Modélisation et correction des inhomogénéités d’intensité en...

Numéro d’ordre : 02 ISAL 0084 Année 2002

THÈSE

présentée

DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

ÉCOLE DOCTORALE : ÉLECTRONIQUE, ÉLECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

FORMATION DOCTORALE : IMAGES ET SYSTÈMES

par

Julien MILLES

Ingénieur de l’École Nationale Supérieure d’Ingénieurs Électriciens de Grenoble

MODÉLISATION ET CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ

EN IMAGERIE CÉRÉBRALE PAR RÉSONANCE MAGNÉTIQUE

Soutenue le 11 décembre devant la Commission d’examen

Jury :

M. Jacques BITTOUN

M. Gérard GIMENEZ (Co-Directeur de Thèse)

M. Charles GUTTMANN

Mme Michèle ROMBAUT (Rapporteur)

M. Christoph SEGEBARTH (Rapporteur)

M. Yue Min ZHU (Co-Directeur de Thèse)

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION GÉNÉRALE 5

1 CONTEXTES MATÉRIELS ET MÉDICAUX 8

1.1 Bases de l’Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Résonance Magnétique Nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.3 Principaux artefacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 IRM et Sclérose En Plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.1 Sclérose En Plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.2 Séméiologie IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.3 Diagnostic de la SEP en IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2.4 Intérêt de l’IRM dans l’évaluation thérapeutique . . . . . . . . . 41

2 DÉTERMINATION ET CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ : ÉTAT

DE L’ART 43

2.1 Détermination du champ radio-fréquence B1 . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 Approche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.3 Concordance entre méthodes directes et inverses . . . . . . . . . 48

2.2 Correction des inhomogénéités d’intensité en IRM . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Méthodes de pré-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Méthodes de post-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Espaces transformés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.4 Résumé des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 MODÉLISATION DES CHAMPS RF ÉMIS ET REÇUS 62

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Démarche proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TABLE DES MATIÈRES 2

3.2.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2 Modélisation de la chaîne d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.3 Modélisation de l’évolution de l’intensité . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.4 Algorithme d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Calcul des sensibilités pour un objet homogène . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.1 Modélisation utilisée : modèle M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Calcul des sensibilités pour un objet hétérogène . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.1 Adaptation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ 100

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2 Approche pré-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


4.3 Approche post-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES 120

BIBLIOGRAPHIE 123

TABLE DES FIGURES

1.1 Mouvement de précession d’un moment magnétique nucléaire . . . . . . 9

1.2 Evolution de l’aimantation au cours de la résonance . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Evolution de l’aimantation au cours de la relaxation . . . . . . . . . . . 14

1.4 Exemple de séquence d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Forme générale du signal RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Exemple d’enchainement de gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Exemple de contribution d’un gradient au champ magnétique . . . . . . . 20

1.8 Sélection du plan de coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Codage par la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 Codage par la fréquence et la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 Exemple de série d’images RM cérébrales pondérées en T2 . . . . . . . . 26

1.12 Artefact de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.13 Exemple d’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.14 Artefact de déplacement chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.15 Artefact de troncature des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.16 Position de l’artefact d’inhomogénéité d’intensité . . . . . . . . . . . . . 33

1.17 Schéma descriptif d’un imageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.18 Exemple de lésions visible par l’IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Classification des méthodes de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1 Chaîne d’acquisition IRM simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Mécanisme de production d’une image RM . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Schéma de principe de l’algorithme de calcul des paramètres a1 et a2 . . . 72

3.4 Influence du nombre de données sur le modèle M1 . . . . . . . . . . . . 74

3.5 Influence de l’échantillonnage angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6 Evolution d’une coupe avec l’angle de bascule (1/2) . . . . . . . . . . . . 78

3.7 Evolution d’une coupe avec l’angle de bascule (2/2) . . . . . . . . . . . . 79

3.8 Exemple de cartes de paramètres obtenues par M1 (1/5) . . . . . . . . . . 80

TABLE DES FIGURES 4





3.13 Comparaison des données réelles et simulées . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.14 Comparaison de a1 pour les jeux 1 et 2 (1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.15 Comparaison de a1 pour les jeux 1 et 2 (2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.16 Comparaison des cartes de a2 pour les jeux 1 et 2 (1/2) . . . . . . . . . . 89

3.17 Comparaison des cartes de a2 pour les jeux 1 et 2 (2/2) . . . . . . . . . . 90

3.18 Comparaison de a1 et a2 pour deux fantômes . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.19 Estimées de ρ, R et T pour un objet homogène . . . . . . . . . . . . . . 93

3.20 Evolution d’une coupe d’un cerveau sain avec l’angle de bascule . . . . . 95

3.21 Estimées de ρ, R et T pour le cerveau d’un volontaire sain . . . . . . . . 96

4.1 Résultats obtenus par deux méthodes de post-traitement . . . . . . . . . 101

4.2 Résultats de la correction pour le jeu de données 1 . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Résultats de la correction pour le jeu de données 2 . . . . . . . . . . . . . 106

4.4 Résultats de la correction pour le cerveau . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5 Schéma de principe de la correction par post-traitement . . . . . . . . . . 109

4.6 Comparaison des corrections pour le fantôme n˚1 . . . . . . . . . . . . . 113

4.7 Comparaison des corrections pour le fantôme n˚2 . . . . . . . . . . . . . 114

4.8 Comparaison des résultats pour des images cérébrales pondérées en T1 . . 116

4.9 Comparaison des résultats pour des images cérébrales pondérées en T2 . . 117

4.10 Comparaison des estimées de l’inhomogénéité . . . . . . . . . . . . . . . 118

INTRODUCTION GÉNÉRALE

L’imagerie est devenue aujourd’hui une technique indispensable aussi bien en routine

clinique que dans la recherche médicale au sens large. Une grande variété d’images pro-

venant de modalités d’imagerie telles que l’imagerie par rayons X, l’imagerie ultrasonore,

la tomodensitométrie ou l’imagerie par résonance magnétique sont utilisées quotidienne-

ment pour le diagnostic et le suivi des pathologies de tout type. Ces images fournissent

des informations diverses sur la morphologie, le métabolisme et le fonctionnement des or-

ganes. Parmi ces différentes modalités d’imagerie, l’imagerie par résonance magnétique

(IRM) occupe une place de plus en plus importante tant pour son aspect non-invasif que

pour son éventail de possibilités cliniques. Cependant, le potentiel de l’IRM n’est pas

complètement exploité tant que l’analyse des images IRM ne peut pas s’effectuer de ma-

nière quantitative et automatique. Malheureusement, l’analyse quantitative et automatique

des images IRM est un problème complexe et difficile, malgré de nombreux travaux déjà

effectués dans ce domaine.

De nombreux facteurs peuvent détériorer la précision et la fiabilité d’un algorithme

d’analyse quantitative des images IRM. Parmi ceux-ci, l’inhomogénéité d’intensité ap-

paraît comme l’un des facteurs d’erreur les plus importants lors de la quantification. Cet

artefact se traduit par des variations d’intensité n’ayant pas de signification anatomique

au sein d’un même tissu. Ceci contribue à faire échouer les algorithmes de segmentation

fondés sur les intensités de l’image, menant à une mauvaise classification et quantifica-

tion des tissus. De nombreux paramètres, parmi lesquels les sensibilités en émission et

réception des antennes radio-fréquence (RF), les courants de Foucault ou les interactions

électrodynamiques avec l’objet contribuent à la formation de l’inhomogénéité d’intensité.

Le rôle exact de chacun de ces facteurs est difficile à déterminer de manière générale.

Cependant, il semble acquis que l’homogénéité du champ RF utilisé lors du processus

d’imagerie tient une place importante dans l’existence de cet artefact. C’est pour cette

raison que cet artefact est parfois appelé par abus de langage inhomogénéité RF.

La correction des inhomogénéités d’intensité a fait l’objet ces dernières années d’un

intérêt croissant de la part des chercheurs de la communauté de traitement d’images. La


quasi-totalité des méthodes de correction évoquées dans la littérature reposent sur un mo-

dèle multiplicatif décrivant l’image observée comme le produit de l’image idéale et d’un

biais, auquel s’ajoute un bruit additif. Ce modèle peut être qualifié d’"aveugle" dans le

sens où le terme de biais ne dissocie aucune cause et englobe toutes les variations d’in-

tensité lisses et basse-fréquences. L’objectif de cette thèse a donc été de modéliser cet

artefact, en mettant en évidence le lien existant entre le modèle “aveugle” et les modé-

lisations de la formation de l’image proposées par la communauté des physiciens, et de

proposer des méthodes de correction prenant en compte de manière explicite la théorie

physique sous-jacente.

Notre travail se divise en trois parties. Tout d’abord nous avons cherché à étudier

l’influence et déterminer les caractéristiques des sensibilités en émission et réception des

antennes RF utilisées lors de l’acquisition. Cette détermination se fonde sur une modéli-

sation du processus physique qui mène à la création de l’image en partant des équations

de Bloch qui décrivent l’évolution du moment magnétique macroscopique soumis à un

champ magnétique, et notamment de la dépendance de l’intensité d’un pixel vis-à-vis du

champ magnétique auquel il est soumis. A partir de cette modélisation nous avons proposé

un ensemble de méthodes afin de déterminer les sensibilités en émission et réception des

antennes RF utilisées, et donc les champs magnétiques émis et reçus réellement par l’ima-

geur lors de l’acquisition. Nous avons ensuite envisagé la correction des images cérébrales

à l’aide de ces modèles et cartes de sensibilité. En se fondant sur la modélisation évoquée

précédemment, nous avons proposé une méthode de correction de type pré-traitement.

Celle-ci a été complétée par la proposition d’un nouveau type de méthode de correction

par post-traitement qui fusionne les résultats issus de traitements privilégiant respective-

ment les informations spatiales et fréquentielles.

Ce manuscrit est divisé en quatre parties. Le premier chapitre pose les fondations

nécessaires à la compréhension de nos travaux en évoquant tout d’abord les processus

utilisés lors d’une acquisition par résonance magnétique. Le principe de la résonance ma-

gnétique nucléaire est ainsi décrit, suivi de la méthode permettant la localisation du signal

qui en est issu et enfin les principaux artefacts affectant cette modalité d’imagerie. Nous

précisons dans la suite de ce chapitre le contexte médical, à savoir la sclérose en plaques,

qui est à l’origine médicale de cette étude méthodologique, en évoquant les symptômes

et conséquences, tant humaines qu’économiques, de cette maladie et en exposant l’intérêt

de l’IRM et de l’imagerie quantitative dans le suivi et le traitement de ce type de patho-

logies. Le second chapitre résume par l’intermédiaire d’une étude bibliographique l’état

actuel des méthodes existantes pour modéliser les champs magnétiques RF mis en oeuvre


lors de l’acquisition, puis celui des méthodes de correction de l’artefact d’inhomogénéité

d’intensité en mettant en avant l’existence de deux familles de méthodes issues de deux

communautés différentes. Le troisième chapitre expose nos travaux sur la modélisation et

la détermination des sensibilités en émission et réception des antennes RF utilisées lors de

l’acquisition IRM. L’accent est mis sur les différentes hypothèses envisageables et leurs

effets sur la modélisation. Le quatrième et dernier chapitre décrit nos deux approches de

correction de l’artefact d’inhomogénéité d’intensité, la première fondée sur les résultats

obtenus dans le troisième chapitre, la seconde visant à mettre en place un schéma de

coopération entre deux algorithmes prenant en compte respectivement des informations

spatiales et spectrales.

CHAPITRE 1

CONTEXTES MATÉRIELS ET MÉDICAUX

1.1 Bases de l’Imagerie par Résonance Magnétique

1.1.1 Résonance Magnétique Nucléaire

L’Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) est une modalité d’imagerie non in-

vasive fondée sur la localisation du signal issu de la Résonance Magnétique Nucléaire

(RMN). La découverte de ce phénomène a eu lieu en 1946. Elle est due à Felix Bloch et

Edward Purcell et leur a valu le Prix Nobel de physique en 1952. Tout au long de ce cha-

pitre, nous nous placerons dans le cas particulier de l’IRM, ou de la RMN, du proton de

l’eau et nous nous limiterons à la présentation des notions nécessaires à la compréhension

de nos travaux.

1.1.1.1 Equations fondamentales

Le phénomène de RMN est gouverné par deux relations fondamentales. La première

de celles-ci fut découverte en 1897 par Sir Joseph Larmor [Meadows 99]. La seconde le

fut en 1946 par Felix Bloch [Wright 97, Bloch 46].

Relation de Larmor

Les noyaux atomiques possédant un nombre impair de nucléons (protons et neutrons)

sont animés d’un mouvement de précession illustré par la figure 1.1. A cette rotation est

associé un moment cinétique intrinsèque, le “spin”, et un moment magnétique nucléaire

µ. Le comportement d’un ensemble de noyaux est décrit à l’aide du moment magnétique

macroscopique M = Σµ, appelé aussi aimantation.

En l’absence de champ magnétique, sous l’effet de l’agitation thermique, les moments

1. CONTEXTES MATÉRIELS ET MÉDICAUX 9

FIG. 1.1: Mouvement de précession d’un moment magnétique nucléaire, ce mouvement est sou-

vent comparé à celui d’une toupie. [Kastler 98]

magnétiques nucléaires sont orientés de manière aléatoire. Le moment magnétique ma-

croscopique est donc nul. Lorsqu’un champ magnétique statique B0 est appliqué, les

moments magnétiques nucléaires s’orientent dans sa direction. Le nombre de moments

s’orientant selon les deux sens n’est pas égal, ce qui crée un moment magnétique ma-

croscopique d’équilibre M0. Le mouvement de précession s’effectue alors avec une fré-

quence donnée par la relation de Larmor

ν0 =γ

2πB0 (1.1)

ν0 est appelée fréquence de Larmor, γ est le rapport gyromagnétique de l’espèce considé-

rée (pour l’hydrogène, γ = 42, 58.106 Hz/T). Pour les imageurs dont l’intensité du champ

statiqueB0 est 1, 5 T, valeur classique en routine clinique, la fréquence de Larmor est donc

63, 87 MHz, qui se situe dans le domaine radio-fréquence (RF). On parle aussi parfois de

la pulsation de Larmor ω0 = 2πν0.

Equation de Bloch

Sous la condition, satisfaite en RMN et IRM, que l’amplitude du champ variable B1

est beaucoup plus faible que celle du champ statique B0, l’évolution de l’aimantation M

est décrite par l’équation de Bloch. Dans le repère R = (O,x,y, z) lié au laboratoire, elle

prend la formedM

dt= γ(M ∧B)− Mxx +Myy

T2

− Mz −M0

T1

z (1.2)

L’évolution de M se compose donc d’un terme décrivant le mouvement libre du moment

magnétique macroscopique soumis au champ B = B0 + B1 et de deux termes d’amor-

tissement rendant compte du retour à l’équilibre thermodynamique (application de B0


seul). Les paramètres T1 et T2 sont appelés temps de relaxation, respectivement longitudi-

nal et transversal. Ce sont les constantes de temps caractéristiques du retour à l’équilibre

des composantes longitudinales (Mz) et transversales (Mx et My) de l’aimantation. Le

premier terme d’amortissement rend compte de la décroissance de la composante trans-

versale du moment magnétique macroscopique, évolution due au transfert d’énergie entre

les noyaux de l’échantillon. Le second décrit le retour de M vers sa position d’équilibre du

fait des échanges d’énergie entre les noyaux et le milieu environnant. Les ordres de gran-

deur de T1 et T2 sont résumés dans le tableau 1.1.M0 est la valeur du moment magnétique

macroscopique à l’équilibre, et est donnée par la loi de Curie

M0 = ργ2h2B0I(I + 1)

3kBT(1.3)

où ρ est la densité volumique de noyaux, I le nombre quantique de spin (I = 12

pour le

proton), h la constante de Planck (h = 6, 626.10−34 J.s), kB celle de Boltzmann (kB =

1, 3806.10−23 J.K−1) et T la température absolue.

TAB. 1.1: Valeurs de T1 et T2 pour les principaux tissus cérébraux à 1, 5 T [Wright 97]

Tissu T1 (ms) T2 (ms)

Matière blanche 650 69

Matière grise 1000 1006

Liquide céphalo-rachidien 4000 2300

Graisse 260 60

Considérons maintenant un repère animé d’un mouvement de rotation uniforme autour

de l’axe (O, z) à la vitesse angulaire Ω0 = −ω0z, que l’on appellera par la suite repère

tournant et que l’on noteraR′ = (O,x′,y′, z). Si l’on note ∂M∂t

la dérivée de M par rapport

au temps dans le repère tournant R′ et (u, v,Mz) les composantes de M dans ce même

repère, la formule de dérivation composée

dM

dt=∂M

∂t+ Ω0 ∧M (1.4)

nous permet de déterminer les équations de Bloch dans le repère tournant

∂M

∂t= γ(M ∧Beff)−

ux′ + vy′

T2

− Mz −M0

T1

z (1.5)

avec

Beff = B +1

γΩ0. (1.6)


1.1.1.2 Evolution de l’aimantation

Le principe de la RMN est fondé sur l’alternance de deux phases essentielles. La

première, la phase de résonance, est la perturbation de M vis-à-vis de sa position d’équi-

libre. Cette perturbation consiste en le basculement de l’aimantation par rapport à l’axe

z. Elle est réalisée à l’aide d’un champ tournant B1 de pulsation ω0 égale à la pulsa-

tion de Larmor des noyaux considérés et d’amplitude B1 = ω1

γ. A l’issue de cette phase,

l’aimantation M formera un angle θ, appelé angle de bascule, par rapport à l’axe z. La

seconde phase consiste en le retour à l’équilibre de l’aimantation lorsque B1 n’est plus

appliqué. On l’appelle phase de relaxation. Les solutions de l’équation de Bloch décrivent

le comportement de l’aimantation au cours de ces deux phases.

1.1.1.3 Evolution de l’aimantation au cours de la résonance

Si l’on se place dans le repère tournant, en utilisant les notations B0 = ω0

γz et B1 =

ω1

γx′, on obtient, à partir de l’équation (1.5), le système suivant

du

dt= − u

T2

dv

dt= Mzω1 −

v

T2

dMz

dt= −vω1 −

Mz −M0

T1

(1.7)

Si l’on s’intéresse aux valeurs prises par les différents paramètres physiques, le système

(1.7) présente des solutions de la forme

u(t) = Cu exp(− t

T2)

v(t) = iω1C+ exp(iω1t)− iω1C

− exp(−iω1t)

Mz(t) = −ω1C+ exp(iω1t)− ω1C

− exp(−iω1t)

(1.8)

où les constantes Cu, C+ et C− sont obtenues comme suit.

Soumis au champ statique B0, un échantillon de matière acquiert un moment magné-

tique macroscopique M0 dirigé selon B0. Dans les conditions de résonance, le moment


magnétique macroscopique évolue selon les équations (1.8) avec les conditions initiales

u(0) = 0

v(0) = 0

Mz(0) = M0

⇒

Cu = 0

C+ = −M0

2ω1

C− = C+

(1.9)

le système (1.8) devient donc

u(t) = 0

v(t) = M0 sin(ω1t)

Mz(t) = M0 cos(ω1t)

(1.10)

Au cours de la résonance, M s’écarte donc de sa position d’équilibre suivant B0 dans un

mouvement de rotation selon B1 en formant un angle α(t) = γB1t par rapport à z. On

parle d’impulsion θ pour désigner l’onde radio-fréquence d’amplitude B1 qui, appliquée

pendant une durée

ti =θ

γB1(1.11)

fait basculer l’aimantation d’un angle θ par rapport à sa position d’équilibre. Cet angle θ

est appelé angle de “flip” ou angle de bascule.

Dans le repère du laboratoire, le système (1.10) devient

Mx(t) = M0 sin(ω1t) sin(ω0t)

My(t) = M0 sin(ω1t) cos(ω0t)

Mz(t) = M0 cos(ω1t)

(1.12)

L’aimantation M décrit donc une spirale en restant sur une sphère de rayon M0, comme

l’illustre la figure 1.2.

Evolution de l’aimantation au cours de la relaxation

Lorsque l’on arrête l’onde radio-fréquence B1, l’évolution du moment magnétique ma-

croscopique M est toujours gouvernée par l’équation de Bloch. Les composantes de M

vérifient, dans le repère du laboratoire

du

dt= − u

T2

dv

dt= − v

T2

dMz

dt= −Mz −M0

T1

(1.13)


FIG. 1.2: Evolution de l’aimantation au cours de la résonance (1.12) dans le repère du laboratoire.

(M0 = 1, ω0 = 30, ω1 = 1)

En résolvant ce système, on obtient la forme générale des composantes du moment

magnétique macroscopique dans le repère tournant

u = C1 exp

(

− t

T2

)

v = C2 exp

(

− t

T2

)

Mz = M0 − Cz exp

(

− t

T1

)

(1.14)

Intéressons-nous maintenant à l’évolution de l’aimantation après application d’une impul-

sion radio-fréquence θ. Les conditions initiales dans le repère tournant sont alors, d’après

l’équation (1.10)

u(0) = 0

v(0) = M0 sin θ

Mz(0) = M0 cos θ

⇒

C1 = 0

C2 = M0 sin θ

Cz = M0(1− cos θ)

(1.15)

On obtient alors par l’équation (1.14) les composantes du moment magnétique macrosco-

pique dans ce repère

u = 0

v = M0 sin θ exp

(

− t

T2

)

Mz = M0 −M0(1− cos θ) exp

(

− t

T1

)

(1.16)


et celles dans le repère du laboratoire

Mx = M0 sin θ exp

(

− t

T2

)

sinω0t

My = M0 sin θ exp

(

− t

T2

)

cosω0t

Mz = M0 −M0(1− cos θ) exp

(

− t

T1

)

(1.17)

Les temps de relaxation T1 et T2 prennent ici toute leur signification, et l’aimantation suit

une trajectoire illustrée par la figure 1.3.

FIG. 1.3: Evolution de l’aimantation au cours de la relaxation (1.17) dans le repère du laboratoire.

(M0 = 1, ω0 = 30, α =π2 , T1 = 1, T2 = 0.5)

1.1.1.4 Signal RMN

Le signal RMN est obtenu après l’application d’une séquence, terme qui désigne une

suite d’impulsions, sur l’échantillon d’intérêt. Nous allons calculer le signal RMN à tout

instant et pour tout type de séquence. Par la suite, le moment magnétique M désigne le

vecteur t(v(t),Mz(t)).

Opérateurs de résonance et de relaxation

Une séquence RMN est constituée d’un enchainement de phases de résonance et de

relaxation. Pour étudier l’évolution du signal RMN au cours de la séquence, nous intro-

duisons les opérateurs de résonance et de relaxation.


Opérateur de résonance

Il est défini par la matrice Sα telle que

Sα =

(

cosα sinα

− sinα cosα

)

(1.18)

La matrice (1.18) est une rotation d’angle −α et d’axe x′. Appliquer une impulsion α au

vecteur M se trouvant dans la position Mi =t (vi,Mzi) revient à l’amener dans la position

Mα définie par

Mα = SαMi (1.19)

Opérateur de relaxation

Cet opérateur est décrit par une matrice Lτ et un vecteur Nτ où τ est le temps de

relaxation.

Lτ =

exp

(

− τ

T2

)

0

0 exp

(

− τ

T1

)

et Nτ =

0

M0

[

1− exp

(

− τ

T1

)]

(1.20)

L’évolution de M au cours de la relaxation à partir de la position Mi = (vi,Mzi) est

donnée par

Mτ = LτMi +Nτ (1.21)

L’obtention de la position du moment magnétique au cours d’une séquence consiste donc

à appliquer successivement ces deux opérateurs dans l’ordre défini par la séquence.

Modélisation d’une séquence d’impulsions

Considérons la séquence d’impulsions schématisée figure 1.4. Nous faisons l’hypothèse

que la durée de chacune des impulsions est infiniment brève pour que nous puissions

négliger les effets de relaxation lors de celles-ci. La durée des impulsions utilisées en

IRM est suffisamment brève pour que cette hypothèse soit valable.

α1 α2 α3 αn

τ1 τ2 τ3 τn -0 t

FIG. 1.4: Exemple de séquence d’impulsions


Le moment magnétique à l’équilibre est M0 = (0,M0). L’impulsion α1 l’amène dans

la position

Mα1= Sα1

M0 (1.22)

A l’issue de la première période de relaxation d’une durée τ1, le moment magnétique se

trouve dans la position

Mτ1 = Lτ1Mα1+Nτ1

= Lτ1Sα1M0 +Nτ1

(1.23)

De la même manière, l’impulsion α2 amène M dans la position

Mα2= Sα2

Lτ1Sα1M0 + Sα2

Nτ1 (1.24)

Et la seconde période de relaxation le place selon

Mτ2 = Lτ2Sα2Lτ1Sα1

M0 + Lτ2Sα2Nτ1 +Nτ2 (1.25)

On vérifie par récurrence qu’après le temps τk suivant la kème répétition, l’aimantation

vautMτk = LτkMαk

+Nτk

=k∑

l=0

[

l+1∏

i=n

LτiSαi

]

Nτl

(1.26)

où l’on a posé Nτ0 = M0 et avec la convention

m∏

i=n

Ai = An.An−1 · · ·Am si m ≤ n

m∏

i=n

Ai = Id si m > n

(1.27)

A l’issue de la nème impulsion, l’évolution de l’aimantation au cours du temps est donnée

par

Mt = LtMαn+Nt (1.28)

où

Mαn= Sαn

n−1∑

l=0

[

l+1∏

i=n−1

LτiSαi

]

Nτl (1.29)

Signal RMN de précession libre

Le signal RMN de précession libre est engendré par l’évolution au cours du temps

du moment magnétique macroscopique transversal (composantes du moment magnétique

dans le plan (O,x,y)). La variation de ce moment magnétique entraîne une variation du

flux magnétique qui, d’après la loi de Lenz, induit un courant électrique. A l’issue de la


nème impulsion de la séquence, les composantes de l’aimantation dans le repère tournant

sont

u(t) = 0

v(t) = (LtMαn+Nt)

(

1

0

)

Mz(t) = (LtMαn+Nt)

(

0

1

)

(1.30)

où Mαnest défini par l’équation (1.29).

