Or

comme la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, suivant la parité de f , les calculs s’avèrent simplifiés.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∫

∫

0

)2cos()(4

)(2

2

2

0

00

n

n

b

dttT

ntfT

a

dttfT

a

paireestfsiT

T

π

3.2. Deuxième forme d’écriture de la série de Fourier On peut aussi écrire la forme précédente de la manière suivante :

)2cos(()(1

0 nn

n tT

ndatf ϕπ++= ∑

+∞

=

avec ( )0arctan22 <+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+= n

n

nnnnn asi

ab

etbad πϕ

3.3. Écriture sous forme complexe Les coefficients de Fourier peuvent aussi s’écrire sous forme complexe. En effet si

2

22nn

n

bac

+= , on a : ∫

−=T nti

n dtetfT

c T

0

2

)(1 π

et 00 ac =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∫ 2

0

0

)2sin()(40

0

T

dttT

ntfT

b

a

a

impaireestfsi

n

n

π


Ou encore : ∑∑+∞

−∞=

+∞

=

=++=n

ntinn

nn

TectT

nbtT

naatfπππ 2

))2sin()2cos(()(1

0

Nous pouvons observer le spectre de ce signal (dans le domaine fréquentiel) à l’aide des coefficients de Fourier.

∑+∞

−∞=

−=n

n TnfcfS )(.)( δ

3.4. Quelques décompositions classiques

3.4.1. Signal carré

Soit f la fonction de période T définit par :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −∈−

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤∈

=

200

0,2

1

2,01

)(

Ttoutsi

Ttsi

Ttsi

tf

f étant une fonction impaire, 00 == aan et π

πn

bdttT

nT

bn

nn

T ))1(1.(2)2sin(4 2

0

−−=⇒= ∫

Par conséquent : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

+ π)12(4

0

12

2

pb

b

p

p

et )2)12sin((.)12(

4)(0

tT

nn

tfn

ππ

++

=∑+∞

=

Voici la représentation de ce signal dans le domaine temporel (par exemple pour T=2) :

courbe rouge : n=2 courbe Bleu : n=8


On constate très clairement que plus on ajoute des harmoniques au signal, plus on se rapproche du signal carré que l’on souhaite obtenir. Voici la représentation du signal dans le domaine fréquentielle (toujours pour T=2) :

Nous obtenons bien, pour ce signal, un spectre discret qui prend la valeur de chaque coefficient de Fourier pour f=n/T. Nous pouvons observer la fréquence fondamental du signal : f=1/2 Hz et les harmoniques qui décroissent en 1/n pour les coefficients impairs.

3.4.2. Signal triangulaire

Soit f la fonction de période T définit par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈−

=0,

221

2,021

)(Ttsit

T

TtsitT

tf



f est paire donc, 0=nb , ∫ =−= 2

00 21)21(2 T

dttTT

a et ∫ −= 2

0)2cos()21(4 T

dttT

ntTT

anπ

En intégrant par parties, on obtient le résultat suivant : 22

))1(1.(2πn

an

n−−

=

Par conséquent : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

+ 2212

2

)12(4

0

πpa

a

p

p

et )2)12cos((.)12(

421)(

022 t

Tn

ntf

n

ππ

++

+= ∑+∞

=

Voici la représentation de ce signal dans le domaine temporel (par exemple pour T=2) :

Nous pouvons constater que la série converge très rapidement. En effet avec

seulement une dizaine d’harmoniques, la fonction se confond avec la fonction triangulaire que l’on souhaitait obtenir. Voici la représentation du signal dans le domaine fréquentiel (toujours pour T=2) :



Nous obtenons bien, pour ce signal, un spectre discret qui prend la valeur de chaque

coefficient de Fourier pour f=n/T. Nous pouvons observer la fréquence fondamentale du signal : f=1/2 Hz et les harmoniques qui décroissent en 1/n² pour les coefficients impairs. On remarque également que pour la fréquence f=0 Hz la composante continue est bien représentée (a0=1/2). 3.5. Identité de Parseval L’identité de Parseval nous donne :

( )∫ ∑∑

+ ∞+

=

∞+

∞−

++==

T

n

nnn

baacdttfT

α

α1

222

0

22

2)(1

3.5.1. Signal carré

On a : ∫ ∑+∞

= +==2

00

22 )12(412 T

n ndt

T π avec T=2

On constate bien que lorsqu’on n grandi, on se rapproche de plus en plus de la valeur recherchée : 1 ici.

