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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

LogarithmesLogarithmes

Introduction

Les logarithmes constituent un outil indispensable dans la résolution

d’équations exponentielles, c’est-à-dire d’équations dont l’inconnue

est en exposant. Le propos de cette section est d’introduire la notion

de logarithme et de l’utiliser dans la résolution d’équations

exponentielles.

Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les

logarithmes dans la résolution des équations exponentielles.

Cela nous amènera à définir la notion de fonction logarithmique et à

introduire des concepts fondés sur l’utilisation des logarithmes, soit

le calcul du pH et le temps de dédoublement d’une polpulation.

Croissance d’un capitalConsidérons à nouveau la situation du capital de 10 000 $ placé à un taux d’intérêt de 6 % capitalisé annuellement. Nous avons vu que le capital accumulé au cours des années pouvait être décrit par le modèle exponentiel :

C(n) = 10 000(1,06)n

Supposons qu’on désire savoir pendant combien de temps on doit placer cet argent pour doubler le capital. On cherche alors n tel que :

10 000 (1,06)n = 20 000

En divisant les deux membres de l’équation par 10 000, on obtient :

(1,06)n = 2

Une équation de cette forme est une équation exponentielle et, pour la résoudre, il faut déterminer la valeur de l’exposant n. Les procédures de résolution basées sur les propriétés de l’égalité et utilisées jusqu’à maintenant ne permettent pas de résoudre. Il faut développer un outil spécialement adapté à la résolution de ce type d’équations, les logarithmes.

Équation exponentielle

DÉFINITION

Équation exponentielle

Une équation exponentielle est une équation comportant une seule inconnue et dont l’inconnue est en exposant. La forme la plus simple d’équation exponentielle est la forme :

bx = N

où b > 0 et b ≠ 1. Dans cette expression, x est une inconnue, N et b sont des nombres réels positifs quelconques et b est la base de l’exponentielle.

Équation exponentiellePour résoudre une équation exponentielle de la forme bx = N, il faut trouver à quel exposant on doit élever la base b pour obtenir le nombre N.

2x = 32est une équation exponentielle et pour résoudre cette équation on doit trouver à quel exposant il faut élever 2 pour obtenir 32. Dans ce cas, on peut facilement exprimer le membre de droite de l’équation en base 2, ce qui donne :

Ainsi, l’équation :

2x = 25

Les deux membres de l’équation étant exprimés dans la même base, les exposants sont nécessairement égaux, on peut donc conclure que x = 5. La résolution d’une équation exponentielle n’est pas toujours aussi simple. Cependant, il faudra toujours pouvoir exprimer un nombre donné dans une base donnée élevée à un exposant qui est un nombre réel. Cet exposant sera appelé le logarithme dans la base 2 du nombre 32.

LogarithmeDÉFINITION

Logarithme en base b d’un nombre NSoit b ≠ 1 et N, deux nombres réels positifs. Alors, il existe un et un seul nombre réel n tel que bn = N. Le nombre n est appelé le logarithme en base b du nombre N. Ce qui s’écrit  :

n = logb N

Exemple 4.3.1Trouver le logarithme dans la base 3 de 81.

SS

On cherche log381, c’est-à-dire l’exposant auquel il faut élever le nombre 3 pour obtenir 81. On doit donc résoudre l’équation exponentielle :

3x = 81

En exprimant 81 en base 3, on obtient :

On trouve donc : log381 = 4

3x = 34

Bases de calculPour pouvoir effectuer des calculs logarithmiques, on doit connaître les logarithmes dans une base donnée. La calculatrice se révèle alors un outil très intéressant.

SS

Même si, théoriquement, tout nombre positif et différent de 1 peut servir de base d’un système de logarithmes, en pratique seulement deux bases sont utilisées pour effectuer des calculs logarithmiques, ce sont la base 10 et la base e = 2,71828... Les calculatrices effectuent directement les calculs dans ces bases.

Pour simplifier l’écriture, le logarithme en base 10 d’un nombre N est noté log N et le logarithme en base e d’un nombre N est noté ln N. Ainsi, log 3 est le logarithme en base 10 du nombre 3, c’est-à-dire l’exposant qu’il faut donner à 10 pour obtenir le nombre 3, alors que ln 3 est le logarithme en base e du nombre 3.