Dans le repère du laboratoire, l’aimantation transversale a pour composantes

Mx(t) = u(t) cosω0t+ v(t) sinω0t

My(t) = −u(t) sinω0t + v(t) cosω0t(1.31)

et le signal de précession libre a pour expression

S(t) = My(t) + iMx(t) = vn exp

(

− t

T2

)

exp(iω0t) (1.32)

où vn est la première composante du vecteur Mαn

vn = Sαn

n−1∑

l=0

[

l+1∏

i=n−1

LτiSαi

]

Nτl

(

1

0

)

(1.33)

avec Sαi, Lτi et Nτk définis par les équations (1.18) et (1.20)

Le signal de précession libre est donc un signal sinusoïdal amorti (figure 1.5) de pseudo-

période

T =2π

ω0=

1

γB0(1.34)

L’amplitude vn dépend des temps de relaxation et de l’aimantation à l’équilibre M0, elle-

même proportionnelle à la densité volumique de noyaux, au point considéré. Cette dé-

pendance a lieu par le biais des relations (1.18) et (1.20). L’importance de chacun des

paramètres est déterminée par le choix de la séquence par l’intermédiaire de l’équation

(1.33).

Dans la réalité, le signal défini par la relation (1.32), appelé signal de précession libre, ne

décroit pas en T2 mais en T∗2, qui est défini par

1

T∗2

=1

T2extr

+1

T2(1.35)

Où T2extr est un paramètre destiné à caractériser l’imperfection du champ magnétique B0.


FIG. 1.5: Forme générale du signal RMN (1.32). (vn = 1, T2 = 0.5, ω0 = 30)

1.1.2 Imagerie par Résonance Magnétique

Le signal RMN recueilli est un signal global issu des noyaux constituant l’échantillon.

Pour pouvoir accéder à l’information concernant un point particulier, il faut introduire une

dépendance spatiale dans le signal. Diverses méthodes ont été développées, la première

d’entre-elles étant la méthode de projection-reconstruction, directement issue de la tomo-

graphie par rayons X. La méthode la plus utilisée à l’heure actuelle est la zeugmatographie

de Fourier. Ce type de méthodes est fondé sur une double transformation de Fourier du

signal de résonance.

L’idée directrice de ce type de méthodes est la localisation du signal RMN. Au lieu

d’obtenir un seul signal issu de l’ensemble de l’échantillon, il va falloir dissocier les si-

gnaux issus de chacun des voxels. Une étape de localisation spatiale, décrite dans la suite,

va précéder l’application de la séquence.

1.1.2.1 Localisation du signal RMN

La dépendance spatiale est créée par l’application de trois champs magnétiques appe-

lés gradients. Leur intensité varie de façon linéaire selon les trois directions de l’espace.

L’enchainement des gradients est décrit par la figure 1.6 dans le cas ou l’on se limite à la

mesure des fréquences spatiales positives. Le premier gradient, dit de coupe, est appliqué

en même temps que l’onde radio-fréquence. Cela permet de ne mettre en résonance les

seuls noyaux situés sur une même coupe de l’échantillon. Le second, appelé gradient de

phase, est appliqué un court instant avant l’enregistrement du signal. Il crée un déphasage

entre les signaux de résonance dans une direction du plan de coupe choisie par l’opéra-

teur. La localisation spatiale est finalement obtenue en appliquant le troisième gradient,

de lecture, pendant l’enregistrement du signal, dans la direction orthogonale à celle du


gradient de phase comprise dans le plan de coupe. On obtient alors une correspondance

entre l’espace des positions dans une coupe donnée (x, y) et celui de Fourier (ν, φ). Seule

cette méthode de localisation sera considérée par la suite.

αImpulsion RF

gcGradient de coupe

gp

tpGradient de phase

gl

tlGradient de lecture

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

....................... Signal

FIG. 1.6: Exemple d’enchainement des gradients. Ici seules les fréquences spatiales positives sont

mesurées.

La relation fondamentale du codage spatial est l’équation de Larmor (1.1)

νr =γ

2πB (1.36)

qui relie la fréquence de résonance νr d’un noyau au champ magnétique statique qui lui

est appliqué.

Notion de gradient de champ magnétique

En IRM, le terme gradient de champ magnétique, ou plus simplement gradient, désigne

un champ magnétique statique orienté dans la même direction que le champ principal B0

et dont la contribution au champ magnétique statique varie linéairement en fonction de la

position, comme le montre la figure 1.7. L’intensité de la contribution au champ statique

issue des gradients est faible (10−4 à 10−3 T) par rapport au champ statique (1, 5 T en

règle générale).

On désigne par direction du gradient la direction selon laquelle son intensité varie. Il

ne faut pas la confondre avec la direction du champ lui-même, qui est toujours orienté

selon B0. De même, l’intensité du gradient est le cœfficient directeur de la variation li-

néaire, qui s’exprime en Tesla par mètre (les imageurs cliniques présentent généralement

des gradients d’une intensité de quelques dizaines de milliTesla par mètre [Oppelt 93]). Si

g désigne l’intensité du gradient, n sa direction et r = OP, la contribution d’un gradient


6

B0

-66

66

66

66

Direction du gradient

FIG. 1.7: Exemple de contribution d’un gradient au champ magnétique

G en un point P a pour expression

∆BG(P ) = g(n.r)z (1.37)

Sélection d’un plan de coupe

La sélection du plan de coupe, section de l’objet qui sera représentée sur l’image, est

effectuée à l’aide d’un champ magnétique statique Gc appelé gradient de coupe. Avec les

mêmes conventions que pour l’équation (1.37), on a

∆BGc(P ) = gc(nc.r)z (1.38)

Considérons le plan Πc de cote c dans la direction nc, normale à Πc, représenté figure 1.8.

Le vecteur ∆BGcest constant sur ce plan

-

6

x

O

z

y

6

B0

*

..................................................................

rc

nc

C

P

FIG. 1.8: Sélection du plan de coupe

∀P ∈ Πc,∆BGc(P ) = gccz (1.39)


Donc le champ statique en tout point P de ce plan est constant et vaut

B(P ) = B0 + ∆BGc(P )

= (B0 + gcc)z

(1.40)

La fréquence de Larmor des noyaux situés dans ce plan est elle aussi constante et est

donnée, en tenant compte des équations (1.36) et (1.40), par

νl(P ) =γ

2πB(P )

=γ

2π(B0 + gcc) ≡ νc

(1.41)

La relation (1.41) permet d’introduire la première dimension spatiale. En effet, si l’on

applique une onde radio-fréquence B1 de fréquence νc à l’objet imagé, on n’excitera que

les noyaux situés dans le plan Πc.

Le point C ∈ Πc,OC = cnc sera appelé par la suite origine du plan de coupe.

Codage par la fréquence

Un second gradient, le gradient de lecture noté Gl, est utilisé pour rendre la fréquence

des contributions au signal des noyaux du plan de coupe dépendants de leur position dans

ce plan. La direction du gradient de lecture nl est orthogonale à celle du gradient de coupe

nc. En gardant le formalisme de l’équation (1.37), on a

∆BGl(P ) = gl(nl.r)z (1.42)

On considère, voir figure 1.9, la droiteDl ∈ Πc perpendiculaire à la direction du gradient

-

6

x

O

z

y

6

B0

*

..................................................................

-rc

nc

C

P

nl

6

--

×

C

P

Dl

nc

nl xl

Direction dugradient de lecture

FIG. 1.9: Codage par la fréquence


de lecture nl et située à la distance xl du point C. On a alors

∀P ∈ Dl,nl.OP = nl.CP = xl (1.43)

Par suite, d’après la relation (1.37), la contribution du gradient de lecture est la même en

tout point de cette droite et vaut

∆BGl= glxlz (1.44)

Le gradient de lecture étant appliqué au moment de l’enregistrement du signal, le champ

magnétique à cet instant vaut

B = B0 + ∆BGl(1.45)

La fréquence de la contribution au signal de résonance d’un volume unitaire centré sur le

point P ∈ Πc vaut

ν(P ) =γ

2π(B0 + glxl) (1.46)

L’origine des fréquences est choisie de manière à avoir

ν(P ) =γ

2πglxl soit ω(P ) = γglxl (1.47)

Codage par la phase

Nous sommes désormais capables de coder deux dimensions spatiales. Pour compléter

cette localisation, il reste à créer une dépendance du signal en fonction de la position du

proton sur chaque droite Dl. On utilise pour cela un troisième gradient, dit de phase, noté

Gp. La direction np de ce gradient est perpendiculaire aux directions des gradients de

coupe et de lecture. La contribution au champ magnétique statique du gradient de phase

s’exprime sous la forme

∆BGp(P ) = gp(np.r)z (1.48)

Si l’on considère, comme illustré sur la figure 1.10, la droite Dp perpendiculaire à np et

située à la distance xp du point C, on a

∀P ∈ Dp,np.r = np.CP = xp (1.49)

La contribution du gradient de phase vaut donc en tout point de cette droite, en combinant

les équations (1.48) et (1.49)

∆BGp(P ) = gpxpz (1.50)

Le gradient de phase est appliqué pendant un temps tp avant que ne commence l’enregis-

trement du signal. La contribution au signal issue d’un volume centré sur le point P ∈ Πc

acquiert une phase

φ(P ) = 2πνl(P )tp

= γgpxptp + (γB0tp)(1.51)


-

6

x

O

z

y

6

B0

*

..................................................................

-

rc

nc

C

P

nl

np

6

--

6

×

C

P

nc

nl

npxl

xp

Direction dugradient de lecture

Direction dugradient de phase

FIG. 1.10: Codage par la fréquence et la phase

L’origine des phases est choisie de manière à avoir

φ(P ) = γgpxptp (1.52)

Une fois le plan de coupe sélectionné par le gradient de coupe, il devient donc possible

d’y choisir une position P par l’intermédiaire des codages en fréquence et phase. Les

relations entre (x, y) = (xl, xp) et (ν, φ) sont données par les relations (1.47) et (1.52).

1.1.2.2 Reconstruction de l’image

Introduisons le repère Rc lié au plan Πc, défini par son origine C, origine également

du plan de coupe, et les vecteurs de base nl, np et nc, comme illustré figure 1.10.

Le signal RMN

L’expression de la contribution au signal de résonance d’un volume unitaire centré sur

la position (xl, xp) du plan de coupe est donnée par l’équation (1.32). En introduisant les

paramètres spécifiques à l’image définis dans la section précédente, il vient

s(xl, xp) = I(xl, xp) exp

(

−tl + tpT2

)

exp [ i (ω(xl, xp)tl + φ(xl, xp))] (1.53)

avec ω = 2πν, ν et φ étant définis respectivement par les relations (1.47) et (1.52). Ici

tp est la durée d’application du gradient de phase et tl la variable de temps dont l’origine

coïncide avec le début d’enregistrement du signal.

Le signal recueilli provient de la mise en résonance de tous les protons du plan de coupe

Πc sélectionné. Il est de la forme

S(tl, tp) =

∫∫

Πc

I(xl, xp) exp

(

− tl + tpT∗

2(xl, xp)

)

exp [iγ(glxltl + gpxptp)] dxldxp (1.54)


où l’intensité I(xl, xp) dépend à la fois du moment magnétique à l’équilibre, et donc de

la densité de protons, et des temps de relaxation T1 et T2 par le biais de la relation (1.33).

Notion de plan de Fourier

Si l’on néglige les effets dûs à la relaxation, la relation (1.54) est directement identi-

fiable à une transformée de Fourier bidimensionnelle. Cette relation peut être réécrite sous

la forme

S(kx, ky) =

∫∫

Πc

I(xl, xp) exp [2iπ (kxxl + kyxp)] dxldxp (1.55)

kx et ky sont appelées fréquences spatiales. L’espace qu’elles définissent est le plan de

Fourier ou espace-k. Ces fréquences sont définies par

kx = γgltl

ky = γgptp(1.56)

Le plan de Fourier consiste donc en la collection des spectres en fréquences spatiales de

l’objet situé dans le plan de coupe. Les composantes basse-fréquence (approximations) se

trouvent au centre de l’espace-k et les composantes haute-fréquences (détails) sont sur les

bords. Cet espace de représentation présente la particularité d’être, en théorie, Hermitien.

Cette propriété est utilisée parfois pour réduire le temps d’acquisition en ne parcourant

que la moitié du plan de Fourier (imagerie en demi-plan de Fourier).

Transformation de Fourier du signal

Afin de simuler le processus d’acquisition de l’image IRM, nous allons effectuer la

transformation de Fourier du signal S en négligeant les phénomènes de relaxation. L’ex-

pression (1.54) devient alors

S(tl, tp) =

∫∫

Πc

I(xl, xp) exp [iγ(glxltl + gpxptp)] dxldxp (1.57)

On peut alors écrire

S(tl, tp) = 4π2F

−1(I(γgltl, γgptp)) (1.58)

avec F−1 la transformée de Fourier inverse. L’intensité I(u1, u2) du point (u1, u2) de

l’image, obtenue par transformée de Fourier du signal, a pour expression

I(u1, u2) = F(S)(u1, u2) = I(xl, xp) (1.59)

où (u1, u2) et (xl, xp) sont liés par les relations

u1 = γglxl

u2 = γgpxp(1.60)

Il existe donc bien une relation directe entre l’image issue d’une acquisition et l’objet

imagé.


1.1.2.3 Notion de pondération

Le contraste d’une image est une notion importante de l’imagerie qualitative car l’œil

humain ne discerne pas les valeurs de luminance absolue.

Bien que la perception des contrastes présents dans une image dépende de nombreux

facteurs, le contraste d’une image est défini en termes de différence relative d’intensité. Si

l’on note IA et IB l’intensité des tissus A et B, et CAB leur contraste,

CAB =|IA − IB|

Iref(1.61)

avec Iref une constante de normalisation. Si l’on pose Iref =√

|σ2A − σ2

B|, avec σA et

σB les écart-types liés au bruit dans les tissus A et B, on retrouve un autre paramètre

important en IRM, le rapport contraste-sur-bruit (RCB) calculé par [Langlois 98]

RCBAB =|IA − IB|√

|σ2A − σ2

B|(1.62)

Afin de maximiser ces paramètres, il convient d’augmenter la différence d’intensité entre

les tissus sans amplifier le bruit.

En IRM, l’intensité I est fonction de paramètres tels que la densité de protons ρ, les

temps de relaxation T1, T2, etc. Le contraste peut donc s’écrire

CAB = f(ρ,T1,T2, . . .) (1.63)

où la forme exacte de f(.) dépend du protocole d’acquisition. Si les paramètres d’acqui-

sition sont réglés de manière à ce que le paramètre T1 prédomine, on peut noter

CAB ≈ f(T1) (1.64)

et l’image obtenue est dite pondérée en T1. De la même manière, il est possible d’obtenir

des images pondérées en T2, figure 1.11, ou en densité de proton ρ, figure 1.18.

1.1.3 Principaux artefacts

Le principe de l’acquisition IRM engendre, de part sa complexité, illustrée par la figure

1.17, de nombreux artefacts. Le premier d’entre-eux est bien sûr le bruit, mais chaque

étape de l’acquisition engendre des perturbations de l’information, où artefacts.

1.1.3.1 Bruit et IRM

Le bruit est une caractéristique importante des images obtenues par résonance magné-

tique. Il convient de souligner que si le bruit est supposé gaussien et centré dans le plan

de Fourier, il ne l’est pas dans les images modules visualiées en routine clinique, ni dans

les images de phase. Nous allons développer cela dans le paragraphe qui suit.


FIG. 1.11: Exemple de série d’images RM cérébrales pondérées en T2 (la coupe en haut à gauche

est la plus basse, celle en bas à droite la plus haute)

Caractérisation

Les caractéristiques du bruit sont étudiées dans [Gudbjartsson 95]. Les lois de probabi-


lité que suit le bruit dans les images modules, qui sont utilisées en routine clinique, et les

images de phase y sont développées.

Images modules

L’image module est l’image du module pixel par pixel. Cette opération étant non-

linéaire, la nature gaussienne du bruit n’est pas conservée. Si l’on note A l’intensité d’un

pixel en l’absence de bruit et M l’intensité mesurée réellement, la densité de probabilité

pour M en présence de bruit devient une distribution de Rice

pM(M) =M

σ2e−

M2+A2

2σ2 I0

(

A.M

σ2

)

(1.65)

où I0 est la fonction de Bessel modifiée du premier ordre et σ correspond à l’écart-type

du bruit gaussien dans les images réelles et imaginaires. Considérons maintenant les cas

extrêmes du bruit seul (A = 0) et d’un grand rapport signal-sur-bruit (A >> σ).

Si l’on ne considère que le bruit, l’équation (1.65) devient une distribution de Rayleigh

pM(M) =M

σ2e−

M2

2σ2 (1.66)

Les moyennes et variances de cette distribution sont données par

EM = σ

√

π

2

σ2M =

(

2− π

2

)

σ2(1.67)

Ce qui permet de calculer la “vraie” variance du bruit σ à partir de la seule image module.

Si le rapport signal-sur-bruit devient grand, l’équation (1.65) devient

pM(M) ≈ 1√2πσ2

e−(M−

√A2+σ2)

2

2σ2 (1.68)

La distribution de l’intensité du bruit peut alors être considérée comme gaussienne, de

variance σ2 et de moyenne√A2 + σ2.

Images de phase

L’image de phase est obtenue par le calcul de l’arctangente du rapport entre les parties

imaginaires et réelles. De la même façon que pour les images modules, la non-linéarité de

cette relation entraîne une modification de la distribution du bruit, qui devient

pθ(θ) =1

2πe−

A2

2σ2

[

1 +A

σ

√2π cos θe

A2cos

2 θ

2σ21√2π

∫ A cos θσ

−∞e−

x2

2 dx

]

(1.69)


Du fait de la complexité de cette expression, nous ne nous intéresserons qu’aux cas limites

A = 0 (bruit seul) et A >> σ (grand rapport signal-sur-bruit).

Dans le cas du bruit sans signal, l’équation (1.69) devient

pθ(θ) =

1

2πsi − π < θ < π

0 sinon(1.70)

Ce qui correspond à une distribution uniforme et rend bien compte de l’aspect aléatoire

du bruit. L’écart type du bruit dans ce cas est

σθ =

√

2π2

3(1.71)

Dans le cas d’un fort rapport signal-sur-bruit, l’intégrale de l’équation (1.69) sera

proche de 1 et cette équation deviendra

pθ(θ) ≈A cos θ

σ√

2πexp

[

−A2(1− cos2 θ)

2σ2

]

≈ 1√

2π(σ/A)2exp

[

− θ2

2(σ/A)2

] (1.72)

Le bruit peut alors être considéré comme suivant une distribution gaussienne centrée et

d’écart-type

σθ =σ

A(1.73)

Mesure

Une comparaison des deux principales méthodes de mesure du rapport signal-sur-bruit

est fournie par [Firbank 99]. Ces deux méthodes consistent soit en l’acquisition de deux

images du même objet (méthode de la double acquisition), soit en l’acquisition d’une seule

image (méthode de l’acquisition simple). Les rapports signal-sur-bruit (SNR, Signal-to-

Noise Ratio) sont ensuite calculés par, pour la première méthode évoquée [Price 90],

SNRdouble =√

2S1

SD1-2(1.74)

avec S1 le signal moyen dans la région d’intérêt (ROI, Region Of Interest) de la première

image et SD1-2 l’écart-type dans la région d’intérêt de l’image différence, et pour la se-

conde méthode [Kaufman 89]

SNRsimple = 0.655S

SDair(1.75)

où S est le signal moyen dans la ROI et SDair l’écart-type du signal dans l’air entourant

l’objet.


D’après [Firbank 99], ces deux méthodes sont presque équivalentes, SNRsimple et SNRdouble

étant liés par la relation

SNRsimple = 1.1 + 0.94× SNRdouble (1.76)

1.1.3.2 Autres artefacts majeurs

Artefact de Gibbs

Il se traduit par l’apparition de répliques des contours de fort contraste. Ces répliques

sont dues au codage du plan de Fourier sur un nombre fini de points.

Il est facile de simuler cet artefact en calculant la convolution de l’objet d’intérêt avec

la réponse impulsionnelle d’une fenêtre rectangulaire, d’équation

h(x) = ∆ksin(πN∆k x)

sin(π∆k x)exp(−iπ∆k x) (1.77)

où ∆k est le pas d’échantillonnage dans le plan de Fourier et N le nombre d’échantillons

dans ce même domaine. Si la couverture du plan de Fourier est symétrique, le terme de

phase exp(−iπ∆kx) est éliminé.

Une solution consiste en la collection de plus de points dans le domaine de Fourier,

ce qui rend l’artefact de plus en plus localisé au niveau de l’interface, et donc peu influent

sur l’image, comme le montre la figure 1.12. Une autre solution est le filtrage des données

avant la transformée de Fourier avec une fenêtre d’apodisation, typiquement une fenêtre

de Hamming [Liang 00].

FIG. 1.12: Evolution de l’artefact de Gibbs en fonction de la taille du domaine de Fourier.

Aliasing

Lorque les conditions d’échantillonnage de Shannon ne sont pas respectées pendant


l’acquisition, la reconstruction parfaite de l’objet imagé devient impossible et il apparaît

alors des répliques (spatiales) de l’objet qui perturbent l’analyse de l’image.

Si l’on considère un signal continu S(t) échantillonné uniformément à une fréquence

νe, le théorème de Shannon impose que S(t) ait un contenu fréquentiel tel que |ν| <νe/2. Si cette condition n’est pas remplie, les composantes fréquentielles situées hors de

cette bande de fréquence vont se replier sur celle-ci. La fréquence apparente νa d’une

composante de ν sera alors donnée par

νa =

ν − nνe si ν > 0

ν + nνe si ν < 0(1.78)

FIG. 1.13: Artefact d’aliasing : repliement spatial dû à un sous-échantillonnage spectral

[Liang 00].

Déplacement chimique

Le terme de déplacement chimique se réfère à un déplacement de la fréquence de ré-

sonance des spins nucléaires dans des environnements chimiques différents. L’exemple

classique en IRM est le déplacement de la fréquence de résonance des protons situés dans

la graisse par rapport à ceux situés dans l’eau (déplacement de l’ordre de 3,35 parties par

million (ppm) [Liang 00]). Etant donné que la position spatiale est codée par la fréquence,

il en résulte un mauvais positionnement de certains points.

Si l’on pose B0 l’intensité du champ statique, G l’intensité du gradient de codage en

fréquence et ∆x la taille d’un pixel, le décalage en fréquence va être, d’après l’équation

de Larmor (1.1)

∆νc =γ

δB0 (1.79)

où δ est la constante d’écran (δ=3,35 ppm ici). La largeur de bande correspondant à un


pixel étant ∆νx = γG∆x, le déplacement en pixels sera

δx =∆νc∆νx

=δB0

G∆x(1.80)

et le déplacement spatial exact

∆xc = δx∆x =δB0

G(1.81)

On peut remarquer que d’après l’équation (1.81), plus l’imageur aura un champ statique

élevé, plus le déplacement chimique sera observable, à intensité de gradient constante.

La méthode la plus efficace pour réduire cet artefact consiste en l’utilisation de gra-

dients très intenses. Cependant, ceci entraine une diminution du rapport signal à bruit.

Une autre solution est l’utilisation de séquences supprimant le signal issu de la graisse.

Une illustration schématique de cet artefact est donnée par la figure 1.14. On y voit que

le signal issu de la graisse est décalé vers une fréquence plus basse dans la direction du

codage de fréquence, provoquant l’apparition de contours erronés.

FIG. 1.14: Illustration de l’artefact de déplacement chimique.

Troncature des données

Cette troncature a lieu lorsque le signal reçu a une dynamique trop grande par rapport

au calibrage du convertisseur numérique-analogique d’entrée. Du fait de la structure du

plan de Fourier, à savoir un maximum au centre de ce plan, la perte va se situer au niveau

des composantes basse-fréquences de l’image. Une illustration de ce problème est fournie

par la figure 1.15. La solution usuelle est un précalibrage automatique des amplificateurs

situés avant les convertisseurs analogique-numériques.


FIG. 1.15: Illustration de la troncature des données dans le plan de Fourier. (a) avec l’artefact, (b)

sans l’artefact [Liang 00]

1.1.3.3 Inhomogénéité d’intensité

Définition

L’inhomogénéité d’intensité est un terme fréquemment employé en IRM pour désigner

les variations d’intensité lisses, basse-fréquences et sans signification anatomique.

Le jeu de paramètres principalement utilisé pour quantifier cet artefact a été défini par

[Wicks 93]. Il consiste à distinguer l’inhomogénéité interne à une coupe de celle existant

d’une coupe à l’autre. Ces deux paramètres sont

– l’inhomogénéité intra-coupe, qui est la variation d’intensité d’un seul tissu dans une

coupe. Elle est définie par

Gintra = 100× σ

µ(1.82)

où σ correspond à l’écart-type des intensités dans l’image et µ leur moyenne, après

filtrage passe-bas.

– l’inhomogénéité inter-coupe, qui correspond à la variation d’intensité pour un même

tissu entre plusieurs coupes. Elle est définie par

Ginter = 100× σµµµ

(1.83)

où σµ et µµ sont les écart-types et moyennes des intensités moyennes de chaque

coupe.

Contrairement à certains artefacts communs en IRM dont les causes sont parfaitement

connues (artefact de Gibbs, aliasing) [Liang 00], l’inhomogénéité d’intensité n’a pas de

cause unique et clairement définie. Des expériences ont été menées pour caractériser celle-

ci, comme le montre la partie suivante.


Caractérisation

L’inhomogénéité d’intensité est un artefact issu de la combinaison des effets dûs à l’en-

semble des éléments intervenant dans une acquisition IRM (imageur, séquence, objet),

comme le montre la figure 1.16.

.....................................

.....................

..........................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

..................................................................

R

Imageur

.........

............................

.....................

..........................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

..................................................................

Séquence

.........

............................

.....................

...........................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

..................................................................

6

Objet

I

FIG. 1.16: L’artefact d’inhomogénéité d’intensité, situé en I, subit l’influence des trois éléments

constituant une acquisition IRM : l’imageur, la séquence et l’objet imagé.

Nous allons maintenant tenter de caractériser l’effet de chacun de ces éléments.

Influence de l’imageur

Par influence de l’imageur on entend les limitations liées au matériel employé dans

l’imageur. Un schéma de principe d’un imageur est donné par [Leach 92] et est reproduit

figure 1.17.

Au vu de celle-ci, il est facile d’imaginer que les défauts dûs à la machine peuvent être

nombreux. Ceux-ci peuvent se situer à trois niveaux.

