Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Angles et distances dans R2

Angles et distances dans R2

IntroductionDans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour déterminer :

• l’angle entre deux droites,

• la distance d’un point à une droite,

• le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de la droite.

Angle entre deux droites dans R2

Pour calculer l’angle entre deux droites dans R2, on doit déterminer des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.

S

Rappelons que l’angle entre deux droites est toujours le plus petit des deux. Il est donc compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre deux vecteurs est compris entre 0° et 180°.

On peut rencontrer différents cas.

Dans ces deux cas, l’angle entre les vecteurs est l’angle entre les droites. On a donc =

Vecteurs normaux faisant un angle aigu Vecteurs directeurs faisant un angle aigu Vecteurs normaux faisant un angle obtus Vecteurs directeurs faisant un angle obtus

L’angle entre les vecteurs est l’angle supplémentaire de celui entre les droites. On a donc = 180° –

Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle aigu Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle obtus

SS

Soit , l’angle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), l’angle entre les droites est donné par :

= , si 0° ≤ ≤ 90°

= 180° – , si 90° ≤ ≤ 180°

Pour obtenir directement l’angle (entre 0° et 90°), on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. SS

L’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu entre les vecteurs. On a donc = 90° –L’angle entre les droites est =– 90°

Dans les deux cas, l’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu obtenu en prenant la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. On prend ensuite = 90° –

Exemple 10.3.1Trouver l’angle entre les droites d’équation :

∆1 : 2x + 3y – 5 = 0

∆2 : 3x – 4y + 8 = 0

S

Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs normaux.

On a alors :

L’angle entre les droites est donc = 180 – ≈ 70,6°.

Les équations cartésiennes permettent de déterminer les vecteurs normaux :

= (2; 3) et = (3; –4)N1 N2

cos =

N1 N2•

N1 N2

= =6 – 1213 25 13 25

–6

D’où = arccos 13 25

–6≈ 109,4°

Angle entre deux droites dans R2

pour trouver l’angle entre deux droites dans R2

1. Déterminer des vecteurs, directeurs ou normaux aux droites.

2. Déterminer l’angle entre ces vecteurs.

3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les vecteurs.

Procédure

Si les vecteurs sont tous les deux normaux ou tous les deux directeurs :

Si l’un des vecteurs est normal à une des droites et l’autre est un vecteur directeur de la seconde droite :

• = , si 0° ≤ ≤ 90°

• = 180° – , si 90° ≤ ≤ 180°

• = 90° – , si 0° ≤ ≤ 90°

• = – 90°, si 90° ≤ ≤ 180°

ExerciceTrouver l’angle entre les droites d’équation :

S

Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés.

On a alors :

L’angle entre les droites est donc = ≈ 55,5°.

Les équations paramétriques permettent de déterminer les vecteurs directeurs :

= (3; –2) et = (5; 2)D1 D2

cos =

D1 D2•

D1 D2

= =15 – 4

13 29 13 29

11

D’où = arccos 13 29

11≈ 55,5°

∆1 :x = 4 + 3t

y = 4 – 2tet ∆2 :

x = –1 + 5s

y = 3 + 2s

ExerciceTrouver l’angle entre les droites d’équation :

S

Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés.

On a alors :

L’angle entre les droites est le complémentaire de celui entre les vecteurs, on a donc = 90° – ≈ 63,4°.

Les équations permettent de déterminer les vecteurs :

= (1; 3) et = (2; 2)N1 D2

cos =

N1 D2•

N1 D2

= =2 + 6

10 8 10 8

8

D’où = arccos 10 8

8≈ 26,6°

∆1 : x + 3y – 15 = 0 et ∆2 :x = 2 + 2t

y = 6 + 2t

Distances dans R2

Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur normal.

On détermine un point P sur la droite ainsi que le vecteur PQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur normal N.

Remarque

Dans la résolution des problèmes, il n’est pas indispensable de faire une représentation graphique aussi détaillée.

Distances dans R2

pour trouver la distance d’un point Q à une droite ∆ dans R2

1. Déterminer un vecteur normal à la droite.

2. Déterminer un point P de la droite.

3. Construire le vecteur allant du point P sur la droite au point Q dont on cherche la distance à la droite.

4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée.

Procédure

Exemple 10.3.2Trouver la distance du point Q(4; 7) à la droite d’équation :

∆ : 2x – 5y + 7 = 0

S

d(Q, ∆) =

La distance est donc d’environ 3,71 unités.

À partir de l’équation cartésienne, on obtient le vecteur normal :

= (2; –5)N

PQ N•

N= =

–10 – 10

4 + 25 29

20

En posant x = 9 dans l’équation, on trouve 18 – 5y + 7 = 0, d’où y = 5. Le point P(9; 5) est donc un point de la droite.

= (4; 7) – (9; 5) = (–5; 2). PQ = OQ – OP

La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne :

PQN = ≈ 3,71

On a alors :

ExerciceTrouver la distance du point Q(5; –4) à la droite d’équation :

∆ : 3x + 4y – 28 = 0

S

d(Q, ∆) =

La distance est donc de 5,8 unités.