3.5.2. Signal triangulaire

On a : ∫ ∑+∞

= ++==−2

00

442

)12(8

41

31)21(2 T

n ndtt

TT π avec T=2

De la même façon que précédemment, la série converge beaucoup plus rapidement que pour le signal carré.


4. Calcul d’une transformée de Fourier (signaux non-périodiques) 4.1.Définition

On appelle Transformée de Fourier de x la fonction CIRX →: définie par :

∫+∞

∞−

−=∈∀ dtetxfXIRf tfiπ2)()(,

De la même façon que précédemment, nous pouvons simplifier ces intégrales en fonction de la parité de la fonction x.

∫+∞

=0

)2cos()(2)( dttftxfXpaireestxsi π

Nous pouvons faire établir un lien entre la transformée et la série de Fourier. En effet on peut la voir comme le cas limite de la série de Fourier. Si l’on considère la fonction x T-périodique

sur l’intervalle [-T,T] que l’on cherche à décomposer en harmoniques de la forme )2cos( tT

n π

et )2sin( tT

n π , lorsque T tend vers +∞ on est amené à remplacer le paramètre discret n par un

paramètre f continu appartenant à IR. 4.2. Quelques décompositions classiques

4.2.1. Transformée de Fourier d’une porte carrée

Soit x la fonction définit par : ⎪⎩

⎪⎨

⎧⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −∈

=ailleurs

TTtsitx

04

,4

1)(

x est une fonction paire donc ∫∫ ==∞+

400

)2cos(2)2cos()(2)(T

dttfdttftxfX ππ

d’où )2

(sin.2

)2

sin()( TfcT

f

TffX π

π

π==

Voici le spectre de ce signal avec T=2 :

∫+∞

−=0

)2sin()(2)( dttftxifXimpaireestxsi π


4.2.2. Transformée de Fourier d’une porte triangulaire

Soit x la fonction définit par :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈−

=

ailleurs

TtsitT

TtsitT

tx

0

0,2

21

2,021

)(

x est une fonction paire donc ( ) ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

∞+2

00)2cos(212)2cos()(2

T

dttftT

dttftxfX ππ

en intégrant par parties on obtient : ( ) )2

(sin.2

)2

(sin2 2222

TfcTTffT

fX πππ

==

Voici le spectre d’un signal triangulaire T-périodique avec T=2 :


Le spectre de cette porte triangulaire tend très vite vers 0, les lobs secondaires « s’écrasent » très rapidement. 4.3. Propriétés de la transformée de Fourier

4.3.1. Linéarité, symétrie : ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]).. tyFtxFtytxF µλµλ +=+

4.3.2. Retard : ( )[ ] ( )[ ]txFetxF jfτπτ 2−=−

4.3.3. Transformation d’une convolution : ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tyFtxFtytxF ⋅=*

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]tyFtxFtdetydex

ddtetyxdtyxFtytxF

tjfjf

jft

⋅=−−=

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

∫∫

∫ ∫∫∞+

∞−

−−∞+

∞−

−

+∞

∞−

+∞

∞−

−+∞

∞−

θθθθ

θθθθθθ

θπθπ

π

22

2

.

