Montage préparé par :Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Formesdes nombres complexes

Formesdes nombres complexes

S Cliquer pour la suite.

Revenir à la diapositive précédente.

Aller à la diapositive suivante.

Légende

Les nombres complexes ont une particularité intéressante : on peut les

exprimer sous diverses formes. Dans la présentation précédente, nous

avons vu la forme rectangulaire (ou cartésienne) des nombres

complexes, mais on peut également les représenter sous forme

trigonométrique, polaire et exponentielle.

Introduction

Nous avons présenté la forme polaire d’un vecteur de R2 au chapitre 6.

La forme polaire des nombres complexes s’obtient de la même façon.

Cependant, sur les nombres complexes, on peut définir des opérations

qui n’existent pas sur les vecteurs. Voyons ces différentes formes plus

en détail.

DÉFINITION

Argument

Argument d’un nombre complexe

Soit z = a + bi, un nombre complexe qui fait un angle avec la direction positive de l’axe des réels.

= arctan b

a; on a =

si a > 0 si a < 090° si a = 0 et b > 0–90° si a = 0 et b < 0

L’argument de z, noté arg z ou simplement , est l’angle, orienté à la manière trigonomé-trique, que le vecteur fait avec la direction positive de l’axe des réels. Il est défini à l’aide de :

On peut exprimer tout nombre complexe en fonction de son module et de son argument. En effet, dans le triangle rectangle formé, on a :

a = r cos et b = r sin Par substitution on obtient :z = a + ib = r cos + i r sin = r (cos + i sin )

Forme trigonométrique

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

L’expression : z = r (cos + i sin )est appelée forme trigonométrique du nombre complexe. On constate que le nombre est décrit seulement par son module et son argument. On utilise également la notation condensée z = r cis pour représenter la forme trigonométrique.

DÉFINITION

Grâce à la définition de cos et de sin sur le cercle trigonomé-trique, ces formules sont valides pour tout angle .

En effet, l’abscisse et l’ordonnée des points sur le cercle trigono-métrique sont respectivement le cosinus et le sinus de l’angle que le rayon aboutissant en ce point fait avec la direction positive de l’axe horizontal.

Dans les exemples et les exercices, nous utiliserons beaucoup les valeurs trigonométriques des angles remarquables que l’on obtient facilement sur le cercle trigonométrique.

Rappel de trigonométrie

(1; 0)

(0; 1)

(–1; 0)

(0; –1)

3( /2; 1/2)

3(1/2; /2)

2( /2; /2)2

30°

45°60°

3(–1/2; /2)

2(– /2; /2)2

3(– /2; 1/2)

3(– /2; –1/2)

2(– /2;– /2)2

3(–1/2;– /2) 3(1/2;– /2)

2( /2;– /2)2

3( /2; –1/2)

12 + 4 16

Exemple 8.3.1

S

Exprimer sous forme trigonométrique le nombre z = –2

Le module du nombre complexe est :

De plus : = arctan

et : = + 180° = 150°, car la représentation graphique permet de constater que 90° <   < 180°. La forme trigonométrique est donc :

z = 4(cos 150° + i sin 150°) = 4 cis 150°

3 + 2i.

+ 22r = z =

2

– 2 3

= arctan –1

= –30°

– 2 3 2

= = = 4

3

Exemple 8.3.2

S

Représenter graphiquement le nombre complexe :

z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) et trouver sa forme rectangulaire.

Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur de longueur 3 et d’argument 3π/4 rad, ce qui donne la représentation ci-contre.

– 2z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) = 3

2 + i

2

2 –3 2

=2

+ i 3 2

2

Pour trouver la forme rectangulaire, il faut d’abord évaluer le cosinus et le sinus de l’argument de z; on obtient ainsi :

Exemple 8.3.3

S

Représenter graphiquement le nombre complexe :

z = –3 + 5i et trouver sa forme trigonométrique.

S

Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur dont l’origine est (0; 0) et dont l’extrémité est (–3; 5).

Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant :  = –1,03 + π = 2,11 rad

(–3)2 + 52r = z = 34= = 5,83

= arctan 53

= –1,03 rad–

La forme trigonométrique est :z = 5,83(cos 2,11 + i sin 2,11)

Égalité sous forme trigonométrique

S

Représentons graphiquement le nom-bre :

4(cos 30° + i sin 30°)

On doit nécessairement tenir compte de cette caractéristique lorsque deux nombres complexes sous forme trigonométrique sont égaux.

Faisons effectuer un tour supplé-mentaire au rayon vecteur.

Ces deux nombres sous forme trigo-nométrique sont représentés par le même vecteur. Ils sont donc égaux.

30°390°

De plus, en exprimant ces deux nombres en coordonnées rectangulaires, on obtient la même expression, soit :

4( 3 /2 + i/2) = 2 3 + 2i

On obtient le nombre complexe : 4(cos 390° + i sin 390°)

Égalité sous forme trigonométrique

S

Égalité de nombres complexes (forme trigonométrique)

Soit z1 = r1(cos 1 + i sin 1) et z2 = r2(cos 2 + i sin 2), deux nombres complexes sous forme trigonométrique. Alors, z1 = z2 si et seulement si :

r1 = r2 et 1 = 2 + 2kπ, pour k Z

THÉORÈME

Deux nombres complexes sous forme trigono-métrique sont égaux s’ils ont le même module et si la différence de leurs arguments est égale à un multiple entier de 360° (ou 2π rad), puisque les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 360° (ou 2π rad).

2 

1 =  2 + 2π 

Un nombre complexe z = r (cos + i sin ) et son conjugué ont le même module r. De plus, si est l’argument du nombre z, l’argument de son conjugué est –.

Conjugué sous forme trigonométrique

S

Forme trigonométrique du conjugué

Soit z = r (cos + i sin ), un nombre complexe sous forme trigonométrique. Le conjugué de z est alors :

DÉFINITION

z = r(cos(–) + i sin(–))

De plus, comme = a – bi, on a :a + bi

z = r(cos – i sin )

z = r(cos(–) + i sin(–))z = r(cos – i sin )ou encore :

Donc,

–

Forme polaireDans la forme trigonométrique des nombres complexes, les seuls paramètres sont le module et l’argument; il est donc suffisant de donner la valeur de ces paramètres pour caractériser un nombre complexe. Un nombre complexe z = r(cos + i sin ) pourra ainsi être présenté sous forme polaire et s’écrira :

z = rLe nombre est ainsi représenté par un vecteur de longueur r et d’argument .

La forme polaire véhicule deux éléments d’information : le module et l’argument du nombre complexe. Pour multiplier ou diviser des nombres complexes sous forme polaire, il est suffisant de savoir comment combiner les modules et les arguments. Dans les théorèmes qui suivent, nous emploierons la forme trigonométrique pour démontrer comment effectuer ces opérations.

Produit sous forme polaireSoit z1 = r11 et z2 = r22, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit donne alors :

z1z2 = (r11)(r22) et, en exprimant sous forme trigonométrique;

= [r1(cos1 + i sin1)][r2(cos2 + i sin2)], d’où :

= r1r2[(cos1 + i sin1)(cos2 + i sin2)]

= r1r2[(cos1cos2 + i2 sin1sin2) + i (sin1cos2 + cos1sin2)]

= r1r2[(cos1cos2 – sin1sin2) + i (sin1cos2 + cos1sin2)]

z1z2 = r1r2[cos (1 + 2) + i sin (1 + 2)]

Par les identités trigonométriques, on a alors :

Et, en exprimant le résultat sous forme polaire, on obtient que le produit est :

z1z2 = r1r2 (1 + 2)

Produit de nombres complexes (forme polaire)

THÉORÈME

Produit sous forme polaire

Soit z1 = r11 et z2 = r22, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit de ces nombres, noté z1z2, est alors donné par :

z1z2 = r1r2 (1 + 2)

Pour calculer le produit de deux nombres complexes sous forme polaire, il suffit de multiplier les modules et d’additionner les arguments. Cela signifie que l’effet du produit est une rotation qui accompagne une dilatation ou une compression.

