MIC4220, Traitement numérique des signaux Objectifs d ...

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MIC4220, Traitement numérique des signaux

Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources 1

Échantillonnage, reconstruction et les systèmes numériques



Objectifs d’apprentissage Après ce cours vous serez en mesure:

• Décrire le procédé de conversion des signaux analogiques en signaux à temps échantillonné

• Énumérer des facteurs limitant la qualité de la conversion

• Expliquer comment on reconstruit un signal analogique à partir de données à temps échantillonné

• Si vous ne le savez pas déjà (MIC3220) :

– Représenter les séquences à temps échantillonné courantes

– Décrire les propriétés d’un système linéaire et invariant dans le temps (LIT)

– Calculer la réponse impulsionnelle d’un système LIT à temps échantillonné et vérifier sa stabilité

– Calculer un convolution numérique de trois façons différentes

2



Schéma système

Pré‐traitement CPU

Post‐traitement CAN CNA s(t) y(t)

ks ky )kT(y e)kT(s e

P o r t

P o r t

Temps et amplitude continus

Temps échantillonné (discret), amplitude continue

CAN: Convertisseur Analogique‐Numérique CNA: Convertisseur Numérique‐Analogique

Temps et amplitude discrets (signal numérique)



Échantillonnage du signal

1

Temps Te

Pré‐traitement )kT(s e

Te

• Fait par un commutateur ouvert régulièrement (multiplication par un peigne d’impulsions)

• En pratique réalisé par un échantillonneur‐bloqueur piloté par une onde carrée

s(t)

Échantillonneur‐bloqueur

3



Équations d’échantillonnage

• Dans le temps:

• En fréquence:

• L’échantillonnage du signal continu rend son spectre de fréquences périodique!

0

)(k

ee kTttxtptxtxtx

ee

eee

ee

ne

es

ffXT

ffXT

fXT

ffXT

nffXT

fX

fX

21111

1

)(



Évolution du signal

Pré‐traitement

CPU

Post‐traitement

Te

CAN CNA s(t) y(t)

ks ky )kT(y e)()( ee kTsts

P o r t

P o r t

-2e

S()

m -m

Se ()

m -m e 2e -e

Y()

m -m -2e m -m e 2e -e

)(ˆ)(ˆ00 iSiY

m -m

)(ˆ Y

4



Effets indésirables

• Périodes isolées : recouvrement de la première période possible

• Intersection de périodes : recouvrement de la première période impossible

• Toute composante de fréquence f ≥ fe /2 dans le spectre initial se voit ajouter un alias de fréquence fe‐f dans le spectre recouvert



Théorème Nyquist-Shannon

• La fréquence d'échantillonnage doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans le signal à temps continu, pour que la forme à temps échantillonnée du signal soit équivalent à la forme originale.

2

5



Temps continu à discret

• Comment éviter les alias?

– Utiliser un filtre qui élimine les composantes de fréquence fe/2 avant l’échantillonnage

• Doit être analogique

• La fréquence de coupure doit être fe/2 • Le gain dans la bande d’arrêt doit être inférieur à la résolution du systèmes (signal résiduel )

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

01.6 3.1 4.7 6.3 7.9 9.4 11

12.6

14.1

15.7

17.3

18.8

Series2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

01.6 3.1 4.7 6.3 7.9 9.4 11

12.6

14.1

15.7

17.3

18.8

Series1 Series2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

01.6 3.1 4.7 6.3 7.9 9.4 11

12.6

14.1

15.7

17.3

18.8

Series1 Series2 Series3

n

Q

2

1

2



Filtre anti-alias

• Utiliser fe=2fmax peut demander un filtre d’ordre très grand si on veut rejeter le bruit dans la bande d’arrêt – Ex. : pour rapport de 80 dB entre la bande passante et la bande d’arrêt, un

filtre elliptique d’ordre 8 est requis pour fe=2fmax

• Utiliser fe >> 2fmax si possible

Tiré de EDN, numéro du 23/11/2006

6



Exemple de filtre anti-alias

• Filtre Butterworth de 2ième ordre:

21.4141 2 2

1

1 1 1

En fonction de C2:

1.41422

12

Vin VoR1

C2

R2

C1R R

C f c1 2

2

1 4142

2

.