*

4.3.4. Dérivation, intégration :

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]txFjftxF mm π2= ; ( ) ( )[ ] ( )[ ]m

mm

dftxFdtxjtF =− π2

4.3.5. Transformation d’un produit, modulation : ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tyFtxFtytxF *=⋅

4.3.6. Facteur d’échelle :

( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=αα

α fXtxF 1

4.4. Calcul d’une transformée de Fourier inverse On a la formule suivante :

∫+∞

∞−= dfefXtx tfiπ2)()(


5. Transformée de Laplace

- But : Étude fréquentielle d’un signal continu. - C’est une fonction complexe d’une variable complexe p

5.1. Définition de la transformée de Laplace

0( ) ( ). .ptF p f t e dt

+∞−= ∫

Remarque : L n’exploite que la partie du signal correspondant à 0t > . Généralement, L n’est utilisée que pour des signaux causaux.

( ) 0, 0f t t= ≤Signal causal

( )f t

t Utilisé en Automatique : Instant initial : 0t = Hypothèse : Le système est initialement au repos (naturellement ou par changement de variable). Existence : Maths, convergence de Laplace. Tous les signaux réels ont une transformation de Laplace. Théorème : Si ( ) . tx t A eα≤ alors sa transformée de Laplace existe si ( )Re p α> Notation : - L = transformée de Laplace - ( )F p = transformée de Laplace de ( )f t 5.2. Propriétés de la transformée de Laplace

5.2.1. Linéarité : La linéarité rend très bien adapté à l’étude des équations linéaires.

( ) ( )[ ] ( ) ( )pGpFtgtfL ⋅+⋅=⋅+⋅ µλµλ

5.2.2. Retard :

( ) ( )f t f tτ

τ⎯⎯⎯⎯⎯→ −retard d'unedurée


( )f t

t

( )f t τ−

tτ

[ ] {( ) . ( )pL f t e F pττ −− =Opérationde retard

5.2.3. Convolution :

[ ]( ) * ( ) ( ). ( )L f t g t F p G p=

5.2.4. Dérivation :

( ) . ( ) ( 0)df tL f tp F pdt

− =⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ 14243Conditioninitiale

En automatique on considère très souvent les conditions initiales nulles. Il est beaucoup plus simple de dériver ou d’intégrer dans l’espace de Laplace que dans l’espace temporel, surtout si on se ramène à l’hypothèse : . . 0C I = Dérivation : Multiplication par p . Intégration : Division par p .

5.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale :

Théorème de la valeur initiale : [ ]0

lim ( ) lim . ( )t p

f t p F p→ →+∞

=

Théorème de la valeur finale : [ ]0

lim ( ) lim . ( )t p

f t p F p→+∞ →

=

Remarque : Le théorème de la valeur finale procure en automatique très facilement le régime permanent.


( )f t

t

Réponse typique

Solution appliquée à t=0

Théorème de la valeur finale

Régime permanent

Grâce au théorème de la valeur finale, on peut obtenir très facilement la réponse à une solution au bout d’un certain temps. 5.3. Transformées de Laplace usuelles

5.3.1. L’impulsion de Dirac :

( ) 1t ptζ

5.3.2. L’échelon de Heaviside :

1( )

t p

u tp

5.3.3. La rampe unitaire :

2

1. ( )

t p

t u t prampe unitaire

5.3.4. L’exponentiel complexe :

. ( )1

at

t pe u ta

p a

−

+ réel ou

complexe

Remarque : 04 23 2 1

a=⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→dérivation dérivation

Les dérivations sont bien des multiplications par p

∆

t

1

∆

t

1


5.4. Transformée de Laplace inverse

5.4.1.Définition

1( ) . lim ( ) .2

jRpt

R jRx t X p e dp

j

τ

τπ

+

→+∞ −= ∫

1

( ) ( )

( ) ( )

L

L

x t X p

X p x t−

⎯⎯→

⎯⎯→

Cette relation théorique est rarement utilisée La méthode la plus utilisée pour calculer 1L− est la décomposition en éléments simples.