Calculons i2 selon cette procédure. i2 = i i = (1 90°)(1 90°)

= 1 180° = 1(cos 180° + i sin 180°) = –1 + i0 = –1

i = 1 90°

i2 = 1 180° = –1

Exemple 8.3.4Soit z1 = 330° et z2 = 2, deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le produit de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le produit.

Le produit se calcule en multipliant les modules et en additionnant les arguments. Cela donne :

z1z2 = (330°)(2) = 6 (30° + 120°) = 6 150°

S

Le produit est donc représenté par un vecteur de longueur 6 dont l’argument est 150°.

120°150°

30°

Quotient sous forme polaire

Soit z1 = r11 et z2 = r22, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres donne alors :

z1

z2

On obtient donc que le quotient est :

=r11

r22=

r11

r22

1–2)1–2)

=r11–2)r22–2)

=r11–2) r2

r1

r2

= 1–2)

z1

z2

=r1

r2

1–2)

En effet, r2= r2 (cos 0 + i sin 0)= r2(1 + 0i) = r2

Quotient de nombres complexes (forme polaire)

THÉORÈME

Quotient sous forme polaire

Soit z1 = r11 et z2 = r22, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres, noté z1z2, est alors donné par :

Pour calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme

polaire, il suffit de diviser les modules et de soustraire les

arguments. Cela signifie que l’effet du quotient est une rotation qui

accompagne une dilatation ou une compression selon que le module

du diviseur est plus petit ou plus grand que celui du numérateur.

z1

z2

=r1

r2

1–2)

Exemple 8.3.5Soit z1 = 660° et z2 = 2, deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le quotient z1 /z2 de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le quotient.

Le quotient se calcule en divisant les modules et en soustrayant les argu-ments. Cela donne :

S

Le quotient est donc représenté par un vecteur de longueur 3 dont l’argument est –60°.

= 62

60° – 120°)

z1

z2

=660°2120°

= 3 –60°)

60°

–60°

120°

Exemple 8.3.6Soit z = 1,4, un nombre complexe sous forme polaire. trouver z2

, z3 , z4 et z5 et représenter ces nombres graphiquement.

Pour élever au carré, on effectue la multiplication du nombre par lui-même, ce qui donne :

Pour élever au cube, on effectue la multiplication de z par z2, ce qui donne :

z2 = z z = (1,430°(1,430°= (1,4)2 30° + 30°

1,4)260°

SS

z3 = z z2 = (1,430°(1,4)260°= (1,4)3 30° + 60°

1,4)390°

Pour élever à la puissance quatre, on effectue la multiplication de z par z3, ce qui donne :

z4 = z z3 = (1,430°(1,4)390°= (1,4)4 30° + 90°

1,4)4120°

S

Pour élever à la puissance cinq, on effectue la multiplication de z par z4, ce qui donne :

z5 = z z4 = (1,430°(1,4)4120°= (1,4)5 30° + 120°

1,4)5150°

S

On peut poursuivre ainsi pour calculer d’autres puissances entières de z.

On remarque que les vecteurs obtenus définissent la position de points sur une spirale logarithmique.

ExerciceUtiliser la forme polaire pour effectuer les opérations et donner le résultat sous forme rectangulaire de l’expression suivante :

En exprimant sous forme polaire, on a :

SSSS

(2 + 2i)2 (1 + i 3 )3

3 + i)6(

(2 + 2i)2 = (2 2 (1 + i 3 )3 = (260°180°

45°90°,

3 + i)6 = (2(–30°(–180°)(

Cela donne :

=(90°)(180°)(–

180°)

=2323

26 (90° + 180 + 180°)

= 1 450° = 190° = 1(cos 90° + i sin 90°) = 1(0 + 1i) = i

(2 + 2i)2 (1 + i 3 )3

3 + i)6(

Théorème de Moivre

THÉORÈME

Puissance sous forme polaire

Soit z = r, un nombre complexe sous forme polaire. Alors, pour tout n Z :

zn = rn n

La démonstration du théorème de Moivre (voir la note historique, p. 236) se fait par récurrence, méthode de preuve que nous ne présenterons pas ici. Nous allons donc admettre ce théorème sans démonstration et nous contenter de l’utiliser.