b gC

R R C f c

1

1 2 2

2

1

2

b g

C2Choose

Topologie de Sallen et Key



Quantification

• La transformation du signal par le CAN quantifie son amplitude suivant une échelle de valeurs entières

• La précision obtenue (résolution) dépend du nombre de bits (n)

n

VVQ

2minmax Q

7



• L’effet de quantifier le signal en format binaire peut être interprété comme l’ajout d’un bruit qui « arrondit » ses valeurs

Bruit de quantification

Haut : Conversion de tension continue à discrète

Bas : Bruit de quantification correspondant



Bruit de quantification • On peut modeler le bruit de quantification par un

signal aléatoire q(t) uniformément réparti entre

– La variance (puissance) du bruit est alors

– Et le rapport signal‐sur‐bruit pour un signal x(t) donné est : ( étant la puissance du signal)

2e

2

Qt

Q

n

refq

VQtqE

2

2222

2312)]([

2

2

10log10SNRq

x

σ

σ

Δ

Output

Input

)(tq

)(tqe

8



Bruit de quantification

• EN termes de valeurs efficaces (rms), le rapport SNR devient:

10.79 20 log

• En pratique, le rapport signal/bruit peut être calculé avec:

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

1

N

nq

N

nN

nq

N

n

ne

nx

neN

nxN

SNR



Bruit de quantification • Pour un signal sinusoïdal d’amplitude 1, et Vrms = 0.7 V et le rapport signal‐sur bruit est:

• Pour un signal gaussien avec =0 et on a

• Dans les deux cas, l’ajout d’un bit de résolution augmente le rapport de 6dB

• Multiplier le signal par modifie sa variance à

8.16nSNR(dB)

22x

α20logK20log10.86nSNR 1010A/D

K20log10.86n(dB)SNR 10A/D xref KV

Example 1

Example 2

9



Longueur de mots

• Considérer un signal continu converti par un CAN de b bits :

– Si les valeurs discrètes obtenues sont emmagasinées dans une mémoire de M bits, M<b, une erreur de représentation est introduite.

– Les b‐M bits de poids faible de chaque mot sont perdus.

– La gamme d’amplitudes couverte par l’erreur de troncation, est donnée par

– L’erreur se répercute sur les calculs subséquents

• Illustration (http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/quantization.html)

t

bMt 22||0



Temps discret à continu

• Problème : comment faire passer une courbe continue à travers une séquence de points ?

Si f0 < ½ fe , alors Peut être converti en

(Th. d’échantillonnage)

• Comment mettre en œuvre la solution ?

2cos][ 0 nTfA ny e

2cos)( 0 tfA ty

1 2

3 4 5 6 7 n

10



Temps discret à continu • En théorie, on peut récupérer le spectre du signal original en multipliant Se() par un rectangle qui isole la première période

)(H)(S)(S e e

mm

me

T

2,

2/,0

2/,T)(H

k

me

k

eme

mmee

kee

ktsinckTs

kTtckTs

tsincTkTtkTsthtsts

2)(

2sin)(

22)()()()()(

où

et

• La fonction sinc requise est de durée infinie !



Temps discret à continu • Solution : interpoler les valeurs intermédiaires à partir des valeurs connues

• Ex. : Calculer f(1.5) Mémoire d’ordre 0 : Étirer la valeur f(1)

=> f(1.5) = 1.0 (“marches d’escalier”)

Interpolation linéaire (mémoire d’ordre 1) : prendre la moyenne des deux points voisins => f(1.5) = 2.5

Interpolation quadratique (mémoire d’ordre 2) : Trouver une parabole qui passe par trois points

voisins => f(1.5) = 2.25

x f(x) 0 0.0 1 1.0 2 4.0 3 9.0

x

0 1 2 3

1

4

9

11



Reconstruction d’ordre 0

.