Exemple 4.3.2Exprimer le nombre 2,8 en base 10.

S

Pour exprimer 2,8 en base 10, on doit trouver l’exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir 2,8. On cherche donc x tel que :

10x = 2,8

La définition de logarithme permet d’écrire cette équation sous forme logarithmique. L’exposant cherché étant le logarithme en base 10 de 2,8, on cherche donc x tel que :

x = log 2,8

On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve :

x = log 2,8 = 0,447158...

On peut maintenant exprimer 2,8 en base 10 en posant :

2,8 = 100,447158...

Exemple 4.3.3Exprimer le nombre 7,3 en base e.

S

Pour exprimer 7,3 en base e, on doit trouver l’exposant auquel il faut élever e pour obtenir 7,3, soit la valeur de x pour laquelle :

ex = 7,3

La définition de logarithme permet d’écrire cette équation sous forme logarithmique. L’exposant cherché étant le logarithme en base e de 7,3, on cherche donc x tel que :

x = ln 7,3

On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve :

x = ln 7,3 = 1,98787...

On peut maintenant exprimer 7,3 en base 2 en posant :

7,3 = e1,98787...

Exemple 4.3.4

Soit N, un nombre réel tel que logbN = 3, trouver logbN2.

S

Par hypothèse, logbN = 3. On a alors :

N = b3

En élevant les deux membres de l’équation à l’exposant 2, on obtient :

N2 = (b3)2

Par les propriétés des exposants, on a :

N2 = b6

En écrivant cette équation sous forme logarithmique, on obtient :

logbN2 = 6

Expression affectée d’un exposantOn peut généraliser le résultat de l’exemple précédent de la façon suivante. Considérons un nombre N dont le logarithme en base b est n. On a alors :

logbN = n N = bn,

en exprimant sous forme exponentielle;

Np = (bn)p =bnp,

en élevant à l’exposant p;

Np = bnp,

par commutativité de la multiplication ;

logbNp = pn,

en exprimant sous forme logarithmique.

On obtient donc la propriété suivante :

logbNp = p logbN

que nous considérons comme un théorème.

Exemple 4.3.5Résoudre l’équation exponentielle suivante :

S

Pour résoudre cette équation, il faut utiliser une base de calcul. En utilisant la base 10, on a alors :

3x = 24

3x = 24 log 3x = log 24, x log 3 = log 24,

par la propriété logbNp = p logbN;

en divisant les deux membres par log 3;

par calculatrice.

REMARQUEOn parvient au même résultat en utilisant la base e. En effet, en prenant le logarithme en base e des deux membres de l’équation exponentielle, on obtient :

x =

log 24

log 3,

x =

1,3802...

0,4771...= 2,8927…,

3,1780...

1,0986...= 2,8927… x =

ln 24

ln 3=

S

SS

Changement de baseConsidérons les expressions équivalentes

En prenant le logarithme en base b des deux membres de l’expression exponentielle, on obtient :

an = N n = logaN

an = N logban = logbN, n logba = logbN,

par la propriété logbNp = p logbN;

en isolant n dans l’équation;

puisque n = logaN.

Ce résultat est appelé théorème de changement de base.

n =

logb N

logb a,

logaN =

logb N

logb a,

Soit a et b, deux nombres réels positifs et différents de 1, et N, un nombre réel positif (ou une expression algébrique), alors :

logaN =logb N

logb a

Exemple 4.3.6

On place un montant de 5 000 $ à un taux d’intérêt de 9 % capitalisé annuellement. Déterminer dans combien de temps le capital aura doublé.

S

Le modèle est C(n) = 5 000 (1,09)n. Le temps nécessaire pour doubler le capital est le temps n pour lequel :

5 000 (1,09)n = 10 000

d’où : (1,09)n = 2, en divisant les deux membres par 5 000.