Le théorème est valide pour tout exposant entier, ce qui inclut les puissances négatives.

Remarque

Exemple 8.3.7Soit z = 230°, un nombre complexe sous forme polaire.

a) Par le théorème de Moivre, on a :

S

a) Trouver z5 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire.

b) Trouver z–3 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire.

z5 5150°

En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient :

z5 5150° = 5(cos 150° + i sin 150°)

= 25– 3

2+ i

2

1

= –24 3 + i24

= –16 3 + 16i

S

b) Par le théorème de Moivre, on a :

z–3 –3(–90°)

En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient :

z–3 –3(–90°) = –3(cos (–90°) + i sin (–90°))

= [0 + i(–1)]23

1

= – i8

Racines sous forme polaireSoit u, un nombre complexe. Par définition, un nombre complexe z

est une racine nième de u si et seulement si zn = u. On peut, en

appliquant le théorème de Moivre et l’égalité des nombres complexes

sous forme polaire (ou trigonométrique), calculer les racines nièmes

d’un nombre complexe sous forme polaire.

Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 8 90°. On cherche un nombre z = r tel que z3 = u. Puisque z3 = r3 3, par le théorème de Moivre, on doit résoudre l’équation :

Pour illustrer ce propos, trouvons les racines cubiques de u = 8i.

r3 3= 8 90°Par l’égalité des nombres complexes sous forme polaire, cela donne :

r3= 8 et 3=90° + k 360°

On obtient ainsi : r = 2 et =90° + k 360°3

= 30° + k 120°, pour k Z.

Représentons graphiquement les raci-nes et exprimons-les en coordonnées rectangulaires.

z0 = 230° = 2(cos 30° + i sin 30°)

32 + i 2

1= 2 = 3 + i

En posant k = 0, on a :

S

En posant k = 1, on a :z1 = 2150° = 2(cos 150° + i sin 150°)

– 3

2+ i

21

= 2 = – 3 + i

En posant k = 2, on a :z2 = 2270° = 2(cos 270° + i sin 270°) = 2(0 – 1i) = –2i

SSS

En posant k = 3, on a :z3 = 2390° = 2(cos 390° + i sin 390°) = 2(cos 30° + i sin 30°) = z0

z1

z2

= z3

S

On constate qu’il y a trois racines cubiques et qu’il suffit de prendre k = 0, 1, 2 pour les obtenir.

120°

120° 120°230°

Extraction de racines

pour extraire les racines nièmes d’un nombre complexe

1. Écrire le nombre sous forme polaire : u = s

2. Considérer une racine z = r, tel que zn = rnn=s

3. Calculer le module des racines, rn = s, d’où r =

Procédure

s .n

4. Calculer la forme générale de l’argument : = ( + k 360°)/n,

pour k = 0, 1, 2, ..., n–1.

5. Écrire les racines z0, z1, z2, ..., zn–1 et représenter graphiquement si nécessaire.

Exemple 8.3.8Extraire les racines sixièmes de u = –64 , représenter graphiquement.

r6 = 64 et r = 2. 6 = 180° + k 360°, ce qui donne = 30° + k 60° pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Les racines sont :

S

z0 30° =3 + i

S

z1

z060°

30°60°

60°

60° 60°

60°

z2

z3

z4

z5

Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 64180°. On cherche z = r tel que z6 = r6 6= 64 180°, d’où :

z1 90° = 2iz2 150° = –

3 + i

z3 210° = –

3 – i

z4 270° = –2i

z2 330° = 3 – i

ExerciceExtraire les racines quatrièmes de u = 81, représenter graphique-ment.