À partir de l’équation cartésienne, on obtient le vecteur normal :

= (3; 4)N

PQ N•

N= =

15 – 44 29

5

En posant x = 0 dans l’équation, on trouve 4y – 28 = 0, d’où y = 7 Le point P(0; 7) est donc un point de la droite.

= (5; –4) – (0; 7) = (5; –11). PQ = OQ – OP

La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne :

PQN = = 5,8

On a alors :

25

Distances dans R2

Distance entre deux droites parallèles dont on connaît un vecteur normal.

On détermine un point P sur une des droites et un point Q sur l’autre. On détermine alors le vecteur PQ. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur N normal aux deux droites.

Exemple 10.3.3Trouver la distance entre les droites :

Sd(∆1, ∆2) =

La distance est donc d’environ 4,16 unités.

Les droites sont parallèles et ont comme vecteur directeur = (2; –3).D

PR N•

N= =

–3 – 12

9 + 4 13

15

= (7; –3) – (8; 3) = (–1; –6). PR = OR – OP

La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne :

PRN = ≈ 4,16

On a alors :

∆1 : et ∆2 :x – 8

2y – 3–3

=x = 7 + 2t

y = –3 – 3t

= (3; 2) est normal aux droites, puisque :

Le vecteur

D N• = 6 – 6 = 0.

N

Le point P(8; 3) est sur la droite ∆1 et le point R(7; –3) est sur la droite ∆2.

et le point R(0; 5) est sur la droite ∆2.

ExerciceTrouver la distance entre les droites :

Sd(∆1, ∆2) =

La distance est donc d’environ 9,15 unités.

Les droites sont parallèles et ont comme vecteur normal = (2; 3).N

PR N•

N= =

0 + 33

4 + 9 13

33

= (0; 5) – (0; –6) = (0; 11). PR = OR – OP

La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne :

PRN = ≈ 9,15

On a alors :

∆1 : 2x + 3y + 18 = 0 et ∆2 : 2x + 3y – 15 = 0

Le point P(0; –6) est sur la droite ∆1

Le point le plus près dans R2

Nous savons trouver la distance d’un point Q à une droite, mais comment déterminer le point de la droite qui est le plus proche de Q?

On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

Exemple 10.3.4Trouver le point de la droite ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P de la droite. En posant x = 2 dans l’équation de ∆, on obtient y = 3. Par conséquent, P(2; 3) est un point de ∆.

PR + RQ = PQ

La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (1; –2). On a donc RQ = b N.

Par l’addition vectorielle, on a :S

PR + b N = PQ

S

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne :

N • (PR + b N ) = N • PQ

N • PR + b ( N • N ) = N • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a N • PR = 0, et :

b N2 N • PQ =

Ce qui donne : 5b = (1; –2) • (2; 6) = 2 – 12 = –10 et b = – 2.

S

Sachant que b = –2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OQ + QR = OQ – RQ = OQ – (–2 N)

Cela donne :OR = (4; 9) + 2 (1; –2) = (6; 5)

Le point le plus rapproché est donc R(6; 5).

= OQ – b N

S

Remarque

Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point Q, il fallait se déplacer dans la même direction et le même sens que le vecteur normal et parcourir une distance qui est le double de la longueur du vecteur normal.

On remarque également que la distance qu’il faut parcourir pour aller de Q à R est la distance du point Q à la droite ∆.

Exemple 10.3.5Trouver le point de la droite ∆ :

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R.

La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (4; 2). On connaît déjà le point P(–1; 3) sur la droite ∆. On a donc PR = a D.

Par l’addition vectorielle, on a :

S

a D + RQ = PQ

S

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne :

D • (a D + RQ ) = D • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et :

Ce qui donne : 20a = (4; 2) • (8; –1) = 32 – 2 = 30 et a = 3/2.

S

le plus proche du point Q(7; 2).

x = –1 + 4ty = 3 + 2t

a ( D • D ) + D • RQ = D • PQ

Sa D D • PQ = 2

Sachant que a = 3/2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OP + PR

Cela donne :

Le point le plus rapproché est donc R(5; 6).

= OP + D 32

= (–1; 3) +32

(4; 2) = (5; 6)OR

Remarque

Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point

R à partir du point P, il fallait se déplacer dans la même direction et

le même sens que le vecteur directeur et parcourir une distance qui

est égale à 3/2 fois la longueur du vecteur directeur.

Le point le plus près dans R2

Approche vectorielle

pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une approche vectorielle.

1. Déterminer un point P quelconque sur la droite.

2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR :

3. Effectuer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le vecteur normal ou le vecteur directeur, selon le cas.

4. Déterminer la valeur du scalaire, a ou b, dans l’équation scalaire obtenue après avoir effectué ce produit.

5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché.

PR + RQ = PQ

a D + b N = PQ

Procédure

ExerciceTrouver le point de la droite ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P de la droite.

PR + RQ = PQ

La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (3; –2). On a donc RQ = b N.