Tout d’abord l’inhomogénéité B0, qui est réglée par la correction de shim. Cette der-

nière consiste à régler localement le champ statique B0 par rapport à l’objet à imager. Un

mauvais réglage du shim se traduit par un champ statique B0 inhomogène. Cette inhomo-

généité se traduit par une déformation locale du plan de coupe [Bridcut 01], le déplace-

ment étant donné par la relation ∆z = ∆B0/Gz.

Ensuite il est nécessaire de citer l’imperfection des gradients. La principale imper-

fection que l’on puisse trouver vis-à-vis des gradients est leur non-linearité. Ceci se tra-

duit sur l’image par des distorsions géométriques au niveau des bords de l’objet imagé

[Langlois 99]. Une autre conséquence de l’utilisation de gradients, parfaits ou non, est

l’apparition de courants induits (courants de Foucault) lors du basculement de ceux-ci.

L’effet observé est une variation d’intensité entre les coupes paires et les coupes impaires

qui reste à expliquer [Johnson 87, Simmons 94].


FIG. 1.17: Schéma descriptif d’un imageur [Leach 92]

Pour finir, il faut souligner l’influence de l’homogénéité de l’antenne RF. Cet aspect

de la chaine d’acquisition a particulièrement été étudié par [Wicks 93]. Ici on ne considère

que la chaîne radio-fréquence (RF) (allant du CPU au RF coil et retour), les principales

sources de défauts se situent au niveau des ensembles convertisseur-amplificateur en émis-

sion ou réception et de l’antenne utilisée. Ainsi [Wicks 93] montre que si la bande passante

des convertisseurs est insuffisante, la variation d’intensité à l’intérieur d’une coupe peut

être de l’ordre de 21% pour une troncature de la bande passante de 10%.

Dans le cas d’une antenne tête, [Simmons 94] ne considère comme significatif que

le mauvais accord de l’antenne RF, faisant valoir une augmentation de l’inhomogénéité

intra-coupe de 1% à 9% sur un fantôme de calibration. [Wicks 93] indique quant à lui une

variation d’intensité inter-coupe de l’ordre de 7.8% pour une antenne tête accordée contre

3.8% pour l’antenne corps entier. L’inhomogénéité de l’antenne RF est un artefact pré-

pondérant dans le cas de l’imagerie à l’aide d’antennes de surface (généralement utilisées

en réception), l’atténuation de celles-ci prenant le pas sur toute autre forme d’artefact.

Influence de la séquence

L’inhomogénéité d’intensité n’est pas limitée à un type de séquence. Cet artefact est

visible sur les images acquises avec une séquence écho de spin [Simmons 94, Barker 98],

séquence classique caractérisée par une impulsion à 90˚suivie d’une impulsion à 180˚,

mais aussi en écho de gradient [Mihara 98, Reeder 98], séquence composée d’une impul-


sion d’angle inférieur à 90˚et d’un gradient de lecture bipolaire.

En ce qui concerne les paramètres indépendants du type de séquence, on peut com-

mencer par noter que le choix de l’orientation des coupes (sagittale, coronale ou axiale)

n’a pas d’importance quant à l’inhomogénéité [Simmons 94]. Par contre, d’après le même

article, le choix d’entrelacer ou non les coupes est important car l’excitation croisée entre

deux coupes adjacentes peut amener jusqu’à 15% de variation d’intensité pour un même

tissu.

Les paramètres propres aux séquences en écho de spin ont été étudiés de manière

exhaustive par [Simmons 94]. Il en ressort que les paramètres influençant le plus l’homo-

généité de l’image sont le temps de répétition (TR) et le nombre d’échos. L’influence de

TR peut se justifier par l’apparition de courants de Foucault à l’intérieur de l’objet imagé

lorsque les gradients basculent rapidement. Celle du nombre d’échos est probablement

due à la baisse de qualité de la refocalisation lorsque ce nombre augmente.

Influence de l’objet

L’influence de la géométrie de l’objet a été étudiée dans [Sled 98a]. La forme de l’in-

homogénéité y est comparée pour deux fantômes, l’un circulaire et l’autre elliptique. Il

montre que les causes premières de l’inhomogénéité d’intensité sont les interactions élec-

trodynamiques entre les tissus. [Alecci 01] étudie l’influence de la matière constituant

l’objet imagé pour un imageur à 3 Teslas (T), en prenant les exemples de l’eau, de l’huile,

d’une solution saline et d’un cerveau humain. Il illustre les variations de forme et d’am-

plitude des inhomogénéités d’intensité en fonction de la matière.

Modélisation

La très grande majorité des articles consacrés à la correction de l’inhomogénéité d’in-

tensité la modélisent par un biais multiplicatif affectant l’intensité de l’image [Axel 87,

Wells 96, Zhang 01]. Ils évoquent aussi l’inhomogénéité du champ RF comme l’une des

causes principales de cet artefact. Nous allons donc nous intéresser à l’influence d’une

variation locale de B1 sur l’intensité d’un voxel.

Le signal électrique induit aux bornes d’une antenne de réception est donné par l’équa-

tion

dξ = − ∂

∂t(B1.M)dV (1.84)

dV est le volume entourant le point d’intérêt.

En présence du champ statique B0, l’aimantation macroscopique M effectue un mou-

vement de précession à la vitesse angulaire ω0 autour de la direction de B0.


Les coordonnées de M dans le repère direct (x,y,z) où B0 est orienté selon z sont

alors

M =

Mxy cos(−ω0t+ β)

Mxy sin(−ω0t+ β)

Mz

(1.85)

Dans le cas d’un champ inhomogène, si l’on remplace B1 par B1 + δB1 (avec les

déphasages β ′ et β ′′ associés), l’équation (1.84) devient, en considérant l’équation (1.85)

dξ = Mxyω0[B1xysin(−ω0t+ β − β ′) + δB1xy

sin(−ω0t + β − β ′′)]dV (1.86)

Si l’on calcule la contribution d’un voxel V de l’image, on obtient alors

ξ =

∮

V

dξ

= ω0MxyV[

B1xysin(−ω0t+ β − β ′)

+δB1xysin(−ω0t + β − β ′′)

]

(1.87)

Après détection en quadrature et transformée de Fourier, on obtient une image com-

plexe i dont la partie réelle et la partie imaginaire sont données par

Im(i) = Mxy

[

B1xysin(β − β ′) + δB1xy

sin(β − β ′′)]

Re(i) = Mxy

[

B1xycos(β − β ′) + δB1xy

cos(β − β ′′)]

(1.88)

Il en résulte une image module et une image de phase définies respectivement par

I = B′1xyMxy

avec B′1xy

=√

B21xy

+ δB21xy

+ 2B1xyδB1xy

cos(β ′′ − β ′)

(1.89)

et

φ = arctan

[

B1xy

Dtan(β − β ′) +

δB1xy

D cos(β − β ′)sin(β − β ′′)

]

avec D = B1xy+ δB1xy

cos(β − β ′′)

cos(β − β ′)

(1.90)

Nous pouvons observer que si le modèle multiplicatif est adapté au problème des varia-

tions d’intensité dans les images modules si l’excitation B1 inhomogène. L’intensité de

l’excitationB′1xy

est fonction non seulement des variations spatiales de champ, mais aussi

des déphasages que ces variations induisent. Cette dépendance est aussi valable pour les

images de phase, pour lesquelles le modèle n’est bien sûr pas multiplicatif. Si l’on se place


dans le cas particulier d’un champ RF parfaitement homogène, δB1xy= 0 et β ′′ = 0 et les

équations (1.89) et (1.90) deviennent respectivement

I = B1xyMxy (1.91)

et

φ = β − β ′ (1.92)

Aussi bien pour un champ B1 homogène qu’inhomogène l’image I obtenue est le

produit de l’aimantationMxy par le profil de sensibilité de l’antenne. La quantité mesurée

sur les images magnitudes étant I et celle désirée Mxy, l’hypothèse du biais multiplicatif

est vérifiée pour le champ RF.

Il est intéressant de noter que si l’on modélise les interactions électrodynamiques entre

les tissus par une variation δM de l’aimantation, la symétrie de l’équation (1.84) permet

de garder la même modélisation de l’inhomogénéité par un biais multiplicatif.

1.2 IRM et Sclérose En Plaques

Nous allons évoquer dans cette partie la maladie de la Sclérose En Plaques (SEP) et

ses caractéristiques visibles sur l’image IRM. Cette thèse trouve en effet son origine dans

la demande de la part des radiologues d’un algorithme permettant de corriger les images

cérébrales obtenues par l’IRM afin d’en faciliter l’analyse quantitative automatique. La

problématique de correction se réduisant d’un point de vue technique à la restauration

d’images par résonance magnétique au sens large, nous n’évoquerons plus par la suite

cette spécificité vis-à-vis de la SEP.

1.2.1 Sclérose En Plaques

1.2.1.1 Epidémiologie

La sclérose en plaques est une maladie inflammatoire du système nerveux central

(SNC, constitué du cerveau, de la moelle épinière et des nerfs optiques) qui évolue par

poussées. En IRM, l’inflammation apparaît sous la forme de plaques, de taille et de loca-

lisation variables, disséminées dans le SNC. Elle débute chez l’adulte jeune, entre 20

et 40 ans et est plus fréquente chez la femme que chez l’homme. Elle est fréquente

(environ une personne sur 1000 est atteinte) et invalidante. Schématiquement, on peut

dire qu’après 8 années de maladie, le patient éprouve des difficultés à se mouvoir, après


20 ans un fauteuil roulant est nécessaire et après 35 ans il décède dans un état graba-

taire. Les patients sont donc complètement dépendants pendant une quinzaine d’années

[Confavreux 98b, Confavreux 99].

1.2.1.2 Pathologie

La sclérose en plaques existe sous trois formes majeures, récurrente/rémittente (SEP-

R), la plus bénigne, secondairement progressive (SEP-SP) et progressive primitive (SEP-

PP), la plus sévère. Le processus lésionnel reste cependant le même, à savoir une démyéli-

nisation inflammatoire suivie d’une gliose ou, parfois d’une remyélinisation [Weinshenker 91].

Au fil des poussées successives, la multiplication des lésions (plaques) sur une même voie

nerveuse contribue à l’augmentation du handicap permanent. L’IRM permet de suivre in

vivo l’évolution du processus lésionnel [Miller 98]. En plus de l’apparition de lésions, la

maladie se traduit aussi par des variations du volume du cerveau. Plusieurs protocoles de

surveillance ont été publiés [Paty 93b, Barkhof 96a, Barkhof 97, Rudick 97, Kappos 98]

et sont utilisés dans la quasi totalité des essais thérapeutiques [Paty 93a].

1.2.1.3 Poids socio-économique

Environ 9000 patients atteints de la SEP sont suivis dans le cadre des essais théra-

peutiques en cours. Chaque patient subit entre 2 et 4 examens IRM par an. Le Canadian

Burden of Illness Study Group a estimé en 1998 le coût annuel (direct et indirect) de la

SEP à 1.6 millions de dollars canadiens par patient (étude réalisée sur 198 patients). Le

coût total d’une IRM cérébrale est évalué à 1150 dollars américains, 1000 pour l’examen à

proprement parler et 150 pour l’analyse des images. L’élaboration de stratégies thérapeu-

tiques, en fonction des critères IRM de bon ou mauvais pronostic, permettra d’optimiser

l’utilisation des ressources financières. L’évaluation de leur impact sur la santé des pa-

tients, leur qualité de vie et les coûts (directs et indirects) reste à analyser.

1.2.2 Séméiologie IRM

1.2.2.1 Séméiologie IRM de la SEP

La séquence IRM privilégiée pour la détection des plaques utilise un temps de répéti-

tion (TR) de 2000 à 3000 ms avec des temps d’écho (TE) de 20-30 et 70-90 ms. Le pre-

mier écho donne une image pondérée en densité de protons (lésions en hyper signal, LCR

en hyposignal) et le second une image pondérée en T2 (lésions et LCR en hypersignal).

Cette séquence d’impulsions est appelée “double-écho”. Les différences d’apparence et


de contraste selon la pondération sont illustrées par la figure 1.18. Les lésions cérébrales

de la SEP sont particulièrement visible sur ces images pondérées en densité de proton et

en T2. Les séquences pondérées en T1 s’avèrent beaucoup moins sensibles. Les lésions

sont généralement multiples, bilatérales, asymétriques et taille variable [Grimaud 97].

(a) (b)

(c) (d)

FIG. 1.18: Même coupe IRM selon différents protocoles, les lésions (périventriculaires) sont in-

diquées par les traits rouges. (a) Densité de Protons (DP). (b) Pondérée en T2. (c)

Pondérée en T1. (d) Pondérée en T1 avec produit de contraste (Gadolinium).


1.2.2.2 Evolution naturelle de la lésion élémentaire en IRM

L’observation de l’évolution des lésions de SEP par l’intermédiaire de l’IRM est com-

munèment appelée activité IRM de la SEP. Cette activité englobe l’apparition de nouvelles

lésions, la disparition de lésions préexistantes, la prise de contraste au niveau d’une ou

plusieurs lésions et l’augmentation ou la réduction de la taille d’une ou plusieurs lésions.

La réalisation d’IRM successives sur un grand nombre de patients a permis l’étude

de l’histoire naturelle des lésions. La première modification détectable est l’apparition

d’une zone de prise de contraste sur les séquences pondérées en T1 après injection de

gadolinium, un produit de contraste paramagnétique [Cotton 99]. La prise de contraste

dure de 2 à 6 semaines et peut être observée avant que n’apparaisse une anomalie sur les

séquences pondérées en T2. Cette dernière met en évidence un hypersignal qui augmente

progressivement de taille pour atteindre son maximum en 4 à 6 semaines. Ensuite la lésion

IRM diminue progressivement de taille sur 4 à 8 semaines et disparaît ou laisse place à

une lésion définitive.

L’analyse quantitative des lésions apparaissant sur les IRM est compliquée par dif-

férents facteurs. Tout d’abord, comme évoqué au paragraphe précédent, les lésions pré-

sentent une apparence différente au cours de leur évolution. Ceci implique donc des va-

riations de contraste importantes d’une lésion à une autre, ceci étant aggravé par le fait

que la transition entre lésion et tissu sain n’est pas franche. Du fait de cette évolution

des lésions, leur localisation spatiale est très variable, des lésions pouvant apparaitre ou

disparaitre d’une IRM à une autre.

1.2.3 Diagnostic de la SEP en IRM

1.2.3.1 Critères diagnostiques IRM

Des critères destinés à améliorer la spécificité de l’IRM dans le diagnostic de la SEP on

été proposés par [Paty 88, Fazekas 88, Barkhof 96b, Barkhof 97, Filippi 94]. Ces critères

se fondent essentiellement sur le nombre, la taille et la disposition spatiale des plaques,

notamment la présence d’une ou plusieurs lésions périventriculaires. Chacun de ces en-

sembles de critères est lié à un protocole d’acquisitions spécifique.

La pertinence de ces critères a bien sûr été vérifiée, ainsi une évaluation de 1500

patients à l’aide des critères de [Fazekas 88] a permis d’obtenir une sensibilité de 0.81 et

une spécificité de 0.96 ainsi qu’une valeur prédictive positive de 0.65 pour le diagnostic

de SEP [Offenbacher 93]. Les faux positifs étaient souvent le fait de patients âgés de plus

de 60 ans.


1.2.3.2 Valeurs prédictives de l’IRM

Outre les critères diagnostiques énumérés précédemment, l’IRM est aussi utilisée pour

sa valeur prédicitve concernant la possible évolution vers une SEP "cliniquement cer-

taine", la fréquence des poussées et le handicap à terme. Ces facteurs sont essentiels dans

la prise en charge des patients et en particulier pour le choix des stratégies thérapeutiques

les plus adaptées aux diverses formes possibles de la SEP.

Si l’IRM initiale est normale, le risque de développer une SEP "cliniquement certaine"

est de 3 à 16% à 5 ans et de 11 à 19% à 10 ans. 60% des patients qui remplissent les critères

de Paty ou de Fazekas et 75% des patients satisfaisant aux critères de MAGNIMS présen-

teront dans l’année une deuxième poussée, c’est-à-dire une SEP "cliniquement certaine".

Un certain nombre d’études prouvent que la valeur prédictive de la charge lésionnelle

sur des séquences pondérées en T2 quant à l’évolution future du handicap fonctionnel est

incertaine [Grimaud 97, Confavreux 98a].

1.2.4 Intérêt de l’IRM dans l’évaluation thérapeutique

1.2.4.1 Difficultés de l’évaluation clinique

L’évaluation clinique de l’activité évolutive de la SEP et des modifications induites

par les traitements est particulièrement difficile. Les échelles d’évaluation clinique sont

très peu sensibles et leur reproductibilité intra et inter-observateur est mauvaise. De plus

la progression du handicap est très variable mais généralement lente, entrecoupée d’ag-

gravations rapides et de rémissions spontanées. C’est pourquoi les essais thérapeutiques

doivent inclure plusieurs centaines de participants pendant plusieurs années. L’imperfec-

tion des échelles cliniques a conduit à rechercher un paramètre à la fois plus sensible, plus

objectif et plus reproductible pour apprécier l’activité évolutive de la maladie. C’est dans

ce contexte que les paramètres extraits de l’IRM ont un rôle très important à jouer pour le

suivi objectif de la pathologie.

1.2.4.2 Essais thérapeutiques

Dans les essais thérapeutiques de phase III, il n’est à ce jour pas envisageable de sub-

stituer l’IRM à l’évaluation clinique. La variation du volume global de l’ensemble des

lésions visibles sur l’IRM doit être utilisée comme un critère secondaire de l’efficacité

du traitement, l’évaluation clinique restant le principal critère d’évaluation [Miller 96,

Evans 97]. En effet, le volume des lésions IRM tel que mesuré sur les séquences conven-

tionnelles n’est que très faiblement corrélé au handicap fonctionnel. Un exemple de cette


discordance entre le handicap clinique et l’importance des lésions IRM est donné par l’es-

sai thérapeutique nord-américain de l’interféron Bêta-1b dans les formes rémittentes de

SEP. Alors que le traitement était associé avec une nette diminution des signes IRM d’ac-

tivité de la maladie, l’effet sur la fréquence des rechutes cliniques était modeste et il n’y

avait pas d’effet sur la progression du handicap fonctionnel [Paty 93a, Paty 93b].

1.2.4.3 Quantification du volume lésionnel en IRM

Comme évoqué au paragraphe précédent, la corrélation entre le handicap clinique et

le volume lésionnel n’est pas toujours avérée. Ceci peut être la conséquence de plusieurs

facteurs, parmi lesquels l’echec des algorithmes de segmentation suite à des variations

non anatomiques de l’itensité dans les images IRM occupe une place importante.

Dans un but de systématisation du traitement des volumes de données issus des ac-

quisitions cliniques, il est nécessaire de mettre au point des protocoles d’acquisition, de

traitement et de quantification des images IRM. En effet les problèmes de précision et de

reproductibilité de la mesure sont aigus, comme le montrent [Guttmann 99, Kikinis 99].

Ces auteurs, ainsi que [Wei 02], montrent l’importance et la nécessité d’appliquer des trai-

tements visant à corriger les variations d’intensité indésirables présentent dans l’image.

La correction des inhomogénéités est donc un point essentiel dans l’utilisation de l’IRM

quantitative de manière systématique.

CHAPITRE 2

DÉTERMINATION ET CORRECTION DES

INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ : ÉTAT

DE L’ART

2.1 Détermination du champ radio-fréquence B1

Comme nous l’avons expliqué dans le chapitre 1, le champ radio-fréquence B1 est uti-

lisé pour faire basculer le moment magnétique macroscopique M dans le plan transversal

afin d’en mesurer les paramètres du retour à l’équilibre. Ces paramètres conditionnant le

contraste de l’image, la connaissance de la répartition spatiale de ce champ est détermi-

nant pour la correction des images. Les méthodes utilisées se divisent en deux branches

principales : le calcul direct, fondé sur les équations principales de l’électromagnétisme,

et l’approche inverse, qui se sert d’images multiples afin de déterminer cette répartition.

2.1.1 Calcul direct

Cette voie fut chronologiquement la première explorée. Nous pouvons la subdiviser en

deux parties, les méthodes analytiques, qui consistent en la résolution d’équations fonda-

mentales de l’électromagnétisme (équations de Maxwell, de Bloch ou de Biot et Savard)

puis en la discrétisation des solutions obtenues, et les méthodes numériques, beaucoup

plus récentes, qui résolvent de manière numérique les équivalents discrets des équations

énumérées précédemment.

2. DÉTERMINATION ET CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ : ÉTAT DE L’ART44

2.1.1.1 Méthodes analytiques

La majeure partie des méthodes analytiques ont pour point de départ les équations

fondamentales de l’électromagnétisme, à savoir les équations de Maxwell. Cependant

d’autres possibilités ont été envisagées, notamment l’utilisation de la loi de Biot et Sa-

vard.

Equations de Maxwell

Si l’on considère une onde électromagnétique, ces équations prennent la forme sui-

vante :∇.D = ρ

∇.B = 0

∇×E = −∂B∂t

∇×H = J +∂D

∂t

(2.1)

avec les relations constitutives propres à un milieu magnétique linéaire isotrope

J = σE

D = εE

B = µH

(2.2)

où E et D représentent les champs électriques, H et B les champs magnétiques et J la

densité de courant.

La méthode classique de résolution de ces équations, la méthode des potentiels retar-

dés, consiste en l’utilisation d’un potentiel vecteur A tel que B = ∇×A et d’un potentiel

scalaire Φ défini par E = −∇Φ − ∂A/∂t. Ceci nous mène à un couple d’équations

équivalentes aux équations de Maxwell :

−ε∇2Φ− ε∂ (∇.A)

∂t= ρ

∇(∇.A)−∇2 = µJ− µε∂(∇Φ)

∂t− µε∂

2A

∂t2

(2.3)

Ces équations peuvent être découplées en utilisant une condition de jauge, c’est à dire une

valeur de ∇.A nous permettant cette séparation. La jauge de Lorentz est classiquement

utilisée. Elle consiste en

∇.A = −µε∂Φ∂t

(2.4)

Nous obtenons alors les équations d’Helmholtz, équivalentes aux équations de Maxwell


dans les conditions de la jauge de Lorentz

∇2Φ− µε∂2Φ

∂t2= −ρ

ε

∇2A− µε∂2A

∂t2= −µJ

(2.5)

[Mahony 95] se propose de résoudre ces dernières équations dans un milieu uniforme

en faisant l’hypothèse de champs variant sinusoïdalement dans le temps. Cette résolution

utilise les fonctions de Green. Les simulations numériques ont été comparées avec des

bobines expérimentales, les résultats étant satisfaisants.

[Hoult 00a] simule divers champs RF produits par une antenne sphérique en quadra-

ture dans un fantôme sphérique homogène pour un champ très élevé.

Autres

D’autres approches ont été envisagées. Ainsi [Glover 85] s’est intéressé à l’influence

de la polarisation de l’onde radiofréquence B1. Il s’avère que l’utilisation d’une polarisa-

tion circulaire, et non pas linéaire, en émission comme en réception réduit sensiblement

l’amplitude des variations de B1.

[Tofts 94] utilise quant à lui la loi de Biot et Savard [Bertin 92] :

B =µ0

4π

∫∫∫

j ∧ u

r2dτ (2.6)

afin de déterminer les distributions de champ présentes dans un cylindre rempli d’eau.

Il convient de souligner que la résolution analytique de ces équations ne peut s’effectuer

que dans pour des objets d’intérêt géométriquement simples et physiquement homogènes.

Ceci empêche toute application clinique directe.

2.1.1.2 Méthodes numériques

L’utilisation de méthodes numériques pour évaluer de manière directe les variations

de champ B1 n’a été envisagée que très récemment. En effet, ces méthodes, fondées pour

la plupart sur la méthode des éléments finis, nécessitent des ressources de calcul très

importantes.

La méthode FDTD (Finite-Difference Time-Domain) est la plus populaire d’entre-

elles. Cet algorithme, dont un état de l’art peut être trouvé dans [Shlager 95], a été déve-

loppé par Kane Yee en 1966 [Yee 66]. Il consiste en la discrétisation dans l’espace et le


temps des équations de Maxwell (2.1). Les dérivées spatiales et temporelles sont approxi-

mées par la formule de Taylor

∂F (τ)

∂t=F (τ + ∆τ/2)− F (τ −∆τ/2)

∆τ+O[∆τ ]2 (2.7)

Cette méthode a été utilisée par [Collins 97] pour calculer la distribution de champ radio-

fréquence dans une antenne tête en fonction de son blindage, mais aussi pour étudier un

modèle de tête dans une antenne de type cage à oiseau [Collins 01b] et de celui d’un corps

entier avec une antenne de surface [Collins 01a]. [Ibrahim 00, Ibrahim 01b, Ibrahim 01a]

s’en sert pour étudier le comportement d’une antenne tête de type cage à oiseau à haut

champ (4.7 à 8 T).

[Jin 96] propose de résoudre ces équations par une méthode combinant méthode des

gradients biconjugués (BCG) et transformée de Fourier rapide (FFT) dans un algorithme

appelé BCG-FFT dans le cas de la tête et pour des champs allant de 1.5 à 6 T.

Les méthodes numériques permettent d’envisager des objets plus complexes que les

fantômes homogènes simples pour lesquels sont effectués les calculs analytiques. Cepen-

dant les temps de calcul sont pour l’instant prohibitifs et la précision de ces méthodes

dépend très fortement des valeurs utilisées pour les constantes physiques caractérisant les

tissus, dont les valeurs sont très variables [Bottomley 84].

2.1.2 Approche inverse

Les méthodes décrites par la suite suivent une approche appelée inverse car on cherche

dans ce cas à déterminer les caractéristiques d’un phénomène en observant ses effets.

Leur principe consiste donc en la modification du protocole d’acquisition de manière

à en déduire les sensibilités en émission et réception de l’antenne radio-fréquence par

l’intermédiaire d’une modélisation de l’évolution de l’intensité en fonction de l’angle

de bascule. La séquence utilisée est très majoritairement du type écho de spin modifiée

utilisée plusieurs fois ou en combinaison avec une autre séquence.