r4 = 81 et r = 3. 4 = 0° + k360°, ce qui donne = 0° + k 90° pour k = 0, 1, 2, 3. Les racines sont :

S

z0 0° = 3(cos 0° + i sin 0°) = 3

Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 810°. On cherche z = r tel que z4 = r4 4= 16 0°, d’où :

z1 90° = 3(cos 90° + i sin 90°) = 3iz2 180° = 3(cos 180° + i sin 180°) = –3

z3 270° = 3(cos 270° + i sin 270°) = –3i

z0

z1

90°

3

90°

90°z2

z3

On connaissait déjà les deux racines réelles de 81, il y a également deux racines imaginaires, soit 3i et –3i.

90°

Remarque

Forme exponentielle

On peut, à l’aide du développement de Maclaurin, montrer que la fonction f() = eipeut s’exprimer sous la forme :

ei= cos + i sin que l’on appelle identité d’Euler. On déduit de cette égalité qu’un nombre complexe z = rpeut s’écrire :

z = rei C’est la forme exponentielle d’un nombre complexe. En écrivant –1 sous forme exponentielle, on obtient :

–1 = 1eiπ d’où : eiπ + 1 = 0

Cette égalité, dont Euler était très fier, met en relation cinq constantes fondamentales des mathématiques, soit 0, 1, i, e et π.

On peut multiplier, diviser, élever à une puissance ou extraire les racines d’un nombre complexe sous forme exponentielle en adaptant les procédures à suivre sous forme polaire.

Opérations sous forme exponentielle

Soit z = reiet u = rei, deux nombres complexes.

Le produit de ces nombres est : zu = rs ei ()

On remarque que les propriétés des exposants s’harmonisent tout naturellement avec les définitions des opérations sous forme polaire.

Le quotient de ces nombres est : ei ()zu = r

s

La puissance nième de z est : zn = rn ei n

La racine nième de z est : zn rn= ei(+ 2kπ), pour k = 0, 1, 2, …, n–1.

Un des grands intérêts de la forme exponentielle, c’est la possibilité de définir le logarithme d’un nombre complexe. En effet :

Logarithme sous forme exponentielle

ln z = ln(rei) = ln r + ln(ei) = ln r + i

Par exemple, considérons le nombre complexe z =

On remarque que le logarithme d’un nombre complexe z est également un nombre complexe dont la partie réelle est le logarithme du module de z (ln r) et dont la partie imaginaire est , l’argument de z exprimé en radians.

Il est à noter de plus que, dans l’ensemble des complexes, le logarithme d’un nombre négatif est défini et que le logarithme d’un nombre n’est pas unique, compte tenu de l’égalité des nombres complexes sous forme polaire. Ainsi,

3 + i = 2ei π/2.

Alors, ln z = ln 2 + i π/2 = 0,69… + i 1,570...

–1 = eiπ = e3iπ = e5iπ. On a donc ln(–1) = ln (eiπ) = iπ = 3,141…i.

Cependant, ln (e3iπ) = 3iπ = 9,424…i , ln (e5iπ) = 5iπ = 15,707i.

ConclusionLes nombres complexes peuvent prendre diverses formes, rectangulaire, trigonométrique, polaire et exponentielle.

Le théorème de Moivre indique comment élever un nombre complexe sous forme polaire à une puissance entière et, en jumelant ce théorème avec la définition d’égalité des nombres complexes sous forme polaire, on a développé une procédure d’extraction de la racine nième d’un nombre complexe. On trouve alors n racines distinctes.

C’est par la forme trigonométrique que s’effectue la transition de la forme rectangulaire à la forme polaire et inversement. En utilisant la forme trigonométrique et quelques identités trigonométriques, on peut déterminer des procédures efficaces pour multiplier ou diviser des nombres complexes en exprimant ceux-ci sous forme polaire.

Grâce à la forme exponentielle, on peut définir le logarithme d’un nombre complexe.

ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.4, p. 237 no. 1 à 14

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.3, p. 228 à 236.