Par l’addition vectorielle, on a : S

PR + b N = PQ

S

En posant y = 0 dans l’équation de ∆, on obtient x = 5. Par conséquent, P(5; 0) est un point de ∆.

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne :

N • (PR + b N ) = N • PQ

N • PR + b ( N • N ) = N • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a N • PR = 0, et :

b N 2 N • PQ =

Ce qui donne : 13b = (3; –2) • (–7; 9) = –21– 18 = –39 et b = – 3.S

Sachant que b = –3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OQ + QR = OQ – RQ = OQ – (–3 N)

Cela donne :OR = (–2; 9) + 3 (3; –2) = (7; 3)

Le point le plus rapproché est donc R(7; 3).

= OQ – b N

ExerciceTrouver le point de la droite ∆ :

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R.

PR + RQ = PQ

La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (3; –2). On connaît déjà le point P(–1; 9) sur la droite ∆. On a donc PR = a D.

Par l’addition vectorielle, on a :

S

a D + RQ = PQ

S

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne :

D • (a D + RQ ) = D • PQ

Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et :

a D2 D • PQ =

Ce qui donne : 13a = (3; –2) • (4; –7) = 12 + 14 = 26 et a = 2.

S

le plus proche du point Q(3; 2).

x = –1 + 3ty = 9 – 2t

a ( D • D ) + D • RQ = D • PQ

Sachant que a = 2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OP + PR

Cela donne :OR = (–1; 9) + 2 (3; –2) = (5; 5)

Le point le plus rapproché est donc R(5; 5).

= OP + 2 D

Le point le plus près dans R2

Intersection de lieux

Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne).

Le vecteur normal à ∆ est un vecteur direc-teur de la droite perpendiculaire à ∆ qui passe par le point Q.

On obtient une description paramétrique de la perpendiculaire et on peut déterminer le point de rencontre des deux droites.

Pour trouver le point de rencontre, il suffit de substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne pour déterminer la valeur du paramètre au point de rencontre. On substitue ensuite cette valeur dans les équations paramétriques pour obtenir les coordonnées du point.

Le point le plus près dans R2

Intersection de lieux

Le point d’une droite le plus près d’un point Q

hors de cette droite dont on connaît un vecteur

directeur (description paramétrique).

Le vecteur directeur de ∆ est un vecteur

normal à la droite perpendiculaire à ∆ qui

passe par le point Q.

On obtient une équation cartésienne de la perpendiculaire et on peut

déterminer le point de rencontre des deux droites.

Le point le plus près dans R2

Intersection de lieux

pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par l’intersection de lieux.

1. Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite ∆.

2. Substituer les équations paramétriques dans l’équation carté-sienne.

3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites.

4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

Procédure

Exemple 10.3.4

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

x = 4 + ty = 9 – 2t

(4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0

D’où : 4 + t – 18 + 4t + 4 = 0

Cela donne : 5 t – 10 = 0 et t = 2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 4 + 2 = 6y = 9 – 2 2 = 5

Le point le plus rapproché est donc R(6; 5).

(6; 5)

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∆.

Exemple 10.3.5Utiliser la méthode de l’intersection de lieux

pour trouver le point de ∆ :

(x – 7; y – 2) • (4; 2) = 0

le plus proche du point Q(7; 2).

x = –1 + 4ty = 3 + 2t

L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :

D’où : 4x – 28 + 2y – 4 = 0

Et : 4x + 2y – 32 = 0

En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :

SS

4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0

D’où : –4 + 16t + 6 + 4t – 32 = 0

Cela donne : 20 t – 30 = 0 et t = 3/2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :

x = –1 + 4(3/2) = 5y = 3 + 2(3/2) = 6

Le point le plus rapproché est donc R(5; 6).

(5; 6)

ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9).

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

x = –2 + 3ty = 9 – 2t

3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0

D’où : –6 + 9t – 18 + 4t – 15 = 0

Cela donne : 13t – 39 = 0 et t = 3

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = –2 + 3 3 = 7y = 9 – 2 3 = 3

Le point le plus rapproché est donc R(7; 3).

(7; 3)

ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux

pour trouver le point de ∆ :

(x – 3; y – 2) • (3; –2) = 0

le plus proche du point Q(3; 2).

x = –1 + 3ty = 9 – 2t

L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :

D’où : 3x – 9 – 2y + 4 = 0

Et : 3x – 2y – 5 = 0

En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :

SS

3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0

D’où : –3 + 9t – 18 + 4t – 5 = 0

Cela donne : 13t – 26 = 0 et t = 2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :

x = –1 + 3 2 = 5y = 9 – 2 2 = 5

Le point le plus rapproché est donc R(5; 5).

(5; 5)

Conclusion

À partir de l’équation ou des équations d’une droite, on peut

déterminer un vecteur normal ou un vecteur directeur.

En utilisant ces vecteurs, on peut déterminer :

• l’angle entre deux droites,

• la distance d’un point à une droite,

• la distance entre deux droites parallèles,

• le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de la droite.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 10.3, p.292-301.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.3, p.228-231.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 10.4, p. 301-303.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.4, p.239-242.