5.4.2. Exemple

[ ]

2

2 3

1

1( )( 1)

( ) ( )

p pX pp p

L X p X p−

+ +=

+

Calculer ,cad l'integrale de

On sait que ( )F p peut se décomposer en éléments simples :

2 3 2( )( 1) ( 1) 1

A B C D EX pp p p p p

= + + + ++ + +

- On multiplie par 2p les deux membres, puis on fait 0p = :

1A =

- On multiplie par 3( 1)p + les deux membres, puis on fait 1p = − :

1C = - On multiplie par p puis on fait p →∞ :

0B E+ = - Si on est à court de formules, on peut donner n’importe quelle valeur à p :

Avec 1p = : 3

8 4 2 8C D EA B+ + + + =

On suppose qu’on a trouvé :

1

2 3 2

2

1 2 1 1 2( )( 1) ( 1) 1

( ) 2 . . 2. . ( )2

L t t t

X pp p p p p

tx t t e t e e u t− − − −

−= + + + +

+ + +

⎛ ⎞⎯⎯→ = − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

1( )

1. ( )

1. ( )at

t p

u tp

t u tp

e u tp a

−

+


5.5. Exemple d’application de la transformée de Laplace

e(t)

Rg

C

R Vs(t)

On donne ( )e t :

t

1

( )e t

1) Calculer la transformée de Laplace de ( )e t On s’intéresse d’abord à une période du signal :

t

1

( )h t

On calcule d’abord [ ]( ) ( )H p L h t= puis on peut en déduire ( )E p

1( )h t

2 ( )h t

3( )h t

t

t

t

2

1 1.10 p

102

2 1. .10

pep

−−

202

1 1. .10

pep

−


( ){

210

10 202

1 1( ) . 1 210 p

p p

e

H p e ep

−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )210

2

1( )

10

peH p

p

−−=

Pour passer du signal sur une période ( )h t au signal global ( )e t on utilise le théorème du retard.

1( )h t

2 ( )h t

3( )h t

t

t

t40

10

20

( )h t

( 20)h t −

( 40)h t −

( )

20 40

20 40

20

10 2

( ) ( ) ( 20) ( 40)( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

1( ) ( )1

1( )

L p p

p p

p

p

e t h t h t h tE p H p e H p e H p

E p H p e e

E p H pe

eE p

− −

− −

−

−

= + − + − +

⎯⎯→ = + + +

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

=−

−=

L

L

L

( )2 101 10 pep −− ( )( )( )

10

10

2 10

1

1( )

10 1

p

p

p

e

eE p

p e

−

−

−

+

−=

+

2)

( )e t ( )sV t

On a un pont diviseur en tension :

12 11

1

nn xx x x

x

+−+ + + + =

−L

2 11 11

nx x x xx

< + + + + =−

LSi :


Rg

C

R Vs(t)

( )e t

( ) ( )Le t E p⎯⎯→

( )( )

( )( ) ( ) ( )pG

pZpZpZ

pEpVS =

+=

21

2

Avec : ( )Cp

RpZ g1

1 +=

( ) RpZ =2

( )G p du circuit est :

( )

( )( ) 1( )

( )1

s

g

V p RG pE p R R

Cp

RCpG pR R Cpg

= =+ +

=+ +

Fonction de transfert du circuit

3) On suppose : ( ) sCRR g 1=⋅+

Représenter la tension de sortie ( )sV t

( )E p ( ) ( ). ( )sV p E p G p=( )G p

10

2 10

( )

1 1( ) . .10 1 1

p

s p

E p

e RCPV pp e p

−

−

−=

+ +

( ) ( ) p

pp

s eee

ppRCpV 20

2010

121

11

10 −

−−

−+−

⋅+

⋅= (( )

10 20

20

( )

1 1 2 .( ) . .10 1 1

p p

s p

X p

RC e eV pp p e

− −

−

−=

+ −1442443

)

On pose ( ) ( )ppRCpX

+⋅=

11

10 et nous avons pris la forme non simplifié de ( )pE


On cherche [ ]1 ( )L X p−

( )1 1 1( ) .