Cela donne :

À ce taux, le capital aura doublé dans huit ans.

n = log1,09 2 = log 2

log 1,09 = 8,04

Propriétés

1. MN = bmbn = bm + n

Propriétés des exposants

Propriétés des logarithmes

1. logbMN = logbM + logbN

3. Mp = (bm)p = bpm 3. logbMp = p logbM

4. b0 = 1 4. logb1 = 0

5. b1 = b 5. logbb = 1

2. logb

M

N= logbM – logbN

Pour tout m, n et p et pour tout b et aR

6. an bn = (ab)n 7. an bn =

a b

n

Autres propriétés des exposants

8. b–n = 1 bn , si b ≠ 0. 9. b1/n = , sauf si b < 0 et n pair. bn

10. bm/n = , sauf si b < 0 et n pair. bmn bn = m

bm

bn

M

N 2. = bm – n =

Équation logarithmiqueDÉFINITION

Équation logarithmique

Une équation logarithmique est une équation qui comporte le logarithme d’une inconnue. Pour résoudre une telle équation, on se sert de l’équivalence suivante :

logbN = n si et seulement si bn = N

Pour utiliser l’équivalence qui permet d’écrire une équation logarithmique sous forme exponentielle, il faut que l’équation logarithmique ne comporte qu’une seule expression logarithmique. On ne peut avoir de somme ou de différence d’expressions logarithmiques.

REMARQUE

Il faut parfois utiliser les propriétés des logarithmes pour regrouper les termes, ce qui peut avoir pour effet d’introduire des solutions étrangères. Il faut donc, après avoir résolu l’équation, vérifier si les valeurs obtenues sont bien des solutions de l’équation de départ.

Exemple 4.3.7Trouver x tel que log2(x – 2) + log2(x + 6) = 7.

S

log2[(x – 2)(x + 6)] = 7 , par la propriété logbM + logbN = logbMN;

(x – 2)(x + 6) = 27 , puisque logbN = n si et seulement si bn = N;

x2 + 4x – 12 = 128

x2 + 4x – 140 = 0

(x + 14)(x – 10) = 0

, en regroupant;

, en factorisant;

Par l’intégrité des nombres réels, ce produit s’annule lorsque x = –14 et lorsque x = 10. En substituant –14 à x dans l’équation initiale, on a :

log2(–16) + log2(–8) = 7

Or, le logarithme d’un nombre négatif n’est pas défini,–14 n’est donc pas une solution. En substituant 10 à x dans l’équation initiale, on a :

log2(8) + log2(16) = 7

Or, log2(8) = 3 et log2(16) = 4. On a donc une égalité vraie et 10 est la solution cherchée.

Fonction logarithmique

On peut trouver la fonction inverse d’une fonction exponentielle de la forme f(x) = bx en isolant la variable indépendante. Puisque f(x) représente la valeur de la variable dépendante y, on a :

y = bx

f(x) = logbx.

Par définition des logarithmes :

En intervertissant les identificateurs de la variable indépendante et de la variable dépendante, on a y = logbx. Ainsi, la fonction inverse de f(x) = bx est la fonction :

x = logby

S

Le graphique de la fonction inverse peut être esquissé en ayant recours à la propriété de symétrie par rapport à la droite d’équation y = x.

Fonctions décroissantes

0 < b < 1

Fonctions croissantes

b > 1

x

y

x

y

Fonction logarithmique

DÉFINITION

Fonction logarithmique

Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction

logarithmique en base b toute fonction dont la définition est de la

forme :f(x) = a logb x + c

où b est la base de la fonction logarithmique et a et c des constantes.

a, b et c sont les paramètres d’une relation logarithmique. La

fonction n’est définie que pour x > 0.

Le domaine d’une fonction logarithmique est l’intervalle ]0; ∞[ et

son codomaine est l’ensemble des nombres réels.

SSSSS

Exemple 4.3.9Contrôle de la qualité

Une entreprise fabrique des feuilles avec un matériau dont le coefficient d’absorption des rayons X est de 2, c’est-à-dire :

I(x) = I0 e–2x

où x est mesuré en millimètres.

Déterminer la fonction permettant de trouver l’épaisseur x de la feuille, connaissant l’intensité du faisceau de rayons X ayant traversé cette feuille.

On obtient la fonction cherchée en isolant x dans I = I0 e–2x. En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on a :ln I = ln I0 e–2x

ln I = ln I0 + ln e–2x, comme logarithme d’un produit;

ln I = ln I0 – 2x, par la définition de logarithme;

2x = ln I0 – ln I, d’où : x = 12

I0

I ln

Supposons que l’intensité à l’entrée est de 10 unités. Trouver l’épaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités.

L’intensité à l’entrée étant de 10 unités, l’épaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités est donnée par :

x(3) = 12

103 ln = 0,60

L’épaisseur de la plaque est de 0,60 mm.