Les méthodes utilisant plusieurs acquisition écho de spin à différents angles de bascule

sont appelées Multipower mapping. Elles sont fondées sur la modélisation du signal issu

d’un voxel. L’utilisation de plusieurs angles de bascule permet de mieux dimensionner le

problème inverse qui consiste en la détermination de T , le champ radiofréquence émis

et R, le champ RF reçu. Cette méthode a été employée par [Insko 93, Zelaya 97] dans le

cas d’un fantôme. [Barker 98] a proposé de l’utiliser sur l’être humain, en soulevant le

problème de la séparation entre la densité protonique et la sensibilité en réception.


[Stollberger 96] expose une méthode qui s’apparente à celles décrites précédemment.

En effet, il propose une nouvelle séquence appelée Compensated Double Angle Method

(CDAM) qui consiste en la juxtaposition de deux séquences écho de spin à deux angles de

bascule α1 et α2 différents (α2 = 2α1) et d’une impulsion de compensation. Il applique

cette méthode sur des fantômes ainsi que sur des êtres humains.

[Pelnar 86] décrit une méthode spectroscopique fondée sur la forme de la partie absor-

bante d’une ligne NMR en présence d’un gradient de champ B1. Bien que facile à mettre

en œuvre, cette méthode ne peut être utilisée que pour un fantôme homogène (car elle

nécessite un échantillon uniforme) et ne donne qu’un profil monodimensionnel du champ

B1. Il est cependant possible de combiner ces profils pour obtenir une représentation du

champ en deux ou trois dimensions.

[Murphy-Boesch 87] décrit une méthode d’excitation rotative permettant des mesures

précises pour une grande gamme de magnitudes de champs B1 et pouvant en théorie

être utilisée pour cartographier l’homogénéité de ce champ de manière tridimensionnelle.

Cependant cette méthode ne peut être utilisée seulement pour des fantômes ou des objets

homogènes.

[Akoka 93] utilise deux images produites par une séquence écho stimulé pour calculer

B1. Leur méthode produit une carte bi- ou tridimensionnelle pour un objet hétérogène mais

ne marche que lorsque le rapport signal-sur-bruit des images est bon, c’est à dire lorsque

l’angle de bascule est proche de π/2.

[Counsell 93] propose une méthode similaire qui utilise l’information issue des images

multiples produites par une séquence de quatre impulsions pour calculer simultanèment

l’homogénéité RF, le temps de relaxation T2 et la combinaison de T1 et des coefficients

de diffusion, toujours pour des objets hétérogènes.

Il faut souligner que les séquences utilisées par [Murphy-Boesch 87], [Akoka 93] et

[Counsell 93] ne pas sont disponibles sur les imageurs cliniques standard.

[Insko 93] décrit une méthode fondée sur les séquences écho de spin et écho de gra-

dient, beaucoup plus courantes. La variante écho de spin marche pour une gamme de

valeurs de B1 réduite (donnant un angle de bascule proche de π/2) et n’est donc appli-

cable qu’à des antennes relativement homogènes. La méthode écho de gradient est moins

sensible à la valeur de B1 mais est sensible à l’inhomogénéité B0. De plus les calculs que

cette méthode implique génèrent des points singuliers tous les multiples impairs de π/2.


Inhomogénéité d’intensité

? ?

Pré-traitement

-

-

Méthodes empiriques

--

Fantômes

Images

Equation du signal

--

Echo de spin

Echo de gradient

Post-traitement

-

-

-

Niveaux de gris

---

Approximation par surfaces

Méthodes statistiques

Filtrages spatiaux

Ddp d’intensité

Espaces transformés

--

Domaine de Fourier

Domaine Ondelettes

FIG. 2.1: Classification des méthodes de correction

2.1.3 Concordance entre méthodes directes et inverses

Comme nous avons pu le constater, les stratégies envisagées pour estimer le champ

RF peuvent être classées en deux ensembles totalement opposés d’un point de vue métho-

dologique, même si certains résultats issus des méthodes analytiques sont utilisés dans les

méthodes inverses. Ainsi [Barker 98] fonde sa modélisation sur les travaux de [Glover 85].

Afin de vérifier la cohérence des méthodes mises en œuvre, [Alecci 01] utilise à la fois

les méthodes de Multipower Mapping ([Barker 98]) et de FDTD ([Collins 97, Collins 01a,

Collins 01b, Ibrahim 00, Ibrahim 01b, Ibrahim 01a]) sur divers fantômes dont les carac-

téristiques physiques sont connues. Cela permet de se rendre compte que les champs cal-

culés par les méthodes numériques, dans le cas où la modélisation est simple et l’objet

imagé parfaitement connu, sont tout à fait proches de ceux estimés par les méthodes in-

verses, avec le bémol que cela n’a été évalué que sur des objets homogènes.


2.2 Correction des inhomogénéités d’intensité en IRM

Bien que l’IRM ne soit utilisé en routine clinique que depuis le début des années

1980, la correction explicite de l’artefact d’inhomogénéité d’intensité a été envisagée dès

1987. Les méthodes proposées jusqu’à présent se scindent en deux groupes principaux,

les méthodes de pré-traitement et de post-traitement.

2.2.1 Méthodes de pré-traitement

Ces méthodes ont été les premières envisagées. Elles consistent en des solutions pour

la plupart matérielles, fondées sur les phénomènes physiques régissant l’IRM.

2.2.1.1 Méthodes empiriques

L’inhomogénéité d’intensité, appelée aussi biais, d’intensité, est ici considérée comme

lisse et variant lentement. On considère ici que la sensibilité de l’antenne est la cause

principale de l’inhomogénéité.

Le principe général de ces méthodes est d’obtenir une image du biais de façon em-

pirique. Cette image peut s’obtenir de deux façons : soit à partir de l’image d’un objet

homogène simple (méthodes utilisant des fantômes), soit à partir d’une autre image du

même objet (méthodes utilisant des images).

Fantômes

L’idée directrice des méthodes fondées sur l’acquisition d’images de fantômes, dé-

taillées dans [Axel 87, Collewet 02, Condon 87, Wicks 93], est de négliger l’influence

de l’objet. En faisant cette hypothèse, il devient possible d’observer l’inhomogénéité en

imageant un fantôme homogène, puis de corriger n’importe quelle image à l’aide de cette

image du fantôme.

[Axel 87] applique cette méthode à l’imagerie du poignet par l’intermédiaire d’une

antenne de surface. Il propose une première méthode dans laquelle l’image d’un poignet

est normalisée par celle d’un fantôme homogène.

[Condon 87], pour corriger des images cérébrales obtenues avec des antennes tête,

utilise des images de fantômes soit directement afin de corriger par division pixel à pixel,

soit pour calculer une surface mathématique approximant l’inhomogénéité.

[Wicks 93] utilise les images d’un fantôme pour créer un volume de cœfficients de

sensibilité qui va lui permettre de corriger les images de toutes les orientations possibles.


La méthode reste cependant la même que pour les algorithmes précédents, c’est-à-dire

une division pixel à pixel de l’image de l’objet par celle du fantôme.

[Collewet 02] corrige les inhomogénéités d’intensité sur des images pondérées en T1

obtenues avec une séquence en écho de spin. La correction se fait en deux étapes : la pre-

mière consiste à diviser l’image de départ par celle d’un fantôme homogène et la deuxième

à corriger les temps de relaxation T1, à l’aide de la cartographie du champ B1 obtenue

également sur un fantôme homogène.

Images

L’hypothèse d’indépendance de l’inhomogénéité vis-à-vis de l’objet n’est plus faite

ici. Les méthodes de correction empiriques basées sur l’acquisition d’autres images sont

réparties en deux groupes selon la manière d’obtenir ces images. La première solution est

d’imager l’objet avec une autre antenne, en gardant la même séquence, la seconde est de

changer de séquecne, en utilisant la même antenne.

Autre antenne

Cette approche est surtout utilisée pour des antennes de surface. L’autre antenne est

supposée beaucoup plus homogène, mais donnant des images de qualité moindre, de part

leur résolution par exemple.

[Brey 88] acquiert deux images, l’une à l’aide de l’antenne de surface, l’autre avec

l’antenne corps entier. Ces deux images sont ensuite lissées par un filtre médian afin d’at-

ténuer le bruit, puis l’image de l’antenne de surface est divisée par celle de l’antenne corps

entier pour obtenir une estimation de l’inhomogénéité de l’antenne de surface.

[Murakami 96] utilise quant à lui une antenne en réseau phasé et l’antenne corps entier.

L’inhomogénéité est estimée en utilisant les images obtenues par la séquence scout qui

est utilisée avant chaque acquisition. Il propose aussi de simuler la séquence scout par

de forts lissages des images originales, ceci étant valable du fait du faible contraste des

images obtenues avec une séquence écho de gradient.

Autre séquence

Nous évoquerons ici la contribution de [Liney 98]. Celle-ci a pour objectif l’amélio-

ration des images de prostate obtenues avec une antenne de surface. Afin d’obtenir une

estimée de l’inhomogénéité, et sachant que la prostate présente une densité de proton rela-

tivement homogène, [Liney 98] procède à une acquisition en densité de proton et s’en sert

comme estimée du biais. L’acquisition n’a pas lieu en une seule fois grâce à une séquence


double-écho DP/T2 mais fait l’objet de deux séquences successives (T2 puis DP) pour des

contraintes de temps.

2.2.1.2 Mise en équation du signal

Les méthodes évoquées dans cette partie ont une originalité commune : la correction

est basée sur l’étude des équations du signal obtenues aussi bien pour des séquences de

type écho de spin [Clare 01] que pour des séquences de type écho de gradient [Mihara 98,

Thulborn 98, Deichmann 02].

Le signal obtenu est fonction de l’angle de bascule suivant une loi qui va dépendre

de la séquence utilisée. Cet angle de bascule est lui-même proportionnel à l’amplitude du

champ B1. Le travail consiste donc à obtenir une carte de l’angle de bascule et corriger

l’image de départ à l’aide de cette carte.

Correction pour les séquences de type écho de spins

Dans ses travaux, [Clare 01] propose de compenser les inhomogénéités du champ RF

en modulant de façon active la puissance transmise de ce dernier. La puissance trans-

mise pour chaque coupe axiale va être modulée par le profil du champ RF. Ce profil est

déterminé de deux façons : in situ à partir d’une séquence classique d’écho de spins et

sur un banc d’essai grâce à un analyseur de réseaux. Grâce à ces deux mesures, le profil

moyen du champ RF est déterminé le long de l’axe z. Ceci va permettre le calibrage de la

puissance transmise du champ RF qui va ainsi être modulée au cours de l’acquisition.

Correction pour les séquences de type écho de gradient

L’image obtenue pour une séquence en écho de gradient est fonction de l’angle de

bascule θ. Pour corriger les variations d’intensité dans les images obtenues avec cette

séquence, [Mihara 98] va obtenir une image de la distribution de cet angle θ. Cette distri-

bution s’obtient à l’aide de 2 acquisitions réalisées avec, respectivement, un angle θ puis

2θ. L’image corrigée s’obtient en divisant l’image de départ par le reste de l’équation qui

prend en compte la distribution de θ.

[Thulborn 98] montre que l’image obtenue est le rapport de l’aimantation longitudi-

nale par un facteur de modulation qui est proportionnel à la sensibilité de l’antenne et par

conséquent à l’angle de bascule θ. Il souligne le fait que ce facteur de modulation est in-

dépendant de la densité de protons. L’utilisation d’une séquence écho planar (EPI) va lui

permettre de simplifier son équation et d’obtenir une cartographie du champ B1 et donc de

θ. Dans une première étape, en incrémentant l’amplitude du champ B1 et par conséquent


θ, il montre que l’intensité de chaque voxel suit une loi sinusoidale selon θ. Ensuite un

coefficient de correction est calculé en calibrant le champ B1 pour un angle de bascule de

90 sur l’échantillon de référence. La correction va se faire en divisant l’image de départ

par ce coefficient.

[Deichmann 02] présente une forme d’impulsion particulière pour compenser les ef-

fets des variations d’intensité 2D dans les images obtenues avec une séquence Magnetization-

Prepared RApid Gradient-Echo (MP-RAGE). L’impulsion proposée se décompose en

deux termes spatialement indépendants qui peuvent basculer l’aimantation de 50% par

rapport à l’angle initial. Chacune de ces impulsions a un profil parabolique avec la va-

leur minimale au centre. Quand cette impulsion est appliquée en même temps qu’un gra-

dient, l’augmentation périphérique de l’angle de bascule compensera les inhomogénéités

du champ B1.

2.2.2 Méthodes de post-traitement

Les méthodes de post-traitement sont fondées sur des hypothèses faites sur les caracté-

ristiques de l’artefact et proposent des solutions logicielles intégrant ces hypothèses. Les

algorithmes proposés se répartissent selon trois axes qui diffèrent par le domaine dans

lequel le traitement est effectué. La majorité des méthodes se fondent sur la répartition

spatiale des niveaux de gris, d’autres sur la densité de probabilité de ces mêmes niveaux

de gris et enfin certains exploitent les particularités de la représentation des données dans

un espace transformé.

2.2.2.1 Niveaux de gris

Les algorithmes de post-traitement fondés sur la répartition spatiale des niveaux de

gris peuvent être classés selon trois groupes selon le type de méthodes mises en œuvre.

Certaines cherchent à ajuster une surface paramétrique sur l’image afin d’approximer le

biais, d’autres se fondent sur des méthodes statistiques et la dernière famille d’algorithmes

se fonde sur des filtrages.

Approximation par des surfaces

Le principe des méthodes présentées dans cette partie repose sur l’ajustement d’une

surface afin de modéliser les variations d’intensité. La correction va donc se faire en di-

visant l’image de départ par l’image de cette surface. Les fonctions de base utilisées pour

modéliser cette surface sont des splines ou des fonctions polynomiales dont la forme est

déterminée par des points de contrôle. Ces fonctions sont intéressantes car elles présentent


les mêmes caractéristiques que les variations d’intensité, c’est à dire des variations lisses

et lentes. Une fois les fonctions de base choisies, le travail consiste à déterminer la dé-

composition du biais sur cette base.

Splines

Les différentes approches proposées pour sélectionner les points de contrôle peuvent

être classées en deux catégories : ajustement semi-automatique [Dawant 93] et automa-

tique [Dawant 93, Zijdenbos 95, Gilles 96, Lai 99].

Les méthodes utilisant un ajustement semi-automatique font intervenir l’utilisateur de

manière interactive. [Dawant 93] a proposé un exemple de cette méthode pour corriger

les images du cerveau. L’utilisateur va désigner directement sur l’image les pixels de

référence (sites) qui vont servir pour l’ajustement des splines. Pour chaque coupe et pour

chaque classe de tissu, 3 à 5 sites ont été choisis, excepté pour la matière blanche où leur

nombre varie de 10 à 15. De plus, pour réduire l’effet du bruit aléatoire, l’intensité du site

est la moyenne de l’intensité du pixel choisi et de ses quatre plus proches voisins.

Contrairement à l’approche semi-automatique, le choix des sites pour les méthodes

d’ajustement automatique n’est pas guidé par l’utilisateur.

On peut commencer par citer [Dawant 93], qui en plus de l’approche citée précédem-

ment a également proposé une approche automatique. Une segmentation préliminaire est

réalisée avec un algorithme de classification préalablement entraîné sur des points sélec-

tionnés par l’utilisateur. La surface va être ajustée à partir de sites assignés à une classe de

référence sur l’image pré-classifiée. Cette méthode a été appliquée pour la segmentation

de la matière blanche pour des images cérébrales.

[Zijdenbos 95] a proposé une extension de l’algorithme de [Dawant 93] pour la correc-

tion des inhomogénéités intra-coupe. Après avoir obtenu les sites, l’image va être divisée

en blocs (3x3) et pour chaque bloc, le centre de masse des sites présents va être calculé.

L’ajustement de la surface spline va se faire à partir des centres de masse déterminés

précédemment.

Une autre approche, proposée par [Gilles 96], adapte l’ajustement d’une surface spline

à des images présentant une classe dominante de tissu en plus de structures fines. L’al-

gorithme travaille de façon itérative, alternant classification et ajustement de la surface

spline.

Plus récemment, la méthode de correction proposée par [Lai 99] repose sur l’obtention

automatique d’une surface spline par minimisation d’une fonctionnelle d’énergie. L’algo-

rithme tient compte de contraintes d’orientation qui vont ensuite être intégrées dans un

cadre de régularisation afin de construire la surface spline. Par la suite, la fonctionnelle à


minimiser va être discrétisée via la technique des éléments finis, le problème d’optimisa-

tion se réduisant alors à la résolution d’un problème linéaire.

Polynômes

Deux familles de méthodes ont été proposées dans ce cadre. Elles diffèrent par le type

de polynôme employé. Certains comme [Tincher 93, Meyer 95] utilisent des polynômes,

d’autres des polynômes de Legendre [Brechbühler 96, Styner 00].

[Tincher 93] se fonde sur l’image d’un fantôme homogène pour déterminer l’équation

polynomiale régissant le biais. Cette détermination est effectuée par l’intermédiaire d’une

décomposition en valeurs singulières. La correction s’effectue ensuite classiquement par

division.

[Meyer 95] prolonge les travaux de [Tincher 93] en supprimant l’acquisition du fan-

tôme. Il remplace celle-ci par une segmentation LCJ (Liou-Chiu-Jain) de l’image initiale.

Pour chaque matière segmentée, un polynôme est estimé.

[Brechbühler 96] et [Styner 00] utilisent les mêmes techniques pour estimer le biais.

La modélisation est faite par des polynômes de Legendre. Une fonctionelle d’énergie

est utilisée afin de tenir compte des transitions entre les tissus. Calculer les coefficients

optimaux des polynômes revient à minimiser cette fonctionnelle.

Méthodes statistiques

Contrairement aux autres approches développées dans ce chapitre, les méthodes dé-

crites dans cette partie non seulement corrigent l’image mais la segmentent aussi. Le

cadre général est une démarche de segmentation dans laquelle on tient compte des in-

homogénéités d’intensité. Celles-ci sont modélisées par une distribution paramétrique.

L’ensemble des méthodes proposées visent à déterminer les paramètres de la distribution

par des méthodes d’estimation (EM, FCM).

EM

L’idée d’une estimation par un algorithme EM (Expectation-Maximization) est à mettre

au crédit de [Wells 96]. Après avoir modélisé les tissus présents dans l’objet à imager

par un mélange de distributions gaussiennes, une classe étant réservée aux points aber-

rants, le problème d’estimation du biais est traité par l’intermédiaire d’un algorithme EM

[Dempster 77] qui effectue une estimation par Maximum A Posteriori (MAP). [Guillemaud 97]

a ensuite proposé une modification de la modélisation en remplaçant la distribution gaus-

sienne utilisée pour les points aberrants par une distribution uniforme. [Prima 01], après

avoir identifié les deux modèles statistiques les plus utilisés, en propose un troisième dans


lequel le bruit biologique suit une loi gaussienne. Il montre qu’à partir de ces trois mo-

dèles, il est possible d’utiliser un cadre commun d’estimation basé sur le principe du

maximum de vraisemblance, l’optimisation du critère utilisé se faisant par un algorithme

EM contraint (ECM). [Van Leemput 99] propose d’initialiser l’algorithme par un atlas nu-

mérique du cerveau. [Rajapakse 98] propose quant à lui de modéliser la nature constante

par morceau de l’image segmentée par des champs de Markov en utilisant un algorithme

ICM (Iterated Conditional Modes) pour résoudre le problème d’estimation. [Pham 99a]

utilise lui aussi des champs de Markov, mais se sert des probabilités a posteriori pour

améliorer l’estimation. Enfin [Zhang 01] se sert aussi des champs de Markov, mais sous

une forme “cachée”, c’est à dire qu’ils ne peuvent être observés directement.

Une autre voie a été explorée par [Schroeter 98] qui modélise les tissus présents dans le

cerveau à l’aide d’une combinaison de distributions gaussiennes. La stabilité et la conver-

gence des algorithmes d’estimation sont améliorées en estimant seulement les paramètres

des tissus d’intérêt. Pour rendre plus robuste le schéma d’estimation, une nouvelle classe

prenant en compte les points atypiques et modélisée par une distribution uniforme, est

ajoutée. Deux approches ont été testées : la première consiste à minimiser une fonction

soit par EM modifié soit par un algorithme génétique alors que la deuxième repose sur un

ajustement d’histogramme à l’aide de l’algorithme génétique.

FCM

L’algorithme qui est utilisé pour la segmentation est le FCM (Fuzzy C Means). Bien

sûr, pour prendre en compte les inhomogénéités d’intensité, l’algorithme FCM initial a

été modifié [Ahmed 99, Lee 96, Pham 99a]. Ces méthodes sont en général appliquées à

l’imagerie cérébrale.

Le premier à avoir utilisé une méthode FCM prenant en compte les inhomogénéités

d’intensité est [Lee 96] pour la segmentation des images du cerveau obtenues avec une

antenne tête et une antenne de surface. Le FCM utilisé segmente l’image en 2 classes

(air/CSF et tissus). A l’intérieur de la classe tissus, les inhomogénéités d’intensité vont

être prises en compte non pas en affectant une seule moyenne à la classe, mais en cal-

culant des moyennes locales. Pour cela, le FCM a été adapté pour estimer localement

ces moyennes qui vont ensuite être lissées par un filtre passe-bas gaussien 3D. Après ce

traitement, une carte d’amplitude locale du signal est obtenue. Cette carte va servir à dé-

terminer la carte du champ, en divisant chaque moyenne locale par la valeur efficace du

signal moyen des voxels de la classe tissus.

Plus récemment, pour la correction et la segmentation des images obtenues avec une

antenne tête, [Ahmed 99] a proposé un FCM modifié afin d’estimer les inhomogénéités


d’intensité et de segmenter de façon adaptative les images du cerveau. Pour cela, il va mo-

difier la fonction objectif du FCM "classique" en introduisant un terme qui va permettre

l’étiquetage d’un pixel influencé par l’étiquetage de ses pixels voisins. Ce voisinage va

agir comme un régularisateur qui va biaiser la solution. De là, une nouvelle fonction ob-

jectif va être obtenue. Le problème va consister à minimiser cette fonctionnelle à l’aide

des multiplicateurs de Lagrange.

[Pham 99a] quant à lui, a formulé son FCM modifié d’une autre façon. La fonction

objectif du FCM va inclure les inhomogénéités multiplicatives, ce qui va permettre aux

centroïdes de chaque classe de varier à travers l’image. Pour s’assurer du caractère lisse et

lent des inhomogénéités, des termes de régularisation du premier et du second ordre ont

été introduits dans la fonction objectif.

Filtrages spatiaux

Dans cette partie la correction des inhomogénéités d’intensité est effectuée par un fil-

trage spatial qui peut prendre différentes formes : filtrage passe-bas avec des filtres moyen-

neurs [Koivula 97, Zhou 01], médians [Harris 94, Narayana 95] et gaussiens [Vokurka 99]

ou filtrage homomorphique [Johnston 96, Brinkmann 98].

Filtrage passe-bas

[Axel 87] a été le premier à utiliser ce type d’approches. Il lisse l’image à corriger

afin d’en extraire l’inhomogénéité puis corrige l’image originale avec cette approximation

lisse de l’inhomogénéité.

Deux méthodes utilisent un filtrage passe-bas moyenneur. L’originalité du travail de

[Zhou 01], pour la correction des images du cerveau, vient de son hypothèse concernant

les inhomogénéités d’intensité : elles ne contiennent pas seulement des composantes basse

fréquence mais aussi haute fréquence. En tenant compte de cette hypothèse, la carte des

inhomogénéités d’intensité est obtenue par le produit de l’image de départ et de la version

filtrée passe-bas de cette dernière, à laquelle on a soustrait sa valeur moyenne. Le filtre

passe-bas utilisé est un filtre moyenneur de taille 25×25.

Pour [Koivula 97], la correction est fondée sur la recherche d’une fonction de com-

pensation. Cette dernière va être obtenue, à partir de l’image de départ, par un moyennage

(blocs 3×3) qui va permettre d’obtenir des régions présentant de faibles variations d’in-

tensité. La fonction de compensation est ensuite lissée par un filtre gaussien afin de res-

pecter les caractéristiques des inhomogénéités (continues, lisses et lentes). Cette méthode

est appliquée sur des images de différents organes.

Parmi les méthodes mettant en œuvre un filtrage passe-bas médian, [Harris 94] s’est


inspiré des travaux de [Lim 89]. La correction de l’image de départ s’obtient en sous-

trayant une version filtrée passe-bas de l’image à cette même image. [Harris 94] a fait en

sorte de ne pas avoir d’effets de troncature au niveau des contours de l’image corrigée.

[Narayana 95] a repris la même démarche que [Harris 94] en filtrant une fois les

images du cerveau avec un filtre médian de taille 25×25. L’image filtrée représente les

inhomogénéités d’intensité.

L’algorithme de correction de [Vokurka 99], qui utilise un filtrage gaussien, repose sur

plusieurs étapes. A partir de l’image de départ, on estime les gradients d’intensité locaux et

normalisés, selon les directions x et y. Ces gradients locaux vont ensuite être lissés par un

filtre gaussien puis intégrés pour déterminer une carte d’inhomogénéité relative. L’image

corrigée est obtenue en divisant l’image de départ par l’image des inhomogénéités.

Filtrage homomorphique

Pour corriger les inhomogénéités d’intensité dans images de cerveaux atteints de sclé-

rose en plaque, [Johnston 96] a utilisé le filtre homomorphique, qui n’est pas linéaire. Ce

filtrage consiste en un lissage passe-bas du logarithme de l’image de départ. Cette étape

permet d’obtenir une image qui approxime les inhomogénéités d’intensité.

[Brinkmann 98] a comparé la structure des filtres homomorphiques : ceux qui utilisent

des filtres moyenneurs et ceux utilisant des filtres médians. Le but étant de voir l’impact

de la qualité de la correction sur la segmentation. Après avoir testé ces algorithmes sur des

images cliniques du cerveau, le filtre homomorphique utilisant un filtre moyenneur donne

de meilleurs résultats que celui fondé sur un filtre médian.

2.2.2.2 Densité de probabilité de niveaux de gris

Pour ces méthodes, on part de la densité de probabilité d’intensité (histogramme)

d’une image ou d’un volume. Les inhomogénéités d’intensité la modifient de manière

sensible. La correction consiste à appliquer des transformations sur l’histogramme afin de

retrouver celui de l’image idéale (image corrigée).

[Sled 98b] fixe le cadre de l’étude, modélisant l’inhomogénéité d’intensité comme la

convolution d’une gaussienne, qui représente la densité de probabilité de l’inhomogénéité,

et de l’histogramme idéal, qui représente la densité de probabilité de l’image corrigée. Le

problème de correction se réduit alors à une déconvolution itérative de l’histogramme de

l’image initiale par des gaussiennes de plus en plus larges suivie du recadrage de l’image.