Exemples tirés du site web du livre DSP First



Reconstruction linéaire


12



Reconstruction par sinc




Temps discret à continu

• La solution pratique revient donc à faire passer les points par un filtre qui va les “étirer” :

y[n] : séquence à convertir en un signal à temps continu proche de y(t)

p(t) : typiquement une impulsion de durée finie, et de forme rectangulaire, triangulaire, parabolique, sinc, etc.

n

e nTtpnyty ) ( ][)(~

• Les impulsions successives se coupent si elles durent plus que Te

• Elles sont généralement d’amplitude ou de surface =1

t 1

p(t)

-½ Te ½ Te

t

0

1

t 1

p(t)

1 sinc(x)

-Te Te 0

-½ Te ½ Te -Te Te

Par(t)

0 -½ Te ½ Te -Te Te

0 -½ Te ½ Te -Te Te

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Comparaison

• Impulsion rectangulaire – Facile à mettre en œuvre

– La transformée de Fourier est une fonction sinc (bande passante infinie)

• Impulsion triangulaire

– Relativement facile à mettre en œuvre

– La transformée de Fourier est une fonction sinc2 (bande passante infinie)

• Impulsion sinc

– Forme tronquée de celle prévue par le théorème d’échantillonnage (durée 4Te)

– La transformée de Fourier de la version idéale est un rectangle de largeur fe (b. p. finie), celle de la version tronquée à une b. p. infinie !

t

1 p(t)

-½ Ts ½ Ts

t

1 p(t)

-Ts Ts

0

1

x

sinc(x)=sin(x)/x



Un meilleur sinc • Les conséquences de tronquer la fonction sinc sur la bande

passante peuvent être réduites en la multipliant par une fonction de correction

• Ex: cosinus surélevé

W =fe

[0, 1] facteur d’écrasement

Passages par 0 à t = Ts , 2 Ts , …

222 161

2cos

sinc )(

tW

tW

T

ttp

s

sinc idéal Attenuation par 1/t2 pour réduire les lobes

14



Un meilleur sinc Bande passante : (1 + ) W = 2 W – f1

f1 : f où on commence la transition vers 0

otherwise0

2 || if2 2

||sin1

4W

1

|| 0 if2W

1

)( 111

1

fWfffW

Wf

ff

fP

sTW

2

1

W

f11

f1



Reconstruction du signal

y t( )

t t

y ts ( )

T

Digital Signal

y n( )

Anti-imagefilter

n

y n( )

y ts ( )y t( )

HoldCircuit

Equalizer

t

y tH ( )

T

y tH ( )

H se

sh

sT

( ) 1

DAC

sin( )% distortion 1 100%

fT

fT

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Paramètres importants du CAN •Architecture

•Résolution

•Temps de conversion

•Rapport signal/bruit

•Type d’entrée

(unipolaire/Différentielle)

•Temps d’ouverture « aperture

time » et variation de (« jitter »)

•Temps de maintien («hold

time»)

•Type d’interface au DSP



Paramètres importants du CNA

• La résolution

• Temps d’établissement «settling

time» : temps entre le départ de

la transition et la nouvelle valeur

à la précision requise (0.5 LSB par

ex.)

• Le rapport signal/bruit

• Type d’interface au DSP

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Codecs • Tout sur une seule puce!



Systèmes Numériques

17



Notation

n

x[n]

x[0]

x[1]

x[6]

0 1 3 4 -1 -2 -3 6



Génération de signaux numériques

• On part d’une séquence analogique

– On évalue la séquence à des intervalles uniformément distribués (échantillonnage!)

|

∆

tptxtxs Train d’impulsions

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Séquences numériques courantes

• Impulsion

n

δ[n]

0 1 3 4 -1 -2 -3 6 2 5

1

1 00 0




• Échelon

n

u[n]

0 1 3 4 -1 -2 -3 6 2 5

1

1 00 0

19




• Échelon décalé

n

u[n-2]

0 1 3 4 -1 -2 -3 6 2 5

1

01 00 0



Séquences numériques courantes • Fonction sinusoïdale cos 2

20



Séquences numériques courantes • Fonction exponentielle ∝



Propriétés des systèmes numériques

• Linéaire

– Un système est linéaire s’il respecte le principe de superposition

L

1 1

2 2

1 2 1 2

21




• Invariant dans le temps

– La sortie ne dépend pas explicitement du temps

IT

1 1

2 1 0

2 1




• Causal

– La sortie est indépendante des valeurs à venir.

C

n’est pas fonction de ∙

Un système non‐causal ne peux pas être réalisé en temps réel!

22




• Stabilité

– Un système est considéré stable si pour chaque entrée bornée (limitée), il existe un signal de sortie bornée.