Donner un tableau de valeurs permettant de déterminer l’épaisseur d’une feuille en fonction de l’intensité du faisceau de rayons X à la sortie, en supposant toujours que I0 = 10.

x(I) = 12

I0

I ln

Intensité à la sortie Épaisseur

10987654321

00,050,110,180,260,350,460,600,801,15

Calcul du pHDans la théorie générale des acides (Bronsted-Lowry), le pH est une fonction de [H30+] :

pH = f([H30+])

Et :

Cette équation est de la forme :

Pour un acide fort, on a pH = –log([H30+]), ce qui définit une fonction logarithmique entre la variable dépendante pH et la variable indépendante [H30+].

Pour un acide faible, on a [H30+]2 ≈ Ka [HA0], où [HA0] est la concentration initiale de l’acide.

y = a log x + c

[H30+] = Ka [HA0]

pH = log[H30+] = 12

log Ka [HA0]

D’où : pH = – 12 log[HA0] + , où pKa = –log Ka.

12 log[HA0]

Exemple 4.3.10Après dissolution d’un acide, on a [H3O+] = 5,80 10–7. Déterminer le pH de cet acide.

S

Puisque pH = –log([H30+]), on a :

pH = –log(5,8 10Ð7)= –(log 5,8 + log 10–7)= –(0,763427... – 7)= –(–6,236572...) = 6,236572...

Dans le calcul d’un logarithme, la règle de présentation des résultats est la suivante : le nombre de décimales du logarithme est égal au nombre de chiffres significatifs dans le nombre initial.

Dans le présent exemple, on doit donc arrondir à deux décimales et le pH de cet acide est 6,24.

Temps de dédoublement

Dans les phénomènes de croissance d’organismes vivants (bactéries,

virus ou cellules), la relation entre le nombre d’organisme, et le temps

est presque toujours une fonction exponentielle.

On caractérise souvent ces phénomènes par leur temps de

dédoublement (TD) ou « doubling time » en anglais. Le temps de

dédoublement est le temps nécessaire pour que le nombre

d’organismes soit le double du nombre initial.

Le temps de dédoublement est le temps nécessaire pour que le

nombre d’organismes soit le double du nombre initial.

Exemple 4.3.12Dans une culture, le nombre d’organismes présents est donné par :

S

N = N0 100,2t,

On cherche t tel que N0 100,02t = 2N0. Cela donne :

où N est le nombre d’organismes et t, le temps en heures. Déterminer le temps de dédoublement de ces organismes.

100,2t = 2, en divisant les deux membres par N0;log(100,02t) = log 2, en prenant le logarithme des deux membres;

0,02t log10 = log 2, en appliquant les propriétés ;

0,02t = log 2, puisque log10 = 1;

t = , en divisant les deux membres par 0,02;log 20,02

t =15,05... , en effectuant les calculs.

On peut estimer que le temps de dédoublement est TD = 15 heures.

Procédure directeOn peut développer une procédure directe pour obtenir le temps de dédoublement en faisant la même démarche avec des paramètres plutôt que des valeurs particulières.

S

Si N = N0 bt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que :N0 bt = 2N0, d’où bt = 2 et : t =

ln 2ln b

= logb 2 =log 2log b

Le temps de dédoublement est donc : TD =0,693ln b

= logb 2 =0,301log b

Si N = N0 10kt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N0 10kt = 2N0, d’où 10kt = 2. Cela donne, selon la base utilisée :

Si N = N0 ekt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N0 ekt = 2N0, d’où ekt = 2. Cela donne, selon la base utilisée :

TD =ln 2

k ln 100,6932,303k= TD =

log 2k

0,301k=ou

TD =ln 2

k0,693

k= TD =log 2

k log e 0,3010,434k=ou

Conclusion

Grâce aux logarithmes, on peut déterminer des constantes caractérisant des phénomènes comme le temps de dédoublement ou la demi-vie ou encore le pH d’un acide.

Les logarithmes sont l’outil indispensable pour résoudre des équations exponentielles et ils permettent de définir la fonction inverse d’une fonction exponentielle.

Un logarithme est un exposant par rapport à une base donnée. Tout nombre positif et différent de 1 peut servir comme base d’un logarithme.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.4, p. 114 à 116.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.3, p. 103 à 114.