Le critère d’arrêt est que lorsque la gaussienne déconvoluée devient trop large, l’iamge

corrigée ne varie plus d’une itération à l’autre.


Pour [Likar 00], les inhomogénéités d’intensité se traduisent sur l’histogramme par un

effet de lissage et donc par une entropie qui n’est pas minimale. Le principe de sa méthode

repose donc sur la minimisation de l’entropie. Il modélise l’effet de l’inhomogénéité sur

l’histogramme par des polynômes de degré deux ou quatre. L’estimation se fait par une

méthode d’inversion de Powell.

2.2.3 Espaces transformés

Domaine de Fourier

Les méthodes présentées dans cette partie corrigent les inhomogénéités d’intensité

dans le domaine de Fourier. Elles sont donc duales aux méthodes de filtrage spatial évo-

quées au paragraph 2.2.2.1. Elles consistent à appliquer un filtrage passe-bas gaussien

[Wald 95, Cohen 00] sur l’image de départ afin de retrouver l’image des inhomogénéités.

L’hypothèse sous-jacente est que le spectre basse fréquence des inhomogénéités d’inten-

sité peut être dissocié de celui de l’objet imagé.

L’algorithme décrit par [Wald 95] est utilisé pour corriger les inhomogénéités dues à

un réseau d’antennes de surface. Tout en éliminant les discontinuités au niveau de l’inter-

face air/objet afin d’éviter des réhaussements de contour dans l’image corrigée, l’image

de départ est lissée par un filtre passe-bas gaussien. L’image obtenue correspond à la carte

de sensibilité de l’antenne à l’intérieur du cerveau et ne contient aucun détail anatomique.

L’image corrigée s’obtient en divisant l’image d’origine par la carte de sensibilité précé-

demment obtenue.

Plus récemment, pour la correction des images IRM à haut champ du cerveau (3 T)

obtenues avec une antenne tête, [Cohen 00] applique un filtre gaussien passe-bas pour

lisser l’image. La largeur à mi-hauteur du filtre, dans le domaine fréquentiel, est égale

à 3/8 des dimensions de l’image. L’image corrigée s’obtient en normalisant l’image de

départ par l’image lissée et en la multipliant par sa valeur moyenne afin que l’intensité

moyenne du volume soit maintenue.

Domaine ondelettes

Une approche multi-échelle fondée sur la transformée en ondelettes a été présentée par

[Han 01]. Elle est utilisée pour corriger le profil de sensibilité de l’antenne. Il est peut

être utile de rappeler que la transformée en ondelettes par ondelettes discrètes permet de

décomposer une image en deux sous espaces orthogonaux : l’espace des approximations

et l’espace des détails.

L’hypothèse qui est faite ici est que l’espace des approximations obtenu pour chaque


échelle correspond à un profil de la sensibilité de l’antenne. A l’aide d’un filtre adapté

pour la décomposition, l’un des profils va être optimal et va ainsi servir à la correction

de l’image de départ. Ce profil optimal va s’obtenir de façon automatique en analysant le

contenu fréquentiel des espaces pour chaque décomposition.

L’analyse multi-échelle peut ainsi être vue comme l’utilisation de filtres passe-bas

à différentes échelles pour démoduler le profil du signal mesuré de celui de l’antenne.

Le support des ondelettes va permettre de résoudre le problème qui consiste à trouver le

filtre passe-bas optimal, car plus on décompose l’image, plus l’espace des approximations

obtenu à chaque fois, et qui correspond à un résultat de filtrage passe-bas, voit sa bande

passante diminuer.

L’obtention de l’échelle optimale et du filtre correspondant va se faire en minimisant

une fonctionnelle à partir d’un filtre gaussien discret.

2.2.4 Résumé des méthodes

Le tableau suivant regroupe l’ensemble des méthodes citées précédemment. Le sym-

bole “-” est utilisé lorsque l’information est manquante.

Section Réf. Organe Antenne Séquence

1.1.a [Axel 87] poignet SC -

[Condon 87] cerveau HC -

[Collewet 02] - HC SE

[Wicks 93] cerveau BC/HC SE

1.1.b [Brey 88] cerveau SC/HC -

[Liney 98] prostate SC FSPGR/SE

[Murakami 96] cerveau SC/BC FSE

1.2.a [Clare 01] cerveau HC SE/EPI

1.2.b [Deichmann 02] cerveau HC FLASH/MP-RAGE

[Mihara 98] fantôme SC GE

[Thulborn 98] cerveau SC EPI

2.1.a [Dawant 93] cerveau HC SE

[Gilles 96] sein SC -

[Lai 99] diff. organes SC -

[Meyer 95] diff. organes BC/HC/SC -

[Styner 00] cerveau/sein HC/SC -

...


Section Réf. Organe Antenne Séquence

[Tincher 93] - BC SE

[Zijdenbos 95] cerveau HC -

2.1.b [Ahmed 99] cerveau HC -

[Guillemaud 97] cerveau/sein HC/SC -

[Lee 96] cerveau HC/SC MP-RAGE

[Pham 99b] cerveau HC -

[Prima 01] cerveau HC -

[Rajapakse 98] cerveau HC FLASH/SPGR

[Schroeter 98] cerveau HC MP-RAGE

[Van Leemput 99] cerveau HC MP-RAGE

[Wells 96] cerveau HC/SC GE/SE

[Zhang 01] cerveau HC -

2.1.c [Brinkmann 98] cerveau HC -

[Harris 94] cerveau HC SE

[Johnston 96] cerveau HC SE

[Koivula 97] - HC/SC -

[Narayana 95] cerveau HC SE

[Vokurka 99] - HC/SC SE/FSE

[Zhou 01] cerveau HC -

2.2. [Likar 00] diff. organes HC/SC SPGR

[Sled 98a] cerveau HC -

2.3.a [Cohen 00] cerveau HC SPGR/SE

[Wald 95] cerveau SC SPGR/FSE

2.3.b [Han 01] diff. organes HC/SC -

Abréviations utilisées

Antennes

BC : antenne corps entier (Body Coil).

HC : antenne tête (Head Coil).

SC : antenne de surface (Surface Coil).

Séquences

EPI (Echo Planar Imaging single shot) : écho planar.

FLASH (Fast Low Angle SHot) : écho de gradient optimisée pour une pondération T1


(Siemens).

FSE (Fast Spin-Echo) : écho de spin rapide.

FSPGR (Fast SPoiled Gradient-Recalled) : écho de gradient optimisée pour une pondéra-

tion T1 (General Electric).

GE (Gradient Echo) : écho de gradient.

MP-RAGE (Magnetisation Prepared RApid Gradient Echo) : écho de gradient avec pré-

paration de l’aimantation.

SE (Spin-Echo) : écho de spin.

SPGR (SPoiled Gradient Recalled imaging) : écho de gradient optimisée pour une pondé-

ration T1 (General Electric).

CHAPITRE 3

MODÉLISATION DES CHAMPS RF ÉMIS

ET REÇUS

3.1 Introduction

Lors du processus d’acquisition d’une image RM, un champ magnétique radiofré-

quence B1 est mis en œuvre. Il a pour but de faire basculer l’aimantation d’un voxel dans

le plan perpendiculaire au champ statique B0 afin d’en mesurer les paramètres du retour

à l’équilibre, qui détermineront le contraste de l’image obtenue. La chaîne d’acquisition

résumant ce processus peut être décrite par le schéma-bloc représenté figure 3.1.

Séquence - Antenne 1

en émission-

BT Objet

imagé- Antenne 2

en réception-

BR

Image

FIG. 3.1: Chaîne d’acquisition IRM simplifiée

La séquence d’impulsions va déterminer le champ RF produit par l’antenne 1. Ce

champ va interagir avec l’objet imagé, le signal issu de cette interaction sera capté par

l’antenne 2, ce qui produira l’image. Il faut souligner qu’il est possible d’utiliser la même

antenne en émission et réception, c’est généralement le cas en imagerie du cerveau, ou

d’en utiliser deux différentes, comme en angiographie par résonance magnétique (ARM)

ou en IRM cardiaque.

Le schéma 3.1 peut être scindé en deux. La première partie, qui comprend les blocs

“Séquence - Antenne en émission - Objet imagé”, fait entrer en ligne de compte non

seulement le champ B1 théoriquement émis, qui est supposé parfaitement homogène,

3. MODÉLISATION DES CHAMPS RF ÉMIS ET REÇUS 63

mais aussi la sensibilité en émission de l’antenne RF afin de déterminer le champ B1

réellement appliqué à l’objet qui varie spatiallement. Ce dernier champ sera appelé champ

émis, et noté BT, dans la suite de ce document.

La seconde partie concerne les blocs “Objet imagé - Antenne en réception - Image”.

Elle met en œuvre ce que nous appellerons le champ reçu BR, c’est à dire le champ

magnétique obtenu après interaction de BT avec l’objet puis avec l’antenne en réception.

Les champs BT et BR interviennent donc directement dans la formation de l’image et,

par voie de conséquence, sont étroitement liés à l’inhomogénéité d’intensité de cette der-

nière. En général, nous n’avons pas directement accès à ces champs car nous ne connais-

sons que la séquence d’impulsions qui est appliquée et l’image qui en résulte. Afin de

déterminer BT et BR pour une valeur de B1 donnée, nous proposons de modéliser la

chaîne d’acquisition et d’émettre un certain nombre d’hypothèses. Celles-ci, ainsi que les

principales étapes de notre démarche, sont exposées dans la section suivante.

3.2 Démarche proposée

Nous avons choisi de pallier au manque d’informations sur l’objet en créant une re-

dondance par l’utilisation de plusieurs images acquises selon un protocole de type écho

de spin modifié. Cependant, la démarche proposée ici est valable pour une séquence quel-

conque. Cette démarche fondée sur l’utilisation des images pour déduire les paramètres

de l’iamgeur est du type “approche inverse”.

3.2.1 Hypothèses

Nous avons fait deux hypothèses sur le dispositif d’acquisition. Nous avons supposé

que l’appareillage traduisant la séquence d’impulsions en un signal destiné à l’antenne

RF émettrice est parfait, ce qui nous permet de modéliser directement l’amplitude du

champ BT(x) en fonction de l’angle de bascule θ et de la sensibilité de l’antenne d’émis-

sion T (x). Nous avons aussi supposé que les dispositifs et algorithmes utilisés pour la

formation de l’espace des k et la reconstruction de l’image à partir de celui-ci sont com-

plètement transparents, dénués de tout traitement, et ne modifient en rien les signaux issus

de l’échantillon. Grâce à cette hypothèse, nous pouvons écrire que l’intensité de l’image

au point x n’est fonction que de la sensibilité en réception de l’antenne de réception R(x)

au point considéré et de l’amplitude du signal RMN en ce même point.

Nous supposons aussi que les paramètres du modèle que nous cherchons à établir sont

indépendants du choix de l’angle de bascule. En effet, la distribution spatiale de densité


de protons ρ(x) est inhérente à l’objet et donc indépendante du champ magnétique qui lui

est appliqué et de la séquence. Les sensibilités en émission T (x) et réception R(x) des

antennes RF sont quant à elles spécifiques à chaque type d’antenne, et donc ne dépendent

pas de l’angle de bascule.

3.2.2 Modélisation de la chaîne d’acquisition

Le schéma 3.2 reproduit le schéma 3.1 en mettant en évidence les paramètres influant

sur le champ B1 à chaque étape de la production d’une image RM.

Dispositif d’imagerie

Séquence -θ

1Emission

T, θ

2?

Objet

M (ρ, T, θ)

3Réception

R,M(ρ, T, θ)

4Image

FIG. 3.2: Mécanisme de production d’une image RM.

Déterminons maintenant les relations régissant chacune des transitions entre les diffé-

rentes étapes. La transition 1 correspond à la relation entre l’angle de bascule θ et l’am-

plitude du champ radio-fréquence B1 donnée par l’équation

B1 =θ

γti(3.1)

sachant que l’angle de bascule θ et la durée de l’impulsion ti sont fixés par la séquence et

γ est une constante. Cette équation est un corollaire de l’équation (1.11).

La transition 2 correspond à l’effet de la sensibilité en émission de l’antenne émettrice

sur l’angle de bascule théorique. La relation (3.1) nous montre que l’angle de bascule θ est

proportionnel à l’amplitude du champ B1 et qu’ils sont théoriquement constants pour tout

le volume. Si l’on envisage une perturbation due à l’antenne δB1 du champ RF théorique,

l’amplitude du champ BT (x) produit par l’antenne en émission est donnée par

BT (x) = B1 + δB1(x)

=θ

γτ

(

1 +δB1(x)

B1

)

(3.2)


Le terme 1γτ

(

1 + δB1(x)B1

)

correspond alors à la sensibilité en émission de l’antenne d’émis-

sion, et l’équation (3.2) peut donc être écrite comme

BT (x) = T (x)θ (3.3)

Cette équation rejoint les conclusions de l’équation (1.89).

La relation traduisant la réponse de l’objet au champ émis par l’antenne émettrice,

transition 3, sera développée dans la section suivante.

La transition 4, compte tenu des hypothèses, a une expression similaire à (3.3), à savoir

BR(x) = R(x)Macq(ρ(x), T (x)θ) (3.4)

ce qui donne l’équation suivante pour un pixel de l’image obtenue

I(θ,x) = kR(x)Macq(ρ(x), T (x)θ) (3.5)

avec k une constante de normalisation, ρ(x) la densité de protons dans le voxel considéré,

R(x) la sensibilité en réception de l’antenne de réception, Macq(.) la fonction de magné-

tisation, que l’on détaillera plus loin et qui peut varier selon le type de séquence, T (x) la

sensibilité en émission de l’antenne émettrice et θ l’angle de bascule fixé par la séquence.

Si l’on acquiert plusieurs images avec des angles de bascule différents, on obtiendra

le système d’équations

I(θ1,x) = kR(x)Macq (ρ(x), T (x)θ1)...

...

I(θn,x) = kR(x)Macq (ρ(x), T (x)θn)

(3.6)

Au vu des hypothèses faites sur R(x), T (x) et ρ(x), leur calcul devient possible si le sys-

tème (3.6) contient au moins trois équations. Il faut cependant déterminer préalablement

l’expression de Macq(.) en fonction de la séquence que nous avons choisie et étudier les

possibilités d’inversion de ce système.

3.2.3 Modélisation de l’évolution de l’intensité

3.2.3.1 Formulation de la magnétisation

Par la suite, nous noterons, par analogie avec l’équation (1.18), Sα l’opérateur de

résonance lié à une impulsion RF basculant les moments magnétiques d’un angle α. Si

l’on considère une séquence caractérisée par une suite d’impulsions RF θ−τ−ψ−τ−acq,

c’est à dire


1. une première impulsion basculant les moments magnétiques d’un angle θ.

2. un temps de repos pendant lequel les moments magnétiques vont revenir vers leur

position d’équilibre, tournant à l’issue de ce temps τ d’un angle β autour de l’axe

z.

3. une seconde impulsion basculant les moments magnétiques d’un angle ψ.

4. un temps de repos identique à celui décrit en 2.

5. l’acquisition.

Si l’on néglige les effets dûs à la relaxation, il résulte directement que la magnétisation

globale lors de l’acquisition sera de la forme, d’après (1.26),

Macq = Sβ,zSψ,ySβ,zSθ,xM0

= MseqM0

(3.7)

Où M0 =t (0, 0,M0) représente la magnétisation globale à l’équilibre et β = ∆ω τ . On

peut en déduire que les composantes selon x et y de l’aimantation due à la séquence Mseq

sont données par

Mseq,x = − cos β (sin β sin θ (cosψ + 1) + sinψ cos θ)

Mseq,y = sin θ(cos2 β − cosψ sin2 β) + sin β sinψ cos θ(3.8)

3.2.3.2 Calcul de la magnétisation globale

La magnétisation transverse globale se calcule par ([Glover 85])

(2π |Mseq|)2 =

[∫ π

−πMseq,xdβ

]2

+

[∫ π

−πMseq,ydβ

]2

= Ix + Iy

(3.9)

En tenant compte des expressions de Mseq,x et Mseq,y données par l’équation (3.8), Ix est

nul du fait de l’intégration sur une période. L’intégration de l’équation (3.9) nous donne

donc

|Mseq(ψ, θ)| =∣

∣

∣

∣

sin θ

(

1− cosψ

2

)∣

∣

∣

∣

(3.10)

Si l’on s’intéresse plus particulièrement à une séquence de type écho de spin, l’ex-

pression (3.10) va se simplifier. En effet, ce type de séquence est caractérisé par sa suite

d’impulsions θ−2θ. La valeur classiquement utilisée pour θ est π2. Si l’on simplifie l’équa-

tion (3.10) en posant ψ = 2θ, on retrouve l’expression donnée par [Glover 85]

|Mseq(θ)| =∣

∣sin3 θ∣

∣ (3.11)


qui est le modèle que nous allons utiliser par la suite.

Si l’on combine les équations (3.11) et (1.3), la magnétisation globale est donnée par

|Macq(ρ, θ)| = M0(ρ)|Mseq(θ)|

= ργ2h2B0I(I + 1)

3kBT

∣

∣sin3 θ∣

∣

(3.12)

Dans le cas de la séquence écho de spin, au vu de l’équation (3.12), la relation (3.5)

peut être reformulée comme suit

|I(θ,x)| = kρ(x)R(x)| sin3 (T (x)θ) | (3.13)

Si l’on considère n acquisitions d’un même objet obtenues à partir de n impulsions

différentes, on obtiendra un système d’équations de la forme

|I(θ1,x)| = kρ(x)R(x)| sin3 (T (x)θ1) |...

...

|I(θn,x)| = kρ(x)R(x)| sin3 (T (x)θn) |(3.14)

Il apparaît que si l’intensité d’un voxel dépend linéairement de ρ(x) et deR(x), sa relation

avec T (x) est non-linéaire. Pour rendre possible l’estimation deR(x) et T (x), l’utilisation

d’un algorithme d’inversion non-linéaire est donc nécessaire. La détermination de ρ(x) en

découle directement.

Pour résoudre le système (3.14), nous avons envisagé une méthode d’ajustement par

les moindres carrés. Etant donnée l’évidente non-linéarité des modèles que nous allons

utiliser, comme le montrent les équations (3.11) et (3.13), notre choix s’est porté sur la

méthode de Levenberg-Marquardt [Marquardt 63] selon l’implémentation proposée dans

[Press 92].

3.2.4 Algorithme d’inversion

La philosophie de l’inversion de problèmes tient en la détermination des paramètres

d’un modèle à partir des observations d’un phénomène. Dans certains cas, la dépendance

du modèle vis-à-vis de ces paramètres est linéaire, on parle alors d’inversion linéaire, et la

résolution peut se faire par, entre autres, les équations normales ou une décomposition en

valeurs singulières de manière directe. Dans le cas d’une relation non-linéaire, l’inversion

est non-linéaire, elle ne peut se faire de manière directe et il faut donc recourir à des

solutions approchées par des méthodes itératives telles que la méthode de Levenberg-

Marquardt, appelée aussi méthode de Marquardt.


Inversion non-linéaire par les moindres carrés

Considérons un jeu de m paramètres inconnus a = ak, k = 1, 2, . . . , m. Nous allons

définir une fonction de mérite χ2 dont la minimisation nous donnera les paramètres op-

timaux. Etant donné que les relations sont trop complexes pour parvenir à une solution

autrement qu’itérativement, nous chercherons l’optimum en procédant par “essai-erreur”.

Celui-ci sera atteint lorsque χ2 sera minimal.

Si l’on fait l’hypothèse que χ2 prend une forme quadratique lorsque l’on est suffisa-

ment proche du minimum, on peut écrire

χ2(a) ≈ γ − d.a +1

2a.D.a (3.15)

où d est un vecteur de longueur m et D, la matrice Hessienne (matrice des dérivées

secondes), une matrice de taille m × m. Si l’approximation est bonne, la méthode de

Newton nous donne le jeu de paramètres optimaux à partir de la valeur courante par

amin = acur + D−1.[−∇χ2(acur)] (3.16)

Si la forme quadratique (3.15) n’est pas une bonne représentation de la fonction à minimi-

ser en acur, il faut alors envisager une nouvelle itération, en actualisant le jeu de paramètres

selon la méthode dite “steepest descent”

anext = acur + constante× [−∇χ2(acur)] (3.17)

Pour pouvoir utiliser les équations (3.16) et (3.17), il faut être en mesure de calculer les

gradients de χ2 selon n’importe quel jeu de paramètres a ainsi que D pour tout a.

Le calcul des gradients et de la matrice Hessienne se fait comme suit. Nous appellerons

désormais y = y(x; a) le modèle à approximer. La fonction de mérite est définie par

χ2(a) =N∑

i=1

[

yi − y(xi; a)

σi

]2

(3.18)

où σi est la variance associée à yi.

Le gradient de χ2 par rapport à a, qui sera nul lorsque χ2 sera minimum a pour com-

posantes

∂χ2

∂ak= −2

N∑

i=1

yi − y(xi; a)

σ2i

∂y(xi; a)

∂ak, k = 1, 2, . . . , m (3.19)

et pour les dérivées secondes

∂2χ2

∂ak∂al= 2

N∑

i=1

1

σ2i

[

∂y(xi; a)

∂ak

∂y(xi; a)

∂al− [yi − y(xi; a)]

∂2y(xi; a)

∂al∂ak

]

(3.20)


On définit de manière conventionnelle les coefficients αkl et βk tels que

αkl ≡1

2

∂2χ2

∂ak∂alβk ≡ −

1

2

∂χ2

∂ak(3.21)

L’équation (3.16) peut alors être réécrite sous la forme d’un système linéaire

M∑

l=1

αklδal = βk (3.22)

Le système (3.22) est résolu pour des incréments δal tels que anext = acur + δa. La matrice

[α] est appelée matrice de courbure. L’équation (3.17) devient quant à elle

δal = constante× βl (3.23)

En règle générale, le terme en dérivée seconde de l’équation (3.20) est négligé. Cela

peut se justifier de deux manières. Tout d’abord, il peut être négligeable par rapport au

terme de dérivée première. Une autre raison est que si le modèle est correct, le terme

[yi − y(xi; a)], correspondant à l’erreur au point xi, est faible et aléatoire, il est donc

possible de considérer que ce terme s’annule lors de la sommation sur i.

De ce fait, on utilisera par la suite une version simplifiée de l’expression des termes

de la matrice de courbure

αkl =

N∑

i=1

1

σ2i

[

∂y(xi; a)

∂ak

∂y(xi; a)

∂al

]

(3.24)

Méthode de Levenberg-Marquardt

Marquardt [Marquardt 63] a mis au point une méthode qui passe continuement de la

méthode dite “steepest descent”, équation (3.23), à la méthode d’inversion de la matrice

Hessienne, équation (3.22). La première est utilisée lorsque l’on est loin du minimum,

alors que la dernière est mise en œuvre lorsque l’on approche du minimum. Cet algorithme

est fondé sur deux points majeurs.

Le premier concerne l’ordre de grandeur de la constante présente dans l’équation

(3.23) et sur les éléments permettant de déterminer sa valeur. L’idée de Marquardt est

d’utiliser la matrice Hessienne pour se procurer quelques informations sur cette constante.

Une analyse dimensionnelle nous montre que cette constante doit avoir la dimension de

a2k. Le seul terme du modèle ayant des dimensions similaires est 1/αkk, l’inverse du terme

diagonal correspondant de la matrice de courbure. Le terme βl étant sans dimension, nous

allons supposer que l’incrément δal est proportionnel à 1/αll. Afin d’éviter les valeurs

aberrantes, nous utiliserons un paramètre de pondération λ variable. L’équation (3.23) est

remplacée par

δal =1

λαllβl ou λαllδal = βl (3.25)


Il est nécessaire que αll soit positif, ce qui est assuré par définition, comme le montre

l’équation (3.24).

Le second consiste en la définition d’une nouvelle matrice α′ telle que

α′jj ≡ αjj(1 + λ)

α′jk ≡ αjk (j 6= k)

(3.26)

Les équations (3.22) et (3.25) peuvent alors être remplacées par

M∑

l=1

α′klδal = βk (3.27)

Lorsque λ est très grand, la matrice α′ est à diagonale dominante et l’équation (3.27) est

identique à l’équation (3.25). Par contre, si λ est proche de zéro, l’équation (3.27) tend

vers (3.22).

L’algorithme de Levenberg-Marquardt est en général utilisé comme suit

1. Initialiser a.

2. Calculer χ2(a).

3. Choisir une “petite” valeur pour λ (par exemple λ = 0, 001).

4. Résoudre l’équation (3.27) en δa et évaluer χ2(a + δa).

5. Si χ2(a + δa) ≥ χ2(a), multiplier λ par un facteur supérieur à 1 et retour à (4).

6. Si χ2(a + δa) < χ2(a), diviser λ par un facteur supérieur à 1, mettre à jour a ←a + δa et retour à (4).

7. Si (6) est vérifié et la variation de χ2 très inférieure à 1, arrêter.

3.3 Calcul des sensibilités pour un objet homogène

Si l’on considère l’équation (3.13), on peut observer que l’intensité dépend de la même

manière de la densité de protons ρ(x) et de la sensibilité en réception de l’antenne de

réception R(x). Il apparaît donc évident que la séparation de ces deux termes lors de l’es-

timation va poser problème. C’est pourquoi nous ne nous intéresserons dans un premier

temps qu’à des objets homogènes, pour lesquels la densité de protons ne varie pas, et en-

suite à des objets hétérogènes, pour lesquels la densité de protons varie avec la position

spatiale.


3.3.1 Modélisation utilisée : modèle M1

Si l’on ne s’intéresse qu’à des objets homogènes, pour lesquels ρ est constante, et à des

angles de bascule compris entre 0˚ et 180˚, compte tenu de la relation (3.13), on obtient

I(x, θ) = kρR(x) sin3(T (x)θ) (3.28)

D’un point de vue pratique, la relation (3.28) peut être reformulée par le modèle suivant,

que nous appellerons M1 par la suite

I(x, θ) = a1(x) sin3(a2(x)θ)

a1(x) = kρR(x)

a2(x) = T (x)

(3.29)

Ainsi, connaissant I et θ, les paramètres a1 et a2 du modèle M1 peuvent être obtenus

par inversion en utilisant la méthode de Levenberg-Marquardt. T (x), la sensibilité en

émission de l’antenne émettrice, s’identifie directement à a2(x). R(x), la sensibilité en

réception de l’antenne réceptrice, est calculée en normalisant a1(x) à 1.

L’inversion par l’application l’algorithme de Levenberg-Marquardt se fait voxel par

voxel pour toute la région d’intérêt, selon le principe illustré par le schéma 3.3 dans le cas

d’un modèle quelconque.

Plusieurs points importants sont à déterminer. Tout d’abord, l’algorithme de Levenberg-

Marquardt permet de traiter le problème inverse dans des cas de surdétermination ou des

cas optimaux. Il convient donc de faire des choix en matière de quantité de données à ac-

quérir et à traiter. Le choix du problème optimum s’avérera bien sûr le plus économique

en terme de temps d’acquisition, mais au détriment du temps de calcul, de la précision

et de la sensibilité au bruit. Surdéterminer le problème permettrait de rendre l’estimation

plus robuste, mais demande un temps d’acquisition beaucoup plus long. Ces différents

points vont être étudiés dans la section suivante du point de vue de la précision et de la

vitesse de calcul.

De la même manière, le problème de l’initialisation des paramètres est important. Il

apparaît évident que celle-ci devra avoir lieu en fonction des données disponibles afin

d’accélérer la convergence. Il reste malgré tout beaucoup de possibilités qui ont chacune

leurs avantages et leurs inconvénients. Intéressons-nous tout d’abord au paramètre a01.

Le paramètre a1 correspond à l’amplitude maximale de l’intensité. Etant donnée l’équa-

tion (3.29), il serait intéressant d’initialiser a01 à la plus grande valeur possible, à savoir

l’intensité maximale sur l’ensemble des images au point considéré (3.30) ou cette même

intensité maximale après normalisation d’après le modèle considéré (3.31). Nous avons


i1 = I1(x, y) i2 = I2(x, y)

?

Initialiser a01, a0

2 et λ

?

Calculer χ2(a)

?

Résoudre (3.27)

Evaluer χ2(a + δa)

?

χ2(a + δa) < χ2(a) ?

?oui

nonλ = 10× λ

-

a← a + δa

?

|∆χ2| < seuil ?

?oui

-nonλ = λ/10

a solution estimée

? ?

A1(x, y) = a1 A2(x, y) = a2

FIG. 3.3: Schéma de principe de l’algoritme de calcul des paramètres a1 et a2.

aussi considéré deux cas extrêmes afin de s’assurer de la convergence de l’algorithme

malgré une “mauvaise” initialisation, à savoir les intensités minimales avec (3.32) ou sans

normalisation (3.33).

a01 = max (I(θ1), I(θ2), . . . , I(θn)) (3.30)

a01 = max

(

I(θ1)

sin3(θ1),I(θ2)

sin3(θ2), . . . ,

I(θn)

sin3(θn)

)

(3.31)

a01 = min

(

I(θ1)

sin3(θ1),I(θ2)

sin3(θ2), . . . ,

I(θn)

sin3(θn)

)

(3.32)

a01 = min (I(θ1), I(θ2), . . . , I(θn)) (3.33)

Les initialisations (3.32) et (3.33), étant des valeurs minimales, risquent de souffrir d’un


mauvais rapport signal-sur-bruit, ce qui tend à privilégier (3.31) ou (3.30). Parmi ces deux,

la première (3.31) risque d’être plus sensible au bruit du fait de la division par sin3(θi) ∈[0, 1]. Ceci sera discuté dans la suite.

3.3.2 Résultats et discussion

Avant de calculer les champs RF émis et reçus nous avons choisi de tester notre algo-

rithme sur des données simulées dont les caractéristiques sont parfaitement connues. Ceci

permet de vérifier l’adéquation de l’algorithme au problème en question et plus particu-

lièrement d’étudier différentes configurations de l’algorithme dans des situations d’utili-

sation connues par avance. Les données simulées permettent également d’apprécier les

performances de l’algorithme en termes de vitesse de calcul, et donc de vitesse de conver-

gence, et de précision du résultat, qui consiste en la bonne estimation des paramètres du

modèle. Une fois validé sur ces données, l’algorithme a été ensuite appliqué aux données

réelles.

Validation sur données simulées

Les trois paramètres testés sur ces données sont l’influence du nombre de données,

l’influence de l’initialisation et celle de l’échantillonnage angulaire afin de choisir les

options les plus pertinentes pour le problème abordé ici. Pour cette partie, nous avons

imposé la loi d’évolution de l’intensité suivante

I(θ) = 100 sin3(0.9θ) (3.34)

Influence du nombre de données

Par nombre de données, nous entendons le nombre de points issus du jeu de don-

nées disponible. Si par exemple nous souhaitons calculer a1 et a2 à l’aide des couples

(I(θ1),θ1), (I(θ2),θ2) et (I(θ3),θ3), nous utiliserons 3 données. Nous parlerons de cas op-

timal lorsque le nombre de données sera égal au nombre de paramètres à estimer (2 ici)

et de cas sur-déterminé lorsque le nombre de données sera supérieur au nombre de para-

mètres. Ces deux cas correspondent aux deux possibilités d’utilisation de l’algorithme de

Levenberg-Marquardt. Nous avons voulu étudier l’influence du nombre de données sur

les performances de notre algorithme en terme de précision et de vitesse. L’initialisation

choisie a été celle donnée par (3.31) pour a01 et a0

2 = 1 dans tous les cas. Les résultats sont

illustrés par la figure 3.4.

Il apparaît clairement que le nombre de données a une influence sur le comportement

de l’algorithme. D’une manière générale, le nombre d’itérations et l’erreur d’estimation


2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

nombre de données

nomb

re d’it

ératio

ns

(a)

2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

nombre de données

err

eu

r d

’est

ima

tion

(%

)

2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

nombre de données

err

eu

r d

’est

ima

tion

(%

)

(b) (c)

FIG. 3.4: Influence du nombre de données sur le modèle M1. (a) influence sur la vitesse de conver-

gence, (b) erreur relative sur a1, (c) erreur relative sur a2.

décroissent avec l’augmentation du nombre de données. Il existe cependant un seuil de 3

pour le nombre de données au-delà duquel la variation du nombre d’itérations et des er-

reurs d’estimation devient stationnaire. L’algorithme dans le cas du problème optimal est

plus lent et moins précis que le cas des problèmes sur-déterminés, tout en restant dans des

limites tout à fait raisonnables, avec une erreur d’estimation de l’ordre de 8% maximum.

Lorsque l’on dépasse le seuil de 3 données, l’algorithme a des performances similaires

quelque soit le nombre de données. La redondance supplémentaire introduite par l’aug-

mentation du nombre de points s’avère donc inutile. L’utilisation de trois données semble

donc être un compromis intéressant en terme de vitesse de convergence et de précision.

Cependant le temps nécessaire à l’acquisition de trois volumes serait rédhibitoire en rou-


tine clinique, le temps d’acquisition moyen pour un volume étant de l’ordre de 10 minutes.

Nous avons donc choisi de nous limiter à deux données.

Influence de l’initialisation

Comme pour tous les algorithmes itératifs, une initialisation adéquate est prépondérante

non pas pour assurer la convergence, mais pour l’accélérer. Nous avons donc testé les 4

initialisations proposées précédemment pour a01 (équations (3.31),(3.30),(3.32) et (3.33)),

en n’envisageant qu’une seule possiblité pour a02 (a0

2 = 1). La raison pour laquelle nous

avons choisi cette unique possiblité d’initialisation pour a2 est que les antennes tête sont

supposées être les antennes les plus homogènes. Choisir a02 = 1 revient à dire que l’an-

tenne émettrice est parfaite. De plus, les choix possibles pour ce paramètre sont très res-

treints du fait des lois physiques régissant l’IRM. Il faut souligner qu’au vu des résultats

des essais sur l’influence du nombre de données, nous avons choisi d’utiliser 2 données

pour cette étude. Les résultats de ces tests sont résumés dans le tableau 3.1.

TAB. 3.1: Influence de l’initialisation sur la vitesse de convergence et la précision.

Initialisations Nombre d’itérations Erreur sur a1 Erreur sur a2

(3.31) 58 0,42% 0,14%

(3.30) 141 7,83% 2,96%

(3.32) 45 7,83% 2,96%

(3.33) 155 7,84% 2,97%

Ces résultats mettent en avant deux groupes d’initialisation qui diffèrent par leur vi-

tesse de convergence. Les initialisations qui ne sont pas normalisées par la valeur de

l’angle de bascule, définies par les équations (3.30) et (3.33), rendent la convergence

beaucoup plus lente. Il est intéressant de noter que l’écart de vitesse entre l’initialisation

(3.30) et l’initialisation (3.33) n’est que de 10% et que l’erreur d’estimation est du même

ordre de grandeur. Le second groupe est constitué des initialisations (3.31) et (3.32), leur

convergence est environ 3 fois plus rapide. Il apparaît cependant que l’initialisation (3.31)

serait le meilleur choix car bien que légèrement plus lente, elle conduit à une précision

plus grande.

Influence du pas d’échantillonnage angulaire

Le pas d’échantillonnage angulaire correspond à l’écart angulaire entre deux angles de

bascule considérés pour le calcul. Si l’on note θ1 et θ2 les deux angles de bascule, le pas


d’échantillonnage angulaire sera donc |θ1 − θ2|. L’influence de ce paramètre a été testée

avec l’initialisation (3.31) dans les cas optimaux (2 angles considérés) et sur-déterminés

(3 angles de bascule). Les résultats de ces tests sont montrés sur la figure 3.5.

5 10 15 20 25 30 35 400

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Pas d’échantillonnage angulaire

Nomb

re d’it

ératio

ns2 données3 données

(a)

5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

Pas d’échantillonnage angulaire

% d’e

rreur

Erreur sur a1 (2 données) 100x Erreur sur a1 (3 données)Erreur sur a2 (2 données) 100x Erreur sur a2 (3 données)

(b)

FIG. 3.5: Influence de l’échantillonnage angulaire. (a) sur la vitesse de convergence, (b) sur la

précision.

Il apparaît que l’échantillonnage angulaire a une incidence directe sur la vitesse de

convergence et la précision de l’algorithme. Il est intéressant de noter que le problème

optimal nécessite un pas d’ échantillonnage beaucoup plus grand que le problème sur-

déterminé, figure 3.5a. Pour l’influence de l’échantillonnage angulaire sur la précision,

figure 3.5b, on observe aisèment que dans le cas optimal comme dans celui surdéterminé,

plus l’écart entre les angles de bascule est grand, meilleure est la précision quelque soit le

nombre de données. Ceci peut s’interpréter par le fait que plus les données sont éloignées,


moins le bruit influe sur la valeur des dérivées du modèle par rapport à l’angle de bascule

en les points considérés. Par la suite, nous avons choisi d’utiliser des angles répartis de

manière arbitraire en tenant compte de ces résultats.

Application aux fantômes physiques

Au vu des résultats fournis par la section précédente, nous avons choisi de travailler

dans le cadre du poblème optimal en utilisant 2 données avec un pas d’échantillonnage de

60 degrés et l’initialisation suivante pour la suite des applications

a01 = max

(

I(θ1)

sin3(θ1),I(θ2)

sin3(θ2)

)

a02 = 1

(3.35)

Présentation des données

Nous disposons de deux jeux de données acquises sur un imageur General Electric Si-

gna 1,5 T, en utilisant une antenne tête de type “cage à oiseau” (birdcage coil) en émission

et réception, avec la même séquence écho de spin (TR=4000 ms, TE=min full) modifiée.

Nous avons en effet remplacé les impulsions π2−π par des impulsions θ

2−θ variant d’une

acquisition à une autre selon les caractéristiques énoncées ci-dessous.

Jeu 1 12 acquisitions d’une sphère remplie d’eau dopée, correspondant à 12 angles de

bascule différents variant de 15 a 180 degrés par pas de 15 degrés

Jeu 2 6 acquisitions d’une sphère remplie d’une solution aux caractéristiques proches de

celles des tissus cérébraux, correspondant à 6 angles de bascule différents variant

de 30 à 180 degrés par pas de 30 degrés

Soixante coupes furent acquises pour chaque volume, avec une épaisseur de coupe de 3

mm et une résolution millimétrique dans le plan de coupe. Le temps d’acquisition était de

l’ordre de 10 minutes par volume. De telles images et leurs histogrammes en niveaux de

gris, ici les coupes centrales des jeux 1 et 2, sont montrées par les figures 3.6 et 3.7. Ces

images nous donnent déjà une idée de l’allure des sensibilités que nous allons calculer. En

effet, le centre du disque apparaît sombre sur l’image obtenue à 180˚, ce qui est normal,

alors que les bords ne le sont pas, montrant une erreur au niveau de l’angle de bascule.

Pour chaque position selon z, 12 coupes ont été acquises pour le jeu 1 et 6 pour le jeu 2,

chacune de ces coupes correspondant à un angle de bascule différent.

Cartes de sensibilité en émission et réception

Les cartes de sensibilité en émission et réception sont les représentations de R(x) et


30˚

0

100

200

300

400

500

600

700

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

100

200

300

400

500

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 100 200 300 400 500 600 700 800

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

60˚

0

200

400

600

800

1000

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

500

1000

1500

90˚

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

200

400

600

800

1000

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 500 1000 1500

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

FIG. 3.6: Evolution d’une coupe avec l’angle de bascule (1/2). De gauche à droite : image issue

du jeu 1, image issue du jeu 2 et histogrammes correspondants.

T (x) pour chacune des coupes du volume. Comme le montre l’équation (3.29), elles cor-

respondent respectivement aux cartes de a1 et a2 calculées par notre algorithme. Celles-ci

sont illustrées figures 3.8 à 3.12. Les cartes de sensibilité en émission (correspondant à

a2) sont très homogènes dans la région d’intérêt où se situe l’objet, leur écart-type réduit,

écart-type normalisé par la moyenne de la zone d’intérêt, n’étant que de 4%. Celà signifie

que l’antenne utilisée en émission est très homogène.

Les cartes de sensibilité en réception sont beaucoup plus inhomogènes que celles en

émission. Leur écart-type réduit, normalisation de l’écart-type par la moyenne, est de

22%, ce qui est proche des valeurs observées pour les images brutes. L’inhomogénéité du

champ RF est donc principalement due à la réception et aux interactions entre l’objet et le

champ B1 que sont les autres artefacts présents en IRM.


120˚

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

200

400

600

800

1000

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 500 1000 1500

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

150˚

0

200

400

600

800

1000

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

180˚

0

100

200

300

400

500

600

700

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

100

200

300

400

500

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500 100 200 300 400 500 600 700 800

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

FIG. 3.7: Evolution d’une coupe avec l’angle de bascule (2/2). De gauche à droite : image issue

du jeu 1, image issue du jeu 2 et histogrammes correspondants.

Validité des cartes calculées et du modèle

Afin de vérifier de la validité du modèle et des cartes de sensibilité calculées précé-

demment, nous avons voulu, à partir du modèle, simuler des acquisitions à divers angles

de bascule pour les comparer avec les acquisitions réelles. Pour une telle simulation, les

cartes obtenues à partir des angles 60˚et 120˚pour le jeu de données n˚1 ont été utilisées.

En introduisant les cartes de senbilité T (x) et R(x) dans le modèle M1, équation (3.29),

nous avons artificiellement recréé 12 images correspondant à des angles de bascule de 15

à 180 degrés par pas de 15 degrés. L’erreur entre l’image artificiellement recrééeà partir

de M1 et l’image réellement acquise a ensuite été mesurée. Les résultats sont résumés

dans le tableau 3.2.

L’erreur quadratique moyenne normalisée donne une mesure globale de proximité des

deux images. L’erreur ponctuelle maximale correspond au maximum sur l’ensemble de

la zone d’intérêt de la valeur absolue de l’écart maximal entre les deux images. Ces cri-

tères de qualité décrivent de manière complémentaire la qualité de simulation. Si l’erreur


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

200

400

600

800

1000

1200

1400

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

500

1000

1500

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

500

1000

1500

2000

2500

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.8: Exemple de cartes de paramètres obtenues par l’utilisation de M1 sur le premier jeu de

données (θ1 = 60, θ2 = 120

) (1/5). Les lignes impaires correspondent à a1, les lignes

paires a2.

quadratique moyenne traduit la fidélité globale de l’image simulée par rapport à l’image

réelle, le second critère a un très fort caractère local et est très influencé par le bruit. Ce

dernier est donc un indicateur de qualité au sens du rapport signal-sur-bruit.

Mis à part pour l’angle de bascule de 180˚, la simulation est globalement très pré-

cise puisque l’erreur quadratique moyenne entre l’image réelle et l’image simulée est très

faible. Les fortes valeur de l’erreur ponctuelle maximale se justifient par la présence de

bruit par nature aléatoire tant dans l’image réelle que dans l’image simulée. Ces mesures

d’erreur, et donc de qualité, sont concordantes avec la comparaison visuelle des images


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

200

400

600

800

1000

1200

1400

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FIG. 3.9: Exemple de cartes de paramètres obtenues par l’utilisation de M1 sur le premier jeu de

données (θ1 = 60, θ2 = 120

) (2/5). Les lignes impaires correspondent à a1, les lignes

paires à a2.

illustrées figure 3.13. Le modèle et les cartes de sensibilités qui en sont issues sont donc

valides d’un point de vue pratique.

Comparaison des sensibilités pour deux objets différents

Nous voudrions maintenant étudier si les sensibilités en émission et réception des an-

tennes sont liées avec la charge qui leur est soumise, c’est-à-dire l’objet qui est imagé.

Nous allons mener cette étude en comparant les résultats obtenus sur deux sphères de

mêmes caractéristiques géométriques, mais de propriétés physiques différentes, pour une


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FIG. 3.10: Exemple de cartes de paramètres obtenues par l’utilisation de M1 sur le premier jeu

de données (θ1 = 60, θ2 = 120

) (3/5). Les lignes impaires correspondent à a1, les

lignes paires à a2.

même séquence, un même positionnement et une même machine. Des coupes correspon-

dantes des deux jeux de données sont mises en correspondance dans les figures 3.14 et

3.15 pour la carte de a1 et 3.16 et 3.17 pour la carte de a2. Deux coupes centrales avec

leurs histogrammes sont représentées figure 3.18.

Les cartes en émission (a2) sont très proches pour l’un et l’autre jeu de données, avec

une différence moyenne de 0.1%, ce qui tend à illustrer que l’homogénéité du champ B1

en émission est indépendante de l’objet imagé. Ceci n’est cependant pas vrai pour a1.

Bien que les variations soient de la même amplitude, et la différence moyenne relative-


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de données (θ1 = 60, θ2 = 120



ment faible (2%), la forme de l’inhomogénéité est différente, avec une quasi-symétrie de

révolution pour le jeu 1 alors que le jeu 2 présente une pente régulière, ce qui est similaire

au comportement des données observées figure 3.6 et 3.7. Ceci laisse à penser que l’in-

homogénéité RF dépend des caractéristiques physiques de l’objet imagé. Il semble donc

illusoire d’espérer utiliser les résultats obtenus sur des fantômes pour corriger des images

du cerveau. Ce résultat implique d’autre part que le modèle (3.29) ne peut pas être utilisé

dans le cas d’un objet hétérogène.


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de données (θ1 = 60, θ2 = 120



3.4 Calcul des sensibilités pour un objet hétérogène

Le modèle défini par l’équation (3.29) est issu de l’hypothèse selon laquelle la densité

de protons ρ est constante pour l’ensemble de l’objet. Si cela ne pose pas de problèmes

particuliers pour l’algorithme d’inversion, nous allons par contre être confrontés à un

problème sous-dimensionné dans le sens où il nous incombera de déterminer ρ(x), image

de la densité de protons,R(x), image de la sensibilité en réception de l’antenne réceptrice,

ainsi que T (x), image de la sensibilité en émission de l’antenne émettrice, à partir des


TAB. 3.2: Ecart à la réalité pour des images simulées à partir du modèle M1.

Angle Erreur Erreur Angle Erreur Erreur

de quadratique ponctuelle de quadratique ponctuelle

bascule (˚) moyenne (%) maximale (%) bascule (˚) moyenne (%) maximale (%)

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75 0,02 10,31 165 0,35 30,21

90 0,02 8,02 180 2,42 188,29

seules cartes de a1(x) et a2(x). C’est pourquoi nous avons envisagé de nouveaux modèles

faisant entrer en ligne de compte des informations a priori sur R et T .

Il faut préciser ici qu’une image pondérée en densité de protons ne doit pas être

confondue avec une image de la densité de protons, comme celles que nous allons es-

timer par la suite. En effet, comme le montre l’équation (1.63), le contraste d’une image

IRM reste multiparamétrique, même si l’un des paramètres a une influence plus impor-

tante. Les variations de contraste dans une image de la densité de protons ne sont dues

qu’à la variation de densité de protons.

3.4.1 Adaptation du modèle

Séparation de la sensibilité et de la densité de protons : modèle M2

Nous avons vu précédemment par l’équation (3.13) que l’intensité d’un voxel était pro-

portionnelle à la densité de protons et à la sensibilité en réception de l’antenne réceptrice.

Dans le cas du modèle M1, équation (3.29), la densité de protons était supposée constante,

ce qui n’est plus pour un objet hétérogène. Il va donc nous falloir trouver une méthode

pour dissocier les termes de densité de protons ρ(x) et de sensibilité en réception de l’an-

tenne de réception R(x), qui influent de la même manière sur l’intensité d’un voxel. Au

vu de la relation (3.13), la modélisation la plus intuitive serait (modèle M2)

I(x, θ) = a1(x)a3(x) sin3(a2(x)θ)

a1(x) = R(x)

a2(x) = T (x)

a3(x) = kρ(x)

(3.36)

La séparation des deux termes représentés par a1 et a3 ne va cependant pas être pos-


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FIG. 3.13: Comparaison des données réelles (à gauche) et simulées (à droite) à partir de nos cartes

de sensibilité pour des angles de 60, 150 et 180 degrés.

sible sans hypothèses supplémentaires. Celles-ci sont décrites dans les sections suivantes.

Utilisation du théorème de réciprocité : modèle M3

Le théorème de réciprocité a été énoncé dans le cadre de la résonance magnétique par

[Hoult 76]. Cet énoncé a été complété par [Hoult 97, Hoult 00b]. Une généralisation de

ce principe peut être trouvée dans [Insko 98]. Il consiste en l’écriture d’une relation de

proportionnalité entre les sensibilités en émission et réception dans le cas de l’utilisation


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FIG. 3.14: Comparaison des cartes de a1 pour les jeux 1 et 2 (1/2). Les lignes impaires corres-

pondent au jeu 1, les lignes paires au jeu 2. (θ1 = 60, θ2 = 120

).

d’une antenne en émission-réception, c’est à dire : R(x) ∝ T (x). Si l’on intègre cette

information au modèle (3.36), on obtient (modèle M3)

I(x, θ) = a1(x)a2(x) sin3(a2(x)θ)

a1(x) = kρ(x)

a2(x) = T (x)

= k′R(x)

(3.37)

Si l’on compare ce modèle avec le modèle M2, il apparaît que la séparation de ρ(x) et

de R(x) est devenue possible car I(x, θ) dépend maintenant linéairement de la densité de

protons mais non-linéairement de la sensibilité en réception.


0

200

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600

800

1000

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1400

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1400

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.15: Comparaison des cartes de a1 pour les jeux 1 et 2 (2/2). Les lignes impaires corres-

pondent au jeu 1, les lignes paires au jeu 2. (θ1 = 60, θ2 = 120

).

Filtrage passe-bas : modèle M4

Une autre solution pour dissocier la sensibilité en réception de l’antenne de réception

et la densité de protons est de se fonder sur le contenu fréquentiel de ρ et R. Si l’on

revient au modèle général défini par l’équation (3.13), en considérant ρ(x) comme étant

l’image réelle recherchée, le terme kR(x) sin3(T (x)θ) représente alors l’inhomogénéité

d’intensité. On a ainsi

I(x, θ) = ρ(x)f(x, θ) (3.38)

avec

f(x, θ) = kR(x) sin3(T (x)θ) (3.39)


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

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50

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0.2

0.4

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1

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50 100 150 200 250

50

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50

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50

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0

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1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.16: Comparaison de a2 pour les jeux 1 et 2 (1/2). Les lignes impaires correspondent au jeu

1, les lignes paires au jeu 2. (θ1 = 60, θ2 = 120

).

L’équation (3.39) montre que l’inhomogénéité d’intensité f(x, θ) est une fonctionnelle à

la fois de θ et de x. Son comportement mathématique est donc complexe. Cependant le

système d’imagerie est conçu de manière à ce que le champ RF émis BT(x) soit homo-

gène, comme on a pu le vérifier dans la section 3.3. En conséquence le terme sin3(T (x)θ)

varie très lentement. En même temps, si l’on introduit l’hypothèse de la réciprocité, le

terme R(x) variera aussi lentement. On est ainsi conduit à l’hypothèse couramment utili-

sée par la communauté du traitement d’images qui suppose que l’inhomogénéité d’inten-

sité est une composante lisse et variant lentement de l’image.

Une variation lente et lisse dans le domaine spatial se traduit par de basses fréquences


0

0.2

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1

1.2

50 100 150 200 250

50

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50

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0.2

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1

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50 100 150 200 250

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150

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0.2

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0.2

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50

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0.2

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50 100 150 200 250

50

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0.2

0.4

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1

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50 100 150 200 250

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150

200

250

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.17: Comparaison de a2 pour les jeux 1 et 2 (2/2). Les lignes impaires correspondent au jeu

1, les lignes paires au jeu 2. (θ1 = 60, θ2 = 120

).

dans le domaine fréquentiel. De plus la densité de protons est considérée comme étant

constante par morceaux et texturée, ce qui signifie que l’image ρ(x) a un contenu fréquen-

tiel haute-fréquence. Il en résulte qu’un filtrage passe-bas devrait permettre de dissocier

densité de protons et sensibilité en réception. On aura alors le modèle M4

I(x, θ) = a1(x) sin3(a2(x)θ)

T (x) = a2(x)

R(x) = S (a1(x))

(3.40)

où S(.) est un opérateur de filtrage passe-bas.


a1 a2

1200

1300

1400

1500

1600

1700

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1900

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150

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2500.9

0.92

0.94

0.96

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1

1.02

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1.1

50 100 150 200 250

50

100

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250

1200

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1400

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1600

1700

1800

1900

2000

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.18: Comparaison de a1 et a2 pour deux fantômes.

L’utilisation d’un opérateur de filtrage pose le problème du choix de la taille de celui-

ci. Nous avons choisi de déterminer celle-ci de manière itérative en considérant que la

taille de filtre idéale est celle qui minimise l’entropie associée à a1(x)/F(a1(x)). En ef-

fet, ρ(x) étant considérée comme constante par morceau et texturée, son entropie sera

minimale.



Application à un fantôme homogène

Afin de tester en première approximation la validité des trois nouveaux modèles M2

(3.36), M3 (3.37) et M4 (3.40), nous les avons testés sur le même fantôme homogène que

nous avons utilisé pour notre premier modèle. Les résultats sont présentés dans la figure

3.19 après une égalisation d’histogramme afin de mieux visualiser les variations.

Les moyennes et écart-types de ces résultats sont résumés dans le tableau 3.3.

TAB. 3.3: Résultats des différents modèles sur un fantôme homogène.

Modèleρ R T

Moyenne Ecart-type Moyenne Ecart-type Moyenne Ecart-type

M2 1279,2 90,7 1,040 0,022 0,931 0,041

M3 1430,0 107,9 0,931 0,041 0,931 0,041

M4 1330,1 80,7 1,000 0,036 0,931 0,041

Les densités de protons issues des modèles M2, M3 et M4 présentent des allures et des

valeurs moyennes légèrement différentes. On peut distinguer un premier groupe constitué

des modèles M2 et M3 pour lesquels les écart-types réduits sont respectivement de 7,1 et

7,6%. Le modèle M4 se distingue par l’allure différente de la densité de protons estimée

et par son écart-type réduit de 6,1%. Il faut cependant souligner que si l’allure des densité

de protons varie d’un modèle à un autre, l’erreur quadratique moyenne normalisée entre

ces résultats ne dépasse pas 2,7%.

Les comportements des trois modèles vis-à-vis de la sensibilité en réception sont as-

sez différents. Le modèle M2 propose une carte de sensibilité visuellement assez homo-

gène, bien que bruitée, ce qui est confirmé par une variance réduite de 2,1% seulement.

Le modèle M3 fournit une carte elle-aussi bruitée et d’apparence homogène, mais dont

l’écart-type réduit est de 4,4%, avec une nette variation dans la partie supérieure-gauche.

Le modèle M4 propose par contre une estimée très lisse, ce qui est normal au vu de

la modélisation, présentant un écart-type réduit de 3,6%. Comme précédemment, il faut

souligner que les images exposées figure 3.19 sont visuellement très différentes, l’erreur

quadratique moyenne normalisée entre chacune n’excède pas 3,8%. Si l’on compare ces

chiffres avec ceux de la densité de protons, l’antenne réceptrice apparaît comme étant très

homogène.

Les résultats pour la sensibilité en transmission sont identiques par leur forme et leur


ρ R T

M1 supposée constante

M2

M3

M4

FIG. 3.19: Comparaison des estimées de ρ, R et T pour un objet homogène pour les modèles M1,

M2, M3 et M4. Les images ont fait l’objet d’une égalisation d’histogramme afin de

mettre en évidence les différences de variation.


valeur pour les trois modèles. Ceci tend à montrer que l’influence du terme en sin3 est

prépondérante dans tous les cas. L’écart-type réduit de T est de 4,4%.

Les différents modèles donnent donc des résultats similaires numériquement bien que

d’apparence différente. Les hypothèses faites sur les différents paramètres et sur la modé-

lisation proposée sont valides pour le cas d’un objet homogène.

Application à l’IRM du cerveau

Présentation des données

Les données que nous allons utiliser pour cette application sont issues du même proto-

cole que celui utilisé pour les fantômes. Ce sont donc des images très fortement pondérées

en densité de protons.

Il s’agit du cerveau d’un volontaire sain acquis à quatre reprises pour des angles de

bascule de 60 à 105 degrés, par pas de 15˚. Une même coupe est présentée pour quatre

angles de bascule différents figure 3.20. Nous pouvons noter la présence d’une zone inho-

mogène hyper-intense dans le quart en haut à gauche de la coupe ainsi que dans le quart en

bas à droite. Cette variation d’intensité est beaucoup plus marquée pour la coupe à 60˚que

pour les autres.

Résultats

Au niveau des estimées des densités de protons, les modèles M2 et M3 donnent des

résultats similaires quant à l’allure des variations d’intensité, notamment dans la matière

grise. Ces estimées présentent en effet la même allure que les données initiales, c’est à dire

une variation d’intensité diagonale, les parties antérieure-gauche et postérieure-droite du

cerveau étant plus claires que leurs symétriques. Ceci n’est pas le cas pour le modèle M4

qui a une allure beaucoup plus constante par morceau.

Les cartes de sensibilité en réception sont très différentes d’un modèle à l’autre. Celle

obtenue par le modèle M2 est très constante, les seules variations correspondant au bruit.

Le modèle M3 donne une carte de R relativement constante, où les ventricules appa-

raissent et où l’on peut distinguer quelques éléments de structures cérébrales. Le modèle

M4 fournit un résultat très lissse, ce qui est logique, qui présente la même forme de varia-

tion d’intensité que la coupe à 60˚de la figure 3.20, à savoir une zone supérieure gauche

hyperintense.

Les sensibilités en émission estimées sont très identiques pour les modèles M2 et M4,

ce qui est cohérent puisque la dépendance mathématique de ces modèles vis-à-vis de T (x)

est identique. Les ventricules y sont mis en évidence car le mouvement du liquide céphalo-


0

100

200

300

400

500

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700

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1000

50 100 150 200 250

50

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150

200

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200

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1000

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50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

60˚ 75˚

0

200

400

600

800

1000

1200

50 100 150 200 250

50

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150

200

2500

200

400

600

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1000

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

90˚ 105˚

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

50

100

15060 degrés90 degrés

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

50

100

15075 degrés 105 degrés

FIG. 3.20: Evolution d’une coupe d’un cerveau sain avec l’angle de bascule.

rachidien à l’intérieur de ceux-ci crée un artefact de flux, les protons imagés n’étant pas

ceux qui ont été excités du fait du long temps d’écho. La carte obtenue par le modèle M3

présente aussi cet artefact.

Après avoir étudié le comportement de ces différents modèles visuellement, nous

avons étudié les moyennes et écart-types des différentes estimées pour chacun des mo-


ρ R T

500

550

600

650

700

750

800

850

900

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

500

550

600

650

700

750

800

850

900

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500.75

0.8

0.85

0.9

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1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

50 100 150 200 250

50

100

150

200

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500

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600

650

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750

800

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50 100 150 200 250

50

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150

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2500.75

0.8

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1

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1.1

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50 100 150 200 250

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200

2500.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 3.21: Comparaison des estimées de ρ, R et T pour le cerveau d’un volontaire sain. La pre-

mière ligne montre les résultats obtenus par (3.36), la seconde par (3.37) et la troisième

par (3.40).

dèles. Comme le montre le tableau 3.4, les résultats obtenus avec le cerveau diffèrent

sensiblement de ceux obtenus avec le fantôme. Si les comportements numériques des

densités de protons estimées dans le cas de l’objet homogène montrent de grandes si-

milarités entre les modèles M2 et M3, ce sont ici les modèles M2 et M4 qui présentent

des caractéristiques quasiment identiques en terme de moyennes et d’écart-types pour les

deux matières considérées.

Cette différence est répercutée sur les sensibilités en réception, celles estimées par les

modèles M2 et M4 sont en effet très similaires, et plus faibles que celles calculées par M3.

Ce dernier modèle est celui qui présente le plus de variations d’une matière à une autre

avec une variation de 4%.

Par contre, les estimées de la sensibilité en transmission sont très stables d’un modèle

à un autre. Elles le sont aussi d’une matière à l’autre puisque la variation de la matière

blanche à la matière grise n’est que de 2,5% au maximum.


TAB. 3.4: Résultats des différents modèles sur un cerveau sain.

Modèle Matièreρ R T

Moy. Ecart-type Moy. Ecart-type Moy. Ecart-type

M2Grise 758,59 41,159 1,002 0,022 1,084 0,070

Blanche 650,72 34,524 1,003 0,023 1,106 0,057

M3Grise 716,90 56,55 1,074 0,064 1,074 0,064

Blanche 596,62 43,88 1,102 0,047 1,102 0,047

M4Grise 761,62 30,64 1,008 0,024 1,074 0,064

Blanche 648,89 27,53 1,011 0,019 1,102 0,047

Afin de déterminer quel algorithme donne les résultats les plus pertinents, nous nous

sommes intéressés au “produit dérivé” de l’estimation de R et T qu’est la densité de

protons ρ. D’après nos hypothèses, celle-ci doit être constante par morceaux et texturée.

Si l’on se fonde sur ces mêmes hypothèses, le dispositif d’imagerie déteriore la qualité

de l’image. L’image obtenue doit donc être plus éloignée de la théorie que la densité de

protons estimée. Nous avons donc calculé l’inhomogénéité d’intensité pour une image

originale acquise avec un angle de bascule de 90˚, ainsi que pour les 3 modèles, selon

la méthode proposée par [Wicks 93]. Le meilleur modèle est celui qui doit donner les

inhomogénéités les plus faibles, avec pour condition impérative que celles-ci doivent être

plus faibles que les inhomogénéités initiales. Selon le tableau 3.5, le seul modèle à remplir

ces conditions est le modèle M4.

TAB. 3.5: Inhomogénéité de la densité de proton estimée par nos modèles.

Matière I90˚ ρM2 ρM3 ρM4

Grise 5,41 5,43 7,89 4,02

Blanche 5,09 5,31 7,35 4,24

3.5 Conclusion

Nous avons proposé quatres modèles pour estimer les distributions spatiales de sensi-

bilité en émission et réception d’une antenne radio-fréquence dans le cas d’objets d’intérêt

homogènes et hétérogènes. Chacun de ces modèles se fonde sur un jeu d’hypothèses dif-

férent des autres.


Le premier modèle ne concerne que les objets homogènes tels que les fantômes phy-

siques. Une telle démarche a permis, avec des fantômes physiques homogènes dont les

caractéristiques sont parfaitement connues, de vérifier la validité de ce modèle et la faisa-

bilité de la méthodologie d’estimation des champs RF.

Les trois autres modèles sont conçus pour permettre l’estimation des sensibilités en

émission et réception des antennes RF à la fois pour des objets homogènes et hétéro-

gènes. Le second modèle proposé, modèle M2, n’utilise aucune hypothèse supplémen-

taire vis-à-vis du modèle proposé pour les objets homogènes. Les résultats obtenus par

cette méthode se sont avérés corrects pour les objets homogènes mais guère convaincant

pour les objets hétérogènes, ce qui s’explique par la sous-détermination implicite du pro-

blème. Nous avons ensuite introduit l’hypothèse de réciprocité, qui limite l’applicabilité

du modèle aux antennes RF utilisées en émission-réception. Celà permet de réduire le

nombre de paramètres à estimer lors de l’inversion du problème. Bien que meilleures que

celles obtenues par le deuxième modèle, les estimées calculées avec ce troisième modèle

n’étaient pas encore satisfaisantes. Notre dernier modèle n’utilise pas cette hypothèse de

réciprocité mais se fonde sur le présupposé que si variation de sensibilité il y a, elle sera

spatialement lisse. Les cartes de sensibilité obtenues par l’intermédiaire de ce modèle sont

très satisfaisantes, tant pour les objets homogènes qu’hétérogènes.

Les résultats sur les objets homogènes tendent à montrer que la distribution spatiale de

sensibilité en émission de l’antenne RF utilisée en émission est indépendante des carac-

téristiques physiques de l’objet, et donc de la densité de protons. La distribution spatiale

de sensibilité en réception change avec l’objet imagé, ce qui tendrait à prouver une nature

objet-dépendante des cartes de sensibilité en réception. L’estimation de la sensibilité en

réception d’une antenne RF passe donc obligatoirement par sa dissociation avec la densité

de protons de l’objet imagé. Au-delà du calcul des sensibilités des antennes RF, ceci pose

un problème méthodologique au niveau de la correction de ces artefacts. Cette correction

ne peut donc en effet omettre les variations spatiales de densité de protons et donc l’aspect

anatomique de l’objet imagé.

Une spécificité des méthodes proposées dans ce chapitre est qu’elles nécessitent un

temps-machine plus long qu’une acquisition conventionnelle en routine clinique, en rai-

son de la nécessité de l’acquisition de multiples volumes de données avec une séquence

spécifique. Deux voies sont cependant possibles pour réduire la durée du protocole d’ac-

quisition. La première consiste en l’utilisation de ce protocole de manière unique. L’acqui-

sition ne se déroulera qu’une seule fois, permettant de déterminer la distribution spatiale

de densité de protons associée au patient. Les données acquises seront ensuite recalées par


rapport à cet atlas anatomique personnel. La seconde solution consiste en la réduction du

temps d’acquisition de ces données. Puisque nous faisons l’hypothèse que les variations

sont lisses, il est tout à fait possible d’envisager de sous-échantillonner l’acquisition d’un

facteur deux, par exemple, dans les trois dimensions. Il en résultera un temps d’acquisi-

tion divisé d’un facteur huit. Une fois les cartes de sensibilités déterminées, il sera alors

possible d’en obtenir une version complète par interpolation.

Parmi les principaux axes de développement, il est possible d’envisager une extension

de ce type de méthodes selon les séquences et les antennes. Nous nous sommes en effet

cantonnés à la séquence écho de spin, mais l’utilisation de ce type de méthodes pour des

séquences, comme l’écho de gradient, est tout à fait envisageable à la seule condition

de modifier le modèle en fonction du protocole d’acquisition envisagé. Du point de vue

des antennes, nous n’avons considéré que les antennes tête en émission-réception. Cette

contrainte n’est cependant pas imposée par le modèle que nous avons développé, ce qui

permet d’envisager l’utilisation de deux antennes différentes en émission et en réception.

Ceci permettrait d’envisager l’application de ce type de méthodes à l’imagerie d’autres

organes comme le cœur ou la colonne vertébrale.

CHAPITRE 4

CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS

D’INTENSITÉ

4.1 Introduction

Comme nous l’avons montré dans l’étude présentée dans le chapitre 2, nous pouvons

classer les méthodes de correction selon deux catégories, pré- et post-traitements. Ces

deux types d’approches sont issus de deux communautés scientifiques différentes.

Les approches de types pré-traitement sont essentiellement le fait de physiciens. Ce

sont des méthodes ciblées, fondées sur l’identification et la modélisation des sources phy-

siques de l’inhomogénéité d’intensité. Elles nécessitent pour la plupart l’utilisation de

protocoles spécifiques qui ne sont guère applicables en routine clinique.

Les méthodes de post-traitement, qui représentent la grande majorité des travaux sur

le sujet, sont dues à la communauté des traiteurs d’images. Ce grand nombre est com-

préhensible par le fait que si la correction n’est pas nécessaire pour avoir une image, elle

est nécessaire pour que les traitements, la segmentation par exemple, soient efficaces. Ces

méthodes sont basées sur une modélisation des effets de l’inhomogénéité, mais l’approche

reste aveugle dans le sens où les causes ne sont pas identifiées. Il en résulte une disparité

dans les résultats des différentes méthodes, comme le montre la figure 4.1 où les résultats

de la méthode EM [Wells 96] et de la méthode N3 [Sled 98b] sont comparés. La vérité de

terrain n’étant pas connue, il est difficile de juger de la pertinence d’une méthode de cor-

rection vis-à-vis d’une autre. Nous avons donc choisi de nous placer entre ces deux axes

princiapux en proposant une approche coopérative mettant en œuvre des critères spatiaux

et statistiques.

Suite aux travaux concernant la modélisation des champs RF exposés dans le chapitre

4. CORRECTION DES INHOMOGÉNÉITÉS D’INTENSITÉ 101

(a)

(b) (c)

(d) (e)

FIG. 4.1: Résultats des corrections par deux méthodes de post-traitement pour le cerveau. (a)

image originale, (b) image corrigée par la méthode EM, (c) image corrigée par la mé-

thode N3, (d) et (e) sont les biais estimés par respectivement les méthodes EM et N3.

précédent, nous avons été amenés à étudier la correction des images IRM cérébrales. Cette

correction a été envisagée suivant les deux types d’approches évoqués précédemment, en

essayant d’utiliser les informations issues des deux modèles de pré- et post-traitement et

en rendant nos algorithmes les plus flexibles possibles. Dans une première partie nous étu-

dierons la correction par une approche purement pré-traitement qui utilisera directement


les résultats issus de la modélisation proposée au chapitre 3 en mettant l’accent sur notre

proposition d’unification des modélisations de l’inhomogénéité. Nous exposerons ensuite

nos travaux sur l’approche post-traitement en explicitant notre méthodologie au regard

des caractéristiques physiques de l’inhomogénéité.

4.2 Approche pré-traitement

4.2.1 Modélisation du problème

Comme décrit dans le chapitre 2, les méthodes de pré-traitement proposées dans la

littérature utilisent soit un modèle empirique fondé sur des hypothèses émises quant au

comportement de l’objet imagé [Axel 87, Wicks 93] ou de l’antenne utilisée [Brey 88,

Liney 98], soit sur l’équation du signal issu d’une séquence spécifique [Clare 01, Mihara 98].

Les approches de type post-traitements sont issues de la modélisation générique du

biais multiplicatif associé à un bruit additif. Ce modèle est généralement noté

v(x) = g(x).u(x) + n(x) (4.1)

où v(x) correspond à l’image observée, g(x) au biais multiplicatif représentant l’inho-

mogénéité d’intensité, u(x) à l’image idéale et n(x) à un bruit blanc, gaussien et centré

(hypothèse valable seulement dans le cas d’un fort rapport signal sur bruit comme nous

l’avons montré dans le chapitre 1).

Nous avons montré au chapitre 3 que l’intensité d’un point x dépendait de l’angle de

bascule nominal, fixé par l’opérateur, selon la relation

I(x) = kR(x)M(ρ(x), T (x)θ) (4.2)

qui, en tenant compte des équations (1.3) et (3.12) nous conduit à

I(x) = k′R(x)ρ(x)Mseq(T (x)θ) (4.3)

Les équations (4.2) et (4.3) ne tiennent pas compte du bruit présent dans l’image. Si l’on

considère ρ(x) comme l’image idéale u(x) recherchée dans l’équation (4.1), il ressort que

l’inhomogénéité d’intensité peut être écrite sous la forme

g(x) = k′R(x)Mseq(T (x)θ) (4.4)

les deux modèles utilisés dans les approches pré- et post-traitement sont ainsi reliés entre

eux. L’équation (4.4) donne une interprétation physique et concrète du modèle de biais

multiplicatif. Elle démontre que ce dernier est fortement dépendant de la matière imagée.


Au vu de l’équation (4.4), notre méthode de correction va consister en le calcul de

g(x) à l’aide des estimées obtenues dans le chapitre 3, puis à diviser pixel à pixel l’image

réelle par le biais calculé dans la zone d’intérêt (ROI). Nous obtiendrons alors

ρ(x) =I(x)

k′R(x)Mseq(T (x)θ)+ n(x) si x ∈ ROI

ρ(x) = n(x) sinon(4.5)

Dans le cas des images acquises pour le chapitre 3, l’equation (4.5) devient

ρ(x) =I(x)

k′R(x) sin3(T (x)θ)+ n(x) si x ∈ ROI



Nous allons commencer par corriger les images de fantômes homogènes. Ceux-ci de-

vraient nous permettre de vérifier en première approximation la validité de notre modèle

de correction. Nous appliquerons ensuite notre modèle de correction aux images céré-

brales.

Application à un objet homogène

Si notre correction est efficace, ces objets homogènes devraient présenter des profils du

type

ρ(x) = ρ0 + n(x) si x ∈ ROI


Etant donné que nous disposons de plusieurs volumes correspondant à un même objet,

nous pouvons supposer que leur correction devrait mener au même résultat. Nous allons

donc commencer par appliquer notre correction à tous les volumes des jeux 1 et 2 puis

nous comparerons les résultats obtenus pour chacun.

Pour estimer les sensibilités en émission et réception, nous utiliserons le modèle M4,

décrit par l’équation (3.40), qui donne les meilleurs résultats d’estimation, comme montré

au chapitre 3. Nous avons choisi de calculer l’inhomogénéité intra-coupe pour la coupe

centrale afin de mieux comparer les résultats avant et après correction [Wicks 93]. L’inho-

mogénéité intra-coupe consiste en l’écart-type réduit dans une zone d’intérêt homogène

de l’image, elle traduit la variation relative d’intensité au sein de cette zone et donc la

qualité de l’image. Ces résultats sont présentés dans les tableaux 4.1 pour le jeu 1 et 4.2

pour le jeu 2.

Nous n’avons pas considéré l’angle de bascule 180˚car la sensibilité en transmission

est proche de 1, et donc sin3(T (x)θ) proche de zéro, ce qui nous mène à une majorité de


TAB. 4.1: Inhomogénéité intra-coupe pour la coupe centrale du jeu de données 1 avant et après

correction par le modèle M4.

Modèle 15˚ 30˚ 45˚ 60˚ 75˚ 90˚ 105˚ 120˚ 135˚ 150˚ 165˚

Image 9,00 8,38 8,01 7,61 7,12 6,50 6,30 6,55 7,75 12,20 21,49

M4 5,78 5,66 5,51 5,34 5,28 5,32 5,33 5,28 5,56 6,04 7,98

points singuliers. Le modèle M4 donne des résultats remarquables de part leur efficacité,

avec une réduction de l’inhomogénéité dans tous les cas de figures, et leur stabilité, les

valeurs correspondant aux angles de 60 à 120 degrés étant comprises dans une fourchette

de 1 %. Ces résultats numériques sont confirmés par la figure 4.2 qui montre une coupe

obtenue pour un angle de bascule de 90˚(séquence écho de spin “classique”) avant et après

correction ainsi que ses profils diagonaux et histogrammes. Les images figures 4.2a et 4.2b

montrent que la correction homogénéise, ne serait-ce que visuellement, l’image. L’amé-

lioration de l’image après correction est aussi visible sur les profils, figure 4.2c, et les

histogrammes, figure 4.2d. Pour ces derniers, on constate que la forme de l’histogramme

de l’image corrigée est plus étroite, témoignant de niveaux de gris moins dispersés pour

la zone d’intérêt.

TAB. 4.2: Inhomogénéité intra-coupe pour la coupe centrale du jeu de données 2 avant et après

correction par le modèle M4.

Modèle 30˚ 60˚ 90˚ 120˚ 150˚

Image 6,25 5,94 6,54 8,63 47,96

M4 5,23 4,50 4,58 4,50 6,45

Le deuxième jeu de données ne fait que confirmer les résultats observés pour le pre-

mier jeu de données. Le modèle M4 est toujours aussi efficace, comme le montre la figure

4.3.

Application à un objet hétérogène

Nous avons ensuite appliqué la même méthode aux images de cerveau décrites dans

le chapitre 3. Les mêmes calculs d’inhomogénéité intra-coupe en dissociant la matière

grise de la matière blanche.Les résultats sont résumés dans le tableau 4.3 et illustrés par

la figure 4.4.

Ces résultats montrent que l’inhomogénéité d’intensité a été réduite de manière sen-

sible. Ceci est confirmé par les images présentées figure 4.4, où l’on peut observer que


800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2501100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

1500

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

(a) (b)

0 50 100 150 200 250 3000

500

1000

1500Image originaleImage corrigée

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

500

1000


(c) (d)

FIG. 4.2: Résultats de la correction pour le jeu de données 1. (a) image originale, (b) image cor-

rigée, (c) profils diagonaux des images originales et corrigées et (d) histogrammes des

images originales et corrigées.

TAB. 4.3: Résultats de la correction pour le cerveau. Les chiffres en gras sont ceux pour lesquels

l’image a été détériorée.

Matière Modèle 60˚ 75˚ 90˚ 105˚

GriseIm. orig. 5,30 5,53 5,41 6,47

M4 3,93 5,10 5,21 3,93

BlancheIm. orig. 4,33 4,97 5,09 5,62

M4 3,71 5,07 4,95 3,71


600

650

700

750

800

850

900

950

1000

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

(a) (b)

0 50 100 150 200 250 3000

200

400

600

800

1000


0 200 400 600 800 1000 1200 14000

500

1000


(c) (d)

FIG. 4.3: Résultats de la correction pour le jeu de données 2. (a) image originale, (b) image cor-

rigée, (c) profils diagonaux des images originales et corrigées et (d) histogrammes des

images originales et corrigées.

l’image originale est affectée d’une variation d’intensité que nous pourrions qualifier de

diagonale, les parties antérieure-droite et postérieure-gauche étant respectivement plus

claire que la partie antérieure-gauche et la partie postérieure-droite, figure 4.4a. Cet ar-

tefact n’est plus visible sur l’image corrigée présentée figure 4.4b. Les profils montrent

aussi cette nette amélioration de l’image, les variations d’intensité n’étant plus dues qu’à

des variations anatomiques ou au bruit après correction. Les histogrammes montrent que

les pics d’intensité correspondant aux deux matières sont plus aigus après correction. Par

contre, le contraste entre les deux matières a diminué.

En guise de conclusion, la correction par pré-traitement est une méthode très simple,

très rapide et très facile à mettre en œuvre. Elle s’avère efficace pour les inhomogénéités

les plus importantes, mais atteint ses limites lorsque les variations deviennent faibles.

Elle peut donc être utilisée pour une première correction de l’image, suivie d’un post-

traitement pour améliorer encore le résultat.


600

620

640

660

680

700

720

740

760

780

800

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250450

500

550

600

650

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

(a) (b)

0 50 100 150 200 250 3000

100

200

300

400

500

600

700

800

900


0 200 400 600 800 1000 12000

20

40

60

80

100

120

140

160

180


(c) (d)

FIG. 4.4: Résultats de la correction pour le cerveau. (a) image originale, (b) image corrigée, (c)

profils diagonaux des images originale et corrigée et (d) histogrammes des images ori-

ginale et corrigée.

4.3 Approche post-traitement

A l’heure actuelle deux types de méthodes s’opposent. Le premier, parmi lequel nous

pouvons classer [Sled 98b] et [Likar 00], considère que l’inhomogénéité est indépendante

du tissu et corrige le volume de données par des méthodes statistiques sans considération

pour les structures anatomiques.

Le second estime par contre que l’aspect anatomique n’est pas à négliger et le prend

en compte soit explicitement en alternant de manière itérative segmentation et correc-

tion ([Wells 96],[Van Leemput 99]), soit implicitement en considérant l’inhomogénéité

comme une composante assimilable à un lissage de l’image originale ([Cohen 00]).

Nous avons vu précédemment que l’inhomogénéité d’intensité dépendait de la densité

de protons locale, et donc de la distribution spatiale de densité de proton. Cela nous a

incité à chercher une solution mixte qui prend en compte simultanèment l’aspect anato-


mique, donc la dépendance spatiale, et les propriétés statistiques, donc indépendantes de

la position spatiale, de l’image.

4.3.1 Méthodologie

Pour prendre en compte l’aspect structurel de l’image, nous avons adopté une ap-

proche spatiale qui nous permet de décrire de manière précise et directe l’évolution des

niveaux de gris en fonction de la position spatiale. Une autre manière de représenter, et

donc de caractériser, l’image est de décrire ses propriétés statistiques. L’histogramme des

niveaux de gris en est un exemple. Ce type de représentations ne fait intervenir que les

niveaux de gris et apparaît donc comme universel, robuste et réduisant les problèmes liés

au volume de données. Les résultats exposés au chapitre précédent ainsi que dans la sec-

tion précédente montrent que l’inhomogénéité d’intensité affecte de manière significative

l’allure de l’histogramme de l’image. Ces deux types de représentation sont complémen-

taires, c’est pourquoi nous avons choisi d’utiliser une approche itérative de fusion de don-

nées permettant de combiner les paramètres statistiques et anatomiques, comme le montre

le schéma 4.5.

Notre méthode peut donc se scinder en cinq parties, à savoir :

– les pré-traitements

– la branche “spatiale”

– la branche “spectrale”

– les conditions d’arrêt

– les post-traitements

que nous allons détailler dans la suite.

Les pré-traitements

Volume initial - Région d’intérêt - Transformée exp - Traitement

Ils sont au nombre de deux. Tout d’abord la région d’intérêt, ici le crâne et le cerveau, est

déterminée par un simple seuillage. Ceci nous est utile à des fins d’optimisation, par la

réduction du volume de données à traiter, pour limiter certains artefacts dûs aux transitions

brusques entre le fond et les tissus et aussi pour éviter les valeurs nulles qui empêcheraient

l’utilisation de la transformation logarithmique.

La transformée logarithmique permet de transformer le modèle multiplicatif (4.1) en

un modèle additif, à condition de négliger le terme correspondant au bruit. Nous obtenons


Résultat

Transformée exp

Fusion des résultats

Comparaison des résultats

Division pixel à pixel

Estimation du biais

Correction

“Lookup table”

Déconvolution

Histogramme

Transformée log

Détermination de la ROI

Volume initial

?

?

?

-

?

?

?

?

?

?

?

?

-

FIG. 4.5: Schéma de principe de la correction par post-traitement.

ainsi

v(x) = g(x) + u(x) (4.8)

avec a(x) = log(a(x)).

Le terme lié au bruit peut être négligé si l’on considère que dans la région d’intérêt le

rapport signal-sur-bruit est grand et donc l’influence du bruit faible.

L’intérêt de travailler sur un modèle additif est qu’il est algorithmiquement plus facile

de résoudre ce type de problèmes. De plus un problème additif pour les niveaux de gris est

transformé en un problème de convolution des histogrammes, ce qui permet d’envisager

une approche fondée sur la déconvolution afin d’exploiter les propriétés statistiques de

l’image.


La branche “spatiale”

Pré-traitements - Estimation

du biais- Division pixel à pixel -Test d’arrêt

La branche “spatiale” se subdivise en deux parties. Tout d’abord l’inhomogénéité est es-

timée, puis le volume corrigé. L’estimation se fait par un lissage utilisant des splines

cubiques. Tout d’abord le fond de l’image est réhaussé à la valeur moyenne de l’intensité

dans la zone d’intérêt afin de limiter les artefacts dûs aux transitions trop brusques. Le

lissage à proprement parler est ensuite effectué. Celui-ci est contrôlé par un paramètre

réglant l’étendue des données prises en compte. Le paramètre optimal est déterminé de

manière itérative avec comme critère la maximisation de l’entropie pour la meilleure es-

timée. Le biais calculé est ensuite soustrait au volume en entrée pour tous les points de la

zone d’intérêt.

La branche “spectrale”

Pré-

traitements- Histogramme -Déconvolution -“Lookup

table”- Correction -Test d’arrêt

Cette partie de l’algorithme consiste en la déconvolution par analyse spectrale de l’histo-

gramme du volume en entrée par une gaussienne de largeur variable. Une fois déconvolué,

l’histogramme corrspond à celui de l’image corrigée, mais l’histogramme déconvolué ne

donne pas directement accès à l’image corrigée. Pour ce faire, une table de correspon-

dance entre l’histogramme original et l’histogramme après déconvolution est déterminée.

Cette table sert à corriger les données initiales.

Déconvolution de l’histogramme

Si l’on note U , V et G les densités de probabilité de u, v et g et si l’on suppose que g

et u sont indépendants, selon la théorie des probabilités, la distribution V est donnée par

V (v) = G(v) ∗ U(v) =

∫

G(v − u)U(u)du (4.9)

On transforme ainsi le problème additif des niveaux de gris, équation (4.8), en un pro-

blème de convolution des densités de probabilité, équation (4.9).


La relation (4.9) montre que la présence des inhomogénéités d’intensité dans l’image

observée se traduit par la perte des hautes fréquences dans l’histogramme de cette der-

nière. En d’autres termes, la présence d’inhomogénéités d’intensité a pour effet de lisser

l’histogramme de l’image idéale. La correction consistera alors à restaurer U à partir de

V et à retrouver ensuite les niveaux de gris de l’image idéale.

RetrouverU dans l’équation (4.9) est un problème de restauration en traitement d’images.

On peut utiliser une opération de déconvolution fondée sur le filtrage de Wiener pour le

résoudre [Pratt 01].U ≈ F V

F =G?

|G|2 + Z2

(4.10)

où F est le filtre de Wiener, ? correspond au complexe conjugué, G est la transformée de

Fourier de G et Z est une constante. Ici la densité de probabilité G est supposée gaus-

sienne, ce qui nous permet, après transformation de Fourier inverse de U d’obtenir la

densité de probabilité U de l’image corrigée. Nous allons ensuite calculer la table de cor-

respondance nous permettant de déterminer la correction à effectuer sur l’image.

Construction de la table de correspondance

Calculer la table de correspondance revient à déterminer l’espérance de u connaissant

v. Celle-ci nous est donnée par

E[u|v] =

∫ +∞

−∞up(u|v)du

=

∫ +∞

−∞up(u, v)

p(v)du

(4.11)

en utilisant l’équation (4.9), on obtient

E[u|v] =1

V (v)

∫ +∞

−∞up(u, v)du

=

∫ +∞−∞ uG(v − u)U(u)du∫ +∞−∞ G(v − u)U(u)du

=G(v) ∗ (uU(u))

G(v) ∗ U(u)

(4.12)

Cette table est ensuite appliquée pour tous les points de la zone d’intérêt.


Conditions d’arrêt

Branche spatiale Branche spectrale

-Vx VnCondition d’arrêt

validée ?

?oui

Post-traitements

nonVn

-nonVx

Le principal critère d’arrêt est la variance réduite de l’erreur entre les deux estimées. On

considère en effet que l’image idéale est celle qui représente le meilleur compromis entre

les estimées purement spatiales et celles purement spectrales.

Si ce critère n’est pas satisfait, le volume corrigé par la branche spatiale est réinjecté

en tant que volume d’entrée pour la branche spectrale et réciproquement.

Les post-traitements

Test d’arrêt - Fusion - Transformée log - Résultat

Les post-traitements appliqués sont au nombre de deux. Tout d’abord nous devons fu-

sionner les résultats issus des deux branches. Au vu du critère d’arrêt, ces deux estimées

doivent être très proches l’une de l’autre. C’est pourquoi nous avons choisi de prendre la

moyenne voxel à voxel des deux volumes.

Le volume résultant fait ensuite l’objet d’une transformée exponentielle afin de revenir

dans le domaine des intensités.


Evaluation sur des objets homogènes

Nous avons commencé par évaluer les performances de notre algorithme sur des vo-

lumes acquis sur des fantômes. Dans ce cas la vérité de terrain est connue et l’évaluation

des résultats aisée. L’évaluation de l’algorithme a été effectuée sur la coupe centrale du

jeu de données 1, pour les angles de bascule 30˚, 90˚, 150˚et 180˚. Les résultats obtenus

sont montrés figure 4.6 et comparés à ceux donnés par la méthode N3 [Sled 98b] qui est

fondée, comme nous l’avons souligné plus haut et dans le chapitre 2, uniquement sur les

propriétés statistiques de l’image. Les quatre lignes de la figure 4.6 correspondent aux


différents angles de bascule. Nous n’avons pas pu évaluer notre méthode vis-à-vis de la

méthode EM car cette dernière nécessite des images acquises par l’intermédiaire d’une

séquence double-écho DP/T2, ce qui n’est pas le cas ici.

Image originale Méthode N3 Notre méthode

FIG. 4.6: Comparaison des corrections par notre algorithme et par la méthode N3 pour des angles

de bascule de 30, 90, 150 et 180 degrés pour le fantôme n˚1.

Dans tous les cas aussi bien notre méthode que la méthode N3 ont permis dse ré-

duire les inhomogénéités intra-coupe, mais les résultas obtenus par notre méthode sont

meilleurs que ceux fournis par la méthode N3. Une telle amélioration est due à l’introduc-

tion d’informations spatiales par notre algorithme.

Afin d’évaluer les capacités de notre algorithme vis-à-vis des inhomogénéités inter-

coupes,nous avons créé une image constituée de l’ensemble des histogrammes des coupes


d’un volume (figure 4.7). Chaque ligne de l’image correspond à une courbe d’histo-

gramme, le numéro de la ligne correspond au numéro de la coupe et le numéro de la

colonne au niveau de gris. L’intensité de l’image au point (nl, nc) correspond donc à

la valeur de l’histogramme de la nèmel coupe pour le niveau de gris nc. Lorsqu’un vo-

lume est parfaitement homogène, une seule colonne devrait avoir une valeur non nulle.

Lorsque le volume représentant un objet homogène est inhomogène, différents niveaux

de gris existent et l’on trouvera alors un motif plus ou moins linéaire et d’épaisseur va-

riable. L’inhomogénéité intra-coupe se traduira par un élargissement du motif à numéro

de coupe constant. L’inhomogénéité inter-coupes se traduira par une variation de la posi-

tion du maximum dans une ligne avec le numéro de celle-ci. Pour les angles de bascule

Image originale Méthode N3 Notre méthode

FIG. 4.7: Comparaison des corrections par notre algorithme et par la méthode N3 pour des angles

de bascule de 30, 90 et 150 degrés pour le fantôme n˚2.

30 et 90 degrés, le pic d’intérêt présente une forme en croissant très marquée. Ceci est

caractéristique d’une inhomogénéité inter-coupes forte. Nous pouvons aussi noter que

l’inhomogénéité intra-coupe est beaucoup plus importante à 30 degrés qu’à 90 degrés.

La méthode N3 apporte une amélioration significative vis-à-vis de l’inhomogénéité intra-


coupe et contribue à réduire l’inhomogénéité inter-coupes, bien que la forme en croissant

reste visible et très marquée pour le volume acquis avec un angle de bascule de 30˚. Ces

résultats sont à comparer avec ceux fournis par notre algorithme. Les résultats vis-à-vis

de l’inhomogénéité intra-coupe sont comparables à ceux de la méthode N3. L’inhomogé-

néité inter-coupes a été drastiquement réduite, comme en témoigne la forme présentée par

le pic d’intérêt, quasiment droite.

Pour l’angle de bascule de 180˚, le pic d’intérêt est quasiment triangulaire. La méthode

N3 apporte là aussi une certaine amélioration, mais sans égaler les performances de notre

algorithme qui corrige de manière quasi-parfaite les inhomogénéités intra- et inter-coupes.

Evaluation sur des images cérébrales

Nous avons ensuite appliqué notre algorithme à des images cérébrales acquises selon

deux protocoles différents. Le premier est un ensemble d’images pondérées en T1 et le se-

cond les deux volumes issus d’une séquence double-écho DP/T2. Nous avons pu comparer

nos résultats avec ceux obtenus par la méthode N3 [Sled 98a] sur ces deux jeux de don-

nées. Par contre la méthode EM [Wells 96] requiert deux volumes de données représentant

l’objet avec deux pondérations différentes, comme les données issues du deuxième pro-

tocole, ce qui rend la comparaison de nos résultats avec la méthode EM impossible pour

les images pondérées en T1.

Les résultats de notre algorithme sur les données pondérées en T1 sont très similaires

à ceux obtenus avec la méthode N3. La figure 4.8 donne un exemple de ces résultats.

L’image originale (figure 4.8a) présente une légère chute d’intensité dans la partie pos-

térieure gauche du cerveau. Cette variation non anatomique est détectée par les deux

algorithmes. On peut noter que la baisse d’intensité observée sur les bords des images

corrigées par la méthode N3 n’est pas visible sur celles corrigées par notre algorithme.

Les champs estimés par les deux méthodes sont similaires de part leurs variations glo-

bales mais notre méthode présente des variations locales que l’on n’observe pas pour le

champ estimé par la méthode N3.

Les images pondérées en T2 corrigées par les trois algorithmes, illustrées par la figure

4.9, sont relativement similaires. Elles diffèrent principalement au niveau des ventricules.

Si la méthode EM conserve très bien les différences d’intensité à l’intérieur de cette struc-

ture cérébrale, la méthode N3 a tendance à les amoindrir et notre méthode les efface

complètement, mettant les ventricules au même niveau de gris que la matière blanche.

Les inhomogénéités estimées par les différentes méthodes, figure 4.10, expliquent les

différences de comportement évoquées au sujet des images corrigées. En effet, si la mé-

thode EM a très bien repéré la zone en hyperintensité dans la partie gauche du cerveau, et


(a)

(b) (c)

(d) (e)

FIG. 4.8: Comparaison des résultats de correction pour des images cérébrales pondérées en T1. (a)

image originale, (b) image corrigée par la méthode N3, (c) inhomogénéité estimée par

la méthode N3, (d) image corrigée par notre algorithme et (e) champ estimé par notre

algorithme.

donc a corrigé cette zone sans affecter les ventricules, la méthode N3 effectue l’essentiel

de sa correction sur une zone comprenant la partie inhomogène mais aussi les ventricules.

Ceci explique la disparition de détails des ventricules. Notre algorithme repère très bien la

zone en hyperintensité, mais son fonctionnement est perturbé par les contrastes importants


(a) (b)

(c) (d)

FIG. 4.9: Comparaison des résultats de correction pour des images cérébrales pondérées en T2.

(a) image originale, (b) image corrigée par la méthode N3, (c) image corrigée par la

méthode EM et (d) image corrigée par notre méthode.

au niveau des interfaces entre les zones contenant du liquide céphalo-rachidien (LCR) et

la matière blanche. Ceci conduit à une hypercorrection des zones contenant du LCR et

donc déteriore l’image.

4.4 Conclusion

Nous avons proposé deux approches de correction des inhomogénéités d’intensité.

Chacune s’inscrit dans un cadre méthodologique différent, mais se fonde sur une modéli-

sation théorique commune.

La première approche est une méthode de pré-traitement fondée sur les cartes de sen-

sibilité calculées au chapitre précédent. Il se distingue par sa simplicité algorithmique et

son efficacité. Les résultats montrent que la correction est effective et stable pour une

gamme d’inhomogénéité intra-coupe de 6 à 48% pour un objet homogène, réduisant cette


(a) (b)

(c) (d)

FIG. 4.10: Comparaison des estimées de l’inhomogénéité pour des images cérébrales pondérées

en T2. (a) image originale, (b) estimée par la méthode N3, (c) estimée par la méthode

EM et (d) estimée par notre méthode.

inhomogénéité à des valeurs de 4,5 à 8%. Le principal défaut de cet algorithme est qu’il

nécessite le calcul des cartes de sensibilité en émission et réception décrites dans le cha-

pitre 3. Il est donc soumis aux mêmes contraintes liées à la limitation du temps-machine

disponible. De plus, cette nécessité d’un protocole spécifique limite le domaine d’appli-

cation de cette méthode.

La deuxième approche proposée est de type post-traitements. Mais par rapport aux

méthodes de corrections existantes dont la quasi-totalité est de ce type, notre démarche

de correction s’est inscrite dans une nouvelle voie en se fondant sur la coopération de

deux algorithmes exploitant l’un l’information spatiale, l’autre l’information fréquentielle

de l’histogramme de l’image. Cette approche présente un grand intérêt conceptuel lors-

qu’il manque de vérité de terrain sur l’inhomogénéité d’intensité, ce qui est le cas pour

le cerveau humain. Elle permet une grande flexibilité vis-à-vis des hypothèses faites sur

l’inhomogénéité d’intensité et des informations a priori injectées au cours du calcul. Les

résultats obtenus avec les fantômes physiques homogènes dont les caractéristiques sont


parfaitement connues ont illustré la validité d’une telle approche. Les inhomogénéités

intra- et inter-coupes ont été réduites de manière significative même dans les cas les plus

extrêmes. Ces résultats sont meilleurs que ceux obtenus en utilisant la méthode N3. Les ré-

sultats sur données cérébrales sont intéressants, les images pondérées en T1 sont corrigées

de manière correcte, mais les modalités présentant de forts contrastes, comme les images

pondérées en T2, posent problème. Une mise au point algorithmique et une validation plus

poussées seraient nécessaires.

Les développements possibles sont multiples. Pour le premier algorithme, les re-

marques faites au chapitre 3 restent valables, à savoir l’utilisation d’estimées des sensibi-

lités en émission et réception sous-échantillonnées, ainsi que l’adaptation de la méthode

pour une séquence écho de gradient moyennant une modification de la modélisation. La

seconde méthode présente plusieurs points susceptibles d’être améliorés. Au niveau glo-

bal, l’échange d’information entre les deux algorithmes peut être très largement amélioré,

ainsi que la fusion des résultats. Au niveau de la branche spatiale, plusieurs méthodes

d’estimation de l’inhomogénéité pourraient être envisagées et évaluées.

CONCLUSION GÉNÉRALE ET

PERSPECTIVES

L’objectif de cette thèse a été la modélisation et la correction de l’artefact d’inhomo-

généité d’intensité en prenant en compte de manière explicite les phénomènes physiques

sous-jacents. Dans ce cadre, nos travaux ont porté sur la modélisation et l’estimation des

sensibilités en émission en réception des antennes radio-fréquence (RF), ainsi que sur le

développement de méthodes de correction des inhomogénéités d’intensité.

Tout d’abord, nous avons étudié les processus physiques mis en œuvre lors de l’ac-

quisition des images par résonance magnétique. En partant des équations de Bloch, nous

avons modélisé l’évolution de l’intensité d’un pixel de l’image en fonction des paramètres

physiques de l’objet et de l’imageur dans le cas d’une séquence écho de spin. Ceci nous

a permis de proposer une unification des deux principaux types de modèles utilisés par

les physiciens et les traiteurs d’images. Cette modélisation met l’accent sur le rôle des an-

tennes RF utilisées lors de l’acquisition IRM. Il s’est avéré nécessaire de mettre au point

une méthode d’estimation des sensibilités en émission et réception de ces antennes afin

d’une part d’évaluer l’influence de l’objet sur les champs magnétiques utilisés et d’autre

part de fournir les éléments de base de contrôle de qualité et de correction des images. En

calculant les cartes de sensibilité d’une antenne “cage à oiseau” pour deux fantômes phy-

siques géométriquement identiques mais constitués de matières différentes, nous avons

pu vérifier la validité de notre modèle et la faisabilité de l’estimation. Nous avons aussi pu

mettre en évidence le fait que la sensibilité en émission de l’antenne émettrice n’est pas

affectée par la nature de l’objet imagé. Par contre la sensibilité en réception de l’antenne

réceptrice dépend des propriétés physiques de la charge. Ces résultats nous ont poussé

à étudier la possibilité de l’estimation des sensibilités en émission et réception à partir

d’images issues d’objets hétérogènes.

Pour ce faire, nous avons proposé trois modèles fondés sur trois jeux d’hypothèses

différents. Le premier modèle n’introduisait pas d’informations a priori sur la forme de

la sensibilité en réception ni sur la densité de protons, rendant le problème implicite-


ment sous-déterminé. Si les résultats obtenus avec les fantômes homogènes sont corrects,

l’emploi de ce modèle sur les objets hétérogènes ne s’est pas avéré satisfaisant du fait de

la sous-détermination évoquée précédemment. Nous avons ensuite introduit l’hypothèse

de réciprocité qui limite l’utilisation du modèle aux antennes RF utilisées en émission-

réception mais permet de passer outre le problème de sous-détermination en imposant

que les variations de sensibilité soient les mêmes en émission et en réception. Si les es-

timées calculées par cette méthode sont meilleures que les précédentes, le résultat n’est

pas toujours satisfaisant. Notre dernier modèle ne prenait pas en compte l’hypothèse de

réciprocité mais imposait que les variations de sensibilité en réception soient lisses. Les

cartes de sensibilité fournies par cette méthode sont très satisfaisantes, tant pour les objets

homogènes qu’hétérogènes.

Enfin nous avons proposé deux types d’approches pour corriger les inhomogénéités

d’intensité. La première méthode utilise explicitement la modélisation des processus phy-

siques mis en œuvre lors de l’acquisition. Ce type d’approches, très simple à mettre en

œuvre, est fondé sur les cartes de sensibilité estimées précédemment. Une telle méthode

s’avère très efficace en terme de correction et de stabilité de celle-ci tant pour les objets

homogènes que pour les images du cerveau. Son principal handicap se situe dans la déter-

mination des cartes de sensibilité qui nécessite un protocole d’acquisition spécifique. La

deuxième approche est de type post-traitement. Par rapport aux méthodes de correction

existantes, cette méthode s’est inscrite dans une nouvelle voie se fondant sur la coopé-

ration de deux algorithmes exploitant l’un l’information spatiale, l’autre l’information

fréquentielle de l’histogramme de l’image. Ceci permet de compenser en partie l’absence

de vérité de terrain, ce qui est le cas généralement en pratique. Les résultats obtenus sur les

fantômes homogènes sont très encourageants, meilleurs que ceux obtenus par la méthode

N3 sur les mêmes données, mais les corrections apportées sur les données hétérogènes

très contrastées montrent qu’une mise au point algorithmique serait nécessaire.

Les possibilités de développement des méthodes proposées dans cette thèse sont nom-

breuses. Concernant l’estimation des sensibilités en émission et réception des antennes

RF, une perspective à court terme serait de régler le problème du temps-machine sup-

plémentaire lors de l’acquisition, soit en utilisant une fois le protocole pour établir un

atlas cérébral personnel qui sera recalé sur les données lors des acquisitions suivantes,

soit en sous-échantillonant les données acquises pour la détermination des cartes de sen-

sibilité, celles-ci étant supposées lisses. Par exemple, un sous-échantillonnage par deux

dans les trois dimensions du volume réduirait le temps d’acquisition d’un facteur huit,

ce qui rendrait le protocole plus facilement utilisable en pratique. Un autre axe de déve-


loppement prometteur serait l’évaluation de la méthode sur des données issues d’autres

organes, notamment le cœur et la colonne vertébrale, qui n’utilisent pas les mêmes an-

tennes en émission et en réception. Il serait aussi intéressant d’appliquer cette méthode,

avec la modélisation appropriée, à d’autres types de séquences, comme l’écho de gra-

dient. Ces axes de recherche sont aussi valables pour la première approche de correction

que nous avons proposée. Il serait notamment intéressant de voir les résultats obtenus sur

des images acquises avec des antennes de surface. Quant à la seconde approche, plusieurs

points sont susceptibles d’être améliorés. Au niveau global, l’échange d’information entre

les deux algorithmes peut être très largement amélioré, ainsi que la fusion des résultats.

Au niveau de la branche spatiale, plusieurs méthodes d’estimation de l’inhomogénéité

pourraient être envisagées et évaluées. L’introduction d’information a priori est aussi à

développer, notamment à partir des cartes de sensibilités que nous avons calculées.

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FOLIO ADMINISTRATIF

THÈSE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

NOM : Milles DATE de SOUTENANCE :

Prénom : Julien 11 Décembre 2002

Titre :

Modélisation et correction des inhomogénéités d’intensité en imagerie cérébrale par résonance magnétique

NATURE : Doctorat Numéro d’ordre : 02 ISAL 0084

Formation doctorale : Images et Systèmes

Cote B.I.U. - Lyon T : 50/210/19 / et bis CLASSE :

RESUME :

Ce travail concerne la modélisation et la correction des inhomogénéités d’intensité en

imagerie cérébrale par résonance magnétique. Le premier volet de nos travaux modélise

l’intensité d’un pixel en fonction des paramètres physiques liés à l’objet et à l’imageur.

Nous proposons ensuite quatre méthodes d’estimation afin de calculer les profils de sen-

sibilité en émission et détection des antennes radio-fréquence pour des objets homogènes

et hétérogènes.

La deuxième partie de notre travail consiste en la correction des images obtenues par

résonance magnétique. Nous avons développé une première approche fondée sur les para-

mètres issus de la modélisation précédente. L’autre est fondée sur la coopération de deux

algorithmes privilégiant des informations soit spatiales, soit fréquentielles. Ces méthodes

ont été validées sur des données réelles issues de fantômes et du cerveau d’un volontaire

sain. Les résultats obtenus sont très satisfaisants et ouvrent de nouvelles voies algorith-

miques.

MOTS-CLES :

Imagerie par résonance magnétique, correction, inhomogénéités d’intensité, problème in-

verse, modélisation, angle de bascule, informations spatiales, informations fréquentielles.

Laboratoire de recherches :

Centre de Recherche et d’Applications en Traitement de l’Image et du Signal (CREATIS)

– UNR CNRS 5515

Directeurs de thèse :

Yue Min Zhu, Gérard Gimenez

Président du jury : J. Bittoun

Composition du jury :

J. Bittoun, G. Gimenez, C. Guttmann, M. Rombaut, C. Segebarth, Y. M. Zhu

Modélisation et correction des inhomogénéités d’intensité en...

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