– Bounded‐input, Bounded‐output (BIBO)

S

| | ∞ lorsque | | ∞



Systèmes LIT

• Les systèmes linéaires invariant dans le temps (LIT) et causal peuvent être décrit sous la forme:

1 1 ⋯

0 1 1 ⋯

1 0

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Systèmes LIT

• Nécessite seulement 3 composants:

– Additionneurs

– Multiplicateurs

– Délais

+ 1

2

1 2

1 1

1 1 1

A

D



Systèmes LIT

• Réponse impulsionnelle h[n]:

– Sortie du système lorsque

et que les conditions initiales sont zéro.

– Décrit complètement un systèmes LIT!

∞

∞

24



Systèmes LIT

1 0



Exemple

Trouver la réponse impulsionnelle du système suivant (y[n] et x[n] =0 pour n<0) :

0,9 1

0,9 1

On remplace y[n] par h[n] et x[n] par δ[n]

0,9 1

25



Exemple

0,9 1

0 0,9 1 0 1 1 0,9 0 1 0,9 1 0,9 2 0,9 1 2 0,9 0,9 0,81 3 0,9 2 3 0,9 0,9 0,9 0,73

0,9

Est‐ce que le système est stable?



Stabilité et h[n]

• Lorsque l’on dispose de la réponse impulsionnelle, la stabilité peut être évaluer avec :

| |∞

∞

∞

26



Convolution numérique

• Sortie du système donnée par

• Convolution dans le domaine temporel

∗

• Peut‐être évalué de 3 façons: – Graphique

– Tableau

– Formule

∞

∞



Méthode graphique

0,9 4

x /4 4

h[n] x[n]

27



Méthode graphique • n=0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0




0 0 0 0 0 0 0 0,25 0 0 0 0 0 = 0,25

28




0 0 0 0 0 0 0 0,23 0,50 0 0 0 0 = 0,73




0 0 0 0 0 0 0 0,20 0,45 0,75 0 0 0 = 1,40

29




0 0 0 0 0 0 0 0,18 0,41 0,68 0 0 0 = 1,27




0 0 0 0 0 0 0 0 0,36 0,61 0 0 0 = 0,97

30




0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,55 0 0 0 = 0,55



Méthode graphique • n=7 et +

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0

31



Méthode du tableau

k ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6

x(k) 0,25 0,5 0,75

h(0‐k) 0,73 0,81 0,9 1 0

h(1‐k) 0,73 0,81 0,9 1 0,25

h(2‐k) 0,73 0,81 0,9 1 0,73

h(3‐k) 0,73 0,81 0,9 1 1,40

h(4‐k) 0,73 0,81 0,9 1 1,26

h(5‐k) 0,73 0,81 0,9 1 0,97

h(6‐k) 0,73 0,81 0,9 1 0,55

h(7‐k) 0,73 0,81 0,9 0



Convolution circulaire

• Équivalent de la convolution de 2 séquences périodique:

0 1

• Très utile pour calculer la transformée de Fourier discrète:

32



Propriétés de la convolution • Commutativité

– ∗ ∗

• Associativité – ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

• Distributivité par rapport à l'addition – ∗ ∗ ∗

• Élément neutre du produit de convolution : impulsion de Dirac – ∗

• Durée d'un signal issu du produit de convolution linéaire – Si x[n] est de durée N1 et h[n] de durée N2, alors x[n]*h[n] est de durée

N1+N2‐1



Combinaison de systèmes LIT

• En série:

1 2

1 ∗ 2

33



Combinaison de systèmes LIT

• En parallèle:

1

2

1 2

+



Sommaire • Échantillonnage

– Multiplication par un train dans le temps

– Convolution en fréquence

• Théorème Nyquist‐Shannon

• Erreur de quantification – Dépend du notre de bits

• Filtre de reconstruction idéal: sinc

• Séquences courantes: Impulsion, échelon, sinusoïdales, exponentiel

• Propriétés: Linéaire, invariant dans le temps, causal, stable

• Les LIT sont complètement décrit par lors réponse impulsionnelle

• Convolution numérique: Équation, graphique, tableau

2

2e

2

Qt

Q

34



Prochain cours • Problèmes

– 2.1, 2.5, 2.9, 2.13, 2.25, 2.29

– 3.5, 3.9, 3.10, 3.15, 3.19, 3.23, 3.27

• Lecture – Chapitre 4 et 5 de Li Tan

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