10 1 10 1RC RCX p

p p p p⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )( ) 1 ( )10

tRCx t e u t−= −

( )x t

t

10RC

Soit ( ) ( ) ( )pp eepp

RCpN 20102111

10−− +−⋅

+⋅= (

( ) ( )10 20

( )

1( ) . 1 2 .10 1

p p

X p

RCN p e ep p

− −= −+

1442443

)

( ) ( ) ( )pp eepXpN 201021 −− +−⋅= ( ( )10 20( ) ( ) 1 2 .p pN p X p e e− −= − ) 10 20( ) ( ) 2 . ( ) . ( )p pN p X p e X p e X p− −= − + ( ) ( ) 2 ( 10) ( 20)n t x t x t x t= − − + −

( )x t

t

t

10RC

2 ( 10)x t− −

210RC−

t

t

( 20)x t −


( )x t

t

10RC

10RC−

Puisque nxxx

xalorsxsi ++++=

−< ...1

111 2 ,

alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pnppp etnetnetntn

etntVs 204020

20 ......1

1. −−−− ++++=

−=

( )sV t

t

( )tn


6. EXERCICES 6.1. Exemple de transformée de Fourier

T.Fourier de ( ) ( )Tttx π2cos1+= : ( ) ( ) ( ) ( )( )TfTfffX 1121 ++−+= δδδ

TFde ( ) ( ) ( )tstxty .= : ( ) ( ) ( )fSfXfY *= ( ) ( ) ( )( )TfSTfSfS 1121 ++−+=

6.2. Exemple de convolution Soit le système linéaire causal à temps continu constitué par la mise en série de 2 sous-systèmes de même réponse impulsionnelle :

1. Quelle est la durée de la réponse impulsionnelle globale ( )th Déterminer ( )th puis le réponse indicielle.

2. Calculer la ( )[ ]thTF à partir de la relation de convolution. 6.3. Comparaison entre produit de convolution et domaine de Laplace

Prenons un circuit RC :

On montre que ( ) RCt

eRC

th−

=1 pour 0≥t ( ( ) 0=th pour 0<t car le système est causal)

D’où ( ) ( )∫∞

−−=

0

1 θθθ

dtxeRC

ty RC

En particulier, pour ( )tx pris pour un échelon de Heaviside :

( ) RCtt

RC edeRC

ty−−

−== ∫ 11

0

θθ

pour 0≥t

On retrouve bien par cette méthode utilisant la convolution (et la transformée de Laplace pour obtenir ( )th ) un résultat calculable à l’aide d’une équation différentielle du premier ordre

découlant de la relation instantanée du condensateur dt

duCi c

c = .

x(t) y(t) R

C

A B

M


7. ANNEXE 7.1. Transformées usuelles de Fourier

Image symbolique Image temporelle

)( fδ 1

1 Dirac : )(tδ

)( 0ff −δ tfe 02π

02 tfe π− Retard : )( 0tt −δ

( ) ( )fj

nn

δπ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

21

nt

( )nfjπ2 ( ) ( )tnδ

[ ])()(21

00 ffff ++− δδ ( )tf02cos π

[ ])()(21

00 ffffj

+−− δδ ( )tf02sin π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛f

Pfj

11π

)sgn(t

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

fPf

jf 1

21

21

πδ Heaviside : )(tr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2sin

22

sin00

0

Tfc

Tf

Tf

ππ

π

Porte unitaire carré de longueur 20T

centré sur 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2sin

22sin2 02002

220

Tfc

TTf

fTππ

π Porte unitaire triangulaire de longueur 0T centré

sur 0


7.2. Transformées usuelles de Laplace

Image symbolique Image temporelle de fonctions causales

p1

Échelon : )(tr

1

Dirac : )(tδ

2

1p

Rampe : )(trt ⋅

ap +1

atetr −)(

22 ωω+p

( )ttr ωsin)(

22 ωω−p

( )ttr ωsinh)(

( ) 22 ωω

++ ap

( )tetr at ωsin)( −

22 ω+pp

( )ttr ωcos)(

22 ω−pp

( )ttr ωcosh)(

( ) 22 ω+++

apap

( )tetr at ωcos)( −

1

!+np

n

nttr )(

( )pp τ+11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−τt

etr 1)(

( )2

1ap +

atettr